172. Уравнения движения свободной материальной системы. Пусть система состоит из $n$ частиц $m_{v}$; массу каждой частицы обозначим той же буквой $m_{v}$, а равнодействующую сил, к ней приложенных, $F_{v}$. Написав для каждой из частиц основное уравнение динамики (§86), мы получим уравнения движения рассматриваемой системы в векторной форме, а именно:
\[
m_{v} w_{v}=F_{v} \cdot(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

В проекциях на оси декартовой системы координат получаем отсюда следуюшие уравнения движения:
\[
m_{v} \ddot{x}_{v}=F_{v x}, \quad m_{v} \ddot{y}_{v}=F_{v y}, \quad m_{v} \ddot{z}_{v}=F_{v z} \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

Аналогично, спроектировав основное уравнение динамики на оси криволинейной системы координат общего вида, мы находим [ср. формулу (15.3) на стр. 138]:
\[
\frac{m_{v}}{\left|\frac{d r_{v}}{d q_{v o}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v_{v}^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{v \sigma}}-\frac{\partial\left(\frac{v_{v}^{2}}{2}\right)}{\partial q_{v o}}\right]=F_{v o} \quad(
u=1,2, \ldots, n ; \sigma=1,2,3) .
\]

Интегрирование системы дифференцнальных уравнений второго порядка вида (29.2) или (29.3) введёт $6 n$ произвольных постоянных. Значения этих постоянных определятся, если будут заданы начальные положения

и начальные скорости частиц системы, т. е. их положения и скорости в некоторой момент времени $t=t_{0}$.

173. Примеры на движение свободной сістемы.

Пример 90. Найаё движение материальной системы, состоящей из $n$ частиц, притягивающих друг друга прямо пропорционально произведениям масс на взаимные расстояния (фиг. 110). Пусть $\boldsymbol{r}_{v}$ и $\boldsymbol{r}_{\mu}$ – соответственно радиусывекторы частиц $m_{v}$ и $m_{\mu}$, проведённые из начала $O$ неподвижной системы координат $O x y z$, а $k^{2}$ – множитель пропорциональности. Тогда сила $F_{\text {уд }}$, с которой частица $m_{\mu}$ притягивает частицу $m_{v}$, будет равна
\[
F_{\psi \mu}=k^{2} m_{\mu} m_{
u}\left(\boldsymbol{r}_{\mu}-\boldsymbol{r}_{
u}\right),
\]

а равнодействующая $\boldsymbol{F}_{\checkmark}$ всех сил, действующих на частицу $m_{v}$, получит выражение
\[
F_{v}=k^{2} \sum_{\mu=1}^{n} m_{\mu} m_{v}\left(r_{\mu}-r_{v}\right) ;
\]

суммирование здесь распространяется на все значения индекса $\mu$ от 1 до $n$, так как лишний член суммы для $\mu=
u$ сам собой обращается в нуль. Пишем уравнения движения системы в векторной форме (29.1); имеем
\[
m_{v} w_{v}=k^{2} \sum_{\mu=1}^{n} m_{\mu} m_{v}\left(\boldsymbol{r}_{\mu}-\boldsymbol{r}_{v}\right) \quad(v=1,2, \ldots, n) .
\]

Интегрирование этой системы $n$ уравнений поведём следующим образом. Просуммируем уравнения по индексу ү; мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} w_{v}=k^{2} \sum_{v=1}^{n} \sum_{\mu=1}^{n} m_{\mu} m_{v}\left(\boldsymbol{r}_{\mu}-r_{v}\right) .
\]

Сумма, стоящая в правой части, очевидно, равна нулю, так как для каждого ее члена, отличного от нуля, например члена $k^{2} m_{p} m_{q}\left(\boldsymbol{r}_{p}-\boldsymbol{r}_{q}\right)$, который получается при $\mu=p, y=q$, всегдв найдётся равный по абсолютной величине и противоположный по знаку член $k^{2} m_{q} m_{p}\left(\boldsymbol{r}_{q}-\boldsymbol{r}_{p}\right)$, соответствующий $\mu=q,
u=p$. Следовательно,
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{1} w_{,}=0
\]

Дважды проинтегрировав,это уравнение, находим:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} r_{v}=\bar{\alpha} t+\bar{\beta},
\]

где $\bar{\alpha}$ и $\bar{\beta}$ – произвольные постоянные. Левая часть последнего уравнения представляет собой статический момент системы относительно начала координат:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} r_{v}=M r_{C}
\]

гле. $M$ означает полную массу системь, а $\boldsymbol{r}_{C}$-радиус-вектор её центра масс $C$ [см. формулу (25.3) на стр. 244]. На этом основании полученный нами интеграл уравнений движения перегишетья так:
\[
r_{C}=\frac{\vec{a}}{\vec{M}} t+\frac{\bar{\beta}}{M}
\]

мы видим, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно.
Чтобы кончить интегрирование, рассмотрим движение системы по отношению к среде, движущейся поступательно вместе с центром масс $C$. Свяжем

с этой средой систему осей $C \xi \eta$, параллельных основным осям $O x y z$; радиусывекторы частиц, проведенные из точки $C$, будем называть $\bar{p}_{\gamma}$. Имеем очевидные соотношения:
\[
r_{v}=r_{C}+\bar{\rho}_{v}, \quad r_{\mu}=r_{C}+\bar{\rho}_{\mu} .
\]

Подставим эти выражения в уравнение движения (29.4) частицы $m_{y}$ и займемся* отдельно преобразованием левой и правой частей уравнения. Находим:
\[
\ddot{r}_{v}=\ddot{r}_{C}+\ddot{p}_{v}
\]

но согласно формуле (29.5) мы имеем $\ddot{r}_{C}=0$; поэтому из предыдущего равенстьа после его умножения на массу мы получаем:
\[
m_{v} w_{v}=m_{v} \ddot{\rho_{v}} .
\]

Далее, имеем
\[
\begin{aligned}
k^{2} \sum_{\mu=1}^{n} m_{\mu} m_{v}\left(\boldsymbol{r}_{\mu}-\boldsymbol{r}_{v}\right) & =k^{2} m_{v} \sum_{\mu=1}^{n} m_{\mu}\left(\overline{\rho_{\mu}}-\overline{\rho_{v}}\right)= \\
& =k^{2} m_{v}\left[\sum_{\mu=1}^{n} m_{\mu} \bar{\rho}_{\mu}-\left(\sum_{\mu=1}^{n} m_{\mu}\right) \bar{\rho}_{v}\right] ;
\end{aligned}
\]

как известно, статический момент системы относительно ее центра масс равен нулю ( $\$ 144$ ), т. е. $\sum_{\mu=1}^{n} m_{\mu} \bar{\rho}_{\mu}=0$; поэтому прсдыдущее равенство давт:
\[
k^{2} \sum_{\mu=1}^{n} m_{u} m_{v}\left(r_{\mu}-r_{v}\right)=-k^{2} m_{v} M \overline{\rho_{v}} .
\]

Собрав результаты, мы приходим к следуюшему уравнению относительного движения частицы $m_{v}$ :
\[
m_{\mathrm{v}} \ddot{\rho_{v}}=-k^{2} m_{v} M_{\rho_{v}} ;
\]

это – уравнение движения частицы, притягиваемой центром масс $C$ системы с силой, прямо пропорциональной произведению масс $m_{v}$ и $M$ на их взаимное расстояние. Как известно (§98), траектория частицы $m_{v}$ представляет собой в этом случае эллипс с центром в точке $C$.

Пример 91. Пусть свободная материальная система состоит из $n$ частиц, отталкиваюших друг друга прямо пропорционально произведениям масс на их взаимные расстояния. Задача о движении этой системы решается соверненно так же, как предыдущая. Oтносительными траекториями частиц системы будут гиперболы с общим центром в центре масс системы.

Пример 92. Изучим движение свободной матери- $x$ альной системы, состоящей из двух частиц $m_{1}$ и $m_{2}$, взаимно притягиваюшихся по закону Ньютона (фиг, 111). Отнесём систему к неподвижным декартовым координатам Oxyz так же, как 9то было сделано выше в примере 90. Тогда при прежних обозначениях мы получим следующие уравнения движения наших двух частиц:
\[
\begin{array}{l}
m_{1} w_{1}=k^{2} m_{1} m_{2} \frac{\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}}{\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}, \\
m_{2} w_{2}=k^{2} m_{1} m_{2} \frac{\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}}{\mid \boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}{ }^{3}} .
\end{array}
\]

Сложением этих уравнений убеждаеигя, что центр масс $C$ частиц движется прямолинейно и равномерно; действительно,
\[
m_{1} w_{1}+m_{2} w_{2}=0,
\]

следовательно,
\[
m_{1} r_{1}+m_{2} r_{2}=M r_{C}=\vec{a} t+\bar{\beta},
\]

где $\bar{\alpha}$ и $\bar{\beta}$ – произвольные постоянные. Опять обратимся к рассмотрению движения системы относительно осей $C$ हो?, движущихся поступательно вместе с центром масс $C$ системы. Как и в примере 90 , имеем:
\[
\boldsymbol{r}_{1}=\boldsymbol{r}_{C}+\bar{\rho}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}=\boldsymbol{r}_{C}+\bar{\rho}_{2} .
\]

После подстановки этих значений уравнение движения (29.6) одной из частиц, например первой, перепишется так:
\[
m_{1} \stackrel{\rightharpoonup}{\rho_{1}}=k^{2} \cdot m_{1} m_{2} \frac{\bar{\rho}_{2}-\bar{\rho}_{1}}{\left|\bar{\rho}_{2}-\bar{\rho}_{1}\right|^{3}} .
\]

Для преобразования правой части этого уравнения воспользуемся формулой, выражающей то обстоятельство, что статический момент системы частиц относительно её центра масс равен нулю (§ 144); применительно к нашим двум частицам имеем
\[
m_{1} \bar{\rho}_{1}+m_{2} \bar{\rho}_{2}=0 \text {. }
\]

Иначе можем записать:
\[
\frac{\bar{\rho}_{2}}{\bar{\rho}_{1}}=\frac{m_{1}}{-m_{2}}
\]

или, взяв производную пропорцию,
\[
\frac{\bar{\rho}_{2}-\bar{\rho}_{1}}{\bar{\rho}_{1}}=\frac{M}{-m_{2}},
\]

где $M=m_{1}+m_{2}$ есть сумма масс частиц. Из последнего уравнения находим:
\[
\bar{f}_{2}-\bar{\rho}_{1}=-\frac{M}{m_{2}} \bar{\rho}_{1} \text {. }
\]

Подставив этот результат в уравнение (29.7), получаем:
\[
m_{1} \ddot{\rho_{1}}=-k^{2}\left(\frac{m_{2}}{M}\right)^{2} \cdot m_{1} m_{2} \cdot \frac{\vec{\rho}_{1}^{0}}{\rho_{1}^{2}},
\]

где $\bar{\rho}_{1}^{0}=\frac{\bar{\rho}_{1}}{\rho_{1}}$. Из написанного уравнения вытекает, что относительное движение частицы $m_{1}$ протекает так, как будто она притягивается к центру $C$ силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра. Следовательно, относительной траекторией частицы $m_{1}$ служит коническое сечение с фокусом в центре масс $C$ (§112). Из уравнения (29.8) видно, что траектория частицы $m_{2}$ подобна траектории частицы $m_{1}$, и центр подобия находится в точке $C$.

Интересно, кроме осей $C \xi \zeta$, движущихся поступательно вместе с центром масс $C$, взять оси $m_{2} X Y Z$, движущиеся поступательно вместе с частицей $m_{2}$, и рассмотреть относительное движение частицы $m_{1}$ относительно этих осей. Обозначим радиус-вектор частицы $m_{1}$, проведенный из частицы $m_{2}$, через $R_{1}$ (фиг. 111). Очевидно,
\[
R_{1}=\bar{\beta}_{1}-\bar{\rho}_{2} ;
\]

поэтому из уравнения (29.9) получаем:
\[
R_{1}=\frac{M}{m_{2}} \bar{\rho}_{1}
\]

Как видим, получается траектория, подобная траектории частицы $m_{1}$ в системе СЕпб, т. е. опять коническое сечение. Фокусом его является точка $m_{2}$. Итак, траектория частицы $m_{1}$ вокруг $C, m_{2}$ вэкруг $C, m_{1}$ вокруг $m_{2}$ и, очевидно, $m_{2}$ вокруг $m_{1}$ – подобные между собой конические сечения; отношения подобия для них равны $m_{2}: m_{1}: M: M$.