128. Дифференциальные уравнения движения частицы по кривой. Положим, что частица движется по кривой пересечения поверхностей
\[
f_{1}=(x, y, z, t)=0, \quad f_{2}(x, y, z, t)=0 .
\]

Уравнение ее движения для общего случая нами уже найдено в $\S 121$, а именно, если $\boldsymbol{F}$ – равнодействующая приложенных к частице сил, а $N$ – реакция кривой, то
\[
m w=\boldsymbol{F}+\boldsymbol{N},
\]

при этом реакция $\boldsymbol{N}$ имеет выражение:
\[
N=\lambda_{1} \operatorname{grad} f_{1}+\lambda_{2} \operatorname{grad} f_{2},
\]

где каждый из множителей связей $\lambda$ опрсделяется из уравнений (20.45) на стр. 195.

Посмотрим теперь, как можно упростить и видоизменить уравнение движения в том случае, когда данная кривая неизменна и неподвижна, т. е. когда её уравнениями служат
\[
f_{1}(x, y, z)=0, \quad f_{2}(x, y, z)=0 .
\]

Прежде всего, умножив уравнение (22.3) скалярно на единичный вектор $\overline{\tau^{0}}$ касательной к траектории, находим:
\[
\boldsymbol{N} \cdot \overline{\tau^{0}}=\lambda_{1} \operatorname{grad} f_{1} \cdot \overline{\tau^{0}}+\lambda_{2} \operatorname{grad} f_{2} \cdot \overline{\tau^{0}}=0,
\]
т. е. реакция кривой лежит в её нормальной плоскости. Выберем теперь такую систему координат $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, чтобы данная кривая была одной из

координатных линий, ортогональной к соответственному семейству координатных поверхностей; пусть уравненкя её будут
\[
q_{2}-a_{2}=0, \quad q_{3}-a_{3}=0,
\]

где $a_{2}, a_{3}$ – некоторые постоянные. По свойству (22.5) реакция $N$ в проекции на ось $q_{1}$ даст нуль. Поэтому уравнения движения частицы в координатах $q_{1}, q_{2}, q_{8}$. [формулы (15.3) на стр. 138] в соответствии с уравнением (22.2) напишутся так:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left\lvert\, \frac{m}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{1}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{1}}-\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{1}}\right]=F_{q_{1}}\right., \\
\frac{m}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{2}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{2}}-\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{2}}\right]=F_{q_{2}}+N_{q_{2}}, \\
\frac{m}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{3}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{8}}-\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{8}}\right]=F_{q_{3}}+N_{q_{3}} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Движение частицы вполне определяется первым уравнением, содержащим только одну неизвестную функцию времени $q_{1}$ : величины $q_{2}$ и $q_{3}$ даны уравнениями (22.6). Интегрированиє введёт дв е произвольные постоянные, как это и следует из § 121 . Оєтальные два уравнения служат лишь для определения реакцин $N$.

Можно также отнести движение частицы к осям естественного трёхгранника, т. е. к подвижным осям, имеющим начало в движущейся частице и направленным по касательной $O \tau$ к кривой, по её главной нормали $O
u$ и по бинормали $O \beta$. Тогда, сопоставляя уравнения (15.6) на стр. 139 с уравнением движения (22.2) настоящего параграфа, найдём:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \ddot{s} & =F_{v}, \\
m \frac{v^{2}}{\rho} & =F_{v}+N_{v}, \\
0 & =F_{3}+N_{\beta} .
\end{array}\right\}
\]

И здесь опять первое уравнение вполне определяет движение частицы. Оно содержит одну неизвестную функцию времени, а именно, длину $s$ дуги кривой, определяющей положение частицы относительно какой-нибудь точки кривой. В отношении левой части это очевидно. В отношении правой это следует из того, что сила $\boldsymbol{F}$ является в общем случае функцией времени, положения и скорости частицы, т. е. имеет выражение
\[
\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}(t, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{
abla}) ;
\]

поэтому в силу уравнений (22.4) связи она может рассматриваться как

функция от $t, s$ и $\dot{s}$; действительно,
\[
\begin{array}{l}
r=r(s), \\
v=\frac{d r}{d t}=\frac{d r}{d s} \dot{s},
\end{array}
\]

а потому
\[
\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}(t, s, \dot{s}) .
\]

Второе и третье уравнения определяют реакцию $\boldsymbol{N}$.
В том случае, если частица движется по плоской кривой и сила $F$ лежит в её плоскости, мы можем ограничиться первыми двумя уравнениями (22.8), так как третье из них в этом случае говорит лишь об очевидном факте, что вся реакция кривой идёт по главной нормали:
\[
N_{\beta}=0 .
\]

129. Интеграл энергии. Закон изменения кинетической энергии частицы (§704), в случае её движения по данной кривой, согласно уравнениям (22.2) и (22.3) пишется так:
\[
d \frac{m v^{2}}{2}=\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}+\lambda_{1} \operatorname{grad} f_{1} \cdot d \boldsymbol{r}+\lambda_{2} \operatorname{grad} f_{2} \cdot d \boldsymbol{r} .
\]

С другой стороны, дифференцированием уравнений (22.1) связей мы получаем:
\[
\boldsymbol{v} \cdot \operatorname{grad} f_{1}+\frac{\partial f_{1}}{\partial t}=0, \quad \boldsymbol{v} \cdot \operatorname{grad} f_{2}+\frac{\partial f_{2}}{\partial t}=0 .
\]

Поэтому, вместо уравнения (22.10), мы можем написать
\[
d \frac{m v^{2}}{2}=\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}-\lambda_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial t} d t-\lambda_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial t} d t .
\]

Последние два члена выражают собой элементарную работу реакции $N$ кривой. Если кривая неизменна и неподвижна, т. е.
\[
\frac{\partial f_{1}}{\partial t}=0 \text { и } \frac{\partial f_{2}}{\partial t}=0,
\]

то эта работа обраццается в нуль. Пусть, кроме того, сила $F$ не зависит явно от времени и скорости, а только от положения частицы, т. е.
\[
F=F(r) .
\]

Тогда элементарная работа будет полным дифференциалом; действительно, на основании соотношения (22.9), имеем
\[
\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}=f(s) d s=d U,
\]

где
\[
U=\int f(s) d s .
\]

Таким образом, при соблюдении двух выше указанных условий (22.12) и (22.13) мы получаем из закона изменения кинетической энергии (22.10) интеграл энергии
\[
\frac{m v^{2}}{2}=U \cdot f \cdot h,
\]

где $h$ – произвольная постоянная.

130. Движение весомой частицы по циклоиде. Рассмотрим движение весомой частицы в вертикальной плоскости по циклоиде, обращённой вершиной вниз (фиг. 83). Поместим начало $O$ координат в вершине циклоиды, ось $O x$ направим горизонтально вправо, ось $O y$ вертикально вверх. Введём вспомогательный угол $\varphi$ между радиусом $C A$ производящего круга, направленным вертикально вниз, и радиусом $C M$, проведённым к движущейся частице $M$. Тогда, если $R$ – радиус производящего круга и при $\varphi=0$ частица $M$ находилась в начале координат, параметрические уравнения циклоиды напишутся так:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=R(\varphi+\sin \varphi), \\
y=R(1-\cos \varphi) .
\end{array}\right\}
\]

Рассматриваемая кривая неподвижна, а активная сила (сила тяжести) обладает силовой функцией:
\[
U=-m g y+\text { const. }
\]

Поэтому, по предыдущему параграфу, мы имеем интеграл (22.15) энергии
\[
\frac{m v^{2}}{2}=-m g y+h .
\]

Чтобы выразить произвольное постоянное через начальные данные, напишем последнее уравнение для начального момента; имеем
\[
\frac{m v_{0}^{2}}{2}=-m g y_{0}+h .
\]

Почленно вычтя равенство (22.18) нз (22.17) и сократив результат на массу, мы получаем:
\[
v^{2}=v_{0}^{2}-2 g\left(y-y_{0}\right),
\]

или
\[
v^{2}=v_{0}^{2}+2 g R\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right) .
\]

Введя длину $s$ дуги кривой и преобразовав правую часть с помощью формулы синуса половинного угла, можем последнее уравнение переписать в виде
\[
\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=v_{0}^{2}+4 g R\left(\sin ^{2} \frac{\varphi_{0}}{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}\right) .
\]

С другой стороны, элемент $d s$ дуги кривой равен
\[
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2} ;
\]

а так как согласно уравнениям (22.16)
\[
\begin{array}{l}
d x=R(1+\cos \varphi) d \varphi, \quad d y=R \sin \varphi d \varphi, \\
d s=2 R^{2}(1+\cos \varphi) d \varphi^{2}=4 R^{2} \cos ^{2} \frac{\varphi}{2} d \varphi^{2},
\end{array}
\]

т. е.
\[
d s=2 R \cos \frac{\varphi}{2} d \varphi ;
\]

при извлечении корня мы берём только знак плюс, так как ограничиваемся изучением движения частицы по одной арке циклоиды, в пределах $-\pi \leqslant \varphi \leqslant \pi$. Проинтегрируем последнее уравнение, приняв за начало отсчёта дуг вершину $O$ циклоиды; мы получаем:
\[
s=4 R \sin \frac{\varphi}{2} .
\]

Теперь интегралу (22.21) энергии можем дать вид
\[
\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=v_{0}^{2}+\frac{g}{4 R}\left(s_{0}^{2}-s^{2}\right),
\]

или
\[
\frac{d s}{\sqrt{\sigma^{2}-s^{2}}}= \pm \sqrt{\frac{g}{4 R}} d t,
\]

где положено
\[
\sigma^{2}=s_{0}^{2}+\frac{4 R v_{0}^{2}}{g} .
\]

Проинтегрировав это уравнение по способу, изложенному в применении к уравнению (16.10) на стр. 145, находим:
\[
s=\sigma \sin \left(\sqrt{\frac{g}{4 R}} t+\gamma\right),
\]

где $\gamma$ – произвольная постоянная.
Движение частицы по циклоиде, оказывается, является гармоническим колебательным движением; амплитуда колебания равна $\sigma$; период колебаний. равен
\[
\tau=4 \pi \sqrt{\frac{\bar{R}}{g}}
\]

как видим, он не зависит от начальных условий; таксго рода периодическое движение называется изохронным. Заметим также следующую особенность изучаемого движения. Пусть
\[
s_{0}>0, \quad \boldsymbol{v}_{0}=0 .
\]

Тогда закон движения примет вид
\[
s=s_{0} \cos \left(\sqrt{\frac{\bar{g}}{4 R}} t\right) .
\]

Следовательно, движущаяся частица достигнет вершины $O$ циклоиды (в этой точке $s=0$ ) по истечении времени $\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ от начала движения. Мы видим, что этот промежуток времени не зависит от начального положения частицы. Это свойство движения называется таутохронностью. Иначе можно сказать, что если мы поместим несколько весомых частиц в различных точках $M, M_{1}, M_{2}, \ldots$ кривой и одновременно предоставим им соскальзывать с нулевыми начальными скоростями, то все они встретятся в вершине $O$ циклоиды в один и тот же момент.

С помощью вариационного исчисления можно доказать, что разобранное нами движение обладает ещё одним интересным свойством: оно брахистохронное. Это значит, что из всех кривых, соединяющих две точки, расположенные в одной вертикальной плоскости, циклоида отличается тем свойством, что падение весомой частицы по ней совершается в наикратчайшее время.

Возвращаясь к общему случаю движения весомой частицы по циклоиде, определим реакцию $\boldsymbol{N}$ кривой. Для этого нужно составить второе из уравнений $(22.8)$ :
\[
m \frac{v^{2}}{\rho}=F_{v}+N_{v} .
\]

Чтобы спро ектировать активную силу $\boldsymbol{F}$ (в данном случае силу тяжести $m g$ ) на главную нормаль, найдём сперва угол ( $\left.x^{0}, \tau^{0}\right)$ между осью $x$ и касательной $M \tau$ к кривой; имеем согласно выражениям (22.22)
\[
\operatorname{tg}\left(\boldsymbol{x}^{0}, \overline{\tau^{0}}\right)=\frac{d y}{d x}=\frac{\sin \varphi}{1+\cos \varphi}=\operatorname{tg} \frac{\varphi}{2} ;
\]

следовательно,
\[
\left(\widehat{x^{0}, \overrightarrow{\tau^{0}}}\right)=\frac{\varphi}{2} .
\]

Таков же, очевидно, угол между главной нормалью и осью $y$. Поэтому
\[
F_{v}=-m g \cos \frac{\varphi}{2} \text {. }
\]

Кроме того, отсюда следует, что главная нормаль проходит через точку $P$, в которой производящая окружность касается прямой $B D$, по которой она катится. Радиус кривизны ищем по известной формуле:
\[
\rho=\frac{\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)^{2}}{|\dot{x} y-\dot{y} \dot{x}|} .
\]

Выполнив вычисления, находим:
\[
p=4 R \cos \frac{\varphi}{2},
\]
T. e.
\[
\rho=M E=2 M P .
\]

Произведя соответствующие подстановки, получаем теперь из уравнения (22.24):
\[
N=m g \cos \frac{\varphi}{2}+\frac{m v^{2}}{4 R \cos \frac{\varphi}{2}},
\]

или, вставив значение $v^{2}=\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}$ из формулы (22.21),
\[
N=\frac{m\left(4 g R \cos ^{2} \frac{\varphi_{0}}{2}+v_{0}^{2}\right)}{4 R \cos \frac{\varphi}{2}} .
\]

131. Элементарные свойства эллиптических интегралов и функций. Прежде чем перейти к решению задачи о математическом маятнике, выведем элементарным путём некоторые простейшие свойства эллиптических интегралов и функций. Интеграл
\[
u=F_{k}(\psi)=\int_{0}^{\psi} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}},
\]

где параметр $k$ – правильная положительная дробь, называется эллиптическим интегралом 1 -rо рода. Рассматривая его как функцию от верхнего предела, прежде всего замечаем, что
\[
F_{k}(\psi+\pi)=F_{k}(\psi)+F_{k}(\pi) .
\]

Действительно, если для сокращения положить
\[
\Delta^{\prime} \rho=\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}
\]

то можно написать:
\[
\int_{0}^{+\pi} \frac{d \varphi}{\Delta \varphi}=\int_{0}^{\pi} \frac{d \varphi}{\Delta \varphi}+\int_{\pi}^{+\pi} \frac{d \varphi}{\Delta \varphi} ;
\]

в последнем интеграле сделаем замену переменной интеграции, положив $\varphi=\pi+\theta ;$ тогда
\[
\int_{\pi}^{\pi+\psi} \frac{d \varphi}{\Delta \varphi}=\int_{0}^{\psi} \frac{d 0}{\Delta \theta} .
\]

Подставив этот результат в предыдущее равенство, приходим к требуемому соотношению (22.28).
Докажем, далее, что
\[
F_{k}(-\psi)=-F(\psi)
\]
т. е. что функция $F_{k}$ – нечётная относительно аргумента $\varphi$. Берём интеграл
\[
\int_{0}^{-\psi} \frac{d \varphi}{\Delta ?}
\]

и делаем в нём замену переменной, положив $9=-0$; тогда находим:
\[
\int_{0}^{-\psi} \frac{d \varphi}{\Delta \varphi}=-\int_{0}^{\psi} \frac{d \theta}{\Delta \theta},
\]

что по обозначениям (22.27) и (22.29) и доказывает соотношение (22.30).
Дадим теперь в формуле (22.30) ,аргументу $\$$ значение $-\frac{\pi}{2}$; получаем:
\[
F_{k}\left(\frac{\pi}{2}\right)=F_{k}\left(-\frac{\pi}{2}\right)+F_{k}(\pi),
\]

откуда, по свойству (22.30),
\[
F_{k}(\pi)=2 F_{k}\left(\frac{\pi}{2}\right) .
\]

Величина $F_{k}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ носит название полного эллиптического интеграла 1-го рода и обычно обозначается буквой $K$ :
\[
K=F_{k}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}} .
\]

Последовательно прилагая к функции $F_{k}(\$)$ формулу (22.28), легко находим:
\[
F_{k}(\psi+n \pi)=F_{k}(\psi)+2 n K,
\]

где $n$-целое число (положительное или отрицательное).
Обратимся снова к равенству (22.27). Верхний предел $\psi$ интеграла, рассматриваемый как функция от самого значения интеграла $u=F_{k}$, носит название амплитуды и обозначается так:
\[
\psi=\operatorname{am}\left(F_{k}\right)=\operatorname{am} u .
\]

На основании формулы (22.30) заключаем, что
\[
\operatorname{am}(-u)=-\operatorname{am} u \text {. }
\]

Далее видим, что когда аргумент $u$ увеличивается на $2 n K$, то, по свойству (22.32), $\psi$ увеличивается на $n$ т:
\[
\operatorname{am}(u+2 n K)=\operatorname{am} u+n \pi .
\]

На основании указанного сейчас свойства амплитуды, она относится к так называемым псевдопериодическим функциям от своего аргумента с периодом $2 K$.
Функции
\[
\begin{aligned}
\sin \psi & =\sin \text { am } u, \\
\cos \psi & =\cos \text { am } u, \\
\Delta \psi & =\Delta \mathrm{am} u=\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \mathrm{am} u}
\end{aligned}
\]

будут чисто периодическими функциями от $u$ : первые две с периодом $4 K$ а последняя с периодом $2 K$. Сказанное ясно из свойства (22.35).

132. Математический маятник. Задачей о математическом маятнике называется задача о движении весомой частицы $M$ по вертикальной окружности. Возьмём начало координат в центре окружности и направим ось $O y$ вертикально кверху (фиг. 84). Если радиус окружности равен $R$, то уравнение её будет:
\[
x^{2}+y^{2}-R^{2}=0 .
\]

Движение определяется интегралом энергии в форме (22.19) на стр. 213:
\[
v^{2}=v_{0}^{2}+2 g y_{0}-2 g y .
\]

Этому интегралу мы дадим вид
\[
v^{2}=2 g(\beta-y),
\]

где
\[
\beta=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2 g} \text {. }
\]

Легко указать значение постояннои $\beta$. Уравнение $y=\beta$ принадлежит тому горизонтальнсму уровню, до которого поднялась бы наша весомая частица, если бы она была брошена из своего начального положения со скоростью $\boldsymbol{v}_{0}$ вертикально кверху. Действительно, если началу движения ( $y=y_{0}$ ) соответствует момент $t=0$, то уравнение прямолинейного движения частицы в этом случае было бы следующее:
\[
y=y_{0}+v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2} .
\]

Отсюда проекция скорости равна
\[
v_{y}=\dot{y}=v_{0}-g t ;
\]

следовательно, она обратится в нуль в момент $\tau=\frac{v_{0}}{g}$; а в этот момент частица и достигнет уровня
\[
y=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=\beta .
\]

Значения, принимаемые постоянной $\beta$, определяют собой характер движения частицы: как увидим, когда уровень $y=\beta$ пересекает окружность (22.36), движение колебательное; когда уровень $y=\beta$ касается окружности (22.36), движение асимптотическое; наконец, когда уровень $y=\beta$ проходит выше окружнасти (22.36), движение прогрессивное, т. е. совершается всё время в одну сторону. Разберём последовательно все эти три случая.
1. Уровень $y=\beta$ пересечёт окружность (22.36), если
\[
|\beta|<R \text {. }
\]

В этом случае мы можем положить
\[
\beta=-R \cos \gamma
\]

где
\[
0<\gamma<\pi \text {. }
\]

При этом угол $\gamma$ будет тупой или острый, в зависимости от знака $\beta$.
Введём полярные координаты $\rho$ и $\varphi$, приняв за полярную ось вертикаль, опущенную из центра окружности вниз. Тогда будем иметь:
\[
y=-R \cos \varphi \text {. }
\]

Отсюда становится ясным геометрический смысл величины $\gamma$ : это есть значение полярной координаты ч частицы при её положении на уровне $y=\beta$. Интеграл (22.37) с помощью найденного соотношения и формулы (22.39) можно переписать так:
\[
R^{2}\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}=2 g R(\cos \varphi-\cos \gamma)
\]

или
\[
\frac{d \varphi}{d t}= \pm 2 \sqrt{\frac{g}{R}\left(\sin ^{2} \frac{\gamma}{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}\right)} .
\]

Сопоставляя это уравнение с выражением (22.40), усматриваем, что всегда имеет место следующее соотношение:
\[
|\varphi| \leqslant \gamma<\pi \text {. }
\]

При $|\varphi|=\gamma$ производная $\frac{d \varphi}{d t}$ проходит через нуль, меняя каждый раз знак.

Произведём в уравнении (22.42) замену переменной, положив
\[
\sin \frac{\varphi}{2}=\sin \frac{\gamma}{2} \sin \psi
\]

где
\[
|\psi| \leqslant \frac{\pi}{2} .
\]

Легко указать геометрическое значение новой переменной $\psi$. Из нижней точки $A$ окружности, по которой движется частица $M$, радиусом $A P=2 R \sin \frac{\gamma}{2} \quad$ опишем – вспомогательную окружность $P B$ (фиг. 84). Уровень $P P_{1}$ будет тогда уровнем $y=\beta$; действительно.
\[
\sin \frac{\angle A O P}{2}=\frac{\frac{A P}{2}}{A O}=\frac{R \sin \frac{\gamma}{2}}{R}=\sin \frac{\gamma}{2},
\]

откуда следует, что
\[
\angle A O P=\gamma:
\]

в силу соотношения (22.39), это как раз то, что требовалось доказать. Возьмём, далее, произвольное положение частицы $M$ на окружности, соединим точку $M$ с верхней точкой $C$ окружности и продолжим эту прямую до встречи в точке $B$ с окружностью $P B$. Соединим точки $B$ и $A$; тогда угол $A B C$ и будет равен $\psi$ : в самом деле, угол $A C M=\frac{\varphi}{2}$, $A B=A P=2 R \sin \frac{\gamma}{2} ;$ следовательно,
\[
\sin \angle A B C=\sin \frac{\varphi}{2} \cdot \frac{A C}{A \bar{B}}=\frac{\sin \frac{\varphi}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}}=\sin \psi .
\]

Дифференцированием соотношения (22.43) находим:
\[
d \varphi=\frac{2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \phi}{\cos \frac{\varphi}{2}} d \psi \text {. }
\]

Подставив выражения (22.43) и (22.44) в уравнение (22.42), получаем:
\[
\frac{d \psi}{ \pm \sqrt{1-\sin ^{2} \frac{\gamma}{2} \sin ^{2} \psi}}=\sqrt{\frac{g}{R}} d t .
\]

В этом уравнении в соответствии с выражением (22.42) знак плюс слсдует брать для того промежутка времени, когда угол $\varphi$ возрастает от

– $\gamma$ до $\gamma$ [в это время $\psi$, как видно из формулы (22.43), возрастает от – $\frac{\pi}{2}$ до $\left.\frac{\pi}{2}\right]$, и знак минус, когда $\varphi$ убывает от $\gamma$ до $-\gamma$ (а $\$$ соответственно убывает от $\frac{\pi}{2}$ до $-\frac{\pi}{2}$ ).

Чтобы проинтегрировать это уравнение и найти закон движения частицы, рассмотрим ряд таких последовательных промежутков времени, чтобы в течение каждого из них частица двигалась в каком-либо одном направлении. Пусть
\[
\begin{array}{l}
\text { в момент } t_{0} \text { имеем } \psi=0 \text {, } \\
\text { ” } t_{1} \” \psi=\frac{\pi}{2} \text {, } \\
\text { » } t_{2} \text { » } \psi=-\frac{\pi}{2} \text {, } \\
\text { » } t_{3} \gg \psi=\frac{\pi}{2} \text {, } \\
\end{array}
\]

и т. д.
Для промежутка $\left(t_{0}, t_{1}\right)$ уравнение (22.45) нужно взять с плюсом. Интегрируя левую и правую части между соответствующими друг другу пределами $(0, \psi)$ и $\left(t_{0}, t\right)$, получаем, употребляя обозначение (22.45):
\[
F_{k}(\psi)=\sqrt{\frac{g}{R}}\left(t-t_{0}\right),
\]

или
\[
F_{k}(\psi)=u,
\]

где положено
\[
k=\sin \frac{\gamma}{2} \text { и } \sqrt{\frac{g}{R}}\left(t-t_{0}\right)=u .
\]

Отсюда, в частности, для момента $t_{1}$ согласно формуле (22.31) получаем соотношение
\[
K=\sqrt{\frac{g}{R}}\left(t_{1}-t_{0}\right) .
\]

Решив уравнение (22.47) относительно џ, находим согласно формуле (22.33):
\[
\psi=\operatorname{am} u .
\]

Переходим к следующему интервалу. $\left(t_{1}, t_{2}\right)$. Уравнение (22.45) теперь берём с минусом. Употребляя сокращённое обозначение (22.29), получаем для произвольного момента $t$ в интервале $\left(t_{1}, t_{2}\right)$ :
\[
-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\phi} \frac{d \phi}{\Delta \psi}=\sqrt{\frac{g}{R}}\left(t-t_{1}\right) .
\]

Преобразовываем следующим образом левую и правую части этого равенства:
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{\Delta \psi}-\int_{0}^{\phi} \frac{d \psi}{\Delta \psi}=\sqrt{\frac{\bar{g}}{R}}\left(t-t_{0}\right)-\sqrt{\frac{\bar{g}}{R}}\left(t_{1}-t_{0}\right) .
\]

Решив это уравнение относительно второго члена левой части, получаем на основании предыдущего:

Отсюда находим:
\[
\begin{array}{l}
F_{k}(\phi)=-u+2 K . \\
\psi=\operatorname{am}(-u+2 K),
\end{array}
\]

или, на основании теорем (22.35) и (22.34),
\[
\psi=-\mathrm{am} u+\pi
\]

Рассуждая аналогичным образом, мы бы для следующего интервала $\left(t_{2}, t_{3}\right)$ получили:
\[
\psi=\operatorname{am} u-2 \pi
\]

и т. д. Все законы движения $(22.50),(22.51),(22.52), \ldots$ можно записать в единой форме, если вместо самой функции $\psi$ рассмотреть её синус; именно, на основании обычных тригонометрических формул приведения находим для любого момента времени $t$ :
\[
\sin \psi=\sin \text { am } u \text {. }
\]

Отсюда уже нетрудно с помощью соотношения (22.43) перейти снова к полярной координате $\varphi$; получаем:
\[
\sin \frac{\varphi}{2}=\sin \frac{\varphi}{2} \cdot \sin \text { am } u .
\]

Итак, движение частицы – колебательное периодическое, с амплитудой $\gamma$ для угла $\varphi$ и периодом
\[
\tau=4 \sqrt{\frac{\bar{R}}{g}} K=4 \sqrt{\frac{R}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{\sqrt{1-\sin ^{2} \frac{\gamma}{2} \cdot \sin ^{2} \psi}} ;
\]

последнее следует из формул (22.35) и (22.49). Четверть периода, очевидно, равна промежутку времени, в течение которого частица, выходящая из некоторого положения с нулевой начальной скоростью, достигает євоего равновесного положения $\varphi=0$. Формула периода показывает, что движение математического маятника не изохронное и не таутохронное: период колебания зависит от начальных условий (от $\gamma$ ).

Разложим подинтегральную функцию в выражении (22.53) в ряд по формуле бинома Ньютона; примем во внимание известную формулу Вал.тиса (Wallis):
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 k} \varphi \cdot d \cdot=\frac{1 \cdot 3 \ldots(2 k-1)}{2 \cdot 4 \ldots 2 k} \cdot \frac{\pi}{2},
\]

тогда мы легко найдём:
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}\left[1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \sin ^{2} \frac{\gamma}{2}+\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^{2} \sin ^{4} \frac{\gamma}{2}+\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^{2} \sin ^{6} \frac{\gamma}{2}+\ldots\right] .
\]

Как видим, движение близко к изохронному при небольших размахах, т. е. при малом $\gamma$ : тогда имеем для периода приближённую формулу:
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} .
\]
2. Уровень $y=\beta$ коснется окружности (22.36), если
\[
\beta=R \text {. }
\]

Тогда интеграл (22.37) в полярных координатах представится так:
\[
\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}=\frac{2 g}{R}(1+\cos \varphi)=\frac{4 g}{R} \cos ^{2} \frac{\varphi}{2} .
\]

Отсюда
\[
\frac{d \frac{\varphi}{2}}{\cos \frac{\varphi}{2}}= \pm \sqrt{\frac{\bar{g}}{R}} d t .
\]

Проинтегрировав, получаем:
\[
\ln \left|\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi-\varphi}{4}}{\operatorname{tg} \frac{\pi-\varphi_{0}}{4}}\right|=\mp \sqrt{\frac{\bar{g}}{R}}\left(t-t_{0}\right),
\]

если моменту $t=t_{0}$ соответствует значение угла $\varphi=\varphi_{0}$. Иначе можем написать:
\[
\left|\operatorname{tg} \frac{\pi-\varphi}{4}\right|=\left|\operatorname{tg} \frac{\pi-\varphi_{0}}{4}\right| e^{\mp\left(t-t_{0}\right) \sqrt{\frac{g}{R}}} .
\]

Когда $t$ беспредельно возрастает, то при верхнем знаке угол $\varphi$ стремится к пределу $+\pi$, а при нижнем знаке к пределу $-\pi$. В обоих случаях весомая частица асимптотически приближается к верхней точке $C$ окружности (фиг. 84 на стр. 219). Так как при этом производная $\frac{d \varphi}{d t}$, являясь непрерывной функцией времени, вместе с тем не достигает нуля во время движения, то знак в уравнении (22.48) следует выбирать соответственно знаку производной $\frac{d \varphi}{d t}$ в начальный момент.
3. Уровень $y=\beta$ пройєєт выше окружности (22.36), когда
\[
\beta>R \text {. }
\]

В таком случае мы можем принять
\[
\beta=R\left(1+2 \varepsilon^{2}\right) .
\]

Интеграл (22.37) в қолярных координатах теперь будет иметь вид
\[
\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}=\frac{2 g}{R}\left(\cos \varphi+1+2 \hat{\varepsilon}^{2}\right)=\frac{4 g}{R}\left(1+\varepsilon^{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}\right),
\]

или
\[
\frac{1}{2} \frac{d \varphi}{d t}= \pm \frac{1}{k} \sqrt{\frac{g}{R}} \cdot \sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}},
\]

если
\[
k^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}} .
\]

Знак в выражении (22.56) зависит лишь от знака начального значения производной $\frac{d \varphi}{d t}$ и сохраняется во всё время движения, так как $\frac{d \varphi}{d t}$ является непрерывной функцией времени, а подрадикальная величина всегда отлична от нуля.

Проинтегрировав уравнение (22.56), находим согласно формуле $(22.27)$ :
\[
F_{k}\left(\frac{\varphi}{2}\right)= \pm \frac{1}{k} \sqrt{\frac{g}{R}}\left(t-t_{0}\right),
\]

если $t=t_{0}$ соответствует значению $\varphi=0$. Отсюда
\[
\varphi=2 \mathrm{am} u \text {, }
\]

где
\[
u= \pm \frac{1}{k} \sqrt{\frac{g}{R}}\left(t-t_{0}\right)
\]

Так как $\frac{d \varphi}{d t}$ не меняет своего знака, движение частицы прогрессивное, т. е. идущее без остановок в одну и ту же сторону. Всю окружность точка пробегает за промежуток вреиени:

это видно из последних двух равенств и из формулы (22.35).
Займёмся теперь определением величины реакции окружности на частицу. Положим сначала, что, например, маятник представляет собой весомую частицу, подвешенную на нити. Тогда уравнение рассматриваемой неудерживающей связи согласно ус.овию о написании знака неравенства, установленному в $\S 114$, будет
\[
f=R^{2}-x^{2}-y^{2}>0 .
\]

Реакцию находим по формуле
\[
N=\lambda \operatorname{grad} f
\]

где
\[
\lambda=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot F+m D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|^{2}}
\]
[см. выражение (20.27) на стр. 190]. Выполняя вычисления, имеем
\[
\begin{aligned}
\operatorname{grad} f & =-2 x x^{0}-2 y y^{0}, \\
|\operatorname{grad} f| & =2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2 R
\end{aligned}
\]

далее, вспомнив сокращённое обозначение, введённое в формуле (20.10) на стр. 187 , получаем:
\[
D_{2} f=-2 \dot{x}^{2}-2 \dot{y}^{2}=-2 v^{2} ;
\]

наконец, имеем
\[
\operatorname{grad} f \cdot F=-m g \cdot(-2 y)=2 m g y .
\]

Собрав результаты, находим:
\[
\lambda=\frac{m}{2 R^{2}}\left(-g y+v^{2}\right) ;
\]

заменив здесь $v^{2}$ его значением из интеграла энергии (22.37) на стр. 217, получаем:
\[
\lambda=\frac{3 m g}{2 R^{2}}\left(\frac{2}{3} \beta-y\right) \text {. }
\]

Из интеграла (22.37) мы заключаем прежде всего, что всегда
\[
y \leqslant \beta .
\]

Остановимся, далее, сперва на случае, когда $\beta \Longleftarrow 0$. При этом условии согласно равенству (22.61) во всё время движения $\frac{2}{3} \beta-y \geqslant 0$. Т. е., когда маятник при своих качаниях не ставит нить выше еє горизонтального положения, $\lambda$ всегда неотрицательна, и, следовательно, частица не может сойти со связи (§120); другими словами, нить всегда натянута.
Когда $\beta>0$, но $\frac{2}{3} \beta<R$, уровень $y=\frac{2}{3} \beta$ (фиг. 85) пересекает окружность в некоторых точках $P$ и $P_{1}$. Лишь только весомая частица в своём движении дойдёт до одной из этих точек, $\lambda$ обращается в нуль и при дальнейшем двнжении станоФиг. 85. вится отрицательной; следовательно, здесь нить ослабляется, а частица сходит со связи и движется по параболе $P Q$, пока в точке $Q$ снова не придёт на связь.

Когда $\beta>0$ и при том $\frac{2}{3} \beta \geqslant R$, уровень $y=\frac{2}{3} \beta$ проходит выше окружности или касаясь её; следовательно, $y$ всегда не больше $\frac{2}{3} \beta$, а потому, как видно из выражения (22.60), $\lambda$ всегда неотрицательна, и, значит, во всё время движения нить натянута.

Если окружность позволяет частице произвольно удаляться от центра, например, когда весомая частица катится по обручу с наружной стороны, то уравнение связи по условию $\S 114$ будет:
\[
x^{2}+y^{2}-R^{2}>0 \text {. }
\]

Как ясно из формулы (22.59), новое значение множителя $\lambda$ будет только знаком отличаться от прежнего; т. е. теперь
\[
\lambda=\frac{3 m g}{2 R^{2}}\left(y-\frac{2}{3} \beta\right) .
\]

Следовательно, движенне частицы по связи возможно только в том слу

чае, когда соблюдено условие
\[
y \geqslant \frac{2}{3} \beta ;
\]

так как, кроме того, при движении частицы по связи всегда $y \vDash R$, то
\[
\frac{2}{3} \beta<R \text {. }
\]

Если в последнем выражении имеет место лишь знак неравенства, то уровень $y=\frac{2}{3} \beta$ пересекает окружность в некоторых точках $Q$ и $Q_{1}$ (фиг. 86). Движение возможно лишь по дуге сегмента $Q C Q_{1}$. В точках $Q$ и $Q_{1}$, когда скорость направлена книзу, весомая частица сходит со связи и дальше падает по Фиг. 86. параболе.

Во всех рассмотренных случаях, когда связь находится в напряжении, реакция связи согласно формуле (22.58) по модулю равна
\[
N=\frac{3 m g}{R}\left|\frac{2}{3} \beta-y\right| \text {. }
\]