Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 38. Перемещение точки. Скорость точки. Проекции скорости на оси декартовых координат. Радиус-вектор движущейся точки, проведённый из какого-либо неподвижного полюса (например, начала координат), изменяется с течением времени по модулю и по направлению, т. е. он является вектор-функцией времени (§26). В таком случае траектория точки служит годографом этого вектора. Хорда траектории $\overline{m^{\prime}}$, соединяющая два положения $m$ и $m^{\prime}$ точки для моментов $t$ и $t^{\prime}$, называется перемещением то’ки за промежуток времени $\Delta t=t^{\prime}-t$; перемещение представляет собой приращение $\Delta \boldsymbol{r}$ радиуса-вектора, соответствующее приращению времени $\Delta t$. Отношение приращения $\Delta \boldsymbol{r}$ радиуса-вектора к соответствующему приращению $\Delta t$ времени называется средней скоростью $\boldsymbol{\theta}$ за промежуток времени $\Delta t$ : Предел этого отношения в том предположении, что $t^{\prime}$ неограниченно приближается к $t$, или, что то же , производная по времени от радиуса-вектора точки называется скоростью $\boldsymbol{g}$ точки в момент $t$ : Как всякая векторная производная, вектор $\boldsymbol{v}=\dot{r}$ направлен по касательной к годографу вектора $\boldsymbol{r}$, т. е. скорость направлена по касательной к траектории и притом в ту сторону, в которую происходит движение. Согласно формуле (4.15) на стр. 35 мы имеем следующее выражение скорости через длину дуги траектории и единичный вектор касательной: Следовательно, модуль скорости равен Если скорость $v$ постоянна по направлению, траектория – прямая. Если скорость постоянна по модулю: т. е. движение называется равномерннм. Если за положительноз направление отсчёта расстояний принять направление движения, то из формулы (6.3) в этом елучае вытекает следующий закон движения: здесь $s_{0}$-так называемое начальное расстояние, т. е. длина дуги, соответствующая положению точки для момента $t=0$. Из закона равномерного движения выводим: Скорость как производная по времени от радиуса-вектора представ-, ляет собой величину, не однородную с радиусом-вектором, т. е. длиной. Eё размерность выражается символом Единицей скорости служит.см/сек. т. с. за единицу скорости принимается скорость-всантиметр в секунду среднего времениз. В равномерном движении точка с такой скоростью проходит в единицу времени единицу длины, т. е. в секунду среднего времени проходит один сантиметр. Символ (6.5) указывает, как размер единицы скорости меняется в зависимости от размеров единиц длины и времени, а именно, величина единицы скорости прямо пропорциональна величине единицы длины и обратно пропорциональна величине единицы времени. Так, скорость – кметр в секунду» в 100 раз больше принятой нами единицы, скорость ммллиметр в секунду, в 10 раз меньше, а скорость кантиметр в минуту, составляет $\frac{1}{60}$ этой величины. Мы знаем, как радиус-вектор точки выражается через её декартовы координаты: Отсюда на основании формулы (6.1) мы получаем следующее выражение скорости в декартовых координатах: Следовательно, для проекций скорости, для её модуля и для направляющих косинусов мы-имеем формулы Аналогичным путём можно получить выражение скорости в цилиндрических координатах. Согласно формуле (5.10) на стр. 48 , мы имеем: отсюда мы дифференцированием получаем: но согласно теореме (4.11) на стр. 34 мы имесм $\overline{\rho^{0}}=\bar{\varphi} \varphi^{0}$; кроме того, так как $\boldsymbol{z}^{0}=$ const., то $\boldsymbol{z}^{0}=0$; на этом основании окончательно получаем: следовательно, проекции.скорости на оси цилиндрических коордннат и модуль скорости соогветственно равны Пример 6. Даны уравнения движения Найдём проекции и модуль скорости; имеем таким образом, движение оказывается прямолинейным и равномерным. Очевидно, траекторией движущейся точки является окружность $x^{2}+y^{2}=a$. Найдём скорость; имеем Найдём скорость: 39. Проекции скорости точки на неподвижное и подвижное направления. Станем рассматривать проекцию $M_{x}$ движущейся точки $M$ на ось $O x$; эта проекция одновременно с точкой $M$ будет двигаться в той же среде, причём скорость её [по формуле (6.6)] будет иметь выражение $\dot{x} x^{0}$. Сравнивая его с выражением $v=\dot{x} x^{0}+\dot{y} y^{0}+\dot{z} z^{0}$ скорости точки $M$, мы видим, что скорость проекцин точки $M$ на ось $x$ равна составляющей (по той же оси) скорости точки $M$. То же, очевидно, имеет место для ортогональной составляющей скорости по любому неподвижному направлению, ‘характеризуемому единичным вектором $\boldsymbol{u}^{0}$; это подтверждается также формулой (4.23) на стр. 37 , которая в применении к радиусу-вектору $\boldsymbol{r}$ выглядит так: или Пусть теперь направление $\boldsymbol{u}^{0}$ подвижное. Тогда по теореме (4.24) на стр. 37 мы найдём: Здесь $\dot{u}^{0}=\omega p^{0}$, где $p^{0} \perp \boldsymbol{u}^{0}$ и $\omega=\lim _{\boldsymbol{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} ; \omega$ характеризует быстроту, с которой поворачивается направление $\boldsymbol{u}^{0}$; поэтому вектор $\dot{\boldsymbol{u}}^{0}$ называется поворотной скоростью направления $\boldsymbol{u}^{0}$. Найти проекцию скорости точки на подвижное иаправление $\boldsymbol{u}^{0}$, определяемое следующими косинусами углов с осями координат: где $a, a, \beta$ и $\gamma$ – постоянные величины. Заданные направляющие косинусы равны проекциям единичного вектора $\boldsymbol{u}^{0}$, поэтому имеем и, следовательно, Далее, получаем: В результате подстановки этих результатов в формулу (6.10) приходим к ответу: 40. Выражение скорости в криволинейных координатах. Косоугольные и ортогональные проекции скорости на оси криволинейных координат. Скорость согласно определению равна производной радиуса-вектора по времени: Чтобы выразить скорость в криволинейных координатах, вычислим эту производную по правилу дифференцирования сложной функции, имея в виду, что радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ движущейся точки может рассматриваться как функция её криволинейных координат $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, а последние являются некоторыми функциями времени $t$ : На этом основании имеем Возвысив это равенство в квадрат, мы получим согласно теореме (1.13) на стр. 7 выражение для квадрата модуля скорости: где индексы $\sigma$ и $\rho$ пробегают независимо друг от друга все значения от 1 до 3. В случае ортогональной системы координат согласно формуле (5.8) на стр. 47 сохраняются лишь члены с одинаковыми индексами, и полученное выражение упрощается: Если радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ выразить через декартовы координаты, то последние формулы перепишутся так: в облем случае в случае же ортогональной системы Исходя из формул (6.12) и (5.5), нетрудно также получить разложение скорости по осям криволинейных координат; действительно, так как согласно формуле (5.5) To Коэффициенты при единичных векторах в правой части представляют собой проекции скорости, притом, вообще говоря, косоугольные, на оси криволинейных координат; мы запишем это кратко следующим образом: Составим также выражение для ортогональной проекции скорости на координатную ось $q_{\sigma}$. Для этого нужно скорость $\boldsymbol{v}$ скалярно умножить на единичный вектор $\boldsymbol{q}_{\circ}^{0}$ оси; имеем но из выражения (6.12) скорости мы непосредственно усматриваем, что поэтому имеем следовательно, для ортогональной проекции скорости мы получаем выражение В частном случае, если система криволинейных координат ортогональная и, следовательно, квадрат скорости вычисляегся по формуле (6.14), выражения (6.18) и (6.21) совпадают. Формула (6.17) допускает следующее истолкование. Умножим обе её части на $d t$. Тогда, вспомнив, что согласно формуле (6.2) мы получим: Мы здесь имеем разложение элементарного перемещения $d s \bar{\tau}^{0}$ по осям криволинейных координат. Обозначив скалярные коэффициенты при единичных векторах в правой части соответственно $d s_{1}, d s_{2}, d s_{3}$, можем написать Таким образом, полное элементарное перемещение точки равно сумме трёх её элементарных перемещений вдоль координатных осей (фиг. 41). Эта формула интересна в том отношении, что проекции (косоугольные) $d s_{1}, d s_{2}, d s_{3}$ элементарного перемещения $d s \overline{\tau^{0}}$ на оси криволинейных координат обычно могут быть легко найдены геометрическим пугём. Зная их, по формуле (6.22) можем Фиг. 41. найти само элементарное перемешение $d s \overline{\tau^{0}}$ и путём деления его на $d t$ – скорость 0 . Точно так же, исходя из выражений для $d s_{1}, d s_{2}, d s_{3}$, нетрудно найти квадрат элементарного перемещения, как квадрат диагонали параллелепипеда со сторонами $\left|d s_{1}\right|,\left|d s_{2}\right|,\left|d s_{3}\right|$, а именно: Делением на $d t^{2}$ можем теперь найти квадрат скорости: Нетрудно усмотреть тождественность формул (6.13) и (6.23). следователыо, формула (6.16) лаёт отсюда по формуле (6.21) найдём проекции скорости: таким образом, мы получили те же результаты (6.9), которые ранее были найдены непосредственным дифференцированием радиуса-вектора. Выражения (6.25) легко также получить из геометрических соображений. Пример 11. Найдем скорость в сферических координатах. Пусть $q_{1}=r$, $q_{2}=4, q_{3}=\psi$. Тогда согласно формулам (5.1) и (5.13) мы получим: Отсюда по формуле (6.16) мы найдём: Теперь по формуле (6.21) вычислим проекции скорости: Эти проекции могли бы также легко быть найдены из геометрических соображений. 41. Переход от закона движения точки в координатной форме к закону движения в естественной форме. Чтобы от координатной формы задания движения, т. е. от уравнений перейти к естественной форме [см. формулы (5.15) на стр. 49], поступаем следующим образом. Из формулы (6.3) мы имеем Модуль скорости $v$ здесь должен быть вычислен по формуле (6.13), а энак берётся в соответствии с выбором положительного направлениа отсчёта дуг траектории. Взяв квадратуру, получим $s$ как функцию времени, т. е. закон движения в естественной форме: Произвольная постоянная здесь определится, когда выберем начало отсчёта дуг; если за начало примем точку $q_{1}\left(t_{0}\right), q_{2}\left(t_{0}\right), q_{3}\left(t_{0}\right)$, то будем иметь Исключив с помощью этого уравнения время из уравнений (6.28), получим всю систему уравнений (5.15), представляющих задание движения точки в естественной форме: 42. Определение движения точки, если известна её скорость. Погонная линия. В предыдущем мы видели, как находится скорость по данному движению; теперь скажем несколько слов об обратном вопросе: как определить движение, если задана скорость. Рассмотрим сначала простейшій случай, когда скорость задана как вектор-функция времени: Искомое движение будет определено, если мы найдём радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ движущейся точки как вектор-функцию времени. Так как $\boldsymbol{v}=\frac{d r}{d t}$, то радиус-вектор $r$ найдётся интегрированием (§ 30 ): Задача наша неопределённая: существует бесконечное множество движений, удовлетворяющих заданному условию в отношении скорости. Если какое-либо эначение неопределённого интеграла в последнем выражении обозначим $r_{i}(t)$, то одно из искомых движений мы получим, положив произвольную постоянную интегрирования равной $\boldsymbol{C}_{1}$; пусть точка, совершающая движение по этому закону, названа $M_{1}$ и её радиус-вектор обозначен $\boldsymbol{r}_{1}$; тогда Некоторое другое движение, которое мы назовём движением точки $M_{2}$ с радиусом-вектором $r_{2}$, будет отличаться от первого значением постоянной интегрирования; пусть Вычтя почленно два полученные уравнения движения, находим: Это равенство говорит, что вектор $\bar{M}_{1} M_{2}$, соединяющий одновременные положения точек $M_{1}$ и $M_{2}$, постоянен как по модулю, так и по направлению. Следовательно, во всех искомых движениях точки описывают тождественные траектории, и все траекторий получаются из одной какойнибудь, если каждой точке последней дать одно и то же перемещение. Так, для рассмотренных нами двух траекторий перемещение это равняется $C_{2}-C_{1}$. Задача о нахождении закона движения по данной скорости станет вполне определённой, если мы зададим также начальное положение точки, т. е. её радиус-вектор $r_{0}$ для некоторого момента $t_{0}$. Тогда закон движения примет вид Пример 12. Пусть скорость точки задана своими проекциями и пусть в момент $t=0$ точка находится в начале координат. Найдём закон движения. Имеем В более сложных случаях проекции скорости могут быть заданы как функции не только времени, но и координат точки, причём координаты точки могут быть и криволинейные. Тогда, вообще говоря, мы будем иметь три уравнения, связывающие три неизвестные функции времени $q_{1}, q_{3}, q_{3}$ : Вопрос о нахождении закона движения сводится к интегрированию этой системы трёх совместных дифференциальных уравнений первого порядка. Три интеграла системы будут заключать в себе три произвольные постоянные. Для определённости решения опять нужно задать ещё так называемые начальные условия, например положение точки для момента $t=t_{0}$. К такому типу относятся, например, задачи о так называемых погонных линиях, или линиях бегства. Мырассмотрим для примера простейшую из них: определить траекторию точки $A$, движущейся в плоскости с постоянной по модулю скоростью $\boldsymbol{v}$, причём эта скорость всегда направлена на точку $B$, равнсмерно движушуюся в той же плоскости по прямой с данной скоростью $\boldsymbol{u}$. Примем граекторию точки $B$ за ось $x$ и направление скорости $\boldsymbol{u}$ за положительное направление этой оси (фиг. 42). Заметим, что, Фиг. 42. когда точка $B$ была на бесконечности в отрицательном направлении оси $O x$, скорость точки $A$ должна была быть параллельна этому отрицательному направлению; когда точка $B$ уйдёт в положительном направлении в бесконечность, скорость точки $A$ станет параллельной положительному направлению оси $\boldsymbol{x}$; следовательно, для некоторого промежуточного момента точка $A$ должна занимать такое положение $A_{0}$, для которого скорость её перпендикулярна к оси $O x$. Касательную к искомой траектории в этой точке $A_{0}$.и примем за ось $O y$. В тот момент, когда точка $A$ находилась в $A_{0}$, по условию задачи, точка $B$ должна была быть в начале $O$ координат; следовательно, если $A$ и $B$ изображают одновременные положения точек и если время считать с того момента, когда точка $A$ была в положении $A_{0}$, то, вследствие равномерности обоих движений, мы получим Палее, из треуголыника $A B C$ легко пайти, что Поделив почленно последние равенства, найдём: Исключим $t$ из уравнений (6.29) и (6.30), при этом обозначим дугу $\overline{A_{0} A}$ через $s$, а отношение скоростей $\frac{u}{v}$ через $\varepsilon$; тогда мы получим: Продифференцируем обе части этого уравнения, приняв за независимую переменную $y$; мы получим: Так как $d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}$, то производную, стоящую в левой части, можно заменить выражением $-\sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}}$; энак минус перед радикалом следует взять потому, что с увеличением $y$ длина дуги $s$ \” уменьшается. После указанной подстановки последнее уравнение перепишется так: Іроинтегрировав это уравнение, мы найдём: Пусть расстояние $O A_{0}=a$; тогда произвольная постоянная $C_{1}$ легко найдётся, если заметим, что для точки $A_{0}$ мы имеем следовательно, а потому предыдущее равенство даёт Приравняв друг другу обратные величины, мы найдём: Из этих двух уравнений следует, с одной стороны, что а с другой, чго Предыдущее уравнение тотчас же интегрируется: есди $\varepsilon$ не равно еди- нице, то мы получим: а если $\varepsilon=1$, то получим: Определив произвольные постоянные из того условия, что $x=0$ для $y=a$, мы найдевм уравнения траекторий в окончательном виде: Заметим, что расстояние между точками $A$ и $B$ равно Когда $\varepsilon \geqslant 1$, ось $x$ служит асимптотой траектории, притом для $\varepsilon>1$ расстояние между точками беспредельно возрастает с приближением $у$ к нулю, а для $\varepsilon=1$ оно стремится к пределу $\frac{a}{2}$. Когда $\varepsilon<1$, то траектория пересекает ось $x$-ов, и здесь обе тонки $A$ и $B$ встречаются. 43. Обобщение понятия о скорости. Скорость линейная, обобщённая, угловая. секторная. Если какая-либо величина зависит от времени, то часто производную от неё по времени называют скоростью, прибавляя к этому названию соответственный эпитет. Так, скорость, нами раньше рассмотренную, называют иногда скоростью линейной, так как она связанз с производной по времени от длины линии или дуги траектории. Производную по $t$ от какой-либо криволинейной координаты $q$ называют скоростью обобщённой. Если какой-либо угол, например, сферическая координата $\psi$, изменяется во времени, то производная от этого угла по $t$ называется иногда угловой скоростью. $O A B$. Его площадь, очевидно, равна $\frac{1}{2}|\boldsymbol{r} \times \Delta \boldsymbol{r}|$, сама же векторная величина $\frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \Delta \boldsymbol{r}$ даёт, как говорят, ориентированную плоцадь этого треугольника. Изучим предел $\boldsymbol{S}$, к которому стремится отношение рассматриваемой ориентированной площади к промежутку времени $\Delta t$ при условии, что этот промежуток стремится к нулю; имеем или Векторная величина $S$ носит название секторной скорости точки огносительно центра $O$. Когда точна $A$ движется по свовй траектории, то геометрическим местом её радиуса-вектора служит некоторая коническая поверхность с вершиной в $O$; можно сказать, что секторная скорость характеризует быстроту, с которой радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ ометает эту поверхность. Как показывает формула (6.32), удвоенная секторная скорость равна моменту скорости. Таким образом, свободные векторы $v$ и $2 S$ могут рассматриваться как координаты скользящего вектора $\boldsymbol{v}$, приложенного к движущейся точке $A$ (§10). Исходя из формулы (6.32), нетрудно получить выражения для проекций секторной скорости на оси декартовой системы координат, или так называемые секторные скорости точки относительно координатных осей; имеем Особенно интересно выразить секторную скорость относительно оси $\mathrm{Oz}$ в цилиндрических координатах. Как видно на фиг. 43, где $\sigma=$ пл $O A_{0}{ }^{\prime} A^{\prime}$; а так как дифференциал площади $d \sigma$ имеет в полярных координатах выражение $\frac{1}{2} p^{2} d \varphi$, то окончательно мы получаем: Если точка движется в плоскости (плоскости $O x y$ ), то прозкцию $S_{z}$ её секторной скорости на ось, перпендикулярную плоскости (ось $O z$ ), обычно просто называют секторной скоростью точки относительно начала координат. Конечно, все рассмотренные в этом параграфе скорости сходны между собой лишь по названию и, вообще говоря, являются величинами разнородными. Так, например, единицей угловой скорости служит $1 /$ сек.; единицей секторной скорости $c \mathrm{M}^{2} /$ сек; ни одна из этих единиц не однородна с единицей линейной скорости, т. е. с см/сек.
|
1 |
Оглавление
|