300. Уравнения движения твёрдого тела, отнесённые к осям, имеющим собственное движение. Как было указано в § 254, уравнения цвижения твёрдого тела получаются путём проектирования на оси координат уравнении, выражающих закон изменения количества движения и закон изменения кинетичєского момента. В настоящей главе мы будем относить эти законы к системе осей $C X Y Z$, имеющей собственное движение. При этом мы остановимся только на том частном случае, когда начало $C$ подвижных осей совпадает с центром масс тела.

Обозначим соответственно $\bar{\omega}, \bar{\omega}^{(e)}$ и $\boldsymbol{v}_{C}$ угловую скорость тела, угловую скорость осей $C X Y Z$ и скорость центра мӓсс $C$ относительно неподвижной системы координат $O x y z$. Скорость произвольной частицы тела, определяемой по отношению к системе CXYZ радиусом-вектором $\bar{\rho}_{\text {v }}$, выразится согласно формуле (9.32) на стр. 93 следующим образом:
\[
\boldsymbol{v}_{v}=\boldsymbol{v}_{c}+\bar{\omega} \times \overline{\rho_{v}} .
\]

Отсюда мы получаем для кинетической энергии $T$, количества движения $\boldsymbol{K}$ и кинетического момента $\boldsymbol{G}_{C}$ относительно точки $C$ выражения, аналогичные выражениям (45.16) на стр. 493 и (45.18) и (45.19) на стр. 494:
\[
\left.\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} M v_{C}^{2}+\frac{1}{2}\left(J_{X X} \omega_{X}^{2}+J_{Y Y} \omega_{Y}^{2}+J_{Z Z} \omega_{Z}^{2}-2 J_{Y Z} \omega_{Y} \omega_{Z}-\right. \\
\left.-2 J_{Z X} \omega_{Z}{ }^{\omega_{X}}-2 J_{X Y} \omega_{X} \omega_{Y}\right) ; \quad \\
K_{X}=\frac{\partial T}{\partial v_{C X}}=M v_{\mathrm{ex},}, \quad K_{Y}=\frac{\partial T}{\partial v_{C Y}}=M v_{C Y}, \quad K=\frac{\partial T}{\partial v_{C Z}}=M v_{C Z} ; \\
G_{C X}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{X}}, \quad G_{C Y}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{Y}}, \quad G_{C Z}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{Z}} .
\end{array}\right\}(54
\]

Обратимся к закону изменения количества движенияи к закону изменения кинетического момента системы относительно центра масс $C$ [см. формулы (31.6) на стр. 304 и (31.31) на стр. 312]; закон изменения кинетического момента относительно центра масс читается так же, как в отношении к неподвижному полюсу; мы получаем:
\[
\dot{\boldsymbol{K}}=\boldsymbol{F}+R, \quad \dot{\boldsymbol{G}}_{c}=\boldsymbol{L}_{c}+\boldsymbol{H}_{C},
\]

где $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{R}$ обозначают соответттвенно главный вектор внешних активных сил и главный вектор пассивных сил, а $\boldsymbol{L}_{C}$ и $\boldsymbol{H}_{C}$ – главные моменты этих іил относительно центра масс. Выразим абсолютные производные, входящие в эти равенства, через относительные по формуле (9.18) на стр. 88; мы получим:
\[
\tilde{\dot{K}}+\bar{\omega}^{(e)} \times K=F+R, \quad \tilde{\dot{G}}_{C}+\bar{\omega}^{(e)} \times \boldsymbol{G}_{C}=\boldsymbol{L}_{C}+\boldsymbol{H}_{C} .
\]

Спроектировав эти уравнения на оси $C X Y Z$, мы получим искомые уравнения движения, отнесённые к подвижным осям. Приняв во внимание

качение шара не сопровождается скольжением, то прибавляются две неинтегрируемые связи
\[
\varphi_{1}=v_{\mathrm{X}}+a \omega_{Z}=0, \varphi_{2}=v_{\gamma}-a \omega_{\mathrm{X}}=0 .
\]

В этом случае проекции $\Phi_{\mathbf{X}}$ и $\Phi_{Y}$ силы трения $\bar{\Phi}$ играют роль множителей связей
\[
\Phi_{X}=\mu_{1}, \Phi_{Y}=\mu_{2} .
\]

При отсутствии скольжения движение шара определяется теми тремя уравнениями, которые получаются из равенств (53.4) по исключении $N$, $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{\omega}_{X}-\omega_{Z}^{(e)} \omega_{Y}+\frac{2}{7} \omega_{Y}^{(e)} \omega_{Z}=\frac{5 F_{Y}}{7 M a}, \\
\dot{\omega}_{Y}+\omega_{Z}^{(e)} \omega_{X}-\frac{2}{7} \omega_{X}^{(e)} \omega_{Z}=-\frac{5 F_{X}}{7 M a}, \\
\dot{\omega}_{Z}+\omega_{X}^{(e)} \omega_{Y}-\omega_{Y}^{(e)} \omega_{X}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Вместо $\omega_{X}$ и $\omega_{Y}$ можно ввести с помощью соотношений (54.5) $v_{C X}$ и $v_{C \gamma}$; тогда мы получим:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{v}_{C X}-\omega_{Z}^{(e)} v_{C Y}+\frac{2}{7} \omega_{X}^{(e)} \omega_{Z} a=\frac{5}{7 M} F_{X}, \\
\dot{v}_{C Y}+\omega_{Z}^{(e)} v_{C X}+\frac{2}{7} \omega_{Y}^{(e)} \omega_{Z} a=\frac{5}{7 M} F_{Y}, \\
a \dot{\omega}_{Z}-\omega_{X}^{(e)} v_{C X}-\omega_{Y}^{(e)} v_{C Y}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Значения проекций угловой скорости $\vec{\omega}^{(e)}$ зависят от движения трёхгранника $C X Y Z$ по поверхности $S_{1}$. Для выяснения зависимости названных проекций угловых скоростей от свойств поверхности припомним сказанное в $\S 69$. Mw там видели, что при переходе какой-либо точки по поверхности из положения $M$ в смежное положение $M_{1}$, отстоящее от начального на бесконечно малое расстояние $\delta \sigma$, плоскость, касательная к поверхности, повёртывается на бесконечно мальй угол $\delta \bar{\phi}=\bar{\theta} \delta \sigma$ вокруг так называемой оси полного изгиба поверхности, соответствующей тельной к дуге $M M_{1}$, а $\overline{6}$ – так называемый полный изгиб. Полный изгиб определяется формулами (10.3) на стр. 103 и (10.6) или (10.7) на стр. 105. В § 69 было, далее, указано, что полный изгиб $ө$ может быть разложен на два составляющих вектора, а именно, по направлению $\overline{\sigma^{0}}$ и по направлению $g^{0}$, лежащему тоже в касательной плоскости и перпендикулярному к $\vec{\sigma}^{0}$ :
\[
\bar{\theta}=\theta_{0} \overline{\sigma^{0}}+\theta_{g} g^{0} .
\]

Проекции $\theta_{\sigma}$ и $\theta_{g}$ полного изгиба $\bar{\theta}$ соответственно называются закручиванием поверхности по направлению $\bar{\sigma} 0$ и чистым изгибом по направлению $\bar{\sigma}^{0}$ [см. формулы (10.10) и (10.11) на стр. 106].

Возьмём теперь какую-нибудь кривую на рассматриваемой поверхности. При качении касательной плоскости по поверхности вдоль взятой

кривой прямая $A \tau$, неизменно связанная с плоскостью и совпадавшая с касательной к нашей кривой в начальном положении, после прихода плоскости в смежное положение уже отступит от касательнои; для того, чтобы привести эти прямые к совпадению, нужно касательную плоскость повернуть около нормали к поверхности на некоторый бесконечно малый угол. Таким образом, если движение касательной плоскости по выбранной кривой (следу плоскости по поверхности) подчиним ещё условию, чтобы прямая $A \tau$ всегда оставалась касательной к следу, то кроме угловой скорости около оси изгиба мы должны будем сообщить касательной плоскости еще угловую скорость верчения около нормали. Определим эту угловую скорость $\bar{\Omega}$, рассчитав ее на единицу длины. Будем исходить из того, что угол $\alpha$ между осью изгиба $\bar{\theta}$ и направлением $\bar{\sigma} 0$ определяется формулой
\[
\cos a=\frac{\bar{\theta} \cdot \overline{0}}{\theta} .
\]

Продифференцировав это уравнение по длине дуги $\sigma$, мы получим:
\[
-\sin \alpha \cdot \frac{d \alpha}{d \sigma}=\frac{\bar{\theta}}{\theta \sin \alpha} \cdot \frac{d \overline{0}}{d \sigma} ;
\]

отсюда мы найдём:
\[
\overline{\boldsymbol{Q}}=\frac{d \mathbf{a}}{d \sigma} \cdot \boldsymbol{n}^{0}=-\frac{\bar{\theta}}{\theta \sin \alpha} \cdot \frac{\overline{d \bar{\sigma}}}{d \sigma} \boldsymbol{n}^{0},
\]

где $n^{0}$ – единичный вектор нормали поверхности. Заменим здесь $\bar{\theta}$ его выражением по формуле (54.8) и примем во внимание, что при указанном способе отсчёта угла мы всегда будем иметь
\[
\theta \sin \alpha=-\theta_{g} ;
\]

кроме того, вспомним, что согласно формуле (4.20) на стр. 36 справедливо равенство
\[
\frac{\overline{d \sigma} 0}{d \sigma}=\frac{\bar{v}}{\rho},
\]

где $\bar{
u} 0$ есть единичный вектор главной нормали кривой $M M_{1}$, а $\rho$ – её ралиус кривизны; наконец, примем во внимание, что $\sigma^{0} \cdot \bar{
u}^{0}=0$; в результате после сокращений мы получим:
\[
\bar{\Omega}=\frac{g^{0 \cdot \bar{p}}}{\rho} n^{0} .
\]

На основании формулы (21.10) на стр. 200 отсюда вытекает, что
\[
\Omega=\frac{1}{\rho_{g}},
\]
т. е. модүль искомой угловой скорости численно равен геодезической ности и главной нормалью кривой $M M_{1}$ и воспользовавшись формүлами (21.9) и (21.11) на стр. 199 и 200 , можно также написать
\[
Q=\frac{\left|\operatorname{tg}\left(\widehat{n^{0}, \bar{y}^{0}}\right)\right|}{\rho_{n}},
\]

где $p_{n}$ есть радиус кривизны нормального сечения.

На основании сканного, если мы ось $C X$ направим по касательной к траектории центра шара в сторону его движения, то найдём:
\[
\begin{array}{l}
v_{C X}=v_{c} \text {, } \\
v_{C Y}=0 \text {, } \\
\omega_{X}^{(e)}=\theta_{\sigma} \frac{d \sigma}{d t}=\theta_{\sigma} v_{C}, \quad \omega_{Y}^{(e)}=\theta_{\rho} \frac{d \sigma}{d t}=\theta_{g} v_{C}=\frac{v_{C}}{\rho_{n}}, \quad \omega_{Z}^{(e)}=\frac{1}{\rho_{g}} \frac{d \sigma}{d t}=\frac{v_{C}}{\rho_{g}} . \\
\end{array}
\]

Уравнения (54.7), написанные для случая качения без скольжения, теперь примут вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{v}_{C} & =\frac{5}{7 M} F_{X}-\frac{2}{7} \theta_{\sigma} \omega_{Z} a v_{C}, \\
\frac{v_{C}^{2}}{\rho_{g}} & =\frac{5}{7 M} F_{Y}-\frac{2}{7} \theta_{g} \omega_{Z} a v_{C}, \\
a \dot{\omega}_{Z} & =\theta_{\sigma} v_{C}^{2} .
\end{array}\right\}
\]

Нормальная реакция поверхности найдётся из третьего уравнения (54.4):
\[
N=F_{Z}+M \theta_{g} v_{c}^{2} .
\]

Линия, во всех точках которой геодезическал кривизна $\frac{1}{\rho_{g}}$ равна нулю, как известно, называется геодезической. Если $\rho_{g}$ шару не приложено никаких заданных сил, г. е. если $F=0$, то согласно равенству (54.9) центр его может описывать геодезическую линию лишь гри условии, что $\omega_{z}=0$; постоянство же $\omega_{z}$ требует, чтобы было $\theta_{\sigma}=0$. Но главная нормаль геодезической линии совпадает с нормалью к поверхности; следовательно, если $\theta_{a}=0$ вдоль всей геодезической линии, то эта линия не имеет кручения, иначе говоря, она является плоской кривой. Итак, центр шара может описывать геодезическую Фиг. 153. линию только тогда, когда она плоская.

Положим теперь, что на поверхности $S_{1}$ мы построили ортогональную сеть линий кривизны, характеризуемых, как известно, тем, что по их направлениям закручивание поверхности равно нулю: $\theta_{\sigma}=0$. Пусть при этом оси $C X$ и $C Y$ постоянно касаются соответствующих линий кривизны (фиг. 153). Заметим, что оси $C X Y Z$ можно перевести из их первоначального положения в смежное положеняе $C^{\prime} X^{\prime} Y^{\prime} Z^{\prime}$ или прямо, заставив сначала пройти путь $C C^{\prime}=d \sigma$, или сначала гередвинуть оси из положения $C X Y Z$ в положение $C^{\prime \prime} X^{\prime \prime} Y^{\prime \prime} Z^{\prime \prime}$ по элементу $d \sigma_{1}$ одной линии кривизны, а затем из положения $C^{\prime \prime} X^{\prime \prime} Y^{\prime \prime} Z^{\prime \prime}$ в положение $C^{\prime} X^{\prime} Y^{\prime} Z^{\prime}$ по элементу $d \sigma_{2}$ другой линии кривизны. При движении по $d \sigma_{1}$ оси повернутся вокруг прямой $C X$ на угол
\[
\theta_{g} d \sigma_{1}=\frac{d \sigma_{1}}{\rho_{1 n}}
\]

и вокруг прямой $C Z$ на угол
\[
\frac{d o_{1}}{\rho_{1 g}}=\frac{\operatorname{tg}\left(\widehat{n^{0}, v_{1}^{0}}\right)}{\rho_{1 a}} \cdot d \dot{\sigma}_{1},
\]

где $p_{1 n}, p_{10}, \vec{
u}_{1}^{0}$ и $n^{0}$ соответственно являютс радиусом кривизны нормального сечения через ось $C Y$, радиусом геодезической кривизны для первой линии крявизны, единичным вектором ее главной нормали и єдиничным вектором нормали к поверхности. Подобным же образом во второй стадии движения по $d \sigma_{2}$ оси повернутся на угол
\[
\theta_{g} d \sigma_{2}=-\frac{d \sigma_{2}}{\rho_{2 n}}
\]

вокруг оси $C X$ и на угол
\[
\frac{d \epsilon_{2}}{\rho_{2 g}}=\frac{\operatorname{tg}\left(\widehat{\boldsymbol{n}^{0}, \bar{y}_{2}^{0}}\right)}{\rho_{2 n}} d \sigma_{2}
\]

вокруг оси $C Z$; обозначения здесь те же, что и выше. Заметив, что
\[
\frac{d \sigma_{1}}{d t}=v_{C Y}, \frac{d s_{2}}{d t}=v_{C X},
\]

мы получим следующие выражения для проекций угловой скорости трёхгранника $C X Y Z$ :
\[
\omega_{X}^{(e)}=\frac{v_{C Y}}{\rho_{1 n}}, \quad \omega_{Y}^{(e)}=-\frac{v_{C X}}{\rho_{2 n}}, \quad \omega_{Z}^{(e)}=\frac{v_{C X}}{\rho_{1 g}}+\frac{v_{C Y}}{\rho_{2 g}} .
\]

Последнее из уравнений (54.4) перепишется теперь так.
\[
\dot{\omega}_{Z}=\frac{v_{C Y}}{\rho_{1 n}} \omega_{X}+\frac{v_{C X}}{\rho_{2 n}} \omega_{\gamma} .
\]

С другой стороны, в случае качения без скольжения мы согласно последнему из уравнений (54.7) имеем
\[
a \dot{\omega}_{Z}=v_{c x^{0}}{ }_{C Y}\left(-\frac{1}{\rho_{1 n}}+\frac{1}{\rho_{2 n}}\right) .
\]

Отсюда мы видим, что $\omega_{Z}=$ const. или при $\rho_{1 n}=\rho_{2 n}$, т. е. при качении шара по шару, или при $v_{c x^{v}}{ }_{c Y}=0$, т. е. когда центр шара описывает на поверхности $S_{1}$ линию кривизны.

Если силы, приложенные к шару, имеют силовую функцию, а движение происходит 6 ез скольжения, то легко получить из уравнений (54.7) интеграл энергии. Действительно, тогда по условию мы имеем
\[
F_{\mathrm{X}} v_{C \mathrm{X}} d t+F_{\gamma^{v}} v_{C \gamma} d t=d U,
\]

где $U$-силовая функция; с другой стороны, из уравнений (54.7) мы выводим:
\[
2 v_{C X} \dot{v}_{C X}+2 v_{C Y} \dot{v}_{C Y}+\frac{4}{7} a \omega_{Z} \dot{\omega}_{Z}=\frac{10}{7 M}\left(F_{X} v_{C X}+F_{Y} v_{C Y}\right)=\frac{10}{7 M} \dot{U} .
\]

Отсюда мы находнм искомый интеграл
\[
M\left(v_{C X}^{2}+v_{C Y}^{2}\right)+\frac{2}{7} M a^{2} \omega_{Z}^{2}=\frac{10}{7} U+2 h .
\]