218. Основные положения геометрической статики. Эквивалентные системы сил. Принцип виртуальных перемещений представляет собой самый общий приём для нахождения положений равновесия материальных систем. Но во многих случаях оказывается возможным вывести условия равновесия при помощи чисто геометрических соображений; в особенности такое геометрическое исследование удобно, когда положение равновееия системы известно заранее и ищутся лишь условия для приложенных сил. Исходным пунктом геометрической статики служат условия равновесия свободного твёрдого тела, найденные нами в примере 110 на стр. 387: система скользящих векторов, изображающих активные силы, цолжна быть эквивалентной нулю, т. е. главный вектор $\boldsymbol{F}$ и главный момент $\boldsymbol{L}_{O}$ этой системы должны обрацаться в нуль для любого полюса $O$ :
\[
\boldsymbol{F}=0, \boldsymbol{L}_{o}=0 .
\]

Если в данной системе сил заменим все силы равными им по модулю и прямо противоположными по направлению, то новую систему мы для краткости будем называть системой, прямо противоположной пер-

воначальной. Две системы сил $S_{1}$ и $S_{2}$ мы назовём эквивалентными, если сложная система, составленная из $S_{1}$ и системы, прямо прочивоположной $S_{2}$, или, наоборот, из $S_{2}$ и системы, прямо противоположной $S_{1}$, будучи приложена к твёрдому телу, оставляет его в равновесии. По сказанному, система сил, приложенных к твёрдому телу и находяцихся в равновесии, изображается системой скользящци векторов, эквивалентной нулю; следовательно, по установленному выше определению, эквивалентные системы сил изображаются эквивалентными же системами скользящих векторов. Отсюда вытекает, что любая теорема из теории векторов, касающаяся эквивалентных систем, находит свой толкование в статике твёрдого тела. Так, например, в общем случае (при инвариантах, отличных от нуля) система сил, приложенных к твёрдому телу, эквивалентна одной результирующей силе (равной главному вектору) и одной результирующей паре (с моментом, равным главному моменту системы). При частном выборе полюса, а именно, если он взят на центральной оси, результирующая сила и плоскость результирующей пары перпендикулярны друг к другу. Эквивалентные системы сил сообщают точкам твёрдого тела одни и те же ускорения, но реакции связей, им соответствующие, при одном и том же кинематическом состоянии тела, вооще говоря, будут различны.

Рассмотрим теперь произвольную деформирующуюся материальную систему в положении равновесия; легко видеть, что как вся система в целом, так и любая произвольно выбранная часть её должны удовлетворять условиям (38.1) равновесия твёрдого тела. Заметим предварительно, что прибавление новой связи не может нарушить равновесия системы; в самом деле, прибавление связи стесняет простор для выбора виртуальных перемещений системы; следовательно, виртуальные перемещения системы с добавочной связью входяг, как частная система, в состав виртуальных перемещений для системы без добавочной связи; а потому, если активные силы не давали работы на любом из виртуальных перемещений при отсутствии добавочной связи, то они не дадут работы и на виртуальных перемещениях при наличии этой связи. Отсюда вытекает, что любая материальная система обязана в своём положении равновесия подчиняться всем условиям, найденным для твёрдого тела, так как равновесие этой системы не должно нарушиться и в том случае, если бы система затвердела. Прилагая условия равновесия твёрдого тела сначала ко всей системе, а затем к соответственно выбранным частям её, мы можем таким путём найти все те условия относительно приложенных сил, которые для нас интересны. Вообще говоря, для полного решения задачи о равновесии деформирующегося тела нам приштось бы разбить его на бесконечно малые элементы, т. е. повторить указанный приём бесконечное множество раз; в результате мы вернулись бы к основным уравнениям (36.10) на стр. 374; но часто случается, что, приложив указанный метод к двум, трём или более, но всё-таки к конечному числу частей системы, мы уже сможем найти всё, что нам нужно.
219. Примеры на определение положений равновесия и нахождение реакций.

Пример 119. Два одинаковых весомых стержня $A B$ и $A C$ (фиг. 124) связаны шарниром в точке $A$ и поме жены в вертикальвой плоскости, причём концами $B$ и $C$ они опираются на горизонтальную юодставку. Чтобы удержать стержии от падения, коны $B$ и $C$ привязаны одинаковыми нитями к серединным точкам $D$ и $E$ противоположных стержней. Найти отношение натяжения

нити к весу одного стержня, если угол между каждым из стержней и горизонтом равен $\theta$.

Рассматриваемая материальная система плоская; к ней приложены силы $\boldsymbol{G}_{1}, \boldsymbol{G}_{2}$ – веса стержней; $\boldsymbol{T}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{T}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{T}_{2}, \boldsymbol{T}_{z}^{\prime}$ – реакции нитей; $\boldsymbol{N}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{N}_{2}$ – реакции подставки и, наконец, $\boldsymbol{n}_{1}, \boldsymbol{n}_{2}$ – реакци шарнира на правый и левый стержни. Мы принимаем, что:

1) натяжение постоянно вдоль нити, и следовательно,
\[
T_{1}=T_{1}^{\prime}, \quad T_{2}=T_{2}^{\prime} ;
\]
2) подставка гладкая, т. е. реакции её $\boldsymbol{N}_{1}$ и $\boldsymbol{N}_{2}$ направлены вертикально;
3) реакции шарнира $n_{1}$ и $n_{2}$, по симметрии, идут горизонтально и равны друг другу по модулю.
Кроме того, по условию
\[
G_{1}=G_{2}=G .
\]

По сказанному выше система ско.ьзящих векторов, изображающих силы, приложенные к покояшейся материальной системе, должна быть эквивалентной нулю; при этом не важно, рассматриваєтся ли система в целом или данная система частиц является частью некоторой другой системы. Воспользовавшись этим положением, возьмём сначала в нашем примере всю систему и выразим, что главный вектор всех сил и главный момент их равны нулю. Проекции главного вектора возьмём на оси $B x$ и $B y$, указанные на чертеже; за полюс выберем точку $B$. Угол между каждой из нитей и горизонтом назовём $\varphi$, длину каждого стержня обозначим $2 l$; тогда получим следующие равенства:
\[
\begin{array}{c}
n_{1}-n_{2}=0, \\
N_{1}+N_{2}-2 G=0, \\
4 N_{2} l \cos \theta-4 G l \cdot \cos \theta=0 .
\end{array}
\]

Bо всех этих уравнениях взаимно униттожались попарно равные по модулю и прямо противоположные силы $\boldsymbol{T}_{1}, \boldsymbol{T}_{1}^{\prime}$
и $\boldsymbol{T}_{2}, \boldsymbol{T}_{2}^{\prime}$. Полученные равенства непосредственно дают:
\[
N_{1}=N_{2}=G .
\]

Рассмотрим теперь часть системы, именно, правый стержень $A C$; на него действуют силы $\boldsymbol{n}_{1}, \boldsymbol{G}_{1}, \boldsymbol{N}_{2}, \boldsymbol{T}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{T}_{2}$. Опять выражаем, что система векторов, изображающих эти силы, эквивалентна нулю. Направления осей проекций оставляем прежние; за полюс бере̋м точку $A$. Таким образом, получаем:
\[
\begin{array}{r}
n_{1}-T_{1}^{\prime} \cos \varphi-T_{2} \cos \varphi=0, \\
N_{2}+T_{1}^{\prime} \sin \varphi-G-T_{2} \sin \varphi=0, \\
N_{1} \cdot 2 l \cos \theta-G l \cos \theta-T_{1}^{\prime} \cdot 2 l \sin (\theta-\varphi)-T_{2} \cdot 2 l \sin (\theta-\varphi)=0 .
\end{array}
\]

Второе из составленных уравнений, согласно равенству (32.3), даёт:
\[
T_{1}^{\prime}=T_{2}
\]

следовательно, на основании равенства (38.2) имеем
\[
T_{1}=T_{2}=T .
\]

Из уравнения моментов выводим:
\[
\frac{T}{G}=\frac{\cos \theta}{4 \sin (\theta-\varphi)} .
\]

С другой стороны, пользуясь треугольником $B D C$, легко находим:
\[
\frac{\sin (\theta+\varphi)}{\sin ^{\varphi}}=4 \cos \theta,
\]

откуда
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{1}{3} \operatorname{tg} \theta .
\]

Если теперь исключим из уравнений (38.4) и (38.5) угол $\varphi$, то найдём искомое отношение
\[
\frac{T}{G}=\frac{1}{8} \sqrt{1+9 \operatorname{ctg}^{2} \theta}
\]

Пример 120. Однородный весомый, гладкий стержень $A B C$ длиной $2 a$ опирается концом $A$ на внутреннюю поверхность неподвижной полусферической чаши, диаметр которой меньше длины стержня и равен $2 r$ (фиг. 125); в точке $B$ стержень опирается о край чашки. Определить положение равновесия стержня, если диаметр $B B^{\prime}$ чаши горизонтален ${ }^{1}$ ).

Обозначим угол наклона стержня к горизонту буквой $\theta$. На стержень действуют три силы: вес его $\boldsymbol{G}$ и реакци чаши: $\boldsymbol{N}_{\mathbf{1}}$ на конец $A$ и $N_{2}$ на точку $B$. Первая реакция направлена к центру $O$, а вторая нормальна к $A C$. Система трёх векторов, $\boldsymbol{N}_{1}, \boldsymbol{N}_{2}$ и $\boldsymbol{G}$, эквивалентна нулю; следовательно, все три вектора должны быть параллельны одной плоскости, иначе их главный вектор не мог бы равняться нулю. В настоящем случае все три силы должны даже лежать в одной плоскости, так как их точки приложения лежат на одной прямой $A C$. Таким образом, оказывается, что стержень может быть в равновесии линь в одной из диаметральных и вертикальных плоскостей сферической чаши: в диаметральной плоскости лежит сила $\boldsymbol{N}_{\mathbf{1}}$, в вертикальной – сила $\boldsymbol{G}$. Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью чертежа. Нашравления осей проекций оставляем те же, которыми мы пользовались в предыдущем примере, а за полюс берём точку $B$. Тогда мы получим следующие уравнения:
\[
\begin{aligned}
N_{1} \cos 2 \theta-N_{2} \sin \theta & =0, \\
N_{1} \sin 2 \theta+N_{2} \cos \theta-G & =0, \\
G(2 r \cos \theta-a) \cos \theta-N_{1} \cdot 2 r \cos \theta \sin \theta & =0 .
\end{aligned}
\]

Из первых двух уравнений определяем $N_{1}$ :
\[
N_{1}=G \cdot \operatorname{tg} \theta .
\]

Подставив это значение $N_{1}$ в последнее уравнение, находим следующее условие равновесия:

Отсюда получаем:
\[
a \cos \theta-2 r \cos 2 \theta=0 .
\]
\[
\cos \theta=\frac{a+\sqrt{a^{2}+32 r^{2}}}{8 r} .
\]

Легко проверить полученный результат: стержень весомый, следовательно, согласно принципу Торичелли (пример 115 на стр. 391) положение равновесия соответствует стационарному значению координаты $y_{K}$ центра масс $K$ стержня; но

откуда
\[
y_{K}=(2 r \cos \theta-a) \sin \theta,
\]

Положив
\[
\begin{array}{c}
\delta y_{K}=-(a \cos \theta-2 r \cos 2 \theta) \delta \theta . \\
\delta y_{K}=0,
\end{array}
\]

мы снова получаем уравнение (38.6).

Пример 121. Приложим ещё геометрический метод к определению условий равновесия гибкой нерастяжимой нити (§212). Здесь уже придётся разбить систему на бесконечно малые элементы и рассматривать равновесие каждого элемента как материальной частицы (§ 2I8). Пусть $B B^{\prime}$ представляет собой бесконечно малый элемент нити $d s$ (фиг. 126). Элемент этот находится под пействием трё сил: активной силы $\bar{\Phi} d s$, где $\bar{\Phi}$ – сила, рассчитанная на единицу длины ( $\$ 212$ ), и затем двух реакций $\mathcal{S}$ и $\boldsymbol{S}^{\prime}$, представляющих действие на взятый элемент соседних элементов нити. Согласно условию равновесия, имеем
\[
\bar{\Phi} d s+\boldsymbol{s}+\boldsymbol{S}^{\prime}=0 .
\]

Силы $\boldsymbol{S}$ и $\boldsymbol{S}^{\prime}$ весьма просто выражаются через натяжение нити в точке $B$. В § 212 мы условились принимать за положительное направление натяжения направ.ение отсчёта дуг по кривой, а самое натяжение представлять в форме $\bar{\hbar} 0^{0}$, где $\bar{\tau}^{0}$ есть единичный вектор касательной. Таким образом, величина $\lambda \tau^{0}$ нами рассматривается как функция длины дуги $s$, огсчитываемой от некоторой точки на кривой. Пусть в нашем случае $B B^{\prime}$ есть направление отсчёта дуг. Если натяжение нити в точки $B$ есть $i^{0} 0$, то в точке $B^{\prime}$ оно будет $\lambda=0+d$ ( $\lambda \tau 0$ ). Кроме того, на основании сказанного о направлении натяжения мы имеем
\[
S=-\overrightarrow{\lambda \tau^{0}}, S^{\prime}=\bar{\lambda} \tau^{0}+d\left(\overline{\lambda \tau^{0}}\right) .
\]

Подставив эти выражения в равенство (38.7), мы приведём уравнение равновесия нити к следующему виду:
\[
\bar{\Phi}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \tau^{0}\right)=0 .
\]

Тот же результат мы получили ранее другим способом [см. формулу (37.11) на стр. 398].

220. Понятие о винте. Координаты винта. Всякой системе скользящих векторов соответствует в обшем случае некоторая определённая прямая – центральная ось, обладающая тем свойством, что для любого полюса, лежащего на ней, главный вектор $\boldsymbol{a}$ и главный момент $\boldsymbol{L}$ системы совпадают по направлению хруг с другом и с этой осью (§ 16). Отсюда видно, что система векторов может быть геометрически представлена совокупностью двух векторов, главного вектора и главного момента, лежащих на сбием основании (центральной оси). Такая совокупность двух векторов на, одном основании носит название винта. Главный вектор $\boldsymbol{a}$ называется амплитудой винта, а отношение главного момента $\boldsymbol{L}$ к главному вектору $\boldsymbol{a}$ (когда они коллинеарны) параметром $p$ винта:
\[
p=\frac{L}{a}=\frac{L \cdot a}{a^{2}} .
\]

В частных случаях главный момент или главный вектор могут оказаться нулями, тогда параметр вннта становится нулём или бесконечностью. Необходимо заметить, что параметр винта представляет собой всегда некоторую длину, безразлично, что бы ни изображали собой скользящие векторы – будут ли это силы, скорости, количества движения и т. д. Поэтому измерения скользящих векторов системы, представленной данным винтом, даются лишь измерением его амплитуды: для сил амплитуда будет однородна с диной, для количеств движения с единицей $\frac{\text { грамм-сантиметр }}{\text { секунда }}$ и т. д.

Винт часто задают шестью координатами: модулем амплитуды, параметром и теми четырьмя величинами, которыми даётся положение его основания, илн оси; при этом, однако, направление амплитуды на её основании остаётся неопределённым. Гораздо удобнее задавать данный винт $S_{\mathrm{x}}$ радиусом-вектором $r_{\mathrm{x}}$ полюса, т. е. какой-либо точки на центральной оси, амплитудой $a_{\mathrm{x}}$ и параметром $p_{\mathrm{x}}$. Это значит, что мы задаём винт семью скалярными координатами; $r_{x x}, r_{x y}, r_{x z} ; a_{x x}, a_{x y}, a_{x z}, p_{x}$. Одной из координат $r_{x y}, r_{x y}, r_{x z}$ можно при этом дать произвольное значение.

Главный момент системы, эквивалентной данному винту, относительно какого-нибудь полюса короче называется просто моментом винта относительно этого полюса. Нетрудно заметить, что если винт $S_{\text {x }}$ задан вышеупомянутыми коодинатами, а радиус-вектор полюса равен $\bar{\rho}$. , то момент $\boldsymbol{M}_{v}$ винта относительно полюса будет иметь выражение:
\[
\boldsymbol{M}_{v}=p_{\mathrm{x}} \boldsymbol{a}_{\mathrm{x}}+\left(\boldsymbol{r}_{\mathrm{x}}-\bar{\rho}_{\mathrm{v}}\right) \times \boldsymbol{a}_{v} .
\]

221. Взаимный коэффициент двух винтов. Винты, взаимные друг с другом. Система сил $\boldsymbol{F}_{v}$, приложенных к частицам $m_{v}$ твёрдого тела, изображается системой скользящих векторов; следовательно, по сказанному выше, она может быть представлена некоторым винтом $S_{1}$ с координатами $\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{a}_{1}, p_{1}\right)$. Назовём $\bar{\rho}_{
u}$ радиус-вектор частицы $m_{v}$, а $\boldsymbol{F}$ главный вектор сил $F_{v} ;$ тогда амплитуда $\boldsymbol{a}_{1}$ и главный момент $\boldsymbol{L}_{1}$ винта $S_{1}$ (фиг. 127) выразятся следующим образом:
$a_{1}=\sum_{v=1}^{n} F_{v}=F$
$L_{1}=p_{1} a_{1}=\sum_{v=1}^{n}\left(\bar{\rho}_{v}-r_{1}\right) \times F_{v} ;$
$r_{1}$ есть радиус-вектор точки $B_{1}$, произвольно выбранной на центральной оси.

С другой стороны, кинематитеское состояние твёрдого тела в любой момент Фиг. 127. характеризуется системой угловых скоростей $\bar{\omega}_{v}$, т. е. также некоторой системой скользящих векторов, а следовательно, н некоторым винтом $S_{2}$ с координатами $\left(\boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{a}_{2}, p_{2}\right)$. Амплитуда $\boldsymbol{a}_{2}$ этого винта представляет собой угловую скорость $\overline{\mathbf{\omega}}$ тела в рассматриваемый момент, а главный момент $\boldsymbol{L}_{2}$ равен скорости $\boldsymbol{v}_{2}$ одной из точек $B_{2}$ центральной оси; $\boldsymbol{r}_{2}$ есть радиус-вектор этой точки; таким образом,
\[
a_{2}=\bar{\omega}, \quad L_{2}=\boldsymbol{v}_{2}=p_{2} \bar{\omega}=\sum_{v=1}^{n}\left(\bar{\rho}_{v}-r_{2}\right) \times \bar{\omega}_{v} .
\]

Отсюда, согласно формуле (38.9), мы получаем следующее выражение для скорости $\boldsymbol{v}_{v}$ точки $m_{v}$ тела:
\[
\boldsymbol{v}_{v}=\boldsymbol{v}_{2}+\left(\boldsymbol{r}_{2}-\bar{\rho}_{
u}\right) \times \bar{\omega}=p_{2} \bar{\omega}+\left(\boldsymbol{r}_{2}-\bar{\rho}_{
u}\right) \times \bar{\omega} .
\]

Вычислим теперь ту элементарную работу $\delta A$, которую совершат приложенные к телу силы $F_{v}$ на бесконечно малом перемещении, соответствующем промежутку времени $\delta$. Искомая работа представится так:
\[
\delta A=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}=\delta t \sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot v_{v}
\]

или, согласно формулам (38.10) и (38.12),
\[
\delta A=\partial t\left[p_{2} F \cdot \bar{\omega}+F \cdot r_{\delta} \times \bar{\omega}-\sum_{
u=1}^{n} F_{v} \cdot \bar{\rho}_{
u} \times \bar{\omega}\right] .
\]

Применив к последнему слагаемому известную теорему о циклической перестановке сомножителей векторно-скалярного произведения и заменив $\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times \boldsymbol{F}_{v}$ его значением из равенства (38.11), мы получим:
\[
\delta A=\delta t\left[p_{2} \boldsymbol{F} \cdot \bar{\omega}+\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{r}_{2} \times \bar{\omega}+p_{1} \boldsymbol{F} \cdot \bar{\omega}+\bar{\omega} \cdot \boldsymbol{r}_{1} \times \boldsymbol{F}\right],
\]

или
\[
\delta A=\partial t F_{\omega}\left[\left(p_{1}+p_{2}\right) \boldsymbol{F}^{0} \cdot \bar{\omega}^{0}+\boldsymbol{h} \cdot \boldsymbol{F}^{0} \times \bar{\omega}^{0}\right],
\]

где
\[
\dot{h}=r_{1}-r_{2} .
\]

Выражение, стоящее в прямых скобках, носит название в заимного коэффициента $k_{12}$ двух винтов; элементарная работа, которую мы искали, имеет, следовательно, выражение:
\[
\delta A=k_{1}, F \cdot \omega \delta t .
\]

Іусть полюсы $B_{1}$ и $B_{2}$ выбраны так, что вектор $\boldsymbol{h}$ идёт по кратчайшему расстоянию между осями винтов $S_{1}$ и $S_{2}$; тогда, назвав ч угол между амплитудами винтов, получим для взаимного коэффициента такое выражение:
\[
k_{12}=\left(p_{1}+p_{2}\right) \cos \varphi-h \sin \varphi .
\]

Когда движение по винту $S_{2}$ является единственно возможным для тела, то по принципу виртуальных перемещений (§207) силы, характеризуемые винтом $S_{1}$, будут в равновесии, если взаимный коэффициент винтов $S_{1}$ и $S_{2}$ обращается в нуль;
\[
k_{12}=\left(p_{1}+p_{2}\right) \cos \varphi-h \cdot \sin \varphi=0 ;
\]

это видно из формулы (38.13). Два винта, удовлетворяющие условию (38.15), называются взаимными. Мы видим, что параллельные винты $(\varphi=0)$ взаимны тогда, когда параметры их равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку; винты, перпендикулярные друг к другу $\left(\varphi=\frac{\pi}{2}\right)$, взаимны тогда, когда они пересекаются, т. е. когда $h=0$; наконец, пересекающиеся винты ( $h=0$ ) взаимны, когда они или перпендикулярны друг к другу, или имеют равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку параметры.

222. Цилиндроид Болла. В заключение рассмотрим одну поверхность, имеющую большое значение в теории винтов. Возьмём систему двух винтов $S_{1}$ и $S_{2}$ и найдём третий винт $S$, эквивалентный их совокупности, или результирующий винт. Если, оставляя без изменения основания и параметры, станем менять амплитуды первых двух винтов, то третий, изменяя своё положение, опишет некоторую линейчатую поверхность третьего порядка, названную по имени английского ученого, ев̈ открывшего, цилиндроидом Болла (Ball). Мы увидим, что эта поверхность играет при сложении винтов ту же роль, какую играет плоскость при геометрическом сложении двух векторов с общей точкой

приложения. Уравнение цилиндроида можем получить следующим образом. Пусть координаты винтов $\mathcal{S}_{1}, \mathcal{S}_{2}$ и $\mathcal{S}$ соответственно равны
\[
r_{1}, a_{1}, p_{1} ; r_{2}, a_{2}, p_{2} ; \boldsymbol{r}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{p} .
\]

Если две системы скользящих векторов эквивалентны, то равны их главные векторы и их главные моменты относительно произвольного центра (например начала координат); поэтому мы имеем
\[
\begin{aligned}
a & =a_{1}+a_{2}, \\
a p+r \times a & =a_{1} p_{1}+a_{2} p_{2}+r_{1} \times a_{1}+r_{2} \times a_{2} .
\end{aligned}
\]

Первое равенство говорит, что амплитуда результирующего винта равна сумме амплитуд составляющих винтов; второе равенство представляет собой уравнение основания результирующего винта; как видим, основания всех трёх винтов параллельны одной и той же плоскости [ср. формулу (1.29) на стр. 10]. Для упрощения последнего уравнения отнесём его к следующей системе координат (фиг. 128): ось $O x$ пусть совпадает с основанием первого винта, а ось $O z$ направлена по кратчайшему расстоянию $h$ между первым и вторым винтами; угол, образуемый направлениями винтов, пусть будет $\varphi$. Тогда уравнение (38.16) перепишется так:
\[
\boldsymbol{a} p+\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_{1} p_{1}+\boldsymbol{a}_{2} p_{2}+\boldsymbol{h} \times \boldsymbol{a}_{2} .
\]

Фиг. 128.
Разрешим это уравнение относительно $\boldsymbol{r}$ [см. формулу (1.29) на стр. 10]; мы получим:
\[
r=\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right) a_{1} \times a_{2}+\left(a_{1} \cdot a_{2}+a_{2}^{2}\right) h}{a^{2}}+\tau a,
\]

где $\tau$ – переменный скалярный параметр. Мы видим, что основание результирующего винта пересекает ось $O z$ и расположено параллельно плоскости Oxy. В проекциях на осн координат последнее равенство даёт
\[
\begin{array}{l}
x=\left(a_{1}+a_{2} \cos \varphi\right) \tau, \\
y=a_{2} \sin \varphi \cdot \tau, \\
z=\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right) a_{1} a_{2} \sin \varphi+h\left(a_{1} a_{2} \cos \varphi+a_{2}^{2}\right)}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2 a_{1} a_{2} \cos \varphi} .
\end{array}
\]

Исключив из этих трёх уравнений параметр $\tau$ и отношение амплитуд $\frac{a_{1}}{a_{2}}$, мы получим уравнение геометрического места оснований результирующего винта, т. е. уравнение цилиндроида Болла:
\[
z=\frac{y\left[\left(p_{2}-p_{1}\right)(x \sin \varphi-y \cos \varphi)+h(x \cos \varphi+y \sin \varphi)\right]}{\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \varphi} .
\]

Перейдя к новым осям координат $O^{\prime} X Y Z$, повёрнутым относительно старых вокруг оси $O z$ на соответстзенным образом подобранный угол и параллельно смешённым вдоль оси $O z$, можно это уравнение привести к виду
\[
Z=K \frac{X Y}{X^{2}+Y^{2}},
\]

где $K$ – постоянная, зависящая от $p_{2}-p_{1}, h$ и . Общий вид цилиндроида изображён на фиг. 129.

Если построен цилиндроид, проходящий через два данных винта $S_{1}$ и $S_{2}$, то для того, чтобы найти их результирующий винт $S$, поступаем следующим образом: откладываем амплитуды $\boldsymbol{a}_{1}$ и $\boldsymbol{a}_{2}$ на основаниях винтов $S_{1}$ и $S_{2}$ таким образом, чтобы начала векторов $\boldsymbol{a}_{1}$ и $\boldsymbol{a}_{2}$ находились на оси $O z$; проектируем затем амплитуды на плоскость $O x y$ и находим их сумму $a$; через построенный вектор $\boldsymbol{a}$ и ось $O z$ проводим плоскость;

Фиг. 129.

линия пересечения ее с цилиндроидом и даст основание результирующего винта.

Остаётся найти выражение для параметра $p$ результирующего винта. На основании формул (38.8) и (38.16) имеем
\[
p=\frac{\left(a_{1} p_{1}+a_{2} p_{2}+r_{1} \times a_{1}+r_{2} \times a_{2}\right) \cdot\left(a_{1}+a_{2}\right)}{\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}} .
\]

Отсюда, применяясь к обозначениям на фиг. 128 , получаем:
\[
p=\frac{a_{1}^{2} p_{1}+a_{2}^{2} p_{2}+k_{12} a_{1} a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2 a_{1} a_{2} \cos \varphi},
\]

где $k_{12}$ – ссть взаимный коэффициент винтов $S_{1}$ и $S_{2}$ [формула (38.14].