298. Движение тед, связанных с нитью, которая не поддаётся кручению. Рассмотрим два примера такого движения.
Пример 149. Положим, что твёрдое тело, к которому не приложены активные силы, денжется вокруг неподвнжной точки и неизменно соединено с одним конном гибкой, весьма длинной и не поддающейся кручению нитн; другой конец нити пусть закреплен неподвижно. Пусть, кроме того, касательная к нити в точке соединения её с телом проходит через точку опоры. Найдём

движение тела. Если указанную касательную взять за ось $O \zeta$, то уравнение связи, наложенной на тело, по формуле (46.46) на стр. 517 будет
\[
\omega_{\mathrm{F}}=0 \text {. }
\]

Направим оси $O \xi$ и $O \eta$ по осям эллипса, который получается от пересечения эллипсоида инерции плоскостью, проходяшей через неподвижную точку $O$ и перпендикулярной к оси $O \zeta$; тогда кинетическая энергия $T$ тела представится так:
\[
T=\frac{1}{2}\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}-2 J_{\eta \xi} \omega_{\eta} \omega_{\xi}-2 J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \omega_{\xi}\right) .
\]

Поэтому уравнениями движения тела согласно формулам (46.59) на стр. 520 будут следующие:
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{r}
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi}-J_{n \xi}{ }^{2}-J_{\eta \xi} \omega_{\xi} \omega_{\eta}=0, \\
J_{\eta \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{\eta \xi} \omega_{\xi}^{\omega_{\eta}}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}=0,
\end{array}\right\} \\
-J_{\eta \xi} \dot{\omega}_{\eta}-J_{\tau \xi} \dot{\omega}_{\xi}+\left(J_{\eta \eta}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi} \omega_{\eta}=\mu \text {, } \\
\end{array}
\]

гле $\mu$ есть множитель связи (53.1). Умножив первое уравнение на $\omega_{\zeta}$, второе на $\omega_{\eta}$ и сложив их, мы найдемм:
\[
J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}+J_{\eta \eta} \dot{\omega}_{\eta} \dot{\omega}_{\eta}=0 .
\]

Отсюда мы интегрированием получим:
\[
J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{n \eta} \omega_{\eta_{i}}^{2}=2 h ;
\]

это – интеграл энергии. Положим теперь
\[
\omega_{\xi}=\sqrt{\frac{2 h}{J_{\xi \xi}}} \sin \chi, \quad \omega_{\eta}=\sqrt{\frac{\overline{2 h}}{J_{\eta \eta}} \cos \chi}
\]

и подставим эти выражения проекций угловой скорости в любое из уравнений (53.2); мы получим:
\[
\dot{y}=\frac{J_{\eta \xi} \sqrt{2 h}}{J_{\eta \eta} \sqrt{J_{\xi \xi}}} \cos \gamma+\frac{J_{\xi \xi} \sqrt{2 h}}{J_{\xi \xi} \sqrt{J_{m \eta}}} \sin \gamma
\]

Введём постоянные $k$ и $\gamma$, положив
\[
k^{2}=\frac{2 h}{J_{\xi \xi}^{2} J_{\eta \eta}^{2}}\left(J_{\eta \xi}^{2} J_{\xi \xi}+J_{\zeta \xi}^{2} J_{\eta \eta}\right), \quad \gamma=\operatorname{arctg} \frac{J_{\eta \eta} \sqrt{J_{\xi \xi}}}{J_{\xi \xi} \sqrt{J_{\eta \eta}}} ;
\]

тогда последнее уравнение перейдёт в слелующее:
\[
\frac{d \chi}{\sin (\chi+\gamma)}=k d t .
\]

Отсюда мы интегрированием находим:
\[
\operatorname{tg} \frac{\chi+\gamma}{2}=e^{k t+\tau}
\]

где т-произвольная постоянная. Из полученного интеграла и уравнений (53.4) мы видим, что движение тела асимптотически приближается к вращению с постоянной угловой скоростью вокруг прямой:
\[
J_{\xi \xi} \xi+J_{n \xi}=0 .
\]

Уравнение (53.3) даӗт выражение для момента реакций относительно оси $O C$.

Пример 150. Займемся теперь той связью, о которой говорилось в примере 99 на стр. 325. Пусть два твёрдых тела $S_{1}$ и $S_{2}$, движущихся вокруг неподвижных полюсов $O_{1}$ и $O_{2}$, связаны друг с другом весьма длинной, гибкой нитью, не поддающейся кручению, Для простоты положим, что касатель

ные в кониах нити совпадают с главными осями инерции тела, соответствующими точкам опоры. Оси координат $O_{1} \xi_{1} r_{1} \zeta_{1}$ и $O_{2} \xi_{2} \eta_{2} \zeta_{2}$ совместим соответственни с главными осями инерии тел для точек $O_{1}$ и $O_{2}$, притом оси $O_{1} \zeta_{1}$ и $O_{2} \zeta_{2}$ направим по касательным в концах нити в сторону её внутренней части. Моменты инериии тел $S_{1}$ и $S_{2}$ относительно указаныы осей координат осозначим соответственно через
\[
A_{1}, B_{1}, C_{1} \text { и } A_{2}, B_{3}, C_{2},
\]

а проекции угловых скоростей обозначим через
\[
p_{1}, q_{1}, r_{1} \text { и } p_{2}, q_{2}, r_{2} \text {. }
\]

Уравнение связи согласно сказанному в примере 99 напишется так:
\[
r_{1}+r_{2}=0 \text {. }
\]

Выражения кинетической энергии тел будут следующие:
\[
T_{1}=\frac{1}{2}\left(A_{1} p_{1}^{2}+B_{1} q_{1}^{2}+C_{1} r_{1}^{2}\right), \quad T_{2}=\frac{1}{2}\left(A_{2} p_{2}^{2}+B_{2} q_{2}^{2}+C_{2} r_{2}^{2}\right) .
\]

Если к телам никаких активных сил не приложено, то их уравнения движения согласно формулам (46.59) на стр. 520 напишутся так:
\[
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
A_{1} \dot{p}_{1}-\left(B_{1}-C_{1}\right) q_{1} r_{1}=0, \quad B_{1} \dot{q}_{1}-\left(C_{1}-A_{1}\right) r_{1} p_{1}=0, C_{1} \dot{r}_{1}-\left(A_{1}-B_{1}\right) p_{1} q_{1} \\
A_{2} \dot{p}_{2}-\left(B_{2}-C_{2}\right) q_{2} r_{2}=0, B_{2} \dot{q}_{2}-\left(C_{2}-A_{2}\right) r_{2} p_{2}=0, C_{2} r_{2}-\left(A_{2}-B_{2}\right) p_{2} q_{2} \\
\text { Исключив множитель } \mu \text {, а также угловую скорость } r_{2}, \text { мы придём к систй } \\
\text { уравнений } \\
\frac{A_{1} d p_{1}}{\left(B_{1}-C_{1}\right) q_{1} r_{1}}=\frac{B_{1} d q_{1}}{\left(C_{1}-A_{1}\right) r_{1} p_{1}}=\frac{A_{2} d p_{2}}{-\left(B_{2}-C_{2}\right) q_{2} r_{1}}=\frac{B_{2} d q_{2}}{-\left(C_{2}-A_{2}\right) p_{2} r_{1}}=
\end{array} \\
=\frac{\left(C_{1}+C_{2}\right) d r_{1}}{\left(A_{1}-B_{1}\right) p_{1} q_{1}-\left(A_{2}-B_{2}\right) p_{2} q_{2}}=\frac{d t}{1} . \\
\end{array}
\]

Первые два отношения непосредственно приводят к интегралу
\[
A_{1}\left(A_{1}-C_{1}\right) p_{1}^{2}+B_{1}\left(B_{1}-C_{1}\right) q_{1}^{2}=\Gamma_{1},
\]

где $\Gamma_{1}$ – произвольная постоянная. Подобным же образом третье и четвёртое отношения дают
\[
A_{2}\left(A_{2}-C_{2}\right) p_{2}^{2}+B_{2}\left(B_{2}-C_{2}\right) q_{2}^{2}=\Gamma_{2},
\]

гле $\Gamma_{2}$ – новая произвольная постоянная. Кроме того, мы имеем интеграл энергии
\[
A_{1} p_{1}^{2}+B_{1} q_{1}^{2}+A_{2} p_{2}^{2}+B_{2} q_{2}^{2}+\left(C_{1}+C_{2}\right) r_{1}^{2}=2 h .
\]

Можно было бы из уравнений (53.6) вывести еще өледующий интеграл:
\[
C_{2}\left(A_{1}^{2} p_{1}^{2}+B_{1}^{2} q_{1}^{2}\right)+C_{1}\left(A_{2}^{2} p_{2}^{2}+B_{2}^{2} q_{2}^{2}\right)+C_{1} C_{2}\left(C_{1}+C_{2}\right) r_{1}^{2}=\Gamma_{3} ;
\]

однако, этот интеграл был бы следствием раньше найденных; действительно, мы имеем
\[
\Gamma_{3}=C_{2} \Gamma_{1}+C_{1} \Gamma_{2}+2 C_{1} C_{2} h .
\]

Введӗм новую переменную $\chi$, положив
\[
r_{1} d t=d \chi .
\]

Тогда первое и последнее из отношений (53.6) на основании интеграла (53.7) дадут
\[
\frac{\sqrt{A_{1}\left(A_{1}-C_{1}\right)} d p_{1}}{\sqrt{\Gamma_{1}-A_{1}\left(A_{1}-C_{1}\right) p_{1}^{2}}}=m_{1} d \downarrow
\]

где
\[
m_{1}=\sqrt{\frac{\left(A_{1}-C_{1}\right)\left(B_{1}-C_{1}\right)}{A_{1} B_{1}}} .
\]

Для определенности положим, что моменты инерции по своей величине расположены в следующем порядке:
\[
A_{1}>B_{1}>C_{1}, \quad A_{2}>B_{2}>C_{2} ;
\]

тогда в согласии с равенствами (53.7) и (53.8) мы можем положить
\[
\Gamma_{1}=k_{1}^{2}, \quad \Gamma_{2}=k_{2}^{2} .
\]

Проинтегрировав уравнение (53.11), мы теперь найдём:
\[
p_{1}=\frac{k_{1}}{\sqrt{A_{1}\left(A_{1}-C_{1}\right)}} \sin \left(m_{1} \chi+a_{1}\right),
\]

где $a_{1}$ – произвольная постоянная. Подставив это значение $p_{1}$ в равенство (53.7), мы получим:
\[
q_{1}=\frac{k_{1}}{\sqrt{B_{1}\left(B_{1}-C_{1}\right)}} \cos \left(m_{1} \chi+a_{1}\right) .
\]

Подобным же образом для $p_{2}$ и $q_{2}$ мы в соответствии с обозначениями (53.14) найдём выражения
\[
p_{2}=\frac{k_{2}}{\sqrt{A_{2}\left(A_{2}-C_{2}\right)}} \sin \left(m_{2} \chi+\alpha_{2}\right), \quad q_{2}=\frac{k_{2}}{\sqrt{B_{2}\left(B_{2}-C_{2}\right)}} \cos \left(m_{2} \chi+a_{2}\right),
\]

где
\[
m_{2}=\sqrt{\frac{\left(A_{2}-C_{2}\right)\left(B_{2}-C_{2}\right)}{A_{2} B_{2}}} .
\]

Если найденные значения для $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ подставить в интеграл энергии (53.9), то $r_{1}$ можно будет выразить как функцию от $\chi$ :
\[
\begin{aligned}
\left(C_{1}+C_{2}\right) r_{1}^{2}=2 h & -\frac{k_{1}^{2}}{A_{1}-C_{1}} \sin ^{2}\left(m_{1} \chi+a_{1}\right)-\frac{k_{1}^{2}}{B_{1}-C_{1}} \cos ^{2}\left(m_{1} \chi+a_{1}\right)- \\
& -\frac{k_{2}^{2}}{A_{2}-C_{2}} \sin ^{2}\left(m_{2} \chi+a_{2}\right)-\frac{k_{2}^{2}}{B_{2}-C_{2}} \cos ^{2}\left(m_{2} \chi+a_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

После этого мы из уравнения (53.10) квадратурой найдём зависимость $\chi$ от времени $t$. Квадратура эта будет ультраэллиптической, если $m_{1}$ и $m_{2}$ соизме римы, и, в частности, эллиптической, если $m_{1}=m_{2}$.

Когда моменты инерции не выполняют условия (53.13), ход решения задачи остаётся без изменения, только вместо тригонометрических функций могут появиться логарифмические.

299. Видоизменение принципа Даламбера для систем с неинтегрируемыми связями. Непосредственное применение принципа Даламбера к выводу уравнений движения систем с неинтегрируемыми связями представляет то неудобство, что в состав аналитического выражения принципа входят дифференциальные выражения второго порядка, а это иногда значительно затрудняет переход от одних переменных к другим. С другой стороны, интегральные принципы, а именно, принципы Гамильтона, Лагранжа, Гельмгольца, хотя и содержат выражения первого порядка, но они несправедливы для систем с неинтегрируемыми связями. Между тем, если равенство, выражающее принцип Даламбера, подвергнуть одному, почти очевидному, преобразованию, то мы получим формулу, весьма удобную для приложений, содержащую выражения первого порядка и по внешнему виду аналогичную формуле для вариации гамильтонова действия.

Рассмотрим материальную систему, отнесённую к $r+b$ координатам $q$, где $\sigma=1,2,3, \ldots, r+b$, и положим, что эти координаты тождественно удовлетворяют всем уравнениям конечных связей системы. Пусть, кроме того, система подчинена $b$ неннтегрируемым связям; соответствующие уравнения мы представим себе разрешёнными относительно $b$ скоростей в таком виде:
\[
\dot{q}_{r+\beta}-\sum_{p=1}^{r} u_{\beta p} \dot{q}_{p}-u_{\beta}=0 \quad(\beta=1,2,3, \ldots, b) .
\]

Коэффициенты $u_{3 \rho}$ и $u_{\beta}$ содержат, вообще говоря, и координаты $q_{\sigma}$, и время $t$. Из уравнений (53.18) вытекает, что возможные перемещения $\perp q_{\sigma}$ системы связаны равенствами
\[
\Delta q_{r+\beta}-\sum_{\rho=1}^{r} u_{\beta \rho} \Delta q_{\rho}-u_{\beta} \Delta t=0 \quad(\beta=1,2,3, \ldots, b) .
\]

Виртуальные же перемещения $\delta q$, должны удовлетворять условиям
\[
\delta q_{r+\beta}-\sum_{\rho=1}^{r} u_{3 \rho} \delta q_{\rho}=0 \quad(\beta=1,2,3, \ldots, b) .
\]

Заметим, что для рассматриваемого случая виртуальные перемещения, вообще говоря, не совпадают с возможными перемещениями, как этс имеет место для систем с конечными связями, уравнения которых не содержат явно времени. Кроме того, операции дифференцирования и вариирования переместительны лишь для $\rho=1,2,3, \ldots, r$ :
\[
\frac{d}{d t} \delta q_{\rho}=\delta \dot{q_{\rho}} \quad(\rho=1,2,3, \ldots, r) ;
\]

для остальных же $b$ зависимых скоростей мы из равенств (53.18), (53.19) и (53.20) выводим следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \delta q_{r+\beta}-\delta \dot{q}_{r+3}=\sum_{\rho=1}^{r}\left[\dot{u}_{\xi \rho} \delta q_{\rho}-\dot{q}_{\rho} \delta u_{\beta \rho}\right]-\delta u_{\beta}=\delta B_{\beta} \\
(\beta=1,2,3, \ldots, b) .
\end{array}
\]

Здесь символом $\delta B_{3}$ обозначены, для краткости выражения, линейные и однородные относительно $\delta q_{\rho}$. Все $\delta B_{3}$ тождественно обращаются в нуль, если уравнения (53.18) интегрируюгся.

Если силы, приложенные к рассиатриваемой системе, имеют силовую функцию, то принципу Даламбера согласно формулам (34.15) на стр. 353 и (32.31) на стр. 328 можно дать следующее выражение:
\[
\sum_{\sigma=1}^{r+b}\left(\frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}}+\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right) \delta q_{\sigma}=0 .
\]

Написанное равенство должно выполняться для любых значений независимых вариаций $\delta q_{p}$. Заметив, что

мы вместо уравнения (53.22) получим:
\[
\delta U+\sum_{\sigma=1}^{r+b}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{0}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{0}}\right) \delta q_{\sigma}=0 .
\]
$\mathrm{Y}_{\text {множив }}$ это равенство на $d t$ и проннтегрировав его между пределами $t_{0}$ и $t$, найдём:
\[
\int_{t_{0}}^{t}\left\{\delta U+\sum_{o=1}^{r+b}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right) \delta q_{0}\right\} d t=0 .
\]

Условимся считать, что для крайних положений системы, соответствующих пределам интеграла, независииые вариации координат $\delta q_{p}$ обращаются в нуль; тогда в силу соотношения (53.19) тс же можно будет сказать н про зависимые вариации $\delta q_{r+\beta}$.

В уравнении (53.24) отделим члены, содержашие полные производные по времени, и произведём интегрирование по частям; тогда в согласии с соотношениями (53.20) мы для $\rho=1,2,3, \ldots, r$ получим:
\[
\int_{i_{0}}^{t} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}} \delta q_{\rho} d t=\left.\right|_{t_{0}} ^{t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}} \delta q_{\rho}-\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{0}} \frac{d}{d t} \delta q_{\rho} d t=-\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}} \delta \dot{q}_{\rho} d t .
\]

Далее, для $\beta=1,2,3, \ldots, b$ ми согласно формуле (53.21) найдём:
\[
\begin{aligned}
\int_{t_{0}}^{t} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r+\beta}} \cdot \delta q_{r+\beta} \cdot d t & =\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r+\beta}} \cdot \delta q_{r+\beta}-\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r+\beta}} \cdot \frac{d}{d t} \delta q_{r+\beta} \cdot d t= \\
& =-\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r+\beta}} \cdot \delta \dot{q}_{r+\beta} \cdot d t-\int_{t_{0}}^{t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r+\beta}} \cdot \delta B_{\beta} \cdot d t .
\end{aligned}
\]

Члены, стояшие не под знаком интсграла, здесь равны нулю на основании условия о вариациях на границах интервала интегрирования. Подставив найденные результаты в уравненце (53.24), мы получим:
\[
\int_{i_{0}}^{t}\left(\delta U+\delta T+\sum_{\beta=1}^{b} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r+\beta}} \delta B_{\beta}\right) d t=0,
\]

где
\[
-\hat{\partial} T=\sum_{\sigma=1}^{r+b}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}} \dot{\partial q_{\sigma}}+\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \dot{\delta} \dot{q}_{\sigma}\right) .
\]

Равенство (53.25) мы и имели в виду получить. Из него ясно видно, что система с неинтегрируемыми связями не может быть охарактеризована подобно системам с конечными связями своей силовой фунцией и формой кинетической энергии; оказываєтся, что необходимо ещё знать в отдельности выражения для импульсов, соответствующих зависимым скоростям.

Едва ли стоит упоминать о том, что левая часть равенства (53.25) отнюдь не представляет собой вариации гамильтонова действия, а также

останавливаться на доказательстве равносильности выражений (53.23) и (53.25).

Пример 151. Изучим движение однородного шара радиуса $a$, катящегося без скольжения по плоскости и находящегося под действием сил, имеющих силовую функцию $U$. Пусть Oxyz-неподвижная система координат, причём ось $z$ направлена по нормали к плоскости. Примем пентр $C$ шара за полюс, т. е. за начало подвижных осей $C X Y Z$, параллельных неподвижным осям Oxyz. За координаты шара примем координаты $x_{C}, y_{C}, z_{C}$ его центра и яйлеровы углы $\varphi, \phi, 8$. Кинетическая 9нергия $T$ шара по формуле (45.16) на стр. 493 представится так:
\[
T=\frac{1}{2}\left[M\left(\dot{x}_{C}^{2}+\dot{y}_{C}^{2}+\dot{z}_{C}^{2}\right)+J_{X X}\left(\omega_{x}^{2}+\omega_{y}^{2}+\omega_{z}^{2}\right)\right] ;
\]

вдесь $M$-масса шара, а $J_{X X}$ есть момент инериии шара относительно его диаметра: $J_{X X}=\frac{2}{5} M a^{2}$. Проекции угловой скорости $\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z}$ согласно формулам (9.28) на стр. 91 выражаются следующим образом через углы Эйлера:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{x}=\sin \phi \sin \theta \cdot \dot{\varphi}+\cos \phi \cdot \dot{\theta}, \\
\omega_{y}=-\cos \psi \sin \theta \cdot \dot{\varphi}+\sin \phi \cdot \dot{\theta}, \\
\omega_{z}=\dot{\phi}+\cos \theta \cdot \dot{\phi} .
\end{array}\right\}
\]

Уравнениями связей согласно сказанному в примере 98 на стр. 325 будут следующие:
\[
z_{C}-a=0, \quad \dot{x}_{C}-a \omega_{y}=0, \quad \dot{y}_{C}+a \omega_{x}=0 .
\]

Обозначим $\delta a_{X}, \delta a_{Y}, \delta a_{Z}$ бесконечно малые углы, на которые шар соответственно поворәчи вается рокруг осей координат системы $C X Y Z$ при своём произвольном виртуальном петемешении; согласно формулам (53.27) эти углокые перемешения выражаюгся следующим образом через вариаши эйлеровых углов:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{c} a_{X}=\sin \phi \sin \theta \cdot \delta \phi+\cos \psi \cdot \delta \theta \\
\delta \alpha_{Y}=-\cos \psi \sin \theta \cdot \delta \varphi+\sin \psi \cdot \delta \theta, \\
\dot{\delta} a_{Z}=\delta \phi+\cos \theta \cdot \delta \phi .
\end{array}\right\}
\]

С помошью этих формул нетрудно записать те условия, которые накладываются скязями (53.28) на вариации координат шара при его виртуальных перемещения; мы голучаем:
\[
\delta z_{C}=0, \quad \delta x_{C}-a \delta a_{Y}=0, \quad \delta y_{C}+a \delta \alpha_{X}=0 .
\]

Выведем уравнения движения шара, не содержащие множителей связей, воспользовавшись видоизменённым приныипом Даламбера. Согласно сказанному выше мы должны рассмотреть выражение
\[
\int_{t_{0}}^{t}\left(\dot{\partial}+\dot{\delta} T+\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{C}} \delta B_{x}+\frac{\partial T}{\partial \dot{y}_{C}} \delta B_{v}\right) d t=0,
\]

в котором
\[
\delta B_{x}=\frac{d}{d t} \delta x_{C}-\delta \dot{x}_{C}, \quad \delta B_{y}=\frac{d}{d t} \delta y_{C}-\delta \dot{y}_{C} .
\]

Интеграл (53.31) должен обрашаться в нуль для всех виртуальных перемещений системы, т. е. для таких изменений координат, которые удовлетворяют уравнениям (53.30). Прежде всего займёмся вычислением разностей (53.32). Из равенств (53.27) и (53.29) мы находим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \delta \alpha_{X}-\delta \omega_{x}=\delta \alpha_{Z} \omega_{y}-\delta \alpha_{Y} \omega_{z}, \\
\frac{d}{d t} \delta \alpha_{Y}-\delta \omega_{y}=\delta \sigma_{X} \omega_{z}-\delta \alpha_{Z} \omega_{x} \\
\frac{d}{d t} \delta \alpha_{Z}-\delta \omega_{z}=\delta \alpha_{Y} \omega_{x}-\delta \alpha_{X} \omega_{y} .
\end{array}\right\}
\]

Поэтому согласно равенствам (53.28) мы получаем:
\[
\delta B_{x}=a\left(\delta \alpha_{X}{ }_{z}-\delta \alpha_{Z^{\omega}}\right), \quad \delta B_{y}=-a\left(\delta \alpha_{Z^{\omega}}-\delta \sigma_{Y^{\omega}}\right) .
\]

Подставив эти выражения в уравнение (53.29) и приняв во внимание уравнения связей (53.28), мы найдём:
\[
\begin{aligned}
\int_{t_{0}}^{t}\left\{\delta U+\frac{7}{5} M a^{2}\left(\omega_{x} \delta \omega_{x}+\omega_{y} \delta \omega_{y}\right)\right. & +\frac{2}{5} M a^{2} \omega_{z} \delta \omega_{z}+ \\
& \left.+M a^{2} R\left(\delta a_{X} \omega_{y}-\delta \alpha_{Y} \omega_{x}\right)\right\} d t=0 .
\end{aligned}
\]

Заметив, что на границах интеграла вариации координат обращаются в нули, мы с помощью равенств (53.33) получим:
\[
\begin{array}{l}
\int_{t_{0}}^{t} \omega_{x} \delta \omega_{x} d t=\int_{t_{0}}^{t} \omega_{x} \frac{d}{d t} \delta \alpha_{X} d t+\int_{t_{0}}^{t} \omega_{x}\left(\delta \alpha_{y} \delta \omega_{z}-\delta \alpha_{Z} \delta \omega_{y}\right) d t= \\
=\int_{t_{0}}^{t}\left\{-\delta a_{X} \frac{d \omega_{x}}{d t}+\omega_{x}\left(\delta \sigma_{Y} \omega_{Z}-\delta a_{Z} \omega_{y}\right)\right\} d t . \\
\int_{t_{0}}^{t} \omega_{y} \delta \omega_{y} d t=\int_{t_{0}}^{t} \omega_{y} \frac{d}{d t} \delta \alpha_{Y} d t+\int_{t_{0}}^{t} \omega_{y}\left(\delta \alpha_{Z} \omega_{x}-\delta \alpha_{X} \omega_{Z}\right) d t= \\
=\int_{t_{0}}^{t}\left\{-\delta a_{V} \frac{d \omega_{y}}{d t}+\omega_{y}\left(\delta \alpha_{Z} \omega_{x}-\delta a_{X} \omega_{z}\right)\right\} d t \text {, } \\
\int_{t_{0}}^{t} \omega_{z} \delta \omega_{z} d t=\int_{t_{0}}^{t} \omega_{z} \frac{d}{d t} \delta \alpha_{Z} d t+\int_{t_{0}}^{t} \omega_{Z}\left(\delta \alpha_{X} \omega_{y}-\delta \alpha_{Y} \omega_{x}\right) d t= \\
=\int_{t_{0}}^{t}\left\{-\delta \alpha_{Z} \frac{d \omega_{z}}{d t}+\omega_{z}\left(\delta \alpha_{X} \omega_{y}-\delta \alpha_{Y} \omega_{x}\right)\right\} d t . \\
\end{array}
\]

Составим теперь вариацию силовой функции:
\[
\delta U=\frac{\partial U}{\partial x_{C}} \delta x_{C}+\frac{\partial U}{\partial y_{C}} \delta y_{C}+\frac{\partial U}{\partial z_{C}} \delta z_{C}+\frac{\partial U}{\partial \varphi} \delta \varphi+\frac{\partial U}{\partial \psi} \delta \varphi+\frac{\partial U}{\partial \delta} \delta \mathrm{v} .
\]

Эту вариацию на основании равенств (53.29) и (53.30) всегда можно представить в таком виде:
\[
\delta U=L_{X} \delta \alpha_{X}+L_{Y} \delta \alpha_{Y}+L_{Z} \delta a_{Z} .
\]

Подставив эти выражения в уравнение (53.34) и выполнив сокращения, мы найдём:
\[
\begin{aligned}
\int_{t_{0} d t}^{t}\left\{\delta \sigma_{X}\left(-\frac{7}{5} M a^{2} \dot{\omega}_{x}+L_{X}\right)\right. & +\delta \alpha_{Y}\left(-\frac{7}{5} M a^{2} \dot{\omega}_{y}+L_{Y}\right)+ \\
& \left.+\delta a_{Z}\left(-\frac{2}{5} M a^{2} \dot{\omega}_{z}+L_{Z}\right)\right\} d t=0 .
\end{aligned}
\]

Так как согласно сказанному в примере 110 на стр. 387 произвольность вариаций $\delta \varphi, \delta \phi, \delta \vartheta$ влечёт за собой и произвольность величин $\delta \alpha_{X}, \delta \alpha_{Y}, \delta \alpha_{Z}$, то отсюда мы и выводим искомые уравнения
\[
\frac{7}{5} M a^{2} \dot{\omega}_{x}=L_{X}, \quad \frac{7}{5} M a^{2} \dot{\omega}_{y}=L_{Y}, \quad \frac{2}{5} M a^{2} \dot{\omega}_{z}=L_{Z} .
\]