300. Уравнения движения твёрдого тела, отнесённые к осям, имеющим собственное движение. Как было указано в § 254, уравнения движения твёрдого тела получаются путём проектирования на оси координат уравнений, выражающих закон изменения количества движения и закон изменения кинетического момента. В настоящей главе мы будем относить эти законы к системе осей $C X Y Z$, имеющей собственное движение. При этом мы остановимся только на том частном случае, когда начало $C$ подвижных осей совпадает с центром масс тела.

Обозначим соответственно $\bar{\omega}$, $\bar{\omega}^{(e)}$ и $\boldsymbol{v}_{C}$ угловую скорость тела, угловую скорость осей $C X Y Z$ и скорость центра масс $C$ относительно неподвижной системы координат $O x y z$. Скорость произвольной частицы тела, определяемой по отношению к системе CXYZ радиусом-вектором $\bar{\rho}_{v}$, выразится согласно формуле (9.32) на стр. 93 следующим образом:
\[
\boldsymbol{v}_{v}=\boldsymbol{v}_{c}+\bar{\omega} \times \vec{\rho}_{v} .
\]

Отсюда мы получаем для кинетической энергии $T$, количества движения $K$ и кинетического момента $\boldsymbol{G}_{C}$ относительно точки $C$ выражения, аналогичные выражениям (45.16) на стр. 493 и (45.18) и (45.19) на стр. 494:
\[
\left.\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} M v_{C}^{2}+\frac{1}{2}\left(J_{X X} \omega_{X}^{2}+J_{Y Y} \omega_{Y}^{2}+J_{Z Z} \omega_{Z}^{2}-2 J_{X Z} \omega_{Y} \omega_{Z}-\right. \\
\left.\quad-2 J_{Z X} \omega_{Z} \omega_{X}-2 J_{X Y} \omega_{X} \omega_{Y}\right) ; \quad \\
K_{X}=\frac{\partial T}{\partial v_{C X}}=M v_{\mathrm{eX},} \quad K_{Y}=\frac{\partial T}{\partial v_{C Y}}=M v_{C Y}, \quad K=\frac{\partial T}{\partial v_{C Z}}=M v_{C Z} ; \\
G_{C X}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{X}}, \quad G_{C Z}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{Z}} .
\end{array}\right\}(5 t
\]

Обратимся к закону изменения количества движения и какону изменения кинетического момента системы относительно центра масс $C$ [см. формулы (31.6) на стр. 304 и (31.31) на стр. 312]; закон изменения кинетического момента относительно центра масс читается так же, как в отношении к неподвижному полюсу; мы получаем:
\[
\dot{\boldsymbol{K}}=F+R, \quad \dot{G}_{c}=\boldsymbol{L}_{c}+\boldsymbol{H}_{c},
\]

где $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{R}$ обозначают соответтвенно главный вектор внешних активных сил а главный вектор пассивных сил, а $\boldsymbol{L}_{C}$ и $\boldsymbol{H}_{C}$ – главные моменты этих сил относительно центра масс. Выразим абсолютные производные, входящие в эти равенства, через относительные по формуле (9.18) на стр. 88; мы получим:
\[
\tilde{\dot{K}}+\omega^{(e)} \times K=F+R, \quad \tilde{\boldsymbol{G}}_{C}+\bar{\omega}^{(e)} \times G_{C}=\boldsymbol{L}_{C}+H_{C} .
\]

Спроектировав эти уравнения на оси $C X Y Z$, мы получим искомые уравнения движения, отнесённые к подвижным осям. Приняв во внимание