139. Основное уравнение динамики относительного движения материальной частицы. Положим, что рассматриваемая материальная частица $M$ массы $m$ движется одновременно в двух средах $S$ и $\mathrm{\Sigma }$, и пусть движение среды $\mathrm{\Sigma }$ в среде $S$ нам дано как основное; тогда движение частицы $M$ в среде $\mathrm{\Sigma }$ называется относительным, а в среде $\mathcal{S}$ абсолютным. Движение среды $\mathrm{\Sigma }$ в среде $S$ служит для частицы $M$ переносным движением. В § 76 было показано, как найти относительное движение, если известны движения абсолютное и переносное. Но можно также и непосредственно определить относительное движение интегрированием дифференциальных уравнений этого движения. Чтобы составить эти уравнения, припомним, что положение частицы $M$ в среде $\mathrm{\Sigma }$ определяется посредством координат $\xi ,r_i,\zeta$, взятых относительно осей $A\epsilon r_i\zeta$, неизменно связанных с этой средой, и, следовательно, искомые уравнения будут содержать в себе $\xi ,\eta ,\zeta$ как неизвестные функции времени. Положение же системы $A\xi r_i{}^p$ определяется координатами $x_A,y_A,z_A$ её начала $A$ относительно осей $Oxyz$, связанных со средой $S$, и направляю

щими косинусами $a_{11},a_{12},\dots ,a_{33}$ осей $A{\xi }_1;$ осносительно осей $Oxyz$. Эти величины должны быть даны как функции времени.

Согласно основному уравнению динамики абсолютное ускорение $w$ частицы следующим образом связано с приложенной к ней силой $F$ :
$$mw=F\text{. }$$

С другой стороны, абсолютное ускорение по теореме Кориолиса равно сумме ускорений өтносительного, переносного и поворотного, или ускорения Корнолиса [формула (12.8) на стр. 120]:
$$w=w_r+w_e+w_c,$$

причём
$$\begin{array}{l}{w}_e=w_A+{\overline{\epsilon }}_e\times \overline{\rho }+{\overline{\omega }}_e\times ({\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }),\\ w_c=2{\overline{\omega }}_e\times v_r,\\ \overline{\rho }=\epsilon {\overline{\xi }}^0+\eta {\overline{\eta }}^0+\overline{\zeta {\overline{\zeta }}^0};\end{array}$$

в этих формулах ${\overline{\omega }}_e$ и ${\overline{\epsilon }}_e$ обозначают угловую скорость и угловое ускорение среды $\mathrm{\Sigma }$ относительно среды $S$ (иначе говоря, переносные угловые скорость и ускорение), а ${\mathit{v}}_r$ — скорость частицы $M$ относительно среды $\mathrm{\Sigma }$ (т. е. её относительную скорость). Подставив выражение (24.2) для w в основное уравнение (24.1) и оставив слева лишь член, содержащий относительное ускорение, мы получим:
$$m{w}_r=\mathit{F}+(-m{w}_e)+(-m{w}_c).$$

Это выражение носит название основного уравнения динамики силой инерции; заметим, что обе силы инерции направлены противоположно соответствующим уєкорениям. Всё выражение в правой части равенства (24.5) называют относительной силой ${\mathit{F}}_r$. Как видим, основное уравнение динамики относительного движения отличается от основного уравнения динамики абсолютного движения наличием в правой части сил инерции, переносной и ксриолисовой.

Если подвижная среда $\mathrm{\Sigma }$ совершает поступательное движение, причём одна из её точек (а значит, и все остальные) движется прямолинейно и равномерно, то
$$w_e=w_c=\overline{\text{ const. }}=0,$$

и, следовательно, уравнение (24.1) остаётся верным и для относительного движения. Системы отсчёта, для которых справедливо основное уравнение (24.1), называются инерциальными. В инерциальной системе материальная частица, к которой не приложена сила (сила $F$ ), движется инерциально, т. е. прямолинейно и равномерно (или, как частный случай, находится в покое). Примером неинерциальной системы может служить Земля.

Очевидно, основное уравнение динамики (24.1) не может дать способ, который бы позволил отличить одву инерциальную систему от другой,

ибо любое механическое явление (движение материальных тел) описывается одним и тем же уравнением во всех иңерциальных системах.

Запишем основное уравнение динамики относительного движения в проекциях на оси $A\epsilon \eta \zeta$, неизменно связанные с подвижной средой $\mathrm{\Sigma }$; иначе говоря, нาпишем дифференциальные уравнения относительного движения свободнөй материальной частицы в относительных декартовых координатах.

При проектировании члена, содержащего переносное ускорение ${\mathit{w}}_{{\mathit{e}}^{\prime }}$ вспомним, что переносным ускорением частйцы $M$ называется ускорение той точки подвижной среды $\mathrm{\Sigma }$, с которой частица $M$ в данный момент времени совпадает. Поэтому проекции переносного ускорення находятся, как проекции ускорения точки твёрдого тела [формулы (11.4) на стр. 114]. Проекции кориолисова ускорения легко найти, исходя нз его выражения (24.4). На основанни этих замечаний пишем:
$$\begin{array}{l}-2m({\omega }_{e\xi }{\dot{\tau }}_i-{\omega }_{e\eta }\dot{\xi })\text{, }\end{array}$$

где
$$\begin{array}{l}{w}_{A\xi }=a_{11}{\ddot{x}}_A+a_{21}{\ddot{y}}_A+a_{31}{\ddot{z}}_A,\\ w_{A{r}_1}=a_{12}{\ddot{x}}_4+a_{22}{\ddot{y}}_A+a_{32}{\ddot{z}}_A,\\ {}_{AS}=a_{13}{\ddot{x}}_A+a_{23}{\ddot{y}}_A+a_{33}{z}_A.\end{array}$$

Если частища не свободна, а подчинена связи
$$f(\hat{\xi },\eta ,t)=0\text{, }$$

то уравнение (24.4) перейдёт в такое:
$$m{w}_r=F+(-m{w}_e)+(-m{w}_c)+\lambda \mathrm{grad}f.$$

В правых частях уравнений (24.6), следовательно, добавятся члены
$$\lambda \frac{\partial f}{\partial \xi },\lambda \frac{\partial f}{\partial \eta },\lambda \frac{\partial f}{\partial \zeta }\text{. }$$

Когда связей не одна, а две, а именно:
$$f_1(\xi ,r_1,\zeta ,t)=0,f_2(\xi ,{\eta }_1,t)=0,$$

к правой части уравнения (24.5) присоединится член
$${\lambda }_1\mathrm{grad}{f}_1+{\lambda }_2\mathrm{grad}{f}_2\text{. }$$

Соответствующие члены добавятся и в правых частях уравнений (24.6).
Интегрирование уравнений относительного движения ведётся тем же путём, как и уравнений абсолютного движения.

140. Обобщённый интеграл энергии. Пусть сила, приложенная к частице, обладает стационарной силовой функцией (не зависящей от времени), т. е. пусть
$$F=\mathrm{grad}U(\xi ,{\gamma }_i,\xi ).$$

Пусть, далее, переносное движение частицы является вращением- подвижной среды $\sum$ вокруг некоторой оси с постоянной угловой скоростью:
$${\overline{\omega }}_e=\overline{\text{ const. }}$$

сопровождаемым поступательным деижением этой оси с некоторой постоянной (по модулю и направлению) скоростью. Пусть, наконец, частица подчинена некоторой связи $f(\xi ,\eta ,\zeta )=0$, явно не содержащей времени и благодаря этому обладающей свойством:
$$\frac{\partial f}{\partial t}=0$$

Покажем, что при этих условиях из уравнения движения (24.7) можно получить интеграл, аналогичный интегралу энергии. Для доказательства умножим уравнение (24.7) скалярно на ${\mathit{v}}_r$; мы получим:
$$m{\mathit{w}}_r\cdot {\mathit{v}}_r=\mathit{F}\cdot {\mathit{v}}_r-m{\mathit{w}}_e\cdot {\mathit{v}}_r-m{\mathit{w}}_c\cdot {\mathit{v}}_r+\lambda \mathrm{grad}f\cdot {\mathit{v}}_r.$$

Займёмся отдельно преобразованием каждого члена этого уравнения.
1) Имеем:
$$m{w}_r\cdot v_r=m\frac{\tilde{d}{v}_r}{dt}\cdot v_r=\frac{\tilde{d}}{dt}\left(\frac{m{v}_r^2}{2}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{m{v}_r^2}{2}\right);$$

здесь $\frac{\tilde{d}}{dt}$ есть символ относительной производной (§ 63); последний член равенства приписан на том основании, что в отношении скалярной величины, каковою в данном случае является $v_r^2=v_r^2$, операции относительного и абсолютного диффференцирования тождественны.
2) На том же основании имеем
$$F\cdot v_r=\frac{\mathrm{grad}U\cdot \tilde{d}\overline{\rho }}{dt}=\frac{\tilde{d}U}{dt}=\frac{dU}{dt}.$$
3) Для преобразования третьего слагаемого положим прежде всего, что полюс $A$, о котором идёт речь в формуле (24.3) для переносного ускорения, взят на оси переносного вращения; тогда по условию теоремы будем иметь $w_A=0$; ‘ а так как, кроме того, по условию ${\overline{\omega }}_e=\overline{\text{ const. }}$, то переносное ускорение получит выражение
$$w_e={\overline{\omega }}_e\times ({\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }).$$

Поэтому мы найдём
$$-m{w}_e\cdot {\mathit{v}}_r=-m{\overline{\omega }}_e\times ({\overline{\omega }}_e\times {\overrightarrow{p}}^2)\cdot {\mathit{v}}_r,$$

или, по правилу циклической перестановки множителей векторно-скалярного произведения [формула (1.33) на стр. 11],
$$-m{\omega }_e\cdot {\mathit{v}}_r=+m({\overline{\omega }}_e\times {\tilde{\beta }}^{\ast })\cdot ({\omega }_e^{-}\times {\mathit{v}}_r);$$

это выраженне на основании предыдущих замечаний иначе можно записать так:
$$-m{w}_e\cdot {\mathit{v}}_r=\frac{\tilde{d}}{dt}[-\frac{m}{2}{({\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho })}^2]=\frac{d}{dt}[-\frac{m}{2}{|{\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }|}^2].$$
4) На основании формулы (24.4) имеем
$$-m{w}_c\cdot {\mathit{v}}_r=-2m{\overline{\omega }}_e\times {\mathit{v}}_r\cdot {\mathit{v}}_r$$

или, ввиду одинаковости двух множителей полученного векторно скалярного произведения,
$$-m{w}_c\cdot {\mathit{v}}_r=0.$$
5) Для преобразования произведения $\lambda \mathrm{grad}f\cdot \mathit{v}$, применим формулу (20.8) на стр. 186 и формулу (24.8); имеем
$$\lambda \mathrm{grad}f\cdot v_r=-\lambda \frac{\partial f}{\partial t}=0.$$

Собрав результаты, мы получим, вместо уравнения (24.9), следующее:
$$\frac{d}{dt}\left[\frac{m}{2}({\partial }_r^2-{|{\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }|}^2)\right]=\frac{d}{dt}U.$$

Отсюда, проннтегрировав, находим:
$$\frac{m}{2}(v_r^2-{|{\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }|}^2)=U+h,$$

где $h$ — произвольная постоянная. При ${\overline{\omega }}_e=0$ мы получаем отсюда обычный интеграл энергии; поэгому выражение (24.10) и носит название обобщённого интеграла энергии.

141. Движение свободной весомой тастицы по отношению к вращающейся Земле. В виде примера на относительне движение рассмотрим движение весомой материальной частины $M$ по отношению к вращаюшейся Земле. Начало $O$ абсолютной системы координат Oxyz мы поместим в центре Солнца, а направления ее осей каким-нибудь образом неизменно свяжем с направлениями на енеподвнжные, звёзды. Относительную сисгему координат с Землей.
Проанализируем, какие силы приложены к нашей материальной частише $M$ (фиг. 87). Во-первых, на частишу действует сила $F_1$ притяжения к Земле. Эта сила направлена приблизительно к центру $B$ Земли и является равнодействуюшей всех сил ньютонианского притяжения, с которыми на частишу $M$ дейсгвуют частицы земного шара.

Кроме того, на частишу $M$ действует сила $F_2$ ньютонианского притяжения к Солшу. Ввилу громадности расстояния $d=OB$ ог центра $O$

Солнца до иентра $B$ Земли сравнительно с земным радиусом мы примем, что эта сила параллельна прямой $OB$, соединяющей центры Солнца и Земли, и по модулю равна
$$F_2=k\frac{m_{1}m}{d^2},$$

где $m_1$ — масса Солнца, $m$ — масса частицы и $k$ — так называемая гравитационная постоянная, численно равная силе притяжения между двумя материальными частицами, массою в 12 каждая, при расстоянии между ними в 1 см. Притяжением частицы $M$ другими небесными телами мы будем пренебрегать.

Чгобы учесть теперь переносные силы инериии, примем во внимание, что, во-первых, чентр Земли обращается по своей. орбите вокруг Солнца и, во-вторых, Земля совершает суточное вращение вокруг своей оси $SN$, сохраняющен приблизительно постоянное направление по отношению к абсолютным осям Oxyz. Постоянная угловая скорость $\overline{\mathrm{\Omega }}$ этого вращения по модулю равна
$$Q=1\frac{\text{ оборот }}{\text{ звезд. сутки }}=0,0000729\frac{1}{\text{ сек. ср. вр. }}.$$

Ввиду малости $\mathrm{\Omega }$ мы в дальнейших вычислениях будем пренебрегать членами, зависяцими от $Q^2$, если только коэффициенты при них не очень велики, например, не содержат радиуса Земли.

От первого движения мы имеем поступательную часть переносного ускорения. Соответствующая часть переюосной силы инерции направлена параллельно линии центров $OB$ Солнца и Земли (от Солнца к Земле) и по модулю равна
$$P_1=m{w}_B\text{, }$$

где $w_B$ — ускорение центра Земли. Это ускорение, очевидно, по модулю равно
$$w_B=\frac{F_2}{m}=\frac{k{m}_1}{d^2},$$

а потому для силы $P_1$ мы имеем выражение:
$$P_1=k\frac{m_{1}m}{d^2}.$$

От суточного вращения Земли мы имеем осестремительное ускорение: вращательное ускорение равно нулю ввиду постоянства угловой скорости $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$. Соответствующая осестремительному ускорению часть переносной силы инерции называется центробежной силой инерции: она направлена по радиусу $DM$ параллельного круга и по модулю равна
$${\mathrm{\Phi }}_2=m\rho {\mathrm{\Omega }}^2\text{, }$$

где $\rho$ обозначает расстояние частишы $M$ от оси вращения $SN$.
Наконец, имеется ещё кориолисова сила инерции, равная
$${\overline{\mathrm{\Phi }}}_3=-2m\overline{\mathrm{\Omega }}\times v_r.$$

Каі видим, силы $F_2$ и $\overrightarrow{P_1}$ взаимно уничтожаются. Далее, силы $F_1$ и ${\mathrm{\Phi }}_2$ мы заменим их равнодействующей $P$ :
$$P=F_1+{\overline{\mathrm{\Phi }}}_2.$$

Эта сила носит название силы тяжести, а её отношение к массе частицы называется ускорением $\mathit{g}$ силы тяжести:
$$g=\frac{P}{m}\text{. }$$

Прямая, служацая основанием силы $P$, называется отвесной или вертикальной. Угол $\psi$, составляемый ею с плоскостью $EE$ экватора, называется географической широтой места наблюдения. Плоскость, перпендикулярная отвесу и проходящая через точку его пересечсния с поверхностью Земли, называется плоскостью горизонта.
Мы ограничимся изучением движения частицы $M$ в некоторой небольшой области сравнительно с размерами Земли, притом расположенной близ земной поверхности. В этом смысле мы будем считать постоянными ускорение силы тяжести $\mathit{g}$ и широту $\text{Varangle}$ частицы во время её движения. Начало $A$ системы координат $A\xi \eta \zeta$ мы поместим в начальном Фиг. 88. положении частицы (фиг. 88), ось $A\zeta$ направим по вертикали вверх, ось $A$ п ${}^{\text{по ка ка- }}$ тельной к параллельному кругу на восток, ось $A\xi$, следозательно, в плоскости меридиана на юг.

Уравнение движения (24.5) напишется в нашем случае (после сокращения на массу) следующим образом:
$$w_r=g-2\overline{Q}\times {\mathit{v}}_r.$$

Непосредственным интегрированием находим его первый интеграл:
$${\mathit{v}}_r=gt-2\overline{\mathrm{\Omega }}\times \overline{p}+{\mathit{v}}_{r_0}.$$

Дальнейшее точное интегрирование затруднительно, поэтому мы воспользуемся следующим приближённым приёмом. Только что найденное значение ${\mathit{v}}_r$ вставим в исходное дифференциальное уравнение (24.11), причём отбросим члены, содержащие $Q^2$; тогда мы получим:
$$w_r=g-2\overline{\mathrm{\Omega }}\times {\mathit{v}}_{r_0}-2\overline{\mathrm{\Omega }}\times gt.$$

Дважды проинтегрировав это уравнение, мы найдём закон движения:
$$\overline{\rho }=-\frac{\overline{\mathrm{\Omega }}\times g}{3}{t}^3+\frac{g-2\overline{\mathrm{\Omega }}\times v_{r_0}}{2}{t}^2+v_{r_0}t,$$

или, в проекциях на оси выбранной системы координат:
$$\begin{array}{l}\xi ={\dot{r}}_0\mathrm{\Omega }\sin \psi \cdot t^2+{\dot{\xi }}_{0}t\\ {\eta }_1=\frac{g\mathrm{\Omega }\cos \psi }{3}{t}^3-\mathrm{\Omega }({\dot{\phi }}_0\cos \psi +{\dot{\xi }}_0\sin \psi )t^2+{\dot{r}}_{i0}t,\\ \zeta =-\frac{g+2{\dot{r}}_0\mathrm{\Omega }\cos \psi }{2}{t}^2+{\dot{\zeta }}_{0}t.\end{array}$$

Как видим, в общем случае проекиня ускорения частицы на вертикаль,
$$w_{r!}=-(g+2{\eta }_0\mathrm{\Omega }\cos \psi )$$

зависит от начальных условий. Траектория частины- не плоская кривая.

Если весомая частица падает с вулевой начальной скоростью, то закон движения будет таков:
$$\bar{\overline{\rho }}=-\frac{\overline{\mathrm{\Omega }}\times g}{3}{t}^3+\frac{g}{2}{t}^2,$$

или, в коордннатной форме,
$$\xi =0,r_1=\frac{g\cos 4}{3}{t}^2,=-\frac{g}{2}{t}^2.$$

Траектория лежит в плоскости, перпендикулярной меридиану. Частица падает не по вертикали, а даёт уклонение к востоку: это видно из того, что координата $\eta$ во всё время двнжения за исключением на’ального момента положительна.
Когда частица брошена вертикально кверху, то
$${\dot{\xi }}_0={\dot{r}}_0=0,{\dot{\zeta }}_0>0,$$

и из уравнений (24.12) мы находим:
$$\xi =0,\eta =\frac{gQ\cos \psi }{3}{t}^3-Q{\dot{\xi }}_0\cos \psi \cdot t^2,\xi =-\frac{g}{2}{t}^2+{\dot{\zeta }}_{0}t.$$

Движение опять происходит в плоскости, перпендикулярной меридиану. Проекиия скорости частицы на вертикаль пройдёт через нуль в момент $t_1=\frac{{\dot{\xi }}_0}{g}$, и тогда ордината частицы будет равна ${\eta }_1=-\frac{2}{3}\frac{{\dot{\xi }}_0^3\mathrm{\Omega }\cos \psi }{{\mathrm{g}}^2}$, т. е. частица будет отклонена к западу. Частица снова упадёт на горизонтальную плоскость $\zeta =0$ в монент $t_2=\frac{2{\dot{\zeta }}_0}{g}$ и будет тогда иметь ординату
$$r_2=2{\pi }_1=-\frac{4}{3}\frac{{\dot{\zeta }}_n^3\mathrm{\Omega }\cos \psi }{g^2},$$
т. е. частица опять будет имегь смещение к западу.

142. Маятник Фуко. Задача о маятнике Фуко (Foucault) может быть сформулирована так: определить относительное движение весомой материалыой частицы $M$ по сфере радиуса $R$, неизменно связанной с вращающейся Землёй. Мы ограничимся исследованием малых движеннй частицы около её нижнего положения равновесия на сфере, т. е. таких движений, когда прирачение $\mathrm{\Delta }R$ радиуса-вектора частицы по отношению к его значению в равновесном положении, а также скорость ${\mathit{v}}_r$ частицы остаются по молулю малыми. Приближённые уравнения движения весомой частицы мы напишем с точностью до членов второго порядка малости включительно относительно $|\mathrm{\Delta }R|$ и $\left|{\mathit{v}}_r\right|$.

Для исследозания движения воспользуемся декартовой системой координат, начало $A$ которой поместим в центре сфсры, по которой движется

частица $M$, а оси направим так же, как в задаче предыдущего параграфа (фиг. 88). Отдельно эта система координат изображена на фиг. 89. С декартовой системой координат свяжем цилиндрическую с той же осью $A\zeta$ и с полярной осью, совмещённой с осью $A\xi$ (фиг. 89).
Согласно $\mathrm{\S }139$ при составлении уравнений относительного движения несвободной частицы должны быть учтены активные силы, переносная сила инерции, кориолисова сила инерции и реакции связей. В нашем случае равнодействующая активных сил и переносной силы инерции, как и в предыдущем параграфе, равна $mg$ (фиг. 89). Кориолисова сила ннерции (не показанная на чсртеже) равна
$$F_C=-2m\overline{\mathrm{\Omega }}\times {\mathit{v}}_r.$$

Реакция связи равна
Фиг. 89.
где
$$\begin{array}{c}N=\mathrm{grad}f,\\ f={\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2-R^2=0,\end{array}$$

или, в цилиндрических координатах,
$$f={\rho }^2+{\zeta }^2-R^2=0$$

Сила $N$, очевидно, направлена противоположно радиусу $AM$ сферы.
Применим прежде всего к частице $M$ закон изменения кинетического момента относительно оси $A\zeta$ [формула (18.17) на стр. 159]; имеем
$$m\frac{d}{dt}\left({\rho }^2\dot{\phi }\right)=L_{\zeta }.$$

Моменты силы $mg$ и реакции $N$ относительно оси $A\zeta$ равиы нулю; следовательно, $L_{\zeta }$ равно моменту относительно оси $A_{\zeta }$ кориолисовой силы инерции. Для вычисления последнего вспомним, что момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно произвольной точки на оси; поэтому имеем
$$L_{\zeta }=[\mathit{R}\times (-2m\overline{\mathrm{\Omega }}\times {\mathit{v}}_r)]\cdot {\overline{\zeta }}^0=-2mR\times (\overline{\mathrm{\Omega }}\times {\mathit{v}}_r)\cdot {\overline{\zeta }}^0.$$

Применяя известную формулу преобразования векторно-векторного произведения, получаем отсюда
$$L_{\zeta }=-2m[\overline{Q}(R\cdot v_r)-{\mathit{v}}_r(R\cdot \overline{Q})]\cdot {\overline{\zeta }}^0.$$

Но $R\cdot v_r=0$, так как $R\perp v_r$, а $v_r\cdot \overline{{\zeta }_0}=\dot{\overline{\zeta }}$; поэтому
$$L_{\phi }=2m\dot{\zeta }R\cdot \overline{Q}\text{. }$$

Обрдтимся теперь к уравнснию сьязи (24.13). Разренив его относительно $\zeta$ и применив формулу бинома Ньютона, находим:
$$\zeta =-{(R^2-{\rho }^2)}^{\frac{1}{2}}=-R+\frac{{\rho }^2}{2R}+\dots ,$$

откуда
$$g=\frac{p\dot{p}}{R}+\dots$$

C другой стороны, радиус-вектор $R$ частицы $M$ выражается следуюцци образом через ее цилиндрические координаты:

Перемножаем равенства (24.17) и (24.18); сохранив в произведенни малые не выше второго порядка, находим:
$$\dot{\zeta }R=-\rho \dot{\rho }{\overline{\zeta }}_0.$$

Подставив последнее выражение в формулу (24.15), получаем:
$$L_{\tau }=-2m\dot{\rho }\overline{\zeta }0\cdot \overline{Q}=-2m\mathrm{\Omega }\sin \varphi \rho \dot{\rho }.$$

Уравнение (24.14), выражающее закон изменения кинетического момента, после сокращения на массу, следовательно, перепишется так:
$$\frac{d}{dt}\left({\rho }^2\dot{\phi }\right)=-2\mathrm{\Omega }\sin \psi \cdot \rho \dot{\rho }.$$

Проинтегрировав это уравнение, получаем:
$${\rho }^2\dot{\phi }=-\mathrm{\Omega }\sin \psi \cdot {\rho }^2+C,$$

где $C$-произвольная постоянная.
Теперь напишем для нашей частишы обобщённый интеграл энергии (24.9), поскольку выполнены все условия, когда он имеет место; имея в виду, что радиус-вектор частицы обозначен нами через $R$, найдём:
$$\frac{m}{2}(v_r^2-{|{\overline{\omega }}_e\times R|}^2)=U+h.$$

Угловая скорость переносного вращения в нашем случае равна
$${\overline{\omega }}_e=\overline{\mathrm{\Omega }}$$

кроме того, по формулам (24.16) и (24.17), выписывая лишь малые не выше 2-го порядка, находим:
$$\begin{array}{l}{v}_r^2={\dot{\rho }}^2+{\rho }^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{s}}^2={\dot{\rho }}^2+{\rho }^2{\dot{\rho }}^2+\dots ,\\ U=-mg\zeta +\text{ corst }=-\frac{mg}{2R}{\rho }^2+\text{ const. }+\dots \end{array}$$

Вставив эти выражения с сохранением мдлых не выше 2-го порядка в интеграл (24.20) и отбросив, кроме того, член с квадратом угловой скорости Земли, получим:
$${\dot{\rho }}^2+{\rho }^2\dot{{\phi }^2}=-\frac{g}{R}{\rho }^2+\frac{2h}{m}.$$

Изучим теперь движение проекции $M^{\prime }$ частицы $M$ на плоскость $A\approx \eta$. Отнесём это движение к подвижным осям $A{\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime }$, вращаюшимся равномерно вокруг оси $A^{\prime }$ от юга к западу с угловой скоростью, по модулю равной $\mathrm{\Omega }\sin \psi$ (фиг. 90). Совместим с осью $A{\xi }^{\prime }$ полярную ось системы полярных координат $\rho$, $\theta$. Угол $a$ между осями $A\leftrightarrows$ и $A_{\stackrel{\prime }{\ast }}^{\ast }$, очевидно, имеет выражение
$$\alpha =\mathrm{\angle }\xi A_3^{\ast }=-Q\sin \varphi \cdot t+c,$$

где $c$ — некоторая постоянная; поэтому координаты $\phi$ и 0 точек $M$ и $M^{\prime }$ связаны между собой следующей зависимостью:
$$\phi =0-Q\sin \psi \cdot t+c.$$

Отсюда дифференцированием находим:
$$\dot{\phi }=\dot{\theta }-Q\sin \psi \text{. }$$

Подставив это выражение для $\dot{\phi }$ в уравнения (24.19) и (24.21), мы приведём их к следующему виду:
$$\begin{array}{rl}{\rho }^2\dot{\theta }& =C,\\ {\dot{\rho }}^2+{\rho }^2({\dot{\theta }}^2-2\mathrm{\Omega }\sin \dot{\psi }\cdot \dot{\theta }+{\mathrm{\Omega }}^2{\sin }^2\psi )& =-\frac{g}{R}{\rho }^2+\frac{2h}{m}.\end{array}$$

Второе уравнение, если воспользоваться равенством (24.19), можно записать так:
$${\dot{\rho }}^2+{\rho }^2{\dot{t}}^2=-k^2{\rho }^2+2H,$$

где положено:
$$H=C\mathrm{\Omega }\sin \psi +\frac{h}{m},k^2=\frac{g}{R}+{\mathrm{\Omega }}^2{\sin }^2\psi .$$

Сравнивая интегралы (24.23) и (24.24) с формулами (19.6) и (19.8) на стр. 175 , мы видим, что точка $M^{\prime }$ на подвнжной плоскости $A{\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime }$ описывает центральную орбиту, соответствующую силовой функции:
$$U=-\frac{k^{\mathrm{\top }}m}{2}{\rho }^2.$$

По формуле (18.61) на стр. 172 определяем градиснт этой функции:
$$\mathrm{grad}U=-k^{2}m\rho {\overline{p}}^0.$$

Следовательно, точка $M^{\prime }$ движется так, как будто бы она находилась под действием силы притяжения к центру $A$, примо пропоринональной расстоянию. Мы знаем (§98), что в этом случае орбитои будет эллинс с центром в точке $A$. Произвольной постоянной $C$ можно всегда распорядиться так, чтобы координатные оси $A_{\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime }$ совпадали с осями эллипса.
В частном случае, когда ${\mathfrak{j}}_0=0$, т. е. согласно формуле $(24.22)$
$${\dot{\phi }}_0=-Q\sin {\psi }_0\text{, }$$

эллипс обращается в отрезок прямой $\theta =$ const. Если скорость точки $M$ относительно Земли была в начальный момент равна нулю, т. е. если
$${\dot{\phi }}_0=0,{\dot{\rho }}_0=0,$$

постоянные интегралов (24.23) и (24.24) определятся так:
$$C=\mathrm{\Omega }\sin \psi \cdot {\rho }_0^2,2H=k^2{\rho }_0^2+{\rho }_0^2{\mathrm{\Omega }}^2{\sin }^2\psi .$$

На этом основании по исключении $\dot{\theta }$ из интегралов уравнений движения легко получить:
$${\rho }^2{\dot{\rho }}^2=k^2({\rho }_0^2-{\rho }^2)({\rho }^2-{\rho }_1^2),$$

гдс положено
$${\rho }_1={\rho }_0\frac{Q\sin \psi }{k}\text{. }$$

Отсюда мы заключаем, что для рассматриваемого случая максимумом и минимумом $\rho$, или, что то же, полуосями эллипса, служат
$${\rho }_0\text{ и }{\rho }_0\frac{\mathrm{\Omega }\sin t}{R}\text{. }$$