143. Механическая система материальных частиц. Собрание материальных частиц (в конечном или бесконечно большом числе) мы будем называть механической системой материальных частиц, если движение каждой из них в отдельности зависит от движения и положения остальных частиц. Прежде чем заняться разбором того, каким образом движение одной материальной частицы или масєы влияет на движение других, мы посвятим две главы так называемой геометрии масс, т. е. рассмотрим свойства некоторых геометрических образов, тесно связанных с распределением масс в пространстве.

144. Координаты центра масс. Пусть мы имеем $n$ материальных частиц с массами
\[
m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{v}, \ldots, m_{n},
\]

положения которых определены радиусами-векторами
\[
\boldsymbol{r}_{1}, \dot{r}_{2}, \ldots, \boldsymbol{r}_{v}, \ldots, \boldsymbol{r}_{n},
\]

проведёнными из некоторой точки $O$. Каждой из этих частиц поставим в соответствие новый вектор $m_{v} r_{v}$, равный произведению массы частицы на её радиус-вектор. Возьмём сумму $\boldsymbol{R}$ этих векторов:
\[
R=m_{1} r_{1}+m_{2} r_{2}+\ldots+m_{v} r_{v}+\ldots+m_{n} r_{n}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} r_{v} ;
\]

рассмотрим также общую массу $M$ всех частиц:
\[
M=m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{v}+\ldots+m_{n}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} .
\]

Разделим вектор $\boldsymbol{R}$ на $M$; найденный таким путём вектор
\[
r_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} m_{v} r_{v}}{\sum_{v=1}^{n} m_{v}}
\]

примем за радчус-вектор (из прежнего начала) некоторой точки $C$ и эту точку назовём иентром масс, ити центром инерци и данной системы частиц. Спроектировав обе части равенства (25.1) на оси $x, y, z$ систвмы координат $O x y z$ (прямоугольной или косоугольнои), получим следующие формулы для координат $x_{C}, y_{C}, z_{C}$ центра масе:
\[
x_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} m_{v} x_{v}}{\sum_{v=1}^{n} m_{v}}, \quad y_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} m_{v} y_{v}}{\sum_{v=1}^{n} m_{v}}, \quad z_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} m_{v} z_{v}}{\sum_{v=1}^{n} m_{v}} .
\]

Равенства (25.1) и (25.2) равносильны следующим:
\[
\left.\begin{array}{l}
M r_{c}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} ; \\
M x_{C}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} x_{v}, \quad M y_{C}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} y, \quad M z_{c}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} z_{v}
\end{array}\right\}
\]

Правые части написанных здесь выражений соответственно называются статическими моментами системы частиц относительно начала координат и плоскостей $O y z, O z x, O x y$. Из формул (25.3) видно, что
1) статический момент системы относительно её центра масс равен нулю;
2) статический момент системы относительно плоскости, в ко:орой лежит центр масс, равен нулю.

Заметим, что формулы (25.1) и (25.3) могут быть распространены и на системы, содержащие частицы с фиктивными отрицательными массами (например, пластины с вырезами); только тогда суммнрование нужно понимать в алгебраическом смысле, т. е. брать массы с их соответственными знаками.
145. Центр масс как центр системы параллельных векторов. В § 25 мы познакомились с понятием о центре системы параллельных векторов как точке, лежащей на основании вектора, эквивалентного системе, и инвариантной по отношению к повороту векторов системы на произвольный угол (с сохранением параллельности). Нетрудно убедиться, что центр масс представляет собой центр системы параллельных векторов, направленных в одну сторону и пропорциональных массам частиц. Действительно, при указанном условии следует в формуле (3.12) на стр. 31 положить
\[
a_{v t}=m_{\downarrow}
\]

после этого она станет тождественной с формулой (25.1) предыдущего параграфа. Если масса понимается в обобщённом смысле, указанном в конце предыдущего параграфа, высказанное положение нужно изменить в том отношении, что векторы, соответітвуюшие отрицательным массам, должны направляться противоположно векторам, соответствующим положительным массам.
146. Простейшие свойства центра масс. Из определения центра масс вытекают как следствия следующие его свойства:
1) Положение центра масс зависит лишь от распределения масс в пространстве и вовсе не зависит от выбора системы осей координат. Действительно, в предыдущем параграфе было показано, что центр масс
есть центр системы параллельных векторов $\boldsymbol{a}_{\mathrm{v}}=m_{v} \boldsymbol{u}^{0}$, пропорциональных массам частиц; но положение последнего не зависит от выбора системы координат, как это было доказано в § 25.
2) Если материальные частицы неизменно связаны друг с другом, то и центр масс этих частиц находится от них на неизменных расстояниях. Действительно, любому движению неизменяемой системы относительно каких-либо осей соответствует некоторое определённое обращённое движение этих осей относительно пеизменямой системы, а в этом обращённом движении, как мы сейчас видели, центр масс остаётся вместе с системой частиц неподвижным.
3) Если массы расположены симметрично относительно какой-либо плоскости, то их центр масс лежит в этой плоскости. Для доказательства возьмём плоскость симметрии за пльскость $O x y$; тогда в сумме $\sum_{v=1}^{n} m_{\vee} z_{\vee}$ каждой массе $m_{\vee}$ с координатой $z_{v}$ соответствует равная масса $m_{\mu}=m_{v}$ с координатой $z_{\mu}=-z_{v}$, за исключением тех масс $m_{v}$, которые лежат в самой плоскости симметрии, но для таких масс $z_{\mathrm{v}}=0$. Следовательно, в нашем случае $\sum_{v=1}^{n} m_{v} z_{v}=0$, а потому по формуле (25.2) и $z_{C}=0$, т. е. центр масс действительно лежнт в плоскости симметрии.
4) Если массы расположены симметрично относительно двух плоскостей, то центр масс лежит на линин их пересечения.
5) Если массы расположены симметрично относительно трё плоскостей, то центр масс лежит в точке их встречи. Оба эти положения непосредственно вытекают из свойства 3 ).
6) Если данную систему масс разобьём на несколько групп, то положение центра всех масс найдётся, єсли определим центры масс отдельных групп, каждому такому центру припишем массу, равную сумме масс, входящих в состав соответственной группы, и затем определим общий центр масс этих воображаемых частиц. Пусть, например, имеется система из $N$ масс $m_{\text {v }}$ н мы еє разделили на три группы: в первой группе имеется $n_{1}$ масс, а именно, $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n_{1}}$, во второй группе $n_{2}$ масс $m_{n_{1}+1}, \quad m_{n_{1}+2}, \ldots, m_{n_{1}+n_{1}}$ и, наконец, в третьен группе $n_{3}$ масс $m_{n_{1}+n_{3}+1}, \ldots, m_{N}$. Радиусы-векторы центров масс наших групп назовём соответственно $r_{c_{1}}, r_{c_{3}}$ и $r_{c_{3}}$; радиус-вектор центра масс всей системы пусть будет попрежнему $r_{c}$. Обозначим, кроме того, $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ и $M$ соответственно суммы масс частиц в отдельных группах и во все системе. Выпишем по формуле (25.3) выражения для статических моментов относительно начала координат для всех групп и для всей системы; имеем
\[
\begin{aligned}
M_{1} r_{C_{1}}=\sum_{v=1}^{n_{1}} m_{v} r_{v}, \quad M_{2} r_{C_{2}}=\sum_{v=n_{1}+1}^{n_{2}} m_{v} r_{v}, \quad M_{i} r_{C_{3}} & =\sum_{v=n_{1}+n_{2}+1}^{N} m_{v} r_{v}, \\
M r_{C} & =\sum_{v=1}^{N} m_{v} r_{v} .
\end{aligned}
\]

Последнее равенство может быть переписано так:
\[
M r_{c}=\sum_{v=1}^{n_{1}} m_{v} r_{v}+\sum_{v-n_{1}+1}^{n_{3}} m_{v} r_{v}+\sum_{v=n_{v}+n_{0}+1}^{N} m_{v} r_{v}
\]

\”или, на основании пред:ндуиих равенств,
\[
M r_{C}=M_{1} r_{C_{1}}+M_{8} r_{C 2}+M_{3} r_{C 3},
\]

что и доказывает высказанное положение.
Иной раз представляется удобным рассматривать данную систему масс как часть некоторой другой, большей системы. Пусть, например, данная система из $n$ масс входит как часть в систему $N=n+n_{1}$ масс. Тогда положение центра масс данной системы найдём, рассматривая её как сложную из $N$ положительных масс и $n_{1}$ отрицательных. Аналитически в справедливости сказанного убеждаемся так. Обозна’им центры масс рассматриваемых групп, содержащих $n, n_{1}$ и $N$ масс, соответственно $C$, $C_{1}$ и $C^{\prime}$, а их радиусы-векторы $\boldsymbol{r}_{C}, \boldsymbol{r}_{C_{2}}$ и $\boldsymbol{r}_{C^{\prime}}$. Тогда по предыдущему имеем
\[
\begin{aligned}
r_{C} \sum_{v=1}^{n} m_{v}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} r_{v}, \quad r_{C_{v}} \sum_{v=n+1}^{N}\left(-m_{v}\right) & =\sum_{v=n+1}^{N}\left(-m_{v} r_{v}\right), \\
r_{C^{\prime}} \sum_{v=1}^{N} m_{v} & =\sum_{v=1}^{N} m_{v} r_{v} .
\end{aligned}
\]

Припишем точке $C^{\prime}$ положительную массу $\sum_{v=1}^{N} m_{v}$, а точке $C_{1}$ отрицательную массу – $\sum_{v=n+1}^{n_{1}} m_{v}$. Тогда общий их центр масс будет иметь радиус-вектор $\bar{\rho}$, удовлетворяющий следуюшему уравнению:
\[
\left(\sum_{v=1}^{N} m_{v}-\sum_{v=n+1}^{N} m_{v}\right) \vec{\rho}=\sum_{v=1}^{N} m_{v} r_{v}-\sum_{v=n+1}^{N} m_{v} r_{v} .
\]

Соединяя здесь отдельные суммы, можем написать:
\[
\bar{\rho} \sum_{v=1}^{n} m_{v}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} r_{v}=r_{c} \sum_{v=1}^{n} m_{v}
\]

что и даёт
\[
\bar{\rho}=r_{c} .
\]
7) Центр масс двух материальных частиц лежит на прямой, их соединяюще и делит расстояние между этими частицами обратно пропорционально их массам. Это непосредственно вытекает из формулы (25.1), применённой к данному случаю; действительно, имеем
\[
\boldsymbol{r}_{c}=\frac{m_{1} r_{1}+m_{2} r_{2}}{m_{1}+m_{2}} ;
\]

поместив начало координат в центр масс $C$, получаем отсюда:
\[
m_{1} r_{1}+m_{2} r_{2}=0,
\]
т. е. векторы $\boldsymbol{r}_{1}$ и $\boldsymbol{r}_{2}$ коллинеарны, а это и значит, что данные две частицы и точка $C$ лежат на одной прямой. Наконец, из последнего равенства видим, что отношение модулей векторов $\boldsymbol{r}_{1}$ и $\boldsymbol{r}_{2}$ равно
\[
\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}}
\]

что требовалось доказать.

147. Формулы для координат центра масс непрерывно-протяжённых тел. Когда массы расположены непрерывно, то суммы в выражениях (25.1) и (25.2) заменяются интегралами.
1) ІІсть имеем непрерывное матернальное тело. Разделим его координатными поверхностями на бесконечно малые объёмы; пусть масса внутри какого-либо элемента объёма равняется $d m$. Тогда масса тела представится тройным интегралом $\iiint d m$, а радиус-вектор и декартовы координаты центра масс найдутся по формулам:
\[
\boldsymbol{r}_{c}=\frac{\iiint \mathrm{r} d m}{\iiint d m} ; \quad x_{c}=\frac{\iiint \mathrm{r} d m}{\iiint d m} \text { и т. д., }
\]

причём интегралы распространяются по всему объёму, занятому телом.
Обыкновенно в предыдущис выражения вводят плотность $\sigma$ тела в данной точке ( $\S 82$ ). Тогда $d m=\tau d v$, если $d v$ – элемент объёма, и вместо предыдущей формулы мы получаем:
\[
r_{C}=\frac{\iiint \sigma \boldsymbol{r} d v}{\iiint \sigma d v} ; \quad x_{C}=\frac{\iiint \sigma x d v}{\iiint \sigma d v} \text { и т. д. }
\]

Если элементарный объём $d v$ выражен в декартовых координатах, то находим отсюда:
\[
x_{C}=\frac{\iiint \rho x d x d y d z}{\iiint \rho d x d y d z} \text { и т. д., }
\]

если же он выражен в сферических координатах, то
\[
x_{C}=\frac{\iiint \sigma r^{3} \cos \varphi \cos ^{2} \psi d \rho d \varphi d \psi}{\iiint \sigma r^{2} \cos \phi d \rho d \varphi d \psi} \text { и т. д. }
\]

В первом случае плотность $\sigma$ должна быгь известна как функция от $x$, $y, z$, во втором случае – как функция от $r, \varphi$ и $\psi$.

Когда тело однородно и, следовательно, плотность его постоянна, то можно вынести в выражениях (25.4) плотность $\sigma$ за знаки интегралов и на неё сократить дроби; таким образом, из равенства (25.4) исчезает всякий след массы; потому принято говорить для сокращения, что эти формулы да1от координаты центра масс данного объёма (вместо того, чтобы говорить-центра масс однородного тела, заполняющего данный объём).
2) Всякая масса дблжна непременно занимать некоторый объём, но иной раз приходится условно говорить о массах, распределённых по данной поверхности или по данной линии. Такого рода распределение масс мы принимаем как некоюорое вспомогательное геометрическое постросние, или подразумеваем при этом, что одно, либо два измерения рассматриваемых масс настолько малы, что мы считаем себя в праве не принимать их в расчёт.
a) Пусть масса распределена по поверхности. В таком случас берём на этой поверхности точку $A$ и стрсим контур, вырезывающий из поверхности часть её $\Delta S$ так, чтобы точка $A$ была или внутри контура, или на нём. Пусть масса части поверхности $\Delta S$ равна $\Delta m$ (собственно речь идёт о массе весьма тонкого материального слоя на поверхности $\Delta S$, если поверхно-

стная масса имеет реальное значение). Затем рассмотрим предел отношения
\[
\bar{\Delta} \bar{S}
\]

в том предположении, что контур стягивается в точку $A$. Если этот предел
\[
\sigma_{1}=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta m}{\Delta S}
\]

существует, то он носит название поверхностной плотности в точке $A$. Из равенства (25.5) вытекает, что $d m=\sigma_{1} \cdot d S$, если $d S$ есть элемент поверхности. Масса всей поверхности представится двойным интегралом $\iint d m=\iint \sigma_{1} d S$. Радиус-вектор и декартовы координаты центра масс материальной поверхности найдутся по формулам:
\[
r_{c}=\frac{\iint \sigma_{1} r d S}{\iint \sigma_{1} d S} ; \quad x_{c}=\frac{\iint \sigma_{1} x S}{\iint \sigma_{1} d S} \text { и т. д. }
\]

Если поверхность задана уравнением
\[
z=z(x, y),
\]

то последние формулы могут быть переписаны так:
\[
x_{C}=\frac{\iint \sigma_{1} x \sqrt{1+p^{2}+q^{2}} d x d y}{\iint \sigma_{1} \sqrt{1+p^{2}+q^{2}} d x d y} \text { и т. д., }
\]

где $p=\frac{\partial z}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial z}{\partial y}$. Плотность $\sigma_{1}$ должна быть известна как функция $x$ и $y$.
б) Наконец, когда массы распределены по данной линии (т. е. когда два измерения тела весьма малы), радиус-вектор и декартовы координаты центра масс этой материальной линии выразятся через обыкновенные определенные интегралы:
\[
r_{c}=\frac{\int \sigma_{2} r d s}{\int \sigma_{2} d s} ; \quad x_{c}=\frac{\int \sigma_{2} x d s}{\int \sigma_{2} d s} \text { и т. д., }
\]

где $d s-$ элемент дуги, а $\sigma_{2}=\frac{d m}{d s}$ называется линейной плотностью. Если кривая задана уравнениями
\[
y=y(x), \quad z=z(x) \cdot
\]

и плотность $\sigma_{2}$ известна как функция от $x$, то последние формулы удобно писать в виде
\[
x_{C}=\frac{\int \sigma_{2} x \sqrt{1+p^{2}+q^{2}} d x}{\int \sigma_{2} \sqrt{1+p^{2}+q^{2}} d x} \quad \text { и т. д. }
\]

Если плотность $\sigma_{1}$ или $\sigma_{2}$ постоянна, она пропадает из формул (25.5) и (25.6), и мы получаем выражения для координат центра масс данной поверхности или линии (как для сокращения говорят).

148. Центры масс некоторых линии и площадей.
Пример 59. Центр иасс дуги окружности. Пусть дуга $A B$ окружности радиуса $R$ описана из центра $O$ и пусть центральный угол $A O B$

равен 23 (фит. 91). Нентр масс $C$ пуги $\overline{A B}$, очевидно, лежит на сиссектрисе $O D$ этого угла. Направим по ней ось $U x$. Абсиисса чентра масс определится по формуле (25.6):
\[
x_{C}=\frac{\int x d s}{\int d s} .
\]

Введем полярные координаты, приняв $O D$ за полярную ось. В таком случае $d s=R d$ p, $x=R \cos \varphi$, а потому
\[
x_{C}=\frac{\int_{-\alpha}^{+\pi} R^{2} \cos \varphi \phi}{\int_{-\alpha}^{+2} R d \varphi}=\frac{R \sin \alpha}{a}=\frac{R \cdot 2 R \sin \alpha}{2 R \alpha}=\frac{\text { (ра дис) } \cdot(\text { дорда) }}{\text { (дуга) }} .
\]

Пример 60. Центр масс контура треугольника. Центры масс сторон треугольника $A B C$, очевидно, лежат в их серединах $a, b, c$ (\$иг. 92). Следовательно, общий центр масс сторон $B A$ и $B C$ пежит на отрезке $a c$, а именно, в точке $k$, делящей его на части, обратно пропорциональные длинам сторон $B A$ и $B C$; таким образом,
\[
\frac{k a}{k c}=\frac{B A}{\overrightarrow{B C}} .
\]

Но $B A=2 b a, B C=2 b c$; значит,
\[
\frac{k a}{k c}=\frac{b a}{b c} .
\]

Отсюда следует, что прямая $b k$, на которой, очевндно, должен лежать центр масс $O$ контура треугольника $A B C$, является биссектрисой угла abc. Таким же оразом можно показать, что точка $O$ лежит на оиссектрисах двух других углов треугольника $a b c$, r. е. она является центром
Фиг. 91.
круга, вписанного в этот треугольник.

Пример 61. Цевтрмасе площади треугоиьника. Разделив площадь треугольника прямыми, параллельными одной нз его сторон, на бесконечно тонкие полосы и заметив, что центр масс каждой такой полосы лежит в ее середине, мы заключаем, что. центр масс площади треугольника находится в гочке встречи трех медиан. Иначе, центр масс площади треугольника лежит на медиане в расстоянии двух третей ее от вершины.

Пример 62. Центрмасс сектора. Центр масс бесконетно тонкого сектора $M M^{\prime} O$ с углом растворения $d \varphi$ лежит в точке, отстоящей, по примеру 61 , от точки $O$ на $\frac{2}{3} R$ (фиг. 91). Отсюда вытекает, что центр масс сектора $A O B$ совпадает с центром масс дуги, описанной из точки $O$ радиусом $O a=\frac{2}{3} R$. Поэтому по формуле (25.7) находим:
\[
x_{C}=\frac{2}{3} \frac{R \sin x}{a}=\frac{2}{3} \frac{\text { (радиус).(хорда) }}{\text { дуга }} .
\]

Пример 63. Центр масс сегмента. Дополняем сегмент $A D B E A$ треугольником $O B A$ до сектора (фиг. 91); тогда, воспользовавшись свойством центра масс, указанным в конце п. 6 § 146 , легко находим:
\[
x_{c}=\frac{4}{3} R \frac{\sin ^{8} a}{2 a-\sin 2 a} .
\]

Пример 64. Центрмасс площади трапеци и. Искомый центр $C$ должен лежать на линия $E F$, соединяюцей середины параллельных сторон (фиг. 93). С другой стороны, если диагональю $A G$ разлелить транецию на два треугольника $A B C$ и $A D C$, то ясно, что искомая точка должна лежать на прямой $K L$, соедніяюшей центры масс $K$ и $L$ этих треугольников. Пусть $A D=a$, $B C=b$, тогда легко показать, что
\[
\overline{C E}=\frac{a+2 b}{b+2 a} .
\]

149. Центры масс некоторых объёмов.
Фиг. 93.
Пример 65 . Пусть имеем сплонное однородное тело, ограниченное двумя плоскими параллельными основаниями и такой боковой поверхностью, что площадь сечения её какой-либо плоскостью, параллельной основаниям, выражается целой квадратичной функцией от расстояния между пльскостью сечения и одним из оснований (фиг. 94). Пусть плошадь нижнего основания, тела равна $P_{0}$, верхнего $-P_{2}$; площадь среднего сечения, т е. равноотстоящего от верхиего и нижнего оснований, пусть будет $P_{1}$; расстояние пентра масс тела от нижнего основания назовем $z_{C}$, высоту тела $-h$; тогда можно показать, что
\[
\frac{z_{C}}{h-z_{C}}=\frac{P_{0}+2 P_{1}}{P_{0}+2 P_{1}} .
\]

Примем плоскость нижнего основаий за плоскость $\operatorname{Ory}$; по условию плошадь $P$ какого-либо сечения тела плоскостью, параллельной $O x y$, выразится так:
\[
P=a+b z+c z^{2},
\]

Фиг. 94.
\[
P=a+b z+c z^{2},
\]

где $a, b, c$-некоторые постоянные, а $z$-расстояние плоскости сечения от нижнего основания. Из последнего равенства вытендет, что
\[
P_{0}=a ; \quad P_{1}=a+b \frac{h}{2}+c \frac{h^{3}}{4} ; \quad P_{2}=a+b h+c h^{2} .
\]

По предыдущему имеем
\[
z_{C}=\frac{1}{v} \int_{\dot{j}}^{k} z P d z,
\]

если $v$ означает объем данного тела. Подставив сюда $P$ из выражения (25. 9), проинтегрировав и воспользовавшись соотношениями (25. 10), находим:
\[
z_{C}=\frac{h^{2}}{6 v}\left(3 a+2 b h+\frac{3}{2} c h^{2}\right)=\frac{h^{2}}{6 v}\left(P_{2}+2 P_{1}\right) .
\]

С другой стороны,
\[
\begin{aligned}
h-z_{C}=h \frac{\int_{0}^{n} P d z}{v}-z_{C} & =\frac{1}{v} \int_{0}^{h}(h-z) P d z=\frac{h^{2}}{6 v}\left(3 a+b h+c \frac{h^{2}}{2}\right)= \\
& =\frac{h^{2}}{6 v}\left(P_{0}+2 P_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Разделив равенства (25.11) на (25.12), мы и получим соотнонение (25.8). Доказанная теорема имеет много приложений: с её помощью можио определить положение центра масс тела, ограниенного поверхностью второго порядка или некоторой многограниой поверхностью.

ПІример 66. Центр масс конуса. Площадь $Q$ какого либо сечения конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляется так (фиг. 95):
\[
Q=\frac{Q_{0}}{h^{2}} z^{2},
\]

если $z$ означает расстояние плоскости $Q$ от вершины $A$ конуса, $h$ – высоту копуса, $Q_{0}$ – площадь основания. Эта формула показывает, что в рассматриваемом случае приложима теорема примера 65 . Поэтому, принимая вершину $A$ за сечение с площадью, равной нулю, и замечая, что плошадь $Q_{1}$ среднего сечения равна $\frac{1}{4} Q_{0}$, легко находим:
\[
\frac{z_{C}}{h-z_{C}}=3,
\]
т. е. $z_{C}=\frac{3}{4} h$. Так как, кроме того, искомый центр масс, очевидно, лежит на прямой, соединяющей вернину $A$ с центром масс основания, то положение искомой точки найдено.

Пример 67. IIентр масс полуэллипсоида, отрезанногоодной изглавных плоскостей. Пусть дан эллипсоид
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
\]
$\Phi_{\text {иг. }} 95$.
(фиг. 96.), и мы желаем опрелелить шентр масс половины этого эллипсоида, orрезанной той главной плоскостью, которая проходит через с среднюю и малую полуоси $b$ и $c$. Сечение эллипсоіда какой-либо плоскостью, отстоящей на расстоянии в от главного сечения с площадью $\pi b c$, будет эллип, представляемый уравнением
\[
\frac{y^{2}}{b^{2}\left(1-\frac{\xi^{2}}{a^{2}}\right)}+\frac{z^{2}}{c^{2}\left(1-\frac{\xi^{2}}{a^{2}}\right)}=1 .
\]

Следовательно, площадь $P$ этого сечения будет
\[
\pi b c\left(1-\frac{\xi^{2}}{a^{2}}\right) \text {. }
\]

Фиґ. 96.
Мы видим, что условия теоремы примера 65 опять выполняются. Заметив, что по формуле (25.13) площадь $P$ среднего сечения равна $\frac{3}{4} \pi b c$, легко находим:
\[
\frac{x_{C}}{a-x_{C}}=\frac{3}{5} \text {, откуда } x_{C}=\frac{3}{8} a \text {. }
\]

Пример 68. Пусть боковая поверхность у тела, рассмотренного в теореме примера 65, многогранная. Тогда сечение чтой поверхности плоскостью, naраль эьной основаниям, будет некоторый многоугольник. Вершины многоугольиика служат т-чками встречи ребер боковой поверхности с пересекаюшей ॥искостью. Пусть нижше основание лежит в плоскости $O x y$, а уравнения какиा о-либо ребра пусть будут
\[
x=a z+\beta ; \quad y=\gamma z+\delta .
\]

Разобьём многоугольник, образовавийсся в сечении, на треугольники; если