114. Геометрические связи, удерживающие и неудерживающие. Материальная частица называется свободной тогда, когда она может занимать произвольное положение в пространстве. Если же заранее дано то геометрическое протяжение, в пределах которого должна двигаться рассматриваемая частица, тогда самую частицу называют несвободной, а условия, стесняющие её свободу, геометрическими связями. Данное геометрическое протяжение может быть объёмом, поверхностью или линией.

Пусть несвободная частица не может покидать данного объёма. Поверхность, ограничивающая этот объём, может, вообще говоря, быть подвижной и иметь переменную форму, т. е. быть деформирующейся; поэтому в общем случае уравнение её в декартовых координатах имеет вид
\[
f(x, y, z, t)=0 .
\]

Мы условимся раз навсегда так писать это уравнение, чтобы для возможных положений частицы левая часть его была неотрицательной; т. е. равной нулю или положительной; тогда аналитическим выражением для рассматриваемой связи, наложенной на материальную частицу, служит равенство, соединённое с неравенством следующего вида:
\[
f(x, y, z, t) \geqslant 0 .
\]

Связь такого рода носит название связи неудерживающей. Когда частица движется по границе объёма, т. е. по поверхности (20.1), иңче говоря, когда левая часть выражения (20.2) остаётся равной нулю, говорят, что связь находится в состоянии напряжения или что связь де йствует. Когда частица сошла во внутрь объёма, т. е. когда левая часть выражения (20.2) стала больше нуля, говорят, что связь ослабла или не действует.

Пример 47. Пусть частица может двигаться лишь по поверхности и внутри сферы радиуса $R$ с центром в начале координат. Такая связь имеет выражение
\[
R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0 .
\]

Если же частица может двигаться только по поверхности и вне сферы, то связь будет иметь выражение
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} \lessgtr 0 .
\]

Пример 48. Связь вида
\[
A^{2} t^{2}-\frac{(x-\alpha t)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-\beta t)^{2}}{b^{2}}-\frac{(z-\gamma t)^{2}}{c^{2}} \stackrel{>}{>}
\]

говорит, что частица должна двигаться по поверхности или внутри эллипсоида, центр которого движется прямолинейно и равномерно со скоростью,

равной по модулю $\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}$; оси этого эллипсоида возрастают пропорционально времени; следовательно, он увеличивается, остараясь себе подобным.

Когда частица должна двигаться по данной поверхности, то общим типом выражения связи будет равенство
\[
f(x, y, z, t)=0,
\]

служащее уравнением этой поверхности. Время войдёт явно, если данная поверхность подвижная или деформирующаяся. Связь, выражаемая равенством (20.3), называется связью удерживающей.
Пример 49. Уравнение
\[
A x+B y^{\prime}+C z+D t^{2}+E t+F=0,
\]

где $A, B, \ldots, F$ – некоторые постоянные, требует, чтобы частица не покидала подвижной плоскости. Плоскость эта, оставаясь параллельной своему начальному положению, т. е. двигаясь поступательно, удаляется равномерно ускоренно от своего начального положения
\[
A x+B y+C z+F=0 .
\]

Если частица не может покидать некоторой кривой, то обстоятельство это выразится дв у я равенствами:
\[
\left.\begin{array}{l}
f_{1}(x, y, z, t)=0, \\
f_{2}(x, y, z, t)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Время не войдетт явно, когда данная кривая неподвижна и неизменного вида. Так как рассматриваемая связь выражается двумя равенствами типа (20.3), то говорят, что в этом случае частица подчинена, дв м удержив ющим связям.
Пример 50. Уравнения
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0, \quad z-R \sin t=0
\]

показывают, что частица всё время остаётся на окружности. Центр этой окружности совершает гармоническое колебательное дгижение, а радиус периодически изменяется от нуля до $R$.

Рассматривать одновременно три удерживающие связи не представляет никакой необходимости. Действительно, пусть эти связи будут:
\[
f_{1}(x, y, z, t)=0, \quad f_{2}(x, y, z, t)=0, \quad f_{3}(x, y, z, t)=0 .
\]

Если между левыми частями написанных уравнений не имеет места зависимость вида
\[
\varphi\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}, t\right)=0
\]

то поверхности (20.5) пересекаются в одной или нескольких отдельных точках (вещественных или мнимых); следовательно, положение движущейся частицы или определяется для каждого момента времени (хотя, может быть, и не вполне однозначно) одними геометрическими условиями, или же частица не может одновременно лежать на всех поверхностях (20.5). Когда же существует зависимость вида (20.6), то при $f_{1}=0$ и $f_{2}=0$ из неё вытекает либо $f_{3}=0$, либо $f_{3}=\psi(t)$, где $\psi(t)$ – функция, не равная тождественно нулю. В первом случае связь $f_{3}=0$ была бы следствием свя-

зей $f_{1}=0$ и $f_{2}=0$, а во втором случае связь $f_{3}=0$ прогиворечила бы первым двум.
Пример 51. Левые части уравнений
\[
\begin{array}{l}
f_{1}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0 \\
f_{2}=x+y+z-R \cos \alpha=0, \\
f_{3}=(x-a)^{2}+(y-a)^{2}+(z-a)^{2}-3 a^{2}=0
\end{array}
\]

удовлетворяют соотношению
\[
f_{3}-f_{1}+2 a f_{2}-R(R-2 a \cos \alpha)=0 .
\]

Следовательно, при $a=\frac{1}{2} R \sec a$ эти связи могут быть заменены двумя; при другом значении а связи будут противоречивыми.

В отношении неудерживающих связей следует заметить, что приходится иногда рассматривать одновременно две, три и более связей, а именно, в том случае, когда объём, предоставленный для движения материальной частицы, ограничен поверхностью, не имеющей единого аналитического выражёния.
Пример 52 . Связи
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} \cos ^{2} \alpha \supset 0, \quad R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2} \lesssim 0
\]

оставляют для движения частицы объём между двумя кснцентрическими сферами радиусов $R$ и $R \cos \alpha$.
Пр име р 53. Связи
\[
\begin{array}{r}
R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0 \\
4 R^{2}-x^{2}-\frac{y^{2}}{\cos ^{2} \alpha}-\frac{z^{2}}{\sin ^{2} \alpha}>0
\end{array}
\]

предоставляют для частицы объём, ограниченный кусками сферы и эллипсоида. $\because$ Две одновременно действующие связи, удерживающая и не удержив а ющ а п, предоставляют для движения частицы некоторую ограниченную часть юверхости.
Пример 54. При связях
\[
\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0 \\
z-R \cos \alpha \lessgtr 0
\end{array}
\]

материальная частица может двигаться по поверхности шарового сегмента с высотой $R(1-\cos a)$.
Пример 55 . При связях
\[
\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0 \\
R^{2} \cos ^{2} a-z^{2} \lesseqgtr 0
\end{array}
\]

частица движется по сферическому поясу с высотой $2 R \cos \alpha$. если граница поверхндости состоит из негкольких линий, аналитически отличных одна от другой.
Приме р 56. Связи
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0, \quad x \gg 0, \quad y \leq 0, \quad z \gg 0,
\]

позволяют частице двигаться лишь по поверхности равносторонцего равноугольного сферического треугольника (с тремя прямыми углами).

Связь, в аналитическое выражение которой время $t$ явно не входит, называется склерономной, или стаџионарной; в противном случае связь называется реономной, или нестационарной.

115. Условие, налагаемое на скорость несвободной частицы удерживающей связью. Пусть материальная частица находится на удерживающей связи (20.3)
\[
f(x, y, z, t)=0 .
\]

Возьмём от обеих частей этого уравнения полную производную по времени, принимая во внимание, что в левую часть время $t$ входит как явно, так и посредством координат $x, y, z$; мы получим:
\[
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial f}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial f}{\partial z} \dot{z}+\frac{\partial f}{\partial t}=0 .
\]

Вспомнив выражение для градиента функции [формула (18.50) на стр. 168], мы можем это выражение переписать так:
\[
\frac{d f}{d t}=\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{v}+\frac{\partial f}{\partial t}=0 .
\]

Разрешим это уравнение относительно $\boldsymbol{v}$, воспользовавшись формулой (1.17) на стр. 8; мы получим:
\[
v=-\frac{\frac{\partial f}{\partial t}}{|\operatorname{grad} f|^{2}} \operatorname{grad} f+c,
\]

где $\boldsymbol{c}$ – произвольный вектор, перпендикулярный вектору $\operatorname{grad} f$. Таким образом, связь $f=0$ накладывает ограничение лишь на составляющую скорости вдоль градиента функции $f$ : как видно из последнего выражения, проекция скорости на градиент равна
\[
v_{g}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial t}}{|\operatorname{grad} f|} .
\]

Что же касается составляющей скорости в плоскости, перпендикулярной градиенту, то она может быть вполне произвольной. Если $\frac{\partial f}{\partial t}=0$, т. е. связь склерономная, равенство (20.8) даёт
\[
\operatorname{grad} f \cdot v=0,
\]
т. е. в те моменты времени, когда скорость не равна нулю, она перпендикулярна к градиенту:
\[
v \perp \operatorname{grad} f .
\]

Полученное условие очевидно: оно требует, чтобы скорость частицы, движущейся по неподвижной поверхности неизменного вида, лежала в плоскости, касательной к этой поверхности.

116. Условие, налагаемое на ускорение несвободной частицы удерживающей связью. Взяв полную производную по времени от уравнения

(20.7), мы получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=\frac{\partial f}{\partial x} \ddot{x}+\frac{\partial f}{\partial y} \ddot{y}+\frac{\partial f}{\partial z} \ddot{z}+\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \dot{x}^{2}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \dot{y}^{2}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \dot{z}^{2}+2 \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial z} \dot{y}+ \\
+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x} \ddot{z} \dot{x}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \dot{x} \dot{y}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial t \partial x} \dot{x}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial t \partial y} \dot{y}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial t \partial z} \dot{z}+\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}=0,
\end{array}
\]

или
\[
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=\operatorname{grad} f \cdot w+D_{2} f=0,
\]

где символом $D_{2} f$ обозначена совокупность членов со вторыми частными производными в предыдущем равенстве. Разрешив это уравнение относительно $w$ [по формуле (1.17) на стр. 8], получим:
\[
w=-\frac{D_{2}{ }^{\prime}}{\left.\operatorname{grad} f\right|^{2}} \operatorname{grad} f+c,
\]

где $\boldsymbol{c}$-произвольный вектор, перпендикулярный к градиенту: Таким образом, как и в отношении скорости, связь $f=0$ налагает өграничение лишь на составляющую ускорения по градиенту функции $f$ : проекция ускорения на градиент равна
\[
w_{g}=-\frac{D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|} .
\]

Составляющая же ускорения в плоскости, перпендикулярной к градиенту, не зависит от вида уравнения (20.3) удерживающей связи.

Относительно состава выражения $D_{2} f$ заметим, что оно содержит в себе члены трёх родов: в одни проекции скорости входят во второй степени, другие содержат их линейным образом и, наконец, третьи свободны от проекций скоростей. Когда $\frac{\partial f}{\partial t}=0$, т. е. связь склерономная, члены последних двух категорий отсутствуют, и $D_{2} f$ обращается в квадратичную однородную функцию проскций скоростей. Заметим, что по внешнему виду условие (20.10) не изменится в рассматриваемом случае, не в пример тому, как это было с условием (20.9) относительно скорости.

117. Условия, налагаемые на скорость и ускорение несвободной частицы неудерживающей связью. Положим теперь, что свобода матсриальной частицы стеснена неудерживающей связью (20.2). Когда связь эта ослаблена, т. е.
\[
f(x, y, z, t)>0,
\]
–
иямастица движется внутри предоставленного ей объёма. В этом случае, она, еевидно, может иметь произвольную. скорость и произвольное 6корение, и. следовательно, на эти векторные величины никаких ограихений не наложено. Пусть теперь связь в некоторый момент $t$ еще f)ентвет, но затем приходит в ослабение, т. е.
\[
f(t)=0, \quad f(t+\Delta t)>0,
\]
24 $\Delta t$ – произвольно малая положительная величина; функцию $f(t)$ мы

висящую от времени, во-первых, явно и, во-вторнх, неявно посредством координат $x, y, z$. Чтобы найти ограничения, наложенные в нашем случае на скорость и ускорение частицы, разложим функцию $f(t)$ в ряд Тейлора близ данной точки $t$; имеем
\[
f(t+\Delta t)=f(t)+\frac{d f}{d t} \frac{\Delta t}{1 !}+\frac{d^{2} f}{d t^{2}} \frac{\Delta t^{2}}{2 !}+\varepsilon_{3},
\]

где $\varepsilon_{8}$ – совокупность членов третьего и высших порядков относительно $\Delta t$. На основании условий (20.11) получаем отсюда:
\[
\frac{d f}{d t} \Delta t+\frac{d^{2} f}{d t^{2}} \frac{\Delta t^{2}}{2}+\varepsilon_{\mathrm{B}}>0 .
\]

Разделив теперь обе части этого неравенства на $\Delta t$ и перейдя к пределу $\Delta t \rightarrow 0$, найдём, что
\[
\frac{d f}{d t}>0_{l}
\]

или, согласно формуле (20.8),
\[
\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{v}+\frac{\partial f}{\partial t}>0 \text {. }
\]

Если поверхность не деформируется и неподвижна, т. е. $\frac{\partial f}{\partial t}=0$, то вы’веденное условие переходит в следующее:
\[
\operatorname{grad} f \cdot v \gg 0 \text {. }
\]

Существенно заметить, что в случае знака неравенства пройзводные в формулах (20.13), (20.14) и (20.15), а также в тех, которые из них получатся как следствне, следует понимать лишь, как так называемые правые производные, и, следовательно, они накладываюг ограничение лишь на скорость, с какою частица покидает связь, а не на скорость, с которою она приходит на связь: это следует из того, что само неравенство (20.13) написано в предположении $\Delta t>0$.

Если для момента $t$ производная $\frac{d f}{d t}>0$, то по неравенству (20.13) никаких заключений о второй – производной $\frac{d^{2} f}{d d^{2}}$ сделать нельзя, и, следовательно, ускорение частицы остаётся вполне произвольным. Если же $\frac{d f}{d t}=0$, то, деля неравенство (20.13) на $\Delta t^{2}$ и переходя к пределу $\Delta t \rightarrow 0$, мы получаем (для правой второй производной) условие
\[
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}>0
\]

или, согласно формуле (20.10),
\[
\operatorname{grad} f \cdot v+D_{2} f>0 .
\]

В заключение заметим, что если бы момент $t$ не был моментом схода частицы с поверхности
\[
f(x, y, z, t)=0,
\]

то для любого положительного $\Delta t$, не превышающего некоторой границы, было ‘бы также
\[
f(x, y, z, t+\Delta t)=0 .
\]

Отсюда, основываясь на разложении (20:1.2), мы делаем вывод, что в этом случае
\[
f=0, \frac{d f}{d t}=0, \frac{d^{2} f}{d t^{2}}=0, \ldots, \frac{d^{(k)} f}{d t^{k}}=0,
\]

для любюго $k$.

118. Реакция удерживающей связи. Идеальная связь. Множитель связи. Пусть на несвободную материальную частицу, находящуюся на удерживающей связи
\[
f(x, y, z, t)=0 \text {, }
\]

действует сила $\boldsymbol{F}$. Если бы частица была свободной, то по основному уравнению динамики мы имели бы
\[
m w=F \text {. }
\]

Однако, в рассматриваемом случае ускорение частицы должно удовлетворять условию (20.10), т. е.
\[
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=\operatorname{grad} f \cdot w+D_{2} f=0 .
\]

Поэтому, ссли равенства (20.21) и (20.22) не противоречат друг другу, то из них вытекает следующее ограничение для силы:
\[
\frac{\operatorname{grad} f \cdot F}{m}+D_{2} f=0 .
\]

Но нетрудно видеть, что тогда уравнение (20.20) служит одним из интегралов уравнения движения (20.21), и мы, следовательно, имеем дело с частным случаем движения свободной частицы, а не с движением частицы по связи. Действительно, если уравнение (20.21) умножить на $\frac{\operatorname{grad} f}{m}$, то получим:
\[
\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{w}=\frac{\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{F}}{m},
\]

что на основании соотношения (20.23) даёт
\[
\operatorname{grad} f \cdot w+D_{2} f=\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=0 ;
\]

отсюда, проинтегрировав, находим:
\[
f(x, y, z, t)=a t+\beta,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – произвольные постояннье. Таким образом, равенство (20.20) явлется частным интегралом уравнения движения (20.21) при $\alpha=\beta=0$.

Еели этот случай оставить в стороне, то соотношение (20.22) не вйолняется, а потому уравнение (20.21) противоречит условию (20.20). Bынти из такого затруднения мы можем, лишь приняв, что уравнение

(20.21) несправедливо в настоящем случае: кроме силы $F$, на рассматриваемую частицу должна действовать некоторая другая сила $R$, обязанная своим происхождением присутствию связи и потому называемая реакцией связи на частицу. Такой взгляд не противоречит третьему закону Ньютона, так как мы не иначе можем представить себе связь, как ириспособление, соединяющее одну массу с другой. Следовательно, источником реакции, действующей на движущуюся частицу, бұдет та масса, с которой она связана кинематическим образом. Реакция связи иначе называется пассизвой силой. Силы, не принадлежащие к числу реакций связей, называются приложенными, или активными. Игак, уравнение движения (20.21) необходимо заменить следующим:
\[
m w=F+R .
\]

Посмотрим, насколько сила $\boldsymbol{R}$ определяется по уравнению (20.20). Умножением уравнения движения (20.24) скалярно на grad $f$ получаем:
\[
\operatorname{grad} f \cdot m w=\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{F}+\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{R} .
\]

Так как условие (20.22) теперь должно быть выполнено, то отсюда получаем:
\[
\operatorname{grad} f \cdot R=-\operatorname{grad} f \cdot F-m D_{2} f .
\]

Разрешив это уравнение относительно $\boldsymbol{R}$ по формуле (1.17) на стр. 8 , находим:
\[
R=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot F+m D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|^{2}} \operatorname{grad} f+c,
\]

где $\boldsymbol{c}$ – произвольный вектор, перпендикулярный к $\operatorname{grad} f$. Оказывается, что если нам дано лишь уравнение связи (20.20) и неизвестно, как на деле осуществлена связь, то определённой функцией от $t, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{v}$ является одна лишь составляющая реакции по градиенту функции, выражающей связь, или, что то же, по нормали к поверхности (20.20). Обозначив эту нормальную составляющую реакции буквою $\boldsymbol{N}$, можем, следовательно, написать:
\[
N=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{F}+m D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|^{2}} \operatorname{grad} f .
\]

Отсюда проекция нормальной реакции на градиент, или, что всё равно, на положительную нормаль поверхности $f=0$, равна:
\[
N_{n}=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot F+m D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|} .
\]

Выражению (20.25) часто придают форму
\[
\boldsymbol{N}=\lambda \operatorname{grad} f,
\]

где
\[
\lambda=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot F+m D_{2} f}{\left.\operatorname{grad} f\right|^{2}} .
\]

Скалярный множитель пропорциональности $\lambda$, вообще говоря, переменный, носит название множителя связн. Если $\lambda>0$, нормальная реакция направлена одинаково с градиентом, т. е. в сторону возрастания функции $f$, исходя от поверхности $f=0$; если $\lambda<0$, нормальная реакиия направлена в сторону убывания функции $f$, исходя от поверхности $f=0$. Что же касается составляющей $\boldsymbol{c}$ реакции в плоскости, перпендикулярной к градиенту, то для нахождения её уравнени́е (20.20) нам ничего не даёт.

Выделим специальный класс связей, которые вполне определяются своей аналитическою формой, т. е. уравнением (20.20), и, следовательно, не дают реакции в плоскости, перпендикуляриой к градиенту. Такие связи называются идеальными. Поскольку реакция идеальной св»зи состоит из одной своей нормальной составляющей, мы можем написать для неё следующее аналитическое выражение:
\[
R=N=\lambda \operatorname{grad} f
\]

где $\lambda$ имеет выше указанное значение.
Если желают изучить движение частицы по неидеальной связи, то, кроме уравнения связи, должен быть известен закон, которым определяется составляющая реакция в плоскости, перпендикулярной к градиенту. Закон этот обыкновенно выводится из наблюдений и опытов над физически осуществлёнными связями; пример тому мы увидим, когда будем говорить о движении частицы по шероховатой поверхности, т. е. с трением.

119. Дифференциальные уравнения движения частицы, подчинённой идеальной удерживающей связи. Если частица принуждена двигаться в еоответствии с идеальной связью
\[
f(x, y, z, t)=0,
\]

то на основании выражений (20.24) и (20.28) мы можем её уравнение движения записать в следующем виде:
\[
m w=F+N,
\]

или
\[
m w=F+i \operatorname{grad} f .
\]

В проекциях на оси координат мы получаем, следовательно, такие дифференциальные уравнения:
\[
m \ddot{x}=F_{x}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x}, \quad m \ddot{y}=F_{y}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y}, \quad m \ddot{z}=F_{z}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z} .
\]

Мы видим, что уравнения (20.29) и (20.31) представляют собой систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными функіиями времени $x, y, z$ и $\lambda$. Интегрирование этой системы ведётся обыкновенно следуюшим путём. Прежде всего исключаем неизвестную функцию $\lambda$, для чего можно использовать её выражение (20.27)
\[
\lambda=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot F+m D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|^{2}} .
\]

Когда эту величину $\lambda$ вставим в правые части уравнений (20.31), то получим систему трёх уравнений второго порядка относительно трёх неизвестных функций времени $x, y$ и $z$. Интегрирование этих уравнений

приведёт нас к выражениям для $x, y, z$, содержащим шесть произвольных постоянных: $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$; но, как нетрудно увидеть, в рассматриваемом случае независимых постоянных имеется только четыре. В самом деле, умножив уравнение движення (20.30) скалярно на grad $f$, мы, при найденном значении (20.32) для $\lambda$, найдём как следствие из этого уравнения, что
\[
\operatorname{grad} f \cdot w=-D_{2} f
\]
T. e.
\[
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=0
\]

Следовательно,
\[
f(x, y, z, t)=a t+\beta,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – произвольные постоянные. Если в левую часть последнего равенства вставим полученные значения $x, y, z$, то $\alpha$ и $\beta$ должны оказаться функциями от $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$ :
\[
\alpha=\alpha\left(C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}\right), \quad \beta=\beta\left(C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}\right) .
\]

Для получения уравнения (20.29) мы должны положить
\[
\alpha=0, \beta=0 ;
\]

следовательно, независимых постоянных среди $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$, действительно, останется только четыре. Причина того, что мы потучили сперва шесть постоянных, заключается, конечно, в том, что для исключения $\lambda$ мы воспользовались не самим уравнением (20.29) связи, а тем выражением (20.27) для $\lambda$, которое вытекает из второй производной (20.22) от уравнения связи.

Пример 57. Пусть весомая частица массы $m$ принуждена оставаться на связи
\[
a x+b y+c z+d=0,
\]

причём ось $z$ направлена вертикально вверх, а $a, b, c, d \dot{-}$ постоянные. Дифференциальные уравнения движения будут следующие:
\[
m \ddot{x}=\lambda a, \quad m \ddot{y}=\lambda b, \quad m \ddot{z}=-m g+\lambda c .
\]

Определяем $\lambda$ по формуле (20.32); находим:

Вставив полученное значение $\lambda$ в дифференциальные уравнения движения, получаем:
\[
m \ddot{x}=\lambda_{0} a, \quad m \ddot{y}=\lambda_{0} b, \quad m \ddot{z}=-m g+\lambda_{0} c .
\]

Эти уравнения имеют своими интегралами следующие выражения:
\[
\begin{array}{l}
x=\frac{\lambda_{0} a}{2 m} t^{2}+C_{1} t+C_{2}, \\
y=\frac{\lambda_{0} b}{2 m} t^{2}+C_{3} t+C_{4}, \\
z=-\frac{m g+\lambda_{0} c}{2 m} t^{2}+C_{5} t+C_{6} .
\end{array}
\]

Чтобы найти соотнощения между произвольными постоянными $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$. припимаем в соображение, что полученные выражения для $x, y, z$ должны тождественно удовлетворять уравнению гвязи (20.33); выполиив подстановку и приравняв в полученном выражении нулю коэффициенты при $t$ в первой степени и свободный член, найдём следующие две зависимости:
\[
\begin{array}{r}
a C_{1}+b C_{3}+c C_{5}=0, \\
a C_{2}+b C_{4}+c C_{6}+d=0 .
\end{array}
\]

Наконец, определяем реакцию по формуле (20.28); имеем
\[
R_{x}=\lambda_{0} a, \quad R_{y}=\lambda_{0} b, \quad R_{z}=\lambda_{0} c .
\]

Как видно из выражения для $\rangle$, всегда’имеет место условие $\lambda_{0} c>0$; поэтому проекция реакции на ось $z$ положительна: $R_{z}>0$, т. е. она направлена в сторону, обратную направлению силы тяжести.

120. Реакция неудерживающей связи. Дифференциальные уравнения движения частицы, подчинённой идеальной неудерживающей связи. Положим, что свобода частицы массы $m$ стеснена неудерживающей связью
\[
f(x, y, z, t) \geqslant 0 .
\]

Пусть к частице приложена сила $\boldsymbol{F}$. Если $f>0$, т. е. частица находится внутри объёма, ограниченного поверхностью $f=0$, то на её ускорение никакого ограничения не наложено (§117), и, следовательно, её уравнение движения будет такое же, как и для свободной частицы:
\[
m w=F .
\]

Ускорение частицы не может быть произвольным только тогда, когда она цвижется по самой границе $f=0$ объёма и притом когда $\frac{d f}{d t}=0$; в таком случае ускорение должно удовлетворять условию (20.17) или, что то же, $(20.18)$ :
\[
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=\operatorname{grad} f \cdot w+D_{2} f \gtrdot 0 .
\]

Написанное соотношение не будет противоречить уравнению движения (20.35), если сила $F$ такова, что
\[
\frac{\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{F}}{m}+D_{2} f \gg 0 ;
\]

тогда частяца всё время будет двигаться как свободная. Если же
\[
\frac{\operatorname{grad} f \cdot F}{m}+D_{2} f \gtrless 0,
\]

то подобно предыдущему мы примем, что к правой части уравнения (20.35) присоединяется реакция $R$; при этом, если ускорение частицы, по.тучаемое ею от совокупного действия сил $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{R}$, не сводит её со свизи, то должны соблюдаться условия (20.19):
\[
f=0, \quad \frac{d f}{d t}=0, \quad \frac{d^{2} f}{d t^{2}}=0 .
\]

Полагая связь идеальной, мы для её реакции попрежнему будем иметь выражение
\[
R=i \operatorname{grad} f
\]
rде
\[
\lambda=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot F+m D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|^{2}} \text {. }
\]

Из сказанного выводим, что в качестве уравнения движения частицы, подчиннённой идеальной неудерживаюшей связи, приходится брать либо уравнение (20.35), либо следующее:
\[
m w=F+\lambda \operatorname{grad} f .
\]

Легко определить критерий, указывающий, когда надо брать уравнения одного типа, когда другого. Из сравнения выражений (20.38) и (20.39) видим, что для неудерживающей связи множитель реакции должен быть неотрицателен:
\[
\lambda>0 ;
\]
т. е. неудерживающая связь может оказывать реакцию лишь по положительному направлению нормали поверхности, или градиента функция $f$. Следовательно, уравнение (20.40) действительно, пока множитель $\lambda$ сохраняет неотрицательное значение; при этом частица при действии силы $F$ удерживается связью $f=0$. Если же множитель $\lambda$, обратившись в нуль (для этого случая оба типа уравнений совпадают), затем становится отрицательным, то с этого момента надо пользоваться уравнением (20.35).

Таким образом, план решения вопроса о движении частицы, подчинённой неудерживающей связи, следующий. Прежде всего по начальным данным $r_{0}, v_{0}$, или, иначе, $x_{0}, y_{0}, z_{0}, \dot{x}_{0}, \dot{y}_{0}, \dot{z}_{0}$, смотрим, соблюдены ли для начального момента $t=t_{0}$ условия:
\[
f=0, \quad \frac{d f}{d t}=0, \quad \lambda>0 .
\]

Если хотя одно из них не выполнено, берём уравнение типа (20.35). Когда все условия удовлетворены, обращаемся к уравнению (20.40). Интегрируя его так же, как и в случае удерживающей связи (§119), находим $x, y, z, \lambda$ как функции времени:
\[
x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t), \quad \lambda=\lambda(t) .
\]

Исследуем, не может ли функция $\lambda(t)$ обратиться в нуль и затем стать отрицательной. Если $\lambda(t)$ всегда неотрицательна, т. е. положительна или нуль, задача кончена; если же $\lambda(t)$ обращается в нуль для момента $t=t_{1}$, а затем становится отрицательной, то уравнение (20.40) годится лишь для промежутка времени от $t_{0}$ до $t_{1}$. С момента $t_{1}$ надо уже брать уравнение (20.35) и интегрировать это уравнение при начальных условиях:
\[
t=t_{1}, x=x\left(t_{1}\right), y=y\left(t_{1}\right), z=z\left(t_{1}\right), \dot{x}=\dot{x}\left(t_{1}\right), \dot{y}=\dot{y}\left(t_{1}\right), \dot{z}=\dot{z}\left(t_{1}\right) .
\]

Может случиться, что частица, движущаяся как свободная, т. е. по уравнению (20.35), сно̀ва попадёт на связь, и, значит, координаты её

обратят $f$ в нуль. Тогда может произойти явление, называемое ударом: именно, скорость частицы может измениться мгновенно. Как определить это изменение, увидим впоследствии. Во всяком случае, к новой скорости в конце удара мы должны отнестись, как к одному из новых начальных данных. Таким образом, следует продолжать исследование движения, переходя от уравнения одного типа к уравнению другого, пока не исчерпаем, если сможем, все моменты, для которых или $\lambda$ обращается в нуль, или происходит удар.

121. Дифференциальные уравнения движения частицы, подчинённой двум связям. Положим, что рассматриваемая частица подчинена двум связям:
\[
f_{1}(x, y, z, t)=0, \quad f_{2}(x, y, z, t)=0 .
\]

Принимая, что обе связи идеальнье, получаем по § 119 следующее уравнение движения для взятой частицы:
\[
m w=\boldsymbol{F}+\lambda_{1} \operatorname{grad} f_{1}+\lambda_{2} \operatorname{grad} f_{2},
\]

или, в проекциях,
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{x}=F_{x}+\lambda_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\lambda_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial x}, \\
m \ddot{y}=F_{y}+\lambda_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial y}+\lambda_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial y}, \\
m \ddot{z}=F_{z}+\lambda_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial z}+\lambda_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial z} .
\end{array}\right\}
\]

Написанные уравнения (20.43) содержат пять неизвестных функций времени: $x, y, z, \lambda_{1}, \lambda_{2}$; для нахождения этих функций мы имеем пять уравнений (20.41) и (20.43).

Интегрирование ведётся тем же путём, как и для одной связи. Прежде всего из уравнений (20.43) исключаем неизвестные функции $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ с помощью уравнений
\[
\frac{d^{2} f_{1}}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} f_{2}}{d t^{2}}=0,
\]

являющихся следствием уравнений (20.41). В раскрытом виде эти равенства представятся так:
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{grad} f_{1} \cdot w+D_{2} f_{1}=0, \\
\operatorname{grad} f_{2} \cdot w+D_{2} f_{2}=0 .
\end{array}
\]

Подставив сюда значение $w$ из выражения (20.42), получаем для определения $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ такие уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda_{1}\left|\operatorname{grad} f_{1}\right|^{2}+\lambda_{2} \operatorname{grad} f_{1} \cdot \operatorname{grad} f_{2}=-\operatorname{grad} f_{1} \cdot F-m D_{2} f_{1}, \\
\lambda_{1} \operatorname{grad} f_{1} \cdot \operatorname{grad} f_{2}+\lambda_{2}\left|\operatorname{grad} f_{2}\right|^{2}=-\operatorname{grad} f_{2} \cdot F-m D_{2} f_{2} .
\end{array}\right\}
\]

Определитель $\Delta$ этих уравнений может быть представлен в следующем нде:
\[
\Delta=\left|\operatorname{grad} f_{1}\right|^{2} \cdot\left|\operatorname{grad} f_{2}\right|^{2}-\left(\operatorname{grad} f_{1} \cdot \operatorname{grad} f_{2}\right)^{2},
\]

или, согласно формуле (1.30) на стр. 11 , 2.
\[
\Delta=\left|\operatorname{grad} f_{1} \times \operatorname{grad} f_{2}\right|^{2} ;
\]

если же векторное произведенис, стоящее в правой части, выразить через проекции сомножителей и затем воспользоваться обычным обозначением функциональных определителей, то получим:
\[
\Delta=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial y} & \frac{\partial f_{1}}{\partial z} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial y} & \frac{\partial f_{2}}{\partial z}
\end{array}\right|^{2}+\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial z} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial z} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x}
\end{array}\right|^{2}+\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y}
\end{array}\right|^{2},
\]

или
\[
\Delta=\left[\frac{\partial\left(f_{1}, f_{2}\right)}{\partial(y, z)}\right]^{2}+\left[\frac{\partial\left(f_{1}, f_{2}\right)}{\partial(z, x)}\right]^{2}+\left[\frac{\partial\left(f_{1}, f_{2}\right)}{\partial(x, y)}\right]^{2} .
\]

Из этого равенства заключаем, что $\Delta$ может равңяться нулю лишь в том случае, когда каждый из функциональных определителей, стоящих в правой части, равен нулю. Но из того, что
\[
\frac{\partial\left(f_{1}, f_{2}\right)}{\partial(y, z)}=0
\]

следует, что функции $f_{1}$ и $f_{2}$ связаны некоторым соотношением, содержащим кроме этих функций, быть может, ещё те переменные, которые отсутствуют в знаменателе рассматриваемого определителя, т. е. $x$ и $t$ :
\[
\psi_{1}\left(f_{1}, f_{2}, x, t\right)=0 .
\]

Аналогично из равенства нулю двух остальных функциональных определителей следует, что существуют некоторые соотношения
\[
\psi_{2}\left(f_{1}, f_{2}, y, t\right)=0, \quad \Psi_{3}\left(f_{1}, f_{2}, z, t\right)=0 .
\]

Одновременное существование этих трёх соотношений говорит о том, что между функциями $f_{1}$ и $f_{2}$ существует соотношение, не содержащее явно переменных $x, y, z$, т. е. соотношение вида
\[
\Psi\left(f_{1}, f_{2}, t\right)=0 ;
\]

действительно, мы придём к такому соотношению, если, определив $x, y, z$ из уравнений (20.46), (20.47), вставим их в одно из уравнений (20.41). Но соотношение (20.48), если $t$ действительно явно в него входит, говорит о том, что связи $f_{1}=0$ и $f_{2}=0$ противоречат друг другу; если же $t$ в равенство (20.48) явно не входит, то из него следует, что связи $f_{1}=0$ и $f_{2}=0$ являются одна следствием другой.

Если исключим из нашего рассмотрения эти случаи, то определитель $\Delta$ будет отличен от нуля, и, следовательно, мы всегда сможем из уравнений (20.45) определить $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ как функции от аргументов $x, y, z$, $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, t$. Подставив найденные выражения в правые части уравнгний (20.43), мы получим систему трёх уравнений второго порядка относительно неизвестных функций $x, y, z$. Интегрирование этих уравнений приведёт нас к выражениям для $x, y, z$, содержащим шесть произвольных постоянных: $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$. Нетрудно увидеть, что независимыми меж.ду ними будут только дв е. Действительно, умножив уравнение (20.42) скалярно на grad $f_{1}$, мы, при найденных из уравнений (20.45) значениях $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, получим как следствие из этого уравнения первое из уравнений

(20.44). Тем же путём выведем из уравнения (20.42) и второе уравнение (20.44). Таким образом, в числе интегралов рассматриваемой системы будут следующие два:
\[
f_{1}(x, y, z, t)=\alpha_{1} t+\beta_{1}, \quad f_{2}(x, y, z, t)=\alpha_{2} t+\beta_{2} .
\]

Постоянные $\alpha_{1}, \beta_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2}$ будут некоторыми функциями от $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$. Но чтобы уравнения (20.49) совпадали с уравнениями (20.41) заданных связей, мы должны положить
\[
a_{1}=0, \quad \beta_{1}=0, \quad \alpha_{2}=0, \quad \beta_{2}=0,
\]

что и даёт четыре зависимости между $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$; таким образом, независимых постоянных действительно останется только две. Когда одна из связей или обе неудерживающие, ход решения будет тот же, что и в $\S 120$.