241. Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём: или интегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода (§177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная (§189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах (§191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели: в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее: число переменных в них превышает необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( $\S 119,121,177,189$ ). Но зато движение системы определяется

этими уравнениями полнее: становятся известными не только движение системы, но и реакции, оказываемые связями на систему во всё время движения.

В предыдущей главе мы видели, что интегрирование системы уравнений в независимых координатах может быть заменено интегрированием одного уравнения в частных производных. Естественно возникает вопрос, нельзя ли и для уравнений движения с множителями установить подобную же связь с некоторым уравнением в частных производных; при этом можно, конечно, заранее ожидать, что, с одной стороны, интеграция этого уравнения в частных производных введёт лишние постоянные, а с другой – даст что-либо имеющее отношение к реакциям связей. Решением поставленного вопроса мь и займёмся в настоящей главе.

242. Главная функция в координатах, связанных условными уравнениями. Пусть положение материальной системы определяется координатами $q_{\sigma}$, причём $\sigma=1,2, \ldots, s$, и пусть система эта подчинена $a$ дифференциальным интегрируемым связям вида
\[
\frac{d f_{a}}{d t}=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} \dot{q}_{\sigma}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a) .
\]

В конечной форме уравнения этих связей следующие:
\[
f_{\alpha}=C_{\alpha},
\]

где $C_{\alpha}$ – произвольные постоянные, а функции $f_{\alpha}$ зависят от аргументов $q_{\sigma}$ и $t$. Полезно с самого же начала заметить следующее. Ввиду произвольности постоянных $C_{a}$ всем координатам $q_{\sigma}$ системы можно придать произвольные значения, т. е. дифференциальные связи (43.1) не налагают ограничений на положение системы. Можно считать, что положение системы определяется $s+a$ параметрами $q_{0}, C_{i}$, связанными между собою соотношениями (43.2), причём параметры $C_{a}$ не зависят от времени. Уравнения движения рассматриваемой материальной системы в соответствии с формулой (32.34) на стр. 328 напишутся так:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial T}{\partial q_{o}}=Q_{\sigma}+\sum_{\mathrm{x}=1}^{a} \lambda_{a} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{o}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Пусть силы, приложенные к системе, имеют силовую функцию $U$, которая может содержать явно время. Согласно формуле (32.31) на стр. 328 мы имеем
\[
Q_{\sigma}=\frac{\partial U}{\partial q_{0}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Введём, кроме того, лагранжеву функцию
\[
L=T+U .
\]

Уравнения движения приведутся тогда к виду
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{o}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\sigma}}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\sigma} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{0}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Как известно, множители $\lambda_{x}$, определяются как функции от скоростей, координат и времени при помощи уравнений
\[
\frac{d^{2} f_{a}}{d t^{2}}=0 .
\]

Система уравнений первого порядка, союзных уравнениям (44.3), согласно формулам (33.19), (33.20) и (33.22) на стр. 345 и 346 напишется так:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d q_{o}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{o}}, \\
\frac{d p_{o}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\sigma}}+\sum_{\alpha=1}^{a} \bar{\lambda}_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} .
\end{array}\right\}
\]

Множители $\hat{\lambda}_{\alpha}$, союзные множителям $\lambda_{\alpha}$, служат корнями уравнений, союзных уравнениям (43.4). Так как уравнения, союзные уравнениям (43.1), будут
\[
\sum_{a=1}^{s} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{a}} \frac{\partial H}{\partial p_{a}}+\frac{\partial f_{a}}{\partial t}=0,
\]

то уравнения, союзные уравнениям (43.4), будут иметь вид
\[
\sum_{0=1}^{s} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{o}} \sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{\mathrm{o}} \partial p_{o}} \cdot \frac{d p_{\rho}}{d t}+\Phi_{a}=0 .
\]

Здесь через $\Phi_{\alpha}$ обозначена функция аргументов $p_{a}, q_{0}$ и $t$. Если в уравнения типа (43.7) вместо производных $\frac{d p_{\mathrm{p}}}{d t}$ подставить их выражения из уравнений (43.5), то мы и получим $a$ уравнений для определения $a$ множителей $\hat{\lambda}_{\alpha}$ как функций от $p_{\sigma}, q_{\sigma}$ и $t$.

Интегралы системы уравнений (43.3) или (43.5) в силу равенств (43.1) или (43.2) содержат в себе $2 s-a$ пронзвольных постоянных ( $\S 189$ ), а именно, $2 s-2 a$ постоянных $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2 s-2 a}$, введенных интеграциею, да ещё $a$ постоянных $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{a}$. Следовательно, конечные уравнения движения будут иметь вид
\[
q_{\sigma}=q_{\sigma}\left(t, A_{\gamma}, C_{\alpha}\right) \quad(\gamma=1,2, \ldots, 2 s-2 a ; \alpha=1,2, \ldots, a) . \text { (43.8) }
\]

Действие по Гамильтону $W$ от некоторого начального положения системы, соответствующего моменту $t_{0}$ и координатам $q_{\omega_{0}}$, до некоторого конечного положения, соответствующего моменту $t$ и координатам $q_{\text {s }}$, выражается интегралом
\[
W=\int_{t_{0}}^{t} L d t .
\]

Для вычисления этого интеграла прежде всего определяем произвольные постоянные $A_{\gamma}$ и $C_{\alpha}$ конечных уравнений движения (43.8) по начальным координатам $q_{\sigma_{0}}$ н начальным скоростим $\dot{q}_{a_{0}}$. Заметим здесь, что только $s-a$ начальных скоростей $\dot{q}_{\mathfrak{q}_{0}}$ могут быть заданы произвольно, остальные же $a$

скоростей определяются как функции от $t$ и $q_{\sigma_{0}}$ из уравнений (43.1), которые должны быть соблюдены и для начального момента. Таким образом, $2 s-a$ уравнений для вычисления произвольных постоянных согласно равенствам (43.8) будут следующие:
\[
\left.\begin{array}{l}
q_{\sigma_{n}}=q_{0}\left(t_{0}, A_{\gamma}, C_{\alpha}\right), \quad \dot{q}_{\rho_{0}}=\dot{q}_{\rho}\left(t_{0}, A_{\gamma}, C_{\alpha}\right) \\
(\sigma=1,2, \ldots, s ; \rho=1,2, \ldots, s-a) .
\end{array}\right\}
\]

Подставив полученные значения для $A_{\gamma}, C_{\alpha}$ в уравнения (43.8), мы выразим все координаты и скорости $q_{\pi}$ и $\dot{q}_{\pi}$ как функции от $2 s-a+2$ аргументов $t, t_{0}, q_{\sigma_{0}}, \dot{q}_{\rho, j}$ :
\[
\begin{array}{l}
q_{\pi}=q_{\pi}\left(t, t_{0}, q_{\sigma_{0}}, \dot{q}_{\rho_{0}}\right), \quad \dot{q}_{\pi}=\dot{q}_{\pi}\left(t, t_{0}, q_{\sigma_{0}}, \dot{q}_{\rho_{0}}\right) \\
(\sigma=1,2, \ldots, s ; \quad \rho=1,2, \ldots, s-a) .
\end{array}
\]

Само собою понятно, ‘то и выражение (43.9) для $W$ в силу равенства (43.11) представится как функция тех же $2 s-a+2$ аргументов:
\[
\begin{array}{c}
W=W\left(t, t_{0}, q_{\sigma_{0}}, \dot{q}_{\rho_{0}}\right) \\
(\sigma=1,2, \ldots, s ; p=1,2, \ldots, s-a) ;
\end{array}
\]

подробно соответствующее рассуждение было проведено в § 237. Но из выражений (43.10) и (43.8), вытекает, что $s-a$ начальных скоростей можно, вообще говоря, выразить в виде функций от $t, t_{0}, q_{s}, q_{\sigma_{0}}$. Следовательно, и саму величину $W$ можно, если пожелаем, рассматривать как функцию от $2 s+2$ аргуменгов $t, t_{0}, q_{\sigma}, q_{s_{0}}$. Только не следует за бывать, что не все эти аргументы произвольны, а именно, между $2 s+2$ аргументами в силу соотношений (43.2) имеют место $a$ зависимостей вида
\[
f_{\alpha}\left(q_{\sigma}, t\right)-f_{\alpha}\left(q_{\sigma}, t_{0}\right)=0 ; \quad(\alpha=1,2, \ldots, a) ;
\]

таким образом, независимых аргументов имеется только $2 s-a+2$; в число этих независимых аргументов мы будем включать $t, t_{0}, q_{\sigma}(\sigma=1,2, \ldots, s)$. Действие $W$, выраженное таким образом, может быть по аналогии со свободным движением названо главной функцией для несвободного движения.

243. Производные главной функции. Чтобы раскрыть механический смысл производных главной функции, составляем опять по примеру $\S 238$ выражение для вариации $\delta W$, рассматривая $W$ по формуле (43.12) как функцию от $t$ и $2 s-a$ постоянных $q_{\sigma_{0}}$ и $\dot{q}_{\rho_{0}}$. Считаем $t_{0}$ данной фикснрованной величиной; так как пределы интеграла (43.9) не зависят от произвольных постоянных, по которым мы вариируем, то находим:
\[
\delta W=\delta \int_{t_{0}}^{t} L d t=\int_{t_{0}}^{t} \delta L d t .
\]

Отсюда совершенно так же, как в § 238 , получаем:
\[
\delta W=\sum_{\sigma=1}^{s} \int_{t_{\sigma}}^{t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \delta q_{\sigma}+\int_{t_{0}}^{t} \sum_{s=1}^{s}\left\{\frac{\partial L}{\partial q_{\sigma}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right\} \delta q_{s} d t .
\]

Интеграл в правой части равенства с помощью уравнений движеняя (43.3) преобразуем так:
\[
\int_{t_{r}}^{t} \sum_{\sigma=1}^{s}\left\{\frac{\partial L}{\partial q_{0}}-\frac{a}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right\} \delta q_{\sigma} d t=-\int_{t_{0}}^{t} \sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma} d t .
\]

Последняя суммма равна
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} i q_{\sigma}=\delta f_{\alpha} ;
\]

поэтому, произведя интегрирование по частям, мы получаем:
\[
\begin{aligned}
\int_{\alpha}^{t} \sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \sum_{\alpha=1}^{j} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma} d t & =\int_{t_{0}}^{t} \sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \delta f_{\alpha} d t= \\
& =-\sum_{\alpha=1}^{a} \int_{t_{n}}^{t} \Lambda_{\alpha} \delta f_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{a} \int_{t_{0}}^{t} \Lambda_{\alpha} \frac{d}{d t} \delta f_{\alpha} d t,
\end{aligned}
\]

где положено
\[
\Lambda_{\alpha}=-\int \lambda_{\alpha} d t
\]

Но как бы мы ни меняли произвольные постоянные, равенства (43.1) должны быть выполнены; следовательно,
\[
\delta \frac{d f_{\alpha}}{d t}=0
\]

приняв во внимание тождество
\[
\frac{d}{d t} \delta f_{\alpha}=\delta \frac{d f_{\alpha}}{d t},
\]

мы убеждаемся в силу равенства (43.17), что последний интеграл в выражении (43.15) равен нулю; следовательно, равенство (43.14) нам даёт
\[
\begin{aligned}
\delta W & =\left.\right|_{t_{0}} ^{i} \sum_{\sigma=1}^{s}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}}+\sum_{\sigma=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}}\right) \delta q_{\sigma}= \\
& =\sum_{a=1}^{s}\left(p_{\sigma}+\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}\right) \delta q_{\sigma}-\sum_{\sigma=1}^{s}\left[p_{\sigma r}+\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha_{n}}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0}\right] \delta q_{\sigma_{n}} .
\end{aligned}
\]

Значок нуль отмечает, что соответственной переменной дано начальное значение (для $t=t_{0}$ ).

Если в функции $W$ аргументы $\dot{q}_{\rho_{0}}$ мы заменим аргументами $q_{p}$, то выражение (43.18) представит собою вариацию функции $W$, взятую в этом смысле, а также в предположении, что $t$ не изменяется. Но, как мы видели, аргументы $q_{\sigma}$ и $q_{\phi_{0}}$ не независимы друг от друга, а подчинены равенствам (43.13); следовательно, вариации их $\delta q_{0}$ и $\delta q_{g_{f}}$ связаны условиями
\[
0=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma}-\sum_{\sigma=1}^{s}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0} \delta q_{\sigma_{o}} \quad(\alpha=1,2, \ldots, a) ;
\]

других ограничений на них не наложено, так как равенства (43.2), как уже отмечалось, оставляют $q_{\sigma}$ независимыми. Положим, что с помощью уравнений (43.13), $a$ величин $q_{w_{0}}$, нагіример $q_{10}, q_{20}, \ldots, q_{a_{0}}$, исключены из $W$; тогда оставшиеся $2 s$ – $a$ аргументов будут уже независимыми, и, следовательно, в выражении
\[
\delta W=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma}+\sum_{\rho=a+1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{o 0}} \delta q_{\rho_{n}}
\]

все вариации совершенно произвольны. Для исключения зависимых вариаций $\partial q_{10}, \delta q_{20}, \ldots, \delta q_{a \theta}$ из правой части равенства (43.18) мы воспользуемся способом множителей. Каждое из равенств (43.19) умножим на некоторый множитель $\mathrm{B}_{a}$ и затем прибавим почленно к равенству (43.18); мы получим:
\[
\begin{aligned}
\delta W=\sum_{\sigma=1}^{s}\left\{p_{\sigma}\right. & \left.+\sum_{\alpha=1}^{a}\left(\Lambda_{\alpha}+B_{\alpha}\right) \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}}\right\} \delta q_{\sigma}- \\
& -\sum_{\sigma=1}^{s}\left\{p_{\mathrm{J}_{0}}+\sum_{\alpha=1}^{a}\left(\Lambda_{\alpha_{0}}+\mathrm{B}_{\alpha}\right)\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0}\right\} \delta q_{\mathrm{s}_{0}} .
\end{aligned}
\]

Очевидно, мы можем $a$ множителям $\mathrm{B}_{\alpha}$ дать такие постоянные значення, чтобы коэффициенты при а зависимых вариациях обратились в нули. Далее, по смыслу равенства (43.16) величина $\Lambda_{\alpha}$ была определена как неопределённый интеграл, в котором произвольной постоянной приписано какое-то определённое значение. В состав этого интеграла мы теперь включим и постоянное слагаемое $\mathrm{B}_{2}$, сохранив за интегралом обозначение $\mathrm{A}_{\alpha}$; тогда предыдущее равенство можно будет переписать так:
\[
\hat{\delta} W=\sum_{\sigma=1}^{s}\left\{p_{\sigma}+\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}\right\} \delta q_{o}-\sum_{\rho=a+1}^{s}\left\{p_{\rho_{0}}+\sum_{a=1}^{a} \Lambda_{\alpha_{0}}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial q_{0}}\right)_{0}\right\} \delta q_{\rho_{\rho}} .
\]

Сравнивая теперь это выражение с равенством (43.20), мы выводим следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W}{\partial q_{o}}=p_{a}+\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s), \\
\frac{\partial W}{\partial q_{\rho 0}}=-p_{\rho_{0}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha_{0}}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{0}}\right)_{0} \quad(\rho=a+1, a+2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Должно заметить, что равенсіва (43.23) справедливы и для $\rho=1,2, \ldots, a$, так как дяя этих значений индекса $\rho$ и левая, и правая часть обращаются в нули. Равенства (43.22) и (43.23) дают $2 s$ – а зависимостей между $s$ координатами $q_{0}, s$ импульсами $p_{s}, s-a$ постоянными $q_{a}, s-a$ постоянными $p_{\rho n}$ и $a$ постоянными $d_{x_{0}}$. Если присоединить сюда ещё $a$ равенств (43.1) в их союзной форме (43.6), то $2 s$ уравнений (43.22), (43.23) и (43.6) представят собою полное число равенств, определяющих движение материальной системы; действительно, с их помощью мы можем найти в форме (43.8) все координаты $q_{\sigma}$ как функции от времени и от $2 s-a$ упомянутых внше произвольных постоянных. Множители $\Lambda_{\alpha}$, фигурирующие

в равенствах (43.22), ввиду зависимости их от множителей Лагранжа в форме интегралов (43.16) всего естєственнее назвать импульсивными множителями связей.

244. Уравнение в частных производных для главной функции. Из выражения (43.9) для $W$ мы получаем:
\[
\frac{d W}{d t}=L
\]

Но, если принять во внимание равенство (43.22), то можно написать:
\[
\frac{d W}{d t}=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}} \dot{q}_{\sigma}=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{\sigma=1}^{s} p_{\sigma} \dot{q}_{\sigma}+\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} \dot{q}_{\alpha} .
\]

Отсюда по формуле (43.1) мы получаем:
\[
\frac{d W}{d t}=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{\sigma=1}^{s} p_{\sigma} \dot{q}_{\alpha}-\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} .
\]

Сравнивая это выражение с равенством (43.24), мы видим, что найденное в предыдущем параграфе выражение для $W$ служит интегралом следующего уравнения в частных производных:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}-\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}+\sum_{\sigma=1}^{s} p_{\alpha} \dot{q}_{\alpha}-L=0 .
\]

Согласно формуле (33.22) на стр. 346 это уравнение можно переписать так:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}-\sum_{a=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}+H=0,
\]

где в функции $H$ импульсы $p_{\text {。 }}$ должны быть выражены по формулам (43.22) через частные производные $\frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}}$ и множители $\Lambda_{\alpha}$; сами же импульсивные множители должны быть выражены как функции от $t, q_{\sigma}$ и $\frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}}$ с помощью равенств (43.6), куда вместо импульсов предварительно подставлены их выражения (43.22).

Докажем теперь обратное предложение. Пусть имеем уравнение в частных производных (43.25), составленное так, как было объяснено выше, и пусть мы знаем полный интеграл $W$ этого уравнения, содержащий $s$ произвольных постоянных $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}$, кроме аддитивной; положим
\[
\frac{\partial W}{\partial b_{\sigma}}=c_{\sigma} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s),
\]

где $c_{0}$ – новые произвольные востоянные; тогда эти уравнения в соединении с $s$ уравнениями (43.22), т. е. уравнениями
\[
\frac{\partial W}{\partial q_{\sigma}}=p_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}},
\]

представят собою интегралы системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{d q_{\sigma}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{\sigma}} ; \\
\frac{d p_{\sigma}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\sigma}}-\sum_{\alpha=1}^{a \prime} \frac{d \Lambda_{\alpha}}{d t} \cdot \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} .
\end{array}
\]

В равенствах (43.27) множители $\Lambda_{q}$ служат корнями $a$ уравнений типа (43.6) и, следовательно, являются функциями от $t, q_{\sigma}, \frac{\partial W}{\partial q_{0}}$. Из уравнєний (43.29) множители $\frac{d \Lambda_{\alpha}}{d t}$ должны быть исключены при помощи уравнений
\[
\frac{d^{2} f_{a}}{d t^{2}}=0 \text {. }
\]

Для доказательства высказанного положения заметим предварительно, что если в уравнение (43.25) мы вставим значение для $W$, то оно обратится в тождество. Точно тақ же и равенства (43.6) тождественно становятся нулями, если вместо множителей $\Lambda_{\alpha}$ вставить их значения. Продифференцируем каждое из равенств (43.26) по времени; мы получим:
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial t}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial q_{\rho}} \frac{d q_{\rho}}{d t}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Продифференцировав теперь уравнение (43.25) по $b_{a}$, мы найдём:
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial t}-\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} \frac{\partial \Lambda_{\alpha}}{\partial b_{\sigma}}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial H}{\partial p_{o}} \cdot \frac{\partial p_{0}}{\partial b_{o}}=0 .
\]

Но из равенства (43.27) следует, что
\[
\frac{\partial p_{\rho}}{\partial b_{\sigma}}=\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{\rho} \partial b_{\sigma}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial \Lambda_{\alpha}}{\partial b_{\sigma}} .
\]

При этом всюду принято в соображение, что $\frac{\partial f_{a}}{\partial t}$ и $\frac{\partial f_{a}}{\partial q_{p}}$ от постоянных $b_{a}$ не зависят. Из предыдущих двух выражений мы получаем:
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial t}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} \cdot \frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial q_{\rho}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial \Lambda_{\alpha}}{\partial b_{\alpha}}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}\right)=0,
\]

или, в силу равенства (43.6),
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial t}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial H}{\partial p_{p}} \frac{\partial^{2} W}{\partial b_{\sigma} \partial q_{\rho}}=0 .
\]

Из равенств (43.31) и (43.32) мы заключаем, что
\[
\frac{d q_{p}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{p}}
\]

это следует из того, что если взягое решение для $W$ является полным

интегралом, то определитель
\[
\sum \pm \frac{\partial}{\partial b_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{1}}\right) \frac{\partial}{\partial b_{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{2}}\right) \cdot \cdot \frac{\partial}{\partial b_{s}}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{s}}\right)
\]

не может равняться нулю (§ 239).
Чтобы доказать второй ряд формул (43.29), продифференцируем по $t$ равенства (43.27); мы получим:
\[
\begin{aligned}
\frac{d p_{0}}{d t}=\frac{\partial^{2} W}{\partial t \partial q_{0}}+ & \sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{\sigma} \partial q_{0}} \frac{d q_{p}}{d t}-\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{d \Lambda_{\alpha}}{d t} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{0}}- \\
& -\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma} \partial q_{\rho}} \frac{d q_{o}}{d t}-\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial t \partial q_{0}} .
\end{aligned}
\]

Продифференцировав ещё равенство (43.25) по $q_{\sigma}$, мы найдём:
\[
\frac{\partial^{2} W}{\partial t \partial q_{\sigma}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial t \partial q_{\sigma}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \Lambda_{\alpha}}{\partial q_{\alpha}}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} \cdot \frac{\partial p_{\rho}}{\partial q_{\sigma}}+\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}=0 .
\]

Но из равенства (43.27) мы имеем
\[
\frac{\partial p_{\rho}}{\partial q_{\sigma}}=\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{\sigma} \partial q_{\rho}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\dot{\delta} \Lambda_{\alpha}}{\delta q_{\sigma}} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\rho}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma} \partial q_{\rho}} ;
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} W}{\partial t \partial q_{\sigma}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial \Lambda_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial f_{t}}{\partial q_{2}} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}\right)+\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{\sigma} \partial q_{\rho}} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}- \\
-\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial t \partial q_{\sigma}}-\sum_{x=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma} \partial q_{\rho}} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}+\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}=0 .
\end{array}
\]

Сложив полученное выражение с равенством (43.34) и приняв во внимание соотношения (43.6) и (43.33), мы придём к уравнению
\[
\frac{d p_{a}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\sigma}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{d \Lambda_{\alpha}}{d t} \cdot \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}},
\]

что мы и имели в виду получить.
Остаётся только показать, что множители $\frac{d \Lambda_{\alpha}}{d t}$ исключаются с помоцью уравнений (43.30). По условию импульсивные множители удовлетворяют уравнениям (43.6). Если мы продифференцируем теперь уравнения (43.6) по времени, то и получим искомые уравнения для производных от $\boldsymbol{\Lambda}_{\alpha}$; это будут, очевидно, как раз уравнения (43.7), союзные уравнениям (43.30). Если в уравнения (43.30) или (43.7) подставить производные $\frac{d p_{\rho}}{d t}$ из равенств (43.29) и затем решить полученные уравнения относительно $\frac{d \Lambda_{\alpha}}{d t}$, то эти величины определятся как функции только от $p_{\sigma}, q_{\sigma}, t$ и не будут содержать произвольных постоянных $b_{\sigma}$; это следует из структуры коэффициентов уравнений (43.7).

Пример 134. Пусть плоскость $O y z$ вертикальна, причём ось $O z$ паправлена по вертикали вверх. Рассмотрим в этой плоскости движение двух весомых частиц масс $m_{1}$ и $m_{2}$, имеющих координаты $\left(y_{1}, z_{1}\right)$ и $\left(y_{2}, z_{2}\right)$ и подчинённых связям
\[
m_{1} \dot{y}_{1}+m_{2} \dot{y}_{2}=0 \quad \text { и } \quad\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(\dot{y}_{1}-\dot{y}_{2}\right)+\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(z_{1}-\dot{z}_{3}\right)=0 .
\]

Будем определять положение системы координатами $y_{C}, z_{C}, \eta, \varphi$, следующим образом связанными с декартовыми координатами частиц:
\[
\begin{array}{c}
M y_{C}=m_{1} y_{1}+m_{2} y_{2}, \quad M z_{C}=m_{1} z_{1}+m_{2} z_{2}, \\
\eta=y_{1}-y_{2}, \quad \varphi=\operatorname{arctg} \frac{z_{1}-z_{2}}{y_{1}-y_{2}},
\end{array}
\]

причём
\[
M=m_{1}+m_{2} \text {. }
\]

Уравнения связей в этих координатах запишутся так:
\[
y_{C}=C_{1}, \quad \eta_{1} \sec \varphi=C_{2},
\]

где $C_{1}, C_{2}$ – произвольные постоянные.
Конечными уравнениями движения типа (43.8) для нашей системы будут следующие:
\[
\begin{array}{c}
y_{C}=C_{1} ; \quad z_{C}=-\frac{g t^{2}}{2}+A_{1} t+A_{2} ; \quad \eta=C_{2} \cos \left(A_{3} t+A_{4}\right) ; \\
\varphi=A_{3} t+A_{4} .
\end{array}
\]

Кинетическая энергия $T$ системы для взятых координат представится так:
\[
T=\frac{M}{2}\left(\dot{y}_{C}^{2}+\dot{z}_{C}^{2}\right)+\frac{m_{1} m_{2}}{2 M} \sec ^{2} \varphi\left(\dot{\eta}^{2}+2 \eta \operatorname{tg} \varphi \cdot \dot{\eta} \varphi+\eta^{2} \sec ^{2} \varphi \cdot \dot{\varphi}^{2}\right) .
\]

Силовая функция равна
\[
U=-M g z_{C} .
\]

Таким образом, лагранжева функция $L=T+U$ в силу уравнений (43.36) выразится следуюшей функцией времени:
\[
L=M g^{2} t^{2}-2 M g A_{1} t+\frac{1}{2} M A_{1}^{2}-M g A_{2}+\frac{m_{1} m_{2}}{2 M} C_{2}^{2} A_{3}^{2} .
\]

Если положим $t_{0}=0$, то для действия $W$ найдём выражение
\[
W=\frac{M g^{2} t^{3}}{3}-M g A_{1} t^{2}+\left(\frac{1}{2} M A_{1}^{2}-M g A_{2}+\frac{m_{1} m_{2}}{2 M} C_{2}^{2} A_{3}^{2}\right) \boldsymbol{t} .
\]

Входящие сюда постоянные следующим образом выражаются в функциях начальных и конечных координат системы:
\[
\begin{array}{c}
A_{1}=\frac{z_{C}-z_{C 0}}{t}+\frac{g t}{2} ; \quad A_{2}=z_{C 0} ; \quad A_{3}=\frac{1}{t}\left(\varphi-\varphi_{0}\right) ; \quad A_{4}=\varphi_{0} ; \\
C_{1}=y_{C 0} ; \quad C_{2}=\eta_{0} \sec \varphi_{0} .
\end{array}
\]

Уравнения (43.13) будут следующие:
\[
y_{c}-y_{C 0}=0 ; \eta \sec \varphi-\eta_{0} \sec \varphi_{0}=0 .
\]

Подставив значения (43.39) постоянных в равенство (43.38) и исключив две начальные координаты с помощью равенств (43.40), мы составим искомое выражение для $W$. Первым уравнением (43.40) даже не придётся воспользоваться, так как функция (43.38) не содержит уже сама по себе $C_{1}=y_{C 0}$. Итак, мы приходим к следующему выражению гля главной функции:
\[
W=\frac{M\left(z_{C}-z_{C_{0}}\right)^{2}}{2 t}-\frac{M g t}{2}\left(z_{C}+z_{C_{0}}\right)-\frac{1}{24} M g^{2} t^{3}+\frac{m_{1} m_{2}}{2 M^{2}} \eta^{2} \sec ^{2} \varphi \frac{\left(\varphi-\varphi_{0}\right)^{2}}{t} .
\]

Первые члены этой формулы вполне согласуются с выражением (42.20) на стр. 449 , что понятно само собою. Чтобы проверить хотя бы одно из равенств

(43.23), вычислим, например, производную $\frac{\partial W}{\partial \varphi_{0}}$; мы получим:
\[
\frac{\partial W}{\partial \varphi_{0}}=-\frac{m_{1} m_{3}}{M} \eta^{2} \sec ^{2} \varphi \cdot \frac{\varphi-\varphi_{0}}{t}=\text { const., }
\]

как это очевидно из последнего из равенств (43.36).
Составим теперь уравнение в частных производных (43.25). По формуле (43.37) импульсы связаны с соответственными скоростями равенствами
\[
\begin{array}{c}
M \dot{y}_{C}=p_{1}, \quad M \dot{z}_{C}=p_{2}, \quad \frac{m_{1} m_{2}}{M} \sec ^{2} \varphi(\dot{\eta}+\eta \operatorname{tg} \varphi \cdot \dot{\varphi})=p_{3}, \\
\frac{m_{1} m_{2}}{M} \sec ^{2} \varphi\left(\eta \operatorname{tg} \varphi \cdot \dot{\eta}+\eta^{2} \sec ^{2} \varphi \cdot \dot{\varphi}\right)=p_{4} .
\end{array}
\]

С помощью этих уравнений функция $H$ представится так:
\[
2 H=\frac{1}{M}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right)\left(p_{3}^{2}+\frac{2 p_{3} p_{4}}{\eta} \sin \varphi \cos \varphi+\frac{p_{4}^{2}}{\eta^{2}} \cos ^{2} \varphi\right)+M g z_{C} .
\]

Уравнения (43.7) для взятого случая принимают простой вид
\[
p_{1}=0 ; \quad p_{3}=0 .
\]

Равенства (43.27) в соответствии с формулами (43.35) напишутся так:
\[
\frac{\partial W}{\partial y_{C}}=p_{1}+\Lambda_{1}, \quad \frac{\partial W}{\partial z_{C}}=\mu_{2}, \quad \frac{\partial W}{\partial \eta}=p_{3}+\Lambda_{2} \sec \varphi, \quad \frac{\partial W}{\partial \varphi}=p_{4}+\Lambda_{2} \eta \operatorname{tg} \varphi \sec \varphi .
\]

Первое и третье из этих равенств в снлу соотношений (43.42) примут вид
\[
\frac{\partial W}{\partial y_{C}}-\Lambda_{1}=0 ; \quad \frac{\partial W}{\partial \eta}-\Lambda_{2} \sec \varphi=0 .
\]

Окончательно мы получим следующие выражения для ымпульсов через частные производные:
\[
p_{1}=0 ; \quad p_{2}=\frac{\partial W}{\partial z_{C}} ; \quad p_{3}=0 ; \quad p_{4}=\frac{\partial W}{\partial \varphi}-\eta \operatorname{tg} \varphi \frac{\partial W}{\partial \eta} ;
\]

следовательно, искомое уравнение (43.25) напишется так:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+\frac{1}{2 M}\left(\frac{\partial W}{\partial z_{C}}\right)^{2}+\frac{1}{2 \eta^{2}}\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi} \cos \varphi-\eta \sin \varphi \frac{\partial W}{\partial \eta}\right)^{2}+M g z_{C}=0 .
\]

Легко проверить, что функция (43.41) служит интегралом написанного уравнения. Чтобы непосредственно найти полный интеграл этого уравнения, заметим предварительно, что производная $\frac{\partial W}{\partial y_{C}}$ и переменная $t$ вовсе в него не входят; следовательно, данное уравнение можно разбить на несколько других, а именно:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial W}{\partial t} & =b_{1}, \quad \frac{\partial W}{\partial z_{C}}=b_{2}, \quad \frac{1}{\eta}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi} \cos \varphi-\eta \sin \varphi \frac{\partial W}{\partial \eta_{1}}\right)=b_{3}, \\
\frac{1}{2 M}\left(\frac{\partial W}{\partial z_{C}}\right)^{2} & =-M g z_{C}-b_{1}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) b_{3}^{2},
\end{aligned}
\]

где $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ – произвольные постоянные. Из этих равенств легко находим полный интеграл
\[
\begin{array}{l}
W=b_{0}+b_{1} t+b_{2} y_{c}+ \\
+\frac{2 M}{3} \sqrt{2 g}\left\{-z_{C}-\frac{2 b_{1}+\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) b_{3}^{2}}{2 g M}\right\}^{s / 2}+\eta\left(b_{s} \varphi+b_{4}\right) \sec \varphi .
\end{array}
\]

245. Число произвольных постоянных. Мы видели (§242,) что при решении вопроса о движении рассматриваемой системы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений интегралы уравнений движення заключают в себе $2 s-2 a$ произвольных постоянных $A_{\gamma}$, если не считать постоянных $C_{a}$, которые входят в коненные уравнения связей (43.2). Между тем, если систему уравнений замеңить одним уравнением в частных производных (43.25), найти полный интеграл этого уравнения и затем написать интегралы уравнений движения в форме (43.26), то в окончательный результат войдут $2 s$ произвольных постоянных, а именно: $s$ постоянных $b_{\text {, }}$ (кроме аддитивной) должен содержать полный интеграл уравнения ( 43.25 ), Это кажущееся противоречие в двух методах мы и постараемся себе уяснить в настоящем параграфе. Для сокращения вычислений ограничимся рассмотрением лишь декартовых кооддинат, хотя заключения справедливы и для обобщённых координат ${ }^{1}$ ).

Итак, пусть система из $n$ матернальных частиц с массами $m_{v}$ отнесена к декартовым координатам $x_{v}, y_{v}, z_{v}$, где $
u=1,2,3, \ldots, n$. Введём обозначения $\S 188$, положив

а также
\[
\begin{array}{c}
x_{v}=\xi_{3 v-2}, \quad y_{v}=\xi_{3 v-1}, \quad z_{v}=\xi_{3 v}, \\
m_{3 v-2}=m_{3 v-1}=m_{3 v}=m_{v} ;
\end{array}
\]

тогда кинетическая энергия примет вид
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \dot{\xi}_{v}^{2} .
\]

Пусть на систему наложены $a$ связей (43.2):
\[
f_{\alpha}\left(\xi_{v}, t\right)=C_{a} \quad(\alpha=1,2, \ldots, a ; \quad
u=1,2, \ldots, 3 n) .
\]

В таком случае уравнение (43.25) будет иметь вид
\[
\frac{\partial W}{\partial t}-\sum_{a=1}^{a} \Lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{a}}{\partial t}+\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{3 n} \frac{1}{m_{v}}\left(\frac{\partial W}{\partial \xi_{v}}-\sum_{a=1}^{a} \Lambda_{a} \frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}\right)^{2}-U=0,
\]

где $U$-силовая функция, а множители $\Lambda_{1}, \Lambda_{2}, \ldots, \Lambda_{a}$ согласно формулам (43.6) и (43.27) найдутся из $a$ уравнений
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial f_{a}}{\partial t}+\left[W f_{\alpha}\right]=\Lambda_{1}\left[f_{1} f_{\alpha}\right]+\Lambda_{2}\left[f_{2} f_{\alpha}\right]+\ldots+\Lambda_{a}\left[f_{a} f_{\alpha}\right] \\
(\alpha=1,2, \ldots, a) ;
\end{array}
\]

квадратные скобки здесь употреблены в смысле
\[
[A B]=\sum_{v=1}^{3 n} \frac{1}{m_{v}} \frac{\partial A}{\partial \xi_{v}} \frac{\partial B}{\partial \xi_{v}} .
\]

Нетрудно показать, что число переменных в уравнении (43.45) можно уменьшить на $a$. Для этого введём в функцию $W$ вместо $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{a}$

новые независимые переменные $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{a}$, т. е. станем рассматривать $W$ не как функцию от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{s_{n}}$, а как функцию от $f_{1}, f_{2}, \ldots, t_{a}$, $\xi_{a+1}, \xi_{a+2}, \ldots, \xi_{3 n}$. Тогда, как увндим, в уравнение (43.45) вовсе не войдут производные or $W$ по $f_{\alpha}$, и, следовательно, эти последние величины можно считать при интегрировании за постоянные. Функцию $W$, выраженную в новых переменных, станем обозначать через $V$. В таком случае мы будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W}{\partial \xi_{\gamma}}=\sum_{x=1}^{a} \frac{\partial V}{\partial f_{\alpha}} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \text { для }
u=1,2,3, \ldots, a ; \\
\frac{\partial W}{\partial \xi_{x}}=\sum_{x=1}^{a} \frac{\partial V}{\partial f_{\alpha}} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{x}}+\frac{\partial V}{\partial \xi_{x}} \text { для } x=a+1, a+2, \ldots, 3 n ; \\
\frac{\partial W}{\partial t}=\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial V}{\partial f_{\alpha}} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial t} .
\end{array}
\]
$y_{\text {равнения (4) }}$ (43.46) для импульсивных множителей принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{a}}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial f_{1}}\left[f_{1} f_{\alpha}\right]+\frac{\partial V}{\partial f_{2}}\left[f_{2} f_{\alpha}\right]+\ldots+\frac{\partial V}{\partial f_{a}}\left[f_{a} f_{\alpha}\right]+\left[V f_{\alpha}\right]= \\
=\Lambda_{1}\left[f_{1} f_{\alpha}\right]+\Lambda_{2}\left[f_{2} f_{\alpha}\right]+\ldots+\Lambda_{a}\left[f_{a} f_{\alpha}\right] \\
(\alpha=1,2, \ldots, a)
\end{array}
\]

Здесь в согласии с формулою (43.47) применено обозначение
\[
\left[V f_{\alpha}\right]=\sum_{x=a+1}^{3 n} \frac{1}{m_{x}} \frac{\partial V}{\partial \xi_{x}} \frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{x}} .
\]

Если мы теперь положим
\[
\Lambda_{\alpha}=\frac{\partial V}{\partial f_{\alpha}}+\mu_{\alpha},
\]

го множители $\mu_{\alpha}$ будут удовлетворять уравнениям
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}+\left[V f_{\alpha}\right]=\mu_{1}\left[f_{1} f_{\alpha}\right]+\mu_{2}\left[f_{8} f_{\alpha}\right]+\ldots+\mu_{a}\left[f_{a} f_{\alpha}\right] \\
(a=1,2, \ldots, a),
\end{array}
\]
т. е. они выразятся, как линейные однородные функции от производных $\frac{\partial V}{\partial \xi_{x}}$.

Подставив выражения (43.48) и (43.50) в уравнение (43.45), мы убедимся, что производные $\frac{\partial V}{\partial f_{\alpha}}$ везде уничтожатся, и в результате получится уравнение
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V}{\partial t}-\sum_{\alpha=1}^{a} \mu_{\alpha} \frac{\partial f_{a}}{\partial t}+\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{a} \frac{1}{m_{v}}\left(\sum_{\alpha=1}^{a} \mu_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}\right)^{2}+ \\
+\frac{1}{2} \sum_{x=a+1}^{3 n} \frac{1}{m_{x}}\left(\frac{\partial V}{\partial \xi_{x}}-\sum_{x=1}^{a} \mu_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{x}}\right)^{2}-U=0 .
\end{array}
\]

Если воспользоваться теперь для упрощений уравнениями (43.51), то с помощью символов (43.47) и (43.49) предыдущее уравнение можно переписать так:
\[
\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{1}{2} \sum_{\alpha=1}^{a} \mu_{\alpha} \frac{\partial f_{a}}{\partial t}+\frac{1}{2}[V V]-\frac{1}{2} \sum_{\alpha=1}^{a} \mu_{\alpha}\left[V f_{\alpha}\right]-U=0 .
\]

Как было сказано, величины $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{a}$ могут быть приняты при интегрировании за постоянныс; поэтому к найденному полному интегралу уравнения (43.52), который мы обозначим через $\Phi$ и который должен заключать в себе $3 n$ – $a$ произвольных постоянных, кроме аддитивной, мы можем прибавить произвольную функцию от этих величин. В качестве такой функции мы возьмём выражение
\[
b_{0}+b_{1} f_{1}+b_{2} f_{2}+\ldots+b_{a} f_{a},
\]

где $b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{a}$ – произвольные постоянные, необходимые для того, чтобы наше решение было полным интегралом также и уравнения (43.45). Эта добавочная часть даёт согласно формуле (43.26) a интегралов уравнений движения
\[
f_{1}=c_{1}, f_{2}=c_{2}, \ldots, f_{a}=c_{a} .
\]

Отсюда мы видим, что $a$ постолнных $c_{\alpha}$ совпадают с постоянными $C_{\alpha}$ в уравнения (43.2). С другой стороны, равенства (43.50), т. е.
\[
\Lambda_{\alpha}=\frac{\partial V}{\partial f_{\alpha}}+\mu_{s}=\frac{\partial \Phi}{\partial f_{\alpha}}+b_{\alpha}+\mu_{\alpha},
\]

указывают, что другие $a$ постоянных $b_{\alpha}$ совпадают с теми постоянными, которые могут быть присоединены к импульсивным множителям $\boldsymbol{\Lambda}_{\alpha}$. Сказанное выше и определяет значение тех лишних $2 a$ произвольных постоянных, о которых была речь в начале параграфа.

Пример 135. Вернёмся к примеру 134 на стр. 470 и рассмотрим найденный там полный интеграл (43.43). Согласно соотношениям (43.35) эта форма интеграла вполне согласуется с изложенным в настоящем параграфе.

Пример 136. Уравнением (43.52) можно пользоваться не только в том случае, когда между переменными существуют зависимости, но и тогда, когда известны некоторые интегралы уравнений движения и желательно, пользуясь ими, уменьшить число переменных. Покажем, например, как воспользоваться законом сохранения движения центра иасс для уменьшения числа переменных. В рассматриваемом случае известными интегралами будут:
\[
\begin{array}{l}
f_{1}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} x_{v}-c_{x} M t=C_{1}, \\
f_{2}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} y_{v}-c_{y} M t=C_{2}, \\
f_{3}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} z_{v}-c_{z} M t=C_{3},
\end{array}
\]

причём
\[
M=\sum_{v=1}^{n} m_{v}
\]

Исключим координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1}$, заменив их переменными $f_{1}, f_{2}, f_{3}$; тогда множители $\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}$ найдутся из уравнений (43.51):
\[
\begin{array}{l}
-c_{x} M+\sum_{x=2}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{x}}=M \mu_{1}, \\
-c_{y} M+\sum_{x=2}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_{x}}=M \mu_{2}, \\
-c_{z} M+\sum_{x=2}^{n} \frac{\partial V}{\partial z_{x}}=M \mu_{3} .
\end{array}
\]

Уравнение (43.52) примет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2} \sum_{\mathrm{x}=2}^{n} \frac{1}{m_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial V}{\partial x_{\mathrm{x}}}\right)^{2}+\frac{1}{2} \sum_{\mathrm{x}=2}^{n} \frac{1}{m_{x}}\left(\frac{\partial V}{\partial y_{\mathrm{x}}}\right)^{2}+\frac{1}{2} \sum_{\mathrm{x}=2}^{n} \frac{1}{m_{\mathrm{x}}}\left(\begin{array}{l}
\partial V \\
\frac{z_{\mathrm{x}}}{}
\end{array}\right)^{2}- \\
-\frac{1}{2 M}\left\{\left(\sum_{\mathrm{x}=2}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{\mathrm{x}}}-c_{x} M\right)^{2}+\left(\sum_{\mathrm{x}=2}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_{\mathrm{x}}}-c_{y} M\right)^{2}+\left(\sum_{\mathrm{x}=2}^{n} \frac{\partial V}{\partial z_{\mathrm{x}}}-c_{z} M\right)^{2}\right\}- \\
-U=0 .
\end{array}
\]

Здесь в функцию $U$ надо вместо $x_{1}$ подставить
\[
\frac{1}{m_{1}}\left(f_{1}+c_{x} M t-\sum_{\mathrm{x}=2}^{n} m_{\mathrm{x}} x_{\mathrm{x}}\right)
\]

и аналогичные выражения надо подставить вместо $y_{1}$ и $z_{1}$. То неудоб́ство, что теперь в функцию $U$ входит явно время, легко устраняется, если вместо $x_{x}, y_{x}, z_{x}$ мы введём новые переменные $\xi_{x}, \eta_{x}, \xi_{x}$ с помощью соотношений
\[
x_{\mathrm{x}}=\xi_{\mathrm{x}}+c_{x} t+\frac{f_{1}}{M} ; \quad y_{x}=\eta_{\mathrm{x}}+c_{y} t+\frac{f_{2}}{M} ; \quad z_{x}=\zeta_{\mathrm{x}}+c_{z} t+\frac{f_{3}}{M} .
\]

Обозначив искомую главную функцию, выраженную в новых координатах, опять через $W$, мы получаем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial V}{\partial x_{x}}=\frac{\partial W}{\partial \xi_{x}}, \quad \frac{\partial V}{\partial y_{x}}=\frac{\partial W}{\partial \eta_{x}}, \quad \frac{\partial V}{\partial z_{x}}=\frac{\partial W}{\partial \zeta_{x}}, \\
\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial t}-c_{x} \sum_{x=2}^{n} \frac{\partial W}{\partial \xi_{x}}-c_{y} \sum_{x=2}^{n} \frac{\partial W}{\partial n_{x}}-c_{2} \sum_{x=2}^{n} \frac{\partial W}{\partial r_{x}} ;
\end{array}
\]

поэтому уравнение (43.53) перепишется так:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial W}{\partial t} & +\frac{1}{2} \sum_{x=2}^{n} \frac{1}{m_{x}}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial \xi_{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial \eta_{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial \zeta_{x}}\right)^{2}\right\}- \\
& -\frac{1}{2 M}\left\{\left(\sum_{x=2}^{n} \frac{\partial W}{\partial \xi_{x}}\right)^{2}+\left(\sum_{x=2}^{n} \frac{\partial W}{\partial \eta_{x}}\right)^{2}+\left(\sum_{x=2}^{n} \frac{\partial W}{\partial \zeta_{x}}\right)^{2}\right\}=U+\frac{M}{2}\left(c_{x}^{2}+c_{y}^{2}+c_{z}^{2}\right) ;
\end{aligned}
\]

здесь в выражение функции $U$ время уже более не входит, если, конечно, с самого начала заданная функция $U\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, \ldots\right)$ зависела только от координат. Действительно, для того, чтобы имел место закон сохранения движения центра масс, функция $U$ должна зависеть лишь от разностей координат: тогда силы, действующие на различные частицы, будут в сумме давать нуль.

Но разности старых координат следующим образом выражаются через новые координаты:
\[
x_{\mathrm{x}}-x_{\mathrm{v}}=\xi_{\mathrm{x}}-\xi_{\mathrm{v}},
\]

если ни $x$, ни г не равны единице; если же только $x$ отлично от единицы, то
\[
x_{\mathrm{x}}-x_{1}=\xi_{\mathrm{x}}-\frac{1}{m_{1}} \sum_{\mathrm{x}=2}^{n} m_{\mathrm{x}} \xi_{\mathrm{x}} ;
\]

последнее соотношение вытекает из того, что согласно формулам (43.54) и (43.55) мы имеем
\[
x_{1}=c_{x} t+\frac{f_{1}}{M}-\frac{1}{m_{1}} \sum_{x=2}^{n} m_{x} \xi_{x} .
\]

То же самое можно сказать и относительно прочих координат. Таким образом, действительно, силовая функция, выраженная в новых координатах, не содержит явно времени.
246. Характеристическая функция. Пусть ни (однозначная) силовая функция $U$, ни уравнения связей не содержат явно времени $t$; в этом случае материальная система консервативна, и одним из интегралов уравнений движения служит интеграл энергии
\[
H=h \text {. }
\]

Если, пользуясь этим интегралом, мы из функции
\[
S=W+H\left(t-t_{0}\right)
\]

исключим время, то и получим характерисгическую функцию (§240). Мы укажем здесь лишь на основные свойства названной функции, не останавливаясь ни на доказательствах этих свойств, ни на связи её с лагранжевым действием, так как иначе нам пришлось бы повторить почти слово в слово весь $\S 240$.

Когда функция $S$ выражена через $s$ координат $q_{\sigma}$, относящихся к конечному моменту времени $t, s-a$ координат $q_{\rho_{0}}$, относящихся к начальному моменту $t_{0}$, и постоянную $h$, тогда частные производные её удовлетворяют равенствам
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial S}{\partial q_{\sigma}}=p_{\sigma}+\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\sigma} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s), \\
\frac{\partial S}{\partial q_{\rho a}}=-p_{\rho_{0}}-\sum_{\alpha=1}^{a} \Lambda_{\alpha_{0}}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial q_{p}}\right)_{0} \quad(\rho=1,2, \ldots, s-a), \\
\frac{\partial S}{\partial h}=t-t_{0} .
\end{array}
\]

Импульсивные множители $\Lambda_{\alpha}$ служат корнями уравнений (43.6), которые в настоящем случае имеют вид
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} \cdot \frac{\partial H}{\partial p_{\sigma}}=0,
\]

причём сюда вместо импульсов надо подставить их выражения из уравнений (43.57).

Составленная нами функция $S$ служит решением уравнения в частных производных (43.56). Для получения этого уравнения надо в выражении (43.57), причём импульсивные множители в этих уравнениях должны быть предварительно выражены как функцни тех же частных производных с помощью уравнсний (43.58). Преобразованное таким образом уравнение (43.56) заменяет собой в нашем случае уравнение (43.25). Когда найден полный интеграл $S$ этого уравнения, содержащий $s-1$ произвольных постоянных $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s-1}$, кроме аддитивной, то интегралы уравнений движения даются $s$ равенствами (43.57) и $s$ нижеследующими равенствами:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial S}{\partial b_{0}}=c_{\sigma} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s-1), \\
\frac{\partial S}{\partial h}=t-t_{0},
\end{array}
\]

где $c_{\sigma}$ и $t_{0}$ – новые произвольные постоянные.