54. Твёрдое тело. Движения прямое и обращённое. Твёрдым телом в кинематическом смысле, или неизменяемой системой точек, как мы уже видели (§34), называется трёхмерная неизменная среда, элементом которой служит точка. Под движением твёрдого тела в данной среде разумеется последовательное совпадение точек тела с различными точками среды. Движение твёрдого тела нам известно, если мы в состоянии определить движение любой его точки. Термины «твёрдое тедо в кинематическом смысле» и «неизменяемая среда» – синонимы; поэтому вместо слов «движение твёрдого тела в данной среде можно сказать «движение одной неизменяемой средн в другой».

Если движущаяся среда имеет конетные размеры и, следовательно, ограничена некоторой поверхностью, то мы всё-таки будем предполагать,

что эта среда может быть продолжена и за свои границы, так что в любом месте мы можем найти точку, принадлежащую вэятому твёрдому телу.

Итак, пусть среда $A$ движется в среде $B$, т. е. точки $a$ среды $A$ совпадают последовательно с различными точками $b$ среды $B$. Тогда, с другой стороны, и точки $b$ среды $B$ переходят из одних точек $a$ в другие, т. е. среда $B$ движется в среде $A$. Таким образом, движение неизменяемой среды носит всегда двойственный хадактер: когда одна среда движется в другой, то и, наоборот, вторая движется в первой. Эти два движения, вообще говоря, различны между собой, и одно из них называется прямым, а другое обращённым. Какое из двух движений считать прямым, какое обращённым, зависит вполне от нашего произвола. Так, станем рассматривать две неизменяемые среды, частями которых служат, с одной стороны, объём Луны, а с другой, объём Земли; тогда, если движение лунной среды в среде, неизменно связанной с Землёй, примем за прямое, то обращённым цвнжением, неизбежно сопровождающим первое, будет движение земной среды з лунной.

55. Координаты твёрдого тела. Эйлеровы углы. Прежде всего займёмся координатами твёрдого тела, т. е. величинами, определяющими положение одной неизменяемой среды в другой. Вообразим в данной движущейся среде $\Sigma$ систему прямоугольных декартовых осей $A \xi \eta \zeta$, неизменно связанную с этой движушейся средой (фиг. 50); таким образом, точки среды $\Sigma$ отличаются одна от другой своими кобрдинатами $\xi, \eta, \xi$ по отношению к взятой системе координат, но во времени эти координаты постоянны. Далее, точки той среды $S$, в которой происходит движение, отнесём также к некоторой системе декартовых координат $O x y z$, неизменно связанной с этой средой $\mathcal{S}$. Систему $A \xi r_{i}:$ принято называть для краткости подвижной, или отно-
Фиг. 50.
сительной, а систему $O x y z-$ неподвижной, или абсолютной. Положение твёрдого тела $\Sigma$ в среде $S$ нам будет известно, если мы сможем указать положение любой точки его $\mu(\xi, \eta, \zeta)$ или той точки $m(x, y, z)$ среды $S$, с которой точка $\mu$ совпадает. Другими словами, надо найти зависимость между координатами $\xi, \eta, \zeta$ и $x, y, z$ одной и той же точки по отношению к двум различным системам осей. Для өтого выразим прежде всего радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ точки $m$ относительно еистемы $O x y z$ через радиус-вектор $-\rho$ той же точки относительно системы $\boldsymbol{A}\left\{\right.$ r $_{6}$ и через радиус-вектор $r_{A}$ точки $A$; имеем
\[
r=r_{A}+\bar{\rho}
\]

вли, введя единичные векторы осей,
\[
x x^{0}+y y^{0}+z z^{0}=x_{A} x^{0}+y_{A} y^{0}+z_{A} z^{0}+\xi \xi^{0}+r_{i \bar{y}^{0}}+\zeta \overline{\zeta_{0}} .
\]
$У_{\text {множим }}$ обе части этого равенства скалярно сперва на $x^{0}$, потом на $\boldsymbol{y}^{0}$ з затем на $\boldsymbol{z}^{0}$. Чтобы облегчить эапись результатов, введём при этом

следующую таблицу косинусов углов между осями координат:

В результате мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=x_{A}+a_{11} \xi+a_{12} \eta+a_{13} \xi, \\
y=y_{A}+a_{21} \xi+a_{22} \eta+a_{23} \xi, \\
z=z_{A}+a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{33} \xi .
\end{array}\right\}
\]

Аналогично, умножив равенство (8.2) последовательно на $\overline{\varepsilon_{0}}, r_{\overline{0}}^{\overline{0}}, \bar{\zeta}$, мы получим обратные формулы:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=a_{11}\left(x-x_{A}\right)+a_{21}\left(y-y_{A}\right)+a_{31}\left(z-z_{A}\right), \\
\eta=a_{12}\left(x-x_{A}\right)+a_{22}\left(y-y_{A}\right)+a_{32}\left(z-z_{A}\right), \\
\zeta=a_{13}\left(x-x_{A}\right)+a_{23}\left(y-y_{A}\right)+a_{33}\left(z-z_{A}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Важно заметить, что по формулам (8.4) и (8.5), если в них положить $x_{A}=y_{A}=z_{A}=0$, преобразуются также проекции произвольного вектора. Это следует из того, что проекция вектора на ось численно равна разности координат его концов. Таким образом, если
\[
\boldsymbol{a}=a_{x^{0}} \boldsymbol{x}^{0}+a_{y} \boldsymbol{y}^{0}+a_{z} z^{0}=a_{\xi} \overline{\xi^{0}}+a_{\eta^{0}} \overline{\eta_{0}}+a_{\xi} \overline{\xi_{0}},
\]

то
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{x}=a_{11} a_{\xi}+a_{12} a_{\eta}+a_{13} a_{\eta}, \\
a_{y}=a_{21} a_{\xi}+a_{22} a_{\eta}+a_{23} a_{\eta}, \\
a_{z}=a_{31} a_{\xi}+a_{32} a_{\eta}+a_{33} a_{\eta} ; \\
a_{\xi}=a_{11} a_{x}+a_{21} a_{y}+a_{31} a_{z}, \\
a_{\eta}=a_{12} a_{x}+a_{22} a_{y}+a_{32} a_{z}, \\
a_{\eta}=a_{13} a_{x}+a_{23} a_{y}+a_{33} a_{z} .
\end{array}\right\}
\]

Полагая в формуле (8.6) последовательно $\boldsymbol{a}$ равным $\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{z}^{0}$, $\overline{\xi^{0}}, \overline{\eta^{0}}, \overline{\zeta_{0}}$ и принимая каждый раз во внимание соотношения (8.7) или (8.8), мы получим следующие соотношения между единичными векторами координатных осей:
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
\overline{\xi^{0}}=a_{11} x^{0}+a_{21} y^{0}+a_{31} z^{0}, \\
\overline{y^{0}}=a_{12} x^{0}+a_{22} y^{0}+a_{3 z} z^{0}, \\
\overline{\zeta^{0}}=a_{13} x^{0}+a_{23} y^{0}+a_{33} z^{0} .
\end{array}\right\} \\
\end{array}
\]

Так как обе наши системы координат ортогональные, то, возвысив равенства (8.9) в квадрат и, с другой стороны, попарно перемножив их, мы получим следующие шесть зависимостей между косинусами $a_{\mu
u}$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{11}^{2}+a_{12}^{2}+a_{13}^{2}=1, \quad a_{21} a_{31}+a_{22} a_{32}+a_{23} a_{33}=0 \\
a_{21}^{2}+a_{22}^{2}+a_{23}^{2}=1, \quad a_{31} a_{11}+a_{32} a_{12}+a_{33} a_{13}=0 \\
a_{31}^{2}+a_{32}^{2}+a_{33}^{2}=1, \quad a_{11} a_{21}+a_{12} a_{22}+a_{13} a_{23}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Если те же действия произвести над равенствами (8.10), то, вместо равенств (8.11), мы получим следующие шесть, им равносильных:
\[
\left.\begin{array}{cc}
a_{11}^{2}+a_{21}^{2}+a_{31}^{2}=1, & a_{12} a_{13}+a_{22} a_{23}+a_{32} a_{33}=0, \\
a_{12}^{2}+a_{22}^{2}+a_{32}^{2}=1, & a_{13} a_{11}+a_{23} a_{21}+a_{33} a_{31}=0, \\
a_{13}^{2}+a_{23}^{2}+a_{33}^{2}=1, & a_{11} a_{12}+a_{21} a_{22}+a_{31} a_{32}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Представляет интерес получить явные выражения для каждого из косинусов $a_{\mu
u}$ через остальные. Для этого примем во внимание, что каждый из единичных векторов координатных осей равен векторному произведению двух других, например:
\[
x^{0}=y^{0} \times z^{0} .
\]

На основании формул (8.9) это соотношение может быть записано следующим образом:
\[
x^{0}=a_{11} \bar{\xi}^{0}+a_{12} \overline{\eta^{0}}+a_{13} \overline{\zeta^{0}}=\left[\left.\begin{array}{lll}
\overline{\xi_{0}} & \overline{\eta^{0}} & \overline{\zeta_{0}} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right\rvert\, .\right.
\]

Отсюда получаем искомые выражения косинусов:
\[
a_{11}=\left|\begin{array}{ll}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|, \quad a_{12}=\left|\begin{array}{ll}
a_{23} & a_{21} \\
a_{33} & a_{31}
\end{array}\right|, \quad a_{13}=\left|\begin{array}{ll}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\right| .
\]

Словом, если составить определитель из косинусов $a_{\mu
u}$, выписанных в том же порядке, что и в таблице (8.3), г. е. написать
\[
\left|a_{\mu v}\right|=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|,
\]

каждый косинус будет равен своей адъюнкте (алгебраическому дополнению). Разложив определитель $\left|a_{\mu
u}\right|$ по элементам какой-либо строки пи столСца, мы получаем отсюда, как следствие, что по численному аначению этот определитель равен единице:
\[
\left|a_{\mu
u}\right|=1 \text {. }
\]

Выражения (8.4) показывают, что положение твёрдого тела опредемется двенадцатью величинами: тремя координатами $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ так называемой основной точки, или полюса, и девятью косинусами $a_{\mu
u}$. Но мы идели, что между этими косинусами существует шесть зависимостей 8.11) или (8.12). Следовательно, независимых координат твёрдого гела имеется всего шесть. За такие координаты мы можем принять

$x_{A}, y_{A}, z_{A}$ и любые три косинуса, одновременно не входящие в какое-либо из соотношений (8.11) или (8.12).

Вместо трёх таких косинусов обыкновенно берут три угла, носящие название углов Эйлера. Постронм из начала $A$ подвижных осей систему осей $A X Y Z$, параллельных осям неподвижной системы $O x y z$ (фиг. 51). Пусть $A \gamma$ есть линия пересечения плоскостей $A X Y$ и $A \xi \eta$ : это так называемая линия узлов. УГлами Эйлера называются следующие углы:

1) угол собственного вращения $\varphi=\angle \gamma A \xi$,
2) угол прецессии $\psi=\angle X A \gamma$,
3) угол нутации $\theta=\angle Z A \zeta$.

Движение, обусловленное изменением угла $\varphi$ собственного вращения, называется собственным вращением тела. Если при этом меняется т о ль ко угол $\varphi$, то происходит вращение вокруг оси $A \zeta$, называемой поэтому осью собственного вращения.
Движение, : обусловленное Фиг. $51 . \quad$ Движение, обусловленное называется прецессие й. Если при этом меняется только угол $\psi$, то происходит вращение вокруг оси $A z$, называемой поэтому осью прецессии.

Движение, обусловленное изменением угла $\vartheta$ нутации, называется нутацие й. Если при этом меняется только угол $\forall$, то происходит вращение вокруг оси $A \gamma$, называемой поэтому осью нутации.

Направления отсчёта углов Эилера указаны на чертеже стрелками. Общее правило для определения этого направления такое: пусть наблюдатель стоит по соответственной оси вращения, причём ось идёт от ног к голове; тогда для него углы будут отсчитываться справа налево.

Выразим через углы Эилера косинусы $a_{\mu
u}$ углов между осями $O x y z$ (или им параллельными осями $A X Y Z$ ) и осями $A \xi \eta$. Для этого заметим, что система $A X Y Z$ может быть приведена в совмещение с системой $A \xi \eta$, путём следующих трёх последовательных вращений:
1) поворотом вокруг оси $A Z$ на угол $\$$ переводим сперва систему $A X Y Z$ в положение $A Y Y^{\prime} Z$, где ось $A Y^{\prime}$ лежит в плоскости $A X Y$ и повёрнута относительно оси $A Y$ на угол $\psi$;
2) поворотом вокруг оси $A \gamma$ на угол \& переводим систему $A \gamma Y^{\prime} Z$ в положение $A \gamma \delta$ ५, где ось $A \delta$ перпендикулярна оси $A \gamma$ и лежит в плоскости $A \varepsilon \eta ;$ наконец,
3) поворотом вокруг оси $A \zeta$ на угол $\varphi$ переводим систему $A$ одґ в положение $A \xi \eta \zeta$.
Назовем координаты какой-либо точки $\mu$ тела в системах $A X Y Z, \quad A \gamma Y^{\prime} Z, \quad A \gamma \delta \zeta$ и $A \xi_{\eta} \zeta$

соответственно
\[
X, Y, Z ; x_{1}, y_{1}, z_{1} ; \quad x_{2}, y_{2}, z_{2} \text { и } \varepsilon, \eta, \zeta .
\]

Тогда по формулам преобразования (8.4) мы сможем последовательно написать:
\[
\begin{array}{l}
X=x_{1} \cos \psi-y_{1} \sin \psi, \quad x_{1}=x_{2}, \quad x_{2}=\xi \cos \varphi-\eta \sin \varphi, \\
Y=x_{1} \sin \psi+y_{1} \cos \psi, \quad y_{1}=y_{2} \cos \theta-z_{2} \sin \vartheta, \quad y_{2}=\xi \sin \varphi+\eta \cos \varphi, \\
Z=z_{1} ; \quad z_{1}=y_{2} \sin v+z_{2} \cos \hat{y} ; \quad z_{2}=\zeta . \\
\end{array}
\]

Выполнив эти подстановки, мы свяжем координаты $X Y Z$ непосредственно с координатами $\xi, \eta, \zeta$; сравнив же полученные результаты с формулами (8.3), мы придевм к следующим выражениям для косинусов $a_{\mu
u}$ углов между осями $A X Y Z$ и $A \xi r_{\xi}:$
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{11}=\cos \psi \cos \varphi-\sin \psi \sin \varphi \cos \vartheta, \\
a_{21}=\sin \psi \cos \varphi+\cos \psi \sin \varphi \cos \vartheta, \\
a_{31}=\sin \varphi \sin \theta, \\
a_{12}=-\cos \psi \sin \varphi-\sin \psi \cos \varphi \cos \vartheta, \\
a_{22}=-\sin \psi \sin \varphi+\cos \psi \cos \varphi \cos \vartheta, \\
a_{32}=\cos \varphi \sin \vartheta, \\
a_{13}=\sin \psi \sin \vartheta \\
a_{23}=-\cos \psi \sin \vartheta, \\
a_{33}=\cos \vartheta
\end{array}\right\}
\]

Заметим, что наиболее просто выражаются косинусы углов, в которых одной из сторон является ось $Z$ или $\zeta$.

Предыдущие формулы можно получить непосредетвенно с помощью сферической тригонометрии. Для этого нужно описать из точки $A$, как из центра, сферу единичного радиуса (фиг. 51) и рассматривать каждый раз сферический треугольник, вершины которого образуются пересечением сферы с двумя осями, угол между которыми отыскивается, и линией узлов. К образованному сферическому треугольнику следует применить формулу косинуса
\[
\cos a=\cos b \cdot \cos c+\sin b \cdot \sin c \cdot \cos A,
\]
rде $a, b, c$ обозначают стороны, а $A, B, C$ – противоположные им углы сферического треугольника; в нашем случае сторона $a$ является дуговой мерой угла, заключённого между рассматриваемыми осями координат. Так, например, для отыскания $a_{13}$ рассматриваем треугольник $B C D$; очевидно,
\[
\cos \overparen{B D}=\cos \overparen{B C} \cos \overparen{C D}+\sin \overparen{B C} \sin \overparen{C D} \cos \angle B C D ;
\]

ютсюда
\[
a_{13}=\cos \psi \cdot 0+\sin \psi \cdot 1 \cdot \sin \vartheta=\sin \psi \cdot \sin \theta,
\]
е. мы получили прежний результат.

56. Поступательное движение тела: Если твёрдое тело движется. wo, по крайней мере, одна из шести координат его
\[
x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \psi, \vartheta
\]

тменяется с течением времени. Тогда равенства (8.4) служат при постоңных $\xi, \eta, \zeta$ уравнениями прямого движения, т. е. уравнениями двикення любой точки ( $\xi, \eta, \zeta$ ) в среде $\mathcal{S}$; равенства же (8.5) при постоянных $x, y, z$ будут уравнениями движения обращённого, т. е. уравнениями движения любой точки $(x, y, z)$ в среде $\Sigma$.

Рассмотрим сначала тот случай движения твёрдого тела, когда три эйлеровых угла не изменяются; пусть
\[
\begin{aligned}
x_{A}=x_{A}(t), \quad y_{A}=y_{A}(t), \quad z_{A}=z_{A}(t) ; \\
\varphi=\text { const. }, \quad \psi=\text { const. }, \quad \vartheta=\text { const. }
\end{aligned}
\]

Как видно из формул (8.15) и (8.4), уравнения движжения любой точки $\mu$ будут
\[
x=x_{A}(t)+C_{x}, \quad y=y_{A}(t)+C_{y}, \quad z=z_{A}(t)+C_{z},
\]

или, в векторной форме,
\[
r=r_{A}(t)+C,
\]

где $C_{x}, C_{y}, C_{z}$, а значит, и $C$ – постоянные. Для другой точки $\mu_{1}$ тела мы имели бы
\[
r_{1}=r_{A}(t)+c_{1},
\]

где постоянный вектор $\boldsymbol{C}_{1}$, вообще говоря, отличен от прежнего. Вычтя почленно полученные два уравнения движения, мы найдём:
\[
r_{1}-r=C_{1}-\boldsymbol{C},
\]
т. е. прямая, соединяющая любые две точки $\mu$ и $\mu_{1}$ тела, во всё время движения остаётся параллельной своему первоначальному направлению. Такого рода движение носит название поступательного. Траектории всех точек тождественны между собой и лишь параллельно смещены одна по отношению к другой. Поэтому при изучении поступательного движения тела можно ограничиться рассмотрением движения одной какойлибо его точки.

Как показывают уравнения (8.5), обращённое движение тоже поступательное. Выберем направления осей $A \xi$ г в т теле так, чтобы было
\[
\varphi=\psi=\vartheta=0 ;
\]

тогда будут соблюдаться равенства
\[
a_{11}=a_{22}=a_{33}=1,
\]

а прочие косинусы будут равны нулю. В таком случае равенства (8.5) нам дадут:
\[
\xi=-x_{A}(t)+C_{\xi}^{\prime}, \quad \eta=-y_{A}(t)+C_{\eta}^{\prime}, \quad \zeta=-z_{A}(t)+C_{\xi}^{\prime},
\]

или, в векторной форме,
\[
\vec{\rho}=-r_{A}(t)+C^{\prime},
\]

где $C_{\xi}^{\prime}, C_{\tau_{1}}^{\prime}, C_{\zeta}^{\prime}$ и $\boldsymbol{C}^{\prime}$ – снова постоянные. Мы видим, что траектории обращённого движения тождественны с траекториями прямого, только описываются движущимися точками в противоположных направлениях.
57. Движение тела вокруг неподвижной точки: Положим теперь, что
\[
x_{A}=\text { const., } y_{A}=\text { const., } z_{A}=\text { const.; }
\]

тогда точка $A$ остаётся в покое. В этом случае движение тела называется движением вокруг неподвижной точки, или полюса $A$. Очевидно, обращённое движение будет также движением (тела $S$ ) вокруг неподвижной точки $A$.

Из точки $A$, как центра, построим произвольным радиусом в обеих средах по сфере; сферу в среде $\Sigma$ назовём $\sigma$, а сферу в среде $S$ назовём $s$. Ясно, что в рассматриваемом случае движения сфера $\sigma$ будет скользить по сфере $s$. Траекторией любой точки $\mu$ тела будет некоторая сферическая кривая. Пусть прямая, соединяющая полюс $A$ с рассматриваемой точкой $\mu$, встречает сферу $\sigma$ в точке $
u$ : траектория точки $\mu$, очевидно, подобна траектории точки $
u$, причём, центром подобия служит точка $A$, а коэффициентом подобия является отношение $\frac{A \mu}{A
u}$. Поэтому при рассмотрении движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки мы можем ограничиться изучением движения сферы $\sigma$ по сфере $s$, или, как говорят, движения сферической фигуры по сфере.

58. Движение тела параллельно плоскости. Кардановы движения прямое и обращённое. Если в случае движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки $A$ эта точка уходит в бесконечность, семейство концентрическких сфер $\sigma$, а также и $s$ обрацается в семейство параллельных плоскостей, и мы получаем так называемое движение тела параллельно плоскости. В этом случае движения точек, лежащих на перпендикуляре к семейству параллельных плоскостей, тождественны между собой. Все траектории лежат в параллельных плоскостях, и можно ограничиться рассмотрением движения одной какой-либо подвижной плоскости по соответственной неподвижной. Поэтому, иначе, такое движение называется движением плоской фигуры в её плоскости. Очевидно, обращённое движение обладает теми же свойствами.

Уравнения движения тела примут для рассматриваемого случая вид, отличный от уравнений движения вокруг неподвижной точки. Пусть за плоскость $O x y$ взята нами одна из плоскостей, параллельно которым происходит движение (фиг. 52). Соответственную подвижную плоскость примем за плоскость $A \xi \eta_{\eta}$ Тогда оси $O z$ и $A \zeta$ будут всегда $\Phi$ иг. 52. параллельны. Положение осей $A \xi \eta_{\text {в }}$ в плоскости $O x y$ вполне определится координатами $x_{A}, y_{A}$ начала и углом $\varphi$, образуемым осью $A \xi$ с осью $O x$. По формулам (8.4) и (8.5) на стр. 74 мы находим, что координаты $x, y$ и $\varepsilon, \eta$ произвольной точки $\mu$ связаны следующими уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
x=x_{A}+\xi \cos \varphi-\eta_{1} \sin \varphi, \\
y=y_{A}+\xi \sin \varphi+\eta_{1} \cos \varphi ;
\end{array}\right\} \\
\xi=\left(x-x_{A}\right) \cos \varphi+\left(y-y_{A}\right) \sin \varphi \\
\eta=-\left(x-x_{A}\right) \sin \varphi+\left(y-y_{A}\right) \cos \varphi .
\end{array}\right\}
\]

Движение фигуры вполне определено, ссли нам даны следующие функции:
\[
x_{A}=x_{A}(t), \quad y_{A}=y_{A}(t), \quad \varphi=\varphi(t) .
\]

В этом случае уравнения (8.17) представляют собой уравнения движения некоторой произвольной точки фигуры, а чтобы получить уравнения движения какой-либо точки тела, лежащей вне плоскости $O x y$,

надо к предыдущим уравнениям прибавить лишь указание на значение координаты $z$ точки, которое, очевидно, остаётся постоянным во время движения: $z=$ const.

Пример 21. В виде примера рассмотрим так называемое карданово д в ж н ние, т. е. такое движение плоской фигуры в еӗ плоскости, когда две точки фигуры перемещаются по двум взаимно перпендикулярным прямым. Примем эти прямые за оси $O x$ и $O y$ (фиг. 53). Пусть точка $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)$ движется по оси $O x$, а точка $M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ по оси $O y$. Неизменное расітояние между точками $M_{1}$ и $M_{2}$ назовём $2 R$. Удаление точки $M_{1}$ от начала координат не может превышать $2 R$; следовательно, мы можем положить
\[
x_{1}=2 R \cos f, y_{1}=0,
\]

где
\[
f=f(t)
\]

есть некоторая функция времени. Так как
\[
x_{1}^{2}+y_{2}^{2}=4 R^{2},
\]

Фиг. 53.
то уравнениями движения точки $M_{2}$ будут
\[
x_{2}=0, \quad y_{2}=2 R \sin f .
\]

За начало $A$ подвижных осей выбираем середину отрезка $M_{1} M_{2}$ : в таком случае
\[
x_{A}=R \cos f, \quad y_{A}=R \sin f .
\]

Если ось $A \xi$ направим по $A M_{1}$, то
\[
\varphi=(\widehat{x, \xi})=2 \pi-\angle M_{2} M_{1} O \text {, }
\]
a. так как
\[
\operatorname{tg} \angle M_{2} M_{1} O=\frac{y_{2}}{x_{1}}=\operatorname{tg} f,
\]

тo
\[
\varphi=2 \pi-f \text {. }
\]

Уравнения (8.17), выражающие закон движения произвольной точки фигуры, примут тогда вид
\[
\begin{array}{l}
x=(R+\xi) \cos f+\eta \sin f, \\
y=(R-\eta) \sin f+\eta \cos f .
\end{array}
\]

Если исключить из этих уравнений функцию $f$, то найдём уравнение траектории произвольной точки фигуры: разрешив сначала уравнения относительно $\cos f$ и $\sin f$, получаем:
\[
\cos f=\frac{(R-\xi) x-\eta y}{R^{2}-\xi^{2}-\eta^{2}}, \quad \sin f=\frac{(R+\xi) y-\eta x}{R^{2}-\xi^{2}-\eta^{2}} ;
\]

возводим эти выражения в квадрат и складываем:
\[
[(R-\xi) x-\eta y]^{2}+[(R+\xi) y-\eta x]^{2}=\left(R^{2}-\xi^{2}-\eta^{2}\right)^{2} ;
\]

после очевидных преобразований, наконец, получаем:
\[
\left[(R-\xi)^{2}+\eta^{2}\right] x^{2}-4 R n x y+\left[(R+\xi)^{2}+\eta^{2}\right] y^{2}=\left(R^{2}-\xi^{2}-\eta^{2}\right)^{2} .
\]

При постоянных $\xi$; $\eta$ это уравнение изображает траекторию точки в прямом движении; при постоянных $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ оно становится уравнением траектории обращенного движения. В отношении прямого движения сразу замечаем, что траекторией служит кривая второго порядка. Для определения её вида составляем дискриминант уравнения; имеем
\[
\Delta=\left[(\xi-R)^{2}+\eta^{2}\right]\left[(\xi+R)^{2}+\eta^{2}\right]-4 R^{2} y^{2}=-\left(R^{2}-\xi^{2}-r_{i}^{2}\right)^{2} .
\]

Для точек, не лежащих на окружности
\[
\xi^{2}+\eta^{2}=R^{2} \text {, }
\]

дискриминант $\Delta$ отрицателен, следовательно, траекторией служит эллипс. Для точек, лежащих на указанной окружности (эта окружность проходит через точки $M_{1}, M_{2}$ и $O$ ), эллипс вырождается в две совпадающие прямые
\[
y(R+\xi)=\xi x .
\]

Траекторией обращённого движения, как видно ив уравнения (8.19), является некоторая кривая четвёртого порядка; она носит наввание улитки Паскаля (Pascal). Мы убедимся, однако, в том, что это действительно улитка Паскаля не из уравнения (8.19), а из рассмотрения геометрических особенностей обращённого движения. В обращённом движении стороны прямого угла $x O y$ всегда проходят через две неподвижные точки $M_{1}$ и $M_{2}$ (фиг. 54). Вершина прямого угла $O$ описывает окружность, диаметром которой служит отрезок $M_{1} M_{2}$. Возьмём какую-либо точьу $P$ на стороне угла на расстоянии $O P=a$ от его зершины и изучим ев̈ геометрическое место. Пря вышеопиганном движении прямого угла $x O y$ точка $P$ всегда будет находиться на луче, проходящем через постоянную точку $M_{1}$ окружности, и её расстояние (считая по лучу) от окружности будет постоянным (равным $a$ ). Этим свойством как раз и определяется улитка Паскаля. Нетрудно написать её уравненще в полярных координатах: если за начало координат принять точку $M_{1}$ и за полярную ось прямую $M_{1} M_{2}$, то

иди
\[
\begin{array}{l}
p=M_{1} O+O P, \\
p=2 R \cos \varphi+a .
\end{array}
\]

Исследуем теперь траекторию некоторой точки $Q$, лежащей где-либо не на сторонах угла $x O y$. Проведём прямую $Q O \mu_{1}$ и диаметр $\mu_{1} \mu_{2}$. Угол $P O Q$. постоянен; следовательно, и длины дуг $\overparen{M_{1} \mu_{1}}$ и $\overparen{M_{2} \mu_{2}}$ постоянны, а потому точки $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ неподвижно. Таким образом, в отношении точки $Q$ повторяется то же, что мы имели в отношении точки $P$, и, следовательно, мы убеждаемся, что траекторией любой точки $Q$ нлоскости $O x y$ будет улитка Паскаля.

Рассмотренное нами прямое движение имеет приложение в приборе, навываемом эллиптическим циркулем, а обращённое послужило основной идеей amпарата Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci) для вычерчивания овалов.

59. Центр и ось конечного вращения. Положение плоской фигуры в её плоскости полностью определяется положением двух её точек или отрезка, их соединяющего. Рассмотрим два полбжения некоторого отрезка: $A_{1} B_{1}$ * $A_{2} B_{2}$ (фиг. 55). Из середин $C$ и $D$ отрезков $A_{2} A_{2}$ и $B_{1} B_{2}$ восставим к этим отрезкам перпендикуляры $C K$ и $D K$. Точка $K$ пересечения этих перпендикуляров, очевидно, обладает тем Свойством, что
\[
K A_{1}=K \dot{A}_{2} \quad \text { и } \quad K B_{1}=K B_{2} .
\]

Так как, кроме того, по условию $A_{1} B_{1}=A_{2} B_{2}$, то
\[
\triangle K A_{1} B_{1}=\triangle K A_{2} B_{2} .
\]

Фиг. 55.
Теперь ясно, что если отрезок $A_{1} B_{1}$ повернуть около точки $K$ на угол $A_{1} K A_{2}$, то он совпадёт с отре эком $A_{2} B_{2}$.

Точка $K$ называется центром конечного вращения. Центр $K$ уходит в бесконечность лишь в том случае, когда векторы $\overline{A_{1} A_{2}}$ и $\overline{B_{1} B_{2}}$

же $\Sigma$ движется по отношению к ореде $P$ вокруг точки $A$, как вокруг неподвижной. Такой способ рассмотрания движения тела $\Sigma$ называется разложением его движения на поступательное вместе с точкой $A$ и на движение вокруг точки $A$, как викруг неподвижной.

Подобное разложение может быть сделано бесконечным множеством способов: за полюс $A$ можно взять любую точку тела $\Sigma$. Заметим, что от перемены полюса, вообще говоря, изменится поступательная часть движения, т. е. движение среды $P$ в среде $S$, но функции $\varphi(t), \phi(t)$, $\vartheta(t)$, выражающие движенис тсла $\Sigma$ относительно среды $P$, от того, какая точка взята за полюс, отнюдь не зависят. Это следует из того, что две системы соответственно параллельных осей, связанных с телом $\Sigma$, именно, $A \xi \eta \xi^{\prime} A^{\prime} \xi^{\prime} \eta^{\prime} \xi^{\prime}$, образуют с осями $A X Y Z$ и $A^{\prime} X^{\prime} Y^{\prime} Z^{\prime}$, параллельными осям $O x y z$, соответственно равные эйлеровы углы.

В независимости функций $\varphi(t), \phi(t), \vartheta(t)$ от выбора полюса можно убедиться и аналитически. Согласно формулам (8.4), если за полюс взята точка $A\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}\right)$, уравнения движения любой точки $M(x, y, z)$ напишутся так:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=x_{A}+a_{11} \xi+a_{12} \eta+a_{13} \xi, \\
y=y_{A}+a_{21} \xi+a_{2} \eta+a_{23} \xi \\
z=z_{A}+a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{33} \zeta
\end{array}\right\}
\]

Применим их к точке $B$, которую мы впоследствии возьмём за новый полюс; имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{B}=x_{A}+a_{11} \xi_{B}+a_{12} \eta_{B}+a_{18}{ }^{b}{ }_{B} \\
y_{B}=y_{A}+a_{21} \xi_{B}+a_{22} \gamma_{B}+a_{23} \zeta_{B} \\
z_{B}=z_{A}+a_{31} \xi_{B}+a_{32} \eta_{B}+a_{33} b_{B} .
\end{array}\right\}
\]

Произведём соответственное вычитание уравнений (8.21) из уравнений (8.20); оставив в левой части лишь величины $x, y, z$, мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=x_{B}+a_{11}\left(\xi-\xi_{B}\right)+a_{12}\left(\eta-\eta_{B}\right)+a_{13}\left(\xi-\xi_{B}\right), \\
y=y_{B}+a_{21}\left(\xi-\xi_{B}\right)+a_{22}\left(\eta-\eta_{B}\right)+a_{23}\left(\xi-\xi_{B}\right), \\
z=z_{B}+a_{31}\left(\xi-\xi_{B}\right)+a_{32}\left(\eta-\eta_{B B}\right)+a_{33}\left(\xi-\zeta_{B}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Введём теперь в качестве осей, связанных с телом, новые оси $B \xi^{\prime} \eta^{\prime} \eta^{\prime}$, параллельные прежним осям $A \varepsilon \eta \zeta ;$ на основании формул преобразования координат
\[
\xi=\xi_{B}+\xi^{\prime}, \quad r_{1}=\pi_{B}+r^{\prime}, \quad \zeta=\zeta_{B}+\xi^{\prime}
\]

мы можем уравнения (8.22) переписать так:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=x_{B}+a_{11} \xi^{\prime}+a_{12} \eta^{\prime}+a_{13} \xi^{\prime}, \\
y=y_{B}+a_{21} \xi^{\prime}+a_{22} \eta^{\prime}+a_{23} \xi^{\prime} \\
z=z_{B}+a_{31} \xi^{\prime}+a_{32} r^{\prime}+a_{33} \xi^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

Сравнивая уравнения (8.20) и (8.23), мы видим, что перемена полюса не сказалась на направляющих косинусах $a_{\mu
u}$, а следовательно, и на функциях $\varphi, \phi, \vartheta$.
\[