265. Эйлеров случай движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Движение твёрдого тела по инерции. Решение вопроса о движении весомого твёрдого тела вокруг неподвижной точки представляет собой одну из самых интересных и вместе с тем самых разработанных задач о движении материальной системы. Разрешение этого вопроса в общем виде превышает пока силы анализа, но зато мы имеем много решений для различных частных случаев. Наиболее важным из них является так называемый случай Эйлера, а именно, движение весомого твёрдого тела вокруг своего центра масс, закреплённого неподвижно.

Составим уравнения движения такого тела, отнесённые к неподвижным осям. Поместим начало координат в неподвижном’центре масс; тогда мы будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
x_{c}=y_{c}=z_{c}=0, \\
\xi_{c}=\eta_{c}=\zeta_{c}=0 ;
\end{array}
\]

поэтому уравіения (46.20) на стр. 513 упростятся следующим образом:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}=0, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}=0, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega_{z}}=0 ;
\]

уравнения (46.21) на стр. 513 , отнесённые к осям, неизменно связанным с телом, примут вид
\[
\left.\begin{array}{l}
J_{\xi \xi} \dot{\omega_{\xi}}-\left(J_{\eta \eta}-J_{k \xi}\right) \omega_{\eta} \omega_{\xi}=0, \\
J_{\eta \eta} \dot{\omega}_{\eta}-\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi} \omega_{\xi}=0, \\
J_{\xi \xi} \dot{\omega_{\xi}}-\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right) \omega_{\xi} \omega_{\eta}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Как уравнения (47.1), так и уравнения (47.2) представляют собою лишь

частный случай уравнений (46.15) и (46.16) на стр. 511 , соответствующий тому условию, что силы, при.юженные к телу, дают относительно точки опоры момент, равный нулю:
\[
\boldsymbol{L}_{o}=0 .
\]

Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки под действием сил, момент которых относительно этой точки равен нулю, носит название движения вокруг неподвижной точки по инерции. Таким образом, эйлеров случай служит частным случаем движения по инерции, когда тело весомое, а точка опоры совпадает с центром масс.

Заметим, что уравнения (47.2) сохранят свою форму и для свободного твёрдого тела, если ограничимся лишь рассмотрением движения тела вокруг центра масс и положим, что силы дают относительно этой точки момент, равный нулю; сказанное вытекает из уравнений (45.57) на стр. 504 при $\boldsymbol{L}_{C}=0$. Итак, задача о движении твёрдого тела по инерии вокруг неподвижной точки, заключающая в себе эйлерово. движение как частный случай, совпадает с задачею о движении свободного твёрдого тела вокруг его центра масс, если голько силы дают относительно центра масс момент, равный нулю. Всё различие в уравнениях движения, интегрирование которых даёг рещение задачи, состоит лишь в значениях постоянных $J_{\xi \xi,}, J_{\text {т }}, J_{\zeta \zeta}$ : в первой задаче это — главные моменты инерции, соответствующие неподвижной точке, а в последней это-главные центральные моменты инериии. Заметим, что для эйлерова движения и указанное различие исчезает: неподвижная точка и центр масс совпадают.

Когда речь идёт о свободном теле, не надо упускать из виду того, что мы в данной главе говорим лишь про его движение вокруг центра масс; поступательное же движение идёт своим чередом сообразно с законом изменения количествадвижения, или законом движения центра масс (§178). Так, напрнмер, если свободное тело находится лишь под действием силы тяжести, центр масс будет двигаться по параболе (§97), а тело одновременно будет двигаться вокруг центра масс по инерции. В дальнейшем для избежания повторений мы будем говорить лишь о движении тела вокруг неподвижной точки.

Пример 148. Как было сказано, силь тяжести частиц представляют собой пример сил, главный момент которых относительно центра масс равен нулю. Другим примером таких сил могут служить силы взаимодействия, или внутренние силы ( $\S$ (78), а из внешних сил — силы, зависящие от притяжения или отталкивания частиц тзердого тела неподвижными центрами прямо пропорционально массам и расстояниям. В самом деле, пусть $n$ частиц неизменяемой системы, имеющих массы $m$, и радиусы-векторы $r_{v}$, где $v=1,2, \ldots, n$, притягиваются или отталкиваются $k$ веподвижными центрами с массами $\mu_{x}$ и радиусами-векторами $r_{x}$, где $x=1,2, \ldots, k$, причём силы притяжения или отталкивания прямо пропорциональны произведениям масс на расстояния. Тогда сила $F_{v}$, действующая на массу $m_{v}$, будет иметь значение
\[
F_{\mathrm{v}}=\varepsilon m_{\mathrm{v}} \sum_{\mathrm{x}=1}^{k} \mu_{\mathrm{x}}\left(\boldsymbol{r}_{\mathrm{x}}-\boldsymbol{r}_{\mathrm{v}}\right),
\]

где коэффициент в положителен для сил притяжения и отрицателен для сил отталкивания. Составим вырджение для главного момента $L_{O}$ этих сил относительно начала координат; мы получим:
\[
L_{O}=\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v}=\varepsilon \sum_{v=1}^{n}\left\{m_{v} r_{v} \times \sum_{i=1}^{k} \mu_{x}\left(r_{x}-r_{v}\right)\right\}=\varepsilon M r_{C} \times \sum_{x=1}^{k} \mu_{x} r_{x} .
\]

Отсюда ясно, что при $r_{C}=0$, т. е. при совмещении начала координат с центром масс, мы получим $L_{O}^{C}=0$. Исходя из формулы (47.3), нетрудыо показать, что центр масс рассматриваемой неизменяемой системы будет описывать эллипс вокруг центра притягивающи масс $\mu_{x}$ (§98). В то же время неизменяемая система будет двигаться по инерции вокруг своего центра масс так, как если бы эта точка была неподвижной.

266. Простейшие интегралы уравнений движения. Теорема Лагранжа. Кинетическая энергия $T$ твёрдого тела для рассматриваемого нами случая движения выражаегся формулой (46.1) на стр́. 508
\[
T=\frac{1}{2}\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta_{1} T_{i}} \omega_{\eta_{i}}^{2}+J_{\zeta \zeta} \omega_{\zeta}^{2}\right) ;
\]

отсюда, на основании формул (45.30) на стр. 497 , мы получим следующие равенства:
\[
\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}=G_{\xi}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi}, \quad \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}=G_{\gamma}=J_{\eta, \eta} \omega_{\eta}, \quad \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}=G_{\xi}=J_{\xi \xi} \omega_{\zeta} .
\]

Здесь буквою $\boldsymbol{G}$ обозначен кинетический момент твёрдого тела относительно неподвижной точки. С помощью написанных соотношений мы из формул (4د.33) на стр. 497 выводим
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}=G_{x}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi} a_{11}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta} a_{12}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi} a_{13}, \\
\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}=G_{y}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi} a_{21}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta} a_{22}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi} a_{23}, \\
\frac{\partial T}{\partial \omega_{2}}=G_{z}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi} a_{31}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta} a_{32}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi} a_{33} .
\end{array}\right\}
\]

Обратимся теперь к уравнениям движения (47.1); они непосредственно интегрируются и интегралы их на основании формул (47.6) могут быть записаны в следуюшем виде:

Здесь $C_{x}, C_{v}, C_{2}$ — произвольные постоянные. Интегралы эти представляют собой закон сохранения кинетического момента (§181). Действительно, гак как $\boldsymbol{L}=0$, то
\[
\boldsymbol{G}=\boldsymbol{C},
\]

откуда в проекциях на оси неподвижной системы координат и получаются формулы (47.7). Уравнение семейства лапласовых, или неизменяемых, плоскостей по формуле (31.23) на стр. 309 напишется так:
\[
\boldsymbol{G} \cdot \boldsymbol{r}=\gamma,
\]

или
\[
G_{x} x+G_{y} y+G_{z} z=\gamma ;
\]

здесь $\gamma$ — произвольный параметр. Уравнение того же семейства, отнесённое к подвижным осям, будет
\[
a_{\xi} \xi+a_{n} r_{i}+G_{\xi} \xi=\gamma
\]

или согласно формулам (47.5)
\[
J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \xi+J_{\gamma i \eta} \omega_{\eta} \eta+J_{t \xi} \omega_{\xi} \xi=\gamma .
\]

Обратимся теперь к уравнениям (47.2). Умножив их соответственно на $\omega_{\xi}, \omega_{\eta}, \omega_{\xi}$ и сложив, мы получим:
\[
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}+J_{\tau_{i} \omega_{\gamma}} \dot{\omega}_{\eta}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}=0 ;
\]

отсюда мы находим новый, четвёртый, интеграл уравнений движения
\[
J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{r_{i} T_{i}} \omega_{\eta_{i}}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}=2 h,
\]

где $h$ — произвольная постоянная. Как видно из формулы (47.4), мы получили интеграл энергии
\[
T=h \text {; }
\]

его можно было бы написать непосредственно, приняв в соображение, что обращение в нуль главного моменга $\boldsymbol{L}$ сил относительно точки опоры влечёт за собой и обращение в нуль работы приложенных к твёрдому телу сил на любом перемещении тела. В справедливости последнего положения можно убедиться, вычислив элементарную работу сил $\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v}$ тем же способом, как это было сделано в примере 110 на стр. 387 . Действительно, мы имеем
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot v_{v} d t=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \bar{\omega} \times r_{v} d t .
\]

Отсюда, воспользовавшись правилом циклической перестановки сомножителей векторио-скалярного произведения, мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v}=\bar{\omega} d t \cdot \sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v}=\bar{\omega} d t \cdot L .
\]

Таким образом, при $\boldsymbol{L}=0$ также и
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v}=0
\]

Умножим теперь уравнения (47.2) соответственно на $J_{\xi \xi} \omega_{\xi}, J_{\eta \eta} \omega_{\eta}, J_{\ell \zeta} \omega_{\xi}$ и сложим; мы снова получим в левой части нолную производную по времени
\[
J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}+J_{\eta r_{i}}^{2} \omega_{i} \dot{\omega}_{\eta}+J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}=0 .
\]

Проинтегрировав это уравнение, мы найдём:
\[
\gamma_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}+J_{r_{i} \tau_{i}}^{2} \omega_{\tau_{i}}^{2}+J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}=C^{2},
\]

где $C^{2}$ — произвольная постоянная. Но, очевидно, этот интеграл не независимый, а представляет собой лишь комбинацию уже найденных интегралов (47.7). В самом деле, если мы равенства (47.7) возведём в квадрат, сложим и примем во внимание соогношения (8.11) на стр. 75 между косинусами, то найдём:
\[
J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta i \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{z \xi} \omega_{\xi}^{2}=C_{x}^{2}+C_{y}^{2}+C_{z}^{2} ;
\]

отсюда ясно, что постоянная $C^{2}$ равна
\[
C^{2}=C_{x}^{2}+C_{f}^{2}+C_{z}^{2}=G^{2} ;
\]

следовательно, интеграл (47.13) выражает собой лишь постоянство модуля кинетического момента. К уравнению (47.13) можно прийти сразу, если возвести в квадрат равенство (47.8) и затем выразить $G^{2}$ через проекции вектора $\boldsymbol{G}$ по формулам (47.5).

В заключение остановимся на выше полученном выражении (46.8) на стр. 509 для кинетической энергии
\[
2 T=\bar{\omega} \cdot G \text {. }
\]

Поделив это равенство на $G$, мы найдём:
\[
\frac{2 T}{G}=\frac{\bar{\omega} \cdot \boldsymbol{G}}{G}=\omega \cos (\overline{\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{G}}) ;
\]

следовательно, при условии постоянства $T$ и $\boldsymbol{G}$ проекция мгновенной угловой скорости на неизменное направление кинетического момента остаётся постоянной, т. е.
\[
\omega_{G}=\frac{2 T}{G}=\text { const. }
\]

Доказанная теорема принадлежит Лагранжу,

267. Геометрическая интерпретация Пуансо. Как мы видели, полная интеграция уравнений (47.2) должна ввести шесть независимых друг от друга произвольных постоянных ( $\$ \$ 260$ и 261); мы же до сих пор нашли их только четыре: $C_{x}, C_{y}, C_{z}, h$. Тем ме менее, как показал Пуансо (Poinsot), зная только приведённые выше простейшие ингегралы, мы в состоянии дать вюлне ясную геометрическую картину изучаемого движения. С этой целью рассмотрим снова эллипсоид инерции тела, соответствующий ненодвижной точке. Для взятых нами подвижных осей уравнение этого эллипсоида по формуле (26.13) на стр. 275 примет вид
\[
J_{\xi \xi} \xi^{2}+J_{\eta_{i}} \eta^{2}+J_{k} \eta^{2}=l^{2} .
\]

Пусть $\bar{\rho}_{1}$ есть радиус-вектор точки $P_{1}$, в которой этот эллипсоид пересекается с мгновенной осью вращения, точнее с той её половиной, на которой лежит вектор $\bar{\omega}$ (фиг. 138 на стр. 510). Согласно формуле (46.10) на стр. 510 этот вектор так связан с угловою скоростью тела:
\[
\bar{\rho}_{1}=\frac{l \bar{\omega}}{\sqrt{2 T}} .
\]

В § 259 было установлено, что касательная плоскость, проведённая к эллипсоиду в точке $P_{1}$, перпендикулирна к кинетическому моменту $\boldsymbol{G}$ и отстоит от точки опоры $O$ на расстоянии
\[
\delta=\frac{l \sqrt{2 T}}{G}
\]
[см. формулу (46.14) на стр. 511]; уравнение этой плоскости имеет вид (46.14), т. е. $\boldsymbol{G} \cdot \bar{\rho}=\boldsymbol{G} \cdot \bar{\rho}_{1}$ или, что одно и то же,
\[
\boldsymbol{G} \cdot \bar{\rho}=l \sqrt{2 T} \text {. }
\]

В рассматриваемом случае движения кинетитеская энергия $T$ и кинетический момент $\boldsymbol{G}$ постоянны; следовательно, касательная плоскость, проведённая через конец вектора $\bar{\rho}_{1}$, перпендикулярна к некоторому неизменному направлению (направлению вектора $\boldsymbol{G}$ ) и, кроме того, остаётся на постоянном расстоянии $\delta$ от точки опоры $O$, т. е. эта плоскость неподвижна в пространстве. Сопоставляя уравнения (47.9) и (47.19), мы замечаем, что касат эльная плоскость принадлежит к семейству неизменяемых плоскостей Лапласа.

Объединив всё выше сказанное, мы можем разбираемое движение твёрдого тела охарактеризовать следующим образом: твёрдое тело движется по инерцин вокруг няподвижной точки так, что неизменно связанный с ним эллипсоид инерции, соответствующий непддвижной точке, кагится без скольжения по одной из неизменяемых плоскостей, неподвижной в пространстве; притом угловая скорость тела пропорциональна длине раднуса-вектора точки касания эллипсоида с плоскостью качения. Движение эллипсоида пю плоскости будет качением без скольжения потому, что общая их точка $P_{1}$ лежит на мгновенной оси и, следовательно, имеет скорость, равную нулю.

Если рассматривать всю мгновенную ось, а не только ту половину, на которой лежит вектор $\bar{\omega}$, то кроме точки $P_{1}$ мы найдём еще некоторую другую точку $P_{2}$, диаметрально противоположную первой и также лежащую на пересечении мгновенной оси с эллипсоидом инерции (фиг. 139). Вторая точка обладает теми же свойствами, что и первая; поэтому мы можем сказанное выше сформулировать так: при движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки по инерции эллипсоид инерции тела, соответствующий неподвижной точке, катится без скольжения по двум параллельным неизменяемым плоскостям с угловою скоростью, пропорциональной длине хорды, проведённой между точками касания эллипсоида с названными плоскостями. Постоянное расстояние между плоскостями равно
\[
2 \delta=\frac{2 l \sqrt{2 T}}{G} .
\]

На фиг. 139 плоскости качения обозначены $S_{1}$ и $S_{2} ; O$-точка опоры, $O K_{1}=O K_{2}=\delta ; P_{1} P_{2}$ — хорда, соединяющая точки касания; $\bar{\omega}-$ мгновенная угловая скорость тела, по. своему численному значению пропорциональная отрезку $O P_{1}$ или, что одно и то же, пропорцнональная отрезку $P_{1} P_{2}$.

268. Интерпретация ${ }^{2}$ Мак-Куллага. В геометрической иллюстрации Пуансо за основную поверхность, движением которой характеризуется движение всего тела, был принят эллипсоид инерции. Но с этим эллипсоидом тесно связан другой эллип-. соид, а именно, гирационный (§ 155 ).

Мак-Куллаг (Mac Cullagh) показал, что и движение гирационного эллипсоида точно так же даёт весьма наглядную картину движения тела по инерции, причём, как нетрудно сообразить, геометрические образы

Мак-Куллага получаются из соответствующих образов Пуансо тем же путём, каким гирационный эллипсоид строится по эллипсоиду инерции.

По формуле (26.18) на стр. 260 уравнение гирационного эллипсоида, соответствующего точке опоры, для взятых нами подвижных осей (главных осей инерции) пишется так:
\[
\frac{\xi^{2}}{J_{\xi \xi}}+\frac{\eta^{2}}{J_{\eta \eta}}+\frac{\zeta^{2}}{J_{\xi \zeta}}=\frac{R^{4}}{l^{2}},
\]

где $R$ и $l$ — некоторые постоянные. Прямую, служащую основанием кинетического момента тела относительно точки опоры, назовём для краткости неизменной; она согласно формулам (47.5) изображается уравнением
\[
\frac{\xi}{J_{\xi \xi} \omega_{\xi}}=\frac{\eta}{J_{\eta \eta} \omega_{\eta}}=\frac{\zeta}{J_{\xi \xi} \omega_{q}} .
\]

Из интеграла (47.8) или интегралов (47.7) мы заключаем, что прямая эта неподвижна в пространстве. Найдём точку ее встречи с поверхностью (47.20). Координаты $\xi_{2}, \eta_{2}, \zeta_{2}$ искомой точки должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям (47.20) и (47.21). Из последнего уравнения, если воспользуемся интегралом (47.13), мы имеем
\[
\frac{\xi_{2}}{J_{\xi \xi} \omega_{\xi}}=\frac{\eta_{2}}{J_{\eta \eta} \omega_{\eta}}=\frac{\zeta_{2}}{J_{\zeta \xi} \omega_{\xi}}=\frac{\sqrt{\xi_{2}^{2}+\eta_{2}^{2}+\zeta_{2}^{2}}}{\sqrt{J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta}^{2} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \xi}^{2} \omega_{!}^{2}}}=\frac{\rho_{2}}{G},
\]

где $\bar{\rho}_{2}$ — радиус-вектор искомой точки встречи. Подставим определяемье этими равенствами выражения $\xi_{2}, \tau_{2}, \zeta_{2}$ через $\rho_{2}$ в уравнение (47.20); мы найдём:
\[
\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\gamma \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{\eta}^{2}\right) \frac{\rho_{2}^{2}}{G^{2}}=\frac{R^{4}}{l^{2}} ;
\]

отсюда согласно формулам (47.11) и (47.12) мы получим:
\[
\rho_{2}=\frac{R^{2} G}{\sqrt{2 T}}=\text { const.; }
\]
т. е. точка встречи гирационного эллипсоида с неизменною прямою находится на постоянном расстоянии от точки опоры и, следовательно, остаётся неподвижной. Таких точек две; они диаметрально противоположны и заменяют собою две неизменяемых плоскости Пуансо. Приняв во внимание соотношение (47.23), мы из уравнений (47.22) находим:
\[
\xi_{2}=\frac{R^{2} J_{\xi \xi} \omega_{\xi}}{l \sqrt{2 \bar{T}}} ; \quad \eta_{2}=\frac{R^{2} J_{\eta \eta}{ }^{\omega_{\eta}}}{l \sqrt{2 \bar{T}}} ; \quad \zeta_{2}=\frac{R^{2} J_{\tau t^{\omega}}}{l \sqrt{2 T}} .
\]

Построим в точке ( $\left(\xi_{2}, \eta_{2}, \zeta_{2}\right)$ плоскость, касательную к эллипсоиду (47.20); её уравнением будет
\[
\frac{\xi_{2}}{J_{\xi \xi}} \xi+\frac{\eta_{2}}{J_{\eta \eta}} \eta_{1}+\frac{\zeta_{2}}{J_{\zeta \xi}} \xi=\frac{R^{4}}{l^{2}} .
\]

Косинусы углов между осями координат и нормалью к этой плоскости пропорциональны величинам
\[
\frac{\xi_{2}}{J_{\xi \xi}}: \frac{\eta_{2}}{J_{\eta \eta}}: \frac{\zeta_{2}}{J_{\zeta \zeta}},
\]

или, согласно равенствам (47.24), Ееличинам
\[
\omega_{\xi}: \omega_{\eta}: \omega_{\xi} ;
\]

следовательно, направление нормали к гирационному эллипсоиду, построенному для неподвижной точки, параллельно мгновенной угловой скорости тела. Если мы вычислим теперь расстояние $\delta$ касательной плоскости (47.25) от точки опоры (начала координат), то найдём:
\[
\delta=\frac{\frac{R^{4}}{l^{2}}}{\sqrt{\frac{\xi_{2}^{2}}{J_{\xi \xi}^{2}}+\frac{\eta_{2}^{2}}{J_{\eta \eta}^{2}}+\frac{\zeta_{2}^{2}}{J_{\psi^{2}}^{2}}}} ;
\]

отсіода по формулам (47.22) и (47.23) мы получим:
\[
\delta=\frac{R^{2} \sqrt{2 h}}{l \sqrt{\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}+\omega_{\xi}^{2}}}=\frac{R^{2} \sqrt{2 T}}{l \omega},
\]
т. е. расстояние касательной плоскости (47.25) ог точки опоры обратно пропорционально модулю мгновенной угловой скорости.

Из всего сказанного мы выводим следующее заключение: движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки по инерции происходит так, что неизменно связанный с телом гирационный эллинсоид, соответствующий точке опоры, во всё время движения проходит через две неподвижные точки, лежащие на неизменной прямой; при этом угловая скорость тела направлена по перпендикуляру, опущенному из точки опоры на плоскость, касательную к гирационному эллипсоиду в одной из неподвижных точек, а по модулю она обратно пропорциональна расстоянию названной плоскости от точки опоры.
На фигуре 140 изображены гирационный эллипсоид, построенный для точки опоры $O$, и неизменная прямая $A_{1} A_{2} ; Q_{1}$ н $Q_{2}$ — неподвижные точки; $D$ — плоскость, касательная к гирационному эллипсоиду в точке $Q_{1}$; $O B$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на плоскость $D ; \bar{\omega}$ — мгновенная угловая скорость тела, обратно пропорциональная отрезку $O B$.

269. Определение проекций угловой скорости как функций времени. Прежде чем перейти к нахождению дальнейших интегралов уравнений движения, разберё некоторые неравенства. Пусть моменты инерции $J_{\xi \xi}, J_{\eta ;}, J_{\xi \xi}$ так располагаются по своей величине:
\[
J_{i \xi}<J_{x_{i n}}<J_{t \xi},
\]
т. е. пусть ось $\varepsilon$ направлена по бо.ьшей, а ось $\zeta$ — по малой оси эллисоида инерции (47.16). По свойству моментоз инерции (§ 154) мы имеем:
\[
J_{\mathrm{tg}}+J_{\mathrm{n}} \geqslant J_{\mathrm{st}} \text {. }
\]

Далее из уравнений (47.11) и (47.13), соответственно представляющих собой интеграл энергии и интеграл кинетического момента, мы находим:
\[
\begin{array}{l}
27 J_{\xi \xi}-G^{2}=J_{\xi \xi}\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta}\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta, j}\right) \omega_{\eta}^{2} . \\
\end{array}
\]

Отсюда на основании неравенства (47.27) мы заключаем, что
\[
\left.\begin{array}{l}
2 T J_{\xi \xi}-G^{2}<0, \\
2 T J_{\zeta \zeta}-G^{2}>0 ;
\end{array}\right\}
\]

о знаке же третьей разности ничего наперёд сказать нельзя, так что возможны следующие три случая:
\[
2 T J_{\eta \eta}-G^{2} \geqq 0 .
\]

Разбираемые неравенства можно переписать следующим образом:
\[
\frac{2 T}{\bar{G}^{2}}<\frac{1}{J_{\xi \xi}}, \quad \frac{2 T}{\bar{G}^{2}} \geqq \frac{1}{J_{r i \eta}}, \quad \frac{2 T}{\bar{G}^{2}}>\frac{1}{J_{\zeta \xi}},
\]

или, согласно формуле (47.18),
\[
\delta^{2}<\frac{l^{2}}{J_{\xi \xi}}, \quad \delta^{2} \leqq \frac{l^{2}}{J_{r_{i \eta}}}, \quad \delta^{2}>\frac{l^{2}}{J_{\zeta \xi}} .
\]

Тогда крайние неравенства станут очевидными геометрически: они выражают то, что расстояние касательной плоскости к эллипсоиду инерции от центра поверхности не может быть больше, чем большая полуось, и меньше, чем малая.

Обратимся к уравнениям Эйлера (47.2) и перепишем их в таком виде:
\[
\dot{\omega}_{\xi}=\frac{J_{\eta \eta}-J_{\xi \xi}}{J_{\xi \xi}} \omega_{\eta} \omega_{\xi}, \quad \dot{\omega}_{\eta}=\frac{J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}}{J_{\eta \eta}} \omega_{\xi} \omega_{\xi}, \quad \dot{\omega}_{\xi}=\frac{J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}}{J_{\xi \xi}} \omega_{\xi} \omega_{\eta^{*}} .
\]
$У_{\text {множив каждое из }}$ этих равенств соответственно на $\omega_{\xi}$, $\omega_{\gamma ;}$, $\omega_{\xi}$ и сложив их, мы найдём:
\[
\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}+\omega_{\eta} \dot{\omega}_{\gamma_{i}}+\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}=\omega_{\xi} \omega_{\gamma_{1}} \omega_{\xi}\left(\frac{J_{\eta \eta_{i}}-J_{\xi \xi}}{J_{\xi \xi}}+\frac{J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}}{J_{\eta \eta}}+\frac{J_{\xi \xi}-J_{\eta_{\eta}}}{J_{\xi \xi}}\right),
\]

или
\[
\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}+\omega_{\eta_{i}} \dot{\omega}_{\eta}+\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}=-\left(J_{\xi \xi}-J_{r_{\eta}}\right)\left(J_{\eta_{\eta}}-J_{\xi \xi}\right)\left(J_{t \xi}-J_{\xi \xi}\right) \frac{\omega_{\xi} \omega_{\eta} \omega_{\xi}}{J_{\xi \xi} J_{\eta \eta} J_{\xi \xi}} .
\]

Так как
\[
\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}+\omega_{\eta} \dot{\omega}_{\eta}+\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}=\ddot{\omega} \dot{\omega},
\]

то мы постараемся выразить $\omega_{\xi}$, $\omega_{i}$, $\omega_{\xi}$ также в функциях от $\omega$. С эгой 34 г. к. Суслов

целью мы решим относительно $\omega_{\xi}^{2}, \omega_{\eta}^{2}$, $\omega_{\zeta}^{2}$ систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \pi_{i}}^{2} \omega_{\pi_{i}}^{2}+J_{\xi \zeta}^{2} \omega_{\xi}^{2}=G^{2}, \\
J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\tau_{j} \eta_{\eta}} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \zeta} \omega_{\xi}^{2}=2 T \text {, } \\
\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}+\omega_{\zeta}^{2}=\omega^{2} . \\
\end{array}
\]

Первые два уравнения представляют собой известные нам интегралы уравнений движения, а последнее выражает связь между модулем угловой скорости и её проекциями на оси подвижной системы координат. Найдём $\omega_{\xi}^{2}$ :
\[
\omega_{\xi}\left|\begin{array}{ccc}
J_{\xi \xi}^{2} & J_{\eta \eta}^{2} & J_{\zeta \zeta}^{2} \\
J_{\xi \xi} & J_{\eta \eta} & J_{\zeta \zeta} \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
G^{2} & J_{\eta \eta}^{2} & J_{\xi \xi}^{2} \\
2 T & J_{\eta \eta} & J_{\xi \xi} \\
\omega^{2} & 1 & 1
\end{array}\right|
\]

Раскрыв определители и сократив уравнение на $J_{\text {भп }}-J_{\zeta \text {, }}$, мы получим:
\[
\omega_{\xi}^{2}\left(J_{\xi \xi}-J_{\tau, \eta}\right)\left(J_{\xi \zeta}-J_{\xi \xi}\right)=2 T\left(J_{r, \eta}+J_{\zeta \xi}\right)-G^{2}-J_{\gamma, \eta} J_{\zeta \zeta} \omega^{2},
\]

откуда
\[
\omega_{\xi}^{2}=\frac{J_{\eta \eta} J_{\xi \zeta}}{\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right)\left(J_{\xi \zeta}-J_{\xi \xi}\right)}\left\{\frac{2 T\left(J_{\eta \eta}+J_{\xi \xi}\right)-G^{2}}{J_{\eta \eta} J_{\xi \xi}}-\omega^{2}\right\} .
\]

Так как дробь
\[
\frac{2 T\left(J_{\eta \eta}+J_{\xi \zeta}\right)-G^{2}}{J_{i \eta} J_{\xi \zeta}}
\]

в силу второго из неравенств (47.29) положительна, то можно принять
\[
\frac{2 T\left(J_{\eta \eta}+J_{t \zeta}\right)-G^{2}}{J_{\eta \eta} J_{t \zeta}}=\omega_{1}^{2} .
\]

С другой стороны, согласно неравенствам (47.27) мы имеем
\[
\frac{J_{\eta \eta} J_{\xi t}}{\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right)\left(J_{t \xi}-J_{\xi \xi}\right)}<0 ;
\]

следовательно, можно положить
\[
\frac{J_{\eta \eta} J_{\xi \xi}}{\left(J_{\xi c}-J_{\eta \eta}\right)\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right)}=-a_{1}^{2} .
\]

Тогда вместо выражения (47.35) мы получим:
\[
\omega_{\xi}^{2}=a_{1}^{2}\left(\omega^{2}-\omega_{1}^{2}\right)
\]

Подобным же образом мы найдём:
\[
\begin{array}{c}
\omega_{\eta}^{2}=\alpha_{2}^{2}\left(\omega_{2}^{2}-\omega^{2}\right), \\
\omega_{\vartheta}^{2}=\alpha_{3}^{2}\left(\omega^{2}-\omega_{3}^{2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
a_{2}^{2}=\frac{J_{\xi \xi} J_{\xi \xi}}{\left(J_{\eta \eta}-J_{\xi \xi}\right)\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right)} ; & -a_{3}^{2} & =\frac{J_{\xi \xi} J_{\eta \eta}}{\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right)\left(J_{\eta \eta}-J_{\xi \xi}\right)} ;(47.41) \\
\omega_{2}^{2}=\frac{2 T\left(J_{\xi \xi}+J_{\xi \xi}\right)-G^{2}}{J_{\xi \xi} J_{\xi \xi}} ; & \omega_{3}^{2} & =\frac{2 T\left(J_{\xi \xi}+J_{\eta \eta}\right)-G^{2}}{J_{\xi \xi} J_{\eta \eta}} \cdot
\end{aligned}
\]

Дробь, обозначенная через $\omega_{3}^{2}$, положительна на основании неравенства $(47.28)$ и второго из неравенств (47.29). Полученные нами выражения для $\omega_{\xi}^{2}, \omega_{\eta}^{2}, \omega_{\xi}^{2}$ показывают, что
\[
\omega_{1}^{2} \leqslant \omega^{2}, \quad \omega_{2}^{2} \geqslant \omega^{2}, \quad \omega_{3}^{2} \leqslant \omega^{2} .
\]

Определим теперь знаки разностей $\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}, \omega_{2}^{2}-\omega_{3}^{2}, \omega_{3}^{2}-\omega_{1}^{2}$; имеем

Отсюда, приняв во внимание неравенства (47.29), мы заключаем, что $\omega_{2}^{2}$ всегда больше $\omega_{1}^{2}$ и $\omega_{3}^{2}$, а знак разности $\omega_{3}^{2}-\omega_{1}^{2}$ одинаков со знаком левой части неравенства (47.30). Подставив выражения (47.38), (47.39) и (47.40) в уравнение (47.33) и приняв во внимание равенство (47.34), мы после сокращения найдём:
\[
\omega \dot{\omega}= \pm \sqrt{\left(\omega^{2}-\omega_{1}^{2}\right)\left(\omega_{2}^{2}-\omega^{2}\right),\left(\omega^{2}-\omega_{3}^{2}\right)} .
\]

При интеграции этого уравнения разберём отдельно три случая: 1) $2 T J_{\eta \eta}-G^{2}>0$, 2) $27 J_{n \eta}-G^{2}<0$ и 3) $2 T J_{\eta \eta}-G^{2}=0$. Согласно формулам (47.32) эти случаи соответствуют условиям, когда расстояние $\delta$ больше, меньше или равно средней полуоси эллипсоида инерции (47.16).
1) Итак, пусть сперва $27 J_{\text {т }}-G^{2}>0$. Тогда из формулы (47.46) мы видим, что $\omega_{3}^{2}>\omega_{1}^{2}$, и, следовательно, неравенства (47.43) перепишутся так:
\[
\omega_{1}^{2}<\omega_{3}^{2} \leqslant \omega^{2} \leqslant \omega_{2}^{2} .
\]

Так как $\omega^{2}$ может изменяться лишь от $\omega_{2}^{2}$ до $\omega_{3}^{2}$, то мы можем положить
\[
\omega^{2}=\omega_{2}^{2} \cos ^{2} \chi+\omega_{3}^{2} \sin ^{2} \chi=\omega_{2}^{2}-\left(\omega_{2}^{2}-\omega_{3}^{2}\right) \sin ^{2} \chi,
\]

где $\chi$ — новая переменная. Отсюда мы находим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{2}^{2}-\omega^{2}=\left(\omega_{2}^{2}-\omega_{3}^{2}\right) \sin ^{2} \chi, \\
\omega^{2}-\omega_{3}^{2}=\left(\omega_{2}^{2}-\omega_{3}^{2}\right) \cos ^{2} \chi, . \\
\omega^{2}-\omega_{1}^{2}=\left(\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)\left(1-k_{1}^{2} \sin ^{2} \chi\right),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
k_{1}=\sqrt{\frac{\omega_{2}^{2}-\omega_{3}^{2}}{\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}}} .
\]

Из равенств (47.44) и (47.45) видно, что величина $k_{1}^{2}$ полюжительна, а неравенства (47.48) показывают, что она численно меньше единицы. Подставив выражения (47.49) и (47. 50) в уравнение (47.47), мы получим:
\[
\frac{d \chi}{ \pm \Delta \chi}=\varepsilon d t
\]

где
\[
\begin{aligned}
\Delta \chi & =\sqrt{1-k_{1}^{2} \sin ^{2} \chi}, \\
\varepsilon & =\sqrt{\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}} .
\end{aligned}
\]

Знак минус следует брать в интервале времени, когда $\omega$ убывает от $\omega_{2}$ до $\omega_{3}$, и знак плюс, когда $\omega$ возрастаег or $\omega_{8}$ до $\omega_{2}$.

Проинтегрируем уравнение (47.52). Назовём $t_{0}, t_{1}, t_{2}, \ldots$ некоторые последовательные моменты времени, когда $\omega$ становится равной $\omega_{2}, \omega_{3}$, $\omega_{2}, \ldots$, а $\chi$ соответственно принимает значения $0, \frac{\pi}{2}, 0,-\frac{\pi}{2}$ и т. д. Кроме того, введём обозначение
\[
u=\varepsilon\left(t-t_{0}\right) .
\]

Для $t$, заключённого в интервале

мы получим:
\[
\begin{array}{l}
t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}, \\
-\int_{0}^{x} \frac{d \chi}{\Delta_{\chi}}=u .
\end{array}
\]

Отсюда согласно формулам (22.33) и (22.34) на стр. 217 мы найдём:
\[
\chi=-\mathrm{am} u \text {. }
\]

При частном значении $t=t_{1}$ уравнение (47.53) даёт соотношение
\[
K=-\varepsilon\left(t_{1}-t_{0}\right),
\]

где $K$ есть полный эллиптический интеграл первого рода [см. формулу (22.31) на стр. 217]
\[
K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \chi}{\Delta \chi} .
\]

Перейдём к интервалу
\[
t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2} .
\]

Уравнение (47.51) берём теперь с плюсом. Проинтєгрировав его, мы получим:
\[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{y} \frac{d x}{\Delta x}=\varepsilon\left(t-t_{1}\right) \text {. }
\]

Левую и правую части этого равенства преобразуем так:
\[
\int_{0}^{\chi} \frac{d \chi}{\Delta_{\chi}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d \chi=\varepsilon\left(t-t_{0}\right)-\varepsilon\left(t_{1}-t_{0}\right) .
\]

Решив это уравнение относительно первого слагаемого левой части и приняв во внимание соотношения (47.54) и (47.55), мы получим:
\[
\int_{0}^{x} \frac{d \chi}{\Delta \chi}=u+2 K .
\]

Отсюда мы найдём:
\[
\chi=\operatorname{am}(u+2 K) \text {, }
\]

или, согласно теоремам (22.35) и (22.34) на стр. 217:
\[
\chi=\operatorname{am} t+\pi \text {, }
\]

и т. д. Вернёмся теперь к равенствам (47.38), (47.39) и (47.40). На основании формул приведения тригонометрических функций мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{\xi}= \pm \alpha_{1} \varepsilon \Delta \operatorname{am}\left[\varepsilon\left(t-t_{0}\right)\right], \\
\omega_{\eta}= \pm \alpha_{2} \varepsilon k_{1} \sin \operatorname{am}\left[\varepsilon\left(t-t_{0}\right)\right], \\
\omega_{\xi}= \pm a_{3} \varepsilon k_{1} \cos \operatorname{am}\left[\varepsilon\left(t-t_{0}\right)\right] .
\end{array}\right\}
\]

Знаки здесь выбираются в соответствии с начальными данными и во всё время движения сохраняются одни и те же.
2) для случая $2 T J_{\text {г }}-G^{2}<0$ совершенно таким же путём мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{\xi}= \pm a_{1} \varepsilon_{1} k_{2} \cos \operatorname{am}\left[\varepsilon_{1}\left(t-t_{0}\right]\right. \\
\omega_{\eta}= \pm a_{2} \varepsilon_{1} k_{2} \sin \text { am }\left[\varepsilon_{1}\left(t-t_{0}\right)\right] \\
\omega_{\zeta}= \pm a_{3} \varepsilon_{1} \Delta \operatorname{am}\left[\varepsilon_{1}\left(t-t_{0}\right)\right]
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\varepsilon_{1}=\sqrt{\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}}, \quad k_{2}=\sqrt{\frac{\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}}{\omega_{2}^{2}-\omega_{3}^{2}}},
\]

причём опять $0<k_{2}<1$.
3) Для промежуточного случая $27 J_{\text {мп }}-G^{2}=0$ мы согласно формуле (47.47) имеем
\[
\omega_{1}^{2}=\omega_{3}^{2}
\]

и, следовательно, вместо уравнения (47.46) получим следующее:
\[
\omega \dot{\omega}= \pm\left(\omega^{2}-\omega_{1}^{2}\right) \sqrt{\omega_{2}^{2}-\omega^{2}} .
\]

Введём новую переменную $\chi$, положив
\[
\omega_{2}^{2}-\omega^{2}=\chi^{2}
\]

кроме того, введём обозначение
\[
\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}=n^{2} ;
\]

тогда по формуле (47.44) мы найдём:
\[
\omega^{2}-\omega_{1}^{2}=\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}-\chi^{2}=n^{2}-\chi^{2} .
\]

Подставив выражения (47.59) и (47.60) в уравнение (47.58), мы после сокращения на $\chi$ получим:
\[
\frac{d \chi}{d t}= \pm\left(n^{2}-\chi^{2}\right) \text {. }
\]

Проинтегрировав это уравнение, мы найдём:
\[
\pm \frac{1}{2 n} \ln \frac{n+\chi}{n-\chi}=t+\beta,
\]

где $\beta$ — произвольная постоянная. Разрешив это уравнение относительно $\chi$, мы получим:
\[
\chi= \pm n \frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{e^{\theta}+e^{-\theta}}= \pm n \operatorname{th} \theta,
\]

где
\[
\theta=n(t+\beta) \text {. }
\]

Воспользовавшись формулой
\[
1-\operatorname{th}^{2} \theta=\operatorname{sech}^{2} \theta,
\]

мы найдём отсюда:
\[
\omega_{\xi}= \pm n \alpha_{1} \operatorname{sech} \theta, \quad \omega_{\eta}= \pm n \alpha_{2} \operatorname{th} \theta, \quad \omega_{\zeta}= \pm n \alpha_{3} \operatorname{sech} \theta .
\]

Так как при безграничном возрастании времени $t$ аргумент $\theta$ стремится к бесконечности и, следовательно, sech $\theta$ стремится к нулю, то из последних уравнений мы заключаем, что в разбираемом случае движение асимптотически приближается к вращению с постоянной угловой скоростью $n a_{2} r^{0}$ вокруг средней оси эллипсоида инерции.
270. Определение углов Эйлера как функий времени. Неподвижные оси координат $O x y z$ до сих пр были расположены произвольным образом; теперь примем для упрощения, что ось $O z$ нацравлена по кинетическому моменту $\boldsymbol{G}$. Тогда мы будем иметь
\[
a_{t}=0, \quad G_{y}=0, \quad a_{z}=G
\]

и потому по формулам (47.5) на стр. 523 мы найдём
\[
a_{\xi}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi}=G a_{31}, a_{\eta}=J_{\eta \eta} \omega_{\eta}=G a_{32}, a_{t}=J_{\tau \xi} \omega_{\xi}=C a_{33} .
\]

Здесь направляющие косинусы $a_{31}, a_{32}, a_{33}$ согласно формулам (8.15) на стр. 77 следующим образом выражаются через эйлеровы углы:
\[
a_{31}=\sin \varphi \sin \theta, \quad a_{32}=\cos \varphi \sin \theta, \quad a_{33}=\cos \vartheta .
\]

Поэтому для определения углов $\varphi$ и $\vartheta$ мы получаем следующие уравнения:
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{J_{\xi \xi} \omega_{\xi}}{J_{r \eta} \omega_{r}}, \quad \cos \vartheta=\frac{J_{r \tau} \omega_{\ell}}{G} .
\]

Для нахбждения же третьего угла, т. е. угла $\phi$, придётся произвести ещё одно, последнее, интегрирование. Согласно равенствам (46.19) на стр. 512 мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\omega_{\xi}=\sin \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}+\cos \varphi \cdot \dot{\forall}, \\
\omega_{n}=\cos \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\phi}-\sin \varphi \cdot \dot{\forall} .
\end{array}
\]

Исключив $\dot{\boldsymbol{y}}$, находим отсюда
\[
\sin \vartheta \cdot \dot{\psi}=\omega_{\xi} \sin \varphi+\omega_{\eta} \cos \varphi .
\]

Умножив это равенство на $\sin \vartheta$ и приняв во внимание формулы (47.63), мы получим:
\[
\sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\psi}=\omega_{\xi} \sin \varphi \sin \vartheta+\omega_{\eta} \cos \varphi \sin \vartheta=\omega_{\xi} a_{31}+\omega_{7_{1}} a_{32} .
\]

Заменив здесь $\sin \vartheta, a_{31}$ и $a_{32}$ их выражениями из равенств (47.62) и (47.64), мы придём к уравнению
\[
\dot{\psi}=G \cdot \frac{J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{r,} \omega_{\eta}^{2}}{G^{2}-J_{\xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}} ;
\]

воспользовавшись интегралом (47.11) и формулой (47.12), это уравнение можно переписать так:

Здесь $\omega_{\llcorner}$является уже известной функцией еремени и выражается формулами (47.56), (47.57) или (47.61). Проинтегрировав полученное уравнение, мы найдём:

где $\gamma$-шестая и последняя произвольная постоянная.

271. Полодия. Герполодия. Точка касания эллипсоида инерции и плоскости качения, перемещаясь с течением времени по той и другой поверхности, описывает на этих поверхностях некоторые кривые. Траектория точки по эллипсоиду инерции названа Пуансо полодией, а траектория по неизменяемой плоскости герполодие й. Так как рассмагриваемая точка лежит на мгновенной оси, то ясно само собою, что полодия служит направляющей подвижного аксоида, а герполодия — направляющей неподвижного аксоида для разбираемого движения гвёрдого тела (§68). Поэтому мы будем иногда называть подвижной аксонд полодиальным конусом, а неподвижный — герполодиальным конусом.

Полодия — алгебраическая кривая четвёртого порядка (фиг. 141). Уравнения её легко получить из чисто геометрических соображений. Любая точка ( $(, \eta, \zeta)$, принадлежащая полодии, лежит на эллипсоиде инерции (47.16), т. е.
\[
J_{\xi \xi} \xi^{2}+J_{\eta \eta} \eta^{2}+J_{\varphi \xi} t^{2}=l^{2} .
\]

Плоскость, касательная к эллипсоиду в любой точке полодии, находится от центра эллипсоида на постоянном расстоянии
\[
\delta=\frac{l \sqrt{2 T}}{G}
\]
[формула (47.18)]. Решив это уравнение относительно $G^{2}$ и воспользовавшись выражениями (47.5), мы найдём
\[
J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta}^{2} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}=\frac{2 T l^{2}}{\delta} .
\]

Но угловая скорость согласно формуле (47.17) связана с радиусом-вектором $\bar{\rho}$ точки, лежащей на полодин, соотношением
\[
\bar{\omega}=\frac{\sqrt{2 T}}{l} \bar{\rho} ;
\]

поэтому вместо предыдущего равенства мы получим:
\[
J_{\xi \xi}^{2} \xi^{2}+J_{\eta_{i}}^{2} \eta^{2}+J_{\xi \xi}^{2} \xi^{2}=\frac{l^{4}}{\delta^{2}} .
\]

Система уравнений (47.65) и (47.66) и изображает полодию. Как видим, полодия представляет собой пересечение двух соосных эллипсоидов: эллипсоида инерции (47.65) и так называемого кинетического эллипсоида (47.66). Последнее название оправдывается тем, что уравнение (47.66) выражает постоянство кинетического момента.

Если уравнение (47.65), предварительно умноженное на $\frac{l^{2}}{\delta^{2}}$ мы вычтем из уравнения (47.66), то- получим:
\[
J_{\xi \xi}\left(J_{\xi \xi}-\frac{l^{2}}{\delta^{2}}\right) \xi^{2}+J_{\eta,}\left(J_{\eta n}-\frac{l^{2}}{\delta^{3}}\right) \eta^{2}+J_{\tau \xi}\left(J_{\tau \xi}-\frac{l^{2}}{\delta^{2}}\right) q^{2}=0 .
\]

Это — уравнение конической поверхности, имеющей вершину в центре эллипсоида, а направляющей кривой — полодию; другими словами, написанное уравнение изображает собою подвнжной аксоид для данного движения. Чтобы определить положение этого конуса относительно главных осей инерции, припомним неравенства (47.32); из них мы видим, что первый коэффициент в выражении (47.67) всегда отрицательный, а последний — всегда положительный; что же касается до среднего коэффициента, то знак его меняется в зависимости от начальных условий. Когда $\delta^{2}>\frac{l}{J_{\eta \eta}}$, т. е. расстояние плоскости качения от центра эллипсоида превышает длину средней полуоск. эллипсоида инерции, коэффициент при $\eta^{2}$ в уравнении (47.67) больше нуля, и, следовательно, полодиальный конус охватывает ось $\xi$. Когда $\delta^{2}<\frac{l^{2}}{J_{\eta \eta \eta}}$, т. е. расстояние $\delta$ меньше средней полуоси катящегося эллипсоида, коэффициент при $\eta^{2}$ меньше нул, и, следовательно, полодиальный конус охватывает ось $\zeta$.

В промежуточном случае, когда $\delta^{2}=\frac{l^{2}}{J_{\eta \eta}}$, г. е. расстояние $\delta$ равно средней полуоси, полодиальный конус распадается на две плоскости
\[
\xi= \pm \zeta \sqrt{\frac{J_{\xi \xi}\left(J_{\zeta \xi}-J_{\eta \eta}\right)}{J_{\xi \xi}\left(J_{\eta \eta}-J_{\xi \xi}\right)}}
\]

проходящие через среднюю ось, а соотеетствующая полодия представляет собой два эллипса. На фиг. 141 — это эллипсы $B E B_{1} E_{1}$ и $B D B_{1} D_{1}$. Точки $A, B, C$ изображают вершины эллипсоида инерции.

Когда $\delta^{2}$ становится равным $\frac{l^{2}}{J_{\xi \xi}}$, тогда уравнение (47.67) принимает вид
\[
J_{\gamma, \gamma_{i}}\left(J_{r_{i}}-J_{\xi \xi}\right) r_{i}^{2}+J_{\xi \xi}\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right) \xi^{2}=0 ;
\]

отсюда согласно неравенствам (47.27) мы получаем:
\[
\eta=0, \quad \zeta=0 \text {. }
\]

Соответствующая полодия превращается в точку $A$. Точно так же для $\delta^{2}=\frac{l^{2}}{J_{\tau}}$ полодия стягивается в точку $C$.

Не\»надо упускать из виду, что уравнениями (47.65) и (47.66), собственно говоря, определяются две полодии, симметричные относительно шентра $O$ эллипсоида.

Герполодия, как мы сейчас увидим, является кривой трансцендентной. Мы не будем искать её уравнения в конечном виле, а ограничимся лишь выволом её дифференциального уравнения. С этой целью спроектируем неподвнжную то’нку $O$ тела и его угловую скорость $\overline{O A}=\bar{\omega}$ на плоскость $S$ качения эллипсоида инериии (фиг. 142). Назовём $P$ точку встречи мгновенной оси вращения с плоскостью кдчения и обозначим
\[
O K=\delta, \quad \overline{O P}=\bar{\rho}_{1}, \overline{K P}=r .
\]

Вектор $\boldsymbol{r}$ представляет собой радиус-векФиг. 142.

тор гочки гериолодии, проведённый из начала $K$. Из треугольника $O K P$ мы имеем
\[
r^{2}=O P^{2}-O K^{2}=P_{1}^{2}-\delta^{2},
\]

или, если вспомним формулы (46.10) на стр. 510 и (47.18) на стр. 525,
\[
r^{2}=\frac{l^{2} \omega^{2}}{2 T}-\frac{2 T l^{2}}{G^{2}} .
\]

Отсюда мы находим:
\[
\omega^{2}=\frac{2 T}{l^{2}} r^{2}+\frac{4 T^{2}}{G^{2}} .
\]

Подставив это значение угловой скорости в уравнение (47.47), мы найдём следующую дифференциальную зависимость между $r$ и временем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{2 T}{l^{2}} r \dot{r}= \\
= \pm \sqrt{\left(\frac{2 T}{l^{2}} r^{2}+\frac{4 T^{2}}{G^{2}}-\omega_{1}^{2}\right)\left(\omega_{2}^{2}-\frac{2 T}{l^{2}} r^{2}-\frac{4 T^{2}}{G^{2}}\right)\left(\frac{2 T}{l^{2}} r^{2}+\frac{4 T^{2}}{G^{2}}-\omega_{3}^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Если для сокращения положим
\[
\frac{2 T}{G}-\frac{G}{J_{\xi \xi}}=n_{1}, \quad \frac{2 T}{G}-\frac{G}{J_{r i \eta}}=n_{2}, \quad \frac{2 T}{G}-\frac{G}{J_{\zeta \zeta}}=n_{3},
\]

то из равенств (47.36) и (47.42) найдём:
\[
\frac{4 T^{2}}{G^{2}}-\omega_{1}^{\prime}=n_{2} n_{3} ; \quad \frac{4 T^{2}}{G^{2}}-\omega_{2}^{2}=n_{3} n_{1} ; \quad \frac{4 T^{2}}{G^{2}}-\omega_{3}^{2}=n_{1} n_{2} .
\]

Поэтому вместо уравнения (47.69) мы получим:
\[
\frac{\dot{r}}{l^{2}}= \pm \sqrt{-2 T\left(\frac{r^{2}}{l^{2}}+\frac{n_{2} n_{3}}{2 T}\right)\left(\frac{r^{2}}{l^{2}}+\frac{n_{3} n_{1}}{2 T}\right)\left(\frac{r^{2}}{l^{2}}+\frac{n_{1} n_{2}}{2 T}\right)} .
\]

Согласно неравенствам (47.31) мы имеем
\[
n_{1}<0, \quad n_{3}>0 ;
\]

поэтому для $n_{2}>0$ произведения, входящие в выражение под радикалом, удовлетворяют следующим неравенствам:
\[
n_{2} n_{3}>0, \quad n_{3} n_{1}<0, \quad n_{1} n_{2}<0 ;
\]

а для $n_{2}<0$ мы получаем:
\[
n_{2} n_{3}<0, \quad n_{3} n_{1}<0, n_{1} n_{2}>0 .
\]

Следовательно, вещественность радикала (47.72) требует, чтобы $r$ заключалось в первом случае между $-\frac{l^{2} n_{3} n_{1}}{2 T}$ и $-\frac{l^{2} n_{1} n_{2}}{2 T}$, а во втором случае между $-\frac{l^{2} n_{2} n_{3}}{2 T}$ и $-\frac{l^{2} n_{3} n_{1}}{2 T}$. Отсюда мы заключасм, что при $n_{2}$, отличном от нуля, герполодия расположена между двумя концентрическими окружностями. Для промежуточного случая, когда $n_{2}=0$, вместо уравнения (47.72) мы получаем:
\[
r= \pm r \sqrt{-2 T\left(\frac{r}{l^{2}}+\frac{n_{3} n_{1}}{2 T}\right)},
\]

где, как и всегда, $n_{3} n_{1}<0$. Из написанного выражения мы заключаем, что $r$ не может превышать $l \sqrt{-\frac{n_{3} n_{1}}{2 T}}$.

В § 270 мы условились расположить неподвижную систему координат $O x y z$ таким образом, чтобы ось $O z$ была направлена по кинетическому моменгу $\boldsymbol{G}$ и чтобы, следовательно, плоскость $O x y$ была параллельна плоскости качсния $S$. Проведём в плоскости $S$ ось $K x_{1}$, параллельную оси $O x$, и назовём $Ө$ угол, образуемый раднусом-вектором $\boldsymbol{r}$ с этой осью (фиг. 142). При этих условиях мы можем написать.
\[
\operatorname{tg} \theta=\frac{\omega_{y}}{\omega_{x}} .
\]

Отсюда мы находим:
\[
\dot{\theta}=\frac{\omega_{x} \dot{\omega}_{y}-\omega_{y} \dot{\omega}_{x}}{\omega_{x}^{2}+\omega_{y}^{2}} ;
\]

здесь точками, как обычно, обознсчены производные по времени. Преобразуем прежде всего числитель. Нетрудно заметить, что он представляет собой проекцию на ось $z$ векторного произведения угловой скорости на угловое ускорение:
\[
\omega_{x} \dot{\omega}_{y}-\omega_{v} \dot{\omega}_{\mathrm{r}}=(\bar{\omega} \times \dot{\bar{\omega}})_{z} .
\]

Перейдя к системе координат $O$ вг $_{j}$, неизменно связанной с телом, мы по формуле (8.7) на стр. 74 получим:
\[
(\bar{\omega} \times \dot{\bar{\omega}})_{2}=(\bar{\omega} \times \dot{\bar{\omega}})_{\xi} a_{31}+(\bar{\omega} \times \dot{\bar{\omega}})_{n} a_{32}+(\bar{\omega} \times \dot{\bar{\omega}})_{\zeta} a_{33} .
\]

Далее, по теореме (9.18) на стр. 88 об относительной производной мы найдём:
\[
\dot{\bar{\omega}}=\dot{\tilde{\omega}}+\bar{\omega} \times \omega=\dot{\tilde{\omega}}=\dot{\omega}_{\xi} \varepsilon_{0}+\dot{\omega}_{\gamma i} \bar{t}^{0}+\dot{\omega}_{\xi} \bar{\zeta}^{0} .
\]

На основании сказанного мы можем написать:
\[
\begin{aligned}
\omega_{x} \dot{\omega}_{y} & -\omega_{y} \dot{\omega}_{x}= \\
& =\left(\omega_{\eta} \dot{\omega}_{\xi}-\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\gamma}\right) a_{31}+\left(\omega_{\tau} \dot{\omega}_{\xi}-\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}\right) a_{32}+\left(\omega_{\xi} \dot{\omega}_{r}-\omega_{\tau} \dot{\omega}_{\xi}\right) a_{33} .
\end{aligned}
\]

С другой стороны, вспомнив уразнения движения Эйлера (47.2) на стр. 521 , мы найдём:
\[
\begin{aligned}
\omega_{\eta} \dot{\omega}_{\xi}-\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\eta} & =\frac{1}{J_{\eta \eta} J_{\xi \xi}}\left\{J_{\eta \eta}\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right) \omega_{\xi} \omega_{\eta}^{2}-J_{\xi \xi}\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi} \omega_{\xi}^{2}\right\}= \\
& =\frac{\omega_{\xi}}{J_{\eta \eta} J_{\xi \xi}}\left\{j_{\xi \xi}\left(J_{\eta \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}\right)-J_{\eta \eta}^{2} \omega_{\gamma_{1}}^{2}-J_{\xi \eta}^{2} \omega_{\eta}^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]

Прибавим и вычтем в скобках по $J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}$ и затем воспользуемся равенствами (47.11), (47.12), (47.13), (47.14), а также обозначениями (47.70); мы получим:
\[
\omega_{n} \dot{\omega}_{\xi}-\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\eta}=\frac{\omega_{\xi}}{J_{\eta \pi} J_{\xi \xi}}\left(2 J_{\xi \xi} T-G^{2}\right)=\frac{J_{\xi \xi} \omega_{\xi} G}{J_{\eta, \pi} J_{\xi \xi}} n_{1} .
\]

Подобным же образом мы найдевм:
\[
\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}-\omega_{\xi} \dot{\omega}_{\xi}=\frac{J_{\eta \eta \eta} \omega_{\eta} G}{J_{\tau \tau} J_{\xi \xi}} n_{2}, \quad \omega_{\xi} \dot{\omega}_{\eta}-\omega_{\eta} \dot{\omega}_{\xi}=\frac{J_{\tau \xi} \omega_{\xi} G}{J_{\xi \xi} J_{\eta \eta}} n_{B} .
\]

С помощью этих преобразований формулу (47.75) можно привести к виду
\[
\omega_{x} \dot{\omega}_{v}-\omega_{v} \dot{\omega}_{x}=\frac{G}{J_{\xi \xi} J_{\eta \eta} J_{k \xi}}\left(J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi} n_{1} a_{31}+J_{\eta \eta}^{2} \omega_{\eta} n_{2} a_{32}+J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi} n_{3} a_{38}\right) .
\]

Подставив сюда значения направляюцих косинусов из равенств (47.62), мы получим:
\[
\omega_{x} \dot{\omega}_{v}-\omega_{v} \dot{\omega}_{x}=\frac{G}{J_{\xi \xi} J_{\eta \eta} J_{\xi \xi}}\left(J_{\xi \xi}^{3} \omega_{\xi}^{2} n_{1}+J_{\eta \eta}^{3} \omega_{\eta}^{2} n_{2}+J_{\xi \xi}^{3}\left(\omega_{?}^{2} n_{8}\right) .\right.
\]

Выражения (47.38), (47.39), (47.40) на основании соотношений (47.68) и (47.71) могут быть перенисаны так:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{\xi}^{2}=\frac{J_{\eta \eta} J_{\varepsilon \zeta}}{\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta n}\right)\left(J_{\zeta \zeta}-J_{\xi \xi}\right)}\left(\frac{27}{l^{2}} r^{2}+n_{2} n_{3}\right) ; \\
\omega_{\eta}^{2}=\frac{J_{t \xi} J_{\xi \xi}}{\left(J_{\eta \eta}-J_{\zeta \tau^{3}}\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right)\right.}\left(\frac{2 T}{l^{2}} r^{2}+n_{3} n_{1}\right) ; \\
\omega_{\xi}^{2}=\frac{J_{\xi \xi} J_{\eta \eta}}{\left(J_{t \xi}-J_{\xi \xi}\right)\left(J_{\eta n}-J_{k \xi}\right)}\left(\frac{27}{l^{2}} r^{2}+n_{1} n_{2}\right) . \\
\end{array}
\]

Подставим эти значения ороекций угловой скорости в уравнение (47.77); при этом примем во внимание равенства $(47.70)$, а также следующие тождества:
\[
\begin{array}{l}
J_{\xi \xi}\left(J_{r m}-J_{\zeta \zeta}\right)+J_{r \eta}\left(J_{\tau \varepsilon}-J_{\xi \xi}\right)+J_{\zeta \xi}\left(J_{\xi \xi}-J_{r \eta}\right)=0, \\
J_{\xi \xi}^{2}\left(J_{m \eta}^{m}-J_{\xi \xi}\right)+J_{\eta \eta}^{2}\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right)+J_{\xi \xi}^{2}\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}^{\eta \eta}\right)= \\
=-\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right)\left(J_{\eta \eta}-J_{\tau \xi}\right)\left(J_{\zeta \xi}-J_{\xi \xi}\right) ; \\
\end{array}
\]

в результате мы получим:
\[
\omega_{x} \dot{\omega}_{y}-\omega_{y} \dot{\omega}_{x}=\frac{47^{2}}{l^{2} \dot{G}^{2}} r^{2}+n_{1} n_{2} n_{3} .
\]

С другой стороны, по теореме Лагранжа (47.15) мы имеем
\[
\omega_{z}=\frac{2 T}{G} ;
\]

из этого равенства и из равенства (47.68) мы выводим следующее соотношение:
\[
\omega_{x}^{2}+\omega_{y}^{2}=\omega^{2}-\omega_{z}^{2}=\omega^{2}-\frac{4 T^{2}}{G^{2}}=\frac{2 T}{l^{2}} r^{2} .
\]

Подставив выражения (47.78) и (47.79) в равенство (47.74), мы получим дифференциальное уравнение, связывающее угол $\theta$ со временем
\[
r^{2 \hat{j}}=\frac{2 T}{G} r^{2}+\frac{l^{2} n_{1} n_{2} n_{3}}{2 I} .
\]

Наконец, поделив поэленно равенства (47.72) и (47.80), мы найдём дифференциальное уравнение герполодии:
\[
\frac{d r}{r d \theta}= \pm \frac{l^{2} \sqrt{-27\left(\frac{r^{2}}{l^{2}}+\frac{n_{2} n_{3}}{2 T}\right)\left(\frac{r^{2}}{l^{2}}+\frac{n_{3} n_{1}}{2 T}\right)\left(\frac{r^{2}}{l^{2}}+\frac{n_{1} n_{2}}{2 T}\right)}}{\frac{2 T}{G} r^{2}+\frac{l^{2} n_{1} n_{2} n_{3}}{27}} .
\]

Таким образом, мы видим, ‘то конечное уравнение рассматриваемой кривой в общем случае будет содержать эллиптические трансцендентности.
В частном случае, при $n_{2}=0$, уравнение (47.81) упрощается так
\[
\pm \frac{d r}{\sqrt{\frac{2 T}{l^{2}}\left(-1-\frac{l^{2} n_{8} n_{1}}{2 T r^{2}}\right)}}=\frac{G d \theta}{2 T} .
\]

Положив для сокращения письма
\[
k^{2}=-\frac{n_{3} n_{1}}{2 T},
\]

мы приведём эго уравнение к виду
\[
\pm \frac{d \frac{k}{r}}{\sqrt{\frac{k^{2}}{r^{2}}-1}}=\frac{d k}{l \sqrt{2 T}} d \theta .
\]

Проинтегрировав это уравнение, мы найдём:
\[
\frac{k}{r}=\operatorname{ch}\left(\frac{G k}{l \sqrt{2 \mathbf{T}}}+\varepsilon\right),
\]

где $\varepsilon$ — произвольная постоянная. Кривая имеет асимптотический полюс в точке $K$ и завивается вокруг него в двух направлениях (фиг. 143).

272. Вторая интерпретация Пуансо. Картина рассматриваемого движения, данная Пуансо, замечательна по своей простоте, ясности и наглядности в геометрическом смысле, но зато роль времени в ней скрадывается, так как в геометрическом образе нет ни одного элемента, который изменялся бы пропорционально времени. С целью выразить яснее зависимость от времени, Пуансо предложил ещё другой способ представлять себе движение тела. Разложим мгновенную угловую скорость \% тела на две составляющие: на составляющую $\bar{\omega}^{\prime}$ по направлению кинетического момента $\boldsymbol{G}$ и на составляющую $\boldsymbol{\omega}^{*}$ по направлению, перпендикулярному к нему (фиг. 144). По- теореме Лагранжа (47.15) первая составляющая постоянна и по модулю равна $\frac{2 T}{G}$; что же касается второй составляющей, то она меняется и по модулю, и по направлению

как в неподвижном пространстве, так и внутри самого движущегося тела. Геометрическим местом прямых, служащих основанием вектора $\bar{\omega}^{\prime \prime}$, является в теле некоторая коническая поверхность, неизменно связанная с телом и носящая название второго конуса Пуансо. Нетрудно убедиться, что это — конус второго порядка. Возьмём на векторе $\bar{\omega}^{\prime \prime}$ произвольную точку $B$ и проведём через неё параллельно кинетическому моменту $\boldsymbol{G}$ прямую до встречи в точке $C$ с мгновенной осью вращения. Обозначим $\xi, \eta, \zeta$ координаты точки $B$; координатами точки $C$ будут $k \omega_{\xi}, k \omega_{\eta}, k \omega_{\zeta}$, где $k$ — множитель пропорциональности. Так как прямая $B C^{\xi}$ параллельна кинетическому моменту $\boldsymbol{G}$, то уравнениями её согласно формулам (47.5) будут
\[
\frac{\xi-k \omega_{\xi}}{J_{\xi \xi} \omega_{\xi}}=\frac{\eta-k \omega_{\eta_{i}}}{J_{\eta \eta} \omega_{\eta}}=\frac{\zeta-k \omega_{\xi}}{J_{\zeta \zeta} \omega_{\xi}} .
\]

C другой стороны, точка $B$ лежит в той неизменяемой плоскости $S$, которая проходит через точку $O$ и которая, согласно формуле (47.10), изображается уравнением
\[
J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \xi+J_{\eta \eta} \omega_{\eta} \eta+J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \xi=0 .
\]

Обозначив общую величину отношений (47.82) через $\lambda$, мы найдем:
\[
\xi=\omega_{\xi}\left(k+\lambda J_{\xi \xi}\right) ; \quad \eta=\omega_{\eta}\left(k+\lambda J_{\eta \eta}\right) ; \quad \xi=\omega_{\xi}\left(k+\lambda J_{\xi \zeta}\right) .
\]

Подставив эти значения координат в равенство (47.83), мы получим следующее уравнение для $\lambda$ :
\[
k\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{\zeta \zeta} \omega_{\xi}^{2}\right)+\lambda\left(J_{\xi \xi}^{2} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta}^{2} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \zeta}^{2} \omega_{\xi}^{2}\right)=0,
\]

или, согласно формулам (47.11), (47.12), (47.13), (47.14):
\[
2 k T+i G^{2}=0 \text {. }
\]

Отсюда в соответствии с формулой (47.18) мы найдём:
\[
\lambda=-\frac{2 k T}{G^{2}}=-\frac{k}{l^{2}} \delta^{2} \text {. }
\]

Равенства (47.84) теперь дают нам следующее соотношение:
\[
\omega_{\xi}: \omega_{n}: \omega_{\xi}=\frac{\xi}{\frac{l^{2}}{\delta^{2}}-J_{\xi \xi}}: \frac{\eta}{\frac{l^{2}}{\delta^{2}}-J_{\eta \eta}}: \frac{\zeta}{\frac{l^{2}}{\delta^{2}}-J_{\zeta \zeta}} .
\]

Но точка $C$ лежит на подвижном аксоиде, и, следовательно, её координаты $k \omega_{\xi}, k \omega_{\eta}, k \omega_{\zeta}$ удовлетворяют его уравнению (47.67); поэтому мы имеем
\[
J_{\xi \xi}\left(J_{\xi \xi}-\frac{l^{2}}{\delta^{2}}\right) \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta}\left(J_{\eta \eta}-\frac{l^{2}}{\delta^{2}}\right) \omega_{\eta}^{2}+J_{\zeta \xi}\left(J_{\zeta \xi}-\frac{l^{2}}{\delta^{2}}\right) \omega^{2}=0 .
\]

Подставив сюда вместо $\omega_{\xi}$, $\omega_{\eta}$, $\omega_{\xi}$ величины, им пропорциональные, определяемые формулой (47.85), мы найдём уравнение искомого конуса:
\[
\frac{J_{\xi \xi} \xi^{2}}{J_{\xi \xi}-\frac{l^{2}}{\delta^{2}}}+\frac{J_{r_{\eta} \eta^{2}}}{J_{\eta \eta}-\frac{l^{2}}{\delta^{2}}}+\frac{J_{\zeta \xi} \zeta^{2}}{J_{\zeta \zeta}-\frac{l^{2}}{\delta^{2}}}=0 .
\]

Когда твёрдое тело будет совершать своё движение, конус (47.86) будет катиться по неподвижной плоскости $\mathcal{S}$, но катиться со скольжением, так как он вместе с телом будет поворачиваться вокруг оси $O A$, служащей основанием вектора $\omega^{\prime}$. При этом согласно теореме Лагранжа (47.15) угловая скорость $\overline{\omega^{\prime}}$ будет постоянной:
\[
\omega^{\prime}=\frac{2 T}{G} .
\]

Если бы плоскость $S$ и конус (47.86) были абсолютно шероховатыми и притом плоскость $S$ имела возможность вращаться вокруг оси $O A$, то тело своим движением привело бы её в равномерное вращение с угловой скоростью $\frac{2 T}{G}$. Другими словами, тогда угол поворота плоскости за некоторый промежуток времени был бы пропорционален этому промежутку. Прикрепив к плоскости $S$ стрелку $O \mu$, мы могли бы движением этой стрелки по неподвижному циферблату измерять время. Вообразим теперь, наоборот, что часовой механизм сообщает плоскости $S$ постоянное вращение вокруг оси $O A$ с угловой скоростью $\frac{2 T}{G}$, а плоскость с помощью трения или зубчатого сцепления сообщает движение конусу (47.86). Тогда тело, неизменно связанное с конусом, цридёт как раз в такое движение, которое совершает тело, движущееся вокруг неподвижной точки по инерции. На этом соображении основано устройство прибора, известного под названием герполоидографа Дарбу-Кёнигса (DarbouxKoenigs).

273. Установившиеся, или стационарные, движения твёрдого тела по инерции. Из уравнения (47.47) мы видим, что твердое тело может двигаться с постоянной по модулю угловой скоростью только тогда, когда всё время выполняется одно из трёх равенств:
\[
\omega=\omega_{1}, \quad \omega=\omega_{2}, \quad \omega=\omega_{3} ;
\]

действительно, только в этом случае будет всё время соблюдаться условие $\dot{(})=0$. Пусть справедливо первое из указанных равенств; тогда по

формуле (47.38) мы будем иметь $\omega_{\xi}=0$. Но, если $\omega_{\xi}$ — нуль, первое из уравнений (47.2) требует, чтобы произведение $\omega_{\eta} \omega_{\xi}$ также обращалось в нуль. Предположение, что оба множителя всё время нули, не имеет смысла, так как тогда тело находилось бы в покое; следовательно, остаются лишь два случая:
\[
\begin{array}{ll}
\text { 1) } \omega_{\xi}=\omega_{\eta}=\text { const. }=0, & \omega_{\zeta}=\text { const. }
eq 0 ; \\
\text { 2) } \omega_{\xi}=\omega_{\xi}=\text { const. }=0, \quad \omega_{\eta}=\text { const }
eq 0 .
\end{array}
\]

Из остальных двух равенств (47.87) мы найдём ещё только один новый случай:
\[
\text { 3) } \omega_{\eta}=\omega_{\xi}=\text { const. }=0, \quad \omega_{\xi}=\text { const. }
eq 0 .
\]

Итак, движения с постоянной по модулю скоростью возможны лишь. вокруг главных осей инерции. Легко показать, что тогда ось вращения, не изменяющая своего положения в теле, останется неподвижной и в пространстве. Убедимся в этом для первого случая, когда движение происходит вокруг оси $O \zeta$. Если неизменное направление кинетического момента $\boldsymbol{G}$ возьмём за ось $O z$, то из формул (47.62) при $\omega_{\xi}=\omega_{\eta}=0$ найдём:
\[
a_{31}=a_{32}=0 ;
\]

следовательно, из соотношения $a_{31}^{2}+a_{32}^{2}+a_{33}^{2}=1$ мы получим
\[
a_{33}= \pm 1 \text {, }
\]
т. е. ось $O \zeta$ совпадает с неподвижным направлением $\boldsymbol{G}$, что и доказывает требуемое. То же самое можно показать и для остальных двух случаев.

Пусть тело вращается около большой или малой оси эллипсоида инерции. Весьма слабым толчком возмутим движение тела. От толчка угловая скорость, вообще говоря, отклонится от оси постоянного вращения на некоторый угол, движение перестанет быть установившимся, и мгновенная ось начнёт перемещаться внутри тела по полодиальному конусу, охватывающему прежнюю ось вращения: это вытекает из проведённого выше исследования полодии ( $\S 271$ ). При достаточно малом. толчке возмущённое движение может сколь угодно мало отличаться от данного постоянного вращения. В этом смысле говорят, что стационарные вращения вокруг большой или малой оси эллипсоида инерции устойчивы.

Наоборот, вид полодий близ средней оси указывает, что если телу, совершающему постоянное вращение вокруг средней оси, сообщить хотя бы самое малое возмущение, выводящее ось вращения из первоначального положения, то возмущённое движение будет, вообще говоря, резко отличаться oт невозмущённого; поэтому установившееся вращение вокруг средней оси называется неустойчивым.

Таким образом, вращение вокруг средней оси отличается от остальных двух вращений своей неустойчивостью. Разберём теперь, по какому. признаку узнать, происходит ли постоянное вращение вокруг большой или вокруг малой оси эллипсоида инерции. С этой целью проследим, в какую сторону перемещается конец мгновенной оси по соответствующей полодии в возмущённом движении. Координатами проекции конца

мгновенной угловой скорости $\bar{\omega}$ на плоскость $O r_{1} \zeta$ являются $k \omega_{\eta}, k \omega_{\zeta}$, где $k$ — множитель пропорционалыности, определяющий масштаб построения. Следовательно, угол ђ, который ортогональная составляющая век-
\[
\operatorname{tg} \theta_{1}=\frac{\omega_{5}}{\omega_{\eta}} .
\]

Отсюда быстрота изменения угла $\theta_{1}$ со временем выразится формулой
\[
\dot{\theta}_{1}=\frac{\omega_{\eta} \dot{\omega}_{\xi}-\omega_{q} \dot{\omega}_{\eta}}{\omega_{\eta}^{2}+\omega_{\tau}^{2}},
\]

или, согласно соотношению (47.76), формулой
\[
\dot{G}_{1}=\frac{2 J_{\xi \xi} T-G^{2}}{J_{T_{i \eta} J_{\xi \xi}}\left(\omega_{\eta}^{2}+\omega_{\eta}^{2}\right)} \omega_{\xi} .
\]

Подобным же образом для производной угла $\theta_{3}$ между ортогональной составляющей $\bar{\omega}$ в плоскости $O \xi_{r_{4}}$ и осью $O \xi$ мы найдём формулу
\[
\dot{G}_{3}=\frac{2 J_{\xi !} T-G^{2}}{J_{\xi \xi} J_{\eta \eta}\left(\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}\right)} \omega_{\xi} .
\]

Знаки производных определят собою те направления, в которых перемещается мгновенная ось по соответствующему полодиальному конусу. Пусть постоянное вращение происходило вокруг оси $O \cong$ против часовой стрелки ( $\omega_{\xi}>0$ ); тогда для возмущённого движения, весьма мало отличающегося от данного, производная $\dot{b}_{1}$ по формулам (47.88) и (47.30) будет отрицательной: следовательно, мгновенная ось будет перемещаться внутри тела вокруг оси $O \xi$ по часовой стрелке. А если бы постоянное вращение против часовой стрелки совершалось около оси $O \zeta\left(\omega_{\xi}>0\right)$, то согласно формулам (47.29) и (47.89) и производная $\dot{\theta}_{3}$ была бы больше нуля, т. е. в возмущённом движении мгновенная ось перемещалась бы вокруг оси $O \zeta$ также против часовой стрелки. Подобные же результаты получаются и для вращения по часовой стрелке ( $\omega_{\xi}<0$ или $\omega_{\xi}<0$ ). Таким образом, постоянные вращения вокруг большой или малой оси эллипсоида инерции отличаются одно от другого тем, что в возмущённом движении мгновенная ось для первого случая (при вращении вокруг большой оси) перемещается в теле по направлению, противоположному вращению тела, а для второго случая (при вращении вокруг малой оси) перемещение оси совершается по тому же направлению, в котором вращается тело. Указанные явления легко демонстрируются с помощью остроумного прибора, носящего название волчка Максвелла (Maxwell).
274. Случай, когда эллипсоид инерции является поверхностью вращения. Когда $J_{\xi \xi}=J_{\tau, \eta}$, т. е. когда эллипсиид инерции представлает собой поверхность вращения, движение тела прннимает следующий весьма простой характер. Из третьего уравнения (47.2), а именно, из уравнения .
\[
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi}-\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta \eta}\right) \omega_{\xi} \omega_{\eta}=0,
\]

при $J_{\xi \xi}=J_{\eta \text { м }_{i}}$ мы находим:
\[
\omega_{\xi}=\text { const. }
\]

Затем интеграл энергии (47.11) и формула (47.12) дают
\[
\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}=\frac{2 r-J_{E \zeta} \omega_{\xi}^{2}}{J_{\xi \xi}}=\text { const. }
\]

Из этих равенств мы получаем:
\[
\omega^{2}=\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}+\omega_{\zeta}^{2}=\text { const. }
\]

и, кроме того,
\[
\frac{\omega_{\zeta}}{\omega}=\cos (\xi, \bar{\omega})=\text { const. }
\]

Следовательно, мгновенная угловая скорость постоянна и образует постоянный угол с осью динамической симметрии тела (§252). Подвижным аксоидом для рассматриваемого движения служит конус вращения вокруг оси $O \xi$. Если ось $O z$ совпадает с направлением кинетического момента, то по теореме Лагранжа (47.15) мы имеем $\omega_{z}=$ const.; поэтому из уравнения (47.92) вытекает, что
\[
\frac{\omega_{z}}{\omega}=\cos (z, \bar{\omega})=\text { const. }
\]
т. е. мгновенная угловая скорость образует постоянный угол с неизменным направлением кинетического момента $\boldsymbol{G}$, а потому и неподвижный аксоид является конусом вращения (вокруг оси Oz). Полодиями и герполодиями здесь служат окружности.