247. Поверхности равного действия. Теорема лорда Кельвина. Рассмотрим движение свободной материальной частицы под действием сил, имеющих силовую функцию, и составим для этого движения характеристическую функцию $S$. Если движение отнесено к декартовым координатам, то функция $S$ найдётся как полный интеграл уравнения (42.40) на стр. 457 , которое в настоящем случае будет иметь вид
\[
\frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}\right\}=U+h ;
\]

здесь $m$ — масса частицы, $U$ — силовая функция, $h$ — начальная энергия. Полный интеграл написанного. уравнения будет содержать в себе две произвольные постоянные $b_{1}, b_{2}$, кроме аддитивной.
Уравнения
\[
\frac{\partial S}{\partial b_{1}}=c_{1}, \quad \frac{\partial S}{\partial b_{2}}=c_{2},
\]

где $c_{1}, c_{2}$ — новые произвольные постоянные, представляют собой интегралы уравнений движения; в настоящем стучае равенства (44.1) служат уравнениями тех двух поверхностей, пересечение которых дает траекторию частищы.

Дадим постоянным $b_{1}, b_{2}$ какие-либо частные значения; тогда уравнения (44.1); при переменных $c_{1}$ и $c_{2}$, определят некоторую конгруэнцию траекторий. Под конгруэнцией разумеется семейттво кривых, зависящее от двух произвольных параметров; гаким образом, через каждую точку пространства, вообще говоря, проходит одна или несколько, но конечное число кривых конгруэнции. В частном случае, когда значения постоянных $b_{1}$ и $b_{2}$ определены из того условия, чго все траектории (44.1) проходят через произвольно выбранную нами постоянную точку $m_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$,

упомянутое выше семейство траекторий называется пучком траекторий, выходящих из этой точки $m_{0}$.
Уравнение
\[
S=C
\]

при произвольном значении параметра $C$ определяет семейство некоторых поверхностей, носящих название поверхностей равного действия. В самом деле, если, например, для частного случая пучка траекторий к левой части уравнения (44.2) прибавить такую постоянную, чтобы для точки $m_{0}$ параметр $C$ принимал значение 0 , то для всякой другой точки значение $C$ будет равняться величине лагранжева действия по пути, соединяющему $m_{0}$ со взятою точкою.

Равенства (42.39) на стр. 457 для декартовых координат принимают вид
\[
\frac{\partial S}{\partial x}=m \dot{x}, \quad \frac{\partial S}{\partial y}=m \dot{y}, \quad \frac{\partial S}{\partial z}=m \dot{z} .
\]

Из них вытекает соотношение
\[
\frac{\partial S}{\partial x}: \frac{\partial S}{\partial y}: \frac{\partial S}{\partial z}=\dot{x}: \dot{y}: \dot{z}=\cos (\widehat{x, v}): \cos (\widehat{y, v}): \cos (\widehat{z, v}),
\]

где через $\boldsymbol{v}$ обозначена скорость движущейся частицы в том месте, где её траектория встречает взятую поверхность равного действия. Так как вектор $\boldsymbol{v}$ направлен по касательной к траектории, то из равенства (43.4) мы выводим, что семейство поверхностей равного действия (44.2) ортогонально к соответственной конгруэнции траекторий (44.1). В криволинейных координатах равенство (44.4) и, следовательно, условие ортогональности согласно формуле (42.44) на стр. 457 выражается так:
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{1}}: \frac{\partial S}{\partial q_{2}}: \frac{\partial S}{\partial q_{3}}=p_{1}: p_{2}: p_{3} .
\]

Нетрудно заметить, что всё вышеизложенное представляет собою в сущности повторение сказанного в § 108: для эгого нужно лишь обратить внимание на то, что согласно равенству (44.3) скорость $\boldsymbol{v}$ служит градиентом функции точки $\frac{1}{m} S\left(x, y, z, b_{1}, b_{2}\right)$, т. е.
\[
\boldsymbol{v}=\operatorname{grad} \frac{S\left(x, y, z, b_{1}, b_{2}\right)}{m} .
\]

Изложенная нами геометрическая интерпретация равенств (44.5) носит название теоремы лорда Кельвина (Kelvin). Она может быть распространена на произвольное число координат, если ввести в рассмотрение соответствующее многомерное пространство. Пусть положение какой-либо консервативной системы определяется $s$ координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$; составим характеристическую функшию $S$ для движения этой системы. Функция $S$ служит полным интегралом уравнения (42.40) на стр. 457 и содержит в себе $s-1$ произвольных гюстоянных $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{s-1}$, кроме аддитивной. Система равенств
\[
\frac{\partial S}{\partial b_{1}}=c_{1}, \quad \frac{\partial S}{\partial b_{2}}=c_{2}, \ldots, \quad \frac{\partial S}{\partial b_{s-1}}=c_{s-1},
\]

где $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{q-1}$ — новые произвольные постоянные, представляет собой совокупность интегралов уравнений движения для данной системы. Примем, чго совокупность координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$ определяет собой пюложе. ние точки в пространстве $s$ измөрений. Тогда, если произвольным параметрам $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s-1}$ мы дадим какие-либо частные значения, то система равенств (44.6) представит семейство одномерных многообразий (т. е. линий) в этом пространстве $s$ измерений. Система многообразий (44.6), т. е. траекторий системы, опять будет конгруэнцией, так как через каждую точку $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}\right)$ рассматриваемого многомерного пространства пройдёт, вообще говоря, одна или несколько, но во всяком случае конечное число траекторий. Станем одновременно с конгруэнцией (44.6) рассматривать семейство многообразий $s-1$ измерений
\[
S\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s-1}\right)=C,
\]

гле $C$ — произвольный параметр; соотношение (42.44) на стр. 457 , а именно:
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{1}}: \frac{\partial S}{\partial q_{2}}: \ldots: \frac{\partial S}{\partial q_{s}}=p_{1}: p_{2}: \ldots: p_{s},
\]

показывает, что конгруэнния траекторий ортогональна к семейству (44.7) многообразий равного действия.

Пример 137. В примере 128 на стр. 449 и примере 132 на стр. 458 мы рассматривали движение весомой материальной частипы единичной массы в вертикальной плоскости Oyz. Для характеристической функции мы нашли выражение (42.66), а именно:
\[
S=b_{0}+b_{1} y+\frac{2 \sqrt{2 g}}{3}\left(-z+\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}\right)^{3 / 3} .
\]

Уравнение семейства траекторий будет следующее:
\[
\frac{\partial S}{\partial b_{1}}=y-b_{1} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{-z+\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}}=c_{1},
\]

илн
\[
z-\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}=-\frac{g}{2 b_{1}^{2}}\left(y-c_{1}\right)^{2},
\]
т. е. это булет семейство парабол. Система кривых равного действия (44.2) представится в нашем случае следующим уравнением:
\[
\frac{8 g}{9}\left(z-\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}\right)^{3}=-\left(C-b_{1} y\right)^{2} ;
\]

как видим, это — семейство полукубических парабол, ортогональное к выше найденному семейству граекторий.

В найденных уравнениях $b_{1}$ имеет некоторое фиксированное частное значение, а $C$ и $c_{1}$ являются произвольными параметрами. Для $b_{1}=0$ обе группы кривых обрашаются в семейства прямых, пвраллельных осям координат. Выберем теперь параметр $b_{1}$ так, чтобы все траектории выходиди из начала координат; тorда, опираясь на формулу (42.53) на стр. 458 , мы получим следующее уравнение семейства линий равного действия:
\[
\left[2 h-g z+g \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right]^{3 / 2} \pm\left[2 h-g z-g \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right]^{3 / 2}=C .
\]

Найдём уравнение соответственного пучка траекторий. Из формулы (44.8) видно, что если траектория проходит через начало координат, то постоянная $b_{1}$ связана с коодинатами $y, z$ некоторой ее точки следующим уравнением:
\[
y-b_{1} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{-z+\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}}=-b_{1} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}} .
\]

Отсюда мы находим:
\[
4 b_{1}^{4}\left(y^{2}+z^{2}\right)-4 b_{1}^{2} y^{2}(2 h-g z)+g^{2} y^{4}=0,
\]

или
\[
g y^{2}+2 b_{1}^{2} z= \pm 2 y b_{1} \sqrt{2 h-b_{1}^{2}} .
\]

Но из гого же равенства (44.8) следует
\[
c_{1}=-b_{1} \sqrt{\frac{\overline{2}}{g}} \sqrt{\frac{2 h-b_{1}^{2}}{2 g}} ;
\]

отсюда мы получаем:
\[
b_{1}^{2}=h \pm \sqrt{h^{2}-g^{2} c_{1}^{2}} .
\]

Подставив это значение $b_{1}$ в уравнение (44.10), мы найдём уравнение пучка траекторий
\[
g y^{2}+2 z\left(h \pm \sqrt{h^{2}-g^{2} c_{1}^{2}}\right)= \pm 2 g c_{1} y .
\]

Равенство (44.10) является также уравнением пучка траекторий, проходящих через начало координат, но только с другим переменным параметром $b_{1}$.
248. Минимум лагранжева действия. Положим, что координатами консервативной системы с $s$ степенями свободы служат величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{5}$; силовую функцию обозначим червз $U$, кинетическую энергиючерез $T$ и начальную энергию-через $h$. Вьберем два каких-либо положения системы: одно начальное $A_{0}$, другое конечное $A_{1}$. Тогда действием по Лагранжу ( $\S 202$ ) называегся интеграл
\[
S=\int_{\left(A_{0}\right)}^{\left(A_{1}\right)} 2 T d t
\]

взятый по пути, ведущему от положения $A_{0}$ в $A_{1}$. Согласно формулам (35.12) на стр. 365 и (35.9) на стр. 364 , написанный интеграл может быть представлен в форме
\[
S=2 \int_{q_{10}}^{q_{1}} \sqrt{G(U+h)} d q_{1} .
\]

Здесь переменной интеграции служит та координата $q_{1}$, которую мы условились считать за независимую; кинетическая энергия $T$ и функция $G$ имеют выражения
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1, p=1}^{s, s} a_{o p} \dot{q}_{\sigma} \dot{q}_{\rho}, \\
G=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1, \sigma=p}^{s, s} a_{\sigma \rho} q_{\sigma}^{\prime} q_{\rho}^{\prime},
\end{array}
\]

причём символами $q_{0}^{\prime}$ обозначены производные $\frac{d q_{0}}{d q_{1}}$, так что в частном случае при $\sigma=1$ мы имеем $q_{1}^{\prime}=1$. Величины $q_{10}$ и $q_{11}$ представляют собой значения независимой переменной $q_{1}$ для начального и конечного положений $A_{0}$ и $A_{1}$.

Сравнивая значение интеграла $S$, взятого по прямому пути между $A_{0}$ и $A_{1}$ (§200), со значениями того же интеграла, но взятого по какомулибо окольному пути, идущему между теми же положениями и проходимому системой с той же начальной энергией $h$, мы убедилисьь, что первая вариация интеграла $S$ для прямого пути обращается в нуль (§202). Теперь же, пользуясь результатами предыдущих глав, мы пойдём дальше и покажем, что значение интеграла (44.13) для прямого пути служит минимумом по отношению к значениям его для смежных, окольных путей, если только положения $A_{0}$ и $A_{1}$ не удалены друг от друга далее известного предела.

Характеристическая функция $\mathcal{S}$ для рассматриваемого движения служит интегралом уравнения (42.40) на стр. 457 , т. е. уравнения
\[
H=h \text {, }
\]

причём в левой части здесь импульсы $p_{\text {o }}$ исключены с помощью равенств
\[
p_{\sigma}=\frac{\partial S}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Согласно формуле (33.24) на.стр. 347 уравнение (44.16) можно переписать так:
\[
\widehat{T}\left(\frac{\partial S}{\partial q_{\sigma}}\right)=U+h .
\]

Здесь под символом $\widehat{T}\left(\frac{\partial S}{\partial q_{0}}\right)$ мы условимтя подразумевать союзное выражение кинетической энергии $T\left(p_{0}\right)$, куда по формуле (44.17) вместо импульсов подставлены производные $\frac{\partial S}{\partial q_{0}}$. Подобным образом через $T\left(\omega_{\sigma}\right)$ мы будем обозначать выражение для кинетической энергии системы $T\left(\dot{q}_{\mathrm{q}}\right)$, если туда вместо скоростей $\dot{q}_{\circ}$ подставлены какие-либо другие аргументы $\omega_{\circ}$, т. е. в соответствии с формулой (44.14) мы будем писать
\[
T\left(\omega_{\sigma}\right)=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1, \rho=1}^{s, s} a_{\sigma \rho} \omega_{\sigma} \omega_{\rho} ;
\]

при этом надо помнить, что по свойству кинетической энергии функция $T\left(\omega_{\sigma}\right)$ может быть нулём только тогда, когда все аргументы $\omega_{0}$ стали нулями. В рассматриваемом нами случае кинетическая энергия $T$ является однородной функцией второй степени относительно скоростей; следовательно, по теореме Эйлера об однородных функциях мы имеем
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \dot{q}_{\sigma}=\sum_{\sigma=1}^{s} \boldsymbol{p}_{\sigma} \dot{q}_{\sigma}=2 T\left(\dot{q}_{\sigma}\right)=2 \widehat{T}\left(p_{\sigma}\right) .
\]

Скорости связаны с импульсами уравнениями (33.3) на стр. 339 , причём свободные члены $a_{a}$ в этих уравнениях следует положить равными нулю, ввиду однородности функции $T$; таким образом, мы имеем:
\[
p_{\mathrm{o}}=\sum_{\rho=1}^{s} a_{\sigma \rho} \dot{q}_{\rho} .
\]

Из формул (44.20) и (44.17) мы выводим соотношение
\[
2 \widehat{T}\left(\frac{\partial S}{\partial q_{o}}\right)=\sum_{s=1}^{s} \frac{\partial S}{\partial q_{o}} \dot{q}_{o}=\frac{d S}{d t} ;
\]

согласно уравнению (44.18) мы отіюда получаем:
\[
\frac{d S}{d t}=2(U+h) \text {. }
\]

Обозначим через $\theta$ полный интеграл уравнения (44.18), содержащий $s-1$ произвольных постоянных $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s-1}$, кроме аддитивной. Тогда по предыдушему мы получим:
\[
2 \widehat{T}\left(\frac{\partial \theta}{\partial q_{\sigma}}\right)=\frac{d \theta}{d \bar{t}}=2(U+h) .
\]

Частную производную $\frac{\partial \theta}{\partial b_{\pi}}$ назовём $\theta_{\pi}$; напишем $s-1$ равенств
\[
\theta_{\pi}=c_{\pi} \quad(\pi=1,2, \ldots, s-1),
\]

где $c_{\pi}$ — новые постоянные; согласно формулам (42.41) на стр. 457 эти равенства будут интегралами уравнений движения рассматриваемой системы; а потому мы получм:
\[
\frac{d \theta_{\pi}}{d t}=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial \theta_{\pi}}{\partial q_{0}} \dot{q}_{\sigma}=0 .
\]

Интеграл $S$, минимум которого мы желаем рассмотреть, согласно равенствам (44.13) и (44.14) мы можем представить так:
\[
S=\int_{q_{10}}^{q_{11}} \sqrt{2(U+h) \sum_{\sigma=1, p=1}^{s, s} a_{\sigma p} d q_{,} d q_{\rho}} .
\]

Введелм вместо переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$ новые переменные $\theta, 0_{1}, \ldots, \theta_{s-1}$, полагая при этом, что существуют производные $\frac{\partial q_{0}}{\partial \theta}$ и $\frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta_{\pi}}$; мы получим:
\[
\begin{array}{l}
\left.\sum_{0=1, \rho=1}^{s, s} a_{\sigma \rho} d q_{\alpha} d q_{\rho}=B d 6^{2}+\sum_{\pi=1}^{s-1} B_{\pi} d 6_{\pi} d \varphi+\sum_{\sigma=1, p=1}^{s-1, s-1} B_{\sigma \rho} d 6_{\sigma} d\right)_{\rho}, \\
B=\sum_{\theta=1, p=1}^{s, s} a_{o p} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta} \frac{\partial q_{\rho}}{\partial \theta}, \\
B_{\pi}=\sum_{\sigma=1, \xi=1}^{s, s} a_{o p} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta_{\pi}} \frac{\partial q_{p}}{\partial \theta} . \\
B=\sum_{\sigma=1, p=1}^{s, s} a_{o p} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta} \frac{\partial q_{p}}{\partial \theta}, \\
B_{\pi}=\sum_{\sigma=1, \xi=1}^{s, s} a_{o \rho} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta_{\pi}} \frac{\partial q_{p}}{\partial \theta} . \\
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
B=\sum_{\sigma=1, p=1}^{s, s} a_{\sigma p} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta} \frac{\partial q_{p}}{\partial \theta}, \\
B_{\pi}=\sum_{\sigma=1, l=1}^{s, s} a_{o p} \frac{\partial q_{\sigma} \partial q_{p}}{\partial \theta_{\pi}} \frac{\partial \theta}{\partial \theta} .
\end{array}
\]

Рассмотрим очевидные равенства:
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial \theta}{\partial q_{1}} \cdot \frac{\partial q_{1}}{\partial \theta}+\frac{\partial \theta}{\partial q_{2}} \cdot \frac{\partial q_{2}}{\partial \theta}+\ldots+\frac{\partial \theta}{\partial q_{s}} \cdot \frac{\partial q_{s}}{\partial \theta}=1, \\
\frac{\partial \theta_{1}}{\partial q_{1}} \cdot \frac{\partial q_{1}}{\partial \theta}+\frac{\partial \theta_{1}}{\partial q_{2}} \cdot \frac{\partial q_{2}}{\partial \theta}+\cdots+\frac{\partial \theta_{1}}{\partial q_{s}} \cdot \frac{\partial q_{s}}{\partial \theta}=0 \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial \theta_{s-1}}{\partial q_{s}} \cdot \frac{\partial q_{s}}{\partial \theta}=0
\end{array}
\]

введём обозначение
\[
\phi=\sum \pm \frac{\partial \theta}{\partial q_{1}} \cdot \frac{\partial \theta_{1}}{\partial q_{2}} \ldots \frac{\partial \theta_{s-1}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial\left(\theta, \theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{s-1}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{s}\right)} ;
\]

будем, кроме того, под $\Phi_{\circ}$ подразумевать адъюнкту последнего определителя, соответствующую элементу $\frac{\partial \theta}{\partial q_{g}}$, т. е. пусть
\[
\Psi_{\sigma}=\frac{\partial \psi}{\partial \frac{\partial \theta}{\partial q_{\sigma}}}
\]

тогда мы сможем написать:
\[
\frac{\partial q_{a}}{\partial \theta}=\frac{\psi_{0}}{\psi} .
\]

Подобным же образом из $s$ уравнений
\[
\begin{array}{l}
\sum_{0=1}^{s} \frac{\partial \theta}{\partial q_{\sigma}} \cdot \frac{\partial q_{0}}{\partial \theta_{\pi}}=0, \sum_{a=1}^{s} \frac{\partial \theta_{1}}{\partial q_{\sigma}} \cdot \frac{\partial q_{0}}{\partial \theta_{\pi}}=0, \cdots \\
\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial \theta_{\pi}}{\partial q_{0}} \cdot \frac{\partial q_{0}}{\partial \theta_{z}}=1, \ldots, \sum_{a=1}^{s} \frac{\partial \theta_{s-1}}{\partial q_{\sigma}} \cdot \frac{\partial q_{0}}{\partial \theta_{s-1}}=0
\end{array}
\]

мы найдём:
\[
\frac{\partial q_{0}}{\partial \theta_{\pi}}=\frac{1}{\psi} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial \frac{\partial \theta_{\pi}}{\partial q_{0}}}
\]

Рассматривая $q_{0}$ как функцию от $\theta$ и $\theta_{\pi}$, мы можем написать:
\[
\dot{q}_{\mathrm{a}}=\frac{d q_{0}}{d t}=\frac{\partial q_{0}}{\partial \theta} \cdot \frac{d \theta}{d t}+\sum_{\pi=1}^{s-1} \frac{\partial q_{0}}{\partial \theta_{\pi}} \cdot \frac{d \theta_{\pi}}{d t} .
\]

Следовательно, в силу равенств (44.22) и (44.24) мы получим:
\[
\ddot{q}_{\sigma}=2(U+h) \frac{\partial q_{2}}{\partial \theta} .
\]

Подставив найденные отсюда значения производных $\frac{\partial q_{0}}{\partial \theta}$ в выражение (44.27), мы найдём:
\[
B=\frac{1}{4(U+h)^{2}} \sum_{\sigma=1, p=1}^{s, s} a_{\sigma \rho} \dot{q}_{\sigma} \dot{q}_{\rho}=\frac{T\left(\dot{q}_{0}\right)}{2(U+h)^{2}} .
\]

Примем во внимание интеграл энергии
\[
T\left(\dot{q}_{\sigma}\right)=U+h ;
\]

тогда предыдущее равенство можно будет преобразовать так:
\[
B=\frac{1}{2(U+h)} .
\]

Подобным же образом подставим выражение (44.33) в равенство (44.28); приняв во внимание формулы (44.21) и (44.17), мы получим:
\[
\begin{aligned}
B_{\pi}=\frac{1}{2(U+h)} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta_{\pi}} \sum_{\rho=1}^{s} a_{\sigma \rho} \dot{q}_{\rho} & =\frac{1}{2(U+h)} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta_{\pi}} p_{\sigma}= \\
& =\frac{1}{2(U+h)} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial \theta}{\partial q_{\sigma}} \cdot \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta_{\pi}}=0 .
\end{aligned}
\]

Таким образом, вместо выражения (44.13) мы по формуле (44.26) найдём:
\[
S=\int_{\theta^{(0)}}^{\theta^{(1)}} \sqrt{d 6^{2}+\Phi^{2}\left(d b_{\mathrm{n}}\right)} ;
\]

здесь пределы интеграла $\theta^{(0)}$ и $\theta^{(1)}$ являются значениями функции $\theta$ для положений $A_{0}$ и $A_{1}$, а
\[
\Phi^{2}\left(d \theta_{\pi}\right)=2(U+h) \cdot \sum_{0=1, \pi=1}^{s-1, s-1} B_{\pi 0} d \theta_{0} d \theta_{\pi} .
\]

Эта квадратичная дифференциальная форма согласно равенству (44.26) всегда имеет неотрицательное значение, причём может обратиться в нуль лишь тогда, когда все $d \theta_{\pi}$ нули.

Сравним теперь значение $S$ действия (44.34) по прямому пути со значением $S_{1}$ действия по окольному пути. Для прямого пути функции $\theta_{x}$ остаются постоянными; следовательно, $\Phi^{2}=0$, а потому
\[
S=\theta^{(1)}-\theta^{(0)} .
\]

Для окольного же пути по крайней мере одна из функций $\theta_{\pi}$ непостоянна, и, следовательно,
\[
S_{1}=\int_{\theta^{(0)}}^{\theta^{(1)}} \sqrt{d \overline{\theta^{2}+\Phi^{2}\left(d \theta_{\pi}\right)}}>\int_{\theta^{(0)}}^{\theta^{(1)}} d \theta,
\]
т. е.
\[
S_{1}>S,
\]

что мы. и желали получить.
Прежде чем итти дальше, припомним одно предложение из теории функциональных определителей. Пусть какие-лйбо $s$ величин $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ определяются из $s$ уравнений
\[
y_{1}=C_{1}, y_{2}=C_{2}, \ldots, y_{s}=C_{s},
\]

где $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{s}$ — данные постоянные, а $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}$ — некоторые функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$. Вообще говоря, из уравнений (44.35) для каждого $x_{0}$ мы найдем несколько различных значений. Пусть некоторые из этих значений становятся равными, т. е. пусть уравнения (44.35) имеют кратные корни. Тогда уравнениям этим будут удовлетворять не только величины $x_{0}$, но и $x_{\sigma}+\delta x_{0}$, где $\delta x_{0}$-бесконечно малые величины; а для этого необходимо. чтобы соблюдались равенства:
\[
\sum_{s=1}^{s} \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{0}} \delta x_{\sigma}=0, \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{0}} \delta x_{0}=0, \ldots, \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial y_{s}}{\partial x_{0}} \delta x_{\sigma}=0,
\]
т. е. чтобы определитель
\[
\frac{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)}
\]

равнялся нулю для соответственных значений $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$. Наше заключение справедливо и для того случая, когда не все корни уравнений (44.35) становятся кратными, а только некоторые, так как из равенств (44.36) не вытекает обращение в нуль выражения (44.37) только тогда, если все $\delta x_{0}$ равны нулю, т. е. все корни простые. Само собою разумеется, ‘то обращение в нуль опеделителя, обратного определителю (44.37), т. е.
\[
\frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)},
\]

служит признаком того, что система $s$ уравнений относительно $y_{\sigma}$, а именно:
\[
x_{\rho}=\text { const. }=\gamma_{\rho} \quad(\rho=1,2, \ldots, s),
\]

имеет кратные корни. Произведение определителей (44.37) и (44.38) равно единице; следовательно, обращение в нуль одного из них влечёт за собой обращение в бесконечность другого и наоборот.

Возвращаясь снова к равенству (44.34), вспомним, что заклютение о минимальности действия было получено для случая, когда переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$ можно заменить переменными $\theta_{1} \theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{s-1}$. Наши соображения теряют своё знатение, если указанная замена одних персменных другими невыполнима для всех значений переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$, которые встречаются по пути интеграла (44.34), т. е. если для некоторых мест, лежащих на прямом пути, производные $\frac{\partial q_{\sigma}}{\partial \theta}$ и $\frac{\partial q_{\sigma}}{\partial 0_{\pi}}$ перестают существовать, т. е. обращаются в’ бесконечность или принимают неопределённый вид. Из уравнений (44.29), (44.31) и (44.32) мы видим, что названное обстоятельство будет иметь место лишь в том случае, когда определитель $\psi$ становится нулём, бесконечностью или неопределённостью.

Рассмотрим сперва случай, когда $\$$ обращается в нуль. Чтобы раскрыть геометрический смысл указанного обстоятельства, представим определитель $\$$ в особой форме. С этой целью заметим, что из уравнениї прямого пути системы (44.23) вытекают следующие дифференциаль-

ные равенства:
\[
\frac{\partial \theta_{\pi}}{\partial q_{1}} d q_{1}+\frac{\partial \theta_{\pi}}{\partial q_{2}} d q_{2}+\ldots+\frac{\partial \theta_{\pi}}{\partial q_{s}} d q_{s}=0 \quad(\pi=1,2, \ldots, s-1) .
\]

Отсюда, пользуясь прежними обозначениями $\psi_{0}$ для адъюнкт определителя (44.29), мы выводим:
\[
\frac{d q_{1}}{\psi_{1}}=\frac{d q_{2}}{\phi_{2}} \ldots=\frac{d q_{s}}{\psi_{s}} .
\]

Умножим члены каждого из этих отношений соответственно на $\frac{\partial \theta}{\partial q_{1}}, \frac{\partial \theta}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial \theta}{\partial q_{s}}$ и возьмемм отношение суммы предыдущих членов к сумме последующих; в знаменателе тогда будет стоять выражение, представляющее разложение определятеля (44.29) по элементам первой строки, и мы найдегм:
\[
\frac{d q_{0}}{\psi_{0}}=\frac{\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial \theta}{\partial q_{\rho}} d q_{\rho}}{\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial \theta}{\partial q_{0}} \phi_{0}}=\frac{d \theta}{\psi} \quad(\sigma=1,2 \ldots, s) .
\]

Значения дифференциалов $d q_{0}$ из этих уравнений подставим в равенство
\[
2 T d t^{2}=\sum_{\rho=1, \rho=1}^{s_{1},} a_{\sigma \rho} d q_{\sigma} d q_{\rho}
\]

ислользовав обозначение (44.19), мы получим:
\[
2 T d t^{2}=\frac{d^{2}}{\psi^{2}} 2 T\left(\psi_{0}\right) .
\]

Но согласно равенству (44.22) мы имеем
\[
\frac{d \theta}{d t}=2(U+h)=27 ;
\]

на этом основании предыдущее равенство перепишется так:
\[
\psi^{2}=4(U+h) \cdot T\left(\phi_{0}\right) .
\]

Отсюда мы выводим, что если $\phi=0$, то или $U+h=0$, или все $\phi_{\circ}$ обращаются в нуль. Первое условие указывает на те положения системы, в которых она находится в мгновенном покое, ибо из равенства
\[
T\left(\dot{q}_{0}\right)=U+h=0
\]

следует, что для названных положений все скорости $\dot{q}_{0}$ — нули. Второе условие отмечает особые места прямых путей системы, как это и видно из уравнений (44.39).

Перейдём ко второму случаю: пусть ‡ обращается в бесконечность. Тогда определитель, обратный $\psi$, т. е.
\[
\frac{\partial\left(q_{1}, q_{3}, \ldots, q_{s}\right)}{\partial\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{s-1}\right)}
\]

станет пулём. Как.мы видели выше, указанное обстоятельство служит условием того, что некоторое положение $A$ на прямом пути представляет собою место разветвления функций $\theta$ и $\theta_{\pi}$ : действительно, если мы составим уравнения для нахождения значений $\theta$ и $\theta_{\pi}$ по значениям $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$, то для значений кофрдинат, отвечающих конечному положению $A_{1}$ системы, уравнения эти будут иметь кратные корңи. Заметим, однако, что обращение в бесконечность производной от характеристической функции $\theta$ влечёт за собой согласно формуле (44.41) обращение в бесконечность функции $U+h$. Следовательно, места развствления характеристической функции совпадают с полюсами функции $U+h$. Местами же разветвления функций $\theta_{\pi}$ служат такие конечные положения $A_{1}$, для которых по крайней мере два значения какой-либо функции $\theta_{\pi}$, скажем $\theta \underset{\text { (1) }}{\text { (1) }} \theta_{\pi}^{(2)}$, становятся равными. Но ведь число комбинаций различных значений $\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{s-1}$, соответстующих заданному положению $A_{1}$, определяет собою число прямых путей, ведуцих нз $A_{0}$ в $A_{1}$; поэтому, если некоторые из названных значений становятся равными, то соответствующие им прямые пути сольются. А тогда положения $A_{0}$ и $A_{1}$ станут взаимными кинетическими фокусами, т. е. такими положениями, между которыми гроходят по крайней мере два бесконечно близких прямых пуги ( $§ 201$ ).

Наконец, если $\psi$ принимает неопрелелённый вид, то это обстоятельство согпасно формуле (44.41) соответствует такому положению, для которого или функция $U+h$, или адъюнкты $\psi_{0}$ становятся неопределёнными, т. е. соответствует или особым местам функции $U+h$, или в силу уравнений (44.39) особым местам прямого пути. Разбирать тот исключительный случай, когда в равенствах (44.31) одна или несколько апъюнкт $\psi_{\circ}$ обращаются в $\infty$ или $\frac{0}{0}$, а сам определитель $\Psi$ сохраняет конечное значение, отличное от нуля, нет необходимости. В самом деле, из формулы (44.31) мы видим, что обращение в $\frac{0}{0}$ одной какойлибо адъюнкты $\psi_{\sigma}$ или влечёт за собой обращение в $\frac{0}{0}$ всех вообще $\psi_{\sigma}$, или даёт неопределённое отношение дифференциалов и, следовательно, указывает на особое место пути. Обращение одной какой-либо адъюнкты $\Psi_{0}$ в $\infty$ или влечёт за собой обращение всех $\Psi_{0}$ в $\infty$, или требует обращения в нуль некоторых дифференциалов $d q_{\sigma^{*}}$ В Воследнем случае некоторые интегралы уравнения движения имеют вид $q_{0}=$ const.; выбором новой системы координат этого обстоятельства всегда можно избегнуть. Если же все $\Psi_{0}$ обращаются в $\frac{0}{0}$ или $\infty$, то определитель $\Psi$ может сохранить своё конечное значение лишь тогда, когда все элементы, соответствующие адъюнктам $\psi_{0}$, т. е. все $\frac{\partial \theta}{\partial q_{\sigma}}$, становятся нулями, что возможно лишь для места, служащего согласно равенству (44.22) нулём функции $U+h$. Таким образом, указанный исключительный случай нового ничего не даёт.

Итак, за интегралом $S$ сохраняется свойство быть минимумом, если конечное положение настолько близко к начальному, что путь между

ними (включая начальное и конечнде положения): 1) не имеет особых мест, 2) не проходит через нули, полюсы и особые места функции $U+h$ и 3) не содержит ни одного кинетического фокуса, сопряжённого с начальным положением $A_{0}$.

Пример 138. Обратимся снова к движению весомой материальной частицы единичной массы в вертикальной плоскости, рассмотренному нами в примере 128 на стр. 449 , примере 132 на стр. 458 и примере 137 на стр. 479 . Для указанной частицы мы имеевм:
\[
U+h=-g z+h .
\]

Нули этой функции лежат на прямой
\[
z=\frac{h}{g},
\]
a полюсы находятся на бесконечности. Особых точек траектории, как кривые второго порядка, не имеют. Найдём геометрическое место кинетических фокусог, сопряжённых с началом координат. Для этого возьмём уравнения (44.11) или (44.10), изображающие пучок траекторий, и станем искать условие кратности корней $c_{1}$ или $b_{1}$. Мы получим уравнение параболы
\[
z=-\frac{g y^{2}}{4 h}-\frac{h}{g} .
\]

Әта парабола является обвёрткой траекторий (17.1) на стр. 154. Прямую $y=0$, которая также служит геометрическим местом кинетических фокусов, сопряжённых с началом координат, мы исключаем из рассмотрения, потому что частица, двигаясь по вертикальной прямой, дойдет до фокуса, только пройдя положение, лежащее на прямой (44.42′ Прямая (44.42) касается параболы (44.43) в её вершине.

Пример 139. Рассмотрим ещё плоское движение частицы, притягиваемой началом координат по закону Ньютона. Если масса частицы равна единице, то согласно сказанному в примере 131 на стр. 454 характеристическая функция в полярных координатах $\rho$, найдётся как полный интеграл уравнения
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial \rho}\right)^{2}+\frac{1}{\rho^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^{2}=\frac{2 k^{2}}{\rho}+2 h ;
\]

отсюда согласно обозначениям, принятым в настоящем параграфе, мы получим:
\[
0=\int d \rho \sqrt{\frac{2 k^{2}}{\rho}+2 h-\frac{2 b_{1}}{\rho^{2}}}+\sqrt{2 b_{1}} \cdot \varphi .
\]

Уравнение траектории будет
\[
\begin{aligned}
0_{1}=c_{1} & =-\int \frac{d \rho}{\rho^{2}} \frac{1}{\sqrt{\frac{2 k^{2}}{\rho}+2 h-\frac{2 b_{1}}{\rho^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{2 b_{1}}} \cdot \varphi= \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 b_{1}}} \arccos \frac{1}{\sqrt{4 h b_{1}+k^{4}}}\left(\frac{2 b_{1}}{\rho}-k^{2}\right)+\frac{\varphi}{\sqrt{2 b_{1}}} .
\end{aligned}
\]

Пусть в начальном положении $\rho=\rho_{0}, \varphi=0$; тогда для определения постоянной $b_{1}$ как функции от координат, отвечающих конечному положению, мы получим уравнение
\[
\arccos \frac{1}{\sqrt{4 h b_{1}+k^{4}}}\left(\frac{2 b_{1}}{\rho}-k^{2}\right)+\varphi=\arccos \frac{1}{\sqrt{4 h b_{1}+k^{4}}}\left(\frac{2 b_{1}}{\rho_{0}}-k^{2}\right),
\]

или, после упрощений,
\[
\begin{aligned}
4 b_{1}^{2}\left(\frac{1}{\rho^{2}}+\frac{1}{\rho_{0}^{2}}-\frac{2 \cos \varphi}{\rho \rho_{0}}\right)-4 b_{\mathrm{i}}\left[h(1+\cos \varphi)+k^{2}\left(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho_{0}}\right)\right] & (1-\cos \varphi)+ \\
+k^{4}(1-\cos \varphi)^{2} & =0 .
\end{aligned}
\]

Геометрическим местом нулей функции $U+h$ служит окружность
\[
\rho=-\frac{k^{2}}{h} \text {. }
\]

Полюс функции $U+h$ лежит в началє координат. Геометрическое место кинетических фокусов, сопряжёных с положением ( $\left.\rho_{0}, 0\right)$, мы найде м, определив условие кратности корней уравнения (44.44); таким образом, мы получим кривую
\[
\rho=\frac{-\frac{2 k^{2}}{h} \cdot \frac{h+\frac{k^{2}}{\rho_{0}}}{h+\frac{2 k^{2}}{\rho_{0}}}}{1+\frac{h}{h+\frac{2 k^{2}}{\rho_{0}}} \cos \varphi} .
\]

Это — эллипс, один из фокусов которого лежит в начале координат, а другой в точке $\left(p_{0}, 0\right)$. Прямую $\varphi=0$ или $\varphi=\pi$ мы не принимаем в расчёт по причинам, аналогичным той, которая изложена в предыдущем примере.

Фиг. 135 иллюстрирует рассматриваемое движение для случая $h<0$. Притягивающий центр находится в точке $O$, начальным положением частицы служит точка $P_{0}$. Окружность $D_{1} A D_{2} B$ является геометрическим местом нулей функции $U+h$. Радиус этой окружности равен
\[
O A=-\frac{k^{2}}{h}=2 a,
\]

где $a$ — длина большой полуоси всех траекторий, входящих в состав рассматриваемого пучка (§ 112). Отсюда ясно, что rеометрическим местом фокусов траекторий служит окружность $A F_{1} F_{2}$, имеющая центр в точке $P_{0}$ и радиус, равный $P_{0} A$. Геометрическим местом кинетических фокусов, сопряжённых с точкою $P_{0}$, является эллипс $A Q C$, выражаемый уравнением (44.45). Пусть конечное положение частицы есть точка $P$. Опишем из этой точки как центра окружность радиусом, равным $P B$. Точки $F_{1}$ и $F_{2}$ пересечения этой окружности с окружностью $A F_{1} F_{2}$ будут фокусами тех двух эллиптических траекторий $P_{0} E_{1} P$ и $P_{0} E_{2} P$, что соединяют точки $P_{0}$ и $P$. Точка $Q$ касания эллипса $P_{0} E_{2} P$ с эллипсом $A Q C$ будет кинетическим фокусом, сопряжёным с точкой $P_{0}$. Следовательно, действие по пути $P_{0} E_{1} P$ будет минимальным, а действие по пути $P_{0} E_{2} P$ этим свойством уже обладать не будет.

Кривые $A T_{1} P_{0} T_{2}$ и $O R_{1} C R_{2}$ соответственно представляют собой геометрические места афелиев и перигелиев, т. е. концов больших осей траектории. $И_{\text {и очень }}$ легко получить графически. С этою целью начало $O$ соединяем с какою-либо точкою $F_{1}$ окружности $A F_{1} F_{2}$ и полученную прямую $O F_{1}$ продолжаем до встречи с окружностью $D_{1} A D_{2} B$ в точке $D_{1}$. Отрезок $D_{2} F_{1}$ делим пополам в точке $K_{1}$ и откладываем $O R_{1}=F_{1} K_{1}$. Точки $K_{1}$ и $R_{1}$ лежат на искомых геометрических местах.