1. Скалярные и векторные величины. Векторы. Равенство векторов. Единичные векторы. При изложении теоретической механики постоянно приходится пользоваться определениями и теоремами того отдела математики, который носит название теории векторов. Поэтому прежде всего познакомимся с основными положениями этой теории, ограничиваясь лишь крайне необходимым.

В физике мы встречаем два типа величин: скалярные и векторные. Скалярной называется величина, которая может быть выражена одним действительным числом. Векторной величиной называется такая величина, которая может быть изображена вектором, т. е. направленным отрезком прямой, и которая обладает некоторымн дополнительными свойствами, излагаемыми в последующих параграфах. Если вектор характеризуется только длиной и направлением и не связан с какой-либо определённой прямой линией или точкой, он называется свободным; вектор, связанный с прямой, по которой он направлен, называется скользящим; наконец, если вектор связан с точкой своего приложения, он называется приложенным, или неподвижным. Точки, ограничивающие вектор, носят особые названия: одна называется началом вектора, другая концом его. Направление вектора идёт от начала к концу. На чертежах направление вектора обыкновенно обозначают стрелкой; в формулах векторы печатают жирным шрифтом, в письме употребляют обыкновенный шрифт, но над буквами ставят чёрточки; иногда векторы обозначают также двумя фуквами с чертой, причём буква, означающая начало, ставится впереди. Так, векторы, изображённые на фиг. 1, в тексте обозкачаются одним из слелующих способов:
\[
\boldsymbol{a}=\vec{a}=\overline{A B}, \quad \boldsymbol{b}=\bar{b}=\overline{C D}, \quad \boldsymbol{c}=\bar{c}=\overline{E F} .
\]

Точки $A, C$ и $E$ служат началами, $B, D$ и $F$ – концами. Для обозначення длины вектора (или, как иначе говорят, его модуля, или его численного значения) ставят вертикальные чёрточки по бокам или вместо жирного шрифта пинут обычным (светлым) шрифтом, а если векторы были обозначены буквами с чёрточками, то просто опускают чёрточки; так, в отношении вектора $\boldsymbol{a}$, нзображённого на фиг. 1, можно нисать
\[
|a|=|\bar{a}|=a=|\overline{A B}|=A B .
\]

Векторы, направленные противоположно рассматриваемым (фиг. 1), принято обозначать одним из следующих способов:

Очевидно, $|-\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{a}|=a$ и т. д.
Два вектора оди́наковой длины, лежащие на параллельных прямых и одинаково направленные, называются равным Это положение вытекает из данного выше определения вектора: действительно, в определении за наиболее существенные элементы вектора признаны только его длина и направление. Равенство векторов обозначается тем же энаком $=$, что и алгебраическое равенство; так, в отношении векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{c}$ (фиг. 1) можно написать
\[
a=c .
\]

Два вектора, равные по длине, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Два вектора, лежащие на параллельных (в частности совпадающих) прямых, независимо от того, направлены они в одну сторону или в протизоположные стороны, называются коллине арными.

Произведением вектора $\boldsymbol{a}$ на скаляр $m$ называется вектор $\boldsymbol{b}$, по своему численному значению равный $m a$ и направленный одинаково с вектором $\boldsymbol{a}$, если $m$ положнтсльно, и противоноложно всктору $\boldsymbol{a}$, ссли $m$ отрицательно. Это соотношение можно записать одним из следующих способов:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{b} & =m a, & \boldsymbol{a}=\frac{1}{m} \boldsymbol{b}, \\
\frac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}} & =m, & \frac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{b}}=\frac{1}{m} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что указанное в последней строке деление коллинеарных векторов является единственным случаем деления, которое встречается в векторной алгебре.

Вектор, по направлению совпадающий с данным вектором и по численному значению (по модулю) равный единице, называется единичным вектором данного вектора, или его ортом. Единичный вектор обозначается той же буквой, что и данный вектор, но с ноликом в виде показателя степени; таким образом, елиничный вектор вектора $\boldsymbol{a}$ есть $\boldsymbol{a}^{0}$. При помощи единичного вектора всякий вектор может быть представлен как произведение модуля на единнчный вектор:
\[
\boldsymbol{a}=a \boldsymbol{a}^{0} .
\]
2. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Вектор $\boldsymbol{a}$ нам вполне известен, если мы знаем єго модуль $a$ и направление прямой, на которой он лежит, т. е. три косинуса $\alpha, \beta, \gamma$ углов, образуемых этой прямой с прямоугольными осями координат $O x y z$
\[
\alpha=\cos (\widehat{x, a}), \quad \beta=\cos (\hat{y, a}), \quad \gamma=\cos (\hat{z, a}) .
\]

Отсюда видно, что вектор определяется тремя независимыми друг от друга величинами: действительно, между косинусами $\alpha, \beta, \gamma$ существует соотношение
\[
\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}=1 \text {. }
\]

Заметим, что задание модуля $a$ и двух косинусов, например $a$ и $\beta$, не определяет вектора однозначно: їз выше приведённого соотношения найдём для третьего косинуса $\gamma$ два значения, отличающиеся друг от друга знаками, и, следовательно, одним и тем же значениям $\alpha$, $\beta$ и $a$ соответствуют дв а вектора, симметрично наклонённые к плоскости $O x y$. Величины, определяющие вектор, носят название координат вектора. Bcerо удобнее принять за координаты вектора его проекции на оси координат. Познакомимся восбще с понятием о проекции вектора на ось. Осью называется прямая, на которой определено направление. Проекцией вектора $\boldsymbol{a}$ на некоторую ось $l$ (фиг. 2) называется отрезок $A^{\prime} B^{\prime}$, ограниченный проскциями начала и конца вектора $\boldsymbol{a}$ на эту ось, причём этот отрезок измеряется в тех же единицах, что и сам вектор, и ему приписывается знак + или -, смотря по тому, совпадает или нет направление $A^{\prime} B^{\prime}$ с направлением оси $l$. Из этого определения видно, что проекция вектора есть скалярная величина, равная произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора:
\[
a_{l}=\operatorname{пp}_{l} a=a \cos (\hat{l, a}) .
\]

В частности, дия указанных выше проекций вектора $\boldsymbol{a}$ на оси координат имеем выражения:
\[
\begin{array}{l}
a_{x}=a \cos (\hat{x, a})=a \alpha, \\
a_{y}=a \cos (\hat{y, a})=a \beta, \\
a_{z}=a \cos (z, \widehat{a})=a \gamma .
\end{array}
\]

Отсюда получаем для модуля вектора формулу
\[
a=+\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} .
\]

Отевидно, задание вектора его проекциями однозначно. Заметим, что если два вектора, $a_{1}$ и $a_{2}$, равны, т. е. $a_{1}=a_{2}$, то
\[
a_{1 x}=a_{2 x}, \quad a_{1 y}=a_{2 y}, \quad a_{1 z}=a_{2 z} ;
\]

если же эти векторы противоположны, т. е. $a_{1}=-a_{2}$, то
\[
a_{1 x}=-a_{2 x}, \quad a_{1 y}=-a_{2 y}, \quad a_{1 z}=-a_{2 z} .
\]
3. Сложение и вычитание векторов. Разложение вектора на составляющие. Положим, нам данн $n$ векторов: $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. Построим из произвольной точки $O$ вектор $\boldsymbol{a}_{1}^{\prime}$, равный вектору $\boldsymbol{a}_{1}$ (фиг. 3); из конца вектора $a_{1}^{\prime}$ построим вектор $a_{2}^{\prime}$, равный $a_{2}$, из конца $a_{2}^{\prime}$ век-

тор $a_{3}^{\prime}$, равный $a_{3}$, и так далее, кончая вектором $a_{n}^{\prime}$ (на фиг. 3 взято $n=6$ ). Вектор $a$, имеющий начало в начале вектора $a_{1}^{\prime}$ и конец в конце вектора $\boldsymbol{a}_{n}^{\prime}$, называе́тся с умм о ю векторов $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \ldots, \boldsymbol{a}_{n}$, а сама произведённая нами операция – сложением векторов. Сложение обозначается знаком $十$; таким образом, при выше указанных обозначениях мы имеем
\[
a=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n} .
\]

Это формальное определение суммы векторов имеет своё обоснование во многих законах природы, например, при сложении сил, при сложении скоростей и др. Если многоугольник, составленный из векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, окажется замкнутым, то говорят, что сумма векторов $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$ равна нулю.

Как частный случай сложения векФиг. 3. торов отметим, что сумма двух векторов представляет собой диагональ параллелограмма, стороны когорого равны слагаемым векторам (фиг. 4):
\[
\boldsymbol{a}=\overline{A B}+\overline{B C}=a_{1}+a_{2} .
\]

Так как, с другой стороны,
\[
a=\overline{A D}+\overline{D C}=a_{2}+a_{1},
\]

то
\[
a_{1}+a_{2}=a_{2}+a_{1} ;
\]

таким образом, сложение двух векторов коммутативно, т. е. йх сумма не зависит or порядка, в котором взяты слагаемые. Тем же свойством коммутативности обладает и сложение произвольного числа векторов. Действительно, общая сумма всех векторов не изменится, если мы несколько рядом стоящих слагаемых Фиг. 4. заменим их суммой; так, слагаемые $\boldsymbol{a}_{3}^{\prime}, \boldsymbol{a}_{4}^{\prime}, \dot{\boldsymbol{a}}_{5}^{\prime}$ могут быть заменены их суммой $\boldsymbol{b}$ (фиг. 3). Сделаем такую замену для двух рядом стоящих векторов, например, $\boldsymbol{a}_{2}^{\prime}$ и $\boldsymbol{a}_{3}^{\prime}$; по предыдущему сумма их $\boldsymbol{u}$ не завнсит от порядка слагаемых; следовательно, и общая сумма $\boldsymbol{a}$ не меняется от перестановки двух смежных слагаемых. Если же в ряду каких-нибудь элементов мы имеем право переставить два рядом стоящие, то, как известно, повторяя этот приём, мы можем разместить элементы ряда. в таком порядке, в каком нам угодно; следовательно, на сумму произвольного числа векторов порядок слагаемых вовсе не влияет.

Отметим следующее важное свойство суммы векторов: как видно из фиг. 5, проекция суммы векторов равна (алгебраической) сумме их про-

екций. Поэтому векторное равенство
\[
a=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}
\]
в.течёт за собой следующие три скалярные:
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{x}=a_{1 x}+a_{2 x}+\cdots+a_{n x}, \\
a_{y}=a_{1 y}+a_{2 y}+\ldots+a_{n y} \\
a_{z}=a_{1 z}+a_{2 z}+\ldots+a_{n z^{*}}
\end{array}\right\}
\]

Операция, при помощи которой по данной сумме и одному слагаемому отыскивается другое слагаемое, носит название вычитания. Пусть $\boldsymbol{a}$ – данная сумма (фиг. 6),
Фиг. 6.
$b$ – данное слагаемое и $c$ – искомое слагаемое, т. е.
\[
\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \text {. }
\]

Мы, олевидно, получим искомое слагаемое $\boldsymbol{c}$, если к вектору $\boldsymbol{a}$ прибавим вектор $\overline{A B}=-\boldsymbol{b}$, противоположный вектору $\boldsymbol{b}$ :
\[
c=a+(-b) .
\]

Вычитанис векторов обозначается знаком -; таким образом, мы имеем
\[
c=a-b .
\]

Выражения (1.5) и (1.6) обнаруживают, что в векторных равенствах мы можем переносить члсны из одной части в другую по тому же правилу, как и в скалярных. Векторное равенство (1.6) равносильно трём скалярным:
\[
c_{x}=a_{x}-b_{x}, \quad c_{y}=a_{y}-b_{v}, \quad c_{z}=a_{z}-b_{z} .
\]

Заметим ешё следуюшее свойство операций, называемых сложением и вы’итанием векторов: если все векторы, над ксторыми производится операция, увеличим или уменьшим в одно и то же число раз, то и вектор, получающийся в результате операции (т, е. сумма или разность), увеличится ин уменьшится в то же число раз, но направления своего не изменит. Это вытекает из подобия фигур, при помощи которых производится построение для данных векторов и для векторов, увелитен$\Phi_{1 г} .7$. ных или уменьшённых. Так, например, пусть из вектора $\overline{A B}$ мы выли вектор $\overline{A C}$ (фиг. 7); разность представилась вектором $\overline{A D}$. Если же вместо векторов $\overline{A B}$ и $\overline{A C}$ мы возьмём в полтора

раза меньшие векторы $\overline{A B}^{\prime}$ и $\overline{A C}^{\prime}$, то разность $\overline{A D}^{\prime}$ будет в полтора разаменьше прежней разности $\overline{A D}$; в то же время она будет коллинеарна с ней, как это следует из подобия треугольников $A B D$ и $A B^{\prime} D^{\prime}$.

Вычитание векторов представляет собой частный случай операции более общего характера, носящей название разложения вектора. Разложить данный вектор – эго значит представить его как сумму нескольких векторов, называемых его составляющими. Условия, при которых производится разложение, могут быть крайне разнообразны. Всего чаще даются направления составляющих. Если число данных направлений превышает три, задача становится неопределённой. Когда направлений, не лежащих в одной плоскости, три, составляющие векторы будут рёбрами параллелепипеда, диагональю которого служит данный вектор. При двух данных направлениях задача возможна лишь в том случае, когда эти направления лежат в одной плоскости с данным вектором, и тогда иско:ые составляющие будут сторонами параллелограмма, циагональю которого служит данный вектор.
Остановимся подробнее на разложении некоторого вектора $\boldsymbol{a}$ по трё̀м координатным осям (фиг. 8). Пусть проекции этого вектора на оси соответственно равиы $a_{x}, a_{y}, a_{z}$. Введём в рассмотрение единичные вскторы координатных осей (или так называемые орФиг. 8. ты координатных осей), т. е. векторы, по модулю равные единице и направленные по осям координат; назовём их соответственно $\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{z}^{0}$. Тогда, очевидно, для вектора $\boldsymbol{a}$ мы сможем написать следующее выражение:
\[
a=a_{x} x^{0}+a_{y} y^{0}+a_{z} z^{0} .
\]

В частном случае, если вектор. $\boldsymbol{a}$ измеряется в линейных единицах и имеет начало в начале $O$ координат, а конец в некоторой точке $A$ (ср. фиг. 8), он называется ради усом-вектором точки $A$. В этом случае проекциями вектора, очевидно, будут координаты $x, y, z$ точки $A$; поэтому, называя самый радиус-вектор буквой $r$, мы будем иметь
\[
r=x x^{0}+y y^{0}+z z^{0} .
\]
4. Произведения двух векторов. В векторном исчислении рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.
Фиг. 9.
a) Скалярное произведение двух векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, обозначаемое $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$, есть произведение модулей этих векторов иа косинус угла между ними, т. е.
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a b \cos (\hat{a, b}) .
\]

Можно также сказать, что это есть произьедение модуля одного из векторов на проекцию другого на направление первого (фиг. 9):
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a b \cos (\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})=a b \cos \theta=a b_{a}=a_{b} b .
\]

Если один из перемножаемых векторов, например второй, является единичным вектором, то скалярное умножение цаёт проекцию первого вектора на направление второго:
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}^{0}=a_{b} .
\]

В частности, для проекций вектора на оси координат мы можем написать:
\[
a_{x}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{x}^{2}, \quad a_{y}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{y}^{0}, \quad a_{z}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{z}^{0} .
\]

Заметим следующий важный частный случай скалярного произведения: если $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$, то
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0 .
\]

Скалярное произведение двух одинаковых множителей обозначается как квадрат вектора: очевидно, $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}^{2}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} \cos 0^{0}$, т. е.
\[
a^{2}=a^{2} \text {. }
\]

Выпишем все возможные случаи скалярного перемножения ортов прямоугольных координатных осей; на основании формул (1.12) и (1.13) имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{0} \cdot x^{0}=y^{0} \cdot y^{0}=z^{0} \cdot z^{0}=1, \\
y^{0} \cdot z^{0}=z^{0} \cdot x^{0}=x^{0} \cdot y^{0}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Скалярное произведение векторов имеет свойства, аналогичные свойствам произведения скаляров. Так, согласно формуле (1.9) имеет место переместительный (коммутативный) закон, т. е.
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} .
\]

Далее, скалярное умножение обладает свойством распределительности (дистрибутивности) по отношению к сложению:
\[
(a+b) \cdot \dot{c}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} ;
\]

это следует из формул (1.10) и (1.4); в самом деле,
\[
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})_{c} \cdot c=a_{c} c+b_{c} c=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} .
\]

Наконец, как это непосредственно следует из формулы (1.9), имеет место сочетательный (ассоциативный) закон по отношению к умножению на скаляр:
\[
(n a) \cdot \boldsymbol{b}=n(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) .
\]

В то же время между скалярным умножением векторов и обычным умноженисм скаляров существует глубокое различне. Так, не существует скалярного произведения более чем двух векторов, а, следовательно, нельзя говорить об ассоциативном законе для векторных множителей. Далее, не существует деления как, действия обратного скалярному умножению: в самом деле; если известно произведение и один из сомножителей, то этого ещё недостаточно для однозначного. определения другого. сомножителя. Действительно, если
\[
a \cdot x=a \text {, }
\]
ro
\[
\operatorname{np}_{a} x=\frac{\alpha}{a},
\]

и, следовательно,
\[
x=\frac{a}{a} a^{0}+c,
\]

нли
\[
x=\frac{a}{a^{2}} a+c,
\]

где $\boldsymbol{c}$ – произвольный по длине вектор, перпендикулярный к $\boldsymbol{a}$ (фиг. 10). В заключение выведем важную формулу, выражающую скалярное пройзведение $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ двух векторов через их проекции на оси прямоугольной системы координат. Согласно формуле (1.7) имеем
Фиг. 10.
\[
\begin{array}{l}
a=a_{x} x^{0}+a_{y} y^{0}+a_{z} z^{0}, \\
b=b_{x} x^{0}+b_{y} y^{0}+b_{z} z^{0} .
\end{array}
\]

Перемножим эти равенства. Опираясь на распределительный закон (1.15) и на формулы (1.14), мы получим:
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z} .
\]

Отсюда находим следующее выражение косинуса угла между двумя вежторами:
\[
\cos (\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{a b}=\frac{a_{x} b_{\boldsymbol{x}}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}}{a b} .
\]

В частном случае, если векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ взаимно пергендикулярны, из последней формулы получаем:
\[
a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}=0 .
\]
б) Векторное произведение двух векторов, обозначаемог $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, есть вектор, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, а направление его перпендикулярно к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами (фиг. 11); при этом вектор $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ направлен так, что наблюдателю, смотряцему с конца вектора $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ на перемножаемые векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, кажется, что для кратчайшего совменения первого множителя со вторым его нужно вращать против движения стрелки часов. Непосредственно из определения векторного произведения следует, что молуль векторного произведения численно равен плоцади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах:

Далее, очевидно
\[
\begin{array}{c}
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=\text { пл } O A B C . \\
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a},
\end{array}
\]
т. е. векторное умножение не обладает свойством переместительности. Сочетательность относительно умножения на скаляр, олевидно, имеет место:
\[
(n \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b}=n(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) .
\]

Точно так же имеет место распределительность по отношению к сложению:
\[
(a+b) \times c=a \times c+b \times c .
\]

Дия доказательства построим параллелепипед OEFGJKLM на векторах $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ (фиг. 12). Через пронзвольную точку $A$ ребра $O J$ проведём под прямым углом к этому ребру сечение $A B C D$. На сторонах $A B$ и $A D$ этого сечения поместим векторы $\boldsymbol{a}^{\prime}$ и $\boldsymbol{b}^{\prime}$, как указано на чертеже. Заметим прежде всего, что
\[
\left.\begin{array}{rl}
a \times c & =a^{\prime} \times c \\
b \times c & =b^{\prime} \times c \\
(a+b) \times c & =\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right) \times c .
\end{array}\right\}
\]

С другой стороны, векторы $\boldsymbol{a}^{\prime} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}^{\prime} \times \boldsymbol{c}$ и $\left(\boldsymbol{a}^{\prime}+\boldsymbol{b}^{\prime}\right) \times \boldsymbol{c}$ лежат в одной пискости (в плоскости $A B C D$ ), соответственно перпендикулярны векторам $\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}^{\prime}$ и $\boldsymbol{a}^{\prime}+\boldsymbol{b}^{\prime}$ и пропорциональны им по длине. Следовательно, поскольку $a^{\prime}, b^{\prime}$ и $\boldsymbol{a}^{\prime}+\boldsymbol{b}^{\prime}$ образуют стороны и диагональ параллелограмма, $\boldsymbol{a}^{\prime} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}^{\prime} \times \boldsymbol{c}$ н. $\left(\boldsymbol{a}^{\prime}+\boldsymbol{b}^{\prime}\right) \times \boldsymbol{c}$ также образуют стороны и днагональ параллелограмма, т. е.
\[
\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right) \times c=a^{\prime} \times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}^{\prime} \times \boldsymbol{c} .
\]

Отсюда на основании соотношений (1.23) следует, что и
\[
(a+b) \times c=a \times c+b \times c,
\]
т. е. распределительный эакон доказан.

Заметим, что в частюм случае, когда перемножаемые векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ коллинеарны, их векторное произведение равно нулю. С другой стороны, если перемножаемые векторы взаимно перпендикулярны, модуль
Фиг. 12.
их векторного произведения равен произведению их модулей. На основании этих замечаний нетрудно выписать следующую таблицу векторных произведений ортов прямоугольных осей координат:
\[
\begin{array}{l}
x^{0} \times x^{0}=y^{0} \times y^{0}=z^{0} \times z^{0}=0, \\
y^{0} \times z^{0}=x^{0}, \quad z^{0} \times x^{0}=y^{0}, x^{0} \times y^{0}=z^{0} .
\end{array}
\]

Выразим теперь векторное произведение $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ двух векторов через их проекции на оси прямоугольной системы координат. Имеем
\[
\begin{array}{l}
a=a_{x} x^{0}+a_{y} y^{0}+a_{z} z^{0}, \\
b=b_{x} x^{0}+b_{y} y^{0}+b_{z} z^{0} .
\end{array}
\]

Перемножив эти равенства и приняв во внимание соотношения (1.22), (1.24) и (1.21), мы получим:
\[
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right) \boldsymbol{x}^{0}+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right) y^{0}+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right) z^{0} .
\]

Это выражение может быть также записано в форме определителя:
\[
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{lll}
x^{0} & y^{0} & z^{0} \\
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z}
\end{array}\right| .
\]

Из формулы (1.25) видно, что проекции векторного произведения на оси координат имеют выражения:
\[
\begin{array}{l}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_{x}=a_{y} b_{2}-a_{z} b_{y}=\left|\begin{array}{ll}
a_{y} & a_{z} \\
b_{y} & b_{z}
\end{array}\right|, \\
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_{y}=a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}=\left|\begin{array}{ll}
a_{z} & a_{x} \\
b_{z} & b_{x}
\end{array}\right|, \\
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_{z}=a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}=\left|\begin{array}{ll}
a_{x} & a_{y} \\
b_{x} & b_{y}
\end{array}\right| .
\end{array}
\]

Векторное умножение двух векторов подобно скалярнаму не обладает однозначной обратимостью. Действительно, если
\[
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},
\]

то
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{d}+\mathrm{Ca}
\]
(фиг. 13), где $C$ – произвольный скаляр, а вектор $\boldsymbol{d}$ перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, и удовлетворяет соотношению
\[
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{d}=\boldsymbol{b} .
\]

Перейдя в последнем равенстве к мотулям, имеем
\[
a d=b .
\]

Для определения вектора $\boldsymbol{d}$ принимаем в соображение, что он направлен одинаково с векторным произведением $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$; поэтому можем написать
\[
\boldsymbol{d}=k \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a},
\]

где $k$ – подлежащий дополнительному определению скалярный коэффициент. Перейдя и здесь к модулям, получаем:
\[
d=k b a
\]

или, после умножения на $a$,
\[
a d=k b a^{2} .
\]

Отсюда на основании соотношения (1.28) находим:
\[
k=\frac{1}{a^{2}} \text {. }
\]

Выполнив подстановки, получаем окончательно следующее выражение для вектора $\boldsymbol{x}$ :
\[
\boldsymbol{x}=\frac{\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}}{a^{2}}+C \boldsymbol{a} .
\]

В заключение этого параграфа укажем формулу, связывающую между собой скалярное и векторное произведения двух векторов и произведение их модулей, а именно:
\[
(a \cdot b)^{2}+(a \times b)^{2}=(a b)^{2} .
\]

Справедливость её станет очевидной, если выразить скалярное и векторное произведения, стопщие в левой части, через модули сомножителей и соответственно через косинус и сннус угла между ними. Соотношение (1.30), выраженное через проекции входящих в него векторов, носит название тождества Лагранжа (Lagrange):
\[
\begin{array}{r}
\left(a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}\right)^{2}+\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right)^{2}+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right)^{2}+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right)^{2}= \\
=\left(a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}\right)\left(b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}\right) .(1.31)
\end{array}
\]
5. Произведения трёх векторов. а) Рассмотрим сперва векторноскалярное произведение трёх векторов, т. е. произведение типа $\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$. Здесь имеется в виду, что сначала векторно перемножаются векторы $\boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{c}$, а затем их произведение скалярно множится на вектор $\boldsymbol{a}$. Так как в ином порядке производить действия, указанные точкой и крестиком, было бы нельзя, то скобки, обозначающие порядок действий, в заниси векторно-скалярного пронзведения могут быть опунены:
\[
a \cdot(b \times c)=a \cdot b \times c .
\]

Выразим произведение $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ через проекции перемножаемых векторов; согласно формулам (1.18), и (1.27) имеем
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}=a_{x}\left|\begin{array}{ll}
b_{y} & b_{z} \\
c_{y} & c_{z}
\end{array}\right|+a_{y}\left|\begin{array}{ll}
b_{z} & b_{x} \\
c_{z} & c_{x}
\end{array}\right|+a_{z}\left|\begin{array}{ll}
b_{x} & b_{y} \\
c_{x} & c_{y}
\end{array}\right|,
\]

илн
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}=\left|\begin{array}{lll}
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
c_{x} & c_{y} & c_{z}
\end{array}\right| .
\]

Из представления векторно-скалярного произведения в виде определителя вытекают следуюіцие его свойства:
1) если в векторно-скалярном произведении два какие-либо множителя коллинеарны, то произведение равно нулю;
2) в векторно-скалярном произведении допустима циклическая перестановка множителей, т. е.
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}=\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} .
\]

Так как модуль векторного произведения $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ численно равен плоцади паралтелограмма, построеніного на векторах $\boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{c}$, то векторно-скалярное произведение $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$, очевидно, численно равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{c}$ (фиг. 14), причём этот объём считается по.пожительны, если угол между векторами $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ острый (как на чергеже), и отрицательным, если этот угол тупой. Можно также сказать, что произведение $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ численно равно ушестерённому объёму тетраэдра $O A B C$, построенного на векторах $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$. С этой точки зрения выше указанные два свойства векторно-скалярного произведения приобретают простой геометрический смысл.

б) В заключение рассмотрим векторно-векторное произведение трёх векторов $\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$. Согласно основному определению векторного произведения двух векторов произведение $\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$ векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ перпендикулярно к вектору $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$; следовательно, оно лежит в плоскости векторов $\boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{c}$ и потому может быть представлено в форме
\[
a \times(b \times c)=\lambda b+\mu c,
\]

где $\lambda$ и – неизвестные пока скалярные множители. Для того, чтобы их определить, умножим сперва уравнение (1.34) скалярно на некоторый вектор $\boldsymbol{c}^{\prime}$, лежащий в плоскости векторов $\boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{c}$ и перпендикулярный к вектору $\boldsymbol{c}$ (фиг. 15); так как $\boldsymbol{c}^{\prime} \cdot \boldsymbol{c}=0$, то мы получим:
\[
\boldsymbol{c}^{\prime} \cdot[\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]=\boldsymbol{\lambda} \boldsymbol{c}^{\prime} \cdot \boldsymbol{b} .
\]

Переставив циклически сомножители векторно-скалярного фиг. 15. произведения, стоящего в левой части, будем иметь:
\[
\boldsymbol{a} \cdot\left[(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \times \boldsymbol{c}^{\prime}\right]=\boldsymbol{\lambda} \boldsymbol{c}^{\prime} \cdot \boldsymbol{b} .
\]

Произвеление, стоящее в квадратных скобках, может быть вычислено непосредственно: его модуль равен $b c \sin \boldsymbol{a} \cdot c^{\prime}=c\left(\boldsymbol{c}^{\prime} \cdot \boldsymbol{b}\right)$, и оно направлено по вектору $\boldsymbol{c}$, следовательно, оно равно $\boldsymbol{c}\left(\boldsymbol{c}^{\prime} \cdot \boldsymbol{b}\right)$. Уравнение (1.35) может быть теперь переписано так:
\[
(a \cdot c) \cdot\left(c^{\prime} \cdot b\right)=\lambda c^{\prime} \cdot b .
\]

Отсюда мы находим:
\[
\lambda=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} .
\]

Аналогично, умножив уравнение (1.34) скалярно на некоторый вектор $\boldsymbol{b}^{\prime}$, перпендикулярный $\boldsymbol{b}$, мы получим:
\[
\boldsymbol{b}^{\prime} \cdot[\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]=\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{b}^{\prime} \cdot \boldsymbol{c},
\]

откуда после циклической перестановки множителей в левой части придём к уравнению
\[
a \cdot\left[(b \times c) \times b^{\prime}\right]=\mu b^{\prime} \cdot c .
\]

Выражение в квадратных скобках равно – $\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{b}^{\prime} \cdot \boldsymbol{c}\right)$, и, следовательно, последнее уравнение даёт
\[
\mu=-\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \text {. }
\]

После подстановки полученных значений $\lambda$ и $\mu$ в формулу (1.34) приходим к окончательному результату
\[
a \times(b \times c)=b(a \cdot c)-c(a \cdot b) .
\]