237. Главная функция Гамильтона в независимых координатах. Рассмотрим материальную систему, не имеющую вовсе неинтегрируемых связей (§ 166). Такая система всегда может быть отнесена к независимым координатам $q_{\sigma}$ (§190); пусть число их равно $s$. Положим далее, что приложенные к системе силы $\boldsymbol{F}_{v}$ обладают силовой функцией $U\left(x_{v}, y_{v}, z_{v}, t\right)$, т. е. могут быть представлены в форме
\[
\boldsymbol{F}_{\mathrm{v}}=\operatorname{grad}_{\mathrm{v}} U=\frac{\partial U}{\partial x_{\mathrm{v}}} \boldsymbol{x}^{0}+\frac{\partial U}{\partial y_{\mathrm{v}}} \boldsymbol{y}^{0}+\frac{\partial U}{\partial z_{\mathrm{v}}} \boldsymbol{z}^{0} ;
\]

относительно силовой функции мы при этом предположим, что она может явно содержать время $t$. Если сумму кинетической энергии $T$ системы и силовой функции $U$ мы обозначим $L$, т. е. положим
\[
L=T+U,
\]

то уравнения движения системы согласно формуле (32.48) на стр. 332 смогут быть написаны в следующей форме:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\sigma}}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Уравнения первого порядка, союзные уравнениям этой системы, по приведении к каноническому виду пишутся так [формулы (33.23) на стр. 346 ]:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d q_{0}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{a}}, \\
\frac{d p_{0}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\sigma}}
\end{array}\right\} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) ;
\]

входящая в эти уравнения функция $H$ согласно формуле (33.22) на стр. 346, может быть выражена следующим образом:
\[
H=\sum_{\sigma=1}^{s} p_{0} \dot{q}_{\mathrm{s}}-\widehat{T}-U,
\]

где $\widehat{T}$ есть союзное выражение кинетической энергии.
Вспомним далее, что действие по Гамильтону $W$ (\$201) представляется интегралом
\[
W=\int_{t_{0}}^{t} L d t
\]

взятым по прямому пути (§ 200) от некоторого начального положения системы, соответствующего моменту $t_{0}$ и координатам $q_{\sigma_{0}}$, до некоторого конечного, соответствующего моменту $t$ и координатам $q_{\sigma}$. Если движение системы нам известно, т. е. если мы знаем конечные уравнения движения
\[
q_{\sigma}=q_{\sigma}\left(t, C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{2 n}\right),
\]

где $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{2 n}$ – произвольные постоянные, то интеграл (42.4) легко вычисляется. Для этого нужно прежде всего определить произвольные

постоянные $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{2 n}$ как функции от начальных координат $q_{\sigma_{0}}$ и начальных скоростей $\dot{q}_{\infty}$ из системы $2 s$ уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
q_{\sigma_{0}}=q_{\sigma_{0}}\left(t_{0}, C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{2 n}\right), \\
\dot{q}_{\sigma_{s}}=\dot{q}_{\sigma_{0}}\left(t_{0}, C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{2 n}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Вставив найденные отсюда значения для $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{2 n}$ в уравнения (42.5), мы выразим все координаты $q_{\sigma}$ как функции от $2 s+2$ аргументов $t, t_{0}, q_{\sigma_{0}}, \dot{q}_{\sigma_{0}}$ :
\[
q_{\sigma}=q_{\sigma}\left(t, t_{0}, q_{\sigma_{n}}, \dot{q}_{\sigma_{0}}\right) \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

От тех же аргументов будут зависеть производные $\dot{q}_{\sigma}$ от координат по времени:
\[
\dot{q}_{\sigma}=\frac{d q_{\sigma}}{d t}=\dot{q}_{\sigma}\left(t, t_{0}, q_{\sigma_{0}}, \dot{q}_{\sigma_{0}}\right) \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Подинтегральная функция в выражении (42.4) зависит от $t, q_{\sigma}$ и $\dot{q}_{\sigma}$; следовательно, в силу уравнений (42.7) и (42.8) она представится функцией от тех же $2 s+2$ аргументов $t, t_{0}, q_{\sigma_{0}}, \dot{q}_{\sigma_{0}}$; а потому, выполнив указанное в формуле (42.4) интегрирование, мы в функции тех же аргументов выразим и действие $W$ :
\[
W=W\left(t, t_{0}, q_{\infty}, \dot{q}_{a}\right) .
\]

Но из равенств (42.7) вытекает, что начальные скорости $\dot{q}_{\sigma_{0}}$, вообще говоря, можно выразить как функции от $t, t_{0}, q_{\circ}, q_{\sigma_{0}}$ :
\[
\dot{q}_{\mathrm{s}_{0}}=\dot{q}_{\mathrm{o}_{0}}\left(t, t_{0}, q_{\sigma}, q_{\mathrm{\sigma}_{0}}\right) \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Следовательно, и само действие $W$ можно, если желаем, рассматривать как функцию $2 s+2$ аргументов: начального и конечного моментов $t_{0}$ и $t$, а также начальных и конечных координат $\dot{q}_{\sigma_{0}}$ и $q_{\sigma}$, т. е.
\[
W=W\left(t, t_{0}, q_{\sigma}, q_{\sigma_{0}}\right) .
\]

Действие по Гамильтону, выраженное в такой форме, т. е. как функция времени, координат и некоторых постоянных параметров, носит название главной функции. За переменные аргументы этой функции обыкновенно принимаются время $t$ и координаты $q_{0}$, отвечающие конечному моменту. Поэтому, если мы, например, на том же прямом пути вместо прежнего начального положения системы возьмём какое-либо другое, то к главной функции прибавится только некоторая постоянная, равная действию от нового начального положения до прежнего.

238. Производные главной функции. Чтобы раскрыть механический смысл производных от главной функции, составим выражение для вариации действия $W$, рассматривая это действие согласно формуле (42.9) как функцию времени и произвольных постоянных $q_{\sigma_{0}}$ и $\dot{q}_{\alpha_{0}}$. Варьирование функции $W$ и происходи? вследствие изменения этих постоянных параметров. Формально нам придётся повторить вычисление § 201, но смысл варьирования будет совсем иной. Исходя из выражения (42.4) и принимая во внимание, что пределы интеграла не – содержат произвольных постоянных, мы получаем:
\[
\partial W=\delta \int_{t_{r}}^{t} L d t=\int_{t_{0}}^{t} \delta L d t
\]

Ho
\[
\delta L=\sum_{\sigma=1}^{s}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{0}} \dot{\partial} \dot{q}_{\sigma}+\frac{\partial L}{\partial q_{\circ}} \delta q_{\circ}\right)
\]

следовательно,
\[
\delta W=\int_{t_{0}}^{t} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \delta \dot{q}_{\sigma} d t+\int_{i_{0}}^{t} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma} d t .
\]

Преобразуем первую сумму; приняв во внимание, что
\[
\delta \dot{q}_{\sigma}=\delta \frac{d q_{0}}{d t}=\frac{d}{d t} \delta q_{\sigma} .
\]

Интеграция по частям даёт
\[
\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \dot{\partial} \dot{q}_{\sigma} d t=\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \frac{d}{d t} \delta q_{\sigma} d t=\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \delta q_{\sigma}-\int_{t_{0}}^{t} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \delta q_{\sigma} d t .
\]

Таким образом, мы получаем:
\[
\delta W=\sum_{\sigma=1}^{s} \int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \delta q_{\sigma}+\int_{t_{0}}^{t} \sum_{\sigma=1}^{s}\left\{\frac{\partial L}{\partial q_{\sigma}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right\} \delta q_{\sigma} d t .
\]

Но движение системы происходит сообразно с уравнениями (42.1); поэтому последнее уравнение переходит в следующее:
\[
\delta W=\sum_{\sigma=1}^{s} p_{\sigma} \delta q_{\sigma}-\sum_{\sigma=1}^{s} p_{\sigma_{0}} \delta q_{\sigma_{0}}
\]

где $p_{0}$ и $p_{\sigma_{0}}$ в соответствии с формулой (33.2) на стр. 339 означают импульсы в моменты $t$ и $t_{0}$, т. е.
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=p_{\sigma} ; \quad\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right)_{0}=p_{\sigma_{0}} .
\]

В формуле (42.13) вариации $\delta q_{\sigma}$, собственно говоря, следовало бы заменить выражениями
\[
\sum_{\rho=1}^{n}\left(\frac{\partial q_{\sigma}}{\partial q_{o 0}} \delta q_{\rho_{\rho}}+\frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \dot{q}_{\rho 0}} \delta \dot{q}_{\rho_{0}}\right) .
\]

Но, если с помощью формулы (42.10) $s$ аргументов $q_{\sigma_{0}}$ выразить через аргументы $q_{\sigma}$, т. е. если действие $W$ рассматривать в форме (42.11), то выражение (42.13) как раз даст дифференциал главной функции при условии, что время мы будем считать постоянным. Другими словами, полный дифференциал $d W$ главной функции (42.11) представится так:
\[
d W=\delta W+\frac{\partial W}{\partial t} \delta t .
\]

Параметр $t_{0}$ мы считаем данной фиксированной величиной, как было уже упомянуто выше. Но ведь в указанном смысле мы имеем
\[
\delta W=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma}+\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma_{0}}} \delta q_{\sigma_{0}} .
\]

Вычитанием равенств (42.13) и (42.16) мы находим:
\[
\sum_{\sigma=1}^{s}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{s}}-p_{\sigma}\right) \delta q_{\sigma}+\sum_{s=1}^{s}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{\sigma_{0}}}+p_{s_{0}}\right) \delta q_{\sigma_{0}}=0 ;
\]

отсюда вследствие-независимости друг от друга вариаций $\delta q_{\sigma}$ и $\delta q_{\text {о }_{0}}$ мы получаем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W}{\partial q_{0}}=p_{\sigma}, \\
\frac{\partial W}{\partial q_{00}}=-p_{\sigma_{0}} .
\end{array}
\]

Выведенные $2 s$ равенств дают зависимости между $t, q_{\sigma}, p_{\circ}$ и $2 s$ постоянными $q_{\sigma_{0}}$ и $p_{\sigma_{0}}$; следовательно, эти равенства подходят под тип уравнений (42.5) и тех, которые получаются из них дифференцированием по времени. Другими словами, равенства (42.17) и (42.18) представляют собой полную систему интегралов системы уравнений (42.2). Если же систему канонических уравнений (42.2) мы заменим ей равносильной системой (42.1), то равенства (42.17) дадут группу первых, а равенства (42.18) – группу вторых интегралов уравнений движения. Система интегралов (42.17) и (42.18) полная, потому что уравнения эти разрешены относительно независимых друг от друга величин $p_{\sigma}$ и $p_{\sigma_{0}}$, и, следовательно, ни одно из названных равенств не может быть следствием других.

Пример 128. Рассмотрим движение весомой частицы массы, равной единице, в вертикальной плоскости. Если ось $z$ направить вертикально вверх, а ось $y$ расположить горизонтально, то уравнения движения частицы будут
\[
\ddot{y}=0 ; \quad \ddot{z}=-g \text {. }
\]

эти уравнения имеют очевидные интегралы
\[
y=y_{0}+\dot{y}_{0} t, \quad z=z_{0}+\dot{z}_{0} t-\frac{g t^{2}}{2},
\]

если мы примем, что $t_{0}=0$. Действие $W$ по формуле (42.4) выразится так:
\[
W=\int_{0}^{t}\left[\frac{1}{2}\left(\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-g z\right] d t=\int_{0}^{i}\left(\frac{\dot{y}_{0}^{2}+\dot{z}_{0}^{2}}{2}-g z_{0}-2 g \dot{z}_{0} t+g^{2} t^{2}\right) d t .
\]

После интеграции мы найдём для действия в форме (42.9) следующее выражение:
\[
W=\frac{1}{2} \dot{y}_{0}^{2} t+\frac{1}{2} \dot{z}_{0}^{2} t-g z_{0} t-g \dot{z}_{0} t^{2}+\frac{1}{3} g^{2} t^{3} .
\]

Исключив отсюда с помощью уравнений (42.19) начальные скорости, мы получим главную функцию
\[
W=\frac{1}{2 t}\left(y-y_{0}\right)^{2}+\frac{1}{2 t}\left(z-z_{0}\right)^{2}-\frac{g t}{2}\left(z+z_{0}\right)-\frac{1}{24} g^{2} t^{3} .
\]

Так как для рассматриваемого примера импульсы совпадают со скоростями, то уравнения (42.17) и (42.18) примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{y-y_{0}}{t}=\dot{x} ; \quad \frac{z-z_{0}}{t}-\frac{g t}{2}=\dot{z} ; \\
\frac{y-y_{0}}{t}=\dot{y}_{0} ; \quad \frac{z-z_{0}}{t}+\frac{g t}{2}=\dot{z}_{0} .
\end{array}
\]

239. Дифференциальное уравнение Якоби-Гамильтона для главной функции в частных производных. Из выражения (42.4) для $W$ вытекает следующее значение полной производной по времени от этой функции:
\[
\frac{d W}{d t}=L
\]

С другой стороны, на основании равенства (42.17) мы имеем:
\[
\frac{d W}{d t}=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{\circ}} \frac{d q_{\sigma}}{d t}=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{\sigma=1}^{s} p_{\sigma} \dot{q}_{\sigma} .
\]

Приравняв друг другу найдённые два значения производной $\frac{d W}{d t}$, мы найдём:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{\sigma=1}^{s} p_{0} \dot{q}_{\sigma}-L=0 ;
\]

если все скорости $\dot{q}_{\sigma}$ мы выразим через импульсы $p_{\rho}$, т. е. составим выражение, союзное предыдущему, то согласно формуле (33.22) на стр. 346 мы получим отсюда следующее уравнение:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+H\left(q_{s}, p_{\sigma}, t\right)=0 .
\]

Вместо импульсов $p_{\text {o }}$ подставим теперь в согласии с формулой (42.17) производные $\frac{\partial W}{\partial q_{\circ}}$. Тогда выражение (42.21) примет вид
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+H\left(q_{\circ}, \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}}\right)=0 .
\]

Отсюда мы видим, что составленная нами главная функция служит интегралом уравнения в частных производных (42.21) и притом полным интегралом, если за всеми $s+1$ постоянными $t_{0}, q_{\sigma 0}$ сохраним произвольные значения или если к значению $W$, найденному для какого-либо частного численного значения $t_{0}$, прибавим произвольную постоянную так, чтобы число всех постоянных стало равным $s+1$. Последнее мы можем сделать потому, что уравнение (42.21) содержит только производные, а не самую функцию $W$.

Таким образом, если нам известно движение системы, т. е. интегралы системы уравнений (42.1) или (42.2), то мы сумеем составить и полный интеграл уравнения в частных производных (42.21) тем путём, как было объяснено выше. Наоборот, найдя полный интеграл уравнения (42.21), можно, как сейчас увидим, тотчас же написать и полную серию интегралов для системы уравнений (42.1) или (42.2). Следовательно, две

задачи – интегрирование системы уравнений (42.1) или (42.2) и интегрирование уравнения в частных производных (42.21) – вполне равносильны.

Как было уже замечено выше, уравнение (42.21) не содержит самой неизвестной функции, а только производные от неё. Поэтому к любому решению $W$ данного уравнения может быть прибавлена произвольная постоянная $b_{0}$ и сумма $W+b_{0}$ будет снова решением. Постоянную $b_{0}$ для краткости будем называть аддитивной. Полный интеграл уравнения (42.21) должен содержать в себе, кроме аддитивной постоянной $b_{0}$, ещё $s$ независимых произвольных постоянных $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}$. Пусть нам известен такой полный интеграл $W$; положим
\[
\frac{\partial W}{\partial b_{1}}=c_{1}, \quad \frac{\partial W}{\partial b_{2}}=c_{2}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial b_{s}}=c_{s},
\]

где $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{s}$ – новые произвольные постоянные. Покажем, что система уравнений (42.22) в соединении с уравнениями
\[
\frac{\partial W}{\partial q_{1}}=p_{1}, \frac{\partial W}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial q_{s}}=p_{\text {s }}
\]

представляет собой полную серию $2 s$ интегралов системы уравнений (42.2). Заметим предварительно, что если найденный интеграл подставим в левую часть уравнения (42.21), то получим, по условию, тождественно нуль, а потому и производная от этой левой части по любому аргументу, входящему туда, будет также нулём. Для доказательства высказанного положения надо показать,тято уравнения (42.2) являются следствием равенств (42.22) и (42.23). С этой целью продифференцируем каждое из равенств (42.22) по времени; мы получим $s$ уравнений типа
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial t}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial q_{o}} \frac{d q_{p}}{d t}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

С другой стороны, продифференцируем по $b_{a}$ уравнение (42.21) в том предположении, что туда подставлен найденный интеграл; при этом не будем упускать из виду, что только производные $\frac{\partial W}{\partial t}$ и $\frac{\partial W}{\partial q_{\circ}}=p_{\text {。 }}$ могут заключать в себе произвольные постоянные; имеем
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial t \partial b_{o}}+\sum_{p=1}^{s} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} \cdot \frac{\partial p_{p}}{\partial b_{o}}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s),
\]

или, согласно формулам (42.23),
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial t \partial b_{0}}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{0} \partial b_{o}} \frac{\partial H}{\partial p_{0}}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Сравнивая выражения (42.24) и (42.25), мы видим, что $s$ производных $\frac{d q_{0}}{d t}$ и $s$ производных $\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}$ служат корнями одной и той же системы $s$ линейных уравнений. А потому, если только определитель $\Delta$ этих уравнений не обращается в нуль, мы заключаем отсюда, что
\[
\frac{d q_{0}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{0}}
\]

это и составляет первую половину тех равенств (42.2), которые мы желали получить. Упомянутый определитель равен
\[
\begin{aligned}
\Delta & =\sum \pm \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{1} \partial b_{1}} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{2} \partial b_{2}} \cdots \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{s} \partial b_{s}}= \\
& =\sum \pm \frac{\partial}{\partial b_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{1}}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial b_{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{2}}\right) \cdots \frac{\partial}{\partial b_{s}}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{s}}\right)
\end{aligned}
\]

Если $\Delta$ обращается ‘в нуль, то между производными $\frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}}$ должно существовать соотношение, свободное от произвольных постоянных $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}$ вида
\[
\pi\left(t, q_{\sigma}, \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}}\right)=0
\]

но тогда $W$ служит решением не только уравнения (42.21), но и вышенаписанного, в котором отсутствует производная $\frac{\partial W}{\partial t}$; a этого быть не может, так как функция
\[
W=f\left(t, q_{\sigma}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}\right)+b_{0}
\]

лишь тогда будет полным интегралом уравнения (42.2), когда для исключения $s+1$ постоянных $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}$ надо принять в расчёт все $s+1$ уравнений
\[
\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}, \quad \frac{\partial W}{\partial q_{1}}=\frac{\partial f}{\partial q_{1}}, \quad \frac{\partial W}{\partial q_{2}}=\frac{\partial f}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial q_{s}}=\frac{\partial f}{\partial q_{s}},
\]

полученных из выражения (42.27) дифференцированием по всем аргументам $t$ и $q_{\circ}$.

Для вывода второй половины уравнений (42.2) продифференцируем по времени равенства (42.23); мы получим:
\[
\frac{d p_{\sigma}}{d t}=\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{\sigma} \partial t}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{\sigma} \partial q_{\rho}} \frac{d q_{\rho}}{d t} .
\]

С другой стороны, опять продифференцируем уравнение (42.21), но теперь по аргументу $q_{\sigma}$; мы найдём:
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial t \partial q_{\sigma}}+\frac{\partial H}{\partial q_{\sigma}}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} \cdot \frac{\partial p_{\rho}}{\partial q_{\sigma}}=0 .
\]

Но согласно формулам (42.23) и на основании уже доказанных нами равенств (42.26) мы можем предыдущее выражение переписать так:
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{\sigma}}+\frac{\partial^{2} W}{\partial t \partial q_{\sigma}}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{\rho} \partial q_{\sigma}} \cdot \frac{d q_{\rho}}{d t}=0 ;
\]

сравнение этого равенства с равенством (42.28) и даёт уравнение
\[
\frac{d p_{\mathrm{g}}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\sigma}} \text {. }
\]

Таким образом, высказанное положение доказано во всех своих частях.

Нетрудно убедиться, что интеграл уравнения (42.21) представляет собой по прежнему действие по Гамильтону. Действительно, из уравнения (42.21) следует
\[
\frac{\partial W}{\partial t}=-H .
\]

Но в силу формул (42.23), а также равенства (33.22) на стр. 346 мы имеем:
\[
\frac{d W}{d t}=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}} \dot{q}_{s}=\sum_{s=1}^{s} p_{\sigma} \dot{q}_{\sigma}-H=\widehat{T}+U=\widehat{L} .
\]

Отсюда обратно следует равенство
\[
W=\int_{t_{0}}^{t} L d t .
\]

Пример 129. Для движения, рассмотренного в примере 128 на стр. 449, уравнение (42.21) напишется так:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)^{2}+g z=0 .
\]

Легко убедиться, что составленное нами раньше выражение (42.20) для $W$ удовлетворяет этому уравнению. Полный интеграл уравнения (42.29) мы найдём, заметив, что левая часть этого уравнения не содержит переменных $t$ и $y$; поэтому мы вправе положить
\[
\frac{\partial W}{\partial t}=b_{1} ; \quad \frac{\partial W}{\partial y}=b_{2}
\]

Но тогда из уравнения (42.29) мы получим:
\[
\frac{\partial W}{\partial z}=\sqrt{-2 g z-2 b_{1}-b_{2}^{2}},
\]

и, следовательно, искомый полный интеграл равен
\[
W=b_{0}+b_{1} t+b_{2} y-\frac{2}{3} \sqrt{2 g}\left(-z-\frac{2 b_{1}+b_{2}}{2 g}\right)^{\frac{3}{2}} .
\]

Интегралы системы уравнений
\[
\ddot{y}=0, \quad \ddot{z}=-g
\]

по формулам (42.22) и (42.23) напишутся так:
\[
\begin{aligned}
t+\sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{-z-\frac{2 b_{1}+b_{2}^{2}}{2 g}} & =c_{1} \\
y+b_{2} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{-z-\frac{2 b_{1}+b_{2}^{2}}{2 g}} & =c_{3} \\
b_{2} & =\dot{y} \\
\sqrt{-2 g z-2 b_{1}-b_{2}^{2}} & =\dot{z}
\end{aligned}
\]

Пример 130. Для системы, состоящей из $n$ частиц с массами $m$, и отнесённой к декартовым координатам, уравнение (42.21) согласно формуле (33.9) на стр. 342 будет
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{v=1}^{n} \frac{1}{2 m_{v}}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial x_{v}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y_{v}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z_{v}}\right)^{2}\right\}-U=0 .
\]

Пример 131. Для сферических координат $r, \varphi$, $\phi$, определяющих положение частицы массы $m$, уравнение (42.21) согласно формуле (33.10) на стр. 342 примет такой вид:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+\frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2} \cos ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \phi}\right)^{2}\right\}-U=0 .
\]

Пусть масса частицы равна единице, а силовая функция имеет выражение $U=\frac{k^{2}}{r}$, т. е. начало координат притягивает частицу по закону тяготения Ньютона. Тогда последнее уравнение представится так:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{2 r^{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{2 r^{2} \cos ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \phi}\right)^{2}=\frac{k^{2}}{r} .
\]

Переменные $t$ и $\psi$ явно не входят в уравнение; поэтому полагаем
\[
\frac{\partial W}{\partial t}=b_{1}, \frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial \phi}\right)^{2}=b_{2},
\]

где $b_{1}$ и $b_{2}$ – постоянные. В таком случае наше уравнение в частных производных можно переписать так:
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{b_{2}}{\cos ^{2} \varphi}\right\}=\frac{k^{2}}{r}-b_{1} .
\]

Если мы теперь положим
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{b_{2}}{\cos ^{2} \varphi}=b_{3},
\]

где $b_{3}$ – новая постоянная, то к найденным уже значениям частных производных главной функции присоединятся ещё два:
\[
\frac{\partial W}{\partial r}=\sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-\frac{2 b_{3}}{r^{2}}-2 b_{1}}, \quad \frac{\partial W}{\partial \varphi}=\sqrt{2 b_{3}-\frac{2 b_{2}}{\cos ^{2} \varphi}} ;
\]

следовательно, полным интегралом будет
\[
W=b_{0}+b_{1} t+\psi \sqrt{2 b_{2}}+\int d \varphi \cdot \sqrt{2 b_{3}-\frac{2 b_{2}}{\cos ^{2} \varphi}}+\int d r \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-\frac{2 b_{3}}{r^{2}}-2 b_{1}} .
\]
240. Характеристическая функция Гамильтона. Положим, что данная материальная система консервативна; тогда по формуле (33.25) на стр. 347 одним из интегралов уравнений движения служит интеграл энергии
\[
H=h \text {. }
\]

Интегрирование уравнений движения консервативной системы можно вести по плану, изложенному в § 193, т. е. сначала определить геометрическую сторону движения, проинтегрировав систему уравнений Якоби (32.69) на стр. 337, а затем квадратурой ввести время [формула (32.70) на стр. 337]. Из такого хода решения ясно, что одна из произвольных постоянных, скажем $t_{0}$, может входить в интегралы движения не иначе, как составною частью двучлена $\left(t-t_{0}\right)$. Обозначим главную функцию (42.4) для нашего движения через $W$ и рассмотрим новую функцию $S$, связанную с $W$ следующим образом:
\[
S=W+H\left(t-t_{0}\right) .
\]

С помощью интеграла (42.32) можно вовсе исключить время из правой части равенства (42.33). В самом. деле, постоянная $h$ является функцией постоянных $q_{\sigma 0}$ и $\dot{q}_{\circ 0}$ :
\[
h=h\left(q_{00}, \dot{q}_{\circ 0}\right) ;
\]

постоянная $t_{0}$ согласно сказанному выше сюда входить не будет. Если с помощью уравнений типа (42.10), которые в настоящем случае имеют вид
\[
\dot{q}_{a 0}=\dot{q}_{\sigma 0}\left(t-t_{0}, q_{a}, q_{o 0}\right),
\]

исключить из предыдущего выражения для $h$ начальные скорости, то мы получим:
\[
h=h\left(t-t_{0}, q_{\sigma}, q_{\sigma 0}\right) .
\]

Когда найденное отсюда значение $t-t_{0}$ мы подставим в равенство (42.33), то и получим $S$ как функцию от $q_{\sigma}$, а также постоянных $q_{\sigma 0}$ и $h$ :
\[
S=S\left(q_{s}, q_{\sigma 0}, h\right) .
\]

Функция $S$, выраженная таким образом, носит название характеристической функции. Выше было указано, что главная функция является особой формой действия по Гамильтону. Подобно этому характеристическая функция представляет собой особую форму действия по Лагранжу. Действительно, по определению (42.33), если принять во внимание уравнение (42.32), мы имеем
\[
S=W+H\left(t-t_{0}\right)=W+h\left(t-t_{0}\right) .
\]

отсюда согласно равенству (42.4) мы находим:
\[
S=\int_{t_{0}}^{t} L d t+h \int_{t_{0}}^{t} d t=\int_{t_{0}}^{t}(L+h) d t .
\]

Ho
\[
L=r+U
\]

и
\[
h=T-U ;
\]

следовательно,
\[
S=\int_{t_{n}}^{t} 2 T d t .
\]

Время из этого интеграла должно быть исключено с помощью уравнения (42.32). Припомнив сказанное в § 202, мы видим, что функция $S$ представляет собой не что иное, как выраженное соответственным образом лагранжево действие.

Составить выражение для характеристической функции с помощью интеграла (42.34) можно ещё и таким путём. Согласно формуле (35.12) на стр. 365 функция $S$ может быть представлена интегралом
\[
S=2 \int_{q_{0}}^{q_{11}} P d q_{1} .
\]

Воспользовавшись интегралами системы уравнений Якоби (32.69) на стр. 337 ,

выразим теперь с помощью формул (32.68) и (32.61) на стр. 337 подинтегральную функцию $P$ через независимую координату $q_{1}$ и произвольные постоянные и затем возьмём квадратуру; тогда мы получим:
\[
S=S\left(q_{1}, q_{10}, q_{\sigma_{0}}, q_{\sigma_{0}}^{\prime}, h\right),
\]

где $\sigma=2,3, \ldots, s$, а $q_{\sigma_{0}}^{\prime}=\left(\frac{d q_{0}}{d q_{1}}\right)_{0}$ [см. формулу (32.59) на стр. 336]. Если теперь постоянные $q_{a_{n}}^{\prime}$ с помощью интегралов уравнений движения мы выразим как функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}, q_{10}, q_{20}, \ldots, q_{s_{0}}, h$ и подставим в полученное выражение для $S$, то найдём искомую характеристическую функцию. Все отличие второго приёма от первого состоит в том, что мы в последнем случае исключаем время $t$ из интеграла (42.34) прежде, чем производим самое интегрирование.

Соотношение (42.33) между характеристической и главной функциями устанавливается из следующих простых соображений. Когда материальная система консервативна, то в уравнение (42.21) для главной функции время $t$ явно не входит, так как оно не входит явно в функцию $H$. Поэтому при интегрировании у равнения (42.21) можно принять производную $\frac{\partial W}{\partial t}$ равною некоторой постоянной величине $a$; тогда интеграл уравнения (42.21) будет иметь вид $W=a t+R$, где $R$ есть функция только координат $q_{0}$ и произвольных постоянных, удовлетворяющая притом уравнению
\[
a+H=0 \text {. }
\]

Отсюда мы заключаем, что разность $W$ – $a t=R$ не зависит от времени; далее, мы имеем: $a=\frac{\partial W}{\partial t}$; но из равенства (42.21) следует, что $\frac{\partial W}{\partial t}=-H$, а в силу интеграла энергии справедливо уравнение $H=h$; следовательно,
\[
a=-h \text {. }
\]

Таким образом, мы приходим к следующему выражению для функции $R$ :
\[
R=W-a t=W+h t=W+H t ;
\]

эта функция отличается от $S$ лишь на постоянную.
Свойства характеристической функции вполне аналогичны свойства. главной функции. Проварьировав равенство (42.33), мы получаем:
\[
\begin{array}{l}
\delta S=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial S}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma}+\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial S}{\partial q_{\sigma_{0}}} \delta q_{\sigma_{0}}+\frac{\partial S}{\partial h} \delta h=\delta W+h \delta t+\left(t-t_{0}\right) \delta h= \\
=\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma}+\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma_{0}}} \delta q_{\sigma_{0}}+\left(\frac{\partial W}{\partial t}+h\right) \delta t+\left(t-t_{0}\right) \delta h . \\
\end{array}
\]

Коэффициент при it согласно равенствам (42.21) и (42.32) равняется нулю; сравнивая коэффициенты при прочих вариациях, мы находим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{\partial S}{\partial q_{\circ}}=\frac{\partial W}{\partial q_{\circ}} ; \quad \frac{\partial S}{\partial q_{\sigma}} & =\frac{\partial W}{\partial q_{\sigma 0}} ; \\
\frac{\partial S}{\partial h} & =t-t_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда с помощью равенств (42.17) и (42.18) мы устанавливаем следующие значения для производных от характеристической функции:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{\partial S}{\partial q_{0}}=p_{\sigma} ; \quad \frac{\partial S}{\partial q_{\circ 0}} & =-p_{\sigma_{0}} ; \\
\frac{\partial S}{\partial h} & =t-t_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Если в функции $H$ импульсы $p_{\text {。 }}$ заменить по. формуле (42.39) производными $\frac{\partial S}{\partial q_{\sigma}}$, то получится уравнение в частных производных, которому удовлетворяет характеристическая функция и которое заменяет собою уравнение (42.21) для главной функции:
\[
H\left(\frac{\partial S}{\partial q_{0}}, q_{\circ}\right)=h .
\]

Если вспомнить равенство (42.37), то нетрудно увидеть, что последнее уравнение представляет собою не что иное, как уравнение (42.36).

Таким образом, если найден полный интеграл уравнения (42.40), содержащий $s-1$ произвольных постоянных $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s-1}$ (не считая аддитивной), то на основании соотношений (42.22), (42.23), (42.38) и (42.39) можно утверждать, что равенства
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial S}{\partial b_{1}}=c_{1}, \frac{\partial S}{\partial b_{2}}=c_{2}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial b_{s-1}} & =c_{s-1}, \\
\frac{\partial S}{\partial q_{1}}=p_{1}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots, \quad \frac{\partial S}{\partial q_{s}} & =p_{s}, \\
\frac{\partial S}{\partial h} & =t-t_{0},
\end{aligned}
\]

где $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{s-1}$ – новые постоянные, дают полную систему интегралов уравнений движения данной материальной системы.

Заметим здесь, что полную систему интегралов уравнений движения Якоби (32.69) на стр. 337 представляют $2 s-2$ уравнения
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial S}{\partial b_{1}}=c_{1}, \frac{\partial S}{\partial b_{2}}=c_{2}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial b_{s-1}}=c_{s-1}, \\
\frac{\partial S}{\partial q_{1}}: \frac{\partial S}{\partial q_{2}}: \ldots: \frac{\partial S}{\partial q_{s}}=p_{1}: p_{2}: \ldots: p_{s} .
\end{array}\right\}
\]

Действительно, импульсы $p_{\text {g }}$ согласно формуле (33.3) на стр. 339 для консервативной системы являются однородными линейными функциями от скоростей: все постоянные $a_{\sigma}$ равны нулю; следовательно, ряд отношений
\[
p_{1}: p_{2}: \ldots: p_{s}
\]

содержит в себе только координаты $q_{\circ}$ и производные
\[
q_{\sigma}^{\prime}=\frac{d q_{\sigma}}{\dot{d} q_{1}}=\frac{\dot{q}_{\sigma}}{\dot{q}_{1}}
\]
[см. обозначения (32.59) на стр. 336]. Если же перейти к уравнениям

Лагранжа (42.1), то добавочными интегралами будут служить интеграл энергии $H=h$ или любой из интегралов (42.42) и уравнение
\[
\frac{\partial S}{\partial h}=t-t_{0},
\]

заменяющее собой квадратуру.
Пример 132. Рассмотрим снова движение весомой частицы массы $m=1$ в вертикальной плоскости (см. пример 128 на стр. 449). Припомнив найденное в этом примере значение (42.20) главной функции $W$, мы находим:
\[
S=W+h t=\frac{t}{2}\left\{2 h+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{t^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{t^{2}}-g\left(z+z_{0}\right)-\frac{g^{2} t^{2}}{12}\right\} .
\]

Чтобы получить характеристическую функцию, надо из правой части этого выражения исключить $t$ с помощью уравнения (42.32); последнее уравнение согласно сказанному в примере 129 на стр. 453 имеет для рассматриваемого случая вид
\[
2 h=\dot{y}_{0}^{2}+\dot{z}_{0}^{2}+2 g z_{0}=\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{t^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{t^{2}}+g\left(z+z_{0}\right)+\frac{g^{2} t^{2}}{4},
\]

или
\[
t^{4}-\frac{4}{g^{2}} M t^{2}+\frac{4}{g^{4}} N^{2}=0,
\]

если положить
\[
M=2 h-g\left(z+z_{0}\right), \quad N^{2}=g^{2}\left\{\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right\} .
\]

Воспользовавшись равенствами (42.46) и (42.48), выражение (42.45) можно видоизменить так:
\[
S=t\left[2 h-g\left(z-z_{0}\right)-\frac{g^{2} t^{2}}{6}\right]=t\left(M-\frac{g^{2} t^{2}}{6}\right) .
\]

Далее, решив уравнение (42.47) относительно $t^{2}$. мы получим:
\[
t^{2}=\frac{2}{g^{2}}\left(M \pm \sqrt{M^{2}-N^{2}}\right)=\frac{1}{g^{2}}(\sqrt{M+N} \pm \sqrt{M-N})^{2},
\]

или
\[
t=\frac{1}{g}(\sqrt{M+N} \pm \sqrt{M-N}) .
\]

Подставив выражения (42.50) и (42.51) в равенство (42.49), мы найдём:
\[
S=\frac{1}{3 g}(\sqrt{M+N} \pm \sqrt{M-N})\left(2 M \mp \sqrt{M^{2}-N^{2}}\right),
\]

или
\[
S=\frac{1}{3 g}\left\{(M+N)^{3 / 2} \pm(M-N)^{3 / 2}\right\} .
\]

Вставив сюда значения $M$ и $N$ по формулам (42.48), мы получим:
\[
\begin{aligned}
S= & \frac{1}{3 g}\left\{\left[2 h-g\left(z+z_{0}+g \sqrt{\left(y-y_{\theta}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right]^{3 / z} \pm\right.\right. \\
& \left. \pm\left[2 h-g\left(z+z_{0}\right)-g \sqrt{\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right]^{3 / 2}\right\} .
\end{aligned}
\]

Найдём характеристическую функцию вторым способом. Вычисляем действие по Лагранжу; по формуле (35.12) на стр. 365 имеем
\[
S=2 \int_{q_{10}}^{q_{11}} P d q_{1} .
\]

При вычислении этого интеграла воспользуемся результатами, полученными в примере 101 на стр. 338 :
\[
\begin{array}{c}
q_{1}=z, \quad P=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1-g z+h)\left(1+y^{\prime 2}\right)}, \\
v^{\prime}=\frac{d y}{d z} .
\end{array}
\]

В том же примере было доказано равенство (32.72)
\[
1+y^{\prime 2}=\frac{-g z+h}{-g z+h-A^{2}},
\]

где $A^{2}$ – произвольная постоянная; эта постоянная, как легко видеть, следующим образом зависит от начальных условий:
\[
A^{2}=\left(-g z_{0}+h\right) \frac{y_{0}^{\prime 2}}{1+y_{0}^{\prime 2}} .
\]

Подставив выражения (42.55) и (42.56) в равенство (42.54), находим;
\[
S=\sqrt{2} \int_{z_{1}}^{z} \frac{-g z+h}{\sqrt{-g z+h-A^{2}}} d z .
\]

Для облегчения интегрирования вводим новую переменную, положив
\[
\sqrt{-g z+h-A^{2}}=\zeta \text {. }
\]

Мы получаем:
\[
S=-\frac{2 \sqrt{2}}{g} \int_{\zeta}^{\zeta}\left(\zeta^{2}+A^{2}\right) d \zeta=-\frac{2 \sqrt{2}}{g}\left\{\frac{1}{3}\left(\zeta^{3}-\zeta_{0}^{3}\right)+A^{2}\left(\zeta-\zeta_{0}\right)\right\},
\]

где обозначено
\[
r_{0}=V-g 2_{0}+h-A^{2} .
\]

В примере 101 на стр. 338 мы имели следующий интеграл уравнений движения:
\[
y+B=-\frac{2 A}{g} \sqrt{-g z+h-\overline{A^{2}}}=-\frac{2 A}{g} \zeta .
\]

Если постоянную $B$ мы выразим через начальные условия, то получим:
\[
y-y_{0}=-\frac{2 A}{g}\left(\zeta-r_{40}\right) .
\]

С другой стороны, из очевидного равенства
\[
\zeta^{2}-\zeta_{0}^{2}=-g\left(z-2_{0}\right)
\]

мы при помощи зависимости (42.59) находим:
\[
\zeta+\zeta_{0}=2 A \frac{z-z_{0}}{y-y_{0}} .
\]

Кроме того, тождество
\[
\zeta^{2}+\zeta_{0}^{2}=\frac{1}{2}\left(\zeta+\zeta_{0}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\zeta-\zeta_{0}\right)^{2}
\]

даӗт нам в силу соотношений (42.59) и (42.60) следующее равенство:
\[
2 h-g\left(z+z_{0}\right)-2 A^{2}=\frac{g^{2}\left(y-y_{0}\right)^{2}}{8 A^{2}}+2 A^{2} \frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{\left(y-y_{0}\right)^{2}} ;
\]

это уравнение служит для определения постоянной $A^{2}$ как функции от $y, z$, $y_{0}, z_{0}$, $h$, так как в силу равенства (42.57) очевидно, что вместо исключения $y_{0}^{\prime}$ мы можем исключить величину $A$, являющуюся функцией $y_{0}^{\prime}$. Решив написанное уравнение относительно $A^{2}$ и вспомнив обозначения (42.48), мы находим:
\[
\frac{4 A^{2}}{\left(y-y_{0}\right)^{2}}=g^{2} \frac{M \mp \sqrt{M^{2}-N^{2}}}{N^{2}}=\frac{g^{2}}{\bar{N}^{2}}\{\sqrt{M+N} \mp \sqrt{\overline{M-N}}\}^{2} .
\]

Приняв во внимание равенства (42.59) и (42.60), мы сможем выражению (42.58) для $S$ дать вид
\[
\begin{aligned}
S & =\frac{2 \sqrt{2}}{g}\left(\zeta-\zeta_{0}\right)\left\{\frac{1}{3}\left(\zeta^{2}+\zeta \zeta_{0}+\zeta_{0}^{2}\right)+A^{2}\right\}= \\
& =\frac{2 \sqrt{2}}{g}\left(\zeta-\zeta_{0}\right)\left\{\frac{1}{4}\left(\zeta+\zeta_{0}\right)^{2}+\frac{1}{12}\left(\zeta-\zeta_{0}\right)^{2}+A^{2}\right\}= \\
& =\sqrt{2} \frac{y-y_{0}}{A^{2}}\left\{\frac{A^{2}\left[\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}{\left(y-y_{0}\right)^{2}}+\frac{g^{2}\left(y-y_{0}\right)^{2}}{48 A^{2}}\right\} .
\end{aligned}
\]

Подставив сюда значение для $A$ из равенства (42.61), мы получим для характеристической функции прежнее выражение (42.52)
\[
S=\frac{1}{3 g}\left\{(M+N)^{\frac{3}{2}} \pm(M-N)^{\frac{3}{2}}\right\} .
\]

Составим выражения для некоторых производных от $S$. Имеем по формуле (42.43) для $t_{0}=0$
\[
\frac{\partial S}{\partial h}=\frac{1}{g}(\sqrt{M+N} \pm \sqrt{M-N})=t,
\]

что совпадает с выражением (42.51). Затем по второй из формул (42.39) получаем:
\[
\frac{\partial S}{\partial y_{0}}=-\frac{g(\sqrt{M+N} \mp \sqrt{M-N})}{2 N}\left(y-y_{0}\right)=-\dot{y}_{0} ;
\]

но из уравнения (42.62) мы находим:
\[
\frac{g}{\sqrt{M+N} \pm \sqrt{M-N}}=\frac{g(\sqrt{M+N} \mp \sqrt{M-N}}{2 N}=\frac{1}{t} ;
\]

на этом основании равенство (42.63) даёт:
\[
\frac{y-y_{0}}{t}=\dot{y_{0}} \text {. }
\]

Это соотношение мы имели в первой из формул (42.19). Применим вторую из формул (42.39) к координате $z_{0}$; имеем
\[
\frac{\partial S}{\partial z_{0}}=-\frac{1}{2}(\sqrt{M+N} \pm \sqrt{M-N})-\frac{g}{2 N}(\sqrt{M+N} \mp \sqrt{M-N})\left(z-z_{0}\right)=-\dot{z}_{0},
\]

отсюда по формулам (42.62) и (42.64) находим:
\[
-\frac{g t}{2}-\frac{z-z_{0}}{t}=-\dot{z}_{0}
\]
[ср. вторую из формул (42.19)].
Уравнение с частными производными (42.40) напишется так:
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}=-g z+h .
\]

Из выражения (42.52) имєем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial S}{\partial y}=\frac{g(\sqrt{M+N} \mp \sqrt{M-N})\left(y-y_{0}\right)}{2 N} ; \\
\frac{\partial S}{\partial z}=-\frac{1}{2}(\sqrt{M+N} \pm \sqrt{M-N})+\frac{g}{2 N}(\sqrt{M+N} \mp \sqrt{M-N})\left(z-z_{0},\right.
\end{array}
\]

следовательно, левая часть равенства (42.65) равна
\[
\frac{1}{2}\left[M-g\left(z-z_{0}\right)\right]
\]

или, согласно первому из равенств (42.48),
\[
-g z+h
\]

другими словами, выражение (42.52) служит интегралом уравнения (42.65).
Если уравнение (42.65) мы проинтегрируем непосредственно, то найдемм такой полный интеграл:
\[
S=b_{0}+b_{1} y+\frac{2 \sqrt{2 g}}{3}\left(-z+\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}\right)^{\frac{3}{2}} .
\]

Равенства (42.41), (42.42) и (42.43) легко проверить; например, имеем:
\[
\frac{\partial S}{\partial h}=\sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{-z+\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}}=t-t_{0} .
\]

Пример 133. В примере 131 на стр. 454 нами была найдена главная функция для частицы массы $m=1$, притягиваемой к началу координат по закону Ньютона [формула (42.31)]. С помощью равенства (42.37) на стр. 454 легко теперь составить характеристическую функцию; получаем:
\[
S=b_{0}+\psi \sqrt{2 b_{2}}+\int d \varphi \sqrt{2 b_{3}-\frac{2 b_{2}}{\cos ^{2} \varphi}}+\int d r \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-\frac{2 b_{3}}{r^{2}}+2 h} .
\]