259. Кинетический момент и кинетическая энергия твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Из выражений для кинетического момента и для кинетической энергии свободного твёрдого тела, найденных нами в предыдущей главе, легко получить соответствующие выражения для кинетического момента и кинетической энергии твёрдого тела, одна из точек которого неподвижна; для этого надо выбрать неподвижную точку полюсом и затем в найденных выше формулах скорость $\boldsymbol{v}_{A}$ полюса положить равной нулю. Кроме того, мы будем считать, что в этом полюсе помещено не только начало подвижной системы координат $A \xi$ г $\xi$ но и начало $O$ неподвижной системы Oxyz. Указанным способом мы найдём, например, по формуле (45.14) на стр. 493 следующее выражение для кинетической энергии рассматриваемого твёрдого тела, отнесённое к неподвижным осям:
\[
T=\frac{1}{2}\left(J_{x x} \omega_{x}^{2}+J_{y y} \omega_{y}^{2}+J_{z z} \omega_{z}^{2}-2 J_{y z} \omega_{y} \omega_{z}-2 J_{z x} \omega_{z} \omega_{x}-2 J_{x y} \omega_{x} \omega_{y}\right) .
\]

Подобным же образом по формуле (45.23) на стр. 495 при $\boldsymbol{v}_{A}=0$ мы получим кинетическую энергию, отнесённую к осям, неизменно связанным с телом:

Если же систему осей $O \xi \eta ?$ мы направим по главным осям инерции для неподвижной точки $O$, то вместо последнего выражения мы будем иметь:
\[
T=\frac{1}{2}\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}\right),
\]

где $J_{t k}, J_{\eta n}, J_{t t}$ – главные моменты инерции для полюса $O$.

Выражение кинетической энергии через эйлеровы углы будет следующим [формулы (45.38) на стр. 499]:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2}\left\{J_{\xi \xi}(\sin \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}+\cos \varphi \cdot \dot{\vartheta})^{2}+J_{\eta \eta}(\cos \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}-\sin \varphi \cdot \dot{\vartheta})^{2}+\right. \\
\left.+J_{\zeta \zeta}(\cos \vartheta \cdot \dot{\psi}+\dot{\varphi})^{2}\right\} ; \\
\end{array}
\]

постоянные $J_{\xi \xi}, J_{r \eta}, J_{\xi \text { z }}$ здесь имеют то же значение, что и в формуле (46.1). Если ось $\zeta$ является осью динамической симметрии тела, т. е. если $J_{\xi \xi}=J_{\eta \eta}$, то выражение кинетической энергии упрощается:
\[
T=\frac{1}{2}\left[J_{\xi \xi}\left(\sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\psi}^{2}+\dot{\vartheta}^{2}\right)+J_{\zeta \zeta}(\cos \vartheta \cdot \dot{\psi}+\dot{\varphi})^{2}\right] .
\]

Кинетическая энергия в этом случае не содержит явно координат $\varphi$ и и потому мы имеем
\[
\frac{\partial T}{\partial \varphi}=0, \frac{\partial T}{\partial \phi}=0 .
\]

Наконец, по формуле (45.15) на стр. 493 кинетическая энергия твёрдого тела с неподвижной точкой может быть представлена в виде
\[
T=\frac{1}{2} J_{\dot{\omega} \omega} \omega^{2},
\]

где $J_{\omega \omega}$ есть момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.

Выражение кинетического момента мы выпишем лишь для системы осей $O \xi r_{\zeta}$, неизменно связанной с телом; по формулам (45.11) на стр. 492 мы получаем:

Эти формулы с заменою $\xi, r_{\mathrm{i}}, \zeta$ на $x, y, z$ верны и для неподвижной системы $O x y z$, но в последнем случае моменты инерции не будут постоянными во времени. Если оси системы $O \xi \eta^{\circ}$ совместить с главными осями инерции тела для его неподвижной точки $O$, то формулы (46.6) упростятся следующим образом:
\[
G_{O \xi}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi}, \quad G_{O T_{i}}=J_{\gamma_{j, 1}} \omega_{\gamma}, \quad G_{O \xi}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi} .
\]

Соотношение (45.22) на стр. 495 между кинетической энергией и кинетическим моментом тела перейдёт в нашем случае в следующее:
\[
\vec{\omega} \cdot \boldsymbol{G}_{0}=2 T \text {. }
\]

Независимо от этой формулы мы установим ещё одно, но уже дифференциальное соотношение между кинетической энергией и кинетическим моментом. Имеем:
\[
d T=\sum_{v=1}^{n} \frac{m_{v} v_{v}^{2}}{2}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{v} \cdot d v_{v}=\sum_{v=1}^{n} \bar{\omega} \times r_{v} \cdot d\left(m_{v} v_{v}\right) ;
\]

по правилу циклической перестановки сомножителей векторно-скалярного произведения мы можем написать:
\[
\sum_{v=1}^{n} \bar{\omega} \times r_{v} \cdot d\left(m_{v}
abla_{v}\right)=\sum_{v=1}^{n} \bar{\omega} \cdot r \times d\left(m_{v}
abla_{v}\right)=\bar{\omega} \cdot \sum_{v=1}^{n} d\left(r_{v} \times m_{v} v_{v}\right)=\bar{\omega} \cdot d G_{O} .
\]

Следовательно, мы получаем:
\[
d T=\bar{\omega} \cdot d G_{o} .
\]

Посмотрим теперь, каково взаимное расположение кинетического момента тела относительно его. неподвижной точки $O$ и эллипсоида инерции, построенного для этой точки. Покажем, что кинетический момент $G_{0}$ перпендикулярен к плоскости, касающейся эллипсоид инерции в точке $P_{1}$ его встречи с мгновенной осью вращения (фиг. 138). Согласно формуле (26.9) на стр. 275 радиус-вектор $\rho_{1}$ точки $P_{1}$ по модулю равен
Фиг. 138.
\[
\rho_{1}=\frac{l}{\sqrt{J_{\omega(1)}}}
\]

где $l$ – постоянный параметр, характеризующий масштаб построения. Отсюда сам вектор $\bar{p}_{1}$ получает выражение

В подкоренном выражении в соответствии с формулою (46.5) мы имеем удвоенную кинетическую энергию $2 T$ тела. Следовательно,
\[
\overrightarrow{P_{1}}=\frac{\overrightarrow{\omega \omega}}{\sqrt{2 T}} .
\]

Заменив в формулах (46.8) и (46.9) вектор $\bar{\omega}$ его значением из равенства $(46.10)$, мы получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\overline{\rho_{1}} \cdot G_{o} & =l \sqrt{2 T}, \\
\overline{\rho_{1}} \cdot d G_{o} & =l d \sqrt{2 T} .
\end{array}\right\}
\]

Продифференцируем первое из этих уравнений и вычтем из результата второе уравнение; в выражении дифференциала радиуса-вектора опустим индекс (1); мы найдем:
\[
\boldsymbol{G}_{0} \cdot \overline{a_{p}}=0
\]

Ввиду произвольности расположения конца вектора $\overline{d p}$ на поверхности эллипсоид (46.10), полученное выражение может считаться дифференциальным уравнением касательной плоскости, проведённой к эллипсоиду в точке его встречи с мгновенною осью. Как видим, эта плоскость действительно перпендикулярна к кинетическому моменту.

Чтобы найти уравнение касательной плоскости в конечном виде, нужно проинтегрировать уравнение (46.12) по переменному – ; постоянную интегрирования следует при этом определить из условия, что плоскость проходит через точку $P_{1}$ с радиусом-вектором $\rho_{1}$; выполнив действия, мы получим:
\[
\boldsymbol{G}_{o} \cdot \dot{\bar{\rho}}=\boldsymbol{G}_{o} \cdot \overline{\rho_{1}} \text {. }
\]

Расстояние $\delta$ этой плоскости от точки опоры $O$ (начала координат) выразится так:
\[
\delta=\rho_{1} \cos \left(\hat{G_{o}, \overline{\rho_{1}}}\right)=\frac{\ddot{\rho_{1}} \cdot \boldsymbol{G}_{O}}{G_{O}},
\]

или согласно формуле (46.11):
\[
\delta=\frac{l \sqrt{2 T}}{G_{O}} .
\]

260. Уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Так как кинетическая энергия твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, является, как мы видели, частным видом кинетической энергии свободного тела в том предположении, что некоторые из величин, в неё входящих, обращаются в нуль, то всё, что было сказано нами о частных производных кинетической энергии, остаётся справедливым и в настоящем случае. При написании уравнений движения нужно принять во внимание, что полюс $A$ теперь неподвижён и“ совмещён с началом $O$ неподвижной системы координат.

Для получения уравнений движения, отнесённых к неподвижным осям, можно исходить из-теоремы об изменении кинетического момента [см. второе из уравнений (45.44) на стр. 501]
\[
\dot{\boldsymbol{G}}_{o}=\boldsymbol{L}_{o} .
\]

В проекциях на оси неподвижной системы координат это равенство запишется так:
\[
\dot{G}_{O x}=L_{O v}, \quad \dot{G}_{O y}=L_{O y}, \quad \dot{G}_{O z}=L_{O z} .
\]

Если мы теперь воспользуемся формулами (45.19) на стр. 494, то получим окончательно:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}=L_{O x}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}=L_{O y}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{z}}=L_{O z} .
\]

Эти уравнения можно было бы сразу получить из равенств (45.48) на стр. 502, положив в них $x_{A}=y_{A}=z_{A}=0$.

Уравнения движения, отнесённые к подвижным осям, можно найти, исходя из формулы (45.52) на стр. 503 .или прямо из формул (45.55) на той же странице, если положить в $\boldsymbol{v}_{A}=0$; тогда мы получим в векторной форме
\[
\tilde{\boldsymbol{\sigma}}_{O}+\overline{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{G}_{O}=L_{O}
\]

и в проекциях на подвижные оси $\xi, \eta, \zeta$
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}+\omega_{\eta} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}-\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}=L_{O \xi}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}+\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}-\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}=L_{O \eta}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}+\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}-\omega_{\eta_{i}} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}=L_{O \xi} \cdot
\end{array}\right\}
\]

В том случае, когда оси координат расположены не произвольно, а направлены по главным осям инерции для неподвижной точки $O$, т. е. когда кинетическая энергия приведена к виду (46.1), вместо последних уравнений мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi}-\left(J_{\gamma \eta}-J_{i \xi}\right) \omega_{\eta} \omega_{\xi}=L_{O \xi}, \\
J_{\eta \eta} \dot{\omega}_{\eta}-\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi} \omega_{\xi}=L_{O \eta}, \\
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi}-\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta \eta}\right) \omega_{\xi} \omega_{\eta}=L_{O \eta}
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения известны под названием динамических уравнений Эйлера. Они вполне совпадают по форме с уравнениями (45.57) на стр. 504 для свободного тела, только постоянные $J_{\xi \xi}, J_{\text {тің }}, J_{\zeta \zeta}$ имеют здесь другое значение, как это и было указано при выводе.

Наконец, лагранжевы уравнения движения сохраняют свой прежний вид [см. формулы (45.63) на стр. 505 и (45.69) на стр. ј07]:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=L_{\varphi}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}-\frac{\partial T}{\partial \psi}=L_{\psi}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \vartheta}=L_{\vartheta} ;
\end{array}\right\}
\]

кинетическая энергия должна быть здесь подсчитана по формуле (46.2), а если ось $O \zeta$ является осью динамической симметрии, то по формуле (46.3).

Все вышеприведённые уравнения движения являются уравнениями второго порядка относительно трёх функций времени, именно, углов Эйлера $\varphi, \phi, \vartheta$. Каждая из упомянутых систем трёх уравнений второго порядка может быть заменена системой шести уравнений первого порядка; так, например, если к трём уравнениям (46.17) мы присоединим еще три уравнения ( 9.30 ) на стр. 92 , т. е. уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{\xi}=\sin \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}+\cos \varphi \cdot \dot{\vartheta}, \\
\omega_{\eta}=\cos \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}-\sin \varphi \cdot \dot{\vartheta}, \\
\omega_{\xi}=\cos \vartheta \cdot \dot{\psi}+\dot{\varphi},
\end{array}\right\}
\]

то получим систему шести уравнений первого порядка относительно шести неизвестных функций времени $\varphi, \psi, \vartheta, \omega_{\xi}, \omega_{\tau}$; $\omega_{\tau}$.

261. Уравнения движения весомого твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Пусть твёрдое тело подпёрто в неподвижной точке и находится под действием силы тяжести $M g$, где $M$-масса тела и $g$ – ускорение силы тяжести. Направим ось $O z$ по вертикали вверх и обозначим через $r_{C}$ радиус-вектор центра масс $C$ тела. Тогда главный момент $\boldsymbol{L}_{O}$ сил, действующих на тело, представится так:
\[
\boldsymbol{L}_{O}=\boldsymbol{r}_{C} \times M g=-M g \boldsymbol{r}_{C} \times \boldsymbol{z}^{0},
\]

или согласно третьей из формулы (8.9) на стр. 74 так:
\[
L_{O}=-M g r_{C} \times\left(a_{31} \bar{\xi}_{0}^{0}+a_{32} \bar{r}^{0}+a_{33} \bar{\xi}^{0}\right) .
\]

Исходя из этих двух формул, мы получим следующие выражения для главных моментов относительно координатных осей:
\[
\begin{array}{c}
L_{O x}=-M g y_{C}, \quad L_{O y}=M g x_{C}, \quad L_{O z}=0 ; \\
L_{O \xi}=M g\left(a_{32}{ }^{\eta}-a_{33} \eta_{C}\right), \\
L_{O_{7}}=M g\left(a_{83} \xi_{C}-a_{31} \xi_{C}\right), \\
L_{O^{*}}=M g\left(a_{31} \eta_{C}-a_{32} \xi_{C}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, для весомого тела уравнениями типа (46.15) будут следующие:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}=-M g y_{C} ; \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}=M g x_{c} ; \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{z}}=0 .
\]

Уравнения же типа (46.17) примут вид

Прибавим к этим трём уравнениям ещё три уравнения, выписанные в последней строке формул (9.23) на стр. 90 , а именно:
\[
\dot{a}_{31}=\omega_{\digamma} a_{32}-\omega_{\eta} a_{33}, \quad \dot{a}_{32}=\omega_{\xi} a_{33}-\omega_{\zeta} a_{31}, \quad \dot{a}_{33}=\omega_{\gamma} a_{31}-\omega_{\xi} a_{32} ;
\]

тогда мы получим систему шести уравнений первого порядка относительно шести неизвестных функций времени $\omega_{\xi}$, $\omega_{\eta}$, $\omega_{\zeta}, a_{31}, a_{32}, a_{33}$.

Должно заметить, однако, что полная интеграция системы уравнений (46.21) и (46.22) не даст нам всё-таки окончательного решения вопроса о движении тела: для нахождения этого движения придётся взять ещё одну квадратуру. Дело в том, что по формулам (8.15) на стр. 77 мы имеем
\[
a_{31}=\sin \varphi \sin \vartheta, \quad a_{32}=\cos \varphi \sin \vartheta, \quad a_{33}=\cos \vartheta ;
\]

следовательно, переменные $a_{31}, a_{32}, a_{33}$ зависят только от двух углов $\varphi$ и $\vartheta$; угол же $\psi$ придётся определить квадратурой по значениям угловых скоростей $\omega_{\xi}$, $\omega_{\eta}$, $\omega_{\xi}$, как об этом мы будем говорить подробнее в другом месте. Сказанное подтверждается тем обстоятельством, что в одном из шести независимых интегралов системы уравнений (46.21) и (46.22) произвольной постоянной необходимо дать частное значение, если пожелаем, чтобы найденное решение было приложимо к разбираемой задаче о движении тела; действительно, если уравнения (46.22) умно. жить соответственно на $a_{31}, a_{32}, a_{3 \varepsilon}$ и затем сложить, то получится
\[
a_{31} \dot{a}_{31}+a_{32} \dot{a}_{32}+a_{33} \dot{a}_{33}=0 ;
\]

отсюда видно, что уравнения (42.22) допускают очевидный интеграл
\[
a_{31}^{2}+a_{32}^{2}+a_{33}^{2}=\text { const. }
\]

Эту произвольную постоянную надо положить равной единице, если за функциями $a_{31}, a_{32}, a_{33}$ мы желаем сохранить значения косинусов некоторого направления.

262. Конечные и дифференциальные связи твёрдого тела. Уравнения конечных связей, которым подчинено данное твёрдое тело, в соответствии с выражением (32.13) на стр. 322 имеют вид
\[
f_{\alpha}\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \psi, \vartheta, t\right)=0,
\]

если связи – удерживающие, и
\[
f_{\alpha}\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \psi, \vartheta, t\right) \geqslant 0,
\]

если связи-неудерживающие. Дифференциальные связи твёрдого тела по типу формулы (32.16) на стр. 322 имеют следующую аналитическую форму:
\[
\Phi_{\beta}=u_{\beta x} \dot{x}_{A}+u_{\beta y} \dot{y}_{A}+u_{\beta z} \dot{z}_{A}+u_{\beta \varphi} \dot{\varphi}+u_{\beta \psi} \dot{\psi}+u_{\beta \theta} \dot{\theta}+u_{\beta}=0,
\]

если связи – удерживающие, и
\[
\Phi_{\beta}>0,
\]

если связи – неудерживающие. Для аналогии с конечными связями коэффициенты $u$ с двойными индексами мы будем писать, как частные производные, от левой части уравнения связи по соответствующим скоростям:
\[
\left.\begin{array}{ll}
u_{\beta x}=\frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \dot{x}_{A}}, \quad u_{\beta y}=\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{y}_{A}}, \quad u_{\beta z}=\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{y}_{A}}, \\
u_{\beta \varphi}=\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\varphi}}, \quad u_{\beta \psi}=\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\psi}}, \quad u_{\beta \vartheta}=\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{y}} .
\end{array}\right\}
\]

Так как число степеней свободы свободного твёрдого тела равно шести (§190), то общее число удерживающих связей, конечных и дифференциальных, не может превышать пяти; в противном случае все шесть независимых скоростей тела определились бы из уравнений. связей, и следовательно, движение тела было бы волне определено.

263. Примеры связей твёрдого тела.
Пример 140. Если точка $m_{1}\left(\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}\right)$ твёрдого тела закреплена неподвижно, т. е. если её абсолютные координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ постоянны, то согласно формулам (8.4) на стр. 74, это обстоятельство равносильно заданию трёх ниже следующих конечных связей:
\[
\begin{array}{l}
x_{A}+a_{11} \xi_{1}+a_{12} \eta_{1}+a_{13} \xi_{1}-x_{1}=0 . \\
y_{A}+a_{21} \xi_{1}+a_{22} r_{1}+a_{23} r_{1}-y_{1}=0, \\
z_{A}+a_{31} \xi_{1}+a_{32} r_{1}+a_{33} \zeta_{1}-z_{1}=0 .
\end{array}
\]

В том случае, когда точка $m_{1}$ берётся за полюс $A$, эти уравнения заменятся такими:
\[
x_{A}-x_{1}=0, \quad y_{A}-y_{1}=0, \quad z_{A}-z_{1}=0 .
\]

Пример 141. Если точка $m_{1}\left(\xi_{1}, \eta_{1}, \xi_{1}\right)$ твёрдого тела должна оставаться на данной поверхности $f_{1}(x, y, z, t)=0$, то уравнение связи, очевидно, будет
\[
\begin{array}{l}
f_{1}\left(x_{A}+a_{11} \xi_{1}+a_{12} r_{11}+a_{13} \xi_{1}, y_{A}+a_{21} \xi_{1}+a_{22} \eta_{1}+a_{23} \xi_{1},\right. \\
\left.z_{A}+a_{31} \xi_{1}+a_{32} \eta_{1}+a_{33} \xi_{1}, t\right)=0 .
\end{array}
\]

Пример 142. Если точка $m_{1}\left(\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}\right)$ твёрдого тела не может покидать кривой
\[
f_{1}(x, y, z, t)=0, \quad f_{2}(x, y, z, t)=0,
\]

то к уравнению (46.28) надо присоединить еще̌ второе:
\[
f_{2}\left(x_{A}+a_{11} \xi_{1}+a_{12} \eta_{1}+a_{13} \xi_{1}, \ldots, t\right)=0 .
\]

Пример 143. Положим, что неизменно связанная с телом поверхность
\[
f(\xi, \eta, \zeta)=0
\]

должна касаться плоскости $z=0$. Уравнение этой плоскости в относительных координатах будет
\[
z_{A}+a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{33} \xi=0,
\]

если $\xi, \eta, \zeta$-текущие координаты. Но рассматриваемая плоскость должна быть касательною к поверхности (46.29); следовательно, ее* уравнение может быть приведено к виду
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial \xi}\right)_{1}\left(\xi-\xi_{1}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial \eta}\right)_{1}\left(\eta-\eta_{1}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial \zeta}\right)_{1}\left(\zeta-\zeta_{1}\right)=0,
\]

где $\varepsilon_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}$ – координаты точки касания. Отсюда вытекает соотношение
\[
\begin{array}{l}
a_{31}: a_{32}: a_{33}: z_{A}= \\
=\left(\frac{\partial f}{\partial \xi}\right)_{1}:\left(\frac{\partial f}{\partial \eta}\right)_{1}:\left(\frac{\partial f}{\partial \zeta}\right)_{1}:\left\{-\left[\xi_{1}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi}\right)_{1}+\eta_{1}\left(\frac{\partial f}{\partial \eta}\right)_{1}+\zeta_{1}\left(\frac{\partial f}{\partial \zeta}\right)_{1}\right]\right\} .
\end{array}
\]

Из этих уравнений мы найдём $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}$ как функции от $a_{31}, a_{32}, a_{33}, z_{4}$; подставив их в равенство (46.29), мы получим искомое уравнение связи. Так, например, если поверхностью (46.29) является эллипсоид
\[
\frac{\xi^{2}}{a^{2}}+\frac{\eta^{2}}{b^{2}}+\frac{\zeta^{2}}{c^{2}}-1=0,
\]

то отношения (46.30) будут следующие:
\[
a_{31}: a_{32}: a_{38}: z_{A}=\frac{\xi_{1}}{a^{2}}: \frac{\eta_{1}}{b^{2}}: \frac{\zeta_{1}}{c^{2}}:(-1) ;
\]

отсюда мы находим:
\[
\xi_{1}=-a^{2} \frac{a_{31}}{z_{A}}, \quad \eta_{1}=-b^{2} \frac{a_{32}}{z_{i}} . \quad \zeta_{1}=-c^{2} \frac{a_{33}}{z_{A}} .
\]

Подставив эти выражения в равенство (46.31) и воспользовавшись формулами (8.15) на стр. 77, мы получим уравнение искомой связи
\[
\sin ^{2} \vartheta\left(a^{2} \sin ^{2} \varphi+b^{2} \cos ^{2} \varphi\right)+c^{2} \cos ^{2} \vartheta-z_{A}^{2}=0 .
\]

Для сферы $a=b=c=R$, и мы имеем просто $R^{2}-z_{A}^{2}=0$.
П ример 144. Пусть вообще некоторая поверхность $f(\xi, \eta, \zeta, t)=0$, связанная с твёрдым телом, касается во всё время движения некоторой поверхности,
\[
F(x, y, z, t)=0,
\]

заданной в неподвижной системе координат. Воспользовавшись равенствами (8.4) на стр. 74, отнесем уравнение последней поверхности к осям $A \xi$ 々: уравнение поверхности приведется к виду
\[
F\left(x_{A}+a_{11} \xi+a_{12} \eta+a_{13} \zeta, \ldots, t\right)=\chi(\xi, \eta, \zeta, t)=0 ;
\]

при этом, конечно, в выражение $\chi$ войдут как параметры шесть координат твердого тела: $\boldsymbol{x}_{A}, \boldsymbol{y}_{A}, \boldsymbol{z}_{A}, p, \phi$, ७. Координаты точки касания $\xi_{1}, \eta_{2}, \zeta_{1}$ удовлетворяют, с одной стороны, уравнениям
\[
f(\xi, \eta, \zeta, t)=0, \quad \chi(\xi, \eta, \zeta, t)=0,
\]

так как эта точка лежит на обеих поверхностях, а с другой стороны, уравнениям
\[
\frac{\partial f}{\partial \xi}: \frac{\partial f}{\partial \eta}: \frac{\partial f}{\partial \zeta}=\frac{\partial \chi}{\partial \xi}: \frac{\partial \chi}{\partial \eta}: \frac{\partial \chi}{\partial \zeta},
\]

так как нормали к той и другой поверхности совпадают. Если из четырех уравнений (46.32) и (46.33) исключить $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}$, то получится одно уравнение связи.

Пример 145. Положим, что неизменно связанная с твёрдым телом кривая
\[
\eta=f_{1}(\xi), \quad \zeta=f_{2}(\xi)
\]

должна всё время касаться неподвижной кривой
\[
y=a(x), \quad z=\beta(x) .
\]

Отнесём неподвижную кривую к осям, неизменно связанным с телом; пусть еє уравнения примут вид
\[
\eta_{1}=\chi_{1}(\xi) ; \quad \zeta=\chi_{2}(\xi) .
\]

В функции $F_{1}$ и $F_{2}$ войдут параметрами координаты твёрдого тела. Координаты точки касания кривых обозначим $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}$. Эти величины должны удовлетворять уравнениям (46.34) и (46.35), так как точка $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}$ лежит на обеих линиях. Кроме того, совпадение касательных требует, чтобы те же координаты удовлетворяли и уравнениям
\[
\frac{d f_{1}}{d \xi}=\frac{d \chi_{1}}{d \xi} ; \quad \frac{d f_{2}}{d \xi}=\frac{d \chi_{2}}{d \xi} .
\]

Исключив из шести уравнений (46.34), (46.35) и (46.36) три координаты точки касания, мы получим искомые три уравнения связей.
Например, пусть ось $A \xi$, т. е. прямая
\[
n=0, \quad \zeta=0 \text {, }
\]

должна касаться окружности
\[
z=0, \quad x^{2}+y^{2}=1 .
\]

Уравнениями этой окружности в относительных координатах будут
\[
\begin{array}{c}
z_{A}+a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{33} \xi=0, \\
\left.\left(x_{A}+a_{11} \xi+a_{12} \eta+a_{13} \xi\right)^{2}+y_{A}+a_{21} \xi+a_{22} \eta+a_{23} \zeta\right)^{2}=1 .
\end{array}
\]

Равенства (46.36) примут вид
\[
a_{31}=0,\left(x_{A}+a_{11} \xi+a_{12} \eta+a_{13} \xi\right) a_{11}+\left(y_{A}+\dot{a}_{12} \xi+a_{22} \eta+a_{23} \xi\right) a_{21}=0 .
\]

Исключив из равенств (46.37), (46.38) и (46.39) координаты $\xi, \eta, \zeta$, находим окончательно следующие уравнения связей:
\[
z_{A}=0, \quad a_{31}=0, \quad\left(a_{21} x_{A}-a_{11} y_{A}\right)^{2}=1 .
\]

Если обе кривые станут прямыми, то уравнений связей будет не три, а четыре. Так, пусть ось $A ;$ может лишь скользить по оси $O x$; тогда уравнения (46.34) и (46.37) примут вид
\[
\eta=0, \quad \zeta=0, \quad y_{A}+a_{21} \xi+a_{22} \eta+a_{23} \zeta=0, z_{A}+a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{43} \zeta=0,
\]

а уравнения (46.36) напишутся так:
\[
a_{21}=0 ; \quad a_{31}=0 .
\]

Поэтому искомыми уравнениями связей будут
\[
y_{A}=0, \quad z_{A}=0, \quad a_{21}=0, \quad a_{31}=0 .
\]

Пример 146. Пусть принадлежащая твёрдому телу кривая
\[
\eta=f_{1}(\xi), \quad \zeta=f_{2}(\xi)
\]

должна касаться неподвижной поверхности $F(x, y, z)=0$. Если уравнение поверхности в относительных координатах есть
\[
\gamma\left(\xi, \eta_{1} \zeta\right)=0 \text {. }
\]

то координаты точки касания должны удовлетворять одновременно уравнениям

(46.40), (46.41) и ещё следующему:
\[
\frac{\partial \chi}{\partial \xi}+\frac{\partial \chi}{\partial \eta} \frac{d f_{1}}{d \xi}+\frac{\partial \chi}{\partial \zeta} \frac{d f_{2}}{d \xi}=0 ;
\]

это уравнение выражает тот факт, что нормаль к поверхности (46.41) и касательная к кривой (46.40) взаимно перпендикулярны. Исключив из четырёх уравнений (46.40), (46.41) н (46.42) координаты точки касания, мы получим искомое уравнение связи. Например, пусть окружность
\[
\xi^{2}+\eta^{2}=1, \quad \zeta=0
\]

должна касаться плоскости
\[
z=0 .
\]

Уравнением этой плоскости в относительных координатах будет
\[
z_{A}+a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{33} \xi=0 .
\]

Равенство (46.42) примет вид
\[
a_{31} \eta-a_{32} \xi=0 .
\]

Исключив из уравнений (46.43), (46.44) и (46.45) координаты $\xi, \eta, \zeta$, мы получим уравнение связи
\[
z_{A}^{2}+a_{\Xi 3}^{2}=1 .
\]

Как в этом примере, так и в примере 145 рассуждения ничуть не изменятся, если в уравнения кривых изи поверхностей войдёт явно время $t$.

Пример 147. Пусть твёрдое тело неизменно связано с гибкою нитью, не поддающейся кручению, и пусть другой конец нити соединён с часовым механизмом, сообщающим нити постоянно угловую скорость $\bar{\omega}_{\circ}$ вокруг касательной. Тогда если касательную к нити в той точке, где она прикреплена к твёрдому телу, принять за ось $A \zeta$, то уравнение данной неинтегрируемой связи будет

или, в явной форме,
\[
\omega_{\zeta}-\omega_{0}=0 \text {, }
\]
\[
\cos \theta \cdot \dot{\phi}+\dot{\varphi}-\omega_{0}=0 .
\]

Dругие примеры на неинтегрируемье связи для твёрдых тел приведены в § 188.

264. Уравнения движения несвободного твёрдого тела в общем случае. Пусть данное твёрдое тело подчинено $a$ конечным связям типа (46.23), т. е.
\[
f_{\alpha}\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \psi, \vartheta, t\right)=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a),
\]

и $b$ дифференциальным связям типа $(46.2 \overline{5})$, т. е.
\[
\begin{array}{r}
\Phi_{\beta}=u_{\beta x} \dot{x}_{A}+u_{\beta y} \dot{y}_{A}+u_{\beta z} \dot{z}_{A}+u_{\beta \psi} \dot{\phi}+u_{\beta \varphi} \dot{\varphi}+u_{\beta \theta} \dot{\vartheta}+u_{\beta}=0 \\
(\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}
\]

Сумма $a+b$ не может превышать пяти. Если уравнение (46.47) мы продифференцируем по времени, то получим:
\[
\dot{f}_{\alpha}=\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{A}} \dot{x}_{A}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{A}} \dot{y}_{A}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{A}} \dot{z}_{A}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \varphi} \dot{\varphi}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \psi} \dot{\psi}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \theta} \dot{\theta}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} ;
\]

из этого равенства вытекают соотношения
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{x}_{A}}=\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{A}}, \quad \frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{y}_{A}}=\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{A}}, \quad \frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{z}_{A}}=\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{A}} \\
\frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \varphi}, \quad \frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \phi}, \quad \frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{\theta}}=\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \theta}
\end{array}
\]

На основании общих соображений главы XXXII по поводу уравнений (32.34) на стр. 328 лагранжевыми уравнениями движения несвободного твёрдого тела будут
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{A}}-\frac{\partial T}{\partial x_{A}}=F_{x}+\sum_{a=1}^{a} \lambda_{a} \frac{\partial f_{a}}{\partial x_{A}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{x}_{A}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{y}_{A}}-\frac{\partial T}{\partial y_{A}}=F_{y}+\sum_{a=1}^{a} \lambda_{a} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{A}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{y}_{A}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{z}_{A}}-\frac{\partial T}{\partial z_{A}}=F_{z}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{a}{ }^{\prime}}{\partial z_{A}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{z}_{A}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=L_{\varphi}+\sum_{a=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \varphi}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\varphi}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}-\frac{\partial T}{\partial \psi}=L_{\phi}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \phi}+\sum_{\beta=1}^{h} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\phi}}, \\
\left.\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \vartheta}-\frac{\partial T}{\partial \vartheta}=L_{\vartheta}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \vartheta}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\vartheta}} ;\right) \\
\end{array}
\]

в этих уравнениях сохранены обозначения $\S 258$, а также использованы равенства (46.27) на стр. 514.

Приняв во внимание значения величин $F_{x}, \ldots, L_{8}$, мы на основании принципа однородности заключаем, что величины $\lambda_{a} \frac{\partial f_{a}}{\partial x_{A}} ; \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{x}_{A}}, \ldots$ представляют собой проекции реакций на неподвижные оси $O x y$, а величины $\lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{a}}{\partial \varphi}, \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \varphi}, \ldots$ являются моментами реакций относительно осей собственного вращения, прецессии и нутации.

Воспользовавшись этими соображениями, составим уравнения движения твёрдого тела, отнесённые к подвижным осям $A \xi$ гі. Левые части уравнений поступательного движения мы возьмём из формул (45.54) на стр. 503. В правых частях, кроме проекций активных сил $F_{\xi}, F_{1}, F_{6}$, выпишем проекции реакций, основываясь на сделанных замечания относительно сумм в правых частях равенств (46.52). эти суммы мы преобразуем по формулам (8.8) на стр. 74. Первым из уравнений, к которым мы придём таким способом, будет
\[
\begin{array}{r}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}^{z}}+\omega_{\eta} \frac{\partial T}{\partial v_{A t}}-\omega_{\zeta} \frac{\partial T}{\partial v_{A_{\eta}}}=F_{\xi}+\sum_{\alpha=1}^{c} \lambda_{\alpha}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{A}} a_{11}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{A}} a_{21}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{A}} a_{31}\right)+ \\
+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta}\left(\frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \dot{x}_{A}} a_{11}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{y}_{A}} a_{21}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{z}_{A}} a_{31}\right) .
\end{array}
\]

Заметим теперь, что согласно формулам (8.7) на стр. 74 между проекциями скоростей существуют следующие зависимости:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{A}=a_{11} v_{A \xi}+a_{12} v_{A \eta}+a_{13} v_{A \zeta}, \\
\dot{y}_{A}=a_{21} v_{A \xi}+a_{22} v_{A \eta}+a_{28} v_{A z}, \\
\dot{z}_{A}=a_{31} v_{A \xi}+a_{32} v_{A \eta}+a_{33} v_{A \xi} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Отсюда мы находим, что
\[
a_{11}=\frac{\partial \dot{x}_{A}}{\partial v_{A \xi}}, \quad a_{21}=\frac{\partial \dot{y}_{A}}{\partial v_{A \xi}}, \quad a_{31}=\frac{\partial \dot{z}_{A}}{\partial v_{A \xi}}, \ldots
\]

Если, кроме того, принять во внимание соотношения (46.50), то выражения в скобках в формуле (46.54) можно будет упростить следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{A}} a_{11}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{A}} a_{21}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{A}} a_{31}=\frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{x}_{A}} \frac{\partial \dot{x}_{A}}{\partial v_{A \xi}}+\frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{y}_{A}} \frac{\partial \dot{y}_{A}}{\partial v_{A \xi}}+\frac{\partial \dot{f}_{x}}{\partial \dot{z}_{A}} \frac{\partial \dot{z}_{A}}{\partial v_{A \xi}}=\frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial v_{A \xi}}, \\
\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{x}_{A}} a_{11}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{y}_{A}} a_{21}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{z}_{A}} a_{31}=\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{x}_{A}} \frac{\partial \dot{x}_{A}}{\partial v_{A \xi}}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{y}_{A}} \frac{\partial \dot{y}_{A}}{\partial v_{A \xi}}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{z}_{A}} \frac{\partial \dot{z}_{A}}{\partial v_{A \xi}}=\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial v_{A \xi}}
\end{array}
\]

В результате вместо уравнения (46.54) и двух других соответствующих уравнений мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}-\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}+\omega_{\eta} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}-\omega_{\zeta} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}=F_{\xi}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial v_{A \xi}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial v_{A \xi}^{k}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v_{A_{\eta}}}+\omega_{\zeta} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}-\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}=F_{\eta}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial v_{A_{\eta}}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial v_{A_{\eta}}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}}+\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}-\omega_{\eta} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}=F_{\xi}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial v_{A \tau}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{3} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial v_{A \xi}} .
\end{array}\right\}
\]

Чтобы написать уравнения движения твёрдого тела вокруг точки $A$, обратимся к уравнениям (45.55) на стр. 503. В равных частях этих уравнений, кроме моментов активных сил $L_{\xi}, L_{\eta}$, $L_{\eta}$, выпишем моменты реакций. Эти моменты мы вычислим по формулам (45.73) на стр. 567, заменив в них величины $L_{\phi}, L_{\psi}, L_{\theta}$ соответствующими суммами из правых частей уравнений (46.53). Тогда первое из уравнений движения вокруг полю:а $A$ примет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}+\omega_{\eta_{i}} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\zeta}}-\omega_{\zeta} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}+v_{A \eta} \frac{\partial T}{\partial v_{A T}}-v_{A \zeta} \frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}}= \\
=L_{A \xi}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha}\left\{\left(-\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \varphi} \cos \theta+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \psi}\right) \frac{\sin \varphi}{\sin \theta}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \theta} \cos \varphi\right\}+ \\
+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta}\left\{\left(-\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \varphi} \cos \vartheta+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\varphi}}\right) \frac{\sin \varphi}{\sin \vartheta}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\theta}} \cos \varphi\right\} \text {. } \\
\end{array}
\]

Для дальнейшего преобразования этого уравнения обратимся к равенствам (46.19) на стр. 512 : разрешив их относительно $\dot{\varphi}, \dot{\psi}$ и $\dot{\theta}$, мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\varphi}=\omega_{\xi}-\left(\omega_{\xi} \sin \varphi+\omega_{\eta} \cos \varphi\right) \operatorname{ctg} \vartheta \\
\dot{\psi}=\frac{\omega_{\xi} \sin \varphi+\omega_{\eta} \cos \varphi}{\sin \vartheta}, \\
\dot{\vartheta}=\omega_{\xi} \cos \varphi-\omega_{\gamma} \sin \varphi .
\end{array}\right\}
\]

Из этих равенств мы находим:
\[
\frac{\partial \dot{\varphi}}{\partial \omega_{\xi}}=-\sin \varphi \operatorname{ctg} \vartheta, \quad \frac{\partial \dot{\psi}}{\partial \omega_{\xi}}=\frac{\sin \varphi}{\sin \vartheta}, \quad \frac{\partial \dot{\theta}}{\partial \omega_{\xi}}=\cos \varphi .
\]

Если, кроме того, принять во внимание равенства (46.51), то выражения в фигурных скобках в уравнении (46.57) можно будет упростить следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left(-\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \varphi} \cos \vartheta+\frac{\partial f_{a}}{\partial \psi}\right) \frac{\sin \varphi}{\sin \vartheta}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \vartheta} \cos \varphi=\frac{\partial \dot{f}_{q}}{\partial \dot{\varphi}} \frac{\partial \dot{\varphi}}{\partial \omega_{\xi}}+\frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{\psi}} \frac{\partial \dot{\phi}}{\partial \omega_{\xi}}+\frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \dot{\vartheta}} \frac{\partial \dot{\vartheta}}{\partial \omega_{\xi}}=\frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \omega_{\xi}}, \\
\left(-\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\varphi}} \cos \vartheta+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\phi}}\right) \frac{\sin \varphi}{\sin \theta}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \vartheta} \cos \varphi=\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\varphi}} \frac{\partial \dot{\phi}}{\partial \omega_{\xi}}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\phi}} \frac{\partial \dot{\psi}}{\partial \omega_{\xi}}+\frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \dot{\vartheta}} \frac{\partial \dot{\vartheta}}{\partial \omega_{\xi}}=\frac{\partial \Phi_{\xi} .}{\partial \omega_{\xi}}
\end{array}
\]

Если воспользоваться этими соотношениями, то уравнение (46.57) и два аналогичных можно будет переписать так:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}+\omega_{\eta_{i}} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}-\omega_{\zeta} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}+v_{A \eta} \frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}-v_{A^{*}} \frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}}= \\
=L_{A \xi}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \omega_{\xi}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \omega_{\xi}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}+\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}-\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}+v_{A^{\xi}} \frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}-v_{A \xi} \frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}= \\
=L_{A \eta}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \omega_{\eta}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \omega_{\eta}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}+\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}-\omega_{\gamma_{i} \partial \omega_{\xi}}^{\partial T}+v_{A \xi} \frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}}-v_{A \eta} \frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}= \\
=L_{A \zeta}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial \dot{f}_{\alpha}}{\partial \omega_{\xi}}+\sum_{\xi=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \Phi_{\beta}}{\partial \omega_{\xi}} . \quad \\
\end{array}
\]

Если активные силы имеют силовую функцию $U$ и если производную по времени от этой функции мы обозначим $\dot{U}$, то подобно предыдущему можно будет убедиться в равенствах
\[
\begin{aligned}
F_{\xi}=\frac{\partial \dot{U}}{\partial v_{A \xi}}, \quad F_{\eta}=\frac{\partial \dot{U}}{\partial v_{A \eta}}, \quad F_{\xi}=\frac{\partial \dot{U}}{\partial v_{A \xi}}, \\
L_{A \xi}=\frac{\partial U}{\partial \omega_{\xi}}, \quad L_{A T_{i}}=\frac{\partial \dot{U}}{\partial \omega_{\eta}}, \quad L_{A \xi}=\frac{\partial \dot{U}}{\partial \omega_{\xi}} .
\end{aligned}
\]

Общий ход интегрирования системы уравнений (46.52) и (46.53) или ей аналогичной был изложен нами в §§ 177 и 189 ; там же говорилось и о соответствующих изменениях в ходе решения, если одна или несколько связей неудерживающие. Шесть уравнений (46.52) и (46.53) представляют собой систему уравнений второго порядка относительно неизвестных функций времени $x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \psi, \vartheta$. Эга система шести уравнений второго порядка заменится системой двенадцати уравнений первого порядка, если к уравнениям (46.52) и (46.53) присоединить очевидные равенства
\[
\frac{d x_{A}}{d t}=\dot{x}_{A}, \quad \frac{d y_{A}}{d t}=\dot{y}_{A}, \quad \frac{d z_{A}}{d t}=\dot{z}_{A}, \quad \frac{d \varphi}{d t}=\dot{\varphi}, \quad \frac{d \psi}{d t}=\dot{\psi}, \frac{d \theta}{d t}=\dot{\vartheta} .
\]

Уравнения (46.56) и (46.59) в соединении с шестью равенствами (46.55) и (46.58) представляют собой систему двенадцати уравнений первого порядка относительно двенадцати неизвестных функций времени
\[
x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \psi, \vartheta ; v_{A \xi}, v_{A \eta}, v_{A \xi}, \omega_{\xi}, \omega_{\eta}, \omega_{\zeta} .
\]

Легко было бы составить для несвободного твёрдого тела и уравнения типов (45.47) и (45.48) на стр. 502 , но мы на этом останавливаться не будем.