89. Материальная частица. Когда тело движется поступательно, можно ограничиться изучением движения одной какой-нибудь точки этого тела, приписав ей массу, равную массе тела. Такая точка, заменяющая собой тело, носит название материальной точки, или частицы. Вместо того, чтобы говорить о теле, движущемся поступательно под действием силы F, можно говорить о движении материальной частицы, к которой

приложена та же сила $\boldsymbol{F}$. Материальная частиша характеризуется не только своими координатами, как точка ґеометрическая нли кинематическая, ‘но и своей массой, т. е. массой того тела, движение которого она представляет.

Деформируемое тело может двигаться самым произвольным образом, но мы всегда будем предполагать, что движения бесконечно близких точек тела различаются бесконечно мало. Поэтому, если разделить движущееся тело какими-либо поверхностями, например координатными, на бесконечно малые по объёму элементы, то можно принять, что эти элементы движутся поступательно, и, следовательно, каждый из них может быть заменён материальной частицей с бесконечно малой массой. Таким образом, и общий случай движения деформируемого тела сводится к рассмотрению движения совокупности материальных частиц..

Динамика частицы изучает движение одной материальной частицы, или точки, под действием заданных сил. Рассмотрение движения совокупности материальных частиц с конечными или бесконечно малыми массами составит предмет динамики системы.
90. Дифференциальные уравнения движения частицы. Основное уразнение динамики
\[
m w=F,
\]

очевидно, эквивалентно трём скалярным уразнениям, являющимся проекциями уравнения (15.1) на какие-либо три оси. Эти уравнения носят название дифференциальнх уравнений движения матери альной частипн. Так, если спроектировать уравнение (15.1) на оси декартовых координат, то оно заменится следующими тремя уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{r}
m \ddot{x}=F_{x}, \\
m \ddot{y}=F_{y}, \\
m \ddot{z}=F_{z} .
\end{array}\right\}
\]

В общем случае криволинейных координат мы получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{m}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \rightharpoondown \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{\sigma}}\right]=F_{q_{0}} \\
(\sigma=1,2,3),
\end{array}
\]

где $F_{q_{\sigma}}$ – проекция на соответствуюшую координатную ось $q_{\circ}$ равнодействуюшей $\boldsymbol{F}$ сил, действующих на частицу [см. формулу (7.23) на стр. 69]. Так, например, для цилиндрических координат дифференциальные уравнения движения запишутся следующим образом [см. формулы (7.24) на стр. 70]:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m\left(\ddot{\rho}-\rho \dot{\varphi}^{2}\right) & =F_{\rho}, \\
\frac{m}{\rho} \frac{d}{d t}\left(\rho^{2} \dot{\varphi}\right) & =F_{\varphi}, \\
m z & =F_{z} .
\end{array}\right\}
\]

Подобньм образом для сферических координат [см. формулы (7.25) на стр. 70] мы найдём:
\[
\left.\begin{array}{l}
m\left(\ddot{r}-r \cos ^{2} \psi \cdot \dot{\varphi}^{2}-r \dot{\psi}^{2}\right)=F_{r}, \\
\frac{m}{r \cos \phi} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \cos ^{2} \psi \cdot \dot{\varphi}\right)=F_{\varphi}, \\
m\left[\frac{1}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\varphi}\right)-r \sin \psi \cos \psi \cdot \dot{\varphi}^{2}\right]=F_{\psi} .
\end{array}\right\}
\]

Наконец, если спроектируем обе части основного уравнения динамики на оси естественного трёхгранника, т. е. касательную, главную нормаль и бинормаль траектории, то, согласно формулам (7.12) на стр. 68 , получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{s}=F_{\tau}, \\
\frac{m v^{2}}{p}=F_{v}, \\
0=F_{\beta},
\end{array}\right\}
\]

где $F_{\tau}, F_{
u}, F_{\beta}$ – проекции равнодействующей сил, действующих на частицу, на упомянутые три направвення.

Сила, действующая на частицу, может зависеть от времени, положения частицы и её скорости, т. е. в уравнениях (15.3) величины $F_{q_{0}}$ являются функциями времени, координат и первых производных от координат по времени:
\[
F_{q_{\sigma}}=F_{q_{\sigma}}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right) \quad(\sigma=1,2,3) ;
\]

производных от координат второго и высших порядков обычно не вводят аргументами в функции $F_{q_{0}}$. Таким образом, равенства (15.3) представляют собой систему трёх дифференциальных уравнений второго порядка относительно трёх функций времени $q_{a}$, где $\sigma=1,2,3$.

В динамике различают две основные задачи. В так называемой прямой задаче по данному закону движения
\[
r=r(t)
\]

требуется найти действующую на частицу силу $\boldsymbol{F}$. Решение прямой задачи не представляет никаких затруднений: дифференцированием находим ускорение частицы, или его проекции $w_{q_{e}}$, а затем по формулам (15.3) находим проекции $F_{q_{\sigma}}$ силы.

В обратной задаче известными являются сила $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{v})$ и «начальные данные», т. е. радиус-вектор $r_{0}$ и скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ точки в некоторый момент времени $t_{0}$; иначе говоря, заданы проекции $F_{q \sigma}$ силы в функциях выше перечисленных аргументов и координаты $q_{50}$ и их первые производные $\dot{q}_{\sigma 0}$ для некоторого значения независимого переменного $t=t_{0}$; трсбуется найти закон движения $r=r(t)$ (или, что равносильно $q_{\sigma}=q_{\sigma}(t)$, где $\sigma=1,2,3$ ). Таким образом, решение обратной задачи требует интегрирования дифференциальных уравнений движения.

91. Иітегралы дифференциальных уравнений движения. Приёмы интегрирования системы дифференциальных уравнений излагаются в курсах анализа, – мы ограничимся здесь замечаниями самого общего характера. Так как дифференциальные уравнения движения представляют

собой уравнения второго порядка относительн́ тр х х неизвестных функций $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, то самые общие выражения для искомых функций времени будут содержать шесть произвольных постоянных. Для получения таких общих выражений мы в большинстве случаев пойдём нижеследующим путём. Положим, что систему (15.3) нам удалось заменить следующей, ей равносильной (две системы уравнений мы называем равносильными тогда, когда каждая из них является следствием другой):
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \varphi_{1}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=0 \\
\frac{d}{d t} \varphi_{2}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=0 \\
\frac{d}{d t} \varphi_{3}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=0
\end{array}\right\}
\]

Последняя система в свою очередь, очевидно, равносильна следующей:
\[
\left.\begin{array}{l}
\varphi_{1}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=C_{1} \\
\varphi_{2}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=c_{2} \\
\varphi_{3}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=C_{3},
\end{array}\right\}
\]

где $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ – произвольные постоянные. Равенства (15.8) и подобные им, т. е. такие, в которых некоторая функция от времени, координат и скоростей равняется произвольному постоянному и которые справедливы в силу дифференциальных уравнений движения, носят название первых интегралов дифференциальных уравнений движения.

Допустим далее, что и систему (15.8) мы сумели свести к ей равносильной того же типа, что и система (15.7), т. е. к такой:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \psi_{1}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, C_{1}, C_{2}, C_{3}\right)=0, \\
\frac{d}{d t} \psi_{2}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, C_{1}, C_{2}, C_{3}\right)=0, \\
\frac{d}{d t} \psi_{3}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, C_{1}, C_{2}, C_{3}\right)=0 .
\end{array}
\]

Эта система равносильна следующей:
\[
\left.\begin{array}{l}
\Psi_{1}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, C_{1}, C_{2}, C_{3}\right)=C_{4}, \\
\psi_{2}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, C_{1}, C_{2}, C_{3}\right)=C_{5}, \\
\psi_{3}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, C_{1}, C_{2}, C_{3}\right)=C_{6} .
\end{array}\right\}
\]

Полученные равенства и подобные им; т. е. содержашие время, координаты, произвольные постоянные и не заключающие в себе скоростей и также справедливые в силу дифференциальных уравнений движения, носят название вторых интегралов уравнений движения. Они определяют три функции $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, зависящие от времени и от шести независимых произвольных постоянных:
\[
\left.\begin{array}{l}
q_{1}=q_{1}\left(t, C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{5}, c_{6}\right), \\
q_{2}=q_{2}\left(t, c_{1}, C_{2}, C_{3}, c_{4}, c_{5}, C_{6}\right), \\
q_{3}=q_{3}\left(t, C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, c_{5}, C_{6}\right) .
\end{array}\right\}
\]

систему шести уравнений первого порядка относительно шести неизвестных функций времени $q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}$. Интегрирование этой системы будет закончено, если нам удастся найти шесть её независимых первых интегралов
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{1}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=A_{1} \text {, } \\
\gamma_{2}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{8}\right)=A_{2} \text {, } \\
\therefore \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\gamma_{6}\left(t, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=A_{0} \text {, } \\
\end{array}
\]

где $A_{1}, \ldots, A_{6}$ – произвольные постоянные. Действительно, из написанных равенств мы тогда оіределим:
\[
\begin{array}{c}
q_{1}=f_{1}\left(t, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{6}\right), \\
q_{2}=f_{2}\left(t, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{6}\right), \\
q_{3}=f_{3}\left(t, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{6}\right), \\
\dot{q}_{1}=\varphi_{1}\left(t, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{6}\right), \\
\dot{q}_{2}=\varphi_{2}\left(t, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{6}\right), \\
\dot{q}_{3}=\varphi_{3}\left(t, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{6}\right) ;
\end{array}
\]

при этом должно оказаться; что
\[
\varphi_{1}=\frac{d f_{1}}{d t}, \quad \varphi_{2}=\frac{d f_{3}}{d t}, \quad \varphi_{3}=\frac{d f_{3}}{d t},
\]

как этого требуют уравнения (15.12).
В заключение остановимся на следующем свойстве системы дифференциальных уравнений (15.3): квадрат скорости $v^{2}$ является функцией второй степени относительно обобщённых скоростей $\dot{q}_{\sigma}$; следовательно, производные $\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{\sigma}}$ будут линейными функциями от скоростей $\dot{q}_{\sigma}$; отсюда мы делаем вывод, что левые части уравнений (15.3) содержат вторые производные лишь линейным образом.