313. Действие ударных сил на твёрдое тело. Применим к твёрдому телу, подвергающемуся действию ударных сил, закон изменения количества движения [формула (56.50) на стр. 629] и закон изменения кинетического момента относительно произвольного (неподвижного или подвижного) центра [формула (56.52) на стр. 630]; мы получим:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{K}_{2}-\boldsymbol{K}_{0}=\boldsymbol{F}_{02}+\boldsymbol{R}_{02}, \\
\boldsymbol{G}_{2}-\boldsymbol{G}_{0}=\dot{\boldsymbol{L}}_{02}+\ddot{H}_{02} .
\end{array}
\]

Написанные равенства можно было бы получить также из принципа Даламоера (§ 310 ). Действительно, заиенив связи реакциями, тело можно рассматривать как свободное, поэтому для виртуальных перемещений его

частиц можно взять выражение (36.49) на стр. 387: его следует подставить в равенство (56.5ј) на стр. 632 и затем приравнять нулю коэффициенты при независимых вариациях $\delta r_{A}$ и $\delta \alpha$.
Уравнение (57.1) можно предстазить в виде
\[
M\left(\boldsymbol{v}_{C 2}-\boldsymbol{v}_{C 0}\right)=F_{02}+R_{02},
\]

где $M$-масса твёрдого тела, а $\boldsymbol{v}_{C 0}$ и $\boldsymbol{v}_{C 9}$ – скорости центра масс в начале и в конце удара. Уравнения (57.3) и (57.2) нетрудно записать в проекциях на оси декартовых кординат; отбросив для упрощения письма индексы 02 у импульсов и обозначив через $\bar{\omega}_{0}$ и $\bar{\omega}_{2}$ угловые скорости тела в начале и конце удара, мы по формулам (46.6) на стр. 509 найдем:
\[
\left.\begin{array}{r}
M\left(\dot{x}_{C 2}-\dot{x}_{C 0}\right)=F_{x}+R_{x}, M\left(\dot{y}_{c 2}-\dot{y}_{C 0}\right)=F_{y}+R_{y}, \\
M\left(\dot{z}_{C 2}-\dot{z}_{c 0}\right)=F_{z}+R_{z} ; \\
J_{x x}\left(\omega_{2 x}-\omega_{0 x}\right)-J_{x y}\left(\omega_{2 y}-\omega_{0 y}\right)-J_{x z}\left(\omega_{2 z}-\omega_{0 z}\right)=L_{x}+H_{x}, \\
-J_{y x}\left(\omega_{2 x}-\omega_{0 x}\right)+J_{y y}\left(\omega_{y y}-\omega_{0 y}\right)-J_{y z}\left(\omega_{2 z}-\omega_{0 z}\right)=\dot{L}_{y}+\dot{H}_{y}, \\
-J_{z x}\left(\omega_{2 x}-\omega_{0 x}\right)-J_{z y}\left(\omega_{2 y}-\omega_{0 y}\right)+J_{z z}\left(\omega_{2 z}-\omega_{0 z}\right)=\dot{L}_{z}+\dot{H}_{z} .
\end{array}\right\}
\]

По уравнениям (57.4) определяется приращение поступательной скорости тела $\Delta \boldsymbol{v}_{C}=\boldsymbol{v}_{C 2}-\boldsymbol{v}_{C 0}$; уравнения же (57.5) служат для нахождения приращения его угловой скорости $\Delta \bar{\omega}=\bar{\omega}_{2}-\bar{\omega}_{0}$.

Рассмотрим подробнее свободное твёрдое тело. Возьмём за полюс центр масс $C$ и направим оси координат по главным центральным осям инерции тела ( $\S 154$ ). Тогда уравнения (57.5) примут следующий вид:
\[
J_{x \gamma}\left(\omega_{2 x}-\omega_{0 x}\right)=L_{x}, \quad J_{y y}\left(\omega_{2 y}-\omega_{0 y}\right)=L_{y}, \quad J_{z z}\left(\omega_{2 z}-\omega_{0 z}\right)=L_{z} .
\]
$У_{\text {равнением }}$ прямой, служащей основанием вектора $\Delta \bar{\omega}$, очевидно, будет
\[
\frac{x}{\omega_{2 x}-\omega_{0 x}}=\frac{y}{\omega_{2 y}-\omega_{1 y}}=\frac{z}{\omega_{2 z}-\omega_{0 z}} .
\]

Рассмотрим центральный эллипсоид инерции тела. Согласно формуле ( $\angle 6.12$ ) на стр. 257 уго уравнение напишется так:
\[
J_{x x} x^{2}+J_{v y} y^{2}+J_{z z} z^{2}=l^{2} .
\]

Определим направление нормали, проведённой к этому эллипсоиду в точке его пересечения с прямой (57.7); назвав $\alpha, \beta, \gamma$ направляющие косинусы этой нормали, мы получим:
\[
\alpha: \beta: \gamma=J_{x x} x: J_{y v} y: J_{z z} z=J_{x x}\left(\omega_{2 x}-\omega_{0 x}\right): J_{y y}\left(\omega_{2 y}-\omega_{0 y}\right): J_{z z}\left(\omega_{2 z}-\omega_{0 z}\right) .
\]

Сопоставив эту формулу с уравеннями (57.6), мы приходим к такому результату:
\[
\alpha: \beta: \gamma=L_{x}: L_{y}: L_{z} .
\]

Отсюда мы получаем следующую геометрическую картину движения: если к центральному эллипсоиду инерции провести касательную плоскость, перпендикулярную к направлению главного момента импульсов относительно

центра поверхности, то радиус-вектор то’тк касания будет параллелен приращению $\Delta \bar{\omega}$ мгновенной угловой скорости тела. Особенно надо отметить тот случай, когда первоначальюо тело было в покое; тогда предыдущее построение заменяется следующим: если на покоящееся твёрдое тело подействовали некоторые импульсы, то оно в своём движения около центра масс начнёт вращаться вокруг радиуса-вектора той точки шентрального эллипсоида инерции, в которой касательная к поверхности плоскость перпендикулярна к главному моменту импульсов относительно центра масс тела.
Связь указанного построения с той геометрической картиной, которую дал Пуансо для эйлерова случая движения твёрдого тела, ясна сама собою.

314. Центр удара. Пусть на покоящееся твёрдое тело массы $M$ с закреплёнными точками $O$ и $O^{\prime}$ поФиг. 155. действовал импульс $\boldsymbol{F}$, приложенный

к точке $A$ (фиг. 155). Составим уравнения, определяющие импульсивные реакции $\boldsymbol{N}$ и $\boldsymbol{N}^{\prime}$ точек $O$ и $O^{\prime}$. Поместим начало координат в точке $O$, т. е. в одной из закреплённых точек, ось $O z$ направим по оси вращения $O O^{\prime}$, а ось $O x$ параллельно кратчайшему расстоянию $B_{0} A_{0}$ между осью вращения и приложенным импульсом. Расстояние $O O^{\prime}$ обозначим $l$, а скорость центра масс и угловую скорость тела в конце удара назовём соответственно $\boldsymbol{v}_{C}$ и $\bar{\omega}$. По формулам (9.15) на стр. 87 мы находим:
\[
v_{C x}=-y_{C} \omega_{z}, \quad v_{C y}=x_{z} \omega_{z}, \quad v_{C z}=0 .
\]

Кроме того, при выбранной нами системе осей координат мы имеем
\[
F_{r}=0 .
\]

Составив уравнения (57.4) и (57. $\dot{5}$ ), мы получаем:
\[
\begin{aligned}
-M y_{C} \omega_{z} & =N_{x}+N_{x}^{\prime}, \\
M x_{C} \omega_{z} & =\dot{F}_{y}+\dot{N}_{y}+N_{y}^{\prime} \\
0 & =\dot{F}_{z}+\dot{N}_{z}+\dot{N}_{z}^{\prime}, \\
-J_{x z} \omega_{z} & =\dot{y}_{A} F_{z}-z_{A} F_{y}-l N_{y}^{\prime}, \\
-J_{y z} \omega_{z} & =-x_{A} F_{z}+l N_{x}^{\prime}, \\
J_{z z} \omega_{z} & =x_{A} F_{.} .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим условия, при которых ось подвеса не получает сотрясения от импульса; другими словами, найдём условия, при которых все импульсивные реакция равны нулю. Уравненне (57.10) даёт: $F_{z}=0$, что в соединении с равенством (57.8) показывает параллельность импульса оси $O y$. Из уравнения (57.9) мы выводим:
\[
y_{c}=0 \text {, }
\]

т. е. центр масс лежит в плоскости, проходящей через ось подвеса и перпендикулярной к направлению импульса. Далее, исключив $N_{y}$ из уравнений (57.10) и (57.12), мы находим:
\[
J_{x z}-M x_{C} z_{A}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} x_{v}\left(z_{v}-z_{A}\right)=0 .
\]

Следовательно,
\[
z_{A}=\frac{J_{x z}}{M x_{C}} .
\]

Из уравнения (57.13) мы получаем:
\[
J_{y z}=0,
\]

что в соединении с уравнением (57.15) даёт
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} y_{v}\left(z_{v}-z_{A}\right)=0 .
\]

Наконец, путём исключения $F_{y}$ из уравнений (57.10) и (57.14) мы находим:
\[
x_{A}=\frac{J_{z z}}{M x_{C}} .
\]

Если мы введём радиус инерции $\rho_{z z}$ тела относительно оси вращения, т. е. положим $J_{z z}=M \rho_{z z}^{2}$, то последнее равенство примет вид
\[
x_{A}=\frac{\rho_{z z}^{2}}{x_{C}} \text {. }
\]

Сравнивая этот результат с формулой (52.33) на стр. 591, мы видим, что расстояние $B_{0} A_{0}$ равно длине математического маятника, эквивалентного рассматриваемому твёрдому те.у, подвешенному на оси $O O^{\prime}$. Иначе говоря, $B_{0} A_{0}$ есть расстояние от оси подвеса $O O^{\prime}$ до оси качаний $\gamma \gamma^{\prime}$, соответствующей данной оси подвеса (§296).

Собрав все найденные результаты, мы можем высказать следующие положения: чтобы импульс $\boldsymbol{F}$ (произвольный по модулю) не вызывал импульсивных реакций оси, необходимо и достаточно:
1) чтобы импульс был перпендикулярен к плоскости, содержащей ось подвеса и центр масс тела,
2) чтобы ось подвеса была главною осью инерции для своего следа $B_{0}$ на плоскости, проходящей через импульс и перпендикулярной к оси подвеса, и
3) чтобы импульс встречал плоскость, содержащую ось подвеса и центр масс в точке $A_{0}$, расположенной на оси качаний.

Точка $A_{0}$ встречи импульса с упомянутой осью качаний $\gamma \gamma^{\prime}$ называется центром удара для взятой оси подвеса.

315. Соударение твёрдых тел. ГІредставим себе, что два твёрдых тела, двигавшихся произвольным образом, столкнулись друг с другом. Примем, что тела коснулись друг друга только в одной точке и что поверхности тел шероховаты. Относительно силы трения предположим, что:
1) Если разность между проекциями скоростей совпадающих точек на общую касательную плоскость отлична от нуля, т. е. если тела скользят

друг по другу, то сила трения $\bar{\Phi}$ равна по модулю произведению коэффициента трения $k$ на модуль взаимной нормальной реакции $N$ тел,
\[
\Phi=k N \text {, }
\]

и направлена прямо противоположно разности скоростей (для каждого тела надо вычитать из скорости точки, ему принадлежащей, скорость точки другого тела).
2) Если вышеназванная разность равна нулю, то сила трения по модулю равна
\[
\Phi=\lambda N, \text { где } \lambda \Leftarrow k ;
\]

направление же силы $\Phi$ заранее неизвестно; таким образом, в этом случае как модуль, так и направление силы $\bar{\Phi}$ определяются из того условия, что тела не скользят друг по другу.

Плоскость, касательную к поверхностям тел в общей точке, примем за плоскость Oxy, а общую точку тел-за начало коордннат, причём то’чку первого тела, совпадающую с $O$, обозначим через $O^{\prime}$, а точку второго тела через $O^{\prime \prime}$. Ось $O z$ направим по общей нормали внутрь первого тела. Пусть $N$ означает нормальную реакцию второго-тела на первое; тогда проекция на ось $O z$ реакции второго тела на первое будет равна $N$, а первого тела на вторсе будет равна – $N$. Подобным же образом, пусть $\bar{\Phi}$ есть сила трения, действующая на первое тело и пусть её проекции на оси $O x$ и $O y$ равнн $\Phi_{x}, \Phi_{y}$; тогда проекции силы трения, приложенной ко второму телу, окажутся равными $-\Phi_{x}$ и $-\Phi_{y}$.

Обозначим координаты шентра масс первого тела через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$; проекции скорости этой точки на оси координат в момент начала удара через $\ddot{x}_{0}^{\prime}, \ddot{y}_{0}^{\prime}, \ddot{z}_{0}^{\prime} ;$ проекции скорости той же точки в момент окончания удара через $\ddot{x}_{2}^{\prime}, \ddot{y}_{2}^{\prime}, \ddot{z}_{2}^{\prime}$; проекции скорости в какой-либо момент $t$ во время удара через $\dot{x}^{\prime}, \dot{y}^{\prime}, \dot{z}^{\prime}$. Проекции на оси координат мгновенной угловой скорости первого тела в названные моменты обозначим через $\omega_{0 x}^{\prime}, \omega_{0 y}^{\prime}, \omega_{0 z}^{\prime} ; \omega_{2 x}^{\prime}, \omega_{2 y}^{\prime}, \omega_{2 z}^{\prime} ; \omega_{x}^{\prime}, \omega_{y}^{\prime}, \omega_{z}^{\prime}$. Масса первого тела, его моменты инерции и произведения инерции относительно осей; проходящих через центр масс и параллельных координатным, пусть будут $M^{\prime}, J_{x x}^{\prime}, J_{y y}^{\prime}, J_{z z}^{\prime}$, $J_{y z}^{\prime}, J_{z x}^{\prime}, J_{x y}^{\prime}$

Соответствующими обозначениями для второго тела пусть будут: координаты центра масс $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$; проекции скорости этой точки в соответствующие моменты: $\ddot{x}_{0}^{\prime \prime}, \quad \ddot{y}_{0}^{\prime \prime}, \dot{z}_{0}^{\prime \prime} ; \ddot{x}_{2}^{\prime \prime}, \dot{y}_{2}^{\prime \prime}, \dot{z}_{2}^{\prime \prime} ; \dot{x}^{\prime \prime}, \dot{y}^{\prime \prime}, \dot{z}^{\prime \prime} ;$ проекции мгновенной угловой скорости в те же моменты: $\omega_{0 x}^{\prime \prime}$, $\omega_{0 v}^{\prime \prime}, \omega_{0 z}^{\prime \prime} ; \omega_{2 x}^{\prime \prime}, \omega_{2 y}^{\prime \prime}, \omega_{2 z}^{\prime \prime}$; $\omega_{x}^{\prime \prime}, \omega_{y}^{\prime \prime}, \omega_{z}^{\prime \prime}$; масса тела, моменты инерции и произведения инерции относительно соответствующих осей: $M^{\prime \prime}, J_{x x}^{\prime \prime}, J_{y y}^{\prime \prime}, J_{z z}^{\prime \prime}, J_{y z}^{\prime \prime}, J_{z x}^{\prime \prime}, J_{x y}^{\prime \prime}$.

Импульс нормальной реакции $N$ за время от начала удара до какоголибо момента $t$, предшествующего конду удара, обозначим через $N$, а импульс силы трения $\bar{\Phi}$ за то же время обозначим через $\bar{\Phi}$, т. е.
\[
N=\int_{t_{0}}^{t} N d t, \quad \bar{\Phi}=\int_{t_{0}}^{t} \bar{\Phi} d t ;
\]

следовательно,
\[
d N=N d t, d \bar{\Phi}=\bar{\Phi} d t .
\]

Если тела скользят друг по другу и если разность скоростей совпадаюцих точек образует с осью $O x$ угол $\theta$ и с осью $O y$ угол $\frac{\pi}{2}-\theta$, то на основании условия (1) и формулы (57.16) мы имеем
\[
d \Phi_{x}=-k d N \cos \theta, \quad d \Phi_{y}=-k d N \sin \theta,
\]

откуда
\[
\left(d \Phi_{x}\right)^{2}+\left(d \Phi_{y}\right)^{2}=k^{2}(d N)^{2} .
\]

Если же скольжения нет, то согласно условию (2) и формуле (57.17) должно соблюдаться неравенство
\[
\left(d \Phi_{x}\right)^{2}+\left(d \Phi_{y}\right)^{2} \Leftarrow k^{2}(d N)^{2} .
\]

Приложим к каждому телу закон изменения колячества движения и закон изменения кинетического момента в формах (57.4) и (57.5), приняв соответственно за полюсы центры масс тел; моменты импульсов вычислим по формулам (2.7) и (2.10) на стр. 14; мы получим:
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{ll}
M^{\prime}\left(\dot{x}^{\prime}-\ddot{x}_{0}^{\prime}\right)=\Phi_{x}, \quad M^{\prime}\left(\dot{y}^{\prime}-\ddot{y}_{0}^{\prime}\right)=\Phi_{v}, \quad M^{\prime}\left(\dot{z}^{\prime}-\ddot{z}_{0}^{\prime}\right)=N \\
M^{\prime \prime}\left(\dot{x}^{\prime \prime}-\dot{x}_{0}^{\prime \prime}\right)=-\Phi_{x}, M^{\prime \prime}\left(\dot{y}^{\prime \prime}-\dot{y}_{0}^{\prime \prime}\right)=-\Phi_{v^{\prime}}, M^{\prime \prime}\left(\dot{z}^{\prime \prime}-\dot{z}_{0}^{\prime \prime}\right)=-N ;
\end{array}\right\} \\
J_{x x}^{\prime}\left(\omega_{x}^{\prime}-\omega_{0 x}^{\prime}\right)-J_{x y}^{\prime}\left(\omega_{y}^{\prime}-\omega_{0 y}^{\prime}\right)-J_{x z}^{\prime}\left(\omega_{z}^{\prime}-\omega_{0 z}^{\prime}\right)=z^{\prime} \Phi_{y}-y^{\prime} N, \\
-J_{v x}^{\prime}\left(\omega_{x}^{\prime}-\omega_{0 x}^{\prime}\right)+J_{y y}^{\prime}\left(\omega_{y}^{\prime}-\omega_{0 y}^{\prime}\right)-J_{v z}^{\prime}\left(\omega_{z}^{\prime}-\omega_{0 z}^{\prime}\right)=-z^{\prime} \Phi_{x}+x^{\prime} N \text {, } \\
-J_{z x}^{\prime}\left(\omega_{x}^{\prime}-\omega_{0 x}^{\prime}\right)-J_{z y}^{\prime}\left(\omega_{y}^{\prime}-\omega_{0 y}^{\prime}\right)+J_{z z}^{\prime}\left(\omega_{z}^{\prime}-\omega_{0 z}^{\prime}\right)=-x^{\prime} \dot{\Phi}_{y}+y^{\prime} \dot{\Phi}_{x}, \\
J_{x x}^{\prime \prime}\left(\omega_{x}^{\prime \prime}-\omega_{0 x}^{\prime \prime}\right)-J_{x y}^{\prime \prime}\left(\omega_{y}^{\prime \prime}-\omega_{0 y}^{\prime \prime}\right)-J_{x z}^{\prime \prime}\left(\omega_{z}^{\prime \prime}-\omega_{0 z}^{\prime \prime}\right)=-z^{\prime \prime} \Phi_{y}+y^{\prime \prime} N, \\
-J_{y x}^{\prime \prime}\left(\omega_{x}^{\prime \prime}-\omega_{0 x}^{\prime \prime}\right)+J_{y y}^{\prime \prime}\left(\omega_{y}^{\prime \prime}-\omega_{i y y}^{\prime \prime}\right)-J_{y z}^{\prime \prime}\left(\omega_{z}^{\prime \prime}-\omega_{0 z}^{\prime \prime}\right)=z^{\prime \prime} \dot{\Phi}_{x}-x^{\prime \prime} N, \\
\left.-J_{z x}^{\prime \prime}\left(\omega_{x}^{\prime \prime}-\omega_{0 x}^{\prime \prime}\right)-J_{z y}^{\prime \prime}\left(\omega_{y}^{\prime \prime}-\omega_{0 y}^{\prime \prime}\right)+J_{z z}^{\prime \prime}\left(\omega_{z}^{\prime \prime}-\omega_{0 z}^{\prime \prime}\right)=x^{\prime \prime} \Phi_{y}-y^{\prime \prime} \Phi_{x^{*}}\right) \\
\end{array}
\]

Составим на основании этих уравнений выражение для скорости сжатия $\boldsymbol{C}$, т. е. разности между, ортогональными составляющими скоростей точек $O^{\prime}$ и $O^{\prime \prime}$ по общей нормали $O z$, а также выражение для скорости скольжения $S$, т. е. разности между орюгональными составляющими скоростей точек $O^{\prime}$ и $O^{\prime \prime}$ в общей касательной плоскости $O x y$. Если за буквою $\theta$ сохраним то же значение, что и в формуле (57.18), то по формулам (9.36) на стр. 93 мы получим:
\[
\begin{aligned}
S \cos \theta & =\dot{x}^{\prime}-z^{\prime} \omega_{y}^{\prime}+y^{\prime} \omega_{z}^{\prime}-\dot{x}^{\prime \prime}+z^{\prime \prime} \omega_{y}^{\prime \prime}-y^{\prime \prime} \omega_{z}^{\prime \prime} \\
S \sin \theta & =\dot{y}^{\prime}-x^{\prime} \omega_{z}^{\prime}+z^{\prime} \omega_{x}^{\prime}-\dot{y}^{\prime \prime}+x^{\prime \prime} \omega_{z}^{\prime \prime}-z^{\prime \prime} \omega_{x}^{\prime \prime} \\
C & =\dot{z}^{\prime}-y^{\prime} \omega_{x}^{\prime}+x^{\prime} \omega_{y}^{\prime}-\dot{z}^{\prime \prime}+y^{\prime \prime} \omega_{x}^{\prime \prime}-x^{\prime \prime} \omega_{y}^{\prime \prime} .
\end{aligned}
\]

Так как в формулах (57.21) и (57.22) всюду входят разности между скоростями в момент $t$ и в начальный момент, то и последним формулам мы придадим такой вид:
\[
\begin{array}{r}
S \cos \theta-S_{0} \cos \theta_{0}=\dot{x}^{\prime}-\dot{x}_{0}^{\prime}-z^{\prime}\left(\omega_{y}^{\prime}-\omega_{0 y}^{\prime}\right)+y^{\prime}\left(\omega_{z}^{\prime}-\omega_{0 z}^{\prime}\right)-\dot{x}^{\prime \prime}+\dot{x}_{0}^{\prime \prime}+ \\
+z^{\prime \prime}\left(\omega_{y}^{\prime \prime}-\omega_{0 y}^{\prime \prime}\right)-y^{\prime \prime}\left(\omega_{z}^{\prime \prime}-\omega_{0 z}^{\prime \prime}\right), \\
S \sin \theta-S_{0} \sin \theta_{0}=\dot{y}^{\prime}-\dot{y}_{0}^{\prime}-x^{\prime}\left(\omega_{z}^{\prime}-\omega_{0 z}^{\prime}\right)+z^{\prime}\left(\omega_{x}^{\prime}-\omega_{0 x}^{\prime}\right)-\dot{y}^{\prime \prime}+\dot{y}_{0}^{\prime \prime}+ \\
+x^{\prime \prime}\left(\omega_{z}^{\prime \prime}-\omega_{0 z}^{\prime \prime}\right)-z^{\prime \prime}\left(\omega_{x}^{\prime \prime}-\omega_{0 x}^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

С помощью уравнений (57.21) и (57.22) исключим отсюда разности
$\dot{x}^{\prime}-\dot{x}_{0}^{\prime}, \dot{y}^{\prime}-\dot{y}_{0}^{\prime}, \ldots, \quad \dot{z}^{\prime \prime}-\dot{z}_{0}^{\prime \prime}, \omega_{x}^{\prime}-\omega_{0 x}^{\prime}, \ldots, \omega_{z}^{\prime \prime}-\omega_{0 z}^{\prime \prime}$; мы найдём:
\[
\left.\begin{array}{rl}
S \cos \theta-S_{0} \cos \theta_{0} & =a \Phi_{x}+f \Phi_{y}+e N \\
S \sin \theta-S_{0} \sin \theta_{0} & =f \dot{\Phi}_{x}+b \dot{\Phi}_{y}+\partial \dot{N} \\
C_{z}-C_{0 z} & =e \dot{\Phi}_{x}+\partial \dot{\Phi}_{y}+c \dot{N}
\end{array}\right\}
\]

где $a, b, c, \partial, e, f$-постоянные, зависяцие от – $M^{\prime}, M^{\prime \prime}, J_{x x}^{\prime}, \ldots$, $J_{x y}^{\prime}, J_{x x}^{\prime \prime}, \ldots, J_{x y}^{\prime \prime}, x^{\prime}, y^{\prime}, \ldots, z^{\prime \prime}$, характеризующих положение и форму тел и распределение в них масс.

Для более наглядного исследования задачи воспользуемся в дальнейшем геометрическим методом Рауса (Routh) ${ }^{1}$ ). С 9той целью изобразим нмпульсивную реакцию точкой $\Gamma$ с координатами $x=\Phi_{x}, y=\Phi_{y}, z=N$. В том же пространстве, где находится точка $\Gamma$, отметим два геометрических образа: прямую и плоскость. Прямая пусть определяется уравнениями
\[
\left.\begin{array}{l}
S_{0} \cos \theta_{0}+a \Phi_{x}+f \Phi_{y}+e N=0, \\
S_{0} \sin \theta_{0}+f \dot{\Phi}_{x}+b \dot{\Phi}_{y}+\partial \dot{N}=0
\end{array}\right\}
\]

она носит название прямой нескольженяя, потому что, как видно из уравнений (57.23), когда точка $\Gamma$ лежит на названной прямой, то $\boldsymbol{S}=0$, т. е. тела не скользят друг по другу. Плоскость пусть определяется уравнением
\[
C_{0_{z}}+e \Phi_{x}+\partial \Phi_{y}+c N=0 ;
\]

эта плоскость называется плоскостью наибольшего сжатия, так как согласно равенству (57.24), когда рассматриваемая точка $\Gamma$ достигнет этой плоскости, $\boldsymbol{C}$ обращается в нуль, т. е. взаимное сжатие тел приостанавливается.

Удар тел, по аналогии с предыдущим, мы разобьём на два акта: первый, от начала удара до момента наибольшего сжатия, т. е. когда $\boldsymbol{C}=0$; второй, от момента наибольшего сжатия до конца удара. Относительно второго акта опять предположим, что импульс нормальной реакции $N_{12}$ за этот акт равен импульсу $N_{01}$ за первый акт, умноженному на коэффициент восстановления $\varepsilon$.

Займёмся сначала рассмотрением первого акта удара. Положим сначала, что в начальный момент тела скользили одно по другому, т. е. что $S_{0}$ не было равно нулю. Тогда в начале удара, как видно из формул (57.18) и (57.19), воображаемая точка Г движется по некоторой винтовой линии, определяемой уравнениями (57.18). Из уравнения (57.19) мы видим при этом, что тангенс угла касательной к этой винтовой линии с осью $O z$ равен коэффициенту трения $k$.

Продифференцировав уравнения (57.23) и воспользовавшись равенствами (57.18), мы находим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
d S \cdot \cos \theta-S \sin \theta d \theta & =a d \Phi_{x}+f d \Phi_{y}+e d N= \\
& =\left(-a k \cos \theta-f k \sin \theta^{\circ}+e\right) d N \\
d S \cdot \sin \theta+S \cos \theta d \theta & =f a \Phi_{x}+b d \Phi_{y}+\partial d N= \\
& =(-f k \cos \theta-b k \sin \dot{\theta}+\partial) d N .
\end{array}\right\}
\]

Исключив отсюда $d N$, мы получим следующее уравнение для определения зависимости $S$ от 0 :
\[
\begin{aligned}
\frac{d S}{S d \theta}=\frac{d \ln S}{d \theta} & =\varphi(\theta)= \\
& =\frac{\partial \sin \theta+e \cos \theta-a k \cos ^{2} \theta-b k \sin ^{2} \theta-f k \sin 2 \theta}{\partial \cos \theta-e \sin \theta+(a-b) k \sin \theta \cos \theta-f k \cos 2 \theta} .
\end{aligned}
\]

Проинтегрировав это уравнение, мы найдём выражение для $S$ следующего вида:
\[
S=K \cdot F(\theta),
\]

где $K$-произвольная постоянная. Подставив это значение $S$ в любое из уравнений (57.27), мы определим $N$ квадратурой в виде
\[
N=K f(\theta)+L,
\]

где $L$ – новая произвольная постоянная. Постоянные $K$ и $L$ определяются из того условия, что для начального значения $\theta=\theta_{0}$ мы имеем $S=S_{0}$ и $N=0$. Зная $S$ и $N$, мы из уравнений (57.23) найдём $\Phi_{x}$ и $\Phi_{y}$ как функции $\theta$ :
\[
\Phi_{x}=\Phi_{x}(\theta), \quad \Phi_{y}=\Phi_{y}(\theta) .
\]

Уравнения (57.30) и (57.31) изображают собой искомую винтовую линию.
Итак, точка $\Gamma$ движется из начала координат по названной винтовой линии в том направлении, в когором $N$ возрастает, пока не попадёт либо на плоскость (57.26) наибольшего сжатия, либо на прямую (57.25) нескольжения. Если точка $\Gamma$ в своём движении прежде всего встретится с плоскостью (57.26), то значения её координат $\Phi_{01_{x}}, \Phi_{01 y}, N_{01}$ и дадут искомые импульсы за первый акт удара. Подставив эти значения в уравнения (57.21) и (57.22), мы сможем определить, если пожелаем, кинематическое состояние тел в конце первого акта удара. Если же точка Г сначала встретит прямую (57.25), то она может оставить свою первоначальнүю траекторию (винтовую линию) и начать двигаться по прямой не

скольжения; указанное обстоятельство случится тогда, когда прямая (57.25) образует с осью $O z$ угол, не превышающий $\operatorname{arctg} k$, как этого требует условие (57.20). Если же угол прямой нескольжения с осью $O z$ больше $\operatorname{arctg} k$, то дальнейшее движение точки $\Gamma$ пойдёт по первоначальной винтовой линии. Другими словами, тогда мы продолжаем пользоваться формулами (57.29) и (57.30), причём может случиться, что скорость скольжения $S$, определяемая выраженяем (57.29), перейдя через нуль, изменит своё направление; в этом последнем случае угол $\theta$ изменится на $\theta+\pi$ в формулах (57.18), а следовательно, и в выражениях (57.30) и (57.31). Импульсы за первый акт удара опять определятся, как координаты точки встречи прямой нескольжения или винтовой линии с плоскостью наибольшего сжатия.

Импульс $\boldsymbol{N}_{02}$ за полное время удара мы найдевм, умножив импульс $\boldsymbol{N}_{01}$ за первый акт удара на $1+\varepsilon$. При этом опять придётся исследовать, дойдёт ли точка $\Gamma$ до высоты $N_{01}(1+\varepsilon)$ над плоскостью $O x y$ по винтовой линии или по прямой нескольжения, если винтовая линия пересекается с этой прямой выше плоскости (57.26). В зависимости от результата исследования полные импульсы $\Phi_{01 x}(1+\varepsilon), \Phi_{01 y}(1+\varepsilon)$ силы трения найдутся, как координаты $x, y$ той точки, координата $z$ которой равна $\boldsymbol{N}_{01}(1+\varepsilon)$ и которая находится или на винтовой линии или на прямой нескольжения. Подставив значения $\Phi_{01 x}(1+\varepsilon), \Phi_{01 y}(1+\varepsilon), N_{01}(1+\varepsilon)$ в уравнения (57.21) и (57.22), мы определим оттуда $\ddot{x}_{2}^{\prime}, \ddot{y}_{2}^{\prime}, \ddot{z}_{2}^{\prime} ; \dot{x}_{2}^{\prime \prime}, \dot{y}_{2}^{\prime \prime}, \dot{z}_{2}^{\prime \prime}$; $\omega_{i x}^{\prime}, \quad \omega_{2 y}^{\prime}, \omega_{2 z}^{\prime}, \omega_{2 x}^{\prime \prime}, \omega_{2 y}^{\prime \prime}, \omega_{2 z}^{\prime \prime}$ и, следовательно, решим вопрос о движении тел после удара.

Изложенный приём решения задачи не годится, когда скорость скольжения $\boldsymbol{S}$ не меняет своего направления, т. е. когда
\[
\theta=\text { const. }=\theta_{0} .
\]

Но в таком случае из уравнений (57.18) мы получаем:
\[
\frac{d \Phi_{x}}{\cos \theta_{0}}=\frac{d \Phi_{y}}{\sin \theta_{0}}=\frac{d N}{-\frac{1}{k}},
\]
т. с. траекторией точки $\Gamma$ служит прямая
\[
\Phi_{x}=-k N \cos \theta_{0}, \Phi_{y}=-k N \sin \theta_{0},
\]

образующая с осью $O z$ угол, равный $\operatorname{arctg} k$. Угол $\theta$ может оставаться постоянным только тогда, когда $d \theta=0$, что на основании равенства (57.28) приводит нас к условию
\[
\partial \cos \theta_{0}-e \sin \theta_{0}+(a-b) k \sin \theta_{0} \cos \theta_{0}-f k \cos 2 \theta_{0}=0 .
\]

Заметим, что, когда написанное условие соблюдено, прямая (57.32) всегда встречает линию нескольжения (57.25) и, следовательно, если угол прямой (57.25) с осью $O z$ не превышает $\operatorname{arctg} k$, точка $\Gamma$ может с прямой (57.32) перейти на прямую (57.25); в противном же случае, если угол прямой нескольжения с осью Oz больше $\operatorname{arctg} k$, точка $\Gamma$ после встречи с линией нескольжения пойдёт по прямой
\[
\Phi_{x}=k N \cos \theta_{0}, \quad \Phi_{y}=k N \sin \theta_{0},
\]

уравнения которой получаются из равенств (57.32) заменою $\theta_{0}$ на $\theta_{0}+\pi$.

Наконец, если начальное значение $S_{0}$ скорости скольжения равно нулю, то с самого начального момента точка $\Gamma$ лежит на линии нескольжения; следовательно, опять она может двигаться либо по этой прямой, либо по винтовой линии, но последняя в настоящем случае обращается в прямую (57.32), так как из равенства (57.28) при $S_{0}=0$ вытекает для $\theta_{0}$ условие (57.33).

Приме р 157. Два эллипсоида с полуосями $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$ и $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$ ударяюғся друг о друга концами своих полуосей $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$. При прежних обозначениях коэффициенты $a, b, c, \partial, e, f$ будут равны:
\[
\begin{array}{ll}
a=\frac{1}{M^{\prime}}+\frac{1}{M^{\prime \prime}}+\frac{\gamma_{1}^{2}}{J_{y y}^{\prime}}+\frac{\gamma_{2}^{2}}{J_{y y}^{\prime \prime}}, \quad b=\frac{1}{M^{\prime}}+\frac{1}{M^{\prime \prime}}+\frac{\gamma_{1}^{2}}{J_{x x}^{\prime}}+\frac{\gamma_{2}^{2}}{J_{x x}^{\prime \prime}}, \\
c=\frac{1}{M^{\prime}}+\frac{1}{M^{\prime \prime}}, & \partial=e=f=0 .
\end{array}
\]

Плоскость наибольшего сжатия (57.26) перпендикулярна к оси $O z$ :
\[
C_{0}=c N \text {. }
\]

Прямая нескольжения параллельна оси $O z$ :
\[
a \Phi_{x}=S_{0} \cos \theta_{0}, b \Phi_{y}=S_{0} \sin \theta_{0} .
\]

Уравнение (57.28) имеет вид
\[
\frac{d S}{S d \theta}=\frac{a \cos ^{2} \theta+b \sin ^{2} \theta}{(b-a) \sin \theta \cos \theta}=\frac{a}{b-a} \operatorname{ctg} \theta-\frac{b}{a-b} \operatorname{tg} \theta .
\]

Проинтегрировав его и определив пронзвольную постоянную, мы получим:
\[
S=S_{0}\left(\frac{\sin \theta}{\sin \theta_{0}}\right)^{\frac{a}{b-a}} \cdot\left(\frac{\cos \theta}{\cos \theta_{0}}\right)^{\frac{b}{a-b}} .
\]

Условие (57.33) неизменности направления скорости скольжения $S$ напишется так:
\[
a=b,
\]
т. е.
\[
\gamma_{1}^{2}\left(\frac{1}{J_{x x}^{\prime}}-\frac{1}{J_{y y}^{\prime}}\right)+\gamma_{2}^{2}\left(\frac{1}{J_{x x}^{\prime \prime}}-\frac{1}{J_{y y}^{\prime \prime}}\right)=0 .
\]