194. Обобщённые импульсы. Союзное выражение кинетической энергии. Самые общие уравнения движения несвободной системы в обобщённых координатах и при наличии как конечных, так и дифференциальных связей были даны нами в формуле (32.34) на стр. 328. Интегрирование этой системы уравнений второго порядка всегда может быть заменено интегрированием системы вдвое большего числа уравнений, но первого порядка. Для этого нужно прежде всего исключить множители связей приёмом, указанным в конце $\S 189$, и привести уравнения к виду (32.40): на стр. 330. Затем следует разрешить эти уравнения относительно ускорений $\ddot{q}_{\sigma}$, т. е. представить эти ускорения как функции времени, координат и скоростей подобно тому, как это было сделано при написании формул (32.52). на стр. 334:
\[
\ddot{q}_{a}=P_{\sigma}\left(q_{a}, \dot{q}_{\sigma}, t\right) .
\]

Отсюда можно перейти к уравнениям:
\[
\frac{d \dot{q}_{1}}{P_{1}}=\frac{d \dot{q}_{2}}{P_{2}}=\ldots=\frac{d \dot{q}_{s}}{P_{s}}=\frac{d q_{1}}{\dot{q}_{1}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\dot{q}_{s}}=\frac{d t}{1},
\]

сделав это совершенно так же, как и при выводе формулы (32.53) на стр: 334 .

Полученные уравнения заключают в себе $2 s$ неизвестных функций времени $q_{0}$ и $\dot{q}_{\sigma}$. Вместо $s$ последних функций $\dot{q}_{\sigma}$ удобнее ввести в рассмотрение функции $p_{0}$, линейно связанные с ними такими уравнениями:
\[
p_{o}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}},
\]

или, подробнее,
\[
p_{\mathrm{o}}=a_{\mathrm{\sigma} 1} \dot{q}_{1}+a_{\mathrm{a} 2} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{\mathrm{os}} \dot{q}_{s}+a_{\mathrm{o}}
\]
[ср. формулу (32.39) на стр. 330]. По аналогии с декартовыми координатами, для которых по формуле (32.25) на стр. 326
\[
p_{\mathrm{o}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}_{\mathrm{g}}}=m_{\mathrm{o}} \dot{\xi}_{\mathrm{a}},
\]

величины $p_{\text {o }}$ называются обобщёнными импульсами. Решив уравнения (33.3) относительно скоростей $\dot{q}_{\sigma}$, получаем:
\[
\dot{q}_{\sigma}=b_{\sigma 1} p_{1}+b_{\sigma 2} p_{2}+\ldots+b_{\sigma s} p_{s}+b_{\sigma} .
\]

Найдем соотношения между коэффициентами $a_{\text {op }}$ и $b_{\text {op }}$. Согласно формулам (32.37) на стр. 329 определитель $\Delta$, составленный из коэффициентов $a_{\text {op }}$, является симметрическим. Обозначим $A_{\text {op }}$ адъюнкту элемента $a_{\text {op }}$. Тогда, очевидно, будем иметь
\[
b_{\sigma \rho}=\frac{A_{\sigma 0}}{\Delta}=\frac{A_{\rho 0}}{\Delta}=b_{\rho \sigma} .
\]

Если в выражения (33.4) вставим значения (33.3) для $p_{\sigma}$, то правые части должны тождественно обратиться в $\dot{q}$, а потому между коэффициентами $a_{\text {op }}, b_{\text {op }}, a_{\sigma}, b_{\sigma}$ должны иметь место соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\lambda=1}^{s} b_{\sigma \lambda} a_{\lambda \rho}=\left\{\begin{array}{l}
0, \text { если } \rho
eq \sigma, \\
1, \text { если } \rho=\sigma ;
\end{array}\right. \\
b_{0}+\sum_{\lambda=1}^{s} a_{\lambda} b_{\sigma \lambda}=0 .
\end{array}
\]

Соотношения (33.5) и (33.6) вытекают также из свойства адъюнкт $A_{\text {op }}$ определителя $\Delta$. Если, наоборот, значения (33.4) для $\dot{q}_{\text {。 }}$ вставим в выражения (33.3), то правые части допжны тождественно обратиться в $p_{q}$; отсюда опять получаются соотношения (33.5), а также следующие:
\[
a_{\sigma}+\sum_{\lambda=1}^{s} b_{\lambda} a_{\sigma \lambda}=0 .
\]

Всякая функция $\varphi$ от координат $q_{\sigma}$, скоростей $\dot{q}_{\text {。 }}$ и времени $t$ в силу уравнений (33.4) может быть преобразована в функцию $\hat{\varphi}$ от $t, q_{\circ}$ и импульсов $p_{\sigma}$ :
\[
\varphi\left(t, q_{\sigma}, \dot{q}_{\sigma}\right)=\bar{\varphi}\left(t, q_{\sigma}, p_{\sigma}\right) ;
\]

дугою над буквой $\varphi$ мы отмечаем, что зависимость $\hat{\varphi}$ от аргументов $t, q_{a}, p_{0}$, вообще говоря, совсем. не та, какова была раньше в отношении аргументов $t, q_{3}, \dot{q}_{s}$. Когда в какой-либо функции скорости при помощи уравнений (33.4) заменены импульсами, мы будем говорить, что взято союзное выражение этой функции; так; $\hat{\varphi}$ служит союзным выражением функции $\varphi$. [Іеременные $t, q_{\sigma}, \dot{q_{\sigma}}$ называются латранжевыми переменными, а переменные $t, q_{0}, p_{0}$ – каноническими.

Рассмотрим, каково будет союзное выражение кинетической энергии системы. Мы видели, что кинетическая энергия $T$ в общем случае может быть представлена как сумма однородных функций второй, первой и нулевой степени относительно скоростей [формула (32.35) на стр. 329];
\[
T=T_{2}+T_{1}+T_{0},
\]

где
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1, p=1}^{s, s} a_{\sigma p} \dot{q}_{\sigma} \dot{q}_{p} ; \quad T_{1}=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{s} a_{\sigma} \dot{q}_{\sigma} ; \quad T_{0}=\frac{c}{2} .
\]

Рассмотрим сумму:
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} \dot{q}_{\sigma} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=\sum_{\sigma=1}^{s} \dot{q}_{\sigma} \frac{\partial T_{2}}{\partial \dot{q}_{\delta}}+\sum_{\sigma=1}^{s} \dot{q}_{\sigma} \frac{\partial T_{1}}{\partial \dot{q}_{\sigma}}+\sum_{\sigma=1}^{s} \dot{q}_{\sigma} \frac{\partial T_{0}}{\partial \dot{q}_{\sigma}} .
\]

Вспомним известную теорему Эйлера об однородных функциях: если функция $\omega\left(u_{v}\right)$, где $
u=1,2, \ldots, n$, однородна относительно аргументов $u_{
u}$, и притом степень еє однородности равна $k$, то
\[
\sum_{v=1}^{n} u_{v} \frac{\partial, v}{\partial u_{v}}=k \omega\left(u_{v}\right) .
\]

На этом основании предыдущее равенство может быть переписано так:
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} \dot{q}_{\sigma} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=2 T_{2}+T_{1} .
\]

Прибавим к обеим частям этого равенства сумму $T_{1}+2 T_{0}$; тогда справа согласно равенству (33.7) получится $2 T$, и, следовательно, для кинетической энергии мы можем написать выражение
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{s} \dot{q}_{\sigma} p_{\sigma}+\frac{1}{2} T_{1}+T_{0} .
\]

Вставим сюда значения (33.4) для $\dot{q}_{\mathrm{s}}$; тогда, обозначив $\widehat{T}$ союзное выражение кинетической энергии, мы найдём:
\[
\widehat{T}=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1, \rho=1}^{s, s} b_{\sigma \rho} p_{\sigma} p_{\rho}+\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{s} b_{\sigma} p_{\sigma}+\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{s}\left(a_{\sigma} \sum_{\rho=1}^{s} b_{\sigma \rho} p_{\rho}\right)_{\rho}+\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{s} a_{\sigma} b_{\sigma}+T_{\theta} .
\]

Переменив в третьем слагаемом правой части порядок суммирования, мы можем второе и третье слагаемне соединить в одно следующее:
\[
\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{s} p_{s}\left(b_{\sigma}+\sum_{\rho=1}^{s} a_{\rho} b_{\alpha \rho}\right) ;
\]

по свойству (33.6) эта сумма обрацается в нуль. Таким образом, искомое союзное выражение кинетической энергии будет:
\[
\widehat{T}=\widehat{T}_{8}+\widehat{T}_{0},
\]

где
\[
\widehat{T}_{2}=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1, \rho=1}^{s, s} b_{\sigma \rho} p_{\sigma} p_{\rho}, \quad \widehat{T}_{0}=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{s} a_{\sigma} b_{\sigma}+T_{\theta} .
\]

Как видим, союзное выражение кинетической энергии не содержит вовсе членов, линейных относительно обобщённых импульсов.

Пример 102. Для декартовых координат $\xi_{v}$, введённых в § 188 с помощью формул (32.2), импульсы будут иметь выражение
\[
p_{v}=m_{v} \xi_{v} ;
\]

следовательно, союзное выражение кинетической энергии будет
\[
\widehat{T}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{3 n_{i}} \frac{p_{v}^{2}}{m_{v}} .
\]

Пример 103. В сферических координатах $r$, ф, ф кинетическая энергия имеет выражение
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\psi}^{2}+r^{2} \cos ^{2} \psi \cdot \dot{\varphi}^{2}\right),
\]

поэтому импульсы будут
\[
p_{1}=m \dot{r}, \quad p_{3}=r^{2} \dot{\phi}, \quad p_{3}=m r^{2} \cos ^{2} \psi \cdot \dot{\varphi}^{2} ;
\]

следовательно, союзное выражение кинетической энергии напишется так:
\[
\widehat{T}=\frac{1}{2 m}\left(p_{1}^{2}+\frac{1}{r^{2}} p_{2}^{2}+\frac{1}{r^{2} \cos ^{2} \psi} p_{3}^{2}\right) .
\]

Пример 104. Рассмотрим эллиптические координаты ( $\$ 156$ ) и найдемм кинетическую энергию и еє̆ союзное выражение. Возвысим в квадрат равенства (26.31), (26.32), (26.33) на стр. 262, прологарифмируем их и затем продифференцируем; мы получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{2 d x}{x}=\frac{d \lambda_{1}}{a^{2}+\lambda_{1}}+\frac{d \lambda_{2}}{a^{2}+\lambda_{2}}+\frac{d \lambda_{3}}{a^{2}+\lambda_{3}}, \\
\frac{2 d y}{y}=\frac{d \lambda_{1}}{b^{2}+\lambda_{1}}+\frac{d \lambda_{2}}{b^{2}+\lambda_{2}}+\frac{d \lambda_{3}}{b^{2}+\lambda_{3}}, \\
\frac{2 d z}{\cdot z}=\frac{d \lambda_{2}}{c^{2}+\lambda_{1}}+\frac{d \lambda_{2}}{c^{2}+\lambda_{2}}+\frac{d \lambda_{3}}{c^{2}+\lambda_{3}} .
\end{array}
\]

Определим отсюда $d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$, причём воспользуемся обозначениями (26.35), (26.36), (26.37) на стр. 263 , а также соотношениями (26.30) на стр. 262; мы найдём:
\[
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=\frac{1}{4}\left(L_{1}^{2} d \lambda_{1}^{2}+L_{2}^{2} d \lambda_{2}^{2}+L_{3}^{2} d \lambda_{3}^{2}\right) .
\]

Отсюда для кинетической энергии получим следующее выражение:
\[
T=\frac{m}{8}\left(L_{1}^{2} \dot{\lambda}_{1}^{2}+L_{2}^{2} \dot{\lambda}_{2}^{2}+L_{3}^{2} \dot{\lambda}_{1}^{2}\right) .
\]

Теперь определим импульсы; имеем
\[
p_{1}=\frac{m}{4} L_{1}^{2} \dot{\lambda}_{1}, \quad p_{2}=\frac{m}{4} L_{2}^{2} \dot{\lambda}_{2}, \quad p_{3}=\frac{m}{4} L_{3}^{2} \dot{\lambda}_{3} .
\]

Соююное выражение для кинетической энергии получается следующее:
\[
\widehat{T}=\frac{2}{m}\left(\frac{p_{1}^{2}}{L_{1}^{2}}+\frac{p_{2}^{2}}{L_{2}^{2}}+\frac{p_{3}^{2}}{L_{3}^{2}}\right) .
\]

Пример 105. Рассмотрим материальную систему, движущуюся в плоскогти и состоящую из двух частиц $m_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)$ и $m_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$, имеющих равные магсы $m$; частица $m_{1}$ пусть при этом остаётся на прямой
\[
y_{1}-i t=0 .
\]

а другая пусть связана с ней стержнем, длина которого равна $a$. Число степеней свободы системы равно двум. За независимые координаты выберем $x_{1}$ и угол $\varphi$, который стержень $m_{1} m_{2}$ образует с осью Ox. Тогда
\[
x_{1}=x_{1}, \quad y_{1}=l t, \quad x_{2}=x_{1}+a \cos \varphi, \quad y_{2}=t t+a \sin \varphi .
\]

Продифференцировав эти равенства, находим:
\[
\dot{x}_{1}=\dot{x}_{1}, \quad \dot{y}_{1}=l, \quad \dot{x}_{2}=\dot{x}_{1}-a \sin \varphi \cdot \dot{\varphi}, \quad \dot{y}_{2}=l+a \cos \varphi \cdot \varphi .
\]

Отсюда получаем для кинетической энергии такое выражение:
\[
T=\dot{x}_{1}^{2}+\frac{1}{2} a^{2} \dot{\varphi}^{2}-a \sin \varphi \cdot \dot{x}_{1} \dot{\varphi}+a l \cos \varphi \cdot \dot{\varphi}+l^{2} .
\]

Здесь в соответствии с обозначениями (33.7) имеем
\[
\begin{array}{l}
T_{2}=\dot{x}_{1}^{2}+\frac{1}{2} a^{2} \dot{\varphi}^{2}-\dot{a} \sin \dot{\varphi} \cdot x_{1} \dot{\varphi}, \\
T_{1}=a l \cos \varphi \cdot \dot{\varphi}, \\
T_{0}=l 2
\end{array}
\]

Для импульсов получаем следующие выражения:
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=2 \dot{x}_{1}-a \sin \varphi \cdot \dot{\varphi}, \\
p_{2}=-a \sin \varphi \cdot \dot{x}_{1}+a^{2} \dot{\varphi}+a l \cos \varphi .
\end{array}
\]

Решив эти уравнения относительно скоростей, находим:
\[
\begin{aligned}
\dot{x}_{1} & =\frac{1}{a\left(1+\cos ^{2} \varphi\right)}\left(a p_{1}+p_{2} \sin \varphi-a l \sin \varphi \cdot \cos \varphi\right), \\
\dot{\varphi} & =\frac{1}{a^{2}\left(1+\cos ^{2} \varphi\right)}\left(a p_{1} \sin \varphi+2 p_{2}-2 a l \cos \varphi\right) .
\end{aligned}
\]

Чтобы составить союзное выражение кинетической энергии, воспользуемся равенством (33.8); имеем
\[
\begin{array}{l}
2 \widehat{T}=p_{1} \dot{x_{1}}+p_{2} \dot{\varphi}+T_{1}+2 T_{0}= \\
=\frac{1}{a^{2}\left(1+\cos ^{2} \varphi\right)}\left|a^{2} p_{1}^{2}+2 a \sin \varphi \cdot p_{1} p_{2}+2 p_{2}^{2}-a^{2} l \sin \varphi \cos \varphi \cdot p_{1}-2 a l \cos \varphi \cdot p_{2}\right|+ \\
+\frac{l \cos \varphi}{a\left(1+\cos ^{2} \varphi\right)}\left(a \sin \varphi \cdot p_{1}+2 p_{2}-2 a l \cos \varphi\right)+2 l^{2} .
\end{array}
\]

После упрощений найдём:
\[
\widehat{T}=\frac{1}{2 a^{2}\left(1+\cos ^{2} \varphi\right)}\left(a^{2} p_{1}^{2}+2 a \sin \varphi \cdot p_{1} p_{2}+2 p_{2}^{2}\right)+\frac{l^{2}}{1+\cos ^{2} \varphi} .
\]

195. Теоремы Донкина. Уравнения Гамильтона. Канонические уравнения. Прежде чем приступим к замене скоростей импульсами в системе уравнений (33.1), выведем некоторые вспомогательные теоремы, полученные впервые Донкином (Donkin) ‘). Пусть мы имеем некоторую функцию $X$ от независимых переменных $x_{\sigma}(\sigma=1,2,3, \ldots, s)$; рассмотрим новые переменные $y_{a}$, следующим образом связанные с прежними:
\[
y_{1}=\frac{\partial X}{\partial x_{1}}, y_{2}=\frac{\partial X}{\partial x_{2}}, \ldots, y_{\sigma}=\frac{\partial X}{\partial x_{\sigma}}, \ldots, y_{s}=\frac{\partial X}{\partial x_{s}} .
\]

Если из этих $s$ уравнений возможно определить переменные $x_{\alpha}$ как функции от переменных $y_{\rho}(\rho=1,2, \ldots, s)$, т. е.
\[
x_{\sigma}=x_{\sigma}\left(y_{\rho}\right) \text {, }
\]

то, оказывается, все $x_{\circ}$ в свою очередь выражаются как частные производные от некоторой функции $Y$, эависящей от переменных $y_{p}$ :
\[
x_{0}=x_{\sigma}\left(y_{0}\right)=\frac{\partial Y}{\partial y_{0}} \text {. }
\]

В самом деле, из равенств (33.12) вытекает, что
\[
d X=\sum_{\sigma=1}^{s} y_{\sigma} d x_{\circ}
\]

Прибавим к обеим частям этого равенства выражение
\[
\sum_{a=1}^{s} x_{\sigma} d y_{\sigma} ;
\]

мы получим:
\[
\sum_{0=1}^{s} x_{0} d y_{0}+d X=\sum_{0=1}^{s}\left(y_{0} d x_{0}+x_{0} d y_{0}\right),
\]

или
\[
\sum_{\alpha=1}^{s} x_{0} d y_{\sigma}=\sum_{0=1}^{s} d\left(x_{0} y_{0}\right)-d X=d\left\{\sum_{0=1}^{s} x_{0} y_{0}-X\right\} .
\]

Отсюда ясно, что выражение
\[
\sum_{0=1}^{s} x_{0} d y_{0}
\]

представляет собой полный дифференциал функции $Y$, определяемой равенством
\[
Y=\sum_{0=1}^{s} x_{0} y_{0}-X ;
\]

таким образом, соотношения (33.13) доказаны. Кроме того, мы видим, что обе функции $X$ и $Y$ следуюшим образом связаны друг с другом:
\[
X+Y=\sum_{\sigma=1}^{s} x_{s} y_{\sigma} .
\]

Написанное равенство станет тождественным линь тогда, когда обе части выражены только через переменные $x_{0}$ или только через переменные $y_{\sigma^{*}}$

Положим теперь, что функция $X^{\circ}$ содержит, кроме переменных $x_{a}$, ешё другие переменные $\xi_{0}$ в произвольном числе. Тогда эти переменные, вообще говоря, войдут как, параметры в уравнения (33.12), а следовательно, и в функцию $Y$. Сравним между собой производнше от функций $X$ и $Y$ по этим перемснным. Продифференцируем равенство (33.14) по $\xi_{0}$, предположив, что все переменные выражены через переменные $\boldsymbol{x}_{\mathrm{o}}$; имеем
\[
\frac{\partial X}{\partial \xi_{0}}+\frac{\partial Y}{\partial \xi_{0}}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial Y}{\partial y_{\rho}} \cdot \frac{\partial y_{0}}{\partial \xi_{0}}=\sum_{\rho=1}^{s} x_{\rho} \frac{\partial y_{0}}{\partial \xi_{0}} .
\]

Согласно равенству (33.13) члены, содержащие символы $\Sigma$, уничтожаются, и, следовательно, мы получаем:
\[
\frac{\partial X}{\partial \xi_{0}}=-\frac{\partial Y}{\partial \xi_{o}} .
\]

Пример 106. Пусть функция $X$ равна
\[
X=\varepsilon_{1} x_{2} x_{3}
\]

тогда
\[
y_{1}=\varepsilon x_{2} x_{8}, \quad y_{2}=\varepsilon x_{3} x_{1}, \quad y_{3}=\varepsilon x_{1} x_{2} .
\]

Отсюда получаем:
\[
x_{1}=\sqrt{\frac{y_{2} y_{3}}{\xi y_{1}}}, \quad x_{2}=\sqrt{\frac{y_{3} y_{1}}{\xi y_{2}}}, \quad x_{9}=\sqrt{\frac{y_{1} y_{2}}{\xi y_{3}}} .
\]

Функцией $Y$, очевидно, служит
\[
Y=2 \sqrt{\frac{y_{1} y_{2} y_{3}}{\xi}} .
\]

Соотношение (33.14) напишется так:
\[
\varepsilon x_{1} x_{2} x_{3}+2 \sqrt{\frac{y_{1} y_{2} y_{3}}{\xi}}=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{3}+x_{3} y_{3} .
\]

Отсюда получаем следующие значения частных производных $\frac{\partial X}{\partial \xi}$ и $\frac{\partial Y}{\partial \xi}$ :
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial X}{\partial \xi}=x_{1} x_{2} x_{s}, \\
\frac{\partial Y}{\partial \xi}=-\frac{\sqrt{y_{1} y_{2} y_{3}}}{\xi \sqrt{\xi}}=-x_{1} x_{2} x_{3} ;
\end{array}
\]

таким образом, равенство (33.15) выполняется.
Положим теперь, что функцией $X$ служит кинетическая энергия $T$ рассматриваемой материальной системы, а за переменные $x_{\sigma}$ взяты скорости $\dot{q}_{a}$; тогда переменными $y_{0}$ будут импульсы $p_{0}$ :
\[
p_{\mathrm{o}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\mathrm{o}}} \text {. }
\]

Согласно теоремам (33.13) и (33.14) из этих уравнений вытекает, что
\[
\dot{q}_{0}=\frac{\partial \Phi}{\partial p_{0}}
\]

где фунция $\Phi$ равна
\[
\Phi=\sum_{0=1}^{s} p_{\sigma} \dot{q}_{0}-\widehat{T}
\]

здесь скорости $\dot{q}_{\sigma}$ должны быть, конечно, выражены через импульсы. В выражение кинетической энергии $T$, кроме скоростей, входят ещё координаты $q_{0} ;$ при этом согласно формуле (33.15) мы имеем
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}}=-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{\sigma}} \text {. }
\]

Обратимся к уравнениям (32.34) на стр. 328; предположим, что множители связей уже выражены через переменные $t, q_{a}, \dot{q}_{a}$; тогда в соответствии с формулами (33.16) и (33.18) эти уравнения можно будет переписать так:
\[
\frac{d p_{a}}{d t}+\frac{\partial \Phi}{\partial q_{s}}=\widehat{Q}_{\sigma}+\sum_{\alpha=k+1}^{a} \hat{\lambda}_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}+\sum_{\beta=1}^{b} \hat{\mu}_{\beta} u_{\beta \sigma} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Дугой мы попрежнему обозначаем, что для соответственных функций должно быть взято союзное выражение. Когда к $s$ уравненням (33.19) присоединим ещё $s$ уравнений (33.17), а именно,
\[
\frac{d q_{o}}{d t}=\frac{\partial \Phi}{\partial p_{\sigma}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s),
\]

то и получим искомую систему $2 s$ уравнений первого порядка относительно $2 s$ неизвестных функций времени $q_{0}$ и $p_{\sigma}$. Выведенные уравнения (33.19) и (33.20) и называются уравнениями Гамильтона (Hamilton).

Когда координаты $q_{g}$ независимы, т. е. когда вместо общих уравнений (32.34) на стр. 328 мы имеем уравнения Лагранжа второго рода (32.42) на стр. 331 , гамильтонова система уравнений принимает вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d p_{\sigma}}{d t}=-\frac{\partial \Phi}{\partial p_{\sigma}}+\bar{Q}_{o}, \\
\frac{d q_{\mathrm{\sigma}}}{d t}=\frac{\partial \Phi}{\partial p_{\sigma}} .
\end{array}\right\}(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Пусть силы имеют силовую функцию, хотя бы зависящую явно от времени, т. е. пусть в согласии с формулой (32.31) на стр. 328 имеет место равенство
\[
Q_{0}=\bar{Q}_{\mathrm{o}}=\frac{\partial U}{\partial q_{\mathrm{o}}},
\]

где $U=U\left(q_{a}, t\right)$. Так как $U$ не зависит от скоростей, а следовательно, и от импульсов, то, кроме того, мы имеем соотношение
\[
\frac{\partial U}{\partial p_{\sigma}}=0 .
\]

В результате, вместо уравнений (33.21), мы можем написать:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p_{\sigma}}{d t}=-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{\sigma}}+\frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}}=-\frac{\partial(\Phi-U)}{\partial q_{\sigma}}, \\
\frac{d q_{\sigma}}{d t}=\frac{\partial \Phi}{\partial p_{\sigma}}=\frac{\partial \Phi}{\partial p_{\sigma}}-\frac{\partial U}{\partial p_{\sigma}}=\frac{\partial(\Phi-U)}{\partial p_{\sigma}} .
\end{array}
\]

Если положить
\[
\Phi-U=\sum_{0=1}^{s} p_{0} \dot{q}_{0}-\widehat{T}-U=H,
\]

то предыдущие уравнения примут вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d p_{o}}{d t} & =-\frac{\partial H}{\partial q_{\sigma}}, \\
\frac{d q_{\sigma}}{d t} & =\frac{\partial H}{\partial p_{\sigma}} .
\end{array}\right\} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Уравнения Гамильтона, записанныс в этой форме, носят название канонических уравнений.

Когда рассматриваемая нами материальная система консервативна, т. е. активные силы имеют однозначную силовую функцию, зависящую только от координат, и конечные связи тоже не зависят явно от времени, функция $H$ принимает весьма простой вид. В этом случае кинетическая энергия согласно формуле (32.38) на стр. 329 представляется однородной

функцией второй степени от скоростей; следовательно, по теореме Эйлера мы имеем
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} p_{\sigma} \dot{q}_{\sigma}=\sum_{\sigma=1}^{s} \dot{q}_{\sigma} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=2 T=2 \widehat{T} .
\]

На этом основании для $H$ по формуле (33.22) получается следующее выражение:
\[
H=\widehat{T}-U,
\]
т. е. $H$ есть союзное выражение полной энергии системы [см. формулу (31.41) и (31.42) на стр. 316]. Другими словами, союзное выражение интеграла энергии будет
\[
H=h \text {. }
\]