Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
54. Твёрдое тело. Движения прямое и обращённое. Твёрдым телом в кинематическом смысле, или неизменяемой системой точек, как мы уже видели (§34), называется трёхмерная неизменная среда, элементом которой служит точка. Под движением твёрдого тела в данной среде разумеется последовательное совпадение точек тела с различными точками среды. Движение твёрдого тела нам известно, если мы в состоянии определить движение любой его точки. Термины «твёрдое тедо в кинематическом смысле» и «неизменяемая среда» — синонимы; поэтому вместо слов «движение твёрдого тела в данной среде можно сказать «движение одной неизменяемой средн в другой». Если движущаяся среда имеет конетные размеры и, следовательно, ограничена некоторой поверхностью, то мы всё-таки будем предполагать, что эта среда может быть продолжена и за свои границы, так что в любом месте мы можем найти точку, принадлежащую вэятому твёрдому телу. Итак, пусть среда $A$ движется в среде $B$, т. е. точки $a$ среды $A$ совпадают последовательно с различными точками $b$ среды $B$. Тогда, с другой стороны, и точки $b$ среды $B$ переходят из одних точек $a$ в другие, т. е. среда $B$ движется в среде $A$. Таким образом, движение неизменяемой среды носит всегда двойственный хадактер: когда одна среда движется в другой, то и, наоборот, вторая движется в первой. Эти два движения, вообще говоря, различны между собой, и одно из них называется прямым, а другое обращённым. Какое из двух движений считать прямым, какое обращённым, зависит вполне от нашего произвола. Так, станем рассматривать две неизменяемые среды, частями которых служат, с одной стороны, объём Луны, а с другой, объём Земли; тогда, если движение лунной среды в среде, неизменно связанной с Землёй, примем за прямое, то обращённым цвнжением, неизбежно сопровождающим первое, будет движение земной среды з лунной. 55. Координаты твёрдого тела. Эйлеровы углы. Прежде всего займёмся координатами твёрдого тела, т. е. величинами, определяющими положение одной неизменяемой среды в другой. Вообразим в данной движущейся среде $\Sigma$ систему прямоугольных декартовых осей $A \xi \eta \zeta$, неизменно связанную с этой движушейся средой (фиг. 50); таким образом, точки среды $\Sigma$ отличаются одна от другой своими кобрдинатами $\xi, \eta, \xi$ по отношению к взятой системе координат, но во времени эти координаты постоянны. Далее, точки той среды $S$, в которой происходит движение, отнесём также к некоторой системе декартовых координат $O x y z$, неизменно связанной с этой средой $\mathcal{S}$. Систему $A \xi r_{i}:$ принято называть для краткости подвижной, или отно- вли, введя единичные векторы осей, следующую таблицу косинусов углов между осями координат: В результате мы получим: Аналогично, умножив равенство (8.2) последовательно на $\overline{\varepsilon_{0}}, r_{\overline{0}}^{\overline{0}}, \bar{\zeta}$, мы получим обратные формулы: Важно заметить, что по формулам (8.4) и (8.5), если в них положить $x_{A}=y_{A}=z_{A}=0$, преобразуются также проекции произвольного вектора. Это следует из того, что проекция вектора на ось численно равна разности координат его концов. Таким образом, если то Полагая в формуле (8.6) последовательно $\boldsymbol{a}$ равным $\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{z}^{0}$, $\overline{\xi^{0}}, \overline{\eta^{0}}, \overline{\zeta_{0}}$ и принимая каждый раз во внимание соотношения (8.7) или (8.8), мы получим следующие соотношения между единичными векторами координатных осей: Так как обе наши системы координат ортогональные, то, возвысив равенства (8.9) в квадрат и, с другой стороны, попарно перемножив их, мы получим следующие шесть зависимостей между косинусами $a_{\mu Если те же действия произвести над равенствами (8.10), то, вместо равенств (8.11), мы получим следующие шесть, им равносильных: Представляет интерес получить явные выражения для каждого из косинусов $a_{\mu На основании формул (8.9) это соотношение может быть записано следующим образом: Отсюда получаем искомые выражения косинусов: Словом, если составить определитель из косинусов $a_{\mu каждый косинус будет равен своей адъюнкте (алгебраическому дополнению). Разложив определитель $\left|a_{\mu Выражения (8.4) показывают, что положение твёрдого тела опредемется двенадцатью величинами: тремя координатами $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ так называемой основной точки, или полюса, и девятью косинусами $a_{\mu $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ и любые три косинуса, одновременно не входящие в какое-либо из соотношений (8.11) или (8.12). Вместо трёх таких косинусов обыкновенно берут три угла, носящие название углов Эйлера. Постронм из начала $A$ подвижных осей систему осей $A X Y Z$, параллельных осям неподвижной системы $O x y z$ (фиг. 51). Пусть $A \gamma$ есть линия пересечения плоскостей $A X Y$ и $A \xi \eta$ : это так называемая линия узлов. УГлами Эйлера называются следующие углы: 1) угол собственного вращения $\varphi=\angle \gamma A \xi$, Движение, обусловленное изменением угла $\varphi$ собственного вращения, называется собственным вращением тела. Если при этом меняется т о ль ко угол $\varphi$, то происходит вращение вокруг оси $A \zeta$, называемой поэтому осью собственного вращения. Движение, обусловленное изменением угла $\vartheta$ нутации, называется нутацие й. Если при этом меняется только угол $\forall$, то происходит вращение вокруг оси $A \gamma$, называемой поэтому осью нутации. Направления отсчёта углов Эилера указаны на чертеже стрелками. Общее правило для определения этого направления такое: пусть наблюдатель стоит по соответственной оси вращения, причём ось идёт от ног к голове; тогда для него углы будут отсчитываться справа налево. Выразим через углы Эилера косинусы $a_{\mu соответственно Тогда по формулам преобразования (8.4) мы сможем последовательно написать: Выполнив эти подстановки, мы свяжем координаты $X Y Z$ непосредственно с координатами $\xi, \eta, \zeta$; сравнив же полученные результаты с формулами (8.3), мы придевм к следующим выражениям для косинусов $a_{\mu Заметим, что наиболее просто выражаются косинусы углов, в которых одной из сторон является ось $Z$ или $\zeta$. Предыдущие формулы можно получить непосредетвенно с помощью сферической тригонометрии. Для этого нужно описать из точки $A$, как из центра, сферу единичного радиуса (фиг. 51) и рассматривать каждый раз сферический треугольник, вершины которого образуются пересечением сферы с двумя осями, угол между которыми отыскивается, и линией узлов. К образованному сферическому треугольнику следует применить формулу косинуса ютсюда 56. Поступательное движение тела: Если твёрдое тело движется. wo, по крайней мере, одна из шести координат его тменяется с течением времени. Тогда равенства (8.4) служат при постоңных $\xi, \eta, \zeta$ уравнениями прямого движения, т. е. уравнениями двикення любой точки ( $\xi, \eta, \zeta$ ) в среде $\mathcal{S}$; равенства же (8.5) при постоянных $x, y, z$ будут уравнениями движения обращённого, т. е. уравнениями движения любой точки $(x, y, z)$ в среде $\Sigma$. Рассмотрим сначала тот случай движения твёрдого тела, когда три эйлеровых угла не изменяются; пусть Как видно из формул (8.15) и (8.4), уравнения движжения любой точки $\mu$ будут или, в векторной форме, где $C_{x}, C_{y}, C_{z}$, а значит, и $C$ — постоянные. Для другой точки $\mu_{1}$ тела мы имели бы где постоянный вектор $\boldsymbol{C}_{1}$, вообще говоря, отличен от прежнего. Вычтя почленно полученные два уравнения движения, мы найдём: Как показывают уравнения (8.5), обращённое движение тоже поступательное. Выберем направления осей $A \xi$ г в т теле так, чтобы было тогда будут соблюдаться равенства а прочие косинусы будут равны нулю. В таком случае равенства (8.5) нам дадут: или, в векторной форме, где $C_{\xi}^{\prime}, C_{\tau_{1}}^{\prime}, C_{\zeta}^{\prime}$ и $\boldsymbol{C}^{\prime}$ — снова постоянные. Мы видим, что траектории обращённого движения тождественны с траекториями прямого, только описываются движущимися точками в противоположных направлениях. тогда точка $A$ остаётся в покое. В этом случае движение тела называется движением вокруг неподвижной точки, или полюса $A$. Очевидно, обращённое движение будет также движением (тела $S$ ) вокруг неподвижной точки $A$. Из точки $A$, как центра, построим произвольным радиусом в обеих средах по сфере; сферу в среде $\Sigma$ назовём $\sigma$, а сферу в среде $S$ назовём $s$. Ясно, что в рассматриваемом случае движения сфера $\sigma$ будет скользить по сфере $s$. Траекторией любой точки $\mu$ тела будет некоторая сферическая кривая. Пусть прямая, соединяющая полюс $A$ с рассматриваемой точкой $\mu$, встречает сферу $\sigma$ в точке $ 58. Движение тела параллельно плоскости. Кардановы движения прямое и обращённое. Если в случае движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки $A$ эта точка уходит в бесконечность, семейство концентрическких сфер $\sigma$, а также и $s$ обрацается в семейство параллельных плоскостей, и мы получаем так называемое движение тела параллельно плоскости. В этом случае движения точек, лежащих на перпендикуляре к семейству параллельных плоскостей, тождественны между собой. Все траектории лежат в параллельных плоскостях, и можно ограничиться рассмотрением движения одной какой-либо подвижной плоскости по соответственной неподвижной. Поэтому, иначе, такое движение называется движением плоской фигуры в её плоскости. Очевидно, обращённое движение обладает теми же свойствами. Уравнения движения тела примут для рассматриваемого случая вид, отличный от уравнений движения вокруг неподвижной точки. Пусть за плоскость $O x y$ взята нами одна из плоскостей, параллельно которым происходит движение (фиг. 52). Соответственную подвижную плоскость примем за плоскость $A \xi \eta_{\eta}$ Тогда оси $O z$ и $A \zeta$ будут всегда $\Phi$ иг. 52. параллельны. Положение осей $A \xi \eta_{\text {в }}$ в плоскости $O x y$ вполне определится координатами $x_{A}, y_{A}$ начала и углом $\varphi$, образуемым осью $A \xi$ с осью $O x$. По формулам (8.4) и (8.5) на стр. 74 мы находим, что координаты $x, y$ и $\varepsilon, \eta$ произвольной точки $\mu$ связаны следующими уравнениями: Движение фигуры вполне определено, ссли нам даны следующие функции: В этом случае уравнения (8.17) представляют собой уравнения движения некоторой произвольной точки фигуры, а чтобы получить уравнения движения какой-либо точки тела, лежащей вне плоскости $O x y$, надо к предыдущим уравнениям прибавить лишь указание на значение координаты $z$ точки, которое, очевидно, остаётся постоянным во время движения: $z=$ const. Пример 21. В виде примера рассмотрим так называемое карданово д в ж н ние, т. е. такое движение плоской фигуры в еӗ плоскости, когда две точки фигуры перемещаются по двум взаимно перпендикулярным прямым. Примем эти прямые за оси $O x$ и $O y$ (фиг. 53). Пусть точка $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)$ движется по оси $O x$, а точка $M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ по оси $O y$. Неизменное расітояние между точками $M_{1}$ и $M_{2}$ назовём $2 R$. Удаление точки $M_{1}$ от начала координат не может превышать $2 R$; следовательно, мы можем положить где есть некоторая функция времени. Так как Фиг. 53. За начало $A$ подвижных осей выбираем середину отрезка $M_{1} M_{2}$ : в таком случае Если ось $A \xi$ направим по $A M_{1}$, то тo Уравнения (8.17), выражающие закон движения произвольной точки фигуры, примут тогда вид Если исключить из этих уравнений функцию $f$, то найдём уравнение траектории произвольной точки фигуры: разрешив сначала уравнения относительно $\cos f$ и $\sin f$, получаем: возводим эти выражения в квадрат и складываем: после очевидных преобразований, наконец, получаем: При постоянных $\xi$; $\eta$ это уравнение изображает траекторию точки в прямом движении; при постоянных $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ оно становится уравнением траектории обращенного движения. В отношении прямого движения сразу замечаем, что траекторией служит кривая второго порядка. Для определения её вида составляем дискриминант уравнения; имеем Для точек, не лежащих на окружности дискриминант $\Delta$ отрицателен, следовательно, траекторией служит эллипс. Для точек, лежащих на указанной окружности (эта окружность проходит через точки $M_{1}, M_{2}$ и $O$ ), эллипс вырождается в две совпадающие прямые Траекторией обращённого движения, как видно ив уравнения (8.19), является некоторая кривая четвёртого порядка; она носит наввание улитки Паскаля (Pascal). Мы убедимся, однако, в том, что это действительно улитка Паскаля не из уравнения (8.19), а из рассмотрения геометрических особенностей обращённого движения. В обращённом движении стороны прямого угла $x O y$ всегда проходят через две неподвижные точки $M_{1}$ и $M_{2}$ (фиг. 54). Вершина прямого угла $O$ описывает окружность, диаметром которой служит отрезок $M_{1} M_{2}$. Возьмём какую-либо точьу $P$ на стороне угла на расстоянии $O P=a$ от его зершины и изучим ев̈ геометрическое место. Пря вышеопиганном движении прямого угла $x O y$ точка $P$ всегда будет находиться на луче, проходящем через постоянную точку $M_{1}$ окружности, и её расстояние (считая по лучу) от окружности будет постоянным (равным $a$ ). Этим свойством как раз и определяется улитка Паскаля. Нетрудно написать её уравненще в полярных координатах: если за начало координат принять точку $M_{1}$ и за полярную ось прямую $M_{1} M_{2}$, то иди Исследуем теперь траекторию некоторой точки $Q$, лежащей где-либо не на сторонах угла $x O y$. Проведём прямую $Q O \mu_{1}$ и диаметр $\mu_{1} \mu_{2}$. Угол $P O Q$. постоянен; следовательно, и длины дуг $\overparen{M_{1} \mu_{1}}$ и $\overparen{M_{2} \mu_{2}}$ постоянны, а потому точки $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ неподвижно. Таким образом, в отношении точки $Q$ повторяется то же, что мы имели в отношении точки $P$, и, следовательно, мы убеждаемся, что траекторией любой точки $Q$ нлоскости $O x y$ будет улитка Паскаля. Рассмотренное нами прямое движение имеет приложение в приборе, навываемом эллиптическим циркулем, а обращённое послужило основной идеей amпарата Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci) для вычерчивания овалов. 59. Центр и ось конечного вращения. Положение плоской фигуры в её плоскости полностью определяется положением двух её точек или отрезка, их соединяющего. Рассмотрим два полбжения некоторого отрезка: $A_{1} B_{1}$ * $A_{2} B_{2}$ (фиг. 55). Из середин $C$ и $D$ отрезков $A_{2} A_{2}$ и $B_{1} B_{2}$ восставим к этим отрезкам перпендикуляры $C K$ и $D K$. Точка $K$ пересечения этих перпендикуляров, очевидно, обладает тем Свойством, что Так как, кроме того, по условию $A_{1} B_{1}=A_{2} B_{2}$, то Фиг. 55. Точка $K$ называется центром конечного вращения. Центр $K$ уходит в бесконечность лишь в том случае, когда векторы $\overline{A_{1} A_{2}}$ и $\overline{B_{1} B_{2}}$ же $\Sigma$ движется по отношению к ореде $P$ вокруг точки $A$, как вокруг неподвижной. Такой способ рассмотрания движения тела $\Sigma$ называется разложением его движения на поступательное вместе с точкой $A$ и на движение вокруг точки $A$, как викруг неподвижной. Подобное разложение может быть сделано бесконечным множеством способов: за полюс $A$ можно взять любую точку тела $\Sigma$. Заметим, что от перемены полюса, вообще говоря, изменится поступательная часть движения, т. е. движение среды $P$ в среде $S$, но функции $\varphi(t), \phi(t)$, $\vartheta(t)$, выражающие движенис тсла $\Sigma$ относительно среды $P$, от того, какая точка взята за полюс, отнюдь не зависят. Это следует из того, что две системы соответственно параллельных осей, связанных с телом $\Sigma$, именно, $A \xi \eta \xi^{\prime} A^{\prime} \xi^{\prime} \eta^{\prime} \xi^{\prime}$, образуют с осями $A X Y Z$ и $A^{\prime} X^{\prime} Y^{\prime} Z^{\prime}$, параллельными осям $O x y z$, соответственно равные эйлеровы углы. В независимости функций $\varphi(t), \phi(t), \vartheta(t)$ от выбора полюса можно убедиться и аналитически. Согласно формулам (8.4), если за полюс взята точка $A\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}\right)$, уравнения движения любой точки $M(x, y, z)$ напишутся так: Применим их к точке $B$, которую мы впоследствии возьмём за новый полюс; имеем Произведём соответственное вычитание уравнений (8.21) из уравнений (8.20); оставив в левой части лишь величины $x, y, z$, мы получим: Введём теперь в качестве осей, связанных с телом, новые оси $B \xi^{\prime} \eta^{\prime} \eta^{\prime}$, параллельные прежним осям $A \varepsilon \eta \zeta ;$ на основании формул преобразования координат мы можем уравнения (8.22) переписать так: Сравнивая уравнения (8.20) и (8.23), мы видим, что перемена полюса не сказалась на направляющих косинусах $a_{\mu
|
1 |
Оглавление
|