160. Свободная и несвободная материальные системы. Связи конечные и дифференциальные. Собрание материальных частиц в конечном или бесконечно большом числе мы назвали системой материальных частиц, или, короче, материальной системой, если движение каждой из частиц зависит от движения остальных (§ 143). Когда частицы системы в любой момент могут занимать произвольное положение и иметь произвольные скорости, система называется свободной. В этом случае движение какой-либо частицы свободной системы связано с движением остальных только потому, что приложенная ко взятой частице сила зависит от положения или скоростей других частиц системы. Так, например, три материальные частицы, о которых сказано только, что они взаимно притягиваются по ньютонову закону, составляют свободную материальную систему.

Если частицы материальной системы в произвольно выбранный момент не могут занимать произвольного положения или не могут иметь в этот момент произвольных скоростей, то такая система носит название несвободной. Условия, налагаемые на движение несвободной системы, называются связями этой системы. В рассматриваемом случае движение какой-либо частицы несвободной системы связано с движением остальных не потому только, что приложенная ко взятой частице сила можст зависеть от положения или движения других частиц системы, но и потому, что во всё время движения системы должны удовлетворяться те уравнения или неравенства, которые аналитически выражают связи системы.

Связи системы бывают двух родов: одни связи не позволяют системе в данный момент занимать произвольное положение; другие связи не допускают только, чтобы точки системы в данный момент имели произ: вольные скөрости. Связи первого рота мы будем называть конечными, или геометрическими, связи второго рода – дифференциальными, или кинематическими. Если связи не зависят явно от времени, т. е. накладывают ограничения на положения и скорости частиц системы, одинаковые для любого момента времени, то они называются стационарными, или склерономными; в противном случае связи называются не стационарными, или реономными.

161. Конечные удерживающие связи. Возможное положение системы. Конечная связь называется удерживающей, если она аналитически выражается некоторым уравнением между координатами частиц системы и временем. Пусть рассматриваемая система состоит из $n$ материальных частиц. Какую-либо чаетицу обозначим $m_{y}$, а координаты её $x_{v}, y_{v}, z_{v}$. В таком случае, если сигтема подчинена $a$ конечным связям, то координаты частиц системы должны удовлетворять $a$ уравнениям вида
\[
\left.\begin{array}{l}
f_{\alpha}\left(\ldots, x_{v}, y_{
u}, z_{1}, \ldots, t\right)=0 \\

u=1,2,3, \ldots, n ; \alpha=1,2, \ldots, a .
\end{array}\right\}
\]

Всякое положение системы, для которого коэрдинаты частиц удозлетворяют этим уравнениям, называется возможным для данного момента $t$.

Пример 76. Материальная система, все частицы которой находятся друг от друга на неизменных. расстояниях, носит название не изменяемой системы. Неизменяемая система в случае непрерывного распределения массы называется твёрдым телом в динамическом смысле, или абсолютно твёрдым телом (о твёрдом теле в кинематическом смысле см. § 54) Пусть неизменяемая система состоит из трёх частиц; тогда связи системы выразятся уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
f_{1}=\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{8}\right)^{2}-l_{23}^{2}=0, \\
f_{2}=\left(x_{8}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{8}-z_{1}\right)^{2}-l_{31}^{2}=0, \\
f_{3}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{3}\right)^{3}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-l_{12}^{2}=0,
\end{array}\right\}
\]

где $l_{\mu y}$ означает постоянное расстояние между частицами $m_{\mu}$ и $m_{v}$.
ің имер 77. Пусть система состоит из четырёх частиц $m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}$, связанных тем условием, что объём тетраэдра, имеющего вершины в частицах системы, возрастает пропорционально времени. Аналитйчески указанная связь выразится уравнением
\[
f=\left|\begin{array}{llll}
1 & x_{1} & y_{1} & z_{1} \\
1 & x_{2} & y_{2} & z_{2} \\
1 & x_{3} & y_{3} & z_{8} \\
1 & x_{4} & y_{4} & z_{4}
\end{array}\right|-a t-b=0,
\]

где $a$ и $b$ – некоторые постоянные. Этот пример иллюстрирует кочечную реономную связь.

Пример 78. Пусть система состоит из $n$ материальных частиц, движущихся в плоскости
\[
a x+b y+c z+d=0 .
\]

В этом случае связи, которым подчинена система, выразятся уравнениями
\[
\begin{array}{c}
f_{\alpha}=a x_{
u}+b y_{
u}+c z_{
u}+d=0, \\
\alpha=
u=1,2, \ldots, n .
\end{array}
\]
162. Градиент конечной связи в данной точке. Напинем подробно уравнение (27.1) одной из связей данной системы
\[
f_{\alpha}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, \ldots, x_{v}, y_{v}, z_{v}, \ldots, x_{n}^{\prime}, y_{n}, z_{n}, t\right)=0 .
\]

Вообразим, что мы закрепили неподвижно все частицы системы за исключением частицы $m_{v}$; тогда все корддинаты, кроме трёх, $x_{v}, y_{v}, z_{v}$, станут постоянными, и написанное уравнение представит собой ту изменяющуюся с течением времени поверхность, на которой должна оставаться частица $m_{v}$. Вектор, имеюций своими проекциями частные производные $\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{v}}, \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{v}}, \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{v}}$, мы будем называть дифференциальным параметром связи, или градиентом функции $f_{\alpha}$, выражающей связь, или, короче, градиентом связи $f_{\alpha}$ в точке $m_{v}$ и обозначать $\operatorname{grad}_{i} f_{\alpha}$. Таким образом,
\[
\operatorname{grad}_{v} f_{\alpha}=\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{v}} x^{0}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{v}} \boldsymbol{y}^{0}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{v}} \boldsymbol{z}^{0} .
\]

Модуль этого вектора иногда назьвают дифференциальным параметром первого порядка от связи в данной точке и обозначают $\Delta_{\gamma}^{(\alpha)}$, т. е.
\[
\Delta_{v}^{(\alpha)}=\left|\operatorname{grad}_{v} f_{\alpha}\right|=\sqrt{\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{v}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{v}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial z_{v}}\right)^{2}} .
\]

По своему направлению градиент в данной точке, очевидно, совпадает с положительной нормалью к поверхности (27.5).

ПІример 79. Для первой из связей (27.2) примера 76 имеем следующие градиенты в точках $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$ :
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{grad}_{1} f_{1}=0 . \\
\operatorname{grad}_{2} f_{1}=2\left[\left(x_{2}-x_{3}\right) x^{0}+\left(y_{2}-y_{3}\right) y^{0}+\left(z_{2}-z_{3}\right) z^{0}\right]=2\left(r_{2}-r_{3}\right), \\
\operatorname{grad}_{3} f_{1}=-2\left[\left(x_{2}-x_{3}\right) x^{0}+\left(y_{2}-y_{3}\right) y^{0}+\left(z_{2}-z_{3}\right) z^{0}\right]=-2\left(r_{2}-r_{3}\right),
\end{array}
\]

где $r_{2}$ и $r_{3}$ – радиусы-векторы частиц $m_{2}$ и $m_{3}$ (фиг. 107). Следовательно, эти градиенты направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей точки $m_{2}$ и $m_{3}$, и по модулю оба равны $2 l_{23}$.

Пример 80. Рассмотрим один из градиентов связи (27.3) примера 77 , например, градиент в точке $m_{1}$. Имеем
\[
\operatorname{grad}_{1} f=-\left|\begin{array}{lll}
1 & y_{2} & z_{2} \\
1 & y_{3} & z_{3} \\
1 & y_{4} & z_{4}
\end{array}\right| x^{0}-\left|\begin{array}{lll}
1 & z_{2} & x_{2} \\
1 & z_{3} & x_{8} \\
1 & z_{4} & x_{4}
\end{array}\right| y^{0}-\left|\begin{array}{lll}
1 & x_{2} & y_{2} \\
1 & x_{3} & y_{3} \\
1 & x_{4} & y_{4}
\end{array}\right| z^{0} .
\]

Определители в этом выражении по абсолютной величине, очевидно, представляют собой соответственно проекции удвоенной площади $S_{1}$ грани $m_{2} m_{3} m_{4}$ на плоскости $O y z, O z x$ и $O x y$ (фиг. 108). Поэтому, назвав $h_{1}^{0}$ единичный вектор высоты, опущенной из вершины $m_{1}$ на противоположную грань, мы получим

при том порядке нумерации вершин, ксторый указан на фиг. 108:
\[
\operatorname{grad}_{1} f=2 S_{1}\left(x^{0} \cdot h_{1}^{0} x^{0}+y^{0} \cdot h_{1}^{0} y^{0}+z^{0} \cdot h_{1}^{0} z^{0}\right),
\]

или
\[
\operatorname{grad}_{i} f=2 S_{1} \boldsymbol{h}_{1}^{0} .
\]

Аналогичные выражения найдём и для других вершин, так что вообще можно написать:
\[
\operatorname{grad}_{v} f=2 S_{v} \boldsymbol{h}_{v}^{0} \quad(v=1,2,3,4) .
\]

Таким образом, в каждой из рассматэиваемых четырёх точек градиеңт содержит столько единиц длины, сколько единиц площади содержится в удвоенной противолежащей грани, а по направлению он совпадает с высотой, опущенной из данной точки на противоположную грань. Поверхностями . типа (27.5) будут в данном примере плоскости, проведённые через вершины тетраэдра параллельно противоположным граням.

Пример 81. Все отличные от нуля градиенты связей (27.4) равны между собой и направлены перпендикулярнок той плоскости, в которой происходит движение системы.

163. Условие, налагаемое удерживающей конечной связью на скорости частиц системы. Нетрудно показать, что рассматриваемые

Фиг. 108.

нами связи налагают ограничения не только на потожение, но и на ско рости частиц несвободной системы. В самом деле, уравнения (27.1) должны соблюдаться в любой момент $t$, следовательно, во всё время движения системы левые части уравнений (27.1) должны равняться постоянным (а именно, нулю). Отсюда непосредственно вытекает, что полная производная любого порядка го времени от левых частей наиих равенств должна равняться нулю. В частности, если возьмём первую производную, то получим равенства, ограничивающие скорости частии системы:
\[
\frac{d f_{a}}{d t}=\sum_{v=1}^{n}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial x_{v}} \dot{x}_{v}+\frac{\partial f_{a}}{\partial y_{v}} \dot{y}_{v}+\frac{\partial f_{a}}{\partial z_{v}} \dot{z}_{v}\right)+\frac{\partial f_{a}}{\partial t}=0 \quad(a=1,2, \ldots, a),
\]

или
\[
\frac{d f_{a}}{d t}=\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \boldsymbol{D}_{
u}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}=0 .
\]

Мы видим, что ограничению подлежат лишь составляюшие скоростей частиц по соответственным градиентам связей; составляющие же скоростей в плоскостях, перпендикулярных к градиентам, остаются совершенно произвольными. Когда уравнение связи не содержит явно времени, то условие для скоростей примет вид
\[
\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{a} \cdot v_{v}=0 .
\]

Пример 82. Применим выведенное условие (27.7) для скоростей частиц к первой из связей (27.2), примера 76 на стр. 273 . На основании результатов

примера 79 на стр. 274 имеем
\[
\sum_{v=1}^{3} \operatorname{grad}_{v} f_{1} \cdot v_{v}=0 \cdot v_{1}+\left(r_{2}-r_{3}\right) \cdot v_{2}-\left(r_{2}-r_{3}\right) \cdot v_{3}=0 .
\]

Поделим это равенство на $\left|r_{2}-r_{3}\right|$ и введём обозначение
\[
l_{23}^{0}=-\frac{r_{3}-r_{8}}{\left|r_{2}-r_{3}\right|} .
\]
$l_{23}^{0}$, очевидно, представляет собой единичный вектор направления $m_{2} m_{3}$. Выше написанное равенство преобразуется в следующее:
\[
v_{2} \cdot l_{23}^{0}=v_{3} \cdot l_{23}^{0} .
\]

Мы доказали важную теорему: проекции скоростей концов неизменяемого отрезкананаправление этого отрезка равны ме жду собой

Пример 83. Условие для скоростей чагтиц, рассмотренных в примере 77 (стр. 274) и подчинённых связи (27.3), напишется при обозначениях примера 80 (стр. 275) следующщим образом:
\[
\sum_{v=1}^{4} S_{v} h_{v}^{0} \cdot v_{v}=0 .
\]

Пример 84. Каждая из связей (27.4) (стр. 274) требует, чтобы выполнялось очевидное условие
\[
n^{0} \cdot \boldsymbol{v}_{\mathrm{v}}=0 \text {, }
\]

где $n^{0}$ орт нормали плоскости $a x+b y+c z+d=0$.
164. Условие, налагаемое удерживающей конечной связью на ускорения частиц системы. Взявши вторую производную по времени от уравнения (27.1), мы получим равенство, выражающее собой условие для ускорений частии системы:
\[
\frac{d^{2} f_{\alpha}}{d t^{2}}=\sum_{v=1}^{n}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{v}} \ddot{x}_{v}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{v}} \ddot{y}_{v}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{v}} \ddot{z}_{v}\right)+D_{2} f_{\alpha}=0 ;
\]

здесь для сокращения символом $D_{2} f_{\alpha}$ обозначена следующая сумма:
\[
\begin{array}{l}
D_{2} f_{\alpha}=\sum_{v=1}^{n} \dot{x}_{v} \sum_{\mu=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial x_{v} \partial x_{\mu}} \dot{x}_{\mu}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial x_{v} \partial y_{\mu}} \dot{y}_{\mu}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial x_{v} \partial z_{\mu}} \dot{z}_{\mu}\right)+ \\
+ \sum_{v=1}^{n} \dot{y}_{v} \sum_{\mu=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial y_{v} \partial x_{\mu}} \dot{x}_{\mu}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial y_{v} \partial y_{\mu}} \dot{y}_{\mu}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial y_{v} \partial z_{\mu}} \dot{z}_{\mu}\right)+ \\
+\sum_{
u=1}^{n} \dot{z}_{v} \sum_{\mu=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial z_{v} \partial x_{\mu}} \dot{x}_{\mu}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial z_{v} \partial y_{\mu}} \dot{y}_{\mu}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial z_{v} \partial z_{\mu}} \dot{z}_{\mu}\right)+ \\
\quad+2 \sum_{v=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial t \partial x_{v}} \dot{x}_{v}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial t \partial y_{v}} \dot{y}_{v}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial t \partial z_{v}} \dot{z}_{v}\right)+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial t^{2}} .
\end{array}
\]

Заметим, что если связь $f_{\alpha}$ не зависит явно от времени, то выражение $D_{2} f_{2}$ будет однородной функцией зторой степени от проекций скоростей $\dot{x}_{v}, \dot{y}_{v} \dot{z}_{v}$, так как в этом случае последние две строки в выражении (27.10) обращаются в нуль. Введём градиенты связи; тогда равенство (27.9) мы сможем переписать так:
\[
\frac{d^{2} f_{a}}{d t^{2}}=\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot v_{v}+D_{2} f_{\alpha}=0 .
\]

Это равенство показывает, что ограничению подлежат лишь составляющие ускорений частиц по соответстзенным градиентам связей, а составляющие в плоскостях, перпендикулярных к градиентам, остаются совершенно произвольными.

Пример 85. Для первой из связей (27.2) примера 76 на стр. 273 условие (27.11) выразится так:
\[
\left(r_{1}-r_{2}\right) \cdot\left(w_{1}-w_{1}\right)+\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}=0 .
\]
165. Удерживающие дифференциальные связи. Дифференциальные связи не позволяют частицам системы в данный момент и в данном положении иметь произвольные скорости. Аналитически удерживающи́е дифференциальные связи выражаются уравнениями:
\[
\varphi_{\beta}\left(\ldots \dot{x}_{v}, \dot{y}_{v}, \dot{z}_{v}, \ldots, t\right)=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n ; \beta=1,2, \ldots, b) .
\]

Мы ограничимся в дальнейшем изучением-лишь линейных дифференциальных связей, т. е. дифференциальных связей, аналитические выражения которых содержат скорости лишь линейно: уравнения таких связей имеют, следовательно, вид
\[
\varphi_{\beta}=\sum_{v=1}^{n}\left(B_{v x}^{(\beta)} \dot{x}_{v}+B_{v y}^{(\beta)} \dot{y}_{v}+B_{v z}^{(\beta)} \dot{z}_{v}\right)+D_{\beta}=0,
\]

где $B_{\gamma x}^{(\beta)}, B_{v y}^{(\beta)}, B_{v z}^{(\beta)}, D_{3}$ – некоторые функции от времени и координат. Если ввести в рассмотрение векторн
\[
B_{v}^{(\beta)}=B_{v x}^{(\beta)} x^{0}+B_{v y}^{(\beta)} y^{0}+B_{v z}^{(\beta)} z^{j}=\frac{\partial \varphi_{\beta}}{\partial \dot{x}_{v}} x^{0}+\frac{\partial \varphi_{\beta}}{\partial \dot{y}_{v}} y^{0}+\frac{\partial \varphi_{\beta}}{\partial \dot{z}_{v}} z^{0},
\]

то предыдушему выражению можно придать вид, аналогичный условию (27.7), налагаемому на скорости частиц конечной связью, а именно:
\[
\varphi_{\beta}=\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{
u}_{v}+D_{\beta}=0 .
\]

Векторная величина $\boldsymbol{B}_{\gamma}^{(\beta)}$ носит название векторного параметра рассматриваемой дифференциальной связи.

Пример 86. Примером линейной дифференциальной связи может служить связь, выражаемая уравнением
\[
\sum_{
u=1}^{n} m_{\vee}\left(x_{v} \dot{y}_{\vee}-y_{\vee} \dot{x}_{\vee}\right)-D=0,
\]

где $D$ – некоторая постоянная. Эта связь, очевидно, требует, чтобы сумма кинетических моментов частиц системы огносительно оси $O z$ оставалась постоя ной. В векторной форме уравнение рассматриваемой связи напишется так:
\[
\sum_{v=1}^{n} a_{v} \cdot v_{v}-D=0,
\]

где
\[
a_{v}=m_{v}\left(-y_{v} x^{0}+x_{v} y^{0}\right) .
\]

Следовательно, каждый из векторов $\boldsymbol{a}_{\vee}$ по модулю равен
\[
a_{v}=m_{v} \sqrt{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}},
\]
т. е. расстоянию частицы $m_{v}$ от оси $O z$, а направлен он по перпендикуляру к плоскости, проходящей через ось $\mathrm{O}_{2}$ и частицу $m_{\vee}$.
166. Связи интегрируемые и неинтегрируемые. В том случае, когда левая часть равенства (27.12) может быть при помощи некоторого множителя обращена в полную производную от некоторой функиии по времени, рассматриваемая дифференциальная связь равносильна некоторой конечной связи, содержащей произвольную постоянную. В самом деле, пусть существует такая функция $\mu$ от времени и координат, что для неё
\[
\mu B_{v x}^{(\beta)}=\frac{\partial \phi_{\beta}}{\partial x_{v}}, \quad \mu B_{v y}^{(\beta)}=\frac{\partial \psi_{\beta}}{\partial y_{v}}, \quad \mu B_{v z}^{(\beta)}=\frac{\partial \phi_{\beta}}{\partial z_{v}}, \quad \mu D_{\beta}=\frac{\partial \phi_{\beta}}{\partial t},
\]

где $\psi$ является некоторой функцией от $t, x_{v}, y_{v}, z_{v}$; тогда от умножения на $\mu$ равенство (27.12) примет вид
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(\frac{\partial \psi_{\beta}}{\partial x_{v}} \dot{x}_{v}+\frac{\partial \psi_{\beta}}{\partial y_{v}} \dot{y}_{v}+\frac{\partial \psi_{v}}{\partial z_{v}} \dot{z}_{v}\right)+\frac{\partial \psi_{\beta}}{\partial t}=\frac{d \psi_{\beta}}{d t}=0
\]

Гроинтегрировав это уравнение, мы получим:
\[
\Psi_{\beta}=\gamma_{\beta},
\]

где $\gamma_{\beta}$ – произвольная постоянная. Равенства (27.12) и (27.16) вполне равносильны друг другу, так как каждое из них является следствием другого. ‘

Дифференциальные связи, допускающие интегрирующий множитель $\mu$, мы будем называть интегр.ируемыми связями, в отличие от других, неинтегрируемых связей, для которых множитель $\mu$ нельзя найти. Примером неинтегрируемой связи может служить связь (27.14). Конечные связи, а также дифференциальные интегрируемые связи иначе пазываются голономными; дифференциальные неинтегрируемые связи называются неголономными.
Пример 87. Пусть частицы системы подчинены $n$ связям вида
\[
x_{v} \dot{y}_{v}-y_{v} \dot{x}_{v}=0 \quad(v=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти связи могут быть выражены в конечной форме; действительно, левая часть

каждого уравнения связи обращается в полную производную по умноженин на $\mu=\frac{1}{x_{v} y_{v}}$; мы получаем:
\[
\frac{\dot{y}_{y}}{y_{v}}-\frac{\dot{x}_{v}}{\dot{x}_{v}}=0,
\]

откуда, проинтегрировав, находим:
\[
\ln \frac{y_{v}}{x_{v}}=\ln \gamma_{v}
\]

где $\gamma_{y}$ – произвольная постоянная. Иначе можем написать:
\[
\frac{y_{v}}{x_{v}}=\gamma_{v} .
\]

Следовательно, связи требуют, чтобы каждая частица системы двигалась в плоскости, проходящей через ось $O z$; при этом углы наклонения этих плоскостей друг к другу и к плоскости Ozx произвольны.
Пример 88. Связь, выражаемая уравнением
\[
\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right) \cdot\left(v_{1}-\boldsymbol{v}_{2}\right)-c t=0,
\]

тоже может быть выражена в конечном виде; действительно, уравнение связи можно написать так:
\[
\frac{d}{d t}\left[\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}-c t^{2}\right]=0 .
\]

Проинтегрировав, находим отсюда:
\[
\left|r_{1}-r_{2}\right|=\sqrt{c t^{2}+\tau}
\]

где $\gamma$-произвольная постоянная. Рассматриваемая связь требует, следовательно, чтобы расстояние между частицами $m_{1}$ и $m_{2}$ равнялось $\sqrt{c t^{2}+\gamma}$.

167. Условие, налагаемое удерживающей дифференциальной связью на ускорения частиц системы. Продифференцировав по времени уравнение связи (27.13), мы получим условие для ускорений частиц системы, подчинённой этой дифференциальной связи, а именно:
\[
\frac{d \varphi_{\beta}}{d t}=\sum_{
u=1}^{n} B_{
u}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{w}_{
u}+\sum_{
u=1}^{n} \dot{B}_{
u}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}+\dot{D}_{\beta}=0 .
\]

Мы видим, что, как и в случае условия для скоростей, ограничению подлежат лишь составляющие ускорений частиц системы по векторным параметрам $\boldsymbol{B}_{v}{ }^{\beta)}$ связи, а составляюшие в плоскостях, перпендикулярных к ним, остаются произвольными.

168. Неудерживающие связи. Рассмотренные нами связи, выражаемые равенствамитипов (27.1) и (27.13), называются связями уд е ж и а ющими. Связи, выражаемые аналитически неравенствами вида
\[
\begin{array}{l}
f_{\alpha}\left(x_{v}, y_{v}, z_{v}, t\right)>0, \\
\varphi_{\beta}=\sum_{
u=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{v}_{v}+D_{\beta}>0, \\
\end{array}
\]

носят название связей неудерживающих. Когда левые части этих выражений положительны, говорят, что связь ослаблена, или иначе, что система сошла со связи; когда левые части – нули, говорят, что связь

действует, или находится в напряжении, или, иначе, что система лежит на связи.

Чтобы установить условия, накладываемые неудерживаюшими связями на скорости и ускорения частиц системы, выведем два вспомогательных равенства. Заметим, что левые части выражений (27.18) и (27.19) могут рассматриваться как сложные функции времени, т. е. зависящие от времени как явно, так и неявно посредством координат и их производных. Дадим времени $t$ некоторое положительное приращение $\Delta t$ и разложим функции $f_{\alpha}(t+\Delta t)$ и $\varphi_{3}(t+\Delta t)$ в рады по возрастающим степеням $\Delta t$; мы получим:
\[
\begin{array}{c}
f_{\alpha}(t+\Delta t)=f_{\alpha}(t)+\frac{d f_{\alpha}}{d t} \Delta t+\frac{d^{2} f_{\alpha}}{d t^{2}} \frac{\Delta t^{2}}{2}+\varepsilon_{3}, \\
\varphi_{\beta}(t+\Delta t)=\varphi_{\beta}(t)+\frac{d \varphi_{\beta}}{d t} \Delta t+\eta_{2},
\end{array}
\]

где $\varepsilon_{3}$ и $\eta_{2}$ соответственно обозначают члены третьего и второго порядков относительно $\Delta t$. Существенно заметить, что поскольку $\Delta t$ мы всегда будем предполагать положительным, то производные от функций $f_{\alpha}$ и $\varphi_{\beta}$, фигурирующие в этих разложениях, следует понимать как так называемые правые производные, т. е. вычисленные в предположении $\Delta t \rightarrow 0$ при $\Delta t>0$.
Если связи $f_{\alpha}$ и $\varphi_{\beta}$ ослаблены, т. е.
\[
f_{\alpha}>0, \rho_{\beta}>0,
\]

то, как видно из разложений (27.20) и (27.21), мы не можем сказать ничего определённого про производные функций $f_{\alpha}$ и $\varphi_{\beta}$ по времени, так как функции $f_{\alpha}$ и $\varphi_{\beta}$ могут в этом случае возрастать, убывать или сохранять постоянное значение.

Если система движется в соответствии со связями $f_{\alpha}=0$ и $\varphi_{3}=0$ и момент $t$ не является моментом схода системы с этих связей, то при любом $\Delta t$, не превосходящем некоторой границы, левые части равенств (27.20) и (27.21), а значит, и правые будут равны нулю. Следовательно, в этом случае будут для момента $t$ соблюдаться равенства:
\[
\begin{array}{c}
f_{\alpha}=0, \frac{d f_{\alpha}}{d t}=0, \frac{d^{2} f_{\alpha}}{d t^{2}}=0, \ldots, \frac{d^{(s)} f_{\alpha}}{d t^{s}}=0, \\
\varphi_{\beta}^{-}=0, \frac{d \rho_{\beta}}{d t}=0, \ldots, \frac{d^{(s)_{\beta}}}{d t^{s}}=0
\end{array}
\]

для любого $s$. Выведенные условия нахождения системы на связях необходимы и достаточны. Как на необходимые лишь условия можно указать на следующие:
\[
\begin{array}{l}
f_{\alpha}=0, \frac{d f_{\alpha}}{d t}=0, \frac{d^{2} f_{\alpha}}{d t^{2}}=0, \\
\varphi_{\beta}=0, \frac{d \varphi_{\beta}}{d t}=0 .
\end{array}
\]

Этими равенствами налагаются вполне определённые ограничения на скорости и ускорения частиц системы [ср. формулы (27.7), (27.11), (27.13),(27.17)].

Пусть теперь момент $t$ является моментом схода системы со связи $f_{a}$ или $\varphi_{1}$. Это значит, что, во-первых,
\[
f_{\alpha_{-}}(t)=0, \varphi_{B}(t)=0
\]

и, во-вторых, для любого положитепьного $\Delta t$, не превышающего некоторой границы,
\[
f_{\alpha}(t+\Delta t)>0, \quad \varphi_{j}(t+\Delta t)>0 .
\]

Сопоставив эти неравенства с разложениями (27.20) и (27.21), находим, что для момента $t$ должны соблюдагіся неравенства:
\[
\begin{aligned}
\frac{d f_{\alpha}}{d t} \Delta t+\frac{d^{2} f_{x}}{d t^{2}} \frac{\Delta t^{2}}{2}+\varepsilon_{3} & >0, \\
\frac{d \varphi_{3}}{d t} \Delta t+\eta_{2} & >0 .
\end{aligned}
\]

Эти неравенства справедливы при сколь-угодно малом положительном $\Delta t$; поэтому из первого неравенства, в частности, вытекает, что
\[
\frac{d f_{a}}{d t}>0 \text {. }
\]

Такое условие накладывается конечной связью на скорости частиц в момент, когда система покидает связь. Условие, накладываемое в этот момент на скорости дифференциальной связью, как уже было указано, состоит в том, что
\[
\varphi_{\beta}(t)=0 \text {. }
\]

Если в момент схода системы с конечной связи $f_{\alpha}$ имеет местто неравенство $\frac{d f_{x}}{d t}>0$, то, как видно из выражения (27.23), вторая производная $\frac{d^{2} f_{a}}{d t^{2}}$ может иметь любой знак, т. е. в этом случае связь не налагает никаких ограничений на ускорения-чєстиц. Если же $\frac{d f_{\alpha}}{d t}=0$, то, поскольку неравенство (27.23) имеет место при сколь-угодно малом положительном $\Delta t$, из него как следствие вытекает условие:
\[
\frac{d^{2} f_{a}}{d t^{2}} \geqslant 0
\]

Аналогичными соображениями из равенства (27.24) можно вывести, что для дифференциальной связи $\varphi_{\beta}$ в момент схода системы со связи всегда
\[
\frac{d \varphi_{\beta}}{d t} \gg 0 \text {. }
\]

Таковы условия, налагаемые связями на ускорения частиц в момент ослабления связей [ср. формулы (27.11) и (27.17)].

Пример 89. В качестве примера на неудерживающую конечную связь рассмотрим связь, выражаемую неравенством
\[
c-\sum_{
u=1}^{n} \rho_{
u} \geqslant 0,
\]

где $c$ – постоянная, а $\rho_{v}^{2}=\left(x_{v}-x_{v+1}\right)^{2}+\left(y_{v}-y_{v+1}\right)^{2}+\left(z_{v}-z_{v+1}\right)^{2}$, и сумми-

рование распространено на все значения , от 1 до $n$; при этом $x_{n+1}=x_{1}, y_{n+1}=y_{1}$, $z_{n+1}=z_{1}$. Такую связь мы получим, если представим себе материальные частицы системы в виде бесконечно малых бусинок, нанизанных на нерастяжимую замкнутую нить длины $c$. Заметим, что для рассматриваемой связи поверхностями типа (27.5) будут эллипсоиды врзщения.