302. Ударные силы. До сих пор мы рассматривали лишь такие движения, при которых скорость изменялась непрерывно как по модулю, так и по направлению. Однако, иногда приходится встречаться с явлениями, когда скорость изменяется скачком. Для того, чтобы и подобные движения подвести под общую механическую схему, мы вводим понятие о так называемых ударных силах: ударною называется такая сила $F$, которая действует в течение бесконечно малого промежутка времени $\tau$, но имеет конечный импульс за время своего действия (§100) (т. е. не бесконечно малый и не бесконечно большой). Импульс силы за бесконечно малый промежуток времени $\tau$ от момента $t_{0}$ до момента $t_{0}+\tau$ мы будем обозначать $F$, т. е. мы положим
\[
F=\int_{i_{0}}^{t_{0} t^{\tau}} F a t .
\]

При этом иногда в порядке приближения мы будем предполагать, что $\tau$ не бесконечно мало, а имеет некоторое малое конечное значение.

Посмотрим, какие следствия вытекают из сделанного определения. Прежде всего обратим внимание на то, что ударная сила $\boldsymbol{F}$ достигает за время своего действия бесконечно болыного значения. Действительно, по теореме о среднем значении определённого интеграла, мы из написанной выше формулы для импульса получаем
\[
\boldsymbol{F}=F_{\mathrm{cp}} \tau,
\]

где $\boldsymbol{F}_{\text {ср }}$ есть значение силы $\boldsymbol{F}$ в некоторый промежуточный момент интервала ( $t_{0}, t_{0}+\tau$ ). Так как промежуток времени $\tau$ бесконечно мал, то последнее равенство и доказывает высказанное утверждение.

Далее заметим, что $9 ф ф е к т$ действия ударной силы на материальную частицу выражается в мгновенном конечном изменении скорости частицы. Действительно, если $\boldsymbol{v}_{0}$ – скорость частицы в начале действия силы $\boldsymbol{F}$, т. е. в момент $t_{0}$, и $\boldsymbol{v}$ – её скорость в момент $t_{0}+\tau$ окончания действия силы, то по закону изменения количества движения мы имеем
\[
m v-m v_{0}=\boldsymbol{F}
\]
[см. формулу (18.12) на стр. 158]; следовательно, при конечном значении импульса $\boldsymbol{F}$ и приращение $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_{0}$ скорости имеет конетное значение.

Существенно заметить, что перемещением частищы при ударе можно пренебречь, потому что перемещение будет иметь такой же порядок малости, как и время, в течение которого происходит удар. Для доказательства проинтегрируем уравнение
\[
d r=v d t
\]

в пределах от $t_{0}$ до $\dot{t}_{0}+\tau$; мы найдём:
\[
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}=\int_{t_{0}}^{\tau \tau} \boldsymbol{\tau} \mathrm{d} t
\]

заменив здесь $\boldsymbol{v}$ его значением из формулы (55.2), мы получим
\[
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}=\int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau}\left(\boldsymbol{v}_{0}+\frac{F}{m}\right) d t=\boldsymbol{v}_{0} \tau+\frac{1}{m} \int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau} F d t .
\]

Применив к последнему интегралу теорему о среднем значении, мы найдём отсюда
\[
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}=\left(\boldsymbol{v}_{0}+\frac{\boldsymbol{F}_{\mathrm{cp}}}{m}\right) \tau
\]

следовательно, при бесконечно малом $\boldsymbol{\tau}$ перемещение $\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}$ тоже бесконечно мало.

Работа $A$, совершённая ударной силой за времй её дсйствия, имеет конечную величину: это непосредственно вытекает из принятого нами условия о величине импульса ударной силы и теоремы лорда Кельвина [формула (18.37) на стр. 164], применённой к ударной силе:
\[
A=F \cdot \frac{v_{0}+\boldsymbol{v}}{2} \text {. }
\]

Наконец, укажем, что если кроме ударной силы к частице приложена сила конечного напряжения, то действием последней за время действия ударной силы можно пренебречь, так как импульс ее будет бесконечно мал: это видно из формулы (55.1), если её применить к силе конечного напряжения.

Соотношениє (55.2), в котором под $\boldsymbol{F}$ понимается сумма импульсов ударных сил, действующих на частицу, носит название основного уравнения теории удара материальной частицы. Употребляя ранее введённое обозначение $K=m \boldsymbol{\sigma}$ для количества движения, мы можем также нагнсать
\[
\boldsymbol{K}-\boldsymbol{K}_{0}=\boldsymbol{F} .
\]
303. Удар материальной частицы о связь. Положим, что материальная частица массы $m$ подчинена неудерживающей связи
\[
f(x, y, z, t)>0 .
\]

Пусть сперва связь эта ослаблена, т. е.
\[
f(x, y, z, t)>0,
\]

и частица движется, как свободная, сообразно с, уравнением движения
\[
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)
\]

или, что то же,
\[
x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t) .
\]

Тогда может случиться, что частица в некоторый момент $t_{0}$ придёт на связь, т. е. в момент $t_{0}$ координаты её обратят левую тасть выражения

(55.4) в нуль. Условимся, что за наяало отсчёта времени нами взят какой-либо момент из той стадии движения, когда частица двигалась, как свободная; тогда момент $t_{0}$ пряхода частицы на связь, очевидно, найдётся, если мы определим наименыший положительный корень уравнения
\[
f[x(t), y(t), z(t), t]=0 .
\]

Если такого корня не окажется, то, значит, во всём дальнейшем движении после момента $t=0$ частица никогда не встретится со связью. Но пусть корень $t=t_{0}$ найден, и, следовательно, в момент $t_{0}$ частица попадает на связь (55.4). Пусть скорость еє̆ в этот момент времени равна $\boldsymbol{v}_{0}$. Мы знаем (§117), что если частица движется по неудерживающей связи или в данный момент времени $t$ ее покидает, скорость ее не может иметь произвольного значения, а подчинена ограничению
\[
\frac{d f}{d t}>0 \text {, }
\]

или, что го же,
\[
\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{v}+\frac{\partial f}{\partial t}>0
\]

при этом знак «больше» может появиться лишь в моменты, когда частица покидает связь; в этом случае производные в приведённых уравнениях следует юонимать лишь как правые производные; иначе говоря, частица не может притти в данную точку с такой скоростью, чтобы левая производная была положительной. Допустим, что вышеуказанная скорость $\boldsymbol{v}_{0}$, с которой частица в момент $t_{0}$ приходит на связь, удовлегворяет условию
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}=0 .
\]

Тогда, если и все высшие производные функции $f$ в момент $t=t_{0}$ равны нулю, т. е.
\[
\left(\frac{d^{k} f}{d t^{k}}\right)_{0}=0,
\]

то частица в дальнейшем будет двигаться по связи. Если в ряде высших производных имеется хотя бы одна положительная (очевидно, первая, отличная от нуля производная обязательно положительна), частица в рассматриваемый момент $t_{0}$ снова покинет связь. И в том, и другом случае скорость $\boldsymbol{v}$ в момент $t_{0}$ сохранит свою непрерывность.
Пусть теперь скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ такова, что
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}<0 .
\]

Тогда, чтобы согласовать это неравенство с условием (55.5), мы примем, что связь (55.4) оказывает ударную. реакцию на частицу, и эта реакция изменяет скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ в некоторую другую скорость $\boldsymbol{v}_{2}$, уже удовлетворяющую условию (55.5): происходит так называемый удар частицы о связь. При этом, чтобы подвести возможно большее число наблюдаемых явлений под нашу схеиу, мы примем, что в общем случае новая скорость $\boldsymbol{v}_{8}$ удовлетворяет условию (55.5) со знаком $\geqslant$, т. е.

«равно или больше». Так как ударная реакция отнесена нами к разряду ударных сил, то по сказанному в § 302 мы примем, что:
1) время действия её $\tau$ бесконечно мало, или, иначе говоря, продолжительность удара бесконечно мала;
2) за время удара ни частица, ни поверхность не успевают изменить своего положения;
3) за время удара импульс всякой конечной силы равен нулю. Итак,
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{t=t_{\mathrm{n}}}<0, \quad\left(\frac{d f}{d t}\right)_{t=t_{0}+r}>0 .
\]

Полагая, что за время $\tau$ скорость $\boldsymbol{v}$ частицы меняется непрерывно, мы примем, что для некоторого промежуточного момента $t_{1}$, т. е. момента, удовлетворяющего условию
\[
t_{0}<t_{1}<t_{0}+\tau,
\]

частица приобретает такую скорость $\boldsymbol{\eta}_{1}$, что соблюдается равенство
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{t=4}=0 .
\]

Промежуток времени $\left(t_{0}, t_{1}\right)$ назовём первым актом удара, а промежуток $\left(t_{1}, t_{0}+\tau\right.$ ) вторым актом. В частном случае удар может ограничиться только одним первым актом, и тогда удар называется а 6 солютно неупругим.

Скорость $\boldsymbol{v}_{0}$, с которой частица приходит на связь, обыкновенно называется скоростью падения частицы, а скорость $\boldsymbol{v}_{2}$, которую она имеет в момент окончания удара, скоростью отражения (фиг. 154). Угол а между отрицательным направленнем скорости $\boldsymbol{v}_{0}$ и положительным направлением нормали к поверхности $f(x, y, z, t)=0$ носит название угла падения, а угол $\beta$ скорости $\boldsymbol{v}_{2}$ с положительным направлением той же нормали называется углом отражения.
Мы принимаеи, что в случае идеальности связи ударная реакция $N$, как и обычная реакция, направлена по градиенту функции $f$, т. е. по положительной нормали поверхности $f=0$; следовательно, также направлен и реактивный импульс $N$; действительно, если $\boldsymbol{n}^{0}$ есть единичный вектор нормали к поверхности, то
\[
\boldsymbol{N}=\int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau} N d t=n^{0} \int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau} N d t=N n^{0} .
\]

Из последнего равенства, между прочим, следует, что
\[
|\underline{N}|=N \text {. }
\]

Возьмём какой-либо момент $t$ между $t_{0}$ и $t_{0}+\tau$; пусть для него частипа имеет скорость $\boldsymbol{\eta}$. По закону изменения количества движения мы имеем
\[
m v-m v_{0}=n^{0} \int_{t_{0}}^{t_{0}+t} N d t
\]

Из этого уравнения непосредственно видно, что приращение скорости за любой промежуток в течение удара направлено одинаково с положительной нормалью. Другими словами, если бы мы построили годограф скорости частицы за время удара, то получили бы отрезок прямой, параллельной нормали. Скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ падения и скорость $\boldsymbol{v}_{2}$ отражения лежат, следовательно, в плоскости, нормальной к поверхности $f(x, y, z, t)=0$, и их проекции на касательную плоскость равны между собой:
\[
v_{2} \sin \beta=v_{0} \sin \alpha .
\]

Поставим следующую задачу: пусть для момента $t_{0}$ начала удара известны радиус-вектор $r_{0}$ частицы и её скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ (скорость падения); требуется найти скорость $\boldsymbol{v}_{2}$ частицы в конце удара (скорость отражения), а также импульс $N_{02}$ реакции за время удара.

Обозначим через $\boldsymbol{N}_{01}$ импульс реакіии за первую стадию удара $\left(t_{0}, t_{1}\right)$ и через $\boldsymbol{N}_{12}$ её импульс за вторую стадию ( $\left.t_{1}, t_{0}+\tau\right)$; очевидно,
\[
\boldsymbol{N}_{02}=\boldsymbol{N}_{, 01}+\boldsymbol{N}_{12} .
\]

Применив закон изменения количества движения к первой стадии, а также ко всему времени удара, мы получим:
\[
\begin{array}{l}
m v_{1}-m v_{0}=N_{01}, \\
m v_{2}-m v_{0}=N_{02} .
\end{array}
\]

В дополнение к этим уравнениям мы выпишем условие (55.5), которому удовлетворяет скорость $\boldsymbol{v}_{1}$ в конце первой стадии удара; употребляя попрежнему нижние индексы $0,1,2$ как указание на то, что соответствующие величины вычисляются для моментов $t_{0}, t_{1}$ и $t_{2}=t_{0}+\tau$, мы в данном случае получим:
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{1}=0
\]

или, что то же,
\[
\operatorname{grad} f_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{1}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{1}=0 .
\]

Так как координаты частицы за время удара не меняются, то последнее уравнение можно переписать также в следующих двух видах;
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{grad} f_{0} \cdot v_{1}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{0}=0 \\
\operatorname{grad} f_{0} \cdot v_{1}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{2}=0 .
\end{array}
\]

Равенствами (55.10), (55.11), (55.12) исчерпываются те независимые между собой уравнения, которые мы можем составить в рассматриваемой задаче.

Рассмотрим сначала частный случай, а именно, допустим, что удар абсолютно неупругий, т. е. ограничивается одним первым актом. Тогда искомыми будут две неизвестные величины $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{N}_{01}$, и для нахождения их мы имеем два уравнения: (55.10) и (55.12). Умножим уравнение

(55.10) скалярно на $\operatorname{grad} f_{0}$, а уравнение (55.12) на $m$ и вычтем второе из первого; мы получим:
\[
-m \operatorname{grad} f_{0} \cdot \boldsymbol{v}_{0}-m\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{0}=\operatorname{grad} f_{0} \cdot N_{01},
\]

или согласно формуле (20.8) на стр. 186;
\[
-m\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}=\left|\operatorname{grad} f_{0}\right| \cdot N_{01}
\]

отсюда мы найдём:
\[
N_{01}=-\frac{m\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}}{\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|},
\]

и, следовательно,
\[
N_{01}=-\frac{m\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0} \operatorname{grad} f_{0}}{\left.\operatorname{grad} f_{0}\right|^{2}} .
\]

Подставив это значение $N_{01}$ в уравнение (55.10), мы найдём $\boldsymbol{v}_{1}$ :
\[
v_{1}=v_{0}-\frac{\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0} \operatorname{grad} f_{0}}{\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|^{2}} .
\]

Обращаясь к общему случаю, мы видим, что в дополнение к тому, что проделано, нужно определить дв е величины: $\boldsymbol{N}_{02}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$. Между тем в нашем распоряжении остаётся лишь одно уравнение (55.11), и, таким образом, на базе изложенной теории поставленная задача оказывается неразрешимой. Недостающее уравнение, связывающее наши неизвестные, берётся из опытов и наблюдений над теми явлениями, которые желательно подвести под разбираемую механическую схему. Еще Ньютон, измеряя углы падения и отражения соударяющихся тел, пришёл к такому опытному закону: отношение $\varepsilon$ импульса за второй акт удара к импульсу за первый акт удара не зависит от скорости падения, а обусловлено лишь физическими свойствами соударяющихся тел; это отношение, называемпе коэффициентом восстановления, как показывает опыт, заключено между нулём и единицей:
\[
0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1 .
\]

Формулой положение Ньютона выражается так:
\[
\boldsymbol{N}_{12}=\varepsilon \boldsymbol{N}_{01} \text {. }
\]

Итак, если $\varepsilon$ известно из опыта, мы имеем в дополнение к составленным уравнениям ещё уравнение (55.17), и разбираемая задача становится определённой. Сперва на основании последнего равенства мы найдём импульс $\boldsymbol{N}_{02}$ за всё время $\tau$ удара; имеем
\[
\boldsymbol{N}_{02}=\boldsymbol{N}_{01}+\boldsymbol{N}_{12}=(1+\varepsilon) \boldsymbol{N}_{01} ;
\]

отсюда по формуле (55.15) получаем:
\[
\boldsymbol{N}_{02}=-\frac{(1+\varepsilon) m\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0} \operatorname{grad} f_{0}}{\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|^{2}} .
\]

Теперь по уравнению (55.11) мы определим искомую скорость отражения $\boldsymbol{0}_{8}$ :
\[
\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}_{0}+\frac{N_{02}}{m}=\boldsymbol{v}_{0}-\frac{(1+\varepsilon)\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0} \operatorname{grad} f_{0}}{\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|^{2}} .
\]

Вернемся к вопросу о коэффициенте восстановления и выразим в иной форме соотношение Ньютона (55.17). Для этого вычтем сперва уравнение (55.10) из уравнения (55.11); на основании соотношения (55.9) результат можно записать так:
\[
m v_{2}-m v_{1}=N_{12} .
\]

Решив это уравнение совместно с уравнением (55.13) так же, как оыла решена система уравнений (55.10) и (55.12), мы получим:
\[
N_{12}=\frac{m\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}}{\left|\operatorname{grad} \hat{f}_{0}\right|}
\]

и, следовательно,
\[
N_{2}=\frac{m\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2} \operatorname{grad} f_{0}}{\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|^{2}} .
\]

Подставив выражения (55.15) и (55.21) импульсов в равенство (55.17), мы приведём уравнение Ньютона к следующему виду:
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}=-\varepsilon\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0} .
\]

Чтобы дать себе отчет в том, каким образом при помощи измерения углов падения и отражения можно найти отношение $\varepsilon$ реактивных импульсов за вторую и первую стадии удара, остановимся на простейшем случае удара, с которым собственно и производились опыты, а именно, на случае, когда связь неподвижна, т. е.
\[
\frac{\partial f}{\partial t}=0 \text {. }
\]

В этом случае
\[
\frac{d f}{d t}=\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{v}
\]

и уравненіе (55.22) переходит в следующее:
\[
\operatorname{grad} f_{0} \cdot \boldsymbol{v}_{2}=-8 \operatorname{grad} f_{0} \cdot \boldsymbol{v}_{0} .
\]

Введя углы $\alpha$ и $\beta$ падения и отражения (фиг. 154) и сократив уравнение на $|\operatorname{grad} f|$, мы получим отсюда:
\[
v_{2} \cos \beta=\varepsilon v_{0} \cos \alpha .
\]

В дополнение к этому равенству возьмём соотношение (55.8)
\[
v_{2} \sin \beta=v_{0} \sin \alpha .
\]

Почленным делением этих двух уразнений мы получим:
\[
\operatorname{ctg} \beta=\boldsymbol{\varepsilon} \operatorname{ctg} \alpha,
\]

или
\[
\varepsilon=\frac{\operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha},
\]
т. е. отношение между реактивными импульсами за вторую и первую стадии удара равно отношению котангенсов углов отражения и падения.
Как было сказано, $\varepsilon$ заключается в пределах
\[
0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1 \text {. }
\]

Если $\varepsilon=0$, второго акта удара вовсе не будет, и удар называется абсолютно неупругим; если $\varepsilon=1$, удар называется абсолютно упругим. Ньютон нашёл, что при соударении стекла о стекло $\varepsilon=\frac{15}{16}$; при соударении мячиков, набитых шерстью, $\varepsilon=\frac{5}{9}$; при соударении железа о железо \& тоже приблизительно равно $\frac{5}{9}{ }^{1}$ ). Позднейшие опыты также подтвердили ньютонов закон (55.17).
Пример 152. Пусть частица массы $m=1$ движется по закону
\[
x=a t, \quad y=b t, \quad z=c t,
\]

где $a, b, c$-постоянные, и пусть эта частица подчинена неудерживающей связи
\[
f=R^{2}-(x-k t)^{2}-y^{2}-z^{2}>0,
\]

где $R$ и $k$-тоже постоянные. В момент $t=0$ частида находится не на связи. Момент $t_{0}$ прихода её на связь мы определим, решив уравиение
\[
R^{2}-\left[(a-k)^{2}+b^{2}+c^{2}\right] t_{0}^{2}=0 .
\]

Мы находим:
\[
\boldsymbol{t}_{0}=\frac{R}{\delta},
\]

где
\[
\delta=+\sqrt{(a-k)^{2}+b^{2}+c^{2}} .
\]

В этот момент частица займёт положение
\[
x_{0}=a t_{0}, \quad y=b t_{0}, \quad z=c t_{0},
\]

а проекции скорости падения будут равны
\[
v_{0 x}=a, \quad v_{0 y}=b, \quad v_{0 z}=c .
\]

Продифференцировав уравнение связи, мы находим, что
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}=-2 \delta^{2} t_{0}<0 ;
\]

следовательно, произойдёт удар. Вычислим $\mid$ grad $f_{0} \mid$ :
\[
\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|=28 t_{0} ;
\]

модуль импульса $N_{1}$ реакции за первый акт удара согласно фөрмуле $(55,14)$ будет равен
\[
N_{1}=\delta ;
\]

проекции скорости $\boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}$ частицы в конце первого акта удара согласно формуле (55. 16) равны
\[
v_{1 x}=k, v_{1 y}=0, v_{1 z}=0 .
\]

Если коэффициент восстановления равен $\varepsilon$, то модуль полного импульса реакции $N_{02}$ за время удара будет равен
\[
N_{02}=(1+\varepsilon) \delta,
\]

а проекции скорости отражения по формуле (55.19) окажутся следующими:
\[
v_{2 x}=k-\varepsilon(a-k), \quad \tau_{2 y}=-\varepsilon b, \quad v_{2 z}=-\varepsilon c .
\]
304. Изменение кинетической өнергии материальной частицы за время удара. Согласно теореме лорда Кельвина [см. формулу (18.36) на стр. 164] приращение кинетической энергии $T$ частицы за время первого и второго актов удара может быть выражено следующим образом:
\[
T_{1}-T_{0}=\frac{1}{2} N_{01} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{v}_{1}\right)
\]

и
\[
T_{2}-T_{1}=\frac{1}{2} N_{12} \cdot\left(\dot{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)
\]

Так как импульс реакции направлен одинаково с градиентом функции $f(x, y, z, t)$, то эти выражения можно преобраэовать к следующему виду:
\[
T_{1}-T_{0}=\frac{N_{01}}{2\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|} \operatorname{grad} f_{0} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{v}_{1}\right)
\]

и
\[
T_{2}-T_{1}=\frac{N_{12}}{2\left(\operatorname{grad} f_{0}\right)} \operatorname{grad} f_{0} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right) .
\]

Теперь вспомиим, что
\[
\frac{d f}{d t}=\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{v}+\frac{\partial f}{\partial t} \text {, }
\]

причём для $t=t_{1}$ мы имеем $\left(\frac{d f}{d t}\right)_{1}=0$. Преобразовав с помощью последних соотношений скалярные пронзведения в уравнениях (55.23), мы получим:
\[
\begin{array}{l}
T_{1}-T_{0}=\frac{N_{0 \mathrm{t}}}{2\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|}\left[\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}-2\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right\rangle_{0}\right], \\
T_{2}-T_{1}=\frac{N_{12}}{2\left|\operatorname{grad} f_{0}\right|}\left[\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}-2\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{0}\right] .
\end{array}
\]

Когда связь неподвижна, т. е. $\frac{\partial f}{\partial t}=0$, мы можем, пользуясь формулами (55.14) и (55.20), переписать предыдущие равенства так:
\[
T_{1}-T_{0}=-\frac{N_{01}^{2}}{2 m}, \quad T_{2}-T_{1}=\frac{N_{12}^{2}}{2 m} .
\]

Отсюда мы заключаем, что за первый акт удара кинетическая энергия частицы уменьшается, а за второй акт увеличивается. Сложив последние два равенства, мы на основании соотношения (55.17) придӗм к такому выражению:
\[
T_{2}-T_{0}=-\frac{N_{01}^{2}}{2 m}\left(1-\varepsilon^{2}\right) ;
\]

следовательно, за оба акта удара клетическая энергия частицы, вообще говоря, уменьшается и только при абсолютно упругом ударе остаётся без перемены. Равенства (55.24) и (55.25) выражают теоремы Карно (Carnot).

Формуле (55.25), выражающей нзменение кинетической энергии при ударе, можно дать другой вид, если воспользоваться соотношениями (55.18) и (55.19); имеем
\[
N_{01}=\frac{\underline{N}_{02}}{1+\mathrm{t}}=\frac{m}{1+t}\left(\boldsymbol{
u}_{2}-\boldsymbol{v}_{0}\right) ;
\]

отсюда, после подстановки в равенство (55.25), мы получаем:
\[
T_{0}-T_{2}=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon} \frac{m\left(v_{0}-v_{2}\right)^{2}}{2} .
\]

Величина $\boldsymbol{v}_{0}-\boldsymbol{v}_{2}$ носит название потерянной скорости, а величину $\frac{m\left(\boldsymbol{v}_{0}-\boldsymbol{v}_{2}\right)^{2}}{2}$ называют кинетической энергией потерянной скорости; найденное соотношение известно под названием обобщённой теоремы Карно и читается обычно так: при ударе частицы о неподвижную идеальную связь потеря кинетической энергии равна $\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}$-ой доле кинетической энергии потерянной скорости.