172. Уравнения движения свободной материальной системы. Пусть система состоит из $n$ частиц $m_v$; массу каждой частицы обозначим той же буквой $m_v$, а равнодействующую сил, к ней приложенных, $F_v$. Написав для каждой из частиц основное уравнение динамики (§86), мы получим уравнения движения рассматриваемой системы в векторной форме, а именно:
$$m_v{w}_v=F_v\cdot (u=1,2,\dots ,n).$$

В проекциях на оси декартовой системы координат получаем отсюда следуюшие уравнения движения:
$$m_v{\ddot{x}}_v=F_{vx},m_v{\ddot{y}}_v=F_{vy},m_v{\ddot{z}}_v=F_{vz}(u=1,2,\dots ,n).$$

Аналогично, спроектировав основное уравнение динамики на оси криволинейной системы координат общего вида, мы находим [ср. формулу (15.3) на стр. 138]:
$$\frac{m_v}{\left|\frac{d{r}_v}{d{q}_{vo}}\right|}[\frac{d}{dt}\frac{\partial \left(\frac{v_v^2}{2}\right)}{\partial {\dot{q}}_{v\sigma }}-\frac{\partial \left(\frac{v_v^2}{2}\right)}{\partial q_{vo}}]=F_{vo}(u=1,2,\dots ,n;\sigma =1,2,3).$$

Интегрирование системы дифференцнальных уравнений второго порядка вида (29.2) или (29.3) введёт $6n$ произвольных постоянных. Значения этих постоянных определятся, если будут заданы начальные положения

и начальные скорости частиц системы, т. е. их положения и скорости в некоторой момент времени $t=t_0$.

173. Примеры на движение свободной сістемы.

Пример 90. Найаё движение материальной системы, состоящей из $n$ частиц, притягивающих друг друга прямо пропорционально произведениям масс на взаимные расстояния (фиг. 110). Пусть ${\mathit{r}}_v$ и ${\mathit{r}}_{\mu }$ — соответственно радиусывекторы частиц $m_v$ и $m_{\mu }$, проведённые из начала $O$ неподвижной системы координат $Oxyz$, а $k^2$ — множитель пропорциональности. Тогда сила $F_{\text{уд }}$, с которой частица $m_{\mu }$ притягивает частицу $m_v$, будет равна
$$F_{\psi \mu }=k^2{m}_{\mu }{m}_u({\mathit{r}}_{\mu }-{\mathit{r}}_u),$$

а равнодействующая ${\mathit{F}}_{✓}$ всех сил, действующих на частицу $m_v$, получит выражение
$$F_v=k^2\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }{m}_v(r_{\mu }-r_v);$$

суммирование здесь распространяется на все значения индекса $\mu$ от 1 до $n$, так как лишний член суммы для $\mu =u$ сам собой обращается в нуль. Пишем уравнения движения системы в векторной форме (29.1); имеем
$$m_v{w}_v=k^2\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }{m}_v({\mathit{r}}_{\mu }-{\mathit{r}}_v)(v=1,2,\dots ,n).$$

Интегрирование этой системы $n$ уравнений поведём следующим образом. Просуммируем уравнения по индексу ү; мы получим:
$$\sum _{v=1}^n{m}_v{w}_v=k^2\sum _{v=1}^n\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }{m}_v({\mathit{r}}_{\mu }-r_v).$$

Сумма, стоящая в правой части, очевидно, равна нулю, так как для каждого ее члена, отличного от нуля, например члена $k^2{m}_p{m}_q({\mathit{r}}_p-{\mathit{r}}_q)$, который получается при $\mu =p,y=q$, всегдв найдётся равный по абсолютной величине и противоположный по знаку член $k^2{m}_q{m}_p({\mathit{r}}_q-{\mathit{r}}_p)$, соответствующий $\mu =q,u=p$. Следовательно,
$$\sum _{v=1}^n{m}_1{w}_{,}=0$$

Дважды проинтегрировав,это уравнение, находим:
$$\sum _{v=1}^n{m}_v{r}_v=\overline{\alpha }t+\overline{\beta },$$

где $\overline{\alpha }$ и $\overline{\beta }$ — произвольные постоянные. Левая часть последнего уравнения представляет собой статический момент системы относительно начала координат:
$$\sum _{v=1}^n{m}_v{r}_v=M{r}_C$$

гле. $M$ означает полную массу системь, а ${\mathit{r}}_C$-радиус-вектор её центра масс $C$ [см. формулу (25.3) на стр. 244]. На этом основании полученный нами интеграл уравнений движения перегишетья так:
$$r_C=\frac{\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{M}}t+\frac{\overline{\beta }}{M}$$

мы видим, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно.
Чтобы кончить интегрирование, рассмотрим движение системы по отношению к среде, движущейся поступательно вместе с центром масс $C$. Свяжем

с этой средой систему осей $C\xi \eta$, параллельных основным осям $Oxyz$; радиусывекторы частиц, проведенные из точки $C$, будем называть ${\overline{p}}_{\gamma }$. Имеем очевидные соотношения:
$$r_v=r_C+{\overline{\rho }}_v,r_{\mu }=r_C+{\overline{\rho }}_{\mu }.$$

Подставим эти выражения в уравнение движения (29.4) частицы $m_y$ и займемся* отдельно преобразованием левой и правой частей уравнения. Находим:
$${\ddot{r}}_v={\ddot{r}}_C+{\ddot{p}}_v$$

но согласно формуле (29.5) мы имеем ${\ddot{r}}_C=0$; поэтому из предыдущего равенстьа после его умножения на массу мы получаем:
$$m_v{w}_v=m_v\ddot{{\rho }_v}.$$

Далее, имеем
$$\begin{array}{rl}{k}^2\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }{m}_v({\mathit{r}}_{\mu }-{\mathit{r}}_v)& =k^2{m}_v\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }(\overline{{\rho }_{\mu }}-\overline{{\rho }_v})=\\ & =k^2{m}_v[\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }{\overline{\rho }}_{\mu }-\left(\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }\right){\overline{\rho }}_v];\end{array}$$

как известно, статический момент системы относительно ее центра масс равен нулю ( $\mathrm{\$}144$ ), т. е. $\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }{\overline{\rho }}_{\mu }=0$; поэтому прсдыдущее равенство давт:
$$k^2\sum _{\mu =1}^n{m}_u{m}_v(r_{\mu }-r_v)=-k^2{m}_{v}M\overline{{\rho }_v}.$$

Собрав результаты, мы приходим к следуюшему уравнению относительного движения частицы $m_v$ :
$$m_{\mathrm{v}}\ddot{{\rho }_v}=-k^2{m}_v{M}_{{\rho }_v};$$

это — уравнение движения частицы, притягиваемой центром масс $C$ системы с силой, прямо пропорциональной произведению масс $m_v$ и $M$ на их взаимное расстояние. Как известно (§98), траектория частицы $m_v$ представляет собой в этом случае эллипс с центром в точке $C$.

Пример 91. Пусть свободная материальная система состоит из $n$ частиц, отталкиваюших друг друга прямо пропорционально произведениям масс на их взаимные расстояния. Задача о движении этой системы решается соверненно так же, как предыдущая. Oтносительными траекториями частиц системы будут гиперболы с общим центром в центре масс системы.

Пример 92. Изучим движение свободной матери- $x$ альной системы, состоящей из двух частиц $m_1$ и $m_2$, взаимно притягиваюшихся по закону Ньютона (фиг, 111). Отнесём систему к неподвижным декартовым координатам Oxyz так же, как 9то было сделано выше в примере 90. Тогда при прежних обозначениях мы получим следующие уравнения движения наших двух частиц:
$$\begin{array}{l}{m}_1{w}_1=k^2{m}_1{m}_2\frac{{\mathit{r}}_2-{\mathit{r}}_1}{{|{\mathit{r}}_2-{\mathit{r}}_1|}^3},\\ m_2{w}_2=k^2{m}_1{m}_2\frac{{\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2}{\mid {\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2{}^3}.\end{array}$$

Сложением этих уравнений убеждаеигя, что центр масс $C$ частиц движется прямолинейно и равномерно; действительно,
$$m_1{w}_1+m_2{w}_2=0,$$

следовательно,
$$m_1{r}_1+m_2{r}_2=M{r}_C=\overrightarrow{a}t+\overline{\beta },$$

где $\overline{\alpha }$ и $\overline{\beta }$ — произвольные постоянные. Опять обратимся к рассмотрению движения системы относительно осей $C$ हो?, движущихся поступательно вместе с центром масс $C$ системы. Как и в примере 90 , имеем:
$${\mathit{r}}_1={\mathit{r}}_C+{\overline{\rho }}_1,{\mathit{r}}_2={\mathit{r}}_C+{\overline{\rho }}_2.$$

После подстановки этих значений уравнение движения (29.6) одной из частиц, например первой, перепишется так:
$$m_1\stackrel{\rightharpoonup }{{\rho }_1}=k^2\cdot m_1{m}_2\frac{{\overline{\rho }}_2-{\overline{\rho }}_1}{{|{\overline{\rho }}_2-{\overline{\rho }}_1|}^3}.$$

Для преобразования правой части этого уравнения воспользуемся формулой, выражающей то обстоятельство, что статический момент системы частиц относительно её центра масс равен нулю (§ 144); применительно к нашим двум частицам имеем
$$m_1{\overline{\rho }}_1+m_2{\overline{\rho }}_2=0\text{. }$$

Иначе можем записать:
$$\frac{{\overline{\rho }}_2}{{\overline{\rho }}_1}=\frac{m_1}{-m_2}$$

или, взяв производную пропорцию,
$$\frac{{\overline{\rho }}_2-{\overline{\rho }}_1}{{\overline{\rho }}_1}=\frac{M}{-m_2},$$

где $M=m_1+m_2$ есть сумма масс частиц. Из последнего уравнения находим:
$${\overline{f}}_2-{\overline{\rho }}_1=-\frac{M}{m_2}{\overline{\rho }}_1\text{. }$$

Подставив этот результат в уравнение (29.7), получаем:
$$m_1\ddot{{\rho }_1}=-k^2{\left(\frac{m_2}{M}\right)}^2\cdot m_1{m}_2\cdot \frac{{\overrightarrow{\rho }}_1^0}{{\rho }_1^2},$$

где ${\overline{\rho }}_1^0=\frac{{\overline{\rho }}_1}{{\rho }_1}$. Из написанного уравнения вытекает, что относительное движение частицы $m_1$ протекает так, как будто она притягивается к центру $C$ силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра. Следовательно, относительной траекторией частицы $m_1$ служит коническое сечение с фокусом в центре масс $C$ (§112). Из уравнения (29.8) видно, что траектория частицы $m_2$ подобна траектории частицы $m_1$, и центр подобия находится в точке $C$.

Интересно, кроме осей $C\xi \zeta$, движущихся поступательно вместе с центром масс $C$, взять оси $m_{2}XYZ$, движущиеся поступательно вместе с частицей $m_2$, и рассмотреть относительное движение частицы $m_1$ относительно этих осей. Обозначим радиус-вектор частицы $m_1$, проведенный из частицы $m_2$, через $R_1$ (фиг. 111). Очевидно,
$$R_1={\overline{\beta }}_1-{\overline{\rho }}_2;$$

поэтому из уравнения (29.9) получаем:
$$R_1=\frac{M}{m_2}{\overline{\rho }}_1$$

Как видим, получается траектория, подобная траектории частицы $m_1$ в системе СЕпб, т. е. опять коническое сечение. Фокусом его является точка $m_2$. Итак, траектория частицы $m_1$ вокруг $C,m_2$ вэкруг $C,m_1$ вокруг $m_2$ и, очевидно, $m_2$ вокруг $m_1$ — подобные между собой конические сечения; отношения подобия для них равны $m_2:m_1:M:M$.