Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
128. Дифференциальные уравнения движения частицы по кривой. Положим, что частица движется по кривой пересечения поверхностей Уравнение ее движения для общего случая нами уже найдено в $\S 121$, а именно, если $\boldsymbol{F}$ — равнодействующая приложенных к частице сил, а $N$ — реакция кривой, то при этом реакция $\boldsymbol{N}$ имеет выражение: где каждый из множителей связей $\lambda$ опрсделяется из уравнений (20.45) на стр. 195. Посмотрим теперь, как можно упростить и видоизменить уравнение движения в том случае, когда данная кривая неизменна и неподвижна, т. е. когда её уравнениями служат Прежде всего, умножив уравнение (22.3) скалярно на единичный вектор $\overline{\tau^{0}}$ касательной к траектории, находим: координатных линий, ортогональной к соответственному семейству координатных поверхностей; пусть уравненкя её будут где $a_{2}, a_{3}$ — некоторые постоянные. По свойству (22.5) реакция $N$ в проекции на ось $q_{1}$ даст нуль. Поэтому уравнения движения частицы в координатах $q_{1}, q_{2}, q_{8}$. [формулы (15.3) на стр. 138] в соответствии с уравнением (22.2) напишутся так: Движение частицы вполне определяется первым уравнением, содержащим только одну неизвестную функцию времени $q_{1}$ : величины $q_{2}$ и $q_{3}$ даны уравнениями (22.6). Интегрированиє введёт дв е произвольные постоянные, как это и следует из § 121 . Оєтальные два уравнения служат лишь для определения реакцин $N$. Можно также отнести движение частицы к осям естественного трёхгранника, т. е. к подвижным осям, имеющим начало в движущейся частице и направленным по касательной $O \tau$ к кривой, по её главной нормали $O И здесь опять первое уравнение вполне определяет движение частицы. Оно содержит одну неизвестную функцию времени, а именно, длину $s$ дуги кривой, определяющей положение частицы относительно какой-нибудь точки кривой. В отношении левой части это очевидно. В отношении правой это следует из того, что сила $\boldsymbol{F}$ является в общем случае функцией времени, положения и скорости частицы, т. е. имеет выражение поэтому в силу уравнений (22.4) связи она может рассматриваться как функция от $t, s$ и $\dot{s}$; действительно, а потому Второе и третье уравнения определяют реакцию $\boldsymbol{N}$. 129. Интеграл энергии. Закон изменения кинетической энергии частицы (§704), в случае её движения по данной кривой, согласно уравнениям (22.2) и (22.3) пишется так: С другой стороны, дифференцированием уравнений (22.1) связей мы получаем: Поэтому, вместо уравнения (22.10), мы можем написать Последние два члена выражают собой элементарную работу реакции $N$ кривой. Если кривая неизменна и неподвижна, т. е. то эта работа обраццается в нуль. Пусть, кроме того, сила $F$ не зависит явно от времени и скорости, а только от положения частицы, т. е. Тогда элементарная работа будет полным дифференциалом; действительно, на основании соотношения (22.9), имеем где Таким образом, при соблюдении двух выше указанных условий (22.12) и (22.13) мы получаем из закона изменения кинетической энергии (22.10) интеграл энергии где $h$ — произвольная постоянная. 130. Движение весомой частицы по циклоиде. Рассмотрим движение весомой частицы в вертикальной плоскости по циклоиде, обращённой вершиной вниз (фиг. 83). Поместим начало $O$ координат в вершине циклоиды, ось $O x$ направим горизонтально вправо, ось $O y$ вертикально вверх. Введём вспомогательный угол $\varphi$ между радиусом $C A$ производящего круга, направленным вертикально вниз, и радиусом $C M$, проведённым к движущейся частице $M$. Тогда, если $R$ — радиус производящего круга и при $\varphi=0$ частица $M$ находилась в начале координат, параметрические уравнения циклоиды напишутся так: Рассматриваемая кривая неподвижна, а активная сила (сила тяжести) обладает силовой функцией: Поэтому, по предыдущему параграфу, мы имеем интеграл (22.15) энергии Чтобы выразить произвольное постоянное через начальные данные, напишем последнее уравнение для начального момента; имеем Почленно вычтя равенство (22.18) нз (22.17) и сократив результат на массу, мы получаем: или Введя длину $s$ дуги кривой и преобразовав правую часть с помощью формулы синуса половинного угла, можем последнее уравнение переписать в виде С другой стороны, элемент $d s$ дуги кривой равен а так как согласно уравнениям (22.16) т. е. при извлечении корня мы берём только знак плюс, так как ограничиваемся изучением движения частицы по одной арке циклоиды, в пределах $-\pi \leqslant \varphi \leqslant \pi$. Проинтегрируем последнее уравнение, приняв за начало отсчёта дуг вершину $O$ циклоиды; мы получаем: Теперь интегралу (22.21) энергии можем дать вид или где положено Проинтегрировав это уравнение по способу, изложенному в применении к уравнению (16.10) на стр. 145, находим: где $\gamma$ — произвольная постоянная. как видим, он не зависит от начальных условий; таксго рода периодическое движение называется изохронным. Заметим также следующую особенность изучаемого движения. Пусть Тогда закон движения примет вид Следовательно, движущаяся частица достигнет вершины $O$ циклоиды (в этой точке $s=0$ ) по истечении времени $\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ от начала движения. Мы видим, что этот промежуток времени не зависит от начального положения частицы. Это свойство движения называется таутохронностью. Иначе можно сказать, что если мы поместим несколько весомых частиц в различных точках $M, M_{1}, M_{2}, \ldots$ кривой и одновременно предоставим им соскальзывать с нулевыми начальными скоростями, то все они встретятся в вершине $O$ циклоиды в один и тот же момент. С помощью вариационного исчисления можно доказать, что разобранное нами движение обладает ещё одним интересным свойством: оно брахистохронное. Это значит, что из всех кривых, соединяющих две точки, расположенные в одной вертикальной плоскости, циклоида отличается тем свойством, что падение весомой частицы по ней совершается в наикратчайшее время. Возвращаясь к общему случаю движения весомой частицы по циклоиде, определим реакцию $\boldsymbol{N}$ кривой. Для этого нужно составить второе из уравнений $(22.8)$ : Чтобы спро ектировать активную силу $\boldsymbol{F}$ (в данном случае силу тяжести $m g$ ) на главную нормаль, найдём сперва угол ( $\left.x^{0}, \tau^{0}\right)$ между осью $x$ и касательной $M \tau$ к кривой; имеем согласно выражениям (22.22) следовательно, Таков же, очевидно, угол между главной нормалью и осью $y$. Поэтому Кроме того, отсюда следует, что главная нормаль проходит через точку $P$, в которой производящая окружность касается прямой $B D$, по которой она катится. Радиус кривизны ищем по известной формуле: Выполнив вычисления, находим: Произведя соответствующие подстановки, получаем теперь из уравнения (22.24): или, вставив значение $v^{2}=\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}$ из формулы (22.21), 131. Элементарные свойства эллиптических интегралов и функций. Прежде чем перейти к решению задачи о математическом маятнике, выведем элементарным путём некоторые простейшие свойства эллиптических интегралов и функций. Интеграл где параметр $k$ — правильная положительная дробь, называется эллиптическим интегралом 1 -rо рода. Рассматривая его как функцию от верхнего предела, прежде всего замечаем, что Действительно, если для сокращения положить то можно написать: в последнем интеграле сделаем замену переменной интеграции, положив $\varphi=\pi+\theta ;$ тогда Подставив этот результат в предыдущее равенство, приходим к требуемому соотношению (22.28). и делаем в нём замену переменной, положив $9=-0$; тогда находим: что по обозначениям (22.27) и (22.29) и доказывает соотношение (22.30). откуда, по свойству (22.30), Величина $F_{k}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ носит название полного эллиптического интеграла 1-го рода и обычно обозначается буквой $K$ : Последовательно прилагая к функции $F_{k}(\$)$ формулу (22.28), легко находим: где $n$-целое число (положительное или отрицательное). На основании формулы (22.30) заключаем, что Далее видим, что когда аргумент $u$ увеличивается на $2 n K$, то, по свойству (22.32), $\psi$ увеличивается на $n$ т: На основании указанного сейчас свойства амплитуды, она относится к так называемым псевдопериодическим функциям от своего аргумента с периодом $2 K$. будут чисто периодическими функциями от $u$ : первые две с периодом $4 K$ а последняя с периодом $2 K$. Сказанное ясно из свойства (22.35). 132. Математический маятник. Задачей о математическом маятнике называется задача о движении весомой частицы $M$ по вертикальной окружности. Возьмём начало координат в центре окружности и направим ось $O y$ вертикально кверху (фиг. 84). Если радиус окружности равен $R$, то уравнение её будет: Движение определяется интегралом энергии в форме (22.19) на стр. 213: Этому интегралу мы дадим вид где Легко указать значение постояннои $\beta$. Уравнение $y=\beta$ принадлежит тому горизонтальнсму уровню, до которого поднялась бы наша весомая частица, если бы она была брошена из своего начального положения со скоростью $\boldsymbol{v}_{0}$ вертикально кверху. Действительно, если началу движения ( $y=y_{0}$ ) соответствует момент $t=0$, то уравнение прямолинейного движения частицы в этом случае было бы следующее: Отсюда проекция скорости равна следовательно, она обратится в нуль в момент $\tau=\frac{v_{0}}{g}$; а в этот момент частица и достигнет уровня Значения, принимаемые постоянной $\beta$, определяют собой характер движения частицы: как увидим, когда уровень $y=\beta$ пересекает окружность (22.36), движение колебательное; когда уровень $y=\beta$ касается окружности (22.36), движение асимптотическое; наконец, когда уровень $y=\beta$ проходит выше окружнасти (22.36), движение прогрессивное, т. е. совершается всё время в одну сторону. Разберём последовательно все эти три случая. В этом случае мы можем положить где При этом угол $\gamma$ будет тупой или острый, в зависимости от знака $\beta$. Отсюда становится ясным геометрический смысл величины $\gamma$ : это есть значение полярной координаты ч частицы при её положении на уровне $y=\beta$. Интеграл (22.37) с помощью найденного соотношения и формулы (22.39) можно переписать так: или Сопоставляя это уравнение с выражением (22.40), усматриваем, что всегда имеет место следующее соотношение: При $|\varphi|=\gamma$ производная $\frac{d \varphi}{d t}$ проходит через нуль, меняя каждый раз знак. Произведём в уравнении (22.42) замену переменной, положив где Легко указать геометрическое значение новой переменной $\psi$. Из нижней точки $A$ окружности, по которой движется частица $M$, радиусом $A P=2 R \sin \frac{\gamma}{2} \quad$ опишем — вспомогательную окружность $P B$ (фиг. 84). Уровень $P P_{1}$ будет тогда уровнем $y=\beta$; действительно. откуда следует, что в силу соотношения (22.39), это как раз то, что требовалось доказать. Возьмём, далее, произвольное положение частицы $M$ на окружности, соединим точку $M$ с верхней точкой $C$ окружности и продолжим эту прямую до встречи в точке $B$ с окружностью $P B$. Соединим точки $B$ и $A$; тогда угол $A B C$ и будет равен $\psi$ : в самом деле, угол $A C M=\frac{\varphi}{2}$, $A B=A P=2 R \sin \frac{\gamma}{2} ;$ следовательно, Дифференцированием соотношения (22.43) находим: Подставив выражения (22.43) и (22.44) в уравнение (22.42), получаем: В этом уравнении в соответствии с выражением (22.42) знак плюс слсдует брать для того промежутка времени, когда угол $\varphi$ возрастает от — $\gamma$ до $\gamma$ [в это время $\psi$, как видно из формулы (22.43), возрастает от — $\frac{\pi}{2}$ до $\left.\frac{\pi}{2}\right]$, и знак минус, когда $\varphi$ убывает от $\gamma$ до $-\gamma$ (а $\$$ соответственно убывает от $\frac{\pi}{2}$ до $-\frac{\pi}{2}$ ). Чтобы проинтегрировать это уравнение и найти закон движения частицы, рассмотрим ряд таких последовательных промежутков времени, чтобы в течение каждого из них частица двигалась в каком-либо одном направлении. Пусть и т. д. или где положено Отсюда, в частности, для момента $t_{1}$ согласно формуле (22.31) получаем соотношение Решив уравнение (22.47) относительно џ, находим согласно формуле (22.33): Переходим к следующему интервалу. $\left(t_{1}, t_{2}\right)$. Уравнение (22.45) теперь берём с минусом. Употребляя сокращённое обозначение (22.29), получаем для произвольного момента $t$ в интервале $\left(t_{1}, t_{2}\right)$ : Преобразовываем следующим образом левую и правую части этого равенства: Решив это уравнение относительно второго члена левой части, получаем на основании предыдущего: Отсюда находим: или, на основании теорем (22.35) и (22.34), Рассуждая аналогичным образом, мы бы для следующего интервала $\left(t_{2}, t_{3}\right)$ получили: и т. д. Все законы движения $(22.50),(22.51),(22.52), \ldots$ можно записать в единой форме, если вместо самой функции $\psi$ рассмотреть её синус; именно, на основании обычных тригонометрических формул приведения находим для любого момента времени $t$ : Отсюда уже нетрудно с помощью соотношения (22.43) перейти снова к полярной координате $\varphi$; получаем: Итак, движение частицы — колебательное периодическое, с амплитудой $\gamma$ для угла $\varphi$ и периодом последнее следует из формул (22.35) и (22.49). Четверть периода, очевидно, равна промежутку времени, в течение которого частица, выходящая из некоторого положения с нулевой начальной скоростью, достигает євоего равновесного положения $\varphi=0$. Формула периода показывает, что движение математического маятника не изохронное и не таутохронное: период колебания зависит от начальных условий (от $\gamma$ ). Разложим подинтегральную функцию в выражении (22.53) в ряд по формуле бинома Ньютона; примем во внимание известную формулу Вал.тиса (Wallis): тогда мы легко найдём: Как видим, движение близко к изохронному при небольших размахах, т. е. при малом $\gamma$ : тогда имеем для периода приближённую формулу: Тогда интеграл (22.37) в полярных координатах представится так: Отсюда Проинтегрировав, получаем: если моменту $t=t_{0}$ соответствует значение угла $\varphi=\varphi_{0}$. Иначе можем написать: Когда $t$ беспредельно возрастает, то при верхнем знаке угол $\varphi$ стремится к пределу $+\pi$, а при нижнем знаке к пределу $-\pi$. В обоих случаях весомая частица асимптотически приближается к верхней точке $C$ окружности (фиг. 84 на стр. 219). Так как при этом производная $\frac{d \varphi}{d t}$, являясь непрерывной функцией времени, вместе с тем не достигает нуля во время движения, то знак в уравнении (22.48) следует выбирать соответственно знаку производной $\frac{d \varphi}{d t}$ в начальный момент. В таком случае мы можем принять Интеграл (22.37) в қолярных координатах теперь будет иметь вид или если Знак в выражении (22.56) зависит лишь от знака начального значения производной $\frac{d \varphi}{d t}$ и сохраняется во всё время движения, так как $\frac{d \varphi}{d t}$ является непрерывной функцией времени, а подрадикальная величина всегда отлична от нуля. Проинтегрировав уравнение (22.56), находим согласно формуле $(22.27)$ : если $t=t_{0}$ соответствует значению $\varphi=0$. Отсюда где Так как $\frac{d \varphi}{d t}$ не меняет своего знака, движение частицы прогрессивное, т. е. идущее без остановок в одну и ту же сторону. Всю окружность точка пробегает за промежуток вреиени: это видно из последних двух равенств и из формулы (22.35). Реакцию находим по формуле где далее, вспомнив сокращённое обозначение, введённое в формуле (20.10) на стр. 187 , получаем: наконец, имеем Собрав результаты, находим: заменив здесь $v^{2}$ его значением из интеграла энергии (22.37) на стр. 217, получаем: Из интеграла (22.37) мы заключаем прежде всего, что всегда Остановимся, далее, сперва на случае, когда $\beta \Longleftarrow 0$. При этом условии согласно равенству (22.61) во всё время движения $\frac{2}{3} \beta-y \geqslant 0$. Т. е., когда маятник при своих качаниях не ставит нить выше еє горизонтального положения, $\lambda$ всегда неотрицательна, и, следовательно, частица не может сойти со связи (§120); другими словами, нить всегда натянута. Когда $\beta>0$ и при том $\frac{2}{3} \beta \geqslant R$, уровень $y=\frac{2}{3} \beta$ проходит выше окружности или касаясь её; следовательно, $y$ всегда не больше $\frac{2}{3} \beta$, а потому, как видно из выражения (22.60), $\lambda$ всегда неотрицательна, и, значит, во всё время движения нить натянута. Если окружность позволяет частице произвольно удаляться от центра, например, когда весомая частица катится по обручу с наружной стороны, то уравнение связи по условию $\S 114$ будет: Как ясно из формулы (22.59), новое значение множителя $\lambda$ будет только знаком отличаться от прежнего; т. е. теперь Следовательно, движенне частицы по связи возможно только в том слу чае, когда соблюдено условие так как, кроме того, при движении частицы по связи всегда $y \vDash R$, то Если в последнем выражении имеет место лишь знак неравенства, то уровень $y=\frac{2}{3} \beta$ пересекает окружность в некоторых точках $Q$ и $Q_{1}$ (фиг. 86). Движение возможно лишь по дуге сегмента $Q C Q_{1}$. В точках $Q$ и $Q_{1}$, когда скорость направлена книзу, весомая частица сходит со связи и дальше падает по Фиг. 86. параболе. Во всех рассмотренных случаях, когда связь находится в напряжении, реакция связи согласно формуле (22.58) по модулю равна
|
1 |
Оглавление
|