Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
265. Эйлеров случай движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Движение твёрдого тела по инерции. Решение вопроса о движении весомого твёрдого тела вокруг неподвижной точки представляет собой одну из самых интересных и вместе с тем самых разработанных задач о движении материальной системы. Разрешение этого вопроса в общем виде превышает пока силы анализа, но зато мы имеем много решений для различных частных случаев. Наиболее важным из них является так называемый случай Эйлера, а именно, движение весомого твёрдого тела вокруг своего центра масс, закреплённого неподвижно. Составим уравнения движения такого тела, отнесённые к неподвижным осям. Поместим начало координат в неподвижном’центре масс; тогда мы будем иметь: поэтому уравіения (46.20) на стр. 513 упростятся следующим образом: уравнения (46.21) на стр. 513 , отнесённые к осям, неизменно связанным с телом, примут вид Как уравнения (47.1), так и уравнения (47.2) представляют собою лишь частный случай уравнений (46.15) и (46.16) на стр. 511 , соответствующий тому условию, что силы, при.юженные к телу, дают относительно точки опоры момент, равный нулю: Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки под действием сил, момент которых относительно этой точки равен нулю, носит название движения вокруг неподвижной точки по инерции. Таким образом, эйлеров случай служит частным случаем движения по инерции, когда тело весомое, а точка опоры совпадает с центром масс. Заметим, что уравнения (47.2) сохранят свою форму и для свободного твёрдого тела, если ограничимся лишь рассмотрением движения тела вокруг центра масс и положим, что силы дают относительно этой точки момент, равный нулю; сказанное вытекает из уравнений (45.57) на стр. 504 при Когда речь идёт о свободном теле, не надо упускать из виду того, что мы в данной главе говорим лишь про его движение вокруг центра масс; поступательное же движение идёт своим чередом сообразно с законом изменения количествадвижения, или законом движения центра масс (§178). Так, напрнмер, если свободное тело находится лишь под действием силы тяжести, центр масс будет двигаться по параболе (§97), а тело одновременно будет двигаться вокруг центра масс по инерции. В дальнейшем для избежания повторений мы будем говорить лишь о движении тела вокруг неподвижной точки. Пример 148. Как было сказано, силь тяжести частиц представляют собой пример сил, главный момент которых относительно центра масс равен нулю. Другим примером таких сил могут служить силы взаимодействия, или внутренние силы ( где коэффициент в положителен для сил притяжения и отрицателен для сил отталкивания. Составим вырджение для главного момента Отсюда ясно, что при 266. Простейшие интегралы уравнений движения. Теорема Лагранжа. Кинетическая энергия отсюда, на основании формул (45.30) на стр. 497 , мы получим следующие равенства: Здесь буквою Обратимся теперь к уравнениям движения (47.1); они непосредственно интегрируются и интегралы их на основании формул (47.6) могут быть записаны в следуюшем виде: Здесь откуда в проекциях на оси неподвижной системы координат и получаются формулы (47.7). Уравнение семейства лапласовых, или неизменяемых, плоскостей по формуле (31.23) на стр. 309 напишется так: или здесь или согласно формулам (47.5) Обратимся теперь к уравнениям (47.2). Умножив их соответственно на отсюда мы находим новый, четвёртый, интеграл уравнений движения где его можно было бы написать непосредственно, приняв в соображение, что обращение в нуль главного моменга Отсюда, воспользовавшись правилом циклической перестановки сомножителей векторио-скалярного произведения, мы получим: Таким образом, при Умножим теперь уравнения (47.2) соответственно на Проинтегрировав это уравнение, мы найдём: где отсюда ясно, что постоянная следовательно, интеграл (47.13) выражает собой лишь постоянство модуля кинетического момента. К уравнению (47.13) можно прийти сразу, если возвести в квадрат равенство (47.8) и затем выразить В заключение остановимся на выше полученном выражении (46.8) на стр. 509 для кинетической энергии Поделив это равенство на следовательно, при условии постоянства Доказанная теорема принадлежит Лагранжу, 267. Геометрическая интерпретация Пуансо. Как мы видели, полная интеграция уравнений (47.2) должна ввести шесть независимых друг от друга произвольных постоянных ( Пусть В § 259 было установлено, что касательная плоскость, проведённая к эллипсоиду в точке В рассматриваемом случае движения кинетитеская энергия Объединив всё выше сказанное, мы можем разбираемое движение твёрдого тела охарактеризовать следующим образом: твёрдое тело движется по инерцин вокруг няподвижной точки так, что неизменно связанный с ним эллипсоид инерции, соответствующий непддвижной точке, кагится без скольжения по одной из неизменяемых плоскостей, неподвижной в пространстве; притом угловая скорость тела пропорциональна длине раднуса-вектора точки касания эллипсоида с плоскостью качения. Движение эллипсоида пю плоскости будет качением без скольжения потому, что общая их точка Если рассматривать всю мгновенную ось, а не только ту половину, на которой лежит вектор На фиг. 139 плоскости качения обозначены 268. Интерпретация Мак-Куллаг (Mac Cullagh) показал, что и движение гирационного эллипсоида точно так же даёт весьма наглядную картину движения тела по инерции, причём, как нетрудно сообразить, геометрические образы Мак-Куллага получаются из соответствующих образов Пуансо тем же путём, каким гирационный эллипсоид строится по эллипсоиду инерции. По формуле (26.18) на стр. 260 уравнение гирационного эллипсоида, соответствующего точке опоры, для взятых нами подвижных осей (главных осей инерции) пишется так: где Из интеграла (47.8) или интегралов (47.7) мы заключаем, что прямая эта неподвижна в пространстве. Найдём точку ее встречи с поверхностью (47.20). Координаты где отсюда согласно формулам (47.11) и (47.12) мы получим: Построим в точке ( Косинусы углов между осями координат и нормалью к этой плоскости пропорциональны величинам или, согласно равенствам (47.24), Ееличинам следовательно, направление нормали к гирационному эллипсоиду, построенному для неподвижной точки, параллельно мгновенной угловой скорости тела. Если мы вычислим теперь расстояние отсіода по формулам (47.22) и (47.23) мы получим: Из всего сказанного мы выводим следующее заключение: движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки по инерции происходит так, что неизменно связанный с телом гирационный эллинсоид, соответствующий точке опоры, во всё время движения проходит через две неподвижные точки, лежащие на неизменной прямой; при этом угловая скорость тела направлена по перпендикуляру, опущенному из точки опоры на плоскость, касательную к гирационному эллипсоиду в одной из неподвижных точек, а по модулю она обратно пропорциональна расстоянию названной плоскости от точки опоры. 269. Определение проекций угловой скорости как функций времени. Прежде чем перейти к нахождению дальнейших интегралов уравнений движения, разберё некоторые неравенства. Пусть моменты инерции Далее из уравнений (47.11) и (47.13), соответственно представляющих собой интеграл энергии и интеграл кинетического момента, мы находим: Отсюда на основании неравенства (47.27) мы заключаем, что о знаке же третьей разности ничего наперёд сказать нельзя, так что возможны следующие три случая: Разбираемые неравенства можно переписать следующим образом: или, согласно формуле (47.18), Тогда крайние неравенства станут очевидными геометрически: они выражают то, что расстояние касательной плоскости к эллипсоиду инерции от центра поверхности не может быть больше, чем большая полуось, и меньше, чем малая. Обратимся к уравнениям Эйлера (47.2) и перепишем их в таком виде: или Так как то мы постараемся выразить целью мы решим относительно Первые два уравнения представляют собой известные нам интегралы уравнений движения, а последнее выражает связь между модулем угловой скорости и её проекциями на оси подвижной системы координат. Найдём Раскрыв определители и сократив уравнение на откуда Так как дробь в силу второго из неравенств (47.29) положительна, то можно принять С другой стороны, согласно неравенствам (47.27) мы имеем следовательно, можно положить Тогда вместо выражения (47.35) мы получим: Подобным же образом мы найдём: где Дробь, обозначенная через Определим теперь знаки разностей Отсюда, приняв во внимание неравенства (47.29), мы заключаем, что При интеграции этого уравнения разберём отдельно три случая: 1) Так как где где Из равенств (47.44) и (47.45) видно, что величина где Знак минус следует брать в интервале времени, когда Проинтегрируем уравнение (47.52). Назовём Для мы получим: Отсюда согласно формулам (22.33) и (22.34) на стр. 217 мы найдём: При частном значении где Перейдём к интервалу Уравнение (47.51) берём теперь с плюсом. Проинтєгрировав его, мы получим: Левую и правую части этого равенства преобразуем так: Решив это уравнение относительно первого слагаемого левой части и приняв во внимание соотношения (47.54) и (47.55), мы получим: Отсюда мы найдём: или, согласно теоремам (22.35) и (22.34) на стр. 217: и т. д. Вернёмся теперь к равенствам (47.38), (47.39) и (47.40). На основании формул приведения тригонометрических функций мы получим: Знаки здесь выбираются в соответствии с начальными данными и во всё время движения сохраняются одни и те же. где причём опять и, следовательно, вместо уравнения (47.46) получим следующее: Введём новую переменную кроме того, введём обозначение тогда по формуле (47.44) мы найдём: Подставив выражения (47.59) и (47.60) в уравнение (47.58), мы после сокращения на Проинтегрировав это уравнение, мы найдём: где где Воспользовавшись формулой мы найдём отсюда: Так как при безграничном возрастании времени и потому по формулам (47.5) на стр. 523 мы найдём Здесь направляющие косинусы Поэтому для определения углов Для нахбждения же третьего угла, т. е. угла Исключив Умножив это равенство на Заменив здесь воспользовавшись интегралом (47.11) и формулой (47.12), это уравнение можно переписать так: Здесь где 271. Полодия. Герполодия. Точка касания эллипсоида инерции и плоскости качения, перемещаясь с течением времени по той и другой поверхности, описывает на этих поверхностях некоторые кривые. Траектория точки по эллипсоиду инерции названа Пуансо полодией, а траектория по неизменяемой плоскости герполодие й. Так как рассмагриваемая точка лежит на мгновенной оси, то ясно само собою, что полодия служит направляющей подвижного аксоида, а герполодия — направляющей неподвижного аксоида для разбираемого движения гвёрдого тела (§68). Поэтому мы будем иногда называть подвижной аксонд полодиальным конусом, а неподвижный — герполодиальным конусом. Полодия — алгебраическая кривая четвёртого порядка (фиг. 141). Уравнения её легко получить из чисто геометрических соображений. Любая точка ( Плоскость, касательная к эллипсоиду в любой точке полодии, находится от центра эллипсоида на постоянном расстоянии Но угловая скорость согласно формуле (47.17) связана с радиусом-вектором поэтому вместо предыдущего равенства мы получим: Система уравнений (47.65) и (47.66) и изображает полодию. Как видим, полодия представляет собой пересечение двух соосных эллипсоидов: эллипсоида инерции (47.65) и так называемого кинетического эллипсоида (47.66). Последнее название оправдывается тем, что уравнение (47.66) выражает постоянство кинетического момента. Если уравнение (47.65), предварительно умноженное на Это — уравнение конической поверхности, имеющей вершину в центре эллипсоида, а направляющей кривой — полодию; другими словами, написанное уравнение изображает собою подвнжной аксоид для данного движения. Чтобы определить положение этого конуса относительно главных осей инерции, припомним неравенства (47.32); из них мы видим, что первый коэффициент в выражении (47.67) всегда отрицательный, а последний — всегда положительный; что же касается до среднего коэффициента, то знак его меняется в зависимости от начальных условий. Когда В промежуточном случае, когда проходящие через среднюю ось, а соотеетствующая полодия представляет собой два эллипса. На фиг. 141 — это эллипсы Когда отсюда согласно неравенствам (47.27) мы получаем: Соответствующая полодия превращается в точку Не\»надо упускать из виду, что уравнениями (47.65) и (47.66), собственно говоря, определяются две полодии, симметричные относительно шентра Герполодия, как мы сейчас увидим, является кривой трансцендентной. Мы не будем искать её уравнения в конечном виле, а ограничимся лишь выволом её дифференциального уравнения. С этой целью спроектируем неподвнжную то’нку Вектор тор гочки гериолодии, проведённый из начала или, если вспомним формулы (46.10) на стр. 510 и (47.18) на стр. 525, Отсюда мы находим: Подставив это значение угловой скорости в уравнение (47.47), мы найдём следующую дифференциальную зависимость между Если для сокращения положим то из равенств (47.36) и (47.42) найдём: Поэтому вместо уравнения (47.69) мы получим: Согласно неравенствам (47.31) мы имеем поэтому для а для Следовательно, вещественность радикала (47.72) требует, чтобы где, как и всегда, В § 270 мы условились расположить неподвижную систему координат Отсюда мы находим: здесь точками, как обычно, обознсчены производные по времени. Преобразуем прежде всего числитель. Нетрудно заметить, что он представляет собой проекцию на ось Перейдя к системе координат Далее, по теореме (9.18) на стр. 88 об относительной производной мы найдём: На основании сказанного мы можем написать: С другой стороны, вспомнив уразнения движения Эйлера (47.2) на стр. 521 , мы найдём: Прибавим и вычтем в скобках по Подобным же образом мы найдевм: С помощью этих преобразований формулу (47.75) можно привести к виду Подставив сюда значения направляюцих косинусов из равенств (47.62), мы получим: Выражения (47.38), (47.39), (47.40) на основании соотношений (47.68) и (47.71) могут быть перенисаны так: Подставим эти значения ороекций угловой скорости в уравнение (47.77); при этом примем во внимание равенства в результате мы получим: С другой стороны, по теореме Лагранжа (47.15) мы имеем из этого равенства и из равенства (47.68) мы выводим следующее соотношение: Подставив выражения (47.78) и (47.79) в равенство (47.74), мы получим дифференциальное уравнение, связывающее угол Наконец, поделив поэленно равенства (47.72) и (47.80), мы найдём дифференциальное уравнение герполодии: Таким образом, мы видим, ‘то конечное уравнение рассматриваемой кривой в общем случае будет содержать эллиптические трансцендентности. Положив для сокращения письма мы приведём эго уравнение к виду Проинтегрировав это уравнение, мы найдём: где 272. Вторая интерпретация Пуансо. Картина рассматриваемого движения, данная Пуансо, замечательна по своей простоте, ясности и наглядности в геометрическом смысле, но зато роль времени в ней скрадывается, так как в геометрическом образе нет ни одного элемента, который изменялся бы пропорционально времени. С целью выразить яснее зависимость от времени, Пуансо предложил ещё другой способ представлять себе движение тела. Разложим мгновенную угловую скорость \% тела на две составляющие: на составляющую как в неподвижном пространстве, так и внутри самого движущегося тела. Геометрическим местом прямых, служащих основанием вектора C другой стороны, точка Обозначив общую величину отношений (47.82) через Подставив эти значения координат в равенство (47.83), мы получим следующее уравнение для или, согласно формулам (47.11), (47.12), (47.13), (47.14): Отсюда в соответствии с формулой (47.18) мы найдём: Равенства (47.84) теперь дают нам следующее соотношение: Но точка Подставив сюда вместо Когда твёрдое тело будет совершать своё движение, конус (47.86) будет катиться по неподвижной плоскости Если бы плоскость 273. Установившиеся, или стационарные, движения твёрдого тела по инерции. Из уравнения (47.47) мы видим, что твердое тело может двигаться с постоянной по модулю угловой скоростью только тогда, когда всё время выполняется одно из трёх равенств: действительно, только в этом случае будет всё время соблюдаться условие формуле (47.38) мы будем иметь Из остальных двух равенств (47.87) мы найдём ещё только один новый случай: Итак, движения с постоянной по модулю скоростью возможны лишь. вокруг главных осей инерции. Легко показать, что тогда ось вращения, не изменяющая своего положения в теле, останется неподвижной и в пространстве. Убедимся в этом для первого случая, когда движение происходит вокруг оси следовательно, из соотношения Пусть тело вращается около большой или малой оси эллипсоида инерции. Весьма слабым толчком возмутим движение тела. От толчка угловая скорость, вообще говоря, отклонится от оси постоянного вращения на некоторый угол, движение перестанет быть установившимся, и мгновенная ось начнёт перемещаться внутри тела по полодиальному конусу, охватывающему прежнюю ось вращения: это вытекает из проведённого выше исследования полодии ( Наоборот, вид полодий близ средней оси указывает, что если телу, совершающему постоянное вращение вокруг средней оси, сообщить хотя бы самое малое возмущение, выводящее ось вращения из первоначального положения, то возмущённое движение будет, вообще говоря, резко отличаться oт невозмущённого; поэтому установившееся вращение вокруг средней оси называется неустойчивым. Таким образом, вращение вокруг средней оси отличается от остальных двух вращений своей неустойчивостью. Разберём теперь, по какому. признаку узнать, происходит ли постоянное вращение вокруг большой или вокруг малой оси эллипсоида инерции. С этой целью проследим, в какую сторону перемещается конец мгновенной оси по соответствующей полодии в возмущённом движении. Координатами проекции конца мгновенной угловой скорости Отсюда быстрота изменения угла или, согласно соотношению (47.76), формулой Подобным же образом для производной угла Знаки производных определят собою те направления, в которых перемещается мгновенная ось по соответствующему полодиальному конусу. Пусть постоянное вращение происходило вокруг оси при Затем интеграл энергии (47.11) и формула (47.12) дают Из этих равенств мы получаем: и, кроме того, Следовательно, мгновенная угловая скорость постоянна и образует постоянный угол с осью динамической симметрии тела (§252). Подвижным аксоидом для рассматриваемого движения служит конус вращения вокруг оси
|
1 |
Оглавление
|