178. Закон изменения количества движения системы (закон движения центра масс). Уравнения движения несвободной системы, рассмотренные нами в предыдущей главе, имеют вид
\[
m_{v} w_{v}=F_{v}+R_{v} \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

Здесь $F_{v}$ и $R_{
u}$ соответственно означают равнодействующую активных сил

и равнодействующую реакции, приложенных к частице $m_{\text {v }}$. Просуммируем равенство (31.1) по всем частицам системы; мы получим выражение:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} w_{v}=\sum_{v=1}^{n} F_{v}+\sum_{v=1}^{n} R_{v}
\]

Займёмся отдельно изучением левсй и правой частей этого равенства. Выражение, стоящее в левой части, может быть следующим образом выражено через скорости частиц системы:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} w_{v}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} \dot{v}_{v}=\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v}
\]

Произведение $m_{v} \boldsymbol{v}$, мы в своё время назвали количеством движения $\boldsymbol{K}_{\mathbf{v}}$ частицы $m_{v}(\S 100)$ :
\[
\boldsymbol{K}_{v}=m_{\vee} \boldsymbol{v}_{v} .
\]

Величнна $\boldsymbol{K}$, равная сумме количестз движения всех частиц системы, носит название количества движения системы:
\[
\boldsymbol{K}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v}
\]

Количество движения системы весьма просто выражается через скорость её центра масс $C$ :
\[
K=\sum_{y=1}^{n} m_{v} \dot{r}_{v}=\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} m_{v} r_{v}=\frac{d}{d t} M r_{C}=M \dot{r}_{C},
\]

где $M$ есть масса всей системы, а $\boldsymbol{r}_{C}$ – радиус-вектор её пентра масс [см. формулу (25.3) на стр. 244, относяцуюся к статическому моменту системы]; таким образом, количество движения системы равно количеству движения её центра масс в предположении, что в нём сосредоточена масса всей системы:
\[
K=M \boldsymbol{v}_{C} .
\]

Сумму $\sum_{v=1}^{n} F_{v}$ активных сил системы можно представить в более простом виде, если разделить активные силы на внутренние и внешни е: будем называть данную активную силу внутренней и обозначать $\boldsymbol{F}_{\gamma}^{(i)}$, сматриваемой материальной системы; если же данная сила́ является силой, с которой на частицу $m_{v}$ системы действуют массы, не принадлежащие к системе, мы эту силу будем называть внешней и обозначать $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{e})$. По третьему закону Ньютона все внутренние силы системы можно сгруппировать по признаку <действие и епротиводействие». Каждые две такие силы будут действовать вдоль одной и той же прямой и в сумме будут давать нуль. Отсюда мы приходим к заключению, что равны нулю, вопервых, сумма всех внутренних сил, или их главный вектор $\boldsymbol{F}^{(l)}$, и, вовторых, сумма моментов, или главный момент $\boldsymbol{L}_{O}^{(i)}$ всех внутренних сил относительно произвольного центра $O$, т. е.
\[
\left.\begin{array}{rl}
F^{(i)} & =\sum_{v=1}^{n} F_{v}^{(i)}=0, \\
r_{O}^{(i)} & =\sum_{v=1}^{n} \operatorname{mom}_{o} F_{v}^{(i)}=0 .
\end{array}\right\}
\]

На основании первого свойства мы можем сумму всех активных сил, входящую в равенство (31.2), заменить суммой, или главным вектором $F^{(e)}$, одних лишь внешннх активных сил:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v}=\sum_{v=1}^{n} F_{v}^{(e)}=F^{(e)}
\]

Обратимся ко второму слагаемому правой части, т. е. к сумме, или главному вектору, всех реакций:
\[
R=\sum_{v=1}^{n} R_{v}
\]

Этот вектор, очевидно, равен нулю для свободной системы, т. е. когда никаких связей вообще нет. Но, кроме свободной системы, сүществует ряд других систем, когда он равен нулю. В случае идеальных связей (§ 175 ) достаточным признаком обращения в нуль главного вектора реакций служит то обстоятельство, фто связи допускают произвольное поступательное виртуальное перемещение системы. Действительно, для любого виртуального перемещения сумма элементарных работ реакций идеальных связей равна нулю:
\[
\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot \partial r_{v}=0
\]

при этом для поступательного перемещения множитель $\delta r_{v}$ один и тот же для всех частиц, и потому он можег быть вынесен за знак суммы, т. е. мы имеем
\[
\delta r_{v} \cdot \sum_{v=1}^{n} R_{v}=0
\]

отсюда в виду произвольности $\delta r_{\text {, }}$ находим:
\[
\sum_{v=1}^{n} R=0
\]

что мы и хотели доказать.
Представляется также интересным разделить реакции связей, подобно активным силам, на внутреннне и внешние ( $\$ 171$ ). Если внутренние связи идеальны, сумма $R^{(t)}$ их реакций равна нулю:
\[
R^{(i)}=\sum_{v=1}^{n} R_{v}^{(i)}=0 ;
\]

это вытекает из выше изложенного, потому что внутренние связи, допуская виртуальные перемещения системы как свободного абсолютно твёрдого тела, тем самым допускают и её произвольные поступательные виртуальные персмещения. Если же внутренние связи не идеальные, то, оставаясь в рамках выше приведённнх определений, мы ничего не сможемсказать о сумме их реакций. Действительно, мы до сих пор базировались на определении связи при помоци уравнений между координатами, их производными и временем. Как известно, такой аналитический образ связи

полностью определяет её реакции лишь в случае, если связь идеальна (§175). Чтобы получить полное прєдставление о реакциях не идеальной связи, нужно, как было указано, кроме уравнения иметь некоторые добавочные сведения о связи; например, нужно знать, каким способом связь реализована. Так, если мы можем указать те массы, которые являются источниками данных реакций, то можно разбить связи на внуиренние и внешние по тому же признаку, как мы разделяли активные силы на внутренние и внешние. С последней точки зрения, конечно, ясно, что сумма реакций внутренних связей всегда равна нулю, независимо от того, ндеальны связи или не идеальны. В нашем общем исследовании в настоящей главе мы ограничимся установлением тех свойств несвободного движения, которые вытекают из аналитического определения связей. В частности, говоря о внутренних связях, мы будем придерживаться определения этого понятия, данного в § 171. Реакции внешних связей и их сумму в отличие от внутренних связей мы в дальнейшем будем помечать индексом $(e)$ т. е. соответственно будем писать $\boldsymbol{R}_{\gamma}^{(e)}$ и $\boldsymbol{R}^{(e)}=\sum_{
u=1}^{n} \boldsymbol{R}_{
u}^{(e)}$.

На основании предыдущих рассуждений равенство (31.2) в общем случае можно переписать так:
\[
\dot{K}=F^{(e)}+R ;
\]
т. е. производная по времени от количества движения системы равна сумме главноговекторавненних активных сил и главного вектора реакций. Это предложение носит название закона изменения количества движения механической системы в дифференциальной форме. Если внутренние связи рассматриваемой сінстемы идеальны, то производная от количества движения равна сумме вненних активных и пассивных сил (реакци й):
\[
\dot{K}=F^{(e)}+R^{(e)} .
\]

Если все связи системы идеальны и притом допускают произвольные поступательные виртуальные перемещения (например, когда связи только внутренние) или если система свободная, т. е. никаким связям вообще не подчинена, производная от количества движения равна главному вектору одиих активных внешних сил:
\[
\dot{\boldsymbol{K}}=\boldsymbol{F}^{(e)} .
\]

Основываясь на зависимости (31.3), формулу (31.6) можно представить в следующем виде:
\[
M w_{c}=F^{(e)}+\boldsymbol{R}
\]

сде $w_{C}$ есть ускорєние центра масс. Эта форма закона изменения количества движекия известна, под названием закона движения центра масс системы. Сравнивая полученное выражение с основным уравнением динамики (14.4) на стр. 135, можем сказать, что центр масс системы движется, как материальная частица, масса которой равна массе системы и к которой приложены главный вектор внешних активных снл и главный вектор реакций. В выше разобранных частных случаях (31.7) и (31.8) получаем:
\[
M w_{C}=F^{(e)}+R^{(e)}
\]

и
\[
M w_{C}=F^{(e)} .
\]

Все выведенные формулы нетрудно записать в проекция на оси декартовых координат. Так, вместо векторных равенств (31.6) и (31.9) соответственно получаем:
\[
\dot{K}_{x}=F_{x}^{(e)}+R_{x}, \quad \dot{K}_{y}=F_{y}^{(e)}+R_{y}, \quad \dot{K}_{z}=F_{z}^{(e)}+R_{z}
\]
n
\[
M \ddot{x}_{C}=F \underset{x}{(e)}+R_{x}, \quad M \ddot{y}_{C}=F_{y}^{(e)}+R_{y}, \quad M \ddot{z}_{C}=F_{z}^{(e)}+R_{z} ;
\]

в случае же $R=0$ имеем
\[
M \ddot{x}_{C}=F \underset{x}{(e)}, \quad M \ddot{y}_{C}=F \underset{y}{(e)}, \quad M \ddot{z}_{C}=F_{z}^{(e)} .
\]

Умножив обе части равенства (31.6) на $d t$, мы приведём закон изменения количества движения в дифференциальной форме к новому виду, который нам вполледствии пригодится; а именно, мы получим:
\[
d \boldsymbol{K}=\boldsymbol{F}^{(e)} d t+\boldsymbol{R} d t,
\]
т. е. дифференциал количества движения системы равен сумме элементарных импульсов (§ 100) главного вектора внешних активных сил и главного вектора реакций. Проинтегрировав это уравнение в соответствующих друг другу пределах $\left(t_{0}, \boldsymbol{t}\right)$ и $\left(\boldsymbol{K}_{0}, \boldsymbol{K}\right)$, найлём:
\[
K-K_{0}=\int_{t_{0}}^{t} F(e) d t+\int_{t_{0}}^{t} R d t
\]

интегралы, стояшие в правой части равенства, соответственно представляют собой импульсы сил $\boldsymbol{F}^{(e)}$ и $\boldsymbol{R}$ за промежуток времени $\left(t_{0}, t\right)$. Мы получили закон изменения количества двнжения в интегральной, или конечной, форме: приращение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов главного вектора внешних сил и главного вектора реакций за тот же промежуток времени.

179. Интегралы количества движения. Закон сохранения движения центра масс. Когда каждый из векторов $\boldsymbol{F}^{(e)}$ и $\boldsymbol{R}$ обращается в нуль или, вообще, когда их сумма равна нулю, тогда равенство (31.6) даёт
\[
\dot{K}=0 .
\]

Отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае количество движения системы постоянно (по модулю и направлению):
\[
K=c \text {, }
\]

где $c$ – произвольная постоянная вєкторная величина; в проекциях последнее равенство записывается так:
\[
K_{x}=c_{x}, \quad K_{y}=c_{y}, \quad K_{z}=c_{z} .
\]

Таким образом, в случае $\boldsymbol{F}^{(e)}+\boldsymbol{R}=0$ закон количества движения даёт 20 г. к. суслов

один векторный, или три скалярных первых интеграла дифференциальных уравнений движения системы. Эти интегралы носят название интегралов количества движения. Вспомнив выражение (31.3) для количества движения, мы можем интеграл (31.11) переписать в виде
\[
\boldsymbol{v}_{C}=\boldsymbol{c}^{\prime},
\]

где $\boldsymbol{c}^{\prime}=\frac{c}{M}$; как видим, скорость центра масс постоянна, т. е. он движется прямолинейно и равномерно, или, как говорят, инерциально. Это положение известно под названием закона сохранения движения центра масс.

Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае, когда сумма главного вектора внешних сил и главного вектора реакций равна нулю, т.. e.
\[
F^{(e)}+\boldsymbol{R}=0,
\]

существуют также вторые интегралы уравнений движения, один векторный, или три скалярных; действительно, проинтегрировав уравнение (31.13), мы находим:
\[
r_{C}=c^{\prime} t+c^{\prime \prime},
\]

где $c^{\prime \prime}$ – новая произвольная постоянная; в проекциях получаем:
\[
x_{c}=c_{x}^{\prime} t+c_{x}^{\prime \prime}, \quad y_{c}=c_{y}^{\prime} t+c_{y}^{\prime \prime}, \quad z_{c}=c_{z}^{\prime} t+c_{z}^{\prime \prime} .
\]

Построим для какого-нибудь полюса, например начала $O$ координат, годограф переменного с течением времени вектора $K$. Если сумма $F^{(e)}+\boldsymbol{R}$ внешних активных сил и реакций перпендикулярна оси $O \boldsymbol{x}$ и, следоватсльно, справедлив первый из интегралов (31.12), то рассматриваемый годограф будет плоской кривой, и плоскость её будет перпендикулярна оси $O x$. Когда сумма векторов $\boldsymbol{F}^{(e)}+\boldsymbol{R}$ параллельна оси $O z$ и, следовательно, выполняются два первые равенства (31.12), годограф вектора $\boldsymbol{K}$ будет отрезком прямой, параллельной оси $\mathrm{Oz}$. Наконец, когда $\boldsymbol{F}^{(e)}+\boldsymbol{R}=0$ и, следовательно, имеют место все три интеграла (31.12), или, иначе говоря, соблюдается закон сохранения двнжения центра масс, рассматриваемый годограф вырождается в точку.
180. Закон изменения кинетического момента. Умножим обе части уравнения (31.1) векторно на радиус-вектор $\boldsymbol{r}_{\mathrm{v}}$ частицы; приняв во внимание, что
\[
r_{\vee} \times m_{v} w_{v}=r_{v} \times \frac{d}{d t}\left(m_{v} v_{v}\right)=\frac{d}{d t}\left(r_{v} \times m_{v} v_{v}\right),
\]

мы получим:
\[
\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{r}_{v} \times m_{v} v_{v}\right)=\boldsymbol{r}_{v} \times \boldsymbol{F}_{\mathrm{v}}+\boldsymbol{r}_{\mathrm{v}} \times \boldsymbol{R}_{\mathrm{v}} .
\]

Просуммировав это равенство по всем частицам системы, найдём:
\[
\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n}\left(r_{v} \times m_{v} \boldsymbol{v}_{v}\right)=\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v}+\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times R_{v} .
\]

Кинетический момент частицы $m_{v}$ относительно начала координат $O$ обозначим $\boldsymbol{G}_{O,}$; моменты активной силы $\boldsymbol{F}_{v}$ и реактивной $\boldsymbol{R}_{\text {y }}$ обозначим

соответственно $\boldsymbol{L}_{O}$, и $\boldsymbol{H}_{O \cdot}$. Сумма кинетических моментов всех частиц, иначе называемая кинетическим моментом системы, будет в дальнейшем обозначаться $\boldsymbol{G}_{O}$ :
\[
\boldsymbol{G}_{O}=\sum_{
u=1}^{n} \boldsymbol{G}_{O}=\sum_{
u=1}^{n} r_{v} \times m_{v} v_{v}
\]

Относительно суммы моментов всех активных сил $\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v}$ заметим, что в силу свойства (31.4) она равна сумме моментов, или главному моменту $\boldsymbol{L}_{O}^{(e)}$ одних внешних активных сил, т. е.
\[
\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v}=L_{O}^{(i)}+L_{O}^{(e)}=L_{O}^{(e)} .
\]

Сумму моментов или главный момент реакций обозначим $\boldsymbol{H}_{O}$ :
\[
H_{O}=\sum_{v=1}^{n} H_{O_{v}}=\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times R_{v}
\]

Этот момент равен нулю для свободной системы, а также в тех случаях, когда реакции всё время проходят через неподвижный центр $O$ (начало координат) или когда они приводятся х силам такого вида. Указанные случаи, конечно, нс единственные. Достаточным признаком того, что главный момент реакций относительно данного центра обращаегся в нуль, служит то обстоятельство, что связи системы идеальны и допускают в числе виртуальных перемещений вращения вокруг произвольной оси, проходящей через этог центр. В самом деле, раз связи идеальные, то сумма элементарных работ реакций на любом виртуальном перемещении равна нулю:
\[
\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot \delta r_{v}=0
\]

Если направление оси, проходящей через точку $O$, задано единичным вектором $\bar{\omega}^{0}$, расположенным на этсй оси, поворот системы вокруг этой оси на бесконечно малый угол $\delta^{\prime} \rho$ может быть изображён вектором $\delta$ ‘р $\bar{\omega}^{0}$; при этом перемещения $\delta r_{
u}$ частиц выразятся через вектор $\delta^{2} \rho \bar{\omega}^{0}$ так же, как скорости $\boldsymbol{
u}_{\text {y }}$ частиц через угловую скорость $\bar{\omega}$, т. е.
\[
\hat{\delta} r_{v}=\hat{\delta} \varphi \bar{\omega}^{0} \times r_{v} .
\]

Подставим это выражение в уравнение (31.16) и произведём циклическую перестановку сомножителей векторно-скалярного произведения по формуле (1.32) на стр. 11; затем вынесем множитель $\delta^{\prime}$ ? за знак суммы; получим:

отсюда, ввиду произвольности $\delta$ фр्) $^{0}$ получаем:
\[
\boldsymbol{H}_{O}=0 \text {, }
\]

что мы и желали показать. Указанному свойству удовлетворяют, например, внутренние связи, если они идеальны (§171):
\[
\boldsymbol{H}_{O}^{(i)}=0 \text {; }
\]

действительно, допуская перемещения системы как абсолютно твёрдого тела, внутренние связи, в частности, допускают ее произвольное вращательное перемещение.
Равенство (31.14) мы теперь сможем переписать так:
\[
\dot{\boldsymbol{G}}_{O}=\boldsymbol{L}_{O}^{(\boldsymbol{e})}+\boldsymbol{H}_{O}
\]
т. е. производная по времени от кинетического момента системы, взятого относительно некоторого центра, равняется суммө главного момента внешних активных сил главного момента реакций относительно того же центра. В этом и состоит закон изменения кинетического момента системы. Если внутренние связи системы идеальны, то в последнем равенстве вместо главного момента $\boldsymbol{H}_{O}$ всех реакций можно поставить главный момент $\boldsymbol{H}_{O}^{(e)}$ реакций одних внешних связей:
\[
\dot{\boldsymbol{G}}_{o}=\boldsymbol{L}_{0}^{i e)}+\boldsymbol{H}_{O}^{(e)} .
\]

Если все связи системы идеальны и допускают произвольные вращательные перемещения вокруг осей, проходяцих через центр $O$ моментов (например, когда связи только внутреннис), илй если система свободная, производная от кинетического момента равна главному моменту одних активных внешних сил:
\[
\dot{\boldsymbol{G}}_{O}=\boldsymbol{L}_{O}^{(e)} .
\]

Момент вектора относительно точки, спроектированный на некоторую ось, проходящую через эту точку, как известно, иначе называется моментом вектора относительно данной оси. Поэтому, спроектировав равенства (31.17), (31.18) и (31.19) на оси координат, мы должны будем в соответствующих формулировках слова момент относительно центра заменить словами емомент относите.ьно оси». Уравнение (31:17) в проекциях на оси декартовых координат будет выглядеть следующим образом:
\[
\dot{G}_{O x}=L_{O x}^{(e)}+H_{O x}, \quad \dot{G}_{O y}=L_{O y}^{(e)}+H_{O y}, \quad \dot{G}_{O z}=L_{O z}^{(e)}+H_{O z},
\]

или, в более подробной записи,
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(y_{v} \dot{z}_{v}-z_{v} \dot{y}_{v}\right) & =\sum_{v=1}^{n}\left(y_{v} F_{v z}^{(e)}-z_{v} F_{v y}^{(e)}\right)+\sum_{v=1}^{n}\left(y_{v} R_{v z}-z_{v} R_{v y}\right), \\
\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(z_{v} \dot{x}_{v}-x_{v} \dot{z}_{v}\right) & =\sum_{v=1}^{n}\left(z_{v} F_{v x}^{(e)}-x_{v} F_{v z}^{(e)}\right)+\sum_{v=1}^{n}\left(z_{v} R_{v x}-x_{v} R_{v z}\right), \\
\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(x_{v} \dot{y}_{v}-y_{v} \dot{x}_{v}\right) & =\sum_{v=1}^{n}\left(x_{v} F_{v y}^{(e)}-y_{v} F_{v x}^{(e)}\right)+\sum_{v=1}^{n}\left(x_{v} R_{v y}-y_{v} R_{v x}\right) .
\end{aligned}
\]

181. Интегралы кинетического момента (интегралы площадей). Закон сохранения кинетического момента. Когда каждый из момен-

тов $\boldsymbol{L}_{O}^{(e)}$ и $\boldsymbol{H}_{O}$ обращается в нуль нли когда хотя бы только их сумма равна нулю, тогда равенство (31.17) даёт
\[
\dot{\boldsymbol{a}}_{O}=0 .
\]

Отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае кинетический момент системы постоянен (по модулю и направлению):
\[
\boldsymbol{G}_{o}=\boldsymbol{C}
\]

где $\boldsymbol{C}$-произвольная постоянная векторная величина; в проекциях на оси координат последнее равенство записывается так:
\[
a_{o x}=C_{x}, G_{O y}=C_{y}, \quad G_{o z}=C_{z} .
\]

Таким образом, в случае $\boldsymbol{L}_{O}^{(e)}+\boldsymbol{H}_{O}=0$ закон изменения кинетического момента даёт один векторный, или три скалярных первых интеграла дифференциальных уравнений движения системы. Эги интегралы носят название ингегралов кинетическогомомента. Свойство кинетического момента, выражаемое интегралом (31.20), называют законом сохранения кинетического момента.

Кинетический момент частицы $m_{v}$, как известно, равен удвоенному произведению её массы на секторную скорость [формула (18.14) на стр. 159]:
\[
\boldsymbol{G}_{O v}=r_{v} \times m_{v} \boldsymbol{v}_{v}=2 m_{v} \boldsymbol{S}_{O v} .
\]

На этом основании выражение (31.20) можно переписать так:
\[
2 \sum_{v=1}^{n} m_{v} S_{O_{v}}=\boldsymbol{C} .
\]

Эта форма интеграла кинетического момента называется интегралом площадей. Итак, если $\boldsymbol{L}_{O}^{(e)}+\boldsymbol{H}_{O}=0$, сумма произведений масс частиц на их секторные скорости относительно начала $O$ координат постоянна. Постоянной будет, конечно, и сумма произведений масс на проекции секторных скоростей на любую ось $O u$, характеризуемую единичным вектором $\boldsymbol{u}^{0}$; это непосредственно усматривается из того равенства, которое получается из интеграла (32.22) путём его умножения на $\boldsymbol{u}^{0}$ :
\[
2 \sum_{v=1}^{n} m_{v} s_{O v} \cdot \boldsymbol{u}^{0}=\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{u}^{0} .
\]

Правая часть, а следовательно, и левая проходит через максимум при $\boldsymbol{u}^{0}=\boldsymbol{G}_{O}^{0}$. Иначе говоря, если мы станем следить за проекциями частиц $m_{\mathrm{v}}$ на различные плоскости, проходящие через начало координат, то увидим, что радиусы-векторы проекций частиц, движущихся в плоскости, перпендикулярной к кинетическому моменту $\boldsymbol{a}_{O}$, ометают в сумме наибольшие площади за единицу времени. По этой причине плоскости, перпендикулярные к кинетическому моменту, называются плоскостями максимума площадей; иначе их называют неизменными плоскостями Лапласа (Laplace); уравнение семейства этих плоскостей, очевидно, следующее:
\[
a_{o} \cdot r=\gamma
\]

или, в скалярной форме,
\[
G_{O x} x+G_{O y} y+G_{O z} z=y,
\]

где $\gamma$ – произвольная постоянная.
Построим из какого-либо полюса, например, начала координат $O$, годограф переменного с течением времени вектора $\boldsymbol{G}_{O}$. Если главный момснт активных сил и реакций системы относительно неподвижной оси $O X$ обращается в нуль, то мы будем иметь один интеграл площадей $G_{o x}=C_{x}$, и рассматриваемый годограф будет плоской кривой, расположенной в плоскости, перпендикулярной оси $O x$. Когда главный момент активных сил и реакций системы обращается в нуль относительно двух координатных осей, например осей $O x$ и $O y$, мы будем иметь два интеграла площадей: $G_{O x}=C_{x}, G_{O y}=C_{y}$, и годограф будет отрезком прямой, параллельной оси $O z$. Наконец, когда выполняется закон сохранения кинетического момента, т. е. имеют место все три интеграла (31.21), рассматриваемый годограф вырождается в точку.

182. Теорема Якоби. Для того случая, когда материальная система состоит всего из двух частиц $m_{1}$ и $m_{2}$, Якоби (Jacobi) дал закону сохранения кинетического момента следующую геометрическую форму. Пусть $m_{1}$ и $m_{2}$ – частицы системы, $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ – их скорости, $\boldsymbol{G}_{1}$ и $\boldsymbol{G}_{2}-$ их кинетические моменты относительно начала координат (фиг. 112). Тогда кинетический момент $\boldsymbol{G}$ системы представится диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\boldsymbol{G}_{1}$ и $\boldsymbol{G}_{2}$. По условию вектор $\boldsymbol{G}$ постоянен по модулю и по направлению. Плоскости, проходящие соответственно через начало координат и скорости $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, назовём $P$ и $Q$. Плоскость $P$, очевидно, перпендикулярна к вектору $\boldsymbol{G}_{1}$, а $Q$ к $\boldsymbol{G}_{2}$; следовательно, каждая из эгих плоскостей перпендикулярна к плоскости параллелограмма, построенного на векторах $\boldsymbol{G}_{1}, \boldsymbol{G}_{2}$; линия их пересечения $O A$ также перпендикулярна к плоскости этого параллелограмма, а значит, и к постоянному направлению вектора $\boldsymbol{G}$. Итак, оказывается, что три плоскости, $P, Q$ и плоскость, проведённая через точку $O$ перпендикулярно к кинетическому моменту $\boldsymbol{G}$, пересекаются по одной прямой. Другими словами, геометрическим местом прямых встречи плоскостей $P$ и $Q$, проведённых через начало координат и скорости движущихся частиц, служит неизменяемая плоскостей Лапласа.

183. Объединение законов изменения количества движения и кинетического момента системы в один закон. Если вспомнить определение геометрической производной ог системы скользящих векторов (§31), то оба закона, закон изменения количества движения (31.6) и закон изменения кинетического момента (31.17), можно соединить в один. Действительно, обозначим буквой $S$ систему векторов $m_{v} \boldsymbol{v}_{v}$, т. е. количеств движения частиц материальной системы, и буквой $\sum$ систему векторов $\boldsymbol{F}_{v}^{e)}+\boldsymbol{R}_{v}$,
т. е. приложенных к этим частицам внешних активных сил и реакций. Система $S$ для неподвижного полюса $O$ (начала координат) характеризуется своим главным вектором $K$, т. е. количеством движения материальной системы, и своим главннм моментом $\boldsymbol{G}_{O}$, т. е. кинетнческим моментом системы относительно полюса $O$. Система $\Sigma$ для того же по-

люса характеризуется своим главным вектором $F^{(e)}+R$ и главным моментом $\boldsymbol{L}_{O}^{(e)}+\boldsymbol{H}_{O}$ внешних активных сил и реакций:
\[
S=\left(K, G_{o}\right), \quad \Sigma=\left(F^{(e)}+R, \quad \boldsymbol{L}_{O}^{(e)}+H_{O}\right) .
\]

Согласно выше сказанному производная по временн от системы скользящих векторов, равных количествам движения частиц системы, эквивалентна системе скользящих векторов, равных внешним активным силам и реакциям материальной системы, т. е.
\[
\dot{S} \equiv \Sigma \text {. }
\]

В этом и состоит общее выражение закона изменения количества движения системы и закона изменения её кинетического момента.

Посмотрим, какое обобщение получат эти законы, если за полюс будет взята некоторая движущаяся точка $A$ с радиусом-вектором $r_{A}$. В этом случае, вместо формул (31.24), мы для систем $S$ и $\Sigma$ будем иметь выражения:
\[
S=\left(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{G}_{A}\right), \quad \boldsymbol{\Sigma}=\left(\boldsymbol{F}^{(e)}+\boldsymbol{R}, \boldsymbol{L}_{A}^{(e)}+\boldsymbol{H}_{A}\right) .
\]

Производная $\dot{S}$ от системы $S$ в случае подвижного полюса должна быть составлена по формуле (4.32) на с.р. 39, т. е. мы имеем
\[
\ddot{S}=\left(\dot{K}, \dot{\boldsymbol{a}}_{A}+\dot{\boldsymbol{r}}_{A} \times K\right)=\left(\ddot{\boldsymbol{K}}, \dot{\boldsymbol{a}}_{A}+\boldsymbol{v}_{A} \times \boldsymbol{K}\right) .
\]

Следовательно, уравнение (31.25) теперь распадается на следующие два:
\[
\begin{aligned}
\dot{\boldsymbol{K}} & =\boldsymbol{F}^{(e)}+\boldsymbol{R}, \\
\dot{\boldsymbol{G}}_{A}+\boldsymbol{v}_{A} \times \boldsymbol{K} & =\boldsymbol{L}_{A}^{(\boldsymbol{e}}+\boldsymbol{H}_{A} .
\end{aligned}
\]

Как видим, подвижность полюса сказывается лишь на выражении закона изменения кинетического момента. Посмотрим, не найдётся ли, однако, такой подвижной полюс $A$, для которого закон изменения кинетического момента пишется так же, как для неподвижного полюса. Согласно сказанному в § 32 для этого необходимо и достаточно, чтобы векторное произведение вектора $\dot{r}_{A}$, т. е. раднуса-вектора полюса, производного от данного, на главный вектор системы, т. е. на $\boldsymbol{K}$, равнялось нулю, т. е. чтобы соблюдалось условие
\[
\boldsymbol{v}_{A} \times \boldsymbol{v}_{C}=0 \text {. }
\]

Необходимость и достаточность этого условия могут быть также непосредственно усмотрены из сопоставления уравнений (31.17) и (31.27). Найденное условие, например, выполняется, если скорость полюса $A$ коллинеарна со скоростью центра масс. Как частный случай отметим, что искомым полюсом может служить сам центр масс. Из бесчисленного множества других подвижных полюсов, для которых закон изменения кинетического момента пишется так же, как для неподвижного полюса, укажем следующий: соединим центр масс $C$ с произвольной неподвижной точкой $B$ и на прямой $C B$ возьмём точку $A$ так, чтобы всегда было
\[
\frac{B A}{B C}=\text { const. }
\]

Как нетрудно увндеть, точка $A$ будет удовлетворять условию (31.28).

Остановим наш выбор на центре масс $C$ и подтвердим сказанное о нём непосредственными вычислеғиями. Возьмём систему осей $C \xi$, параллельных осям непоцвижной системы Oxyz, движущихся поступательно вместе с центром масс $C$. Обозначим радиусы-векторы частицы $m_{v}$ в старых и новых осях соответственно $\boldsymbol{r}_{v}$ и $\bar{\rho}_{v}$, а радиус-вектор центра масс $C$ в старых осях назовём $r_{C}$. Очевидно,
\[
r_{v}=\boldsymbol{r}_{C}+\bar{\rho}_{
u}
\]

Вставив это выражение радиуса-вектора $\boldsymbol{r}_{\downarrow}$ в формулу (31.14), мы найдём:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} r_{C} \times m_{v} v_{v}+\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times m_{v} v_{v}= \\
=\sum_{v=1}^{n} r_{C} \times F_{v}+\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times F_{v}+\sum_{v=1}^{n} r_{C} \times R_{v}+\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times R_{v} .
\end{array}
\]

Первое слагаемое левой части уничтожается здесь с первым и третьим слагаемыми правой части; в самом деле, произведя указанное в первом слагаемом дифференцирование, мы получаем:
\[
\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} r_{C} \times m_{v} v_{v}=v_{C} \times \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v}+r_{C} \times \sum_{v=1}^{n} m_{v} w_{v} ;
\]

но $\sum_{
u=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{v}=M \boldsymbol{v}_{C}$, и потому выражение $\boldsymbol{v}_{C} \times \sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{v}$ как произведе-
ние коллинеарных множителей равно нулю; с другой стороны, согласно формуле (30.8) на стр. 292 мы имеем
\[
m_{v} w_{v}=F_{v}+R_{v} ;
\]

значит, действительно, справедливо равенство
\[
\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} r_{C} \times m_{v} v_{v}=\sum_{v=1}^{n} r_{C} \times F_{v}+\sum_{v=1}^{n} r_{C} \times \boldsymbol{R}_{v}
\]

На этом основании вместо уравнения (32.23), мы получим следующее:
\[
\frac{d}{d t} \sum_{
u=1}^{n} \bar{\rho}_{
u} \times m_{v} v_{
u}=\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{
u} \times F_{v}+\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{
u} \times R_{v}
\]

или
\[
\dot{\boldsymbol{G}}_{C}=\boldsymbol{L}_{C}^{(\boldsymbol{e})}+\boldsymbol{H}_{C}
\]

где буквами $\boldsymbol{G}_{C}, \boldsymbol{L}_{C}^{(e)}$ и $\boldsymbol{H}_{C}$ обозначены кинетический момент системы и главные моменты внешних активных сил и реакций относительно центра масс $C$; внутренние активные силы не вошли по тем же основаниям, как и при выводе формулы (31.17). Полученное равенство подтверждает высказанное положение о том, что закон изменения кинетического момента системы остаётся справедливым, если за полюс, или центр, моментов взят центр масс $C$.

184. Закон изменения кинетического момента системы в её относительном движении вокруг центра масс. Интересно заметить, что. закон изменения кипетического момента будет верен и для относительного цвижения системы вокруг центра масс, или, точнее, для движения системы относительно осей $C \xi \eta$, движущихся поступательно вместе с ценгром масс. Для доказательства выразим в равенстве (31.31) абсолютную скорость $\boldsymbol{v}$ частицы через её переносную и относительную скорости; переносной скоростью, очевидно, будет скорость $\boldsymbol{v}_{C}$ центра масс, а относительную скорость мы обозначим $\boldsymbol{v}_{\gamma}^{(r)}$; следовательно,
\[
v_{v}=v_{c}+\boldsymbol{v}_{v}^{(r)}
\]

Кинетический момент $\boldsymbol{G}_{C}$ преобразуется поэтому следующим образом:
\[
\boldsymbol{G}_{C}=\sum_{
u=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times m_{v} v_{v}=\sum_{
u=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times m_{v} v_{C}+\sum_{v=1}^{n} \vec{\rho}_{v} \times m_{v} v_{v}(r) ;
\]

но
\[
\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times m_{v} \boldsymbol{v}_{C}=\left(\sum_{v=1}^{n} m_{v} \bar{\rho}_{v}\right) \times \boldsymbol{v}_{C}=0
\]

потому что статический моменг $\sum_{v=1}^{n} m_{v} \bar{\rho}_{
u}$ системы относительно ее центра масс равен нулю (§ 144 ); второе же слагаемое представляет собой кинетический момент системы в её движении относительно осей $C^{\sigma} \eta_{\zeta}$; мы его обозначим $\boldsymbol{G}_{C}^{(r)}$; выполнив подстановку, получим:
\[
\dot{\boldsymbol{G}}_{C}^{(r)}=L_{C}^{(e)}+\boldsymbol{H}_{C},
\]
т. е. теорема доказана.

Следует заметить, что равенства (31.17) и (31.32) отнюдь не тождественны. Так, может случиться, что закон сохранения кинетического момента будет соблюдаться в движении относительном и не будет справедлив для движения абсолютного, или наоборот. Пусть, например, данная система состоит из весомых частиц; тогда к каждой частице её $m_{*}$ приложена сила $m_{
u} g$ постоянного направления. Такая система сил эквивалентна одной силе, именно, весу $\boldsymbol{M g}$ системы, приложенной к центру масс. Поэтому если рассматриваемая материальная система свободная, то закон сохранения кинетического момента выполняется для относительного движения вокруг центра масс; но он не будет, вообще говоря, справедлив для движения абсолютного. Даже, если закон сохранения кинетического момента соблюдается для обоих движений, абсолютного и относительного, всё-таки постоянные во времени векторы $\boldsymbol{G}_{O}$ и $\boldsymbol{G}_{c}^{(r)}$ будут, вообще говоря, различны и по модулю, и по направлению; точно так же неизменные плоскости Лапласа для движений абсолютного и относительного будут в общем случае отличаться по своему направлению.
185. Закон изменения кинетической энергии. Вернёмся к уравнениям движения несвободной системы (30.8) на стр. 292:
\[
m_{v} w_{v}=F_{v}+R_{v} \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

Умножим скалярно каждое из этих уравнений почленно на тождество
\[
v_{v} d t=d r_{v}
\]

мы получим:
\[
m_{v} \boldsymbol{v}_{v} \cdot \boldsymbol{w}_{v} d t=\boldsymbol{F}_{v} \cdot d \boldsymbol{r}_{v}+\boldsymbol{R}_{v} \cdot d \boldsymbol{r}_{v}
\]

Левую часть преобразуем следующим образом:
\[
m_{v} \boldsymbol{v}_{v} \cdot w_{v} d t=m_{v} v_{v} \cdot d \boldsymbol{v}_{v}=m_{v} d \frac{\boldsymbol{v}_{v} \cdot \boldsymbol{v}_{v}}{2}=d \frac{m_{v} \cdot v_{v}^{2}}{2} .
\]

На этом основании последнее равенство перепишется так:
\[
d \frac{m_{v} v_{v}^{2}}{2}=F_{v} \cdot d r_{v}+R_{v} \cdot d r_{v} .
\]

Просуммировав это уравнение по всем частицам системы, мы найдём:
\[
d \sum_{v=1}^{n} \frac{m_{v} v_{v}^{2}}{2}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v}+\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot d r_{v} .
\]

Будем пользоваться следующими обозначениями:
\[
\left.\begin{array}{r}
T=\sum_{v=1}^{n} \frac{m_{v} v_{v}^{2}}{2}, \\
d^{\prime} A^{(F)}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v} \\
d^{\prime} A^{(R)}=\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot d r_{v}
\end{array}\right\}
\]

Величина $T$ носит название кинетической энергии системы; $d^{\prime} A^{(F)}$ и $d^{\prime} A^{(R)}$ представляют собой соответственно элементарные работы всех активных и всех реактивных сил, причём штрихи у буквы $d$ поставлены для того, чтобы показать, что, вообще говоря, указанные элементарные работы не являются полными дифференциалами. C помощью введённых обозначений последнее уравнение перепишется так:
\[
d T=d^{\prime} A^{\left(\boldsymbol{F}_{1}\right.}+d^{\prime} A^{(R)},
\]
т. е. дифференциал кинетической энергии равенсумме элементарных работ активных сил и реакций В этом состоит закон изменения кинетической энергии в дифференциальной форме.

Проинтегрируем выражение (31.34) в пределах, соответствующих некоторому промежутку времени $\left(t_{0}, t\right)$; при этом пусть $T_{0}$ и $T$ будут значения кинетической энергин системы в моменты времени $t_{0}$ и $t$. Положим, кроме того:
\[
A^{(F)}=\sum_{v=1}^{n} \int_{B_{v 0} B_{v}}^{\int} F_{v} \cdot d r_{v}, \quad A^{(R)}=\sum_{v=1}^{n} \underbrace{\int}_{B_{v 0} B_{v}} R_{v} \cdot d r_{v} ;
\]

под знаками сумм здесь стоят криволинейные интегралы от элементарных работ и каждый из них берётся по пути $B_{v 0} B_{v}$; существенно заме

тить, что эти интегралы, вообще говоря, зависят не только от начального и конечного положений $B_{\text {уо }}$ и $B_{\text {у }}$ частиц, но и от закона движения частиц по траекториям $\bar{B}_{\text {v0 }} B_{v}$. Выражения $A^{(\boldsymbol{F})}$ и $A^{(R)}$ представляют собои соответственно работы активных сил и реакций на рассматриваемом перемещении системы. С помощью введённых обозначений результат инте. грирования выражения (31.34) запишется так:
\[
T-T_{0}=A^{(F)}+A^{(R)} ;
\]
т. е. приращение кинетической энергии системы равно сумме соответствующих работ активных сил и реак. ций. В этом состоит закон изменения кинетической энергии в конечной, или интегральной, форме.
186. Интеграл энергии. Закон сохранения энергии. Консервативные системы. Исследуем подробнее выражение для элементарной работы реакций. Для этого вставим в третью формулу (31.33) значение $\boldsymbol{R}$, из равенства (30.15) на стр. 294; мы получим:
\[
d^{\prime} A^{(R)}=\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot d r_{v}=\sum_{
u=1}^{n}\left(\sum_{\alpha=1}^{c} \lambda_{\alpha} \operatorname{grad}_{v} f_{x}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{v}^{(\beta)}\right) \cdot d r_{v} .
\]

Примем во внимание, что $d \boldsymbol{r}_{\mathbf{v}}=\boldsymbol{v}_{\mathbf{v}} d t$, и, кроме того, переменим порядок суммирования в последнем выражении; тогда мы найдём:
\[
d^{\prime} A^{(R)}=\sum_{\alpha=1}^{a}\left(\lambda_{\alpha} d t \sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \boldsymbol{v}_{v}\right)+\sum_{\beta=1}^{b}\left(\mu_{\beta} d t \sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{v}_{v}\right) .
\]

Воспользуемся теперь условиями, ксторым подчинены скорости $\boldsymbol{v}_{\text {у }}$ частиц несвободной системы, а именно, формулами (27.7) на стр. 275 и (27.13) на стр. 277; тогда элементарную работу реакций мы сможем выразить следующим образом:
\[
d^{\prime} A^{(R)}=-\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} d t-\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} D_{\beta} d t .
\]

Отсюда мы заключаем, что если выполняются равенства:
\[
\left.\begin{array}{cc}
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}=0 & (\alpha=1,2, \ldots, a) \\
D_{\beta}=0 & (\beta=1,2, \ldots, b)
\end{array}\right\}
\]

для всех значений индексов $\alpha$ и $\beta$, т. е. если конечные связи не содержат явно времени, а дифференциальные связи однородны относительно скоростей, то элементарная работа реакций на действительном перемещении обращаетсяя в нуль. Существенно заметить, что. для того, чтобы последнес обстоятельство имело место, нет необходимости, чтобы коэффициенты $\boldsymbol{B}_{\gamma}^{(\beta)}$ дифференциальных связей не заключали в себе явно времени: нужно лишь, чтобы было $D_{\beta}=0$. Когда элементарная работа реакций равна нулю, закон изменения кинетической энергии выражается следующим уравнением:
\[
d T=d^{\prime} A^{(\boldsymbol{F})},
\]

т. е. дифференциал кинетической энергии равняется элементарной работе активных сил системы.

Пусть теперь, кроме того, активные силы имеют силовую функиию $U$, зависящую только от координат; иначе говоря; пусть существует такая функция $U$ от координат, что каждая активная сила $F_{v}$ является её градиентом в точке, определяемой раднусом-вектором $\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{v}}$, т. е.
\[
\begin{array}{c}
F_{v}=\operatorname{grad}_{v} U=\frac{\partial U}{\partial x_{v}} x^{0}+\frac{\partial U}{\partial y_{v}} y_{0}+\frac{\partial U}{\partial z_{v}} z^{0} \\
(
u=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

В таком случае элементарная работа активных сил станет полным дифференциалом; действительно,
\[
d^{\prime} A^{(F)}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v}=\sum_{v=1}^{n}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{v}} d x_{v}+\frac{\partial U}{\partial y_{v}} d y_{v}+\frac{\partial U}{\partial z_{v}} d z_{v}\right),
\]

или
\[
d^{\prime} A^{(F)}=d U .
\]

Подставив этот результат в уравнение (31.37) и проинтегрировав его, мы получим так называемый интеграл энергии
\[
T=U+h,
\]

где $h$ – произвольная постоянная. Если силовая функция является однозначной функцией координат, её значение с обратным знаком называется потенциальной энергией системы. Обозначив последнюю буквой $V$, имеем, следовательно:
\[
V=-U .
\]

Интеграл энергии (31.40) теперь принимает следующую форму:
\[
T+V=h .
\]

Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной м еханической энергией системы; интеграл энергии в форме (31.42) выражает закон сохранения механической энергии системы. Если в последнее равенство ввести начальные данные, г. е. значения $T_{0}$ и $V_{0}$ кинетической и потенциальной энергии для некоторого начального момента времени, то его можно переписать так:
\[
T-T_{0}=-\left(V-V_{0}\right) ;
\]

отсюда мы видим, что при наличии силовой функции, однозначно зависящей от одних только координат частиц, приращение кинетической энергии, а следовательно, и полная работа сил системы зависят лишь от начального и конечного положений системы; эта работа равна уменьшению потенциальной энергии системы.

Материальные системы, к которым прилагается закон сохранения механической энергии, носят название консервативных систем. Следовательно, если для связей системы соблюдаются условия (31.36), а для активных сил условие (31.38), причём функция $U$ зависит только от координат и притом однозначно, то система консервативна.

Пример 93. Найдём силовую функцию для случая, когда $n$ частиц $m$, системы взаимно притягиваются с силами, зависящими от расстояния между частицами. Пусть $m_{\vee}$ и $m_{\mu}$ – какие-либо две частицы рассматриваемой системы и пусть $\boldsymbol{r}_{v}$ и $\boldsymbol{r}_{\mu}$ – радиусы-векторы частиц, а $\boldsymbol{r}_{
u \mu}$ – расстояние между ними; о’евидно,
\[
r_{v \mu}=\left|r_{v}-r_{u}\right| \text {. }
\]

Назовём $\varphi_{
u \mu}$ модуль силы притяжения между частицами $m_{v}$ и $m_{\mu}$; тогда сами силы, с которыми эти частицы действуют друг на друга, получат выражения:
\[
f_{v}=\frac{\varphi_{
u \mu}}{r_{
u \mu}}\left(r_{\mu}-r_{v}\right) \text { и } f_{\mu}=\frac{\varphi_{\mu
u}}{r_{\mu
u}}\left(r_{v}-r_{\mu}\right) .
\]

Сумма элементарных работ $d^{\prime} A_{v \mu}$ этих сил выразится так: .
\[
d^{\prime} A_{
u \mu}=f_{v} \cdot d r_{v}+f_{\mu} \cdot d r_{\mu}=-\frac{\varphi_{v \mu}}{r_{
u \mu}}\left(r_{v}-r_{\mu}\right) d\left(r_{v}-r_{\mu}\right) ;
\]

на основании формулы (4.4) на стр. 33 с применением обозначения (31.43) мы находим отсюда:
\[
d^{\prime} A_{
u \mu}=-\varphi_{
u \mu} d r_{
u \mu} .
\]

Следовательно, элементарная работа $d^{\prime} A$ всех сил системы получит выражение:
\[
d^{\prime} A=-\frac{1}{2} \sum_{v=1, \mu=1}^{n, n} \varphi_{v \mu} d r_{v u} .
\]

По формуле (31.39) паходим отсюда искомую силовую функцию
\[
U=-\frac{1}{2} \sum_{v=1, \mu=1}^{n, n} \int \varphi_{v \mu} d r_{v \mu} .
\]

Если бы силы, действующие между частицами, были не силами притяжения, а силами отталкивания, это бы сказалось лишь на изменении знаков у коэффициентов фищ, а следовательно, и силовой функции. Если бы частицы системы притягивались или отталкивались неподвижными центрами, силовую функцию можно было бы искать так же, как и в разобранном примере.

187. Закон изменения кинетической энергии для отпосительного движения системы вокруг центра масс. Введём опять, кроме неподвижной системы осей $O x y z$, систему осей $C \varepsilon \eta$, движушуюся поступательно вместе с центром масс $C$. Движение материальной системы относительно этих осей будем ради краткости называть движением относительно (или вокруг) центра масс. Обозначим радиусы-векторы частицы $m_{v}$ в старых и новых осях соответственно $\boldsymbol{r}_{v}$ и $\bar{\rho}_{
u}$, а радиус-вектор центра масс $C$ в старых осях назовём $r_{C}$. Скорости частицы $m_{v}$ и кинетическую энергию системы в старых и новых осях обозначим соответственно $\boldsymbol{v}_{v}, T$ и $\boldsymbol{v}_{r v}, T_{r}$ : скорость центра масс $C$ в старых осях назовём $\boldsymbol{v}_{C}$. Так как
\[
v_{v}=v_{c}+v_{r v},
\]

To
\[
\boldsymbol{v}_{v}^{2}=v_{C}^{2}+2 \boldsymbol{v}_{C} \cdot \boldsymbol{v}_{r v}+v_{r v}^{2} .
\]

Поэтому кинетическая энергия системы относительно неподвижных осей может быть преобразована следуюцим образом:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v}^{2}=\frac{1}{2}\left(\sum_{v=1}^{n} m_{v}\right) v_{C}^{2}+v_{C} \cdot \sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{r v}+\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{r v}^{2} .
\]

Назвав $M$ массу всей системы, имеем
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v}=M ; \quad \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{r}=M v_{r C}=0 ;
\]

последнее равенство имеет место потому, что в относительном движении центр масс $C$ всё время совпадает с началом координат и, следовательно, пребывает в покое относительно системы $O \xi \eta \zeta$. На основании последних равенств выражение для кинетической энергии приобретает вид
\[
T=\frac{M v_{C}^{2}}{2}+T_{r},
\]
т. е. кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии ее центра масс в предположении, что в нём сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии системы в её движении относительно центра масс. Эта теорема принадлежит Кёнигу (Koenig).

Преобразуем теперь выражение элементарной работы к новым координатам. Имеем
\[
r_{v}=r_{C}+\vec{\rho}_{v},
\]

поэтому
\[
\begin{aligned}
d^{\prime} A^{(F)}+d^{\prime} A^{(R)} & =\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) \cdot d r_{v}= \\
& =\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) \cdot d r_{c}+\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) d \overline{\rho_{v}} .
\end{aligned}
\]

Подставив выражения (31.44) и (31.45) в уравнение (31.28); мы получим:
\[
d\left(\frac{M v_{C}^{2}}{2}\right)+d T_{r}=\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) \cdot d r_{C}+\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) \cdot d \rho_{v} .
\]

Согласно закону движения центра масс (§178) последний движется как материальная частица, в которой госредоточена масса всей системы и к которой приложены все действующие на систему силы. Поэтому к центру масс, как и ко всякой частице, применим закон изменения кинетической энергии, т. е. мы имеемм
\[
d\left(\frac{M v_{C}^{2}}{2}\right)=\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) \cdot d r_{c} .
\]

Заметим, кроме того, что второе слагаемое правой части в уравнении (31.46) представляет собой сумму элементарных работ активных и реактивных сил системы в её движенни относительно центра масс; введём для этих работ обозначения:
\[
d^{\prime} A_{r}^{(F)}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d \bar{\rho}_{
u} \quad \text { н } \quad d^{\prime} A_{r}^{(R)}=\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot d \bar{\rho}_{v} .
\]

Произведя почленное вычитание равенств (31.46) и (31.47) и приняв во внимание последние обозначения, мы получим:
\[
d T_{r}=d^{\prime} A_{r}^{(F)}+d^{\prime} A_{r}^{(R)},
\]

т. е. движении системы относительно центра масс, какив абсолютном движєнии, дифференциалкинетической энергии равен сумме элементарных работвсех активных сил и реакций.

Пример 94. Пусть связи системы, состоящей из $n$ частиц $m_{v}$, удовлетворяют условиям (31.36), а главный вектор резкций равен нулю: $R=0$; пусть, кроме того, силовая функция $U$ однозначна и зависит только от разностей координат. Покажем, что в этом случае закон сохранения энергии имеет место не только в абсолютном движении системы, но и в её движении относительно दентра масс. Не ограничивая общности, можно считать, что силовая функция имеет вид
\[
U=U\left(x_{v}-x_{1}, y_{v}-y_{1}, z_{v}-z_{1}\right) \quad(
u=2,3, \ldots, n) .
\]

Это следует из того, что разность между координатами любых частиц может быть выражена через разности между каждой из этих координат и координатой какой-нибудь другой частицы, например частицы $m_{1}$ :
\[
x_{
u}-x_{\mu}=x_{
u}-x_{1}-\left(x_{\mu}-x_{1}\right) .
\]

Найдём выражения для проекций активных сил $\boldsymbol{F}_{\checkmark}$ на оси неподвижной системы координат, например на ось $O X$. Для $у=2,3, \ldots n$, мы получаем:
\[
F_{v x}=\frac{\partial U}{\partial x_{v}}=\frac{\partial U}{\partial\left(x_{v}-x_{1}\right)} \frac{\partial\left(x_{v}-x_{1}\right)}{\partial x_{v}}=\frac{\partial U}{\partial\left(x_{v}-x_{1}\right)} ;
\]

проекция же силы $F_{1}$ равна
\[
F_{1 x}=\frac{\partial U}{\partial x_{1}}=\sum_{v=2}^{n} \frac{\partial U}{\partial\left(x_{v}-x_{1}\right)} \frac{\partial\left(x_{v}-x_{1}\right)}{\partial x_{1}}=-\sum_{v=2}^{n} \frac{\partial U}{\partial\left(x_{v}-x_{1}\right)} .
\]

Отсюда суммированием находим:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v x}=F_{1 x}+\sum_{v=2}^{n} F_{v x}=0 .
\]

Так как тот же результат, очевидно, получится для двух других осей, то, значит, не только главный вектор реакций, но и главный вектор активных сил равен нулю:
\[
\boldsymbol{F}=0 \text {. }
\]

Следовательно, для рассматриваемой системы соблюдается закон сохранения движения центра масс, т. е.
\[
\boldsymbol{v}_{C}=\overline{\text { const. }}
\]

Напишем теперь уравнение, выражающее закон сохранения энергии нашей системы в абсолютном движении. При этом для кинетической энергии возьмем формулу (31.44) Кёнига, а в отношении силовой функции воспользуемся тем обстоятельством, что согласно условию разбираемого примера она может быть представлена в форме
\[
U=U\left(x_{v}-x_{C}, y_{v}-y_{C}, z_{v}-z_{C}\right)=U\left(\xi_{v}, \eta_{v}, \zeta_{v}\right),
\]
т. е. в виде зависимости от одних лишь относительных координат частиц [户, пояснение к формуле (31.48)]. В результате мы получим:
\[
\frac{M v_{C}^{2}}{2}+T_{r}=U\left(\xi_{v}, \eta_{v}, \zeta_{v}\right)+h,
\]

или, согласно равенству (31.42),
\[
T_{r}+(-U)=H,
\]

где $H$ – новая произвольная постоянная. Найденное равенство подтверждает высказанное в начале положение.