Главная > ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (Г.К. Суслов)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

265. Эйлеров случай движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Движение твёрдого тела по инерции. Решение вопроса о движении весомого твёрдого тела вокруг неподвижной точки представляет собой одну из самых интересных и вместе с тем самых разработанных задач о движении материальной системы. Разрешение этого вопроса в общем виде превышает пока силы анализа, но зато мы имеем много решений для различных частных случаев. Наиболее важным из них является так называемый случай Эйлера, а именно, движение весомого твёрдого тела вокруг своего центра масс, закреплённого неподвижно.

Составим уравнения движения такого тела, отнесённые к неподвижным осям. Поместим начало координат в неподвижном’центре масс; тогда мы будем иметь:
xc=yc=zc=0,ξc=ηc=ζc=0;

поэтому уравіения (46.20) на стр. 513 упростятся следующим образом:
ddtTωx=0,ddtTωy=0,ddtTωz=0;

уравнения (46.21) на стр. 513 , отнесённые к осям, неизменно связанным с телом, примут вид
Jξξωξ˙(JηηJkξ)ωηωξ=0,Jηηω˙η(JξξJξξ)ωξωξ=0,Jξξωξ˙(JξξJηη)ωξωη=0.}

Как уравнения (47.1), так и уравнения (47.2) представляют собою лишь

частный случай уравнений (46.15) и (46.16) на стр. 511 , соответствующий тому условию, что силы, при.юженные к телу, дают относительно точки опоры момент, равный нулю:
Lo=0.

Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки под действием сил, момент которых относительно этой точки равен нулю, носит название движения вокруг неподвижной точки по инерции. Таким образом, эйлеров случай служит частным случаем движения по инерции, когда тело весомое, а точка опоры совпадает с центром масс.

Заметим, что уравнения (47.2) сохранят свою форму и для свободного твёрдого тела, если ограничимся лишь рассмотрением движения тела вокруг центра масс и положим, что силы дают относительно этой точки момент, равный нулю; сказанное вытекает из уравнений (45.57) на стр. 504 при LC=0. Итак, задача о движении твёрдого тела по инерии вокруг неподвижной точки, заключающая в себе эйлерово. движение как частный случай, совпадает с задачею о движении свободного твёрдого тела вокруг его центра масс, если голько силы дают относительно центра масс момент, равный нулю. Всё различие в уравнениях движения, интегрирование которых даёг рещение задачи, состоит лишь в значениях постоянных Jξξ,,Jт ,Jζζ : в первой задаче это — главные моменты инерции, соответствующие неподвижной точке, а в последней это-главные центральные моменты инериии. Заметим, что для эйлерова движения и указанное различие исчезает: неподвижная точка и центр масс совпадают.

Когда речь идёт о свободном теле, не надо упускать из виду того, что мы в данной главе говорим лишь про его движение вокруг центра масс; поступательное же движение идёт своим чередом сообразно с законом изменения количествадвижения, или законом движения центра масс (§178). Так, напрнмер, если свободное тело находится лишь под действием силы тяжести, центр масс будет двигаться по параболе (§97), а тело одновременно будет двигаться вокруг центра масс по инерции. В дальнейшем для избежания повторений мы будем говорить лишь о движении тела вокруг неподвижной точки.

Пример 148. Как было сказано, силь тяжести частиц представляют собой пример сил, главный момент которых относительно центра масс равен нулю. Другим примером таких сил могут служить силы взаимодействия, или внутренние силы ( § (78), а из внешних сил — силы, зависящие от притяжения или отталкивания частиц тзердого тела неподвижными центрами прямо пропорционально массам и расстояниям. В самом деле, пусть n частиц неизменяемой системы, имеющих массы m, и радиусы-векторы rv, где v=1,2,,n, притягиваются или отталкиваются k веподвижными центрами с массами μx и радиусами-векторами rx, где x=1,2,,k, причём силы притяжения или отталкивания прямо пропорциональны произведениям масс на расстояния. Тогда сила Fv, действующая на массу mv, будет иметь значение
Fv=εmvx=1kμx(rxrv),

где коэффициент в положителен для сил притяжения и отрицателен для сил отталкивания. Составим вырджение для главного момента LO этих сил относительно начала координат; мы получим:
LO=v=1nrv×Fv=εv=1n{mvrv×i=1kμx(rxrv)}=εMrC×x=1kμxrx.

Отсюда ясно, что при rC=0, т. е. при совмещении начала координат с центром масс, мы получим LOC=0. Исходя из формулы (47.3), нетрудыо показать, что центр масс рассматриваемой неизменяемой системы будет описывать эллипс вокруг центра притягивающи масс μx (§98). В то же время неизменяемая система будет двигаться по инерции вокруг своего центра масс так, как если бы эта точка была неподвижной.

266. Простейшие интегралы уравнений движения. Теорема Лагранжа. Кинетическая энергия T твёрдого тела для рассматриваемого нами случая движения выражаегся формулой (46.1) на стр́. 508
T=12(Jξξωξ2+Jη1Tiωηi2+Jζζωζ2);

отсюда, на основании формул (45.30) на стр. 497 , мы получим следующие равенства:
Tωξ=Gξ=Jξξωξ,Tωη=Gγ=Jη,ηωη,Tωξ=Gξ=Jξξωζ.

Здесь буквою G обозначен кинетический момент твёрдого тела относительно неподвижной точки. С помощью написанных соотношений мы из формул (4د.33) на стр. 497 выводим
Tωx=Gx=Jξξωξa11+Jηηωηa12+Jξξωξa13,Tωy=Gy=Jξξωξa21+Jηηωηa22+Jξξωξa23,Tω2=Gz=Jξξωξa31+Jηηωηa32+Jξξωξa33.}

Обратимся теперь к уравнениям движения (47.1); они непосредственно интегрируются и интегралы их на основании формул (47.6) могут быть записаны в следуюшем виде:

Здесь Cx,Cv,C2 — произвольные постоянные. Интегралы эти представляют собой закон сохранения кинетического момента (§181). Действительно, гак как L=0, то
G=C,

откуда в проекциях на оси неподвижной системы координат и получаются формулы (47.7). Уравнение семейства лапласовых, или неизменяемых, плоскостей по формуле (31.23) на стр. 309 напишется так:
Gr=γ,

или
Gxx+Gyy+Gzz=γ;

здесь γ — произвольный параметр. Уравнение того же семейства, отнесённое к подвижным осям, будет
aξξ+anri+Gξξ=γ

или согласно формулам (47.5)
Jξξωξξ+Jγiηωηη+Jtξωξξ=γ.

Обратимся теперь к уравнениям (47.2). Умножив их соответственно на ωξ,ωη,ωξ и сложив, мы получим:
Jξξω˙ξω˙ξ+Jτiωγω˙η+Jξξωξω˙ξ=0;

отсюда мы находим новый, четвёртый, интеграл уравнений движения
Jξξωξ2+JriTiωηi2+Jξξωξ2=2h,

где h — произвольная постоянная. Как видно из формулы (47.4), мы получили интеграл энергии
T=h

его можно было бы написать непосредственно, приняв в соображение, что обращение в нуль главного моменга L сил относительно точки опоры влечёт за собой и обращение в нуль работы приложенных к твёрдому телу сил на любом перемещении тела. В справедливости последнего положения можно убедиться, вычислив элементарную работу сил v=1nFvdrv тем же способом, как это было сделано в примере 110 на стр. 387 . Действительно, мы имеем
v=1nFvdrv=v=1nFvvvdt=v=1nFvω¯×rvdt.

Отсюда, воспользовавшись правилом циклической перестановки сомножителей векторио-скалярного произведения, мы получим:
v=1nFvdrv=ω¯dtv=1nrv×Fv=ω¯dtL.

Таким образом, при L=0 также и
v=1nFvdrv=0

Умножим теперь уравнения (47.2) соответственно на Jξξωξ,Jηηωη,Jζωξ и сложим; мы снова получим в левой части нолную производную по времени
Jξξ2ωξω˙ξ+Jηri2ωiω˙η+Jξξ2ωξω˙ξ=0.

Проинтегрировав это уравнение, мы найдём:
γξξ2ωξ2+Jriτi2ωτi2+Jξξ2ωξ2=C2,

где C2 — произвольная постоянная. Но, очевидно, этот интеграл не независимый, а представляет собой лишь комбинацию уже найденных интегралов (47.7). В самом деле, если мы равенства (47.7) возведём в квадрат, сложим и примем во внимание соогношения (8.11) на стр. 75 между косинусами, то найдём:
Jξξ2ωξ2+Jηiηωη2+Jzξωξ2=Cx2+Cy2+Cz2;

отсюда ясно, что постоянная C2 равна
C2=Cx2+Cf2+Cz2=G2;

следовательно, интеграл (47.13) выражает собой лишь постоянство модуля кинетического момента. К уравнению (47.13) можно прийти сразу, если возвести в квадрат равенство (47.8) и затем выразить G2 через проекции вектора G по формулам (47.5).

В заключение остановимся на выше полученном выражении (46.8) на стр. 509 для кинетической энергии
2T=ω¯G

Поделив это равенство на G, мы найдём:
2TG=ω¯GG=ωcos(ω,G);

следовательно, при условии постоянства T и G проекция мгновенной угловой скорости на неизменное направление кинетического момента остаётся постоянной, т. е.
ωG=2TG= const. 

Доказанная теорема принадлежит Лагранжу,

267. Геометрическая интерпретация Пуансо. Как мы видели, полная интеграция уравнений (47.2) должна ввести шесть независимых друг от друга произвольных постоянных ( $$260 и 261); мы же до сих пор нашли их только четыре: Cx,Cy,Cz,h. Тем ме менее, как показал Пуансо (Poinsot), зная только приведённые выше простейшие ингегралы, мы в состоянии дать вюлне ясную геометрическую картину изучаемого движения. С этой целью рассмотрим снова эллипсоид инерции тела, соответствующий ненодвижной точке. Для взятых нами подвижных осей уравнение этого эллипсоида по формуле (26.13) на стр. 275 примет вид
Jξξξ2+Jηiη2+Jkη2=l2.

Пусть ρ¯1 есть радиус-вектор точки P1, в которой этот эллипсоид пересекается с мгновенной осью вращения, точнее с той её половиной, на которой лежит вектор ω¯ (фиг. 138 на стр. 510). Согласно формуле (46.10) на стр. 510 этот вектор так связан с угловою скоростью тела:
ρ¯1=lω¯2T.

В § 259 было установлено, что касательная плоскость, проведённая к эллипсоиду в точке P1, перпендикулирна к кинетическому моменту G и отстоит от точки опоры O на расстоянии
δ=l2TG
[см. формулу (46.14) на стр. 511]; уравнение этой плоскости имеет вид (46.14), т. е. Gρ¯=Gρ¯1 или, что одно и то же,
Gρ¯=l2T

В рассматриваемом случае движения кинетитеская энергия T и кинетический момент G постоянны; следовательно, касательная плоскость, проведённая через конец вектора ρ¯1, перпендикулярна к некоторому неизменному направлению (направлению вектора G ) и, кроме того, остаётся на постоянном расстоянии δ от точки опоры O, т. е. эта плоскость неподвижна в пространстве. Сопоставляя уравнения (47.9) и (47.19), мы замечаем, что касат эльная плоскость принадлежит к семейству неизменяемых плоскостей Лапласа.

Объединив всё выше сказанное, мы можем разбираемое движение твёрдого тела охарактеризовать следующим образом: твёрдое тело движется по инерцин вокруг няподвижной точки так, что неизменно связанный с ним эллипсоид инерции, соответствующий непддвижной точке, кагится без скольжения по одной из неизменяемых плоскостей, неподвижной в пространстве; притом угловая скорость тела пропорциональна длине раднуса-вектора точки касания эллипсоида с плоскостью качения. Движение эллипсоида пю плоскости будет качением без скольжения потому, что общая их точка P1 лежит на мгновенной оси и, следовательно, имеет скорость, равную нулю.

Если рассматривать всю мгновенную ось, а не только ту половину, на которой лежит вектор ω¯, то кроме точки P1 мы найдём еще некоторую другую точку P2, диаметрально противоположную первой и также лежащую на пересечении мгновенной оси с эллипсоидом инерции (фиг. 139). Вторая точка обладает теми же свойствами, что и первая; поэтому мы можем сказанное выше сформулировать так: при движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки по инерции эллипсоид инерции тела, соответствующий неподвижной точке, катится без скольжения по двум параллельным неизменяемым плоскостям с угловою скоростью, пропорциональной длине хорды, проведённой между точками касания эллипсоида с названными плоскостями. Постоянное расстояние между плоскостями равно
2δ=2l2TG.

На фиг. 139 плоскости качения обозначены S1 и S2;O-точка опоры, OK1=OK2=δ;P1P2 — хорда, соединяющая точки касания; ω¯ мгновенная угловая скорость тела, по. своему численному значению пропорциональная отрезку OP1 или, что одно и то же, пропорцнональная отрезку P1P2.

268. Интерпретация 2 Мак-Куллага. В геометрической иллюстрации Пуансо за основную поверхность, движением которой характеризуется движение всего тела, был принят эллипсоид инерции. Но с этим эллипсоидом тесно связан другой эллип-. соид, а именно, гирационный (§ 155 ).

Мак-Куллаг (Mac Cullagh) показал, что и движение гирационного эллипсоида точно так же даёт весьма наглядную картину движения тела по инерции, причём, как нетрудно сообразить, геометрические образы

Мак-Куллага получаются из соответствующих образов Пуансо тем же путём, каким гирационный эллипсоид строится по эллипсоиду инерции.

По формуле (26.18) на стр. 260 уравнение гирационного эллипсоида, соответствующего точке опоры, для взятых нами подвижных осей (главных осей инерции) пишется так:
ξ2Jξξ+η2Jηη+ζ2Jξζ=R4l2,

где R и l — некоторые постоянные. Прямую, служащую основанием кинетического момента тела относительно точки опоры, назовём для краткости неизменной; она согласно формулам (47.5) изображается уравнением
ξJξξωξ=ηJηηωη=ζJξξωq.

Из интеграла (47.8) или интегралов (47.7) мы заключаем, что прямая эта неподвижна в пространстве. Найдём точку ее встречи с поверхностью (47.20). Координаты ξ2,η2,ζ2 искомой точки должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям (47.20) и (47.21). Из последнего уравнения, если воспользуемся интегралом (47.13), мы имеем
ξ2Jξξωξ=η2Jηηωη=ζ2Jζξωξ=ξ22+η22+ζ22Jξξ2ωξ2+Jηη2ωη2+Jξξ2ω!2=ρ2G,

где ρ¯2 — радиус-вектор искомой точки встречи. Подставим определяемье этими равенствами выражения ξ2,τ2,ζ2 через ρ2 в уравнение (47.20); мы найдём:
(Jξξωξ2+Jγηωη2+Jξξωη2)ρ22G2=R4l2;

отсюда согласно формулам (47.11) и (47.12) мы получим:
ρ2=R2G2T= const.; 
т. е. точка встречи гирационного эллипсоида с неизменною прямою находится на постоянном расстоянии от точки опоры и, следовательно, остаётся неподвижной. Таких точек две; они диаметрально противоположны и заменяют собою две неизменяемых плоскости Пуансо. Приняв во внимание соотношение (47.23), мы из уравнений (47.22) находим:
ξ2=R2Jξξωξl2T¯;η2=R2Jηηωηl2T¯;ζ2=R2Jτtωl2T.

Построим в точке ( (ξ2,η2,ζ2) плоскость, касательную к эллипсоиду (47.20); её уравнением будет
ξ2Jξξξ+η2Jηηη1+ζ2Jζξξ=R4l2.

Косинусы углов между осями координат и нормалью к этой плоскости пропорциональны величинам
ξ2Jξξ:η2Jηη:ζ2Jζζ,

или, согласно равенствам (47.24), Ееличинам
ωξ:ωη:ωξ;

следовательно, направление нормали к гирационному эллипсоиду, построенному для неподвижной точки, параллельно мгновенной угловой скорости тела. Если мы вычислим теперь расстояние δ касательной плоскости (47.25) от точки опоры (начала координат), то найдём:
δ=R4l2ξ22Jξξ2+η22Jηη2+ζ22Jψ22;

отсіода по формулам (47.22) и (47.23) мы получим:
δ=R22hlωξ2+ωη2+ωξ2=R22Tlω,
т. е. расстояние касательной плоскости (47.25) ог точки опоры обратно пропорционально модулю мгновенной угловой скорости.

Из всего сказанного мы выводим следующее заключение: движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки по инерции происходит так, что неизменно связанный с телом гирационный эллинсоид, соответствующий точке опоры, во всё время движения проходит через две неподвижные точки, лежащие на неизменной прямой; при этом угловая скорость тела направлена по перпендикуляру, опущенному из точки опоры на плоскость, касательную к гирационному эллипсоиду в одной из неподвижных точек, а по модулю она обратно пропорциональна расстоянию названной плоскости от точки опоры.
На фигуре 140 изображены гирационный эллипсоид, построенный для точки опоры O, и неизменная прямая A1A2;Q1 н Q2 — неподвижные точки; D — плоскость, касательная к гирационному эллипсоиду в точке Q1; OB — перпендикуляр, опущенный из точки O на плоскость D;ω¯ — мгновенная угловая скорость тела, обратно пропорциональная отрезку OB.

269. Определение проекций угловой скорости как функций времени. Прежде чем перейти к нахождению дальнейших интегралов уравнений движения, разберё некоторые неравенства. Пусть моменты инерции Jξξ,Jη;,Jξξ так располагаются по своей величине:
Jiξ<Jxin<Jtξ,
т. е. пусть ось ε направлена по бо.ьшей, а ось ζ — по малой оси эллисоида инерции (47.16). По свойству моментоз инерции (§ 154) мы имеем:
Jtg+JnJst

Далее из уравнений (47.11) и (47.13), соответственно представляющих собой интеграл энергии и интеграл кинетического момента, мы находим:
27JξξG2=Jξξ(JξξJξξ)ωξ2+Jηη(JξξJη,j)ωη2.

Отсюда на основании неравенства (47.27) мы заключаем, что
2TJξξG2<0,2TJζζG2>0;}

о знаке же третьей разности ничего наперёд сказать нельзя, так что возможны следующие три случая:
2TJηηG20.

Разбираемые неравенства можно переписать следующим образом:
2TG¯2<1Jξξ,2TG¯21Jriη,2TG¯2>1Jζξ,

или, согласно формуле (47.18),
δ2<l2Jξξ,δ2l2Jriη,δ2>l2Jζξ.

Тогда крайние неравенства станут очевидными геометрически: они выражают то, что расстояние касательной плоскости к эллипсоиду инерции от центра поверхности не может быть больше, чем большая полуось, и меньше, чем малая.

Обратимся к уравнениям Эйлера (47.2) и перепишем их в таком виде:
ω˙ξ=JηηJξξJξξωηωξ,ω˙η=JξξJξξJηηωξωξ,ω˙ξ=JξξJηηJξξωξωη.
Умножив каждое из  этих равенств соответственно на ωξ, ωγ;, ωξ и сложив их, мы найдём:
ωξω˙ξ+ωηω˙γi+ωξω˙ξ=ωξωγ1ωξ(JηηiJξξJξξ+JξξJξξJηη+JξξJηηJξξ),

или
ωξω˙ξ+ωηiω˙η+ωξω˙ξ=(JξξJrη)(JηηJξξ)(JtξJξξ)ωξωηωξJξξJηηJξξ.

Так как
ωξω˙ξ+ωηω˙η+ωξω˙ξ=ω¨ω˙,

то мы постараемся выразить ωξ, ωi, ωξ также в функциях от ω. С эгой 34 г. к. Суслов

целью мы решим относительно ωξ2,ωη2, ωζ2 систему уравнений:
Jξξ2ωξ2+Jηπi2ωπi2+Jξζ2ωξ2=G2,Jξξωξ2+Jτjηηωη2+Jξζωξ2=2Tωξ2+ωη2+ωζ2=ω2.

Первые два уравнения представляют собой известные нам интегралы уравнений движения, а последнее выражает связь между модулем угловой скорости и её проекциями на оси подвижной системы координат. Найдём ωξ2 :
ωξ|Jξξ2Jηη2Jζζ2JξξJηηJζζ111|=|G2Jηη2Jξξ22TJηηJξξω211|

Раскрыв определители и сократив уравнение на Jभп Jζ, мы получим:
ωξ2(JξξJτ,η)(JξζJξξ)=2T(Jr,η+Jζξ)G2Jγ,ηJζζω2,

откуда
ωξ2=JηηJξζ(JξξJηη)(JξζJξξ){2T(Jηη+Jξξ)G2JηηJξξω2}.

Так как дробь
2T(Jηη+Jξζ)G2JiηJξζ

в силу второго из неравенств (47.29) положительна, то можно принять
2T(Jηη+Jtζ)G2JηηJtζ=ω12.

С другой стороны, согласно неравенствам (47.27) мы имеем
JηηJξt(JξξJηη)(JtξJξξ)<0;

следовательно, можно положить
JηηJξξ(JξcJηη)(JξξJξξ)=a12.

Тогда вместо выражения (47.35) мы получим:
ωξ2=a12(ω2ω12)

Подобным же образом мы найдём:
ωη2=α22(ω22ω2),ωϑ2=α32(ω2ω32),

где
a22=JξξJξξ(JηηJξξ)(JξξJηη);a32=JξξJηη(JξξJξξ)(JηηJξξ);(47.41)ω22=2T(Jξξ+Jξξ)G2JξξJξξ;ω32=2T(Jξξ+Jηη)G2JξξJηη

Дробь, обозначенная через ω32, положительна на основании неравенства (47.28) и второго из неравенств (47.29). Полученные нами выражения для ωξ2,ωη2,ωξ2 показывают, что
ω12ω2,ω22ω2,ω32ω2.

Определим теперь знаки разностей ω12ω22,ω22ω32,ω32ω12; имеем

Отсюда, приняв во внимание неравенства (47.29), мы заключаем, что ω22 всегда больше ω12 и ω32, а знак разности ω32ω12 одинаков со знаком левой части неравенства (47.30). Подставив выражения (47.38), (47.39) и (47.40) в уравнение (47.33) и приняв во внимание равенство (47.34), мы после сокращения найдём:
ωω˙=±(ω2ω12)(ω22ω2),(ω2ω32).

При интеграции этого уравнения разберём отдельно три случая: 1) 2TJηηG2>0, 2) 27JnηG2<0 и 3) 2TJηηG2=0. Согласно формулам (47.32) эти случаи соответствуют условиям, когда расстояние δ больше, меньше или равно средней полуоси эллипсоида инерции (47.16).
1) Итак, пусть сперва 27Jт G2>0. Тогда из формулы (47.46) мы видим, что ω32>ω12, и, следовательно, неравенства (47.43) перепишутся так:
ω12<ω32ω2ω22.

Так как ω2 может изменяться лишь от ω22 до ω32, то мы можем положить
ω2=ω22cos2χ+ω32sin2χ=ω22(ω22ω32)sin2χ,

где χ — новая переменная. Отсюда мы находим:
ω22ω2=(ω22ω32)sin2χ,ω2ω32=(ω22ω32)cos2χ,.ω2ω12=(ω22ω12)(1k12sin2χ),}

где
k1=ω22ω32ω22ω12.

Из равенств (47.44) и (47.45) видно, что величина k12 полюжительна, а неравенства (47.48) показывают, что она численно меньше единицы. Подставив выражения (47.49) и (47. 50) в уравнение (47.47), мы получим:
dχ±Δχ=εdt

где
Δχ=1k12sin2χ,ε=ω22ω12.

Знак минус следует брать в интервале времени, когда ω убывает от ω2 до ω3, и знак плюс, когда ω возрастаег or ω8 до ω2.

Проинтегрируем уравнение (47.52). Назовём t0,t1,t2, некоторые последовательные моменты времени, когда ω становится равной ω2,ω3, ω2,, а χ соответственно принимает значения 0,π2,0,π2 и т. д. Кроме того, введём обозначение
u=ε(tt0).

Для t, заключённого в интервале

мы получим:
t0tt1,0xdχΔχ=u.

Отсюда согласно формулам (22.33) и (22.34) на стр. 217 мы найдём:
χ=amu

При частном значении t=t1 уравнение (47.53) даёт соотношение
K=ε(t1t0),

где K есть полный эллиптический интеграл первого рода [см. формулу (22.31) на стр. 217]
K=0π2dχΔχ.

Перейдём к интервалу
t1tt2.

Уравнение (47.51) берём теперь с плюсом. Проинтєгрировав его, мы получим:
π2ydxΔx=ε(tt1)

Левую и правую части этого равенства преобразуем так:
0χdχΔχ0π2dχ=ε(tt0)ε(t1t0).

Решив это уравнение относительно первого слагаемого левой части и приняв во внимание соотношения (47.54) и (47.55), мы получим:
0xdχΔχ=u+2K.

Отсюда мы найдём:
χ=am(u+2K)

или, согласно теоремам (22.35) и (22.34) на стр. 217:
χ=amt+π

и т. д. Вернёмся теперь к равенствам (47.38), (47.39) и (47.40). На основании формул приведения тригонометрических функций мы получим:
ωξ=±α1εΔam[ε(tt0)],ωη=±α2εk1sinam[ε(tt0)],ωξ=±a3εk1cosam[ε(tt0)].}

Знаки здесь выбираются в соответствии с начальными данными и во всё время движения сохраняются одни и те же.
2) для случая 2TJг G2<0 совершенно таким же путём мы получим:
ωξ=±a1ε1k2cosam[ε1(tt0]ωη=±a2ε1k2sin am [ε1(tt0)]ωζ=±a3ε1Δam[ε1(tt0)]}

где
ε1=ω22ω12,k2=ω22ω12ω22ω32,

причём опять 0<k2<1.
3) Для промежуточного случая 27Jмп G2=0 мы согласно формуле (47.47) имеем
ω12=ω32

и, следовательно, вместо уравнения (47.46) получим следующее:
ωω˙=±(ω2ω12)ω22ω2.

Введём новую переменную χ, положив
ω22ω2=χ2

кроме того, введём обозначение
ω22ω12=n2;

тогда по формуле (47.44) мы найдём:
ω2ω12=ω22ω12χ2=n2χ2.

Подставив выражения (47.59) и (47.60) в уравнение (47.58), мы после сокращения на χ получим:
dχdt=±(n2χ2)

Проинтегрировав это уравнение, мы найдём:
±12nlnn+χnχ=t+β,

где β — произвольная постоянная. Разрешив это уравнение относительно χ, мы получим:
χ=±neθeθeθ+eθ=±nthθ,

где
θ=n(t+β)

Воспользовавшись формулой
1th2θ=sech2θ,

мы найдём отсюда:
ωξ=±nα1sechθ,ωη=±nα2thθ,ωζ=±nα3sechθ.

Так как при безграничном возрастании времени t аргумент θ стремится к бесконечности и, следовательно, sech θ стремится к нулю, то из последних уравнений мы заключаем, что в разбираемом случае движение асимптотически приближается к вращению с постоянной угловой скоростью na2r0 вокруг средней оси эллипсоида инерции.
270. Определение углов Эйлера как функий времени. Неподвижные оси координат Oxyz до сих пр были расположены произвольным образом; теперь примем для упрощения, что ось Oz нацравлена по кинетическому моменту G. Тогда мы будем иметь
at=0,Gy=0,az=G

и потому по формулам (47.5) на стр. 523 мы найдём
aξ=Jξξωξ=Ga31,aη=Jηηωη=Ga32,at=Jτξωξ=Ca33.

Здесь направляющие косинусы a31,a32,a33 согласно формулам (8.15) на стр. 77 следующим образом выражаются через эйлеровы углы:
a31=sinφsinθ,a32=cosφsinθ,a33=cosϑ.

Поэтому для определения углов φ и ϑ мы получаем следующие уравнения:
tgφ=JξξωξJrηωr,cosϑ=JrτωG.

Для нахбждения же третьего угла, т. е. угла ϕ, придётся произвести ещё одно, последнее, интегрирование. Согласно равенствам (46.19) на стр. 512 мы имеем
ωξ=sinφsinϑψ˙+cosφ˙,ωn=cosφsinϑϕ˙sinφ˙.

Исключив y˙, находим отсюда
sinϑψ˙=ωξsinφ+ωηcosφ.

Умножив это равенство на sinϑ и приняв во внимание формулы (47.63), мы получим:
sin2ϑψ˙=ωξsinφsinϑ+ωηcosφsinϑ=ωξa31+ω71a32.

Заменив здесь sinϑ,a31 и a32 их выражениями из равенств (47.62) и (47.64), мы придём к уравнению
ψ˙=GJξξωξ2+Jr,ωη2G2Jξ2ωξ2;

воспользовавшись интегралом (47.11) и формулой (47.12), это уравнение можно переписать так:

Здесь ωявляется уже известной функцией еремени и выражается формулами (47.56), (47.57) или (47.61). Проинтегрировав полученное уравнение, мы найдём:

где γ-шестая и последняя произвольная постоянная.

271. Полодия. Герполодия. Точка касания эллипсоида инерции и плоскости качения, перемещаясь с течением времени по той и другой поверхности, описывает на этих поверхностях некоторые кривые. Траектория точки по эллипсоиду инерции названа Пуансо полодией, а траектория по неизменяемой плоскости герполодие й. Так как рассмагриваемая точка лежит на мгновенной оси, то ясно само собою, что полодия служит направляющей подвижного аксоида, а герполодия — направляющей неподвижного аксоида для разбираемого движения гвёрдого тела (§68). Поэтому мы будем иногда называть подвижной аксонд полодиальным конусом, а неподвижный — герполодиальным конусом.

Полодия — алгебраическая кривая четвёртого порядка (фиг. 141). Уравнения её легко получить из чисто геометрических соображений. Любая точка ( (,η,ζ), принадлежащая полодии, лежит на эллипсоиде инерции (47.16), т. е.
Jξξξ2+Jηηη2+Jφξt2=l2.

Плоскость, касательная к эллипсоиду в любой точке полодии, находится от центра эллипсоида на постоянном расстоянии
δ=l2TG
[формула (47.18)]. Решив это уравнение относительно G2 и воспользовавшись выражениями (47.5), мы найдём
Jξξ2ωξ2+Jηη2ωη2+Jξξ2ωξ2=2Tl2δ.

Но угловая скорость согласно формуле (47.17) связана с радиусом-вектором ρ¯ точки, лежащей на полодин, соотношением
ω¯=2Tlρ¯;

поэтому вместо предыдущего равенства мы получим:
Jξξ2ξ2+Jηi2η2+Jξξ2ξ2=l4δ2.

Система уравнений (47.65) и (47.66) и изображает полодию. Как видим, полодия представляет собой пересечение двух соосных эллипсоидов: эллипсоида инерции (47.65) и так называемого кинетического эллипсоида (47.66). Последнее название оправдывается тем, что уравнение (47.66) выражает постоянство кинетического момента.

Если уравнение (47.65), предварительно умноженное на l2δ2 мы вычтем из уравнения (47.66), то- получим:
Jξξ(Jξξl2δ2)ξ2+Jη,(Jηnl2δ3)η2+Jτξ(Jτξl2δ2)q2=0.

Это — уравнение конической поверхности, имеющей вершину в центре эллипсоида, а направляющей кривой — полодию; другими словами, написанное уравнение изображает собою подвнжной аксоид для данного движения. Чтобы определить положение этого конуса относительно главных осей инерции, припомним неравенства (47.32); из них мы видим, что первый коэффициент в выражении (47.67) всегда отрицательный, а последний — всегда положительный; что же касается до среднего коэффициента, то знак его меняется в зависимости от начальных условий. Когда δ2>lJηη, т. е. расстояние плоскости качения от центра эллипсоида превышает длину средней полуоск. эллипсоида инерции, коэффициент при η2 в уравнении (47.67) больше нуля, и, следовательно, полодиальный конус охватывает ось ξ. Когда δ2<l2Jηηη, т. е. расстояние δ меньше средней полуоси катящегося эллипсоида, коэффициент при η2 меньше нул, и, следовательно, полодиальный конус охватывает ось ζ.

В промежуточном случае, когда δ2=l2Jηη, г. е. расстояние δ равно средней полуоси, полодиальный конус распадается на две плоскости
ξ=±ζJξξ(JζξJηη)Jξξ(JηηJξξ)

проходящие через среднюю ось, а соотеетствующая полодия представляет собой два эллипса. На фиг. 141 — это эллипсы BEB1E1 и BDB1D1. Точки A,B,C изображают вершины эллипсоида инерции.

Когда δ2 становится равным l2Jξξ, тогда уравнение (47.67) принимает вид
Jγ,γi(JriJξξ)ri2+Jξξ(JξξJξξ)ξ2=0;

отсюда согласно неравенствам (47.27) мы получаем:
η=0,ζ=0

Соответствующая полодия превращается в точку A. Точно так же для δ2=l2Jτ полодия стягивается в точку C.

Не\»надо упускать из виду, что уравнениями (47.65) и (47.66), собственно говоря, определяются две полодии, симметричные относительно шентра O эллипсоида.

Герполодия, как мы сейчас увидим, является кривой трансцендентной. Мы не будем искать её уравнения в конечном виле, а ограничимся лишь выволом её дифференциального уравнения. С этой целью спроектируем неподвнжную то’нку O тела и его угловую скорость OA=ω¯ на плоскость S качения эллипсоида инериии (фиг. 142). Назовём P точку встречи мгновенной оси вращения с плоскостью кдчения и обозначим
OK=δ,OP=ρ¯1,KP=r.

Вектор r представляет собой радиус-векФиг. 142.

тор гочки гериолодии, проведённый из начала K. Из треугольника OKP мы имеем
r2=OP2OK2=P12δ2,

или, если вспомним формулы (46.10) на стр. 510 и (47.18) на стр. 525,
r2=l2ω22T2Tl2G2.

Отсюда мы находим:
ω2=2Tl2r2+4T2G2.

Подставив это значение угловой скорости в уравнение (47.47), мы найдём следующую дифференциальную зависимость между r и временем:
2Tl2rr˙==±(2Tl2r2+4T2G2ω12)(ω222Tl2r24T2G2)(2Tl2r2+4T2G2ω32).

Если для сокращения положим
2TGGJξξ=n1,2TGGJriη=n2,2TGGJζζ=n3,

то из равенств (47.36) и (47.42) найдём:
4T2G2ω1=n2n3;4T2G2ω22=n3n1;4T2G2ω32=n1n2.

Поэтому вместо уравнения (47.69) мы получим:
r˙l2=±2T(r2l2+n2n32T)(r2l2+n3n12T)(r2l2+n1n22T).

Согласно неравенствам (47.31) мы имеем
n1<0,n3>0;

поэтому для n2>0 произведения, входящие в выражение под радикалом, удовлетворяют следующим неравенствам:
n2n3>0,n3n1<0,n1n2<0;

а для n2<0 мы получаем:
n2n3<0,n3n1<0,n1n2>0.

Следовательно, вещественность радикала (47.72) требует, чтобы r заключалось в первом случае между l2n3n12T и l2n1n22T, а во втором случае между l2n2n32T и l2n3n12T. Отсюда мы заключасм, что при n2, отличном от нуля, герполодия расположена между двумя концентрическими окружностями. Для промежуточного случая, когда n2=0, вместо уравнения (47.72) мы получаем:
r=±r2T(rl2+n3n12T),

где, как и всегда, n3n1<0. Из написанного выражения мы заключаем, что r не может превышать ln3n12T.

В § 270 мы условились расположить неподвижную систему координат Oxyz таким образом, чтобы ось Oz была направлена по кинетическому моменгу G и чтобы, следовательно, плоскость Oxy была параллельна плоскости качсния S. Проведём в плоскости S ось Kx1, параллельную оси Ox, и назовём Ө угол, образуемый раднусом-вектором r с этой осью (фиг. 142). При этих условиях мы можем написать.
tgθ=ωyωx.

Отсюда мы находим:
θ˙=ωxω˙yωyω˙xωx2+ωy2;

здесь точками, как обычно, обознсчены производные по времени. Преобразуем прежде всего числитель. Нетрудно заметить, что он представляет собой проекцию на ось z векторного произведения угловой скорости на угловое ускорение:
ωxω˙yωvω˙r=(ω¯×ω¯˙)z.

Перейдя к системе координат O вг j, неизменно связанной с телом, мы по формуле (8.7) на стр. 74 получим:
(ω¯×ω¯˙)2=(ω¯×ω¯˙)ξa31+(ω¯×ω¯˙)na32+(ω¯×ω¯˙)ζa33.

Далее, по теореме (9.18) на стр. 88 об относительной производной мы найдём:
ω¯˙=ω~˙+ω¯×ω=ω~˙=ω˙ξε0+ω˙γit¯0+ω˙ξζ¯0.

На основании сказанного мы можем написать:
ωxω˙yωyω˙x==(ωηω˙ξωξω˙γ)a31+(ωτω˙ξωξω˙ξ)a32+(ωξω˙rωτω˙ξ)a33.

С другой стороны, вспомнив уразнения движения Эйлера (47.2) на стр. 521 , мы найдём:
ωηω˙ξωξω˙η=1JηηJξξ{Jηη(JξξJηη)ωξωη2Jξξ(JξξJξξ)ωξωξ2}==ωξJηηJξξ{jξξ(Jηηωη2+Jξξωξ2)Jηη2ωγ12Jξη2ωη2}.

Прибавим и вычтем в скобках по Jξξ2ωξ2 и затем воспользуемся равенствами (47.11), (47.12), (47.13), (47.14), а также обозначениями (47.70); мы получим:
ωnω˙ξωξω˙η=ωξJηπJξξ(2JξξTG2)=JξξωξGJη,πJξξn1.

Подобным же образом мы найдевм:
ωξω˙ξωξω˙ξ=JηηηωηGJττJξξn2,ωξω˙ηωηω˙ξ=JτξωξGJξξJηηnB.

С помощью этих преобразований формулу (47.75) можно привести к виду
ωxω˙vωvω˙x=GJξξJηηJkξ(Jξξ2ωξn1a31+Jηη2ωηn2a32+Jξξ2ωξn3a38).

Подставив сюда значения направляюцих косинусов из равенств (47.62), мы получим:
ωxω˙vωvω˙x=GJξξJηηJξξ(Jξξ3ωξ2n1+Jηη3ωη2n2+Jξξ3(ω?2n8).

Выражения (47.38), (47.39), (47.40) на основании соотношений (47.68) и (47.71) могут быть перенисаны так:
ωξ2=JηηJεζ(JξξJηn)(JζζJξξ)(27l2r2+n2n3);ωη2=JtξJξξ(JηηJζτ3(JξξJηη)(2Tl2r2+n3n1);ωξ2=JξξJηη(JtξJξξ)(JηnJkξ)(27l2r2+n1n2).

Подставим эти значения ороекций угловой скорости в уравнение (47.77); при этом примем во внимание равенства (47.70), а также следующие тождества:
Jξξ(JrmJζζ)+Jrη(JτεJξξ)+Jζξ(JξξJrη)=0,Jξξ2(JmηmJξξ)+Jηη2(JξξJξξ)+Jξξ2(JξξJηηηη)==(JξξJηη)(JηηJτξ)(JζξJξξ);

в результате мы получим:
ωxω˙yωyω˙x=472l2G˙2r2+n1n2n3.

С другой стороны, по теореме Лагранжа (47.15) мы имеем
ωz=2TG;

из этого равенства и из равенства (47.68) мы выводим следующее соотношение:
ωx2+ωy2=ω2ωz2=ω24T2G2=2Tl2r2.

Подставив выражения (47.78) и (47.79) в равенство (47.74), мы получим дифференциальное уравнение, связывающее угол θ со временем
r2j^=2TGr2+l2n1n2n32I.

Наконец, поделив поэленно равенства (47.72) и (47.80), мы найдём дифференциальное уравнение герполодии:
drrdθ=±l227(r2l2+n2n32T)(r2l2+n3n12T)(r2l2+n1n22T)2TGr2+l2n1n2n327.

Таким образом, мы видим, ‘то конечное уравнение рассматриваемой кривой в общем случае будет содержать эллиптические трансцендентности.
В частном случае, при n2=0, уравнение (47.81) упрощается так
±dr2Tl2(1l2n8n12Tr2)=Gdθ2T.

Положив для сокращения письма
k2=n3n12T,

мы приведём эго уравнение к виду
±dkrk2r21=dkl2Tdθ.

Проинтегрировав это уравнение, мы найдём:
kr=ch(Gkl2T+ε),

где ε — произвольная постоянная. Кривая имеет асимптотический полюс в точке K и завивается вокруг него в двух направлениях (фиг. 143).

272. Вторая интерпретация Пуансо. Картина рассматриваемого движения, данная Пуансо, замечательна по своей простоте, ясности и наглядности в геометрическом смысле, но зато роль времени в ней скрадывается, так как в геометрическом образе нет ни одного элемента, который изменялся бы пропорционально времени. С целью выразить яснее зависимость от времени, Пуансо предложил ещё другой способ представлять себе движение тела. Разложим мгновенную угловую скорость \% тела на две составляющие: на составляющую ω¯ по направлению кинетического момента G и на составляющую ω по направлению, перпендикулярному к нему (фиг. 144). По- теореме Лагранжа (47.15) первая составляющая постоянна и по модулю равна 2TG; что же касается второй составляющей, то она меняется и по модулю, и по направлению

как в неподвижном пространстве, так и внутри самого движущегося тела. Геометрическим местом прямых, служащих основанием вектора ω¯, является в теле некоторая коническая поверхность, неизменно связанная с телом и носящая название второго конуса Пуансо. Нетрудно убедиться, что это — конус второго порядка. Возьмём на векторе ω¯ произвольную точку B и проведём через неё параллельно кинетическому моменту G прямую до встречи в точке C с мгновенной осью вращения. Обозначим ξ,η,ζ координаты точки B; координатами точки C будут kωξ,kωη,kωζ, где k — множитель пропорциональности. Так как прямая BCξ параллельна кинетическому моменту G, то уравнениями её согласно формулам (47.5) будут
ξkωξJξξωξ=ηkωηiJηηωη=ζkωξJζζωξ.

C другой стороны, точка B лежит в той неизменяемой плоскости S, которая проходит через точку O и которая, согласно формуле (47.10), изображается уравнением
Jξξωξξ+Jηηωηη+Jξξωξξ=0.

Обозначив общую величину отношений (47.82) через λ, мы найдем:
ξ=ωξ(k+λJξξ);η=ωη(k+λJηη);ξ=ωξ(k+λJξζ).

Подставив эти значения координат в равенство (47.83), мы получим следующее уравнение для λ :
k(Jξξωξ2+Jηηωη2+Jζζωξ2)+λ(Jξξ2ωξ2+Jηη2ωη2+Jξζ2ωξ2)=0,

или, согласно формулам (47.11), (47.12), (47.13), (47.14):
2kT+iG2=0

Отсюда в соответствии с формулой (47.18) мы найдём:
λ=2kTG2=kl2δ2

Равенства (47.84) теперь дают нам следующее соотношение:
ωξ:ωn:ωξ=ξl2δ2Jξξ:ηl2δ2Jηη:ζl2δ2Jζζ.

Но точка C лежит на подвижном аксоиде, и, следовательно, её координаты kωξ,kωη,kωζ удовлетворяют его уравнению (47.67); поэтому мы имеем
Jξξ(Jξξl2δ2)ωξ2+Jηη(Jηηl2δ2)ωη2+Jζξ(Jζξl2δ2)ω2=0.

Подставив сюда вместо ωξ, ωη, ωξ величины, им пропорциональные, определяемые формулой (47.85), мы найдём уравнение искомого конуса:
Jξξξ2Jξξl2δ2+Jrηη2Jηηl2δ2+Jζξζ2Jζζl2δ2=0.

Когда твёрдое тело будет совершать своё движение, конус (47.86) будет катиться по неподвижной плоскости S, но катиться со скольжением, так как он вместе с телом будет поворачиваться вокруг оси OA, служащей основанием вектора ω. При этом согласно теореме Лагранжа (47.15) угловая скорость ω будет постоянной:
ω=2TG.

Если бы плоскость S и конус (47.86) были абсолютно шероховатыми и притом плоскость S имела возможность вращаться вокруг оси OA, то тело своим движением привело бы её в равномерное вращение с угловой скоростью 2TG. Другими словами, тогда угол поворота плоскости за некоторый промежуток времени был бы пропорционален этому промежутку. Прикрепив к плоскости S стрелку Oμ, мы могли бы движением этой стрелки по неподвижному циферблату измерять время. Вообразим теперь, наоборот, что часовой механизм сообщает плоскости S постоянное вращение вокруг оси OA с угловой скоростью 2TG, а плоскость с помощью трения или зубчатого сцепления сообщает движение конусу (47.86). Тогда тело, неизменно связанное с конусом, цридёт как раз в такое движение, которое совершает тело, движущееся вокруг неподвижной точки по инерции. На этом соображении основано устройство прибора, известного под названием герполоидографа Дарбу-Кёнигса (DarbouxKoenigs).

273. Установившиеся, или стационарные, движения твёрдого тела по инерции. Из уравнения (47.47) мы видим, что твердое тело может двигаться с постоянной по модулю угловой скоростью только тогда, когда всё время выполняется одно из трёх равенств:
ω=ω1,ω=ω2,ω=ω3;

действительно, только в этом случае будет всё время соблюдаться условие (˙)=0. Пусть справедливо первое из указанных равенств; тогда по

формуле (47.38) мы будем иметь ωξ=0. Но, если ωξ — нуль, первое из уравнений (47.2) требует, чтобы произведение ωηωξ также обращалось в нуль. Предположение, что оба множителя всё время нули, не имеет смысла, так как тогда тело находилось бы в покое; следовательно, остаются лишь два случая:
 1) ωξ=ωη= const. =0,ωζ= const. eq0; 2) ωξ=ωξ= const. =0,ωη= const eq0.

Из остальных двух равенств (47.87) мы найдём ещё только один новый случай:
 3) ωη=ωξ= const. =0,ωξ= const. eq0.

Итак, движения с постоянной по модулю скоростью возможны лишь. вокруг главных осей инерции. Легко показать, что тогда ось вращения, не изменяющая своего положения в теле, останется неподвижной и в пространстве. Убедимся в этом для первого случая, когда движение происходит вокруг оси Oζ. Если неизменное направление кинетического момента G возьмём за ось Oz, то из формул (47.62) при ωξ=ωη=0 найдём:
a31=a32=0;

следовательно, из соотношения a312+a322+a332=1 мы получим
a33=±1
т. е. ось Oζ совпадает с неподвижным направлением G, что и доказывает требуемое. То же самое можно показать и для остальных двух случаев.

Пусть тело вращается около большой или малой оси эллипсоида инерции. Весьма слабым толчком возмутим движение тела. От толчка угловая скорость, вообще говоря, отклонится от оси постоянного вращения на некоторый угол, движение перестанет быть установившимся, и мгновенная ось начнёт перемещаться внутри тела по полодиальному конусу, охватывающему прежнюю ось вращения: это вытекает из проведённого выше исследования полодии ( §271 ). При достаточно малом. толчке возмущённое движение может сколь угодно мало отличаться от данного постоянного вращения. В этом смысле говорят, что стационарные вращения вокруг большой или малой оси эллипсоида инерции устойчивы.

Наоборот, вид полодий близ средней оси указывает, что если телу, совершающему постоянное вращение вокруг средней оси, сообщить хотя бы самое малое возмущение, выводящее ось вращения из первоначального положения, то возмущённое движение будет, вообще говоря, резко отличаться oт невозмущённого; поэтому установившееся вращение вокруг средней оси называется неустойчивым.

Таким образом, вращение вокруг средней оси отличается от остальных двух вращений своей неустойчивостью. Разберём теперь, по какому. признаку узнать, происходит ли постоянное вращение вокруг большой или вокруг малой оси эллипсоида инерции. С этой целью проследим, в какую сторону перемещается конец мгновенной оси по соответствующей полодии в возмущённом движении. Координатами проекции конца

мгновенной угловой скорости ω¯ на плоскость Or1ζ являются kωη,kωζ, где k — множитель пропорционалыности, определяющий масштаб построения. Следовательно, угол ђ, который ортогональная составляющая век-
tgθ1=ω5ωη.

Отсюда быстрота изменения угла θ1 со временем выразится формулой
θ˙1=ωηω˙ξωqω˙ηωη2+ωτ2,

или, согласно соотношению (47.76), формулой
G˙1=2JξξTG2JTiηJξξ(ωη2+ωη2)ωξ.

Подобным же образом для производной угла θ3 между ортогональной составляющей ω¯ в плоскости Oξr4 и осью Oξ мы найдём формулу
G˙3=2Jξ!TG2JξξJηη(ωξ2+ωη2)ωξ.

Знаки производных определят собою те направления, в которых перемещается мгновенная ось по соответствующему полодиальному конусу. Пусть постоянное вращение происходило вокруг оси O против часовой стрелки ( ωξ>0 ); тогда для возмущённого движения, весьма мало отличающегося от данного, производная b˙1 по формулам (47.88) и (47.30) будет отрицательной: следовательно, мгновенная ось будет перемещаться внутри тела вокруг оси Oξ по часовой стрелке. А если бы постоянное вращение против часовой стрелки совершалось около оси Oζ(ωξ>0), то согласно формулам (47.29) и (47.89) и производная θ˙3 была бы больше нуля, т. е. в возмущённом движении мгновенная ось перемещалась бы вокруг оси Oζ также против часовой стрелки. Подобные же результаты получаются и для вращения по часовой стрелке ( ωξ<0 или ωξ<0 ). Таким образом, постоянные вращения вокруг большой или малой оси эллипсоида инерции отличаются одно от другого тем, что в возмущённом движении мгновенная ось для первого случая (при вращении вокруг большой оси) перемещается в теле по направлению, противоположному вращению тела, а для второго случая (при вращении вокруг малой оси) перемещение оси совершается по тому же направлению, в котором вращается тело. Указанные явления легко демонстрируются с помощью остроумного прибора, носящего название волчка Максвелла (Maxwell).
274. Случай, когда эллипсоид инерции является поверхностью вращения. Когда Jξξ=Jτ,η, т. е. когда эллипсиид инерции представлает собой поверхность вращения, движение тела прннимает следующий весьма простой характер. Из третьего уравнения (47.2), а именно, из уравнения .
Jξξω˙ξ(JξξJηηη)ωξωη=0,

при Jξξ=Jη м i мы находим:
ωξ= const. 

Затем интеграл энергии (47.11) и формула (47.12) дают
ωξ2+ωη2=2rJEζωξ2Jξξ= const. 

Из этих равенств мы получаем:
ω2=ωξ2+ωη2+ωζ2= const. 

и, кроме того,
ωζω=cos(ξ,ω¯)= const. 

Следовательно, мгновенная угловая скорость постоянна и образует постоянный угол с осью динамической симметрии тела (§252). Подвижным аксоидом для рассматриваемого движения служит конус вращения вокруг оси Oξ. Если ось Oz совпадает с направлением кинетического момента, то по теореме Лагранжа (47.15) мы имеем ωz= const.; поэтому из уравнения (47.92) вытекает, что
ωzω=cos(z,ω¯)= const. 
т. е. мгновенная угловая скорость образует постоянный угол с неизменным направлением кинетического момента G, а потому и неподвижный аксоид является конусом вращения (вокруг оси Oz). Полодиями и герполодиями здесь служат окружности.

1
Оглавление
email@scask.ru