247. Поверхности равного действия. Теорема лорда Кельвина. Рассмотрим движение свободной материальной частицы под действием сил, имеющих силовую функцию, и составим для этого движения характеристическую функцию $S$. Если движение отнесено к декартовым координатам, то функция $S$ найдётся как полный интеграл уравнения (42.40) на стр. 457 , которое в настоящем случае будет иметь вид
$$\frac{1}{2m}\{{\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)}^2\}=U+h;$$

здесь $m$ — масса частицы, $U$ — силовая функция, $h$ — начальная энергия. Полный интеграл написанного. уравнения будет содержать в себе две произвольные постоянные $b_1,b_2$, кроме аддитивной.
Уравнения
$$\frac{\partial S}{\partial b_1}=c_1,\frac{\partial S}{\partial b_2}=c_2,$$

где $c_1,c_2$ — новые произвольные постоянные, представляют собой интегралы уравнений движения; в настоящем стучае равенства (44.1) служат уравнениями тех двух поверхностей, пересечение которых дает траекторию частищы.

Дадим постоянным $b_1,b_2$ какие-либо частные значения; тогда уравнения (44.1); при переменных $c_1$ и $c_2$, определят некоторую конгруэнцию траекторий. Под конгруэнцией разумеется семейттво кривых, зависящее от двух произвольных параметров; гаким образом, через каждую точку пространства, вообще говоря, проходит одна или несколько, но конечное число кривых конгруэнции. В частном случае, когда значения постоянных $b_1$ и $b_2$ определены из того условия, чго все траектории (44.1) проходят через произвольно выбранную нами постоянную точку $m_0(x_0,y_0,z_0)$,

упомянутое выше семейство траекторий называется пучком траекторий, выходящих из этой точки $m_0$.
Уравнение
$$S=C$$

при произвольном значении параметра $C$ определяет семейство некоторых поверхностей, носящих название поверхностей равного действия. В самом деле, если, например, для частного случая пучка траекторий к левой части уравнения (44.2) прибавить такую постоянную, чтобы для точки $m_0$ параметр $C$ принимал значение 0 , то для всякой другой точки значение $C$ будет равняться величине лагранжева действия по пути, соединяющему $m_0$ со взятою точкою.

Равенства (42.39) на стр. 457 для декартовых координат принимают вид
$$\frac{\partial S}{\partial x}=m\dot{x},\frac{\partial S}{\partial y}=m\dot{y},\frac{\partial S}{\partial z}=m\dot{z}.$$

Из них вытекает соотношение
$$\frac{\partial S}{\partial x}:\frac{\partial S}{\partial y}:\frac{\partial S}{\partial z}=\dot{x}:\dot{y}:\dot{z}=\cos (\widehat{x,v}):\cos (\widehat{y,v}):\cos (\widehat{z,v}),$$

где через $\mathit{v}$ обозначена скорость движущейся частицы в том месте, где её траектория встречает взятую поверхность равного действия. Так как вектор $\mathit{v}$ направлен по касательной к траектории, то из равенства (43.4) мы выводим, что семейство поверхностей равного действия (44.2) ортогонально к соответственной конгруэнции траекторий (44.1). В криволинейных координатах равенство (44.4) и, следовательно, условие ортогональности согласно формуле (42.44) на стр. 457 выражается так:
$$\frac{\partial S}{\partial q_1}:\frac{\partial S}{\partial q_2}:\frac{\partial S}{\partial q_3}=p_1:p_2:p_3.$$

Нетрудно заметить, что всё вышеизложенное представляет собою в сущности повторение сказанного в § 108: для эгого нужно лишь обратить внимание на то, что согласно равенству (44.3) скорость $\mathit{v}$ служит градиентом функции точки $\frac{1}{m}S(x,y,z,b_1,b_2)$, т. е.
$$\mathit{v}=\mathrm{grad}\frac{S(x,y,z,b_1,b_2)}{m}.$$

Изложенная нами геометрическая интерпретация равенств (44.5) носит название теоремы лорда Кельвина (Kelvin). Она может быть распространена на произвольное число координат, если ввести в рассмотрение соответствующее многомерное пространство. Пусть положение какой-либо консервативной системы определяется $s$ координатами $q_1,q_2,\dots ,q_s$; составим характеристическую функшию $S$ для движения этой системы. Функция $S$ служит полным интегралом уравнения (42.40) на стр. 457 и содержит в себе $s-1$ произвольных гюстоянных $b_1,b_2,\dots b_{s-1}$, кроме аддитивной. Система равенств
$$\frac{\partial S}{\partial b_1}=c_1,\frac{\partial S}{\partial b_2}=c_2,\dots ,\frac{\partial S}{\partial b_{s-1}}=c_{s-1},$$

где $c_1,c_2,\dots ,c_{q-1}$ — новые произвольные постоянные, представляет собой совокупность интегралов уравнений движения для данной системы. Примем, чго совокупность координат $q_1,q_2,\dots ,q_s$ определяет собой пюложе. ние точки в пространстве $s$ измөрений. Тогда, если произвольным параметрам $b_1,b_2,\dots ,b_{s-1}$ мы дадим какие-либо частные значения, то система равенств (44.6) представит семейство одномерных многообразий (т. е. линий) в этом пространстве $s$ измерений. Система многообразий (44.6), т. е. траекторий системы, опять будет конгруэнцией, так как через каждую точку $(q_1,q_2,\dots ,q_s)$ рассматриваемого многомерного пространства пройдёт, вообще говоря, одна или несколько, но во всяком случае конечное число траекторий. Станем одновременно с конгруэнцией (44.6) рассматривать семейство многообразий $s-1$ измерений
$$S(q_1,q_2,\dots ,q_s,b_1,b_2,\dots ,b_{s-1})=C,$$

гле $C$ — произвольный параметр; соотношение (42.44) на стр. 457 , а именно:
$$\frac{\partial S}{\partial q_1}:\frac{\partial S}{\partial q_2}:\dots :\frac{\partial S}{\partial q_s}=p_1:p_2:\dots :p_s,$$

показывает, что конгруэнния траекторий ортогональна к семейству (44.7) многообразий равного действия.

Пример 137. В примере 128 на стр. 449 и примере 132 на стр. 458 мы рассматривали движение весомой материальной частипы единичной массы в вертикальной плоскости Oyz. Для характеристической функции мы нашли выражение (42.66), а именно:
$$S=b_0+b_{1}y+\frac{2\sqrt{2g}}{3}{(-z+\frac{2h-b_1^2}{2g})}^{3/3}.$$

Уравнение семейства траекторий будет следующее:
$$\frac{\partial S}{\partial b_1}=y-b_1\sqrt{\frac{2}{g}}\sqrt{-z+\frac{2h-b_1^2}{2g}}=c_1,$$

илн
$$z-\frac{2h-b_1^2}{2g}=-\frac{g}{2b_1^2}{(y-c_1)}^2,$$
т. е. это булет семейство парабол. Система кривых равного действия (44.2) представится в нашем случае следующим уравнением:
$$\frac{8g}{9}{(z-\frac{2h-b_1^2}{2g})}^3=-{(C-b_{1}y)}^2;$$

как видим, это — семейство полукубических парабол, ортогональное к выше найденному семейству граекторий.

В найденных уравнениях $b_1$ имеет некоторое фиксированное частное значение, а $C$ и $c_1$ являются произвольными параметрами. Для $b_1=0$ обе группы кривых обрашаются в семейства прямых, пвраллельных осям координат. Выберем теперь параметр $b_1$ так, чтобы все траектории выходиди из начала координат; тorда, опираясь на формулу (42.53) на стр. 458 , мы получим следующее уравнение семейства линий равного действия:
$${[2h-gz+g\sqrt{y^2+z^2}]}^{3/2}\pm {[2h-gz-g\sqrt{y^2+z^2}]}^{3/2}=C.$$

Найдём уравнение соответственного пучка траекторий. Из формулы (44.8) видно, что если траектория проходит через начало координат, то постоянная $b_1$ связана с коодинатами $y,z$ некоторой ее точки следующим уравнением:
$$y-b_1\sqrt{\frac{2}{g}}\sqrt{-z+\frac{2h-b_1^2}{2g}}=-b_1\sqrt{\frac{2}{g}}\sqrt{\frac{2h-b_1^2}{2g}}.$$

Отсюда мы находим:
$$4b_1^4(y^2+z^2)-4b_1^2{y}^2(2h-gz)+g^2{y}^4=0,$$

или
$$g{y}^2+2b_1^{2}z=\pm 2y{b}_1\sqrt{2h-b_1^2}.$$

Но из гого же равенства (44.8) следует
$$c_1=-b_1\sqrt{\frac{\bar{2}}{g}}\sqrt{\frac{2h-b_1^2}{2g}};$$

отсюда мы получаем:
$$b_1^2=h\pm \sqrt{h^2-g^2{c}_1^2}.$$

Подставив это значение $b_1$ в уравнение (44.10), мы найдём уравнение пучка траекторий
$$g{y}^2+2z(h\pm \sqrt{h^2-g^2{c}_1^2})=\pm 2g{c}_{1}y.$$

Равенство (44.10) является также уравнением пучка траекторий, проходящих через начало координат, но только с другим переменным параметром $b_1$.
248. Минимум лагранжева действия. Положим, что координатами консервативной системы с $s$ степенями свободы служат величины $q_1,q_2,\dots ,q_5$; силовую функцию обозначим червз $U$, кинетическую энергиючерез $T$ и начальную энергию-через $h$. Вьберем два каких-либо положения системы: одно начальное $A_0$, другое конечное $A_1$. Тогда действием по Лагранжу ( $\mathrm{\S }202$ ) называегся интеграл
$$S={\int }_{\left(A_0\right)}^{\left(A_1\right)}2Tdt$$

взятый по пути, ведущему от положения $A_0$ в $A_1$. Согласно формулам (35.12) на стр. 365 и (35.9) на стр. 364 , написанный интеграл может быть представлен в форме
$$S=2{\int }_{q_{10}}^{q_1}\sqrt{G(U+h)}d{q}_1.$$

Здесь переменной интеграции служит та координата $q_1$, которую мы условились считать за независимую; кинетическая энергия $T$ и функция $G$ имеют выражения
$$\begin{array}{l}T=\frac{1}{2}\sum _{\sigma =1,p=1}^{s,s}{a}_{op}{\dot{q}}_{\sigma }{\dot{q}}_{\rho },\\ G=\frac{1}{2}\sum _{\sigma =1,\sigma =p}^{s,s}{a}_{\sigma \rho }{q}_{\sigma }^{\prime }{q}_{\rho }^{\prime },\end{array}$$

причём символами $q_0^{\prime }$ обозначены производные $\frac{d{q}_0}{d{q}_1}$, так что в частном случае при $\sigma =1$ мы имеем $q_1^{\prime }=1$. Величины $q_{10}$ и $q_{11}$ представляют собой значения независимой переменной $q_1$ для начального и конечного положений $A_0$ и $A_1$.

Сравнивая значение интеграла $S$, взятого по прямому пути между $A_0$ и $A_1$ (§200), со значениями того же интеграла, но взятого по какомулибо окольному пути, идущему между теми же положениями и проходимому системой с той же начальной энергией $h$, мы убедилисьь, что первая вариация интеграла $S$ для прямого пути обращается в нуль (§202). Теперь же, пользуясь результатами предыдущих глав, мы пойдём дальше и покажем, что значение интеграла (44.13) для прямого пути служит минимумом по отношению к значениям его для смежных, окольных путей, если только положения $A_0$ и $A_1$ не удалены друг от друга далее известного предела.

Характеристическая функция $\mathcal{S}$ для рассматриваемого движения служит интегралом уравнения (42.40) на стр. 457 , т. е. уравнения
$$H=h\text{, }$$

причём в левой части здесь импульсы $p_{\text{o }}$ исключены с помощью равенств
$$p_{\sigma }=\frac{\partial S}{\partial q_{\sigma }}.$$

Согласно формуле (33.24) на.стр. 347 уравнение (44.16) можно переписать так:
$$\hat{T}\left(\frac{\partial S}{\partial q_{\sigma }}\right)=U+h.$$

Здесь под символом $\hat{T}\left(\frac{\partial S}{\partial q_0}\right)$ мы условимтя подразумевать союзное выражение кинетической энергии $T\left(p_0\right)$, куда по формуле (44.17) вместо импульсов подставлены производные $\frac{\partial S}{\partial q_0}$. Подобным образом через $T\left({\omega }_{\sigma }\right)$ мы будем обозначать выражение для кинетической энергии системы $T\left({\dot{q}}_{\mathrm{q}}\right)$, если туда вместо скоростей ${\dot{q}}_{\circ }$ подставлены какие-либо другие аргументы ${\omega }_{\circ }$, т. е. в соответствии с формулой (44.14) мы будем писать
$$T\left({\omega }_{\sigma }\right)=\frac{1}{2}\sum _{\sigma =1,\rho =1}^{s,s}{a}_{\sigma \rho }{\omega }_{\sigma }{\omega }_{\rho };$$

при этом надо помнить, что по свойству кинетической энергии функция $T\left({\omega }_{\sigma }\right)$ может быть нулём только тогда, когда все аргументы ${\omega }_0$ стали нулями. В рассматриваемом нами случае кинетическая энергия $T$ является однородной функцией второй степени относительно скоростей; следовательно, по теореме Эйлера об однородных функциях мы имеем
$$\sum _{\sigma =1}^s\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{\sigma }}{\dot{q}}_{\sigma }=\sum _{\sigma =1}^s{\mathit{p}}_{\sigma }{\dot{q}}_{\sigma }=2T\left({\dot{q}}_{\sigma }\right)=2\hat{T}\left(p_{\sigma }\right).$$

Скорости связаны с импульсами уравнениями (33.3) на стр. 339 , причём свободные члены $a_a$ в этих уравнениях следует положить равными нулю, ввиду однородности функции $T$; таким образом, мы имеем:
$$p_{\mathrm{o}}=\sum _{\rho =1}^s{a}_{\sigma \rho }{\dot{q}}_{\rho }.$$

Из формул (44.20) и (44.17) мы выводим соотношение
$$2\hat{T}\left(\frac{\partial S}{\partial q_o}\right)=\sum _{s=1}^s\frac{\partial S}{\partial q_o}{\dot{q}}_o=\frac{dS}{dt};$$

согласно уравнению (44.18) мы отіюда получаем:
$$\frac{dS}{dt}=2(U+h)\text{. }$$

Обозначим через $\theta$ полный интеграл уравнения (44.18), содержащий $s-1$ произвольных постоянных $b_1,b_2,\dots ,b_{s-1}$, кроме аддитивной. Тогда по предыдушему мы получим:
$$2\hat{T}\left(\frac{\partial \theta }{\partial q_{\sigma }}\right)=\frac{d\theta }{d\overline{t}}=2(U+h).$$

Частную производную $\frac{\partial \theta }{\partial b_{\pi }}$ назовём ${\theta }_{\pi }$; напишем $s-1$ равенств
$${\theta }_{\pi }=c_{\pi }(\pi =1,2,\dots ,s-1),$$

где $c_{\pi }$ — новые постоянные; согласно формулам (42.41) на стр. 457 эти равенства будут интегралами уравнений движения рассматриваемой системы; а потому мы получм:
$$\frac{d{\theta }_{\pi }}{dt}=\sum _{\sigma =1}^s\frac{\partial {\theta }_{\pi }}{\partial q_0}{\dot{q}}_{\sigma }=0.$$

Интеграл $S$, минимум которого мы желаем рассмотреть, согласно равенствам (44.13) и (44.14) мы можем представить так:
$$S={\int }_{q_{10}}^{q_{11}}\sqrt{2(U+h)\sum _{\sigma =1,p=1}^{s,s}{a}_{\sigma p}d{q}_{,}d{q}_{\rho }}.$$

Введелм вместо переменных $q_1,q_2,\dots ,q_s$ новые переменные $\theta ,0_1,\dots ,{\theta }_{s-1}$, полагая при этом, что существуют производные $\frac{\partial q_0}{\partial \theta }$ и $\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial {\theta }_{\pi }}$; мы получим:
$$\begin{array}{l}{\sum _{0=1,\rho =1}^{s,s}{a}_{\sigma \rho }d{q}_{\alpha }d{q}_{\rho }=Bd{6}^2+\sum _{\pi =1}^{s-1}{B}_{\pi }d{6}_{\pi }d\phi +\sum _{\sigma =1,p=1}^{s-1,s-1}{B}_{\sigma \rho }d{6}_{\sigma }d)}_{\rho },\\ B=\sum _{\theta =1,p=1}^{s,s}{a}_{op}\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial \theta }\frac{\partial q_{\rho }}{\partial \theta },\\ B_{\pi }=\sum _{\sigma =1,\xi =1}^{s,s}{a}_{op}\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial {\theta }_{\pi }}\frac{\partial q_p}{\partial \theta }.\\ B=\sum _{\sigma =1,p=1}^{s,s}{a}_{op}\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial \theta }\frac{\partial q_p}{\partial \theta },\\ B_{\pi }=\sum _{\sigma =1,\xi =1}^{s,s}{a}_{o\rho }\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial {\theta }_{\pi }}\frac{\partial q_p}{\partial \theta }.\end{array}$$

где
$$\begin{array}{l}B=\sum _{\sigma =1,p=1}^{s,s}{a}_{\sigma p}\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial \theta }\frac{\partial q_p}{\partial \theta },\\ B_{\pi }=\sum _{\sigma =1,l=1}^{s,s}{a}_{op}\frac{\partial q_{\sigma }\partial q_p}{\partial {\theta }_{\pi }}\frac{\partial \theta }{\partial \theta }.\end{array}$$

Рассмотрим очевидные равенства:
$$\begin{array}{r}\frac{\partial \theta }{\partial q_1}\cdot \frac{\partial q_1}{\partial \theta }+\frac{\partial \theta }{\partial q_2}\cdot \frac{\partial q_2}{\partial \theta }+\dots +\frac{\partial \theta }{\partial q_s}\cdot \frac{\partial q_s}{\partial \theta }=1,\\ \frac{\partial {\theta }_1}{\partial q_1}\cdot \frac{\partial q_1}{\partial \theta }+\frac{\partial {\theta }_1}{\partial q_2}\cdot \frac{\partial q_2}{\partial \theta }+\cdots +\frac{\partial {\theta }_1}{\partial q_s}\cdot \frac{\partial q_s}{\partial \theta }=0\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial {\theta }_{s-1}}{\partial q_s}\cdot \frac{\partial q_s}{\partial \theta }=0\end{array}$$

введём обозначение
$$\varphi =\sum \pm \frac{\partial \theta }{\partial q_1}\cdot \frac{\partial {\theta }_1}{\partial q_2}\dots \frac{\partial {\theta }_{s-1}}{\partial q_s}=\frac{\partial (\theta ,{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_{s-1})}{\partial (q_1,q_2,q_3,\dots ,q_s)};$$

будем, кроме того, под ${\mathrm{\Phi }}_{\circ }$ подразумевать адъюнкту последнего определителя, соответствующую элементу $\frac{\partial \theta }{\partial q_g}$, т. е. пусть
$${\mathrm{\Psi }}_{\sigma }=\frac{\partial \psi }{\partial \frac{\partial \theta }{\partial q_{\sigma }}}$$

тогда мы сможем написать:
$$\frac{\partial q_a}{\partial \theta }=\frac{{\psi }_0}{\psi }.$$

Подобным же образом из $s$ уравнений
$$\begin{array}{l}\sum _{0=1}^s\frac{\partial \theta }{\partial q_{\sigma }}\cdot \frac{\partial q_0}{\partial {\theta }_{\pi }}=0,\sum _{a=1}^s\frac{\partial {\theta }_1}{\partial q_{\sigma }}\cdot \frac{\partial q_0}{\partial {\theta }_{\pi }}=0,\cdots \\ \sum _{\sigma =1}^s\frac{\partial {\theta }_{\pi }}{\partial q_0}\cdot \frac{\partial q_0}{\partial {\theta }_z}=1,\dots ,\sum _{a=1}^s\frac{\partial {\theta }_{s-1}}{\partial q_{\sigma }}\cdot \frac{\partial q_0}{\partial {\theta }_{s-1}}=0\end{array}$$

мы найдём:
$$\frac{\partial q_0}{\partial {\theta }_{\pi }}=\frac{1}{\psi }\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial \frac{\partial {\theta }_{\pi }}{\partial q_0}}$$

Рассматривая $q_0$ как функцию от $\theta$ и ${\theta }_{\pi }$, мы можем написать:
$${\dot{q}}_{\mathrm{a}}=\frac{d{q}_0}{dt}=\frac{\partial q_0}{\partial \theta }\cdot \frac{d\theta }{dt}+\sum _{\pi =1}^{s-1}\frac{\partial q_0}{\partial {\theta }_{\pi }}\cdot \frac{d{\theta }_{\pi }}{dt}.$$

Следовательно, в силу равенств (44.22) и (44.24) мы получим:
$${\ddot{q}}_{\sigma }=2(U+h)\frac{\partial q_2}{\partial \theta }.$$

Подставив найденные отсюда значения производных $\frac{\partial q_0}{\partial \theta }$ в выражение (44.27), мы найдём:
$$B=\frac{1}{4(U+h{)}^2}\sum _{\sigma =1,p=1}^{s,s}{a}_{\sigma \rho }{\dot{q}}_{\sigma }{\dot{q}}_{\rho }=\frac{T\left({\dot{q}}_0\right)}{2(U+h{)}^2}.$$

Примем во внимание интеграл энергии
$$T\left({\dot{q}}_{\sigma }\right)=U+h;$$

тогда предыдущее равенство можно будет преобразовать так:
$$B=\frac{1}{2(U+h)}.$$

Подобным же образом подставим выражение (44.33) в равенство (44.28); приняв во внимание формулы (44.21) и (44.17), мы получим:
$$\begin{array}{rl}{B}_{\pi }=\frac{1}{2(U+h)}\sum _{\sigma =1}^s\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial {\theta }_{\pi }}\sum _{\rho =1}^s{a}_{\sigma \rho }{\dot{q}}_{\rho }& =\frac{1}{2(U+h)}\sum _{\sigma =1}^s\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial {\theta }_{\pi }}{p}_{\sigma }=\\ & =\frac{1}{2(U+h)}\sum _{\sigma =1}^s\frac{\partial \theta }{\partial q_{\sigma }}\cdot \frac{\partial q_{\sigma }}{\partial {\theta }_{\pi }}=0.\end{array}$$

Таким образом, вместо выражения (44.13) мы по формуле (44.26) найдём:
$$S={\int }_{{\theta }^{(0)}}^{{\theta }^{(1)}}\sqrt{d{6}^2+{\mathrm{\Phi }}^2\left(d{b}_{\mathrm{n}}\right)};$$

здесь пределы интеграла ${\theta }^{(0)}$ и ${\theta }^{(1)}$ являются значениями функции $\theta$ для положений $A_0$ и $A_1$, а
$${\mathrm{\Phi }}^2\left(d{\theta }_{\pi }\right)=2(U+h)\cdot \sum _{0=1,\pi =1}^{s-1,s-1}{B}_{\pi 0}d{\theta }_{0}d{\theta }_{\pi }.$$

Эта квадратичная дифференциальная форма согласно равенству (44.26) всегда имеет неотрицательное значение, причём может обратиться в нуль лишь тогда, когда все $d{\theta }_{\pi }$ нули.

Сравним теперь значение $S$ действия (44.34) по прямому пути со значением $S_1$ действия по окольному пути. Для прямого пути функции ${\theta }_x$ остаются постоянными; следовательно, ${\mathrm{\Phi }}^2=0$, а потому
$$S={\theta }^{(1)}-{\theta }^{(0)}.$$

Для окольного же пути по крайней мере одна из функций ${\theta }_{\pi }$ непостоянна, и, следовательно,
$$S_1={\int }_{{\theta }^{(0)}}^{{\theta }^{(1)}}\sqrt{d\overline{{\theta }^2+{\mathrm{\Phi }}^2\left(d{\theta }_{\pi }\right)}}>{\int }_{{\theta }^{(0)}}^{{\theta }^{(1)}}d\theta ,$$
т. е.
$$S_1>S,$$

что мы. и желали получить.
Прежде чем итти дальше, припомним одно предложение из теории функциональных определителей. Пусть какие-лйбо $s$ величин $x_1,x_2,\dots ,x_s$ определяются из $s$ уравнений
$$y_1=C_1,y_2=C_2,\dots ,y_s=C_s,$$

где $C_1,C_2,\dots ,C_s$ — данные постоянные, а $y_1,y_2,\dots ,y_s$ — некоторые функции переменных $x_1,x_2,\dots ,x_s$. Вообще говоря, из уравнений (44.35) для каждого $x_0$ мы найдем несколько различных значений. Пусть некоторые из этих значений становятся равными, т. е. пусть уравнения (44.35) имеют кратные корни. Тогда уравнениям этим будут удовлетворять не только величины $x_0$, но и $x_{\sigma }+\delta x_0$, где $\delta x_0$-бесконечно малые величины; а для этого необходимо. чтобы соблюдались равенства:
$$\sum _{s=1}^s\frac{\partial v_1}{\partial x_0}\delta x_{\sigma }=0,\sum _{\sigma =1}^s\frac{\partial y_2}{\partial x_0}\delta x_0=0,\dots ,\sum _{\sigma =1}^s\frac{\partial y_s}{\partial x_0}\delta x_{\sigma }=0,$$
т. е. чтобы определитель
$$\frac{\partial (y_1,y_2,\dots ,y_s)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_s)}$$

равнялся нулю для соответственных значений $x_1,x_2,\dots ,x_s$. Наше заключение справедливо и для того случая, когда не все корни уравнений (44.35) становятся кратными, а только некоторые, так как из равенств (44.36) не вытекает обращение в нуль выражения (44.37) только тогда, если все $\delta x_0$ равны нулю, т. е. все корни простые. Само собою разумеется, ‘то обращение в нуль опеделителя, обратного определителю (44.37), т. е.
$$\frac{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_s)}{\partial (y_1,y_2,\dots ,y_s)},$$

служит признаком того, что система $s$ уравнений относительно $y_{\sigma }$, а именно:
$$x_{\rho }=\text{ const. }={\gamma }_{\rho }(\rho =1,2,\dots ,s),$$

имеет кратные корни. Произведение определителей (44.37) и (44.38) равно единице; следовательно, обращение в нуль одного из них влечёт за собой обращение в бесконечность другого и наоборот.

Возвращаясь снова к равенству (44.34), вспомним, что заклютение о минимальности действия было получено для случая, когда переменные $q_1,q_2,\dots ,q_s$ можно заменить переменными ${\theta }_1{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_{s-1}$. Наши соображения теряют своё знатение, если указанная замена одних персменных другими невыполнима для всех значений переменных $q_1,q_2,\dots ,q_s$, которые встречаются по пути интеграла (44.34), т. е. если для некоторых мест, лежащих на прямом пути, производные $\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial \theta }$ и $\frac{\partial q_{\sigma }}{\partial 0_{\pi }}$ перестают существовать, т. е. обращаются в’ бесконечность или принимают неопределённый вид. Из уравнений (44.29), (44.31) и (44.32) мы видим, что названное обстоятельство будет иметь место лишь в том случае, когда определитель $\psi$ становится нулём, бесконечностью или неопределённостью.

Рассмотрим сперва случай, когда $\mathrm{\$}$ обращается в нуль. Чтобы раскрыть геометрический смысл указанного обстоятельства, представим определитель $\mathrm{\$}$ в особой форме. С этой целью заметим, что из уравнениї прямого пути системы (44.23) вытекают следующие дифференциаль-

ные равенства:
$$\frac{\partial {\theta }_{\pi }}{\partial q_1}d{q}_1+\frac{\partial {\theta }_{\pi }}{\partial q_2}d{q}_2+\dots +\frac{\partial {\theta }_{\pi }}{\partial q_s}d{q}_s=0(\pi =1,2,\dots ,s-1).$$

Отсюда, пользуясь прежними обозначениями ${\psi }_0$ для адъюнкт определителя (44.29), мы выводим:
$$\frac{d{q}_1}{{\psi }_1}=\frac{d{q}_2}{{\varphi }_2}\dots =\frac{d{q}_s}{{\psi }_s}.$$

Умножим члены каждого из этих отношений соответственно на $\frac{\partial \theta }{\partial q_1},\frac{\partial \theta }{\partial q_2},\dots ,\frac{\partial \theta }{\partial q_s}$ и возьмемм отношение суммы предыдущих членов к сумме последующих; в знаменателе тогда будет стоять выражение, представляющее разложение определятеля (44.29) по элементам первой строки, и мы найдегм:
$$\frac{d{q}_0}{{\psi }_0}=\frac{\sum _{\rho =1}^s\frac{\partial \theta }{\partial q_{\rho }}d{q}_{\rho }}{\sum _{\rho =1}^s\frac{\partial \theta }{\partial q_0}{\varphi }_0}=\frac{d\theta }{\psi }(\sigma =1,2\dots ,s).$$

Значения дифференциалов $d{q}_0$ из этих уравнений подставим в равенство
$$2Td{t}^2=\sum _{\rho =1,\rho =1}^{s_1,}{a}_{\sigma \rho }d{q}_{\sigma }d{q}_{\rho }$$

ислользовав обозначение (44.19), мы получим:
$$2Td{t}^2=\frac{d^2}{{\psi }^2}2T\left({\psi }_0\right).$$

Но согласно равенству (44.22) мы имеем
$$\frac{d\theta }{dt}=2(U+h)=27;$$

на этом основании предыдущее равенство перепишется так:
$${\psi }^2=4(U+h)\cdot T\left({\varphi }_0\right).$$

Отсюда мы выводим, что если $\varphi =0$, то или $U+h=0$, или все ${\varphi }_{\circ }$ обращаются в нуль. Первое условие указывает на те положения системы, в которых она находится в мгновенном покое, ибо из равенства
$$T\left({\dot{q}}_0\right)=U+h=0$$

следует, что для названных положений все скорости ${\dot{q}}_0$ — нули. Второе условие отмечает особые места прямых путей системы, как это и видно из уравнений (44.39).

Перейдём ко второму случаю: пусть ‡ обращается в бесконечность. Тогда определитель, обратный $\psi$, т. е.
$$\frac{\partial (q_1,q_3,\dots ,q_s)}{\partial ({\theta }_1,\dots ,{\theta }_{s-1})}$$

станет пулём. Как.мы видели выше, указанное обстоятельство служит условием того, что некоторое положение $A$ на прямом пути представляет собою место разветвления функций $\theta$ и ${\theta }_{\pi }$ : действительно, если мы составим уравнения для нахождения значений $\theta$ и ${\theta }_{\pi }$ по значениям $q_1,q_2,\dots ,q_s$, то для значений кофрдинат, отвечающих конечному положению $A_1$ системы, уравнения эти будут иметь кратные корңи. Заметим, однако, что обращение в бесконечность производной от характеристической функции $\theta$ влечёт за собой согласно формуле (44.41) обращение в бесконечность функции $U+h$. Следовательно, места развствления характеристической функции совпадают с полюсами функции $U+h$. Местами же разветвления функций ${\theta }_{\pi }$ служат такие конечные положения $A_1$, для которых по крайней мере два значения какой-либо функции ${\theta }_{\pi }$, скажем $\theta \underset{\text{ (1) }}{\text{ (1) }}{\theta }_{\pi }^{(2)}$, становятся равными. Но ведь число комбинаций различных значений ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_{s-1}$, соответстующих заданному положению $A_1$, определяет собою число прямых путей, ведуцих нз $A_0$ в $A_1$; поэтому, если некоторые из названных значений становятся равными, то соответствующие им прямые пути сольются. А тогда положения $A_0$ и $A_1$ станут взаимными кинетическими фокусами, т. е. такими положениями, между которыми гроходят по крайней мере два бесконечно близких прямых пуги ( $\S 201$ ).

Наконец, если $\psi$ принимает неопрелелённый вид, то это обстоятельство согпасно формуле (44.41) соответствует такому положению, для которого или функция $U+h$, или адъюнкты ${\psi }_0$ становятся неопределёнными, т. е. соответствует или особым местам функции $U+h$, или в силу уравнений (44.39) особым местам прямого пути. Разбирать тот исключительный случай, когда в равенствах (44.31) одна или несколько апъюнкт ${\psi }_{\circ }$ обращаются в $\mathrm{\infty }$ или $\frac{0}{0}$, а сам определитель $\mathrm{\Psi }$ сохраняет конечное значение, отличное от нуля, нет необходимости. В самом деле, из формулы (44.31) мы видим, что обращение в $\frac{0}{0}$ одной какойлибо адъюнкты ${\psi }_{\sigma }$ или влечёт за собой обращение в $\frac{0}{0}$ всех вообще ${\psi }_{\sigma }$, или даёт неопределённое отношение дифференциалов и, следовательно, указывает на особое место пути. Обращение одной какой-либо адъюнкты ${\mathrm{\Psi }}_0$ в $\mathrm{\infty }$ или влечёт за собой обращение всех ${\mathrm{\Psi }}_0$ в $\mathrm{\infty }$, или требует обращения в нуль некоторых дифференциалов $d{q}_{{\sigma }^{\ast }}$ В Воследнем случае некоторые интегралы уравнения движения имеют вид $q_0=$ const.; выбором новой системы координат этого обстоятельства всегда можно избегнуть. Если же все ${\mathrm{\Psi }}_0$ обращаются в $\frac{0}{0}$ или $\mathrm{\infty }$, то определитель $\mathrm{\Psi }$ может сохранить своё конечное значение лишь тогда, когда все элементы, соответствующие адъюнктам ${\psi }_0$, т. е. все $\frac{\partial \theta }{\partial q_{\sigma }}$, становятся нулями, что возможно лишь для места, служащего согласно равенству (44.22) нулём функции $U+h$. Таким образом, указанный исключительный случай нового ничего не даёт.

Итак, за интегралом $S$ сохраняется свойство быть минимумом, если конечное положение настолько близко к начальному, что путь между

ними (включая начальное и конечнде положения): 1) не имеет особых мест, 2) не проходит через нули, полюсы и особые места функции $U+h$ и 3) не содержит ни одного кинетического фокуса, сопряжённого с начальным положением $A_0$.

Пример 138. Обратимся снова к движению весомой материальной частицы единичной массы в вертикальной плоскости, рассмотренному нами в примере 128 на стр. 449 , примере 132 на стр. 458 и примере 137 на стр. 479 . Для указанной частицы мы имеевм:
$$U+h=-gz+h.$$

Нули этой функции лежат на прямой
$$z=\frac{h}{g},$$
a полюсы находятся на бесконечности. Особых точек траектории, как кривые второго порядка, не имеют. Найдём геометрическое место кинетических фокусог, сопряжённых с началом координат. Для этого возьмём уравнения (44.11) или (44.10), изображающие пучок траекторий, и станем искать условие кратности корней $c_1$ или $b_1$. Мы получим уравнение параболы
$$z=-\frac{g{y}^2}{4h}-\frac{h}{g}.$$

Әта парабола является обвёрткой траекторий (17.1) на стр. 154. Прямую $y=0$, которая также служит геометрическим местом кинетических фокусов, сопряжённых с началом координат, мы исключаем из рассмотрения, потому что частица, двигаясь по вертикальной прямой, дойдет до фокуса, только пройдя положение, лежащее на прямой (44.42′ Прямая (44.42) касается параболы (44.43) в её вершине.

Пример 139. Рассмотрим ещё плоское движение частицы, притягиваемой началом координат по закону Ньютона. Если масса частицы равна единице, то согласно сказанному в примере 131 на стр. 454 характеристическая функция в полярных координатах $\rho$, найдётся как полный интеграл уравнения
$${\left(\frac{\partial S}{\partial \rho }\right)}^2+\frac{1}{{\rho }^2}{\left(\frac{\partial S}{\partial \phi }\right)}^2=\frac{2k^2}{\rho }+2h;$$

отсюда согласно обозначениям, принятым в настоящем параграфе, мы получим:
$$0=\int d\rho \sqrt{\frac{2k^2}{\rho }+2h-\frac{2b_1}{{\rho }^2}}+\sqrt{2b_1}\cdot \phi .$$

Уравнение траектории будет
$$\begin{array}{rl}{0}_1=c_1& =-\int \frac{d\rho }{{\rho }^2}\frac{1}{\sqrt{\frac{2k^2}{\rho }+2h-\frac{2b_1}{{\rho }^2}}}+\frac{1}{\sqrt{2b_1}}\cdot \phi =\\ & =\frac{1}{\sqrt{2b_1}}\arccos \frac{1}{\sqrt{4h{b}_1+k^4}}(\frac{2b_1}{\rho }-k^2)+\frac{\phi }{\sqrt{2b_1}}.\end{array}$$

Пусть в начальном положении $\rho ={\rho }_0,\phi =0$; тогда для определения постоянной $b_1$ как функции от координат, отвечающих конечному положению, мы получим уравнение
$$\arccos \frac{1}{\sqrt{4h{b}_1+k^4}}(\frac{2b_1}{\rho }-k^2)+\phi =\arccos \frac{1}{\sqrt{4h{b}_1+k^4}}(\frac{2b_1}{{\rho }_0}-k^2),$$

или, после упрощений,
$$\begin{array}{rl}4b_1^2(\frac{1}{{\rho }^2}+\frac{1}{{\rho }_0^2}-\frac{2\cos \phi }{\rho {\rho }_0})-4b_{\mathrm{i}}[h(1+\cos \phi )+k^2(\frac{1}{\rho }+\frac{1}{{\rho }_0})]& (1-\cos \phi )+\\ +k^4(1-\cos \phi {)}^2& =0.\end{array}$$

Геометрическим местом нулей функции $U+h$ служит окружность
$$\rho =-\frac{k^2}{h}\text{. }$$

Полюс функции $U+h$ лежит в началє координат. Геометрическое место кинетических фокусов, сопряжёных с положением ( ${\rho }_0,0)$, мы найде м, определив условие кратности корней уравнения (44.44); таким образом, мы получим кривую
$$\rho =\frac{-\frac{2k^2}{h}\cdot \frac{h+\frac{k^2}{{\rho }_0}}{h+\frac{2k^2}{{\rho }_0}}}{1+\frac{h}{h+\frac{2k^2}{{\rho }_0}}\cos \phi }.$$

Это — эллипс, один из фокусов которого лежит в начале координат, а другой в точке $(p_0,0)$. Прямую $\phi =0$ или $\phi =\pi$ мы не принимаем в расчёт по причинам, аналогичным той, которая изложена в предыдущем примере.

Фиг. 135 иллюстрирует рассматриваемое движение для случая $h<0$. Притягивающий центр находится в точке $O$, начальным положением частицы служит точка $P_0$. Окружность $D_{1}A{D}_{2}B$ является геометрическим местом нулей функции $U+h$. Радиус этой окружности равен
$$OA=-\frac{k^2}{h}=2a,$$

где $a$ — длина большой полуоси всех траекторий, входящих в состав рассматриваемого пучка (§ 112). Отсюда ясно, что rеометрическим местом фокусов траекторий служит окружность $A{F}_1{F}_2$, имеющая центр в точке $P_0$ и радиус, равный $P_{0}A$. Геометрическим местом кинетических фокусов, сопряжённых с точкою $P_0$, является эллипс $AQC$, выражаемый уравнением (44.45). Пусть конечное положение частицы есть точка $P$. Опишем из этой точки как центра окружность радиусом, равным $PB$. Точки $F_1$ и $F_2$ пересечения этой окружности с окружностью $A{F}_1{F}_2$ будут фокусами тех двух эллиптических траекторий $P_0{E}_{1}P$ и $P_0{E}_{2}P$, что соединяют точки $P_0$ и $P$. Точка $Q$ касания эллипса $P_0{E}_{2}P$ с эллипсом $AQC$ будет кинетическим фокусом, сопряжёным с точкой $P_0$. Следовательно, действие по пути $P_0{E}_{1}P$ будет минимальным, а действие по пути $P_0{E}_{2}P$ этим свойством уже обладать не будет.

Кривые $A{T}_1{P}_0{T}_2$ и $O{R}_{1}C{R}_2$ соответственно представляют собой геометрические места афелиев и перигелиев, т. е. концов больших осей траектории. ${И}_{\text{и очень }}$ легко получить графически. С этою целью начало $O$ соединяем с какою-либо точкою $F_1$ окружности $A{F}_1{F}_2$ и полученную прямую $O{F}_1$ продолжаем до встречи с окружностью $D_{1}A{D}_{2}B$ в точке $D_1$. Отрезок $D_2{F}_1$ делим пополам в точке $K_1$ и откладываем $O{R}_1=F_1{K}_1$. Точки $K_1$ и $R_1$ лежат на искомых геометрических местах.