38. Перемещение точки. Скорость точки. Проекции скорости на оси декартовых координат. Радиус-вектор движущейся точки, проведённый из какого-либо неподвижного полюса (например, начала координат), изменяется с течением времени по модулю и по направлению, т. е. он является вектор-функцией времени (§26). В таком случае траектория точки служит годографом этого вектора. Хорда траектории $\overline{m^{\prime}}$, соединяющая два положения $m$ и $m^{\prime}$ точки для моментов $t$ и $t^{\prime}$, называется перемещением то’ки за промежуток времени $\Delta t=t^{\prime}-t$; перемещение представляет собой приращение $\Delta \boldsymbol{r}$ радиуса-вектора, соответствующее приращению времени $\Delta t$. Отношение приращения $\Delta \boldsymbol{r}$ радиуса-вектора к соответствующему приращению $\Delta t$ времени называется средней скоростью $\boldsymbol{\theta}$ за промежуток времени $\Delta t$ :
\[
\boldsymbol{v}_{\mathrm{cp}}=\frac{\Delta \boldsymbol{r}}{\Delta \boldsymbol{t}} \text {. }
\]

Предел этого отношения в том предположении, что $t^{\prime}$ неограниченно приближается к $t$, или, что то же , производная по времени от радиуса-вектора точки называется скоростью $\boldsymbol{g}$ точки в момент $t$ :
\[
\boldsymbol{v}=\frac{d \boldsymbol{r}}{d \boldsymbol{t}}=\dot{r}
\]

Как всякая векторная производная, вектор $\boldsymbol{v}=\dot{r}$ направлен по касательной к годографу вектора $\boldsymbol{r}$, т. е. скорость направлена по касательной к траектории и притом в ту сторону, в которую происходит движение. Согласно формуле (4.15) на стр. 35 мы имеем следующее выражение скорости через длину дуги траектории и единичный вектор касательной:
\[
\boldsymbol{v}=\overline{s \tau} .
\]

Следовательно, модуль скорости равен
\[
v=|\dot{s}| \text {. }
\]

Если скорость $v$ постоянна по направлению, траектория — прямая. Если скорость постоянна по модулю: т. е.
\[
v=\text { const. }=a,
\]

движение называется равномерннм. Если за положительноз направление отсчёта расстояний принять направление движения, то из формулы (6.3) в этом елучае вытекает следующий закон движения:
\[
s=a t+s_{0}
\]

здесь $s_{0}$-так называемое начальное расстояние, т. е. длина дуги, соответствующая положению точки для момента $t=0$. Из закона равномерного движения выводим:
\[
v=\frac{s-s_{0}}{t}
\]
т. е. для равномерного движения скорость численно равняется длине дуги траектории, проходимой точкой в единицу времени.

Скорость как производная по времени от радиуса-вектора представ-, ляет собой величину, не однородную с радиусом-вектором, т. е. длиной. Eё размерность выражается символом
\[
[v]=\frac{\text { ляина }}{\text { времд }} .
\]

Единицей скорости служит.см/сек. т. с. за единицу скорости принимается скорость-всантиметр в секунду среднего времениз. В равномерном движении точка с такой скоростью проходит в единицу времени единицу длины, т. е. в секунду среднего времени проходит один сантиметр. Символ (6.5) указывает, как размер единицы скорости меняется в зависимости от размеров единиц длины и времени, а именно, величина единицы скорости прямо пропорциональна величине единицы длины и обратно пропорциональна величине единицы времени. Так, скорость — кметр в секунду» в 100 раз больше принятой нами единицы, скорость ммллиметр в секунду, в 10 раз меньше, а скорость кантиметр в минуту, составляет $\frac{1}{60}$ этой величины.

Мы знаем, как радиус-вектор точки выражается через её декартовы координаты:
\[
r=x x^{0}+y y^{0}+z z^{0} .
\]

Отсюда на основании формулы (6.1) мы получаем следующее выражение скорости в декартовых координатах:
\[
\boldsymbol{v}=\dot{x} x^{0}+\dot{y} y^{0}+\dot{z} z^{0} .
\]

Следовательно, для проекций скорости, для её модуля и для направляющих косинусов мы-имеем формулы
\[
\begin{array}{l}
v_{x}=\dot{x}, \quad v_{y}=\dot{y}, \quad v_{z}=\dot{z}, \\
v=\sqrt{x^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}, \\
\cos (\hat{x, v})=\frac{\dot{x}}{v}, \quad \cos (\hat{y,} v)=\frac{\dot{y}}{v}, \quad \cos (\hat{z, v})=\frac{\dot{z}}{v} .
\end{array}
\]

Аналогичным путём можно получить выражение скорости в цилиндрических координатах. Согласно формуле (5.10) на стр. 48 , мы имеем:
\[
r=p p^{0}+z z^{0}
\]

отсюда мы дифференцированием получаем:
\[
\boldsymbol{v}=\dot{\boldsymbol{r}}=\dot{\rho} \bar{\rho}^{0}+\dot{\rho} \dot{\overline{0}}+\dot{z} \boldsymbol{z}^{0}+2 \dot{z}^{0} ;
\]

но согласно теореме (4.11) на стр. 34 мы имесм $\overline{\rho^{0}}=\bar{\varphi} \varphi^{0}$; кроме того, так как $\boldsymbol{z}^{0}=$ const., то $\boldsymbol{z}^{0}=0$; на этом основании окончательно получаем:
\[
\boldsymbol{v}=\dot{\rho} \overline{\rho^{0}}+\dot{\rho} \dot{\rho}^{0} \bar{\rho}^{0}+\dot{z} \boldsymbol{z}^{0}
\]

следовательно, проекции.скорости на оси цилиндрических коордннат и модуль скорости соогветственно равны
\[
\left.\begin{array}{l}
v_{\rho}=\dot{\rho}, \quad v_{\varphi}=\dot{\rho} \dot{\rho}, \quad v_{z}=\dot{z}, \\
v=\sqrt{\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \cdot \dot{q}^{2}+\dot{z}^{2}}
\end{array}\right\}
\]

Пример 6. Даны уравнения движения
\[
x=a t+\alpha, \quad y=b t+\beta, \quad z=c t+\gamma .
\]

Найдём проекции и модуль скорости; имеем
\[
\begin{array}{l}
v_{x}=\dot{x}=a, \quad v_{y}=\dot{y}=b, \quad v_{z}=\dot{z}=c ; \\
v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
\end{array}
\]

таким образом, движение оказывается прямолинейным и равномерным.
Пример 7. Даны уравпения движения точки в плоскости $z=0$ :
\[
x=a \cos \omega t, \quad y=a \sin \omega t .
\]

Очевидно, траекторией движущейся точки является окружность $x^{2}+y^{2}=a$. Найдём скорость; имеем
\[
v_{x}=\dot{x}=-a \omega \sin \omega t, \quad v_{y}=\dot{y}=a \omega \cos \omega t, \quad v=a \omega,
\]
т. е. движение круговое равномерное.
Пример 8. Даны уравнения движения
\[
x=a \sin \alpha t \cos \beta t, y=a \sin \alpha t \sin \beta t, \quad z=a \cos \alpha t .
\]

Найдём скорость:
\[
\begin{array}{l}
v_{x}=a \alpha \cos \alpha t \cos \beta t-a \beta \sin \alpha t \sin \beta t, \\
v_{y}=a \alpha \cos \alpha t \sin \beta t+a \beta \sin \alpha t \cos \beta t, \\
v_{z}=-a \alpha \sin \alpha t \\
v=a \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2} \sin ^{2} \alpha t} .
\end{array}
\]

39. Проекции скорости точки на неподвижное и подвижное направления. Станем рассматривать проекцию $M_{x}$ движущейся точки $M$ на ось $O x$; эта проекция одновременно с точкой $M$ будет двигаться в той же среде, причём скорость её [по формуле (6.6)] будет иметь выражение $\dot{x} x^{0}$. Сравнивая его с выражением $v=\dot{x} x^{0}+\dot{y} y^{0}+\dot{z} z^{0}$ скорости точки $M$, мы видим, что скорость проекцин точки $M$ на ось $x$ равна составляющей (по той же оси) скорости точки $M$. То же, очевидно, имеет место для ортогональной составляющей скорости по любому неподвижному направлению, ‘характеризуемому единичным вектором $\boldsymbol{u}^{0}$; это подтверждается также формулой (4.23) на стр. 37 , которая в применении к радиусу-вектору $\boldsymbol{r}$ выглядит так:
\[
\operatorname{пp}_{\boldsymbol{a}} \cdot \boldsymbol{v}=\frac{d}{d t} \operatorname{lp}_{\boldsymbol{a}^{0}} r,
\]

или
\[
\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}^{0}=\underset{d t}{d}\left(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{u}^{0}\right) .
\]

Пусть теперь направление $\boldsymbol{u}^{0}$ подвижное. Тогда по теореме (4.24) на стр. 37 мы найдём:
\[
\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}^{0}=\frac{d}{d \boldsymbol{t}}\left(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{u}^{0}\right)-\boldsymbol{r} \cdot \dot{\boldsymbol{u}}^{0} .
\]

Здесь $\dot{u}^{0}=\omega p^{0}$, где $p^{0} \perp \boldsymbol{u}^{0}$ и $\omega=\lim _{\boldsymbol{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} ; \omega$ характеризует быстроту, с которой поворачивается направление $\boldsymbol{u}^{0}$; поэтому вектор $\dot{\boldsymbol{u}}^{0}$ называется поворотной скоростью направления $\boldsymbol{u}^{0}$.
Пример 9. Даны уравнения движения точки
\[
x=a \sin \alpha t \cos \beta t, \quad y=a \sin \alpha t \sin \beta t, \quad z=a \cos \alpha t .
\]

Найти проекцию скорости точки на подвижное иаправление $\boldsymbol{u}^{0}$, определяемое

следующими косинусами углов с осями координат:
\[
\sin \gamma \cos \beta t, \quad \sin \gamma \sin \beta t, \quad \cos \gamma,
\]

где $a, a, \beta$ и $\gamma$ — постоянные величины. Заданные направляющие косинусы равны проекциям единичного вектора $\boldsymbol{u}^{0}$, поэтому имеем

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{u}^{0}=\sin \gamma \cos \beta t \cdot x^{0}+\sin \gamma \sin \beta t \cdot \boldsymbol{y}^{0}+\cos \gamma \cdot z^{0}
\]

Далее, получаем:
\[
\dot{u}^{0}=-\beta \sin \gamma \sin \beta t \cdot \dot{x}^{0}+\beta \sin \gamma \cos \beta t \cdot \dot{y}^{0} .
\]
\[
\begin{array}{l}
r \cdot u^{0}=x\left(u^{0}\right)_{x}+y\left(u^{0}\right)_{y}+z\left(u^{0}\right)_{z}=a \cos (a t-\gamma) \\
r \cdot \dot{u}^{0}=x\left(\dot{u}^{0}\right)_{x}+y\left(\dot{u^{0}}\right)_{y}+z\left(\dot{u}^{0}\right)_{z}=0 .
\end{array}
\]

В результате подстановки этих результатов в формулу (6.10) приходим к ответу:
\[
\operatorname{~ip}_{u^{0}} \boldsymbol{v}=-a \alpha \sin (a t-\gamma) .
\]

40. Выражение скорости в криволинейных координатах. Косоугольные и ортогональные проекции скорости на оси криволинейных координат. Скорость согласно определению равна производной радиуса-вектора по времени:
\[
\boldsymbol{\eta}=\dot{\boldsymbol{r}}
\]

Чтобы выразить скорость в криволинейных координатах, вычислим эту производную по правилу дифференцирования сложной функции, имея в виду, что радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ движущейся точки может рассматриваться как функция её криволинейных координат $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, а последние являются некоторыми функциями времени $t$ :

На этом основании имеем
\[
\boldsymbol{v}=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial r}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial r}{\partial q_{3}} \dot{q}_{3} .
\]

Возвысив это равенство в квадрат, мы получим согласно теореме (1.13) на стр. 7 выражение для квадрата модуля скорости:
\[
\boldsymbol{v}^{2}=\sum_{\sigma=1, \rho=1}^{\sigma=3, \rho=3} \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{\sigma}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{\rho}} \dot{q}_{\sigma} \dot{q}_{\rho},
\]

где индексы $\sigma$ и $\rho$ пробегают независимо друг от друга все значения от 1 до 3. В случае ортогональной системы координат согласно формуле (5.8) на стр. 47 сохраняются лишь члены с одинаковыми индексами, и полученное выражение упрощается:
\[
v^{2}=\sum_{s=1}^{\sigma=3}\left(\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}\right)^{2} \dot{q}_{\sigma}^{2}
\]

Если радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ выразить через декартовы координаты, то последние формулы перепишутся так: в облем случае
\[
\dot{v}^{2}=\sum_{0=1, p=1}^{\sigma=3,}\left(\frac{\partial x}{\partial q_{0}} \frac{\partial x}{\partial q_{p}}+\frac{\partial y}{\partial q_{0}} \frac{\partial y}{\partial q_{p}}+\frac{\partial z}{\partial q_{0}} \frac{\partial z}{\partial q_{p}}\right) \dot{q}_{0} \dot{q}_{p},
\]

в случае же ортогональной системы
\[
v^{2}=\sum_{\sigma=1}^{0=3}\left[\left(\frac{\partial x}{\partial q_{\sigma}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial q_{\sigma}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial q_{\sigma}}\right)^{2}\right] \dot{q}_{\sigma}^{2} .
\]

Исходя из формул (6.12) и (5.5), нетрудно также получить разложение скорости по осям криволинейных координат; действительно, так как согласно формуле (5.5)
\[
\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}=\left|\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}\right| \boldsymbol{q}_{\sigma}^{0}
\]

To
\[
\boldsymbol{v}=\left|\frac{\partial r}{\partial q_{1}}\right| \dot{q}_{1} q_{1}^{3}+\left|\frac{\partial r}{\partial q_{2}}\right| \dot{q}_{2} q_{2}^{0}+\left|\frac{\partial r}{\partial q_{3}}\right| \dot{q}_{3} q_{3}^{0} .
\]

Коэффициенты при единичных векторах в правой части представляют собой проекции скорости, притом, вообще говоря, косоугольные, на оси криволинейных координат; мы запишем это кратко следующим образом:
\[
v_{q_{0}}=\left|\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}\right| \dot{q}_{\sigma} \quad(\sigma=1,2,3) .
\]

Составим также выражение для ортогональной проекции скорости на координатную ось $q_{\sigma}$. Для этого нужно скорость $\boldsymbol{v}$ скалярно умножить на единичный вектор $\boldsymbol{q}_{\circ}^{0}$ оси; имеем

но из выражения (6.12) скорости мы непосредственно усматриваем, что
\[
\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial \dot{q}_{\sigma}}
\]

поэтому имеем
\[
\boldsymbol{v} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{\sigma}}=v \cdot \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=\frac{\partial\left(\frac{\boldsymbol{v}^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{\sigma}}
\]
т. е.
\[
\boldsymbol{\gamma} \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{a}}=\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{\sigma}}
\]

следовательно, для ортогональной проекции скорости мы получаем выражение

В частном случае, если система криволинейных координат ортогональная и, следовательно, квадрат скорости вычисляегся по формуле (6.14), выражения (6.18) и (6.21) совпадают.

Формула (6.17) допускает следующее истолкование. Умножим обе её части на $d t$. Тогда, вспомнив, что согласно формуле (6.2)
\[
\boldsymbol{v}=\frac{d s}{d t} \bar{\tau}^{0},
\]

мы получим:
\[
d s \bar{\tau}^{0}=\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{1}}\right| d q_{1} \boldsymbol{q}_{1}^{0}+\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{2}}\right| d q_{2} \boldsymbol{q}_{2}^{0}+\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{3}}\right| d q_{3} \boldsymbol{q}_{3}^{0} .
\]

Мы здесь имеем разложение элементарного перемещения $d s \bar{\tau}^{0}$ по осям криволинейных координат. Обозначив скалярные коэффициенты при единичных векторах в правой части соответственно $d s_{1}, d s_{2}, d s_{3}$, можем написать
\[
d, \bar{\tau}^{0}=d s_{1} \boldsymbol{q}_{1}^{0}+d s_{2} \boldsymbol{q}_{2}^{0}+d s_{3} \boldsymbol{q}_{3}^{0} .
\]

Таким образом, полное элементарное перемещение точки равно сумме трёх её элементарных перемещений вдоль координатных осей (фиг. 41). Эта формула интересна в том отношении, что проекции (косоугольные) $d s_{1}, d s_{2}, d s_{3}$ элементарного перемещения $d s \overline{\tau^{0}}$ на оси криволинейных координат обычно могут быть легко найдены геометрическим пугём. Зная их, по формуле (6.22) можем Фиг. 41. найти само элементарное перемешение $d s \overline{\tau^{0}}$ и путём деления его на $d t$ — скорость 0 . Точно так же, исходя из выражений для $d s_{1}, d s_{2}, d s_{3}$, нетрудно найти квадрат элементарного перемещения, как квадрат диагонали параллелепипеда со сторонами $\left|d s_{1}\right|,\left|d s_{2}\right|,\left|d s_{3}\right|$, а именно:
\[
\begin{array}{l}
d s^{2}=d s_{1}^{2}+d s_{2}^{2}+d s_{3}^{2}+2 d s_{2} d s_{3} \cos \left(\hat{\boldsymbol{q}_{2}^{0}, \boldsymbol{q}_{3}^{0}}\right)+ \\
+2 d s_{3} d s_{1} \cos \left(\boldsymbol{q}_{3}^{0}, \boldsymbol{q}_{1}^{0}\right)+2 d s_{1} d s_{2} \cos \left(\boldsymbol{q}_{1}^{0}, \boldsymbol{q}_{2}^{0}\right)
\end{array}
\]

Делением на $d t^{2}$ можем теперь найти квадрат скорости:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}^{9}=\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=\left(\frac{d s_{1}}{d t}\right)^{2} & +\left(\frac{d \mathrm{~s}_{2}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d s_{3}}{d t}\right)^{2}+2 \frac{d s_{2}}{d t} \frac{d s_{3}}{d t} \cos \left(\boldsymbol{q}_{2}^{0}, \boldsymbol{q}_{3}^{0}\right)+ \\
& +2 \frac{d s_{3}}{d t} \frac{d s_{1}}{d t} \cos \left(\boldsymbol{q}_{3}^{0}, \boldsymbol{q}_{1}^{0}\right)+2 \frac{d s_{1}}{d t} \frac{d s_{2}}{d t} \cos \left(\boldsymbol{q}_{1}^{0}, \boldsymbol{q}_{2}^{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Нетрудно усмотреть тождественность формул (6.13) и (6.23).
Пример10. Найдем квадрат скорости в цилиндрических координатах, а также проекци скорости на оси цилиндрических координат. Положим $q_{1}=p$, $q_{2}=\varphi, q_{3}=z$. Тогда в соответствии с формулой (5.1) и первой строкой соотношение (5.11), мы получим
\[
\left|\frac{\partial r}{\partial p}\right|=1,\left|\frac{\partial r}{\partial \varphi}\right|=p,\left|\frac{\partial r}{\partial z}\right|=1 ;
\]

следователыо, формула (6.16) лаёт
\[
v^{2}=\dot{\rho}^{2}+\dot{\rho}^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2},
\]

отсюда по формуле (6.21) найдём проекции скорости:
\[
v_{\rho}=\dot{\rho}, \quad v_{\varphi}=\rho \dot{\varphi}, \quad v_{z}=\dot{z} ;
\]

таким образом, мы получили те же результаты (6.9), которые ранее были найдены непосредственным дифференцированием радиуса-вектора. Выражения (6.25) легко также получить из геометрических соображений.

Пример 11. Найдем скорость в сферических координатах. Пусть $q_{1}=r$, $q_{2}=4, q_{3}=\psi$. Тогда согласно формулам (5.1) и (5.13) мы получим:
\[
\left|\frac{\partial r}{\partial r}\right|=1, \quad\left|\frac{\partial r}{\partial \varphi}\right|=r \cos \psi, \quad\left|\frac{\partial r}{\partial \psi}\right|=r .
\]

Отсюда по формуле (6.16) мы найдём:
\[
v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2} \cos ^{2} \phi \cdot \dot{\varphi}^{2}+r^{2} \dot{\psi}^{2} .
\]

Теперь по формуле (6.21) вычислим проекции скорости:
\[
v_{r}=\dot{r}, \quad v_{\varphi}=r \cos \psi \cdot \dot{\varphi}, v_{\phi}=r \dot{\psi} .
\]

Эти проекции могли бы также легко быть найдены из геометрических соображений.

41. Переход от закона движения точки в координатной форме к закону движения в естественной форме. Чтобы от координатной формы задания движения, т. е. от уравнений
\[
q_{1}=q_{1}(t), \quad q_{2}=q_{2}(t), \quad q_{3}=q_{3}(t),
\]

перейти к естественной форме [см. формулы (5.15) на стр. 49], поступаем следующим образом. Из формулы (6.3) мы имеем
\[
d s= \pm v d t .
\]

Модуль скорости $v$ здесь должен быть вычислен по формуле (6.13), а энак берётся в соответствии с выбором положительного направлениа отсчёта дуг траектории. Взяв квадратуру, получим $s$ как функцию времени, т. е. закон движения в естественной форме:
\[
s= \pm \int v d t .
\]

Произвольная постоянная здесь определится, когда выберем начало отсчёта дуг; если за начало примем точку $q_{1}\left(t_{0}\right), q_{2}\left(t_{0}\right), q_{3}\left(t_{0}\right)$, то будем иметь
\[
s= \pm \int_{t_{0}}^{t} v d t .
\]

Исключив с помощью этого уравнения время из уравнений (6.28), получим всю систему уравнений (5.15), представляющих задание движения точки в естественной форме:
\[
q_{1}=q_{1}(s), \quad q_{2}=q_{2}(s), \quad q_{3}=q_{3}(s) ; \quad s=s(t) .
\]

42. Определение движения точки, если известна её скорость. Погонная линия. В предыдущем мы видели, как находится скорость по данному движению; теперь скажем несколько слов об обратном вопросе: как определить движение, если задана скорость. Рассмотрим сначала простейшій случай, когда скорость задана как вектор-функция времени:
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(t) .
\]

Искомое движение будет определено, если мы найдём радиус-вектор $\boldsymbol{r}$

движущейся точки как вектор-функцию времени. Так как $\boldsymbol{v}=\frac{d r}{d t}$, то радиус-вектор $r$ найдётся интегрированием (§ 30 ):
\[
\boldsymbol{r}=\int \boldsymbol{v} d t .
\]

Задача наша неопределённая: существует бесконечное множество движений, удовлетворяющих заданному условию в отношении скорости. Если какое-либо эначение неопределённого интеграла в последнем выражении обозначим $r_{i}(t)$, то одно из искомых движений мы получим, положив произвольную постоянную интегрирования равной $\boldsymbol{C}_{1}$; пусть точка, совершающая движение по этому закону, названа $M_{1}$ и её радиус-вектор обозначен $\boldsymbol{r}_{1}$; тогда
\[
r_{1}=r_{i}(t)+c_{i} .
\]

Некоторое другое движение, которое мы назовём движением точки $M_{2}$ с радиусом-вектором $r_{2}$, будет отличаться от первого значением постоянной интегрирования; пусть
\[
r_{2}=r_{i}(t)+C_{2} .
\]

Вычтя почленно два полученные уравнения движения, находим:
\[
r_{2}-r_{1}=c_{2}-c_{1} .
\]

Это равенство говорит, что вектор $\bar{M}_{1} M_{2}$, соединяющий одновременные положения точек $M_{1}$ и $M_{2}$, постоянен как по модулю, так и по направлению. Следовательно, во всех искомых движениях точки описывают тождественные траектории, и все траекторий получаются из одной какойнибудь, если каждой точке последней дать одно и то же перемещение. Так, для рассмотренных нами двух траекторий перемещение это равняется $C_{2}-C_{1}$.

Задача о нахождении закона движения по данной скорости станет вполне определённой, если мы зададим также начальное положение точки, т. е. её радиус-вектор $r_{0}$ для некоторого момента $t_{0}$. Тогда закон движения примет вид
\[
r=r_{0}+\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v} d t .
\]

Пример 12. Пусть скорость точки задана своими проекциями
\[
v_{x}=a \sin \alpha t \cos \beta t, \quad v_{y}=b \sin \alpha t \sin \beta t, \quad v_{z}=\cos \alpha t
\]

и пусть в момент $t=0$ точка находится в начале координат. Найдём закон движения. Имеем
\[
\begin{array}{l}
x=\int_{0}^{t} a \sin \alpha t \cos \beta t d t=\frac{a \alpha}{\alpha^{2}-\beta^{2}}-\frac{a}{2} \cdot \frac{\cos (\alpha+\beta) t}{\alpha+\beta}-\frac{a}{2} \cdot \frac{\cos (\alpha-\beta) t}{\alpha-\beta}, \\
y=\int_{0}^{t} b \sin \alpha t \sin \beta t d t=\frac{b}{2} \cdot \frac{\sin (\alpha-\beta) t}{\alpha-\beta}-\frac{b}{2} \cdot \frac{\sin (\alpha+\beta) t}{\alpha+\beta}, \\
z=\int_{0}^{t} c \cos \alpha t d t=c \cdot \frac{\sin \alpha t}{\alpha} .
\end{array}
\]

В более сложных случаях проекции скорости могут быть заданы как функции не только времени, но и координат точки, причём координаты точки могут быть и криволинейные. Тогда, вообще говоря, мы будем иметь три уравнения, связывающие три неизвестные функции времени $q_{1}, q_{3}, q_{3}$ :
\[
\begin{array}{l}
f_{1}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}, t\right)=0 ; \\
f_{2}\left(q_{1}, \dot{q}_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}, t\right)=0 ; \\
f_{3}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}, t\right)=0 .
\end{array}
\]

Вопрос о нахождении закона движения сводится к интегрированию этой системы трёх совместных дифференциальных уравнений первого порядка. Три интеграла системы будут заключать в себе три произвольные постоянные. Для определённости решения опять нужно задать ещё так называемые начальные условия, например положение точки для момента $t=t_{0}$.

К такому типу относятся, например, задачи о так называемых погонных линиях, или линиях бегства. Мырассмотрим для примера простейшую из них: определить траекторию точки $A$, движущейся в плоскости с постоянной по модулю скоростью $\boldsymbol{v}$, причём эта скорость всегда направлена на точку $B$, равнсмерно движушуюся в той же плоскости по прямой с данной скоростью $\boldsymbol{u}$. Примем граекторию точки $B$ за ось $x$ и направление скорости $\boldsymbol{u}$ за положительное направление этой оси (фиг. 42). Заметим, что, Фиг. 42. когда точка $B$ была на бесконечности в отрицательном направлении оси $O x$, скорость точки $A$ должна была быть параллельна этому отрицательному направлению; когда точка $B$ уйдёт в положительном направлении в бесконечность, скорость точки $A$ станет параллельной положительному направлению оси $\boldsymbol{x}$; следовательно, для некоторого промежуточного момента точка $A$ должна занимать такое положение $A_{0}$, для которого скорость её перпендикулярна к оси $O x$. Касательную к искомой траектории в этой точке $A_{0}$.и примем за ось $O y$. В тот момент, когда точка $A$ находилась в $A_{0}$, по условию задачи, точка $B$ должна была быть в начале $O$ координат; следовательно, если $A$ и $B$ изображают одновременные положения точек и если время считать с того момента, когда точка $A$ была в положении $A_{0}$, то, вследствие равномерности обоих движений, мы получим
\[
\frac{\widetilde{A_{0} A}}{v}=\frac{O B}{u}=t .
\]

Палее, из треуголыника $A B C$ легко пайти, что
\[
\begin{array}{l}
v \cos (\hat{x, v})=\frac{d x}{d t}=v \frac{C B}{A B}=v \frac{u t-x}{A B} ; \\
v \cos (\hat{y, v})=\frac{d y}{d t}=-v \frac{A C}{A B}=-v \frac{y}{A B} .
\end{array}
\]

Поделив почленно последние равенства, найдём:
\[
\frac{d x}{d y}=\frac{-u t+x}{y} .
\]

Исключим $t$ из уравнений (6.29) и (6.30), при этом обозначим дугу $\overline{A_{0} A}$ через $s$, а отношение скоростей $\frac{u}{v}$ через $\varepsilon$; тогда мы получим:
\[
x-y \frac{d x}{d y}=\varepsilon s .
\]

Продифференцируем обе части этого уравнения, приняв за независимую переменную $y$; мы получим:
\[
\varepsilon \frac{d s}{d y}=-y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} .
\]

Так как $d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}$, то производную, стоящую в левой части, можно заменить выражением $-\sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}}$; энак минус перед радикалом следует взять потому, что с увеличением $y$ длина дуги $s$ \» уменьшается. После указанной подстановки последнее уравнение перепишется так:
\[
\varepsilon=\frac{\frac{d^{2} x}{d y^{2}} d y}{\sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}}} .
\]

Іроинтегрировав это уравнение, мы найдём:
\[
\varepsilon \ln y+C_{\mathrm{t}}=\ln \left\{\frac{d x}{d y}+\sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}}\right\} .
\]

Пусть расстояние $O A_{0}=a$; тогда произвольная постоянная $C_{1}$ легко найдётся, если заметим, что для точки $A_{0}$ мы имеем
\[
y=a, \frac{d x}{d y}=0 ;
\]

следовательно,
\[
\varepsilon \ln a+C_{1}=0,
\]

а потому предыдущее равенство даёт
\[
\left(\frac{y}{a}\right)^{5}=\frac{d x}{d y}+\sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}} .
\]

Приравняв друг другу обратные величины, мы найдём:
\[
\left(\frac{y}{a}\right)^{-1}=-\frac{d x}{d y}+\sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}} .
\]

Из этих двух уравнений следует, с одной стороны, что
\[
2 \frac{d x}{d y}=\left(\frac{y}{a}\right)^{2}-\left(\frac{y}{a}\right)^{-8},
\]

а с другой, чго
\[
2 \sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}}=\left(\frac{y}{a}\right)^{a}+\left(\frac{y}{a}\right)^{-t} .
\]

Предыдущее уравнение тотчас же интегрируется: есди $\varepsilon$ не равно еди-

нице, то мы получим:
\[
2 x+C_{2}=\frac{y^{1+\varepsilon}}{a^{\varepsilon}(1+\varepsilon)}-\frac{y^{1-1}}{a^{-\varepsilon}(1-\varepsilon)} ;
\]

а если $\varepsilon=1$, то получим:
\[
2 x+C_{8}=\frac{y^{2}}{2 a}-a \ln y .
\]

Определив произвольные постоянные из того условия, что $x=0$ для $y=a$, мы найдевм уравнения траекторий в окончательном виде:
\[
\begin{aligned}
& \text { при } \varepsilon
eq 1: & 2\left(x-\frac{a^{2}}{1-\varepsilon^{2}}\right) & =\frac{y^{1+a}}{a^{3}(1+\varepsilon)}-\frac{y^{1-\cdot}}{a^{-\varepsilon}(1-\varepsilon)}, \\
\text { при } \varepsilon & =1: & 2 x+\frac{a}{2} & =\frac{y^{2}}{2 a}-a \ln \frac{y}{a} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что расстояние между точками $A$ и $B$ равно
\[
A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=y \sqrt{1+\left(\frac{d \bar{x}}{d y}\right)^{2}},
\]
т. е. по формуле (6.31)
\[
A B= \pm \frac{1}{2}\left[\frac{y^{\varepsilon+1}}{a^{e}}+\frac{a^{2}}{y^{\varepsilon-1}}\right] .
\]

Когда $\varepsilon \geqslant 1$, ось $x$ служит асимптотой траектории, притом для $\varepsilon>1$ расстояние между точками беспредельно возрастает с приближением $у$ к нулю, а для $\varepsilon=1$ оно стремится к пределу $\frac{a}{2}$. Когда $\varepsilon<1$, то траектория пересекает ось $x$-ов, и здесь обе тонки $A$ и $B$ встречаются.

43. Обобщение понятия о скорости. Скорость линейная, обобщённая, угловая. секторная. Если какая-либо величина зависит от времени, то часто производную от неё по времени называют скоростью, прибавляя к этому названию соответственный эпитет. Так, скорость, нами раньше рассмотренную, называют иногда скоростью линейной, так как она связанз с производной по времени от длины линии или дуги траектории. Производную по $t$ от какой-либо криволинейной координаты $q$ называют скоростью обобщённой. Если какой-либо угол, например, сферическая координата $\psi$, изменяется во времени, то производная от этого угла по $t$ называется иногда угловой скоростью.
Рассмотрим точку, движущуюся Фиг. 43. по некоторой кривой (фиг. 43).
Пусть в момент времени $t$ эта точка находигся в положении $A$ и пусть за промежуток времени $\Delta t$ она проходит дугу $\overline{A B}$. Рассмотрим треугольник

$O A B$. Его площадь, очевидно, равна $\frac{1}{2}|\boldsymbol{r} \times \Delta \boldsymbol{r}|$, сама же векторная величина $\frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \Delta \boldsymbol{r}$ даёт, как говорят, ориентированную плоцадь этого треугольника. Изучим предел $\boldsymbol{S}$, к которому стремится отношение рассматриваемой ориентированной площади к промежутку времени $\Delta t$ при условии, что этот промежуток стремится к нулю; имеем
\[
S=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{1}{2} \frac{r \times \Delta r}{\Delta t},
\]

или
\[
S=\frac{1}{2} r \times \boldsymbol{v} .
\]

Векторная величина $S$ носит название секторной скорости точки огносительно центра $O$. Когда точна $A$ движется по свовй траектории, то геометрическим местом её радиуса-вектора служит некоторая коническая поверхность с вершиной в $O$; можно сказать, что секторная скорость характеризует быстроту, с которой радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ ометает эту поверхность.

Как показывает формула (6.32), удвоенная секторная скорость равна моменту скорости. Таким образом, свободные векторы $v$ и $2 S$ могут рассматриваться как координаты скользящего вектора $\boldsymbol{v}$, приложенного к движущейся точке $A$ (§10).

Исходя из формулы (6.32), нетрудно получить выражения для проекций секторной скорости на оси декартовой системы координат, или так называемые секторные скорости точки относительно координатных осей; имеем
\[
S_{x}=\frac{1}{2}(y \dot{z}-z \dot{y}), \quad S_{y}=\frac{1}{2}(z \dot{x}-x \dot{z}), \quad S_{z}=\frac{1}{2}(x \dot{y}-y \dot{x}) .
\]

Особенно интересно выразить секторную скорость относительно оси $\mathrm{Oz}$ в цилиндрических координатах. Как видно на фиг. 43,
\[
S_{z}=\lim \frac{\text { пл } O A^{\prime} B^{\prime}}{\Delta t}=\frac{d \sigma}{d t},
\]

где $\sigma=$ пл $O A_{0}{ }^{\prime} A^{\prime}$; а так как дифференциал площади $d \sigma$ имеет в полярных координатах выражение $\frac{1}{2} p^{2} d \varphi$, то окончательно мы получаем:
\[
S_{z}=\frac{1}{2} \hat{\rho}^{2} \dot{\varphi} .
\]

Если точка движется в плоскости (плоскости $O x y$ ), то прозкцию $S_{z}$ её секторной скорости на ось, перпендикулярную плоскости (ось $O z$ ), обычно просто называют секторной скоростью точки относительно начала координат.

Конечно, все рассмотренные в этом параграфе скорости сходны между собой лишь по названию и, вообще говоря, являются величинами разнородными. Так, например, единицей угловой скорости служит $1 /$ сек.; единицей секторной скорости $c \mathrm{M}^{2} /$ сек; ни одна из этих единиц не однородна с единицей линейной скорости, т. е. с см/сек.