188. Преобразование уравнений связей к обобщённым координатам. В главе XXX были выведены уравнения движения несвободной системы, подчинённой а конечным связям
\[
f_{a}\left(x_{v}, y_{v}, z_{v}, t\right)=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n ; a=1,2, \ldots, a)
\]

и $b$ дифференциальным связям
\[
\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{v}_{v}+D_{\beta}=0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) .
\]

Эти уравнения имели вид
\[
\begin{array}{c}
m_{v} w_{v}=F_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{0} \operatorname{grad}_{v} f_{u}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{v}^{(\beta)} \\
(
u=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Введём для сокращения письма новые обозначения, положив

кроме того, станем вместо $m_{v}$ писать
\[
m_{3 v-2}, m_{3 v-1} \text { или } m_{3 v}
\]

с тем расчётом, чтобы индексы у $m$ и $\xi$ были одинаковы. Уравнения конечных и дифференциальных связей в новых обозначениях напишутся так:
\[
\begin{array}{c}
f_{\alpha}\left(\xi_{
u}, t\right)=0 \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n ; \alpha=1,2, \ldots, a), \\
\sum_{
u=1}^{3 n} B_{\beta
u} \xi_{v}+D_{\beta}=0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}
\]

Уравнения движения (32.1) примут вид
\[
\begin{array}{c}
m_{v} \ddot{\xi}_{v}=X_{
u}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{x}}{\partial \xi_{y}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{\beta v} \\
(
u=1,2, \ldots, 3 n) .
\end{array}
\]

Представим себе, что из $k$ первых уравнений (32.4) связей, т. е. уравнений
\[
f_{1}=0, f_{2}=0, \ldots, f_{k}=0,
\]

мы выразили $k$ первых координат $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{k}$ в функции остальных $3 n-k$ координат $\xi_{k+1}, \xi_{k+2}, \ldots, \xi_{3 n}$ и времени $t$; пусть
\[
\begin{array}{c}
\xi_{1}=\xi_{1}\left(\xi_{\pi}, t\right), \quad \xi_{2}=\xi_{2}\left(\xi_{\tau}, t\right), \ldots, \xi_{k}=\xi_{k}\left(\xi_{\pi}, t\right) \\
(\pi=k+1, k+2, \ldots, 3 n) .
\end{array}
\]

Само собой разумеется, что как функции $f_{\alpha}$, так и координаты $\xi_{v}$ могут быть пронумерованы в произвольном порядке; поэтому под $k$ первыми уравнениями (32.7) и $k$ первыми координатами $\xi_{v}$ подразумеваются $k$ произвольно выбранных уравнений и координат, допускающих выше изложенное разрешение. Если выражения. (32.8) мы вставим в уравнения (32.7), то левые части этих уравнений, очевидно, тождественно обратягся в нули; мы получим:
\[
f_{1}\left(\xi_{x}, \xi_{\pi}, t\right) \equiv 0, f_{2}\left(\xi_{x}, \xi_{\pi}, t\right) \equiv 0, \ldots, f_{k}\left(\xi_{x}, \xi_{\pi}, t\right) \equiv 0,
\]

причём
\[
\xi_{\mathrm{x}}=\xi_{\mathrm{z}}\left(\xi_{\pi}, t\right) \text {. }
\]

а индексы $\chi$ и $\pi$ принимают значения:
\[
x=1,2, \ldots, k ; \pi=k+1, k+2, \ldots, 3 n .
\]

Введём теперь вместо $s=3 n-k$ декартовых координат $\xi_{\pi}$, где $\pi=k+1, k+2, \ldots, 3 n$, такое же число $s$ каких-либо других координат $q_{0}$, где $\sigma=1,2, \ldots, s$, называемых в отличие от декартовых обобщён ными, или криволинейными; при этом мы для общности положим, что в уравнения, связывающие новые координаты с прежними, может явно входить врсмя, т.’ е.
\[
\begin{array}{c}
\xi_{k+1}=\xi_{k+1}\left(q_{\sigma}, t\right), \xi_{k+2}=\xi_{k+2}\left(q_{\sigma}, t\right), \ldots, \quad \xi_{3 n}=\xi_{3 n}\left(q_{\sigma}, t\right) \\
(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

В таком случае и первые $k$ координат $\xi_{v}$ в силу соотношений (32.8) обратятся в некоторые функции от $q_{\sigma}$ и $t$ :
\[
\xi_{1}=\xi_{1}\left(q_{\sigma}, t\right), \quad \xi_{2}=\xi_{2}\left(q_{\sigma}, t\right), \ldots, \quad \xi_{k}=\xi_{k}\left(q_{\sigma}, t\right)
\]

Само собой разумеется, что тождественные равенства (32.9), которые выполнялись при произвольных значениях для $\xi_{\pi}$, где $\pi=k+1, k+2, \ldots, 3 n$, будут удовлетворены тождественно и в том случае, когда вместо $\xi_{\text {п }}$ будут вставлены функции (32.10). Иначе говоря, левые части уравнений (32.7), т. е.
\[
f_{1}=0, f_{2}=0, \ldots, f_{k}=0
\]

обратятся тождественно в нули, есла вместо всех координат $\xi_{v}$ мы соответственно вставим их выражения (32.10) и (32.8) через координаты $q_{\circ}$ и время $t$; эти тождества будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
\quad f_{\alpha}\left[\xi_{x}\left(q_{\sigma}, t\right), \xi_{\pi}\left(q_{\sigma}, t\right), t\right] \equiv 0 \\
\alpha=1,2, \ldots, k ; \quad x=1,2, \ldots, k ; \\
\pi=k+1, k+2, \ldots, 3 n ; \sigma=1,2, \ldots, s .
\end{array}
\]

Так как написанные выражения представляют собой тождества, то и

производные от левых частей по $q_{\sigma}$ или по $t$ тождественно равиы нулю; т. е. мы имеем
\[
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} \equiv \sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \cdot \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{o}}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, k) .
\]

Что же касается остальных $a-k$ уравнений конечных связей, то после введения координат $q_{\circ}$ они обратятся в некоторые уравнения между $q_{\circ}$ и $t$ :
\[
\begin{array}{c}
f_{k+1}\left(q_{\circ}, t\right)=0, \quad f_{k+2}\left(q_{\circ}, t\right)=0, \ldots ., \quad f_{a}\left(q_{0}, t\right)=0 \\
(\sigma=1,2, \ldots s) .
\end{array}
\]

Важно остановиться на следующем частном случае. Пусть конечные связи (32.4) системы не содержат явно времени; пусть, кроме того, время явно не входит в выражения декартовых координат $\xi_{\pi}$ при выражении их через обобщённые координаты $q_{0}$, что, очевидно, всегда возможно осуществить: мы будем предполагать это всегда выполненным в случае связей, не содержащих явно времени. Тогда и в выражениях остальных декартовых координат через обобщённые, т. е. координат $\xi_{x}$, время тоже явно не будет содержаться. Следовательно, время не будет явно содержаться и в выражениях (32.13) связей в обобщённых кординатах. Итак, можно считать, что если
\[
\frac{\partial f_{\alpha}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{3 n}\right)}{\partial t}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a),
\]

то
\[
\frac{\partial \xi_{v}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}\right)}{\partial t}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n)
\]

и
\[
\frac{\partial f_{\alpha}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}\right)}{\partial t}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a) .
\]

Чтобы преобразовать к новым координатам дифференциальные связи продифференцируем по времени уравнения (32!10) и (32.11); имеем
\[
\dot{\xi}_{v}=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} \ddot{q}_{o}+\frac{\partial \xi_{v}}{\partial t} \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n) .
\]

Мы получили зависимость между старыми и новыми скоростями, как мы для краткости будем называть пронзводные от координат по времени. Кстати заметим, что для того, чтобы из этих уравнений по заданным значениям старых скоростей $\xi$, можно было находить новые, или обобщённые, скорости $\dot{q}_{\sigma}$, функции $\xi_{v}=\xi_{v}\left(q_{q}, t\right)$ должны предполагаться такими, чтобы все $C_{3 n}^{s}$ определителей вида
\[
\sum \pm \frac{\partial \xi_{\gamma_{1}}}{\partial q_{1}} \cdot \frac{\partial \xi_{\gamma_{2}}}{\partial q_{2}} \cdots \frac{\partial \xi_{\gamma_{s}}}{\partial q_{s}}
\]

одновременно не обращались в нули. Вставив выражения (32.15) в равенства (32.5), мы получим следующие уравнения:
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} u_{1 \sigma} \dot{q}_{\sigma}+u_{\beta}=0 \quad(\beta=1,2, \ldots b),
\]

где
\[
u_{\beta o}=\sum_{v=1}^{3 n} B_{\beta v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{o}}, \quad u_{\beta}=\sum_{v=1}^{3 n} B_{\beta v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial t}+D_{\beta} .
\]

Как видим, уравнения для скоростей получились опять линейные, как и в декартовых координатах.

Итак, новые координаты $q_{\text {。 }}$ числом $s=3 n-k$ связаны $a-k$ уравнениями (32.13), а их производные $\dot{q}_{\text {。 }}$ подчинены $a-k+b$ линейным уравнениям: $a-k$ уравнениям, которые получаются дифференцированием по времени уравнений (32.13), т. е. уравнениям
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}} \dot{q}_{\sigma}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}=0 \quad(\alpha=k+1, k+2, \ldots, a)
\]

и дополнительно $b$ уравнениям (32.16).
Пример 95. Пусть материальная система состоит из одной частицы, движущейся по поверхности эллипсоида
\[
f=\frac{x^{2}}{a^{2} t^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2} t^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2} t^{2}}-1=0 .
\]

Выразив из этого уравнения координату $z$ через $x$ и $y$, находим:
\[
z= \pm c t \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2} t^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2} t^{2}}} .
\]

Введём вместо $x$ и $y$ новые координаты $q_{1}$ и $q_{2}$, положив
\[
x=a t \sin q_{1} \cos q_{2}, \quad y=b t \sin q_{1} \sin q_{2} ;
\]

тогда для $z$ найдём выражение
\[
z= \pm c t \cos q_{1} .
\]

Если эти значения $x, y, z$ вставим в уравнение эллипсоида, то левая часть его тождественно обратится в нуль. Точно так же легко проверить формулу (32.12); например, для $q_{1}$ имеем
\[
\frac{\partial f}{\partial q_{1}}=\frac{2 x}{a^{2} t^{2}} \cdot \frac{\partial x}{\partial q_{1}}+\frac{2 y}{b^{2} t^{2}} \cdot \frac{\partial y}{\partial q_{1}}+\frac{2 z}{c^{2} t^{2}} \cdot \frac{2 z}{\partial q_{1}},
\]

или, если $x, y, z$ выразить через $q_{1}$ и $q_{2}$,
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial q_{1}}=\frac{2 a t \sin q_{1} \cos q_{2}}{a^{2} t^{2}} \cdot a t \cos q_{1} \cos q_{2}+\frac{2 b t \sin q_{1} \sin q_{2}}{b^{2} t^{2}} b t \cos q_{1} \sin q_{2} \\
+\frac{ \pm 2 c t \cos q_{1}}{c^{2} t^{2}}\left(\mp c t \sin q_{1}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Пример 96. Пусть неизменяемая система состоит из двух частиц $m_{1}$ и $m_{2}$, находящихся на расстоянии $l_{12}$. Шесть декартовых координат частиц $m_{1}$ и $m_{2}$ связаны одним уравнением:
\[
f=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-l_{12}^{2}=0 ;
\]

следовательно, одна из координат является функцией остальных пяти. Из этих пяти координат мы оставим без замены три координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1}$, частицы $m_{1}$, а вместо остальных двух декартсвых координат системы введём два угла чи $\psi$, определяющие направление вектора ${\overline{m_{1} m_{2}}}^{2}=l_{12}$ :
\[
\cos \left(x, \widehat{l_{12}}\right)=\sin \varphi \cos \phi, \quad \cos \left(\widehat{y, l_{12}}\right)=\sin \varphi \sin \psi, \quad \cos \left(\widehat{z, l_{12}}\right)=\cos \varphi .
\]

Как видим, 甲 есть угол вектора $l_{12}$ с осью $O z$, а $\$$ – угол между ортогональной составляющей, вектора $t_{12}$ в плоскости $O x y$ и осью $O x$. Все шесть декартовых координат частиц системы следующим образом выражаются через пять координат $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \varphi$, $\psi$ :
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=x_{1}, y_{1}=y_{1}, z_{1}=z_{1}, \\
x_{2}=x_{1}+l_{12} \sin \varphi \cos \psi, \quad y_{2}=y_{1}+l_{12} \sin \varphi \sin \phi, \quad z_{2}=z_{1}+l_{12} \cos \varphi .
\end{array}
\]

Эти шесть выражений удовлетворяют уравнению связи тождественно.
Пример 97. Положим теперь, что неизменяемая система состоит из трё частиц $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, не лежащих на одной прямой. Если расстояния между частицами соответственно равны $l_{23}, l_{91}, l_{12}$, то уравнения связей, которым подчинена система, напишутся следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
f_{1}=\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{3}\right)^{2}-l_{23}^{2}=0, \\
f_{2}=\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{3}-z_{1}\right)^{2}-l_{31}^{2}=0, \\
f_{3}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-l_{12}^{2}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Введем, кроме неподвижных осей $O x y z$, оси $A \xi \eta$, неизменно связанные с рассматриваемой системой частиц; при этом плоскость $A \xi \eta \zeta$ совместим с плоскостью, содержащей частиды. Пусть относительные координаты частиц будут
\[
\xi_{1}, \eta_{1}, 0 ; \xi_{2}, \eta_{2}, 0 ; \xi_{3}, \eta_{3}, 0 \text {; }
\]

они, очевидно, являются постоянными и удовлетворяют равенствам:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\xi_{2}-\xi_{3}\right)^{2}+\left(\eta_{2}-\eta_{3}\right)^{2}-l_{23}^{2}=0 \\
\left(\xi_{3}-\xi_{1}\right)^{2}+\left(n_{3}-\eta_{1}\right)^{2}-l_{31}^{2}=0 \\
\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)^{2}+\left(\eta_{1}-\eta_{2}\right)^{2}-l_{12}^{2}=0
\end{array}\right\}
\]

За новые координаты системы частиц $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ мы примем те шесть величин, которыми определяется положение осей $A \xi_{\eta} \zeta$, а именно, координаты $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ начала $A$ осей и эйлеровы углы,$\Varangle . \exists$ (§55). Абсолютные координаты частиц системы выражаются через эти шесть величин с помощью формул (8.4) на стр.74, которые в данном случае напишутся так:
\[
\left.\begin{array}{ll}
x_{1}=x_{A}+a_{11} \xi_{1}+a_{12} \eta_{1}, & x_{2}=x_{A}+a_{11} \xi_{2}+a_{12} \eta_{2}, \\
y_{1}=y_{A}+a_{21} \xi_{1}+a_{22} \eta_{1}, & y_{2}=y_{A}+a_{21} \xi_{2}+a_{22} \eta_{2}, \\
z_{1}=z_{A}+a_{31} \xi_{1}+a_{32} \eta_{1}, & z_{2}=z_{A}+a_{31} \xi_{2}+a_{32} \eta_{2}
\end{array}\right\}
\]

коэффициенты $a_{\mu
u}$ являются направляющими косинусами осей системы $A \xi_{\eta} \zeta$; их значения видны из таблицы (8.3) на стр. 74, а через эйлеровы углы они выражаются с помощью формул (8.15) на стр. 77. Нетрудно убедиться, что выражения (32.21) тождественно удовлетворяют уравнениям связей (32.19): для этого нужно принять во внимание зввисимость (32.20) между относительными координатами, а также соотношения (8.12) на стр, 75 между направляющими косинусами.

К трём взятым частицам можно прибавить сколь угодно много других, неизменно с ними связанных, и это не потребует введения добавочных обобщенных координат для определения положения системы; иначе говоря, координаты любой точки неизменяемой системы или твердого тела могут быть представлены как функции шести величин: $x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \phi, 0$. Действительно, относительные координаты добавляемых частиц будут постоянны, а абсолютные выразятся по формулам (8.4) на стр. 74 , как и координаты частиц $m_{1}, m_{2}, m_{3}$. Уравнения связей для новых частиц sапишутся в той же форме, что и для частиц $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ и, очевидно, как и для частиц $m_{1}, m_{2}, m_{8}$, будут тождественно

удовлетворяться, если декартовы координаты частиц выразить через обобщенные координаты системы.

Переходя к примерам на системы с неинтегрируемыми дифференциальными связями, заметим, что движение таких систем почти исключительно изучают с помощью соответственным образом выбранных обобщённых координат $q_{\sigma}$, а не в декартовых координатах, почему излагаемый метод в данном случае приобретает особо важное значение.

Пример 98. Пусть твёрдый шар радиуса $a$ принуждён катиться без скольжения по плоскости (фиг. 113). Плоскость качения примем за плоскость $O x y$ неподвижной системы координат, причём ось $O z$ направим в ту сторону от этой плоскости, в которой находится шар. С шаром неизменно свяжем систему осей $A \xi \overline{\text { s }}$, совместив её начало с центром шара. За координаты рассматриваемой системы примем, как и в предыдущем примере, декартовы координаты точки $A$ и три эйлеровых угла, т. е.
\[
x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \phi .
\]

Запишем уравнения связей. По условию скорость $v_{B}$ точки касания $B$ равна нулю; с другой стороны, согласно формуле (9.32) на стр. 93 скорость точки $B$ следующим образом выражается через скорость $\eta_{A}$ полюса $A$ и мгновенную угловую скорость $\omega$ тела:
\[
\boldsymbol{v}_{B}=\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \times \overline{A B} .
\]

Следовательно, мы имеем зависимость:
\[
0=v_{A}+\bar{\omega} \times \overline{A B} .
\]

Спроектировав это равенство на оси координат, находим:
\[
0=\dot{x}_{A}-a \omega_{y}, \quad 0=\dot{y}_{A}+a \omega_{x}, \quad 0=\dot{z}_{A} .
\]

Последнее уравнение интегрируется и даёт конечную связь
\[
z_{A}-a=0 ;
\]

эта связь выражает то обстоятельство, что центр шара движется в плоскости, параллельной плоскости качения и отстоящей от нее на расстоянии, равном радиусу шара. В первых двух уравнениях (32.22) выразим-проекции угловой скорости через эйлеровы углы по формулам (9.28) на стр. 91; тогда мы получим
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{A}+a(\cos \psi \sin \gamma \cdot \dot{\varphi}-\sin \psi \cdot \dot{v})=0, \\
\dot{y}_{A}+a(\sin \psi \sin \vartheta \cdot \dot{\varphi}+\cos \psi \cdot \dot{\psi})=0 .
\end{array}
\]

Это – два ура́внения дифференциальных неинтегрируемых связей типа (32.5).
Пример 99. Пусть два твёрдых тела соединены весьма длинной гибкой нитью, не поддающейся кручению (фиг. 114); јакую нить можно осуществить, если взять Lепь, составленную из ряда сочленений, известных под именем шарниров Кардано-Гука (Cardano-Hook). Найдем уравнение связи, которой подчинены рассматриваемые тела. Координаты первого тела пусть будут $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \varphi_{1}, \psi_{1}, \theta_{1}$, а второго $x_{2}, y_{2}, z_{2}, \varphi_{2}, \psi_{2}, y_{2}$. При этом две системы подвижных осей выберем так, чтобы оси $A_{1} \zeta_{1}$ и $A_{2} \zeta_{2}$ совпадали с касательными в концах нити и обе были направлены к внутренней части нити, как показано на чертеже. Связь, очевидно, требует, чтобы проекции угловых скоростей тел на оси $A_{1} \zeta_{1}$ и $A_{2} \zeta_{2}$ были равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т. е. чтобы было
\[
n p_{\zeta 1} \bar{\omega}_{1}-n p_{\zeta 2} \bar{\omega}_{2}=0 .
\]

Отсюда по формулам Эйлера (9.30) на стр. 92 находим искомое уравнение связи
\[
\dot{\psi}_{1}+\cos v_{1} \cdot \dot{\varphi}_{1}+\dot{\psi}_{2}+\cos \theta_{2} \cdot \dot{\varphi}_{2}=0 .
\]

Полученное уравнение, очевидно, не ингегрируется, так как даже не содержит производных $\dot{\theta}_{1}$ и $\dot{\hat{v}}_{2}$.
189. Уравнения движения несвободной системы в обобщённых координатах. Пусть система отнесена к координатам $q_{0}$, введённым в предыдущем параграфе, и подчинена $a-k$ конечным связям (32.13) и $b$ дифференциальным связям (32.16). Преобразуем уравнения движения (32.1) к координатам $q_{\sigma}$.

Предварительно выведем несколько вспомогательных формул. Во-первых, заметим, что скорости $\dot{q}_{\text {g }}$ входят в правую часть формулы (32.15) линейно; поэтому из этой формулы вытекает следующее соотношение:
\[
\frac{\partial \dot{\xi}_{v}}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=\frac{\partial \xi}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Далее, вычислим полную производную по времени от частной производной $\frac{\partial \xi_{y}}{\partial q_{s}}$; приняв во внимание, что эта производная, как и сама функция $\xi_{v}$, зависит от времени как явно, так и неявно посредством координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$, мы найдём:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{o}}=\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{*} \xi_{v}}{\partial q_{s} \partial q_{o}} \dot{q}_{\rho}+\frac{\partial^{2} \xi_{v}}{\partial q_{0} \partial t} .
\]

С другой стороны, возьмём от $\dot{\varepsilon}_{
u}$, исходя из выражения (32.15), частную производную по $q_{\sigma}$; мы получим:
\[
\frac{\partial^{2} \xi_{v}}{\partial q_{o}}=\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial^{2} \xi_{v}}{\partial q_{\rho} \partial q_{\mathrm{s}}} \dot{q}_{\rho}+\frac{\partial^{2} \xi_{v}}{\partial t \partial q_{\sigma}} .
\]

Сравнив правые части двух последних выражений и приняв во внимание, что если существуют непрерывные вторые частные производные, то порядок дифференцирования не влинет на их значения, мы приходим к равенству:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{0}}=\frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Наконец, напишем выражение для кинетической энергии $T$ системы в обозначениях (32.2) и (32.3); мы, очевидно, получим:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{3 n} m, \dot{\varepsilon}_{v}^{2} .
\]

Возвращаясь к уравнениям движения (32.1), умножим каждое из них на $\frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{o}}$ и возьмём сумму полученных равенств по индексу $
u$; мы найдём:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \ddot{\xi}_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}=\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}+\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} \sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}+\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} \sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{\beta v} .
\]

Преобразуем сначала левую часть; мы можем написать:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \ddot{\xi}_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}=\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \dot{\xi}_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}-\sum_{v=1}^{i n} m_{v} \dot{\xi}_{v} \frac{d}{d t} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Воспользовавшись равенствами (32.23) и (32.24), находим:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} \ddot{\xi}_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{v}}=\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \dot{\xi}_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial \dot{q}_{v}}-\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \xi_{v} \frac{\partial \dot{\xi}_{v}}{\partial q_{\sigma}} ;
\]

наконец, если вспомним выражение (32.25) кинетической энергии, то получим:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \ddot{\varepsilon}_{v} \frac{\partial \varepsilon_{v}}{\partial q_{\sigma}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Первую сумму правой части уравнения (32.26) обозначим $Q_{\sigma}$ :
\[
\sum_{
u=1}^{3 n} X_{
u} \frac{\partial \xi_{1}}{\partial q_{\sigma}}=Q_{\sigma} .
\]

Чтобы уяснить механическое значение величины $Q_{\sigma}$, заметим, что $Q_{\sigma}$ представляот собой коэффициент при вариации соответствующей координаты $q_{\text {a }}$ в выражении элементарной работы активных сил системы, на её пронзвольном виртуальном перемешении; действительно, обозначив эту работу $\delta A^{(\boldsymbol{F})}$ (в отличие от элементарной работы $d^{\prime} A^{(\boldsymbol{F})}$ на действительном перемещении), мы, согласно второй формуле (31.33) на стр. 314 , можем написать:
\[
\delta A^{(F)}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}=\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v x} \delta x_{v}+F_{v y} \delta y_{v}+F_{v z} \delta z_{v}\right),
\]

или, в обозначениях (32.2),
\[
\delta A^{(F)}=\sum_{
u=1}^{3 n} X_{
u} \delta \xi_{
u} ;
\]

а так как
\[
\partial \xi_{v}=\sum_{v=1}^{s} \frac{\partial z_{v}}{\partial q_{\sigma}} \partial q_{\sigma}
\]

тo
\[
\delta A^{(F)}=\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial \varepsilon_{v}}{\partial q_{p}} \delta q_{\sigma} ;
\]

переменив здесь порядок суммирования, получаем:
\[
\delta A^{(\boldsymbol{F})}=\sum_{\sigma=1}^{s}\left(\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \frac{\partial \varepsilon_{v}}{\partial q_{\sigma}}\right) \delta q_{\sigma},
\]

или
\[
\delta A^{(F)}=\sum_{\sigma=1}^{s} Q_{\sigma} \delta q_{\sigma}
\]

это мы и хотели показать. Практически при вычислении коэффициентов $Q_{0}$ задаются каждый раз таким виртуальным перемещением системы, чтобы изменялась какая-либо одна координата $q_{\sigma}$; тогда, обозначив $\delta A_{\sigma}^{(\boldsymbol{F})}$ соответствующую элементарную работу, получим
\[
\delta A_{\sigma}^{(\boldsymbol{F})}=Q_{\sigma} \delta q_{\sigma} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Имея в виду аналогию между выражениями элементарной работы (32.29) и (32.30) в декартовых и обобщённых координатах, величины $Q_{\sigma}$ называют обобщёнными силами, хотя в отношении размерности эти величины, вообще говоря, не однородны с силами. Когда активные силы $F_{v}$ имеют силовую функцию $U$, т. е. когда
\[
X_{v}=\frac{\partial U}{\partial \varepsilon_{v}},
\]

тогда и обобщённые силы получают аналогичные выражения; действительно,
\[
Q_{0}=\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \frac{\partial \varepsilon_{v}}{\partial q_{\sigma}}=\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial U}{\partial \xi_{v}} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}},
\]

или
\[
Q_{\sigma}=\frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Обратимся ко второму слагаемому правой части уравнения (32.26). Изменив порядок суммирования и затем разбив все члены на две групы, мы можем представить это слагаемое в следующем виде:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} \sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{
u}} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}=\sum_{\alpha=1}^{k} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}+\sum_{\alpha=k+1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Но согласно формуле (32.12) первая сумма в последнем выражении равна нулю; поэтому окончательно сохраняется только $a-k$ слагаемых, и мы получаем:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} \sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}=\sum_{\alpha=k+1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Наконец, последний член уравнения (32.26), если изменить порядок суммирования и применить обозначение (32.17), преобразуется следующим образом:
\[
\sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} \sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{\beta v}=\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{3} \sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} B_{\beta
u}=\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} u_{\beta \sigma} .
\]

Объединив всё сказанное, мы на основании выражений (32.27), (32.28), (32.32) и (32.33) можем уравнения движения (32.26) написать в таком виде:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}}=Q_{\sigma}+\sum_{\alpha=k+1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} u_{\beta \sigma}(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Вместе с $k-a$ уравнениями конечных связей (32.13) и $b$ уравнениями дифференциальных связей (32.16) это – система $s+a-k+b$ уравнений с таким же числом неизвестных функций $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s} ; \lambda_{k+1}, \lambda_{k+2}, \ldots, \lambda_{a}$; $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{b}$. Чтобы уяснить себе порядок интегрирования этих уравнений, необходимо сперва проанализнровать выражение для кинетической энергии. Вставив в формулу кинетической энергии (32.25) значения скоростей (32.15), мы получим:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \dot{\xi}_{v}^{2}=\sum_{v=1}^{3 n} m_{v}\left(\sum_{j=1}^{s} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} \dot{q}_{\sigma}+\frac{\partial \xi_{v}}{\partial t}\right)^{2} .
\]

Отсюда мы видим, что кинетическую энергию можно представить как совокупность членов второго, первого и нулевого измерений относительно скоростей $\dot{q}_{\sigma}$, т. е.
\[
T=T_{2}+T_{1}+T_{0} ;
\]

здесь
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1, p=1}^{s, s} a_{\sigma p} \dot{q}_{\sigma} \dot{q}_{\rho}, \quad T_{1}=\sum_{\sigma=1}^{s} a_{\sigma} \dot{q}_{\sigma}, \quad T_{0}=\frac{c}{2},
\]

где коэффициенты $a_{\sigma \rho}$, $a_{\sigma}$ и $c$ следующим образом зависят от координат и времени:

Впрочем, в частных случаях коэффициенты могут от времени и не зависеть, хотя бы выражения декартовых координат через обобщённые и содержали явно время. Если конечные связи (32.13) системы явно не содержат времени, то в силу условий (32.14) мы будем иметь:
\[
T_{1}=T_{0}=0,
\]
т. е. кинетическая энергия будет однородной квадратичной формой от обобщённых скоростей:
\[
T=T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{\rho==1, \rho=1}^{s_{,} s} a_{\sigma \rho} \dot{q}_{\sigma} \dot{q}_{\rho} .
\]

Относительно самой квадратичной формы $T_{2}$ должно заметить, что ее определитель $\left|a_{\text {op }}\right|$ не может обращаться в нуль. Для доказательства рассмотрим сначала вышеуказанный частный случай, когда вся кинетическая энергия состоит лишь из члена $T_{2}$. В этом случае удвоенная кинетическая энергия может быть предіставлена в виде: .
\[
\begin{aligned}
2 T=2 T_{2} & =\dot{q}_{1}\left(a_{11} \dot{q}_{1}+a_{12} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{1 s} \dot{q}_{s}\right)+ \\
& +\dot{q}_{2}\left(a_{21} \dot{q}_{1}+a_{22} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{2 s} \dot{q}_{s}\right)+ \\
& \left.+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \dot{q}_{s s}\right) . \\
& +\cdot \dot{q}_{s}\left(a_{s 1} \dot{q}_{1}+a_{s 2} \dot{q}_{2}+\cdots \cdot \cdot+\right.
\end{aligned}
\]

Если допустить, что определитель $\left|a_{\text {so }}\right|$ для данного значения $t$ обращается в нуль, то оказалось бы возможным удовлетворить уравнениям
\[
\begin{array}{l}
a_{11} \dot{q}_{1}+a_{12} \dot{q}_{3}+\ldots+a_{1 s} \dot{q}_{s}=0, \\
a_{21} \dot{q}_{1}+a_{22} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{2 s} q_{s}=0, \\
\cdot \dot{\cdot} \cdot \dot{\cdot} \cdot \dot{\cdot} \cdot \dot{\dot{q}_{s}}=0, \\
a_{s 1} \dot{q}_{1}+a_{s 2} \dot{q}_{2}+\cdots+a_{s s}=0
\end{array}
\]

значениями $\dot{q}_{\sigma}$, не равными нулю одновременно. Между тем, кинетическая энергия, как видно из её выражения (32.25), обращается в нуль, только когда все скорости $\xi_{\text {v }}$ равны нулю; но если все $\dot{\xi}_{\text {, }}$ равны нулю, то согласно формулам (32.15) и (32.14) и все $\dot{q}_{\circ}$ равны нулю (ср. сказанное об определителе уравнений на стр. 322). Обратимся к обшему случаю, когда среди производных $\frac{\partial \xi_{y}}{\partial t}$ есть отличнье от нуля. Рассмотрим, кроме данного движения системы, при котором декартовы координаты частиц выражаются через их обобщённые координаты с помощью формул:
\[
\xi_{
u}=\xi_{v}\left(q_{\sigma}, t\right) \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n ; \quad \sigma=1,2, \ldots, s),
\]

некоторое вспомогательное движение тех же частиц: это вспомогательное движение пусть определяется, во-первых, тем, что декартовы координаты $\xi_{\text {, }}$ зависят явно только от обобщённых координат $q_{0}$, но не от времени, и, во-вторых, в некоторый произвольно заданный момент времени $t_{0}$ координаты $\varepsilon_{v}$ и их производные $\frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}$ во вспомогательном движении принимают те же значения, что и в данном основном движении. Этим условиям в отношении вспомогательного движения, очевидно, можно удовлетворить бесчисленным множеством способов. Как видно из формулы (32.35), кинетическая энергия во вспомогательном движении в рассматриваемый момент времени $t$ будет равна члену $T_{2}$ в выражении кинетической энергии основного движения. В соответствии с тем, что выше было установлено для частного случая движения, мы отсюда делаём вывод, что и общем случае определитель $\left|a_{\text {ор }}\right|$ квадратичной формы $T_{2}$ должен быть отличен от нуля.

Из формулы (32.35) мы получаем следующие выражения для производных $\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}$ :
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=a_{\sigma 1} \dot{q}_{1}+a_{\sigma 2} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{\sigma s} \dot{q}_{s}+a_{\sigma} \\
(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Отсюда мы заключаем, что обобщённые ускорения $\ddot{q}_{\sigma}$ входят в уравнения (32.34) линейно: эти уравнения могут быть представлены в виде
\[
a_{\sigma 1} \ddot{q}_{1}+a_{02} \ddot{q}_{2}+\ldots+a_{\sigma s} \ddot{q}_{s}+A_{\sigma}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s),(32.40)
\]

где величины $A_{\text {。 }}$ являются функциями времени $t$, координат $q_{\sigma}$, скоростей $\dot{q}_{\circ}$ и множителей $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{\beta}$.

Интегрирование системы уравнений (32.40), (32.13), (32.16) надо вести следующим путём. Прежде всего исключаем неизвестные нам множители $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{\beta}$. С этой целью дифференцируем по два

раза уравнения (32.13) конечных связей и по разу уравнения (32.16) дифференциальных связей. Таким образом, находим $a-k+b$ так называемых условных уравнений, содержащих линейно ускорения $\ddot{q}_{s}$. Из уравнений (32.40) определяем ускорения $\ddot{q}_{0}$ как линейные функции множителей связей: это всегда возможно в силу вышесказанного об определителе $\left|a_{\sigma \rho}\right|$. Вставляем найденные значения для ускореній в условные уравнения и получаем $a-k+b$ уравнений, линейных относительно неизвестных $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{3}$. Из этих уравнений и определяем множители $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{\beta}$ как функции от $t, q_{\sigma}, \dot{q}_{\sigma}$. В отношении последних уравнений можно было бы сделать те же заключения, что и относительно уравнений (30.32) на стр. 299, только вычисления теперь будут значительно сложнее. Подставив найденные для множителей значения в уравнения ( 32.40 ), мы получим систему $s$ уравнений, содержащих только время $t$ и $s$ неизвестных функций времени $q_{0}$ с их первыми и вторыми производными по времени. Интегрирование такой системы совокупных уравнений введёт $2 s$ произвольных постоянных (ср. § 177); из них независимыми останутся только
\[
N=2 s-2 a+2 k-b .
\]

190. Независимые координаты системы. Число степеней свободы системы без неинтегрируемых яифференциальных связей. Положим, что рассматриваемая система не имеет вовсе дифференциальных неинтегрируемых связей ( $b=0$ ). Допустим, далее, что выбранные нами координаты $q_{0}$ таковы, что все конечные связи системы, если они существуют, удовлетворяются тождественно, т. е. $k=0$. Тогда величины $q_{\sigma}$ носят название независимых координат системы, а число их $s$ называется числом степеней свободы данной материальной системы без неинтегрируемых дифференциальных связей (т. е. голономной). Можно также сказать, что независимыми координатами называются независимые между собой параметры, определяющие положение системы. Так, говорят, что свободная материальная частиша имеет три степени свободы; частица, принуждённая оставаться на данной поверхности, имеет две степени свободы; свободное твёрдое тело, т. е. тело, не подчинённое никаким внешним связям, имеет шесть степеней свободы (см. примеры 76 на стр. 273 и 97 на стр. 324 ); неизменяемый отрезок (пример 96 на стр. 323) обладает пятью степенями свободы и т. д.

191. Уравнения движения системы в независимых координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Если неинтегрируемые дифференциальные связи отсутствуют и координаты $q_{\mathrm{g}}$ независимы, т. е. $b=0$ и $k=0$, то уравнения движения (33.34) принимают вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{o}}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}=Q_{0} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Эти уравнения известны под названием уравнений Лагранжа второго рода. Они представляют собой систему $s$ обыкновенных уравнений второго порядка с $s$ неизвестными функциями времени $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$. Bce $2 s$ произвольных постоянных, которые введутся при интегрировании этих уравнений, будут согласно формуле (32.41) независимы друг от друга. Интегрирование уравнений Јагранжа в независимых координатах представляет собой кратчайший путь для решения вопроса о движении рассматриваемой

системы, т. е. для нахождения координат $q_{\circ}$ системы в функции времени; при этом способе число дифференциальных уравнений минимально и равно числу степеней свободы системы. Если же мы желаем знать не только движение системы, но и реакции связей, то мы должны дополнительно обратиться к уравнениям с множителями типа (32.6) или (32.34). Движение системы будет нам уже известно; следовательно, все координаты и скорости системы будут известными функциями времени, а потому в уравнениях (32.6) или (32.34) будут неизвестными лищь множители $\lambda_{\alpha}$, входящие в эти уравнения линейно. Множителей $\mu_{3}$ в этих уравнениях не будет, так как неинтегрируемых дифференциальных связей у рассматриваемой системы нет. Определив множители связей, мы по формуле (30.16) на стр. 482 найдём и реакции связей.

В частном случае, когда активные силы обладают силовой функцией $U$, уравнения движения (32.42) можно упростить. В этом случае согласно формуле (32.31) мы имеем
\[
Q_{\sigma}=\frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Кроме того, так как функция $U$ не зависит от скоростей, то
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=\frac{\partial(T+U)}{\partial \dot{q}_{\sigma}} .
\]

На основании формул (32.43) и (32.44) уравнения (32.42) после переноса всех членов в левую часть могут быть переписаны так:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial(T+U)}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{\sigma}}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Сумма $T+U$ кинетической энергии и силовой функции носит название лагранжевой функции, или кинетического потенциала, и обозначается буквой $L$ :
\[
L=T+U \text {. }
\]

Если силовая функция однозначна, то $-U=V$ есть потенциальная энергия системы, и, следовательно,
\[
L=T-V,
\]
т. е. лагранжева функция равна превышению кинетической энергии над потенциальной. Введя лагранжеву функцию, мы можем уравнения (32.45) переписать так:
\[
\frac{d}{d t} \frac{d L}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\sigma}}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) ;
\]

это и есть та более простая форма уравнений Лагранжа второго рода, которую они принимают при наличии у активных сил силовой функцин.

Пример 100. Рассмотрим систему, состояшую из двух весомых частиц, соединённых неизменяемым стержнем. Массы частиц пусть будут $m_{1}$ и $m_{2}$. Ось $O z$ мы направим параллельно начальному положению $m_{1} m_{2}$ टтержня, а постоянные углы, составляемые ускорением силы тяжести $g$ с осями координат, обозначим $\alpha, \beta$, $\gamma$. Система имеет пять степеней свободы. За независимые координаты системы мы примем координаты $x_{C}, y_{C}, z_{C}$ её центра масс и два угла $\varphi$ и $\psi$ : первый угол пусть определяет наклон стержня к оси $O z$, второй – наклон ортогональной составляющей стержня в плоскости $O x y$ к оси $O x$. Как из-

вестно, центр масс двух частиц делит расстояние между ними на два отрезка $a$ и $b$, обратно пропорциональные массам частиц ( $\$ 146$, п. 7 , стр. 246):
\[
\frac{a}{b}=\frac{m_{2}}{m_{1}} \text {. }
\]

Декартовы координаты частиц выразятся через независимые координаты системы следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=x_{C}+a \sin \varphi \cdot \cos \phi, \\
x_{2}=x_{C}-b \sin \varphi \cdot \cos \psi, \\
y_{1}=y_{C}+a \sin \varphi \cdot \sin \phi, \\
y_{2}=y_{C}-b \sin \varphi \cdot \sin \phi, \\
z_{1}=z_{C}+a \cos \varphi, \\
z_{2}=z_{C}-b \cos \varphi .
\end{array}
\]

Продифференцировав эти равенства, найдем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\dot{x}_{C}+a \cos \varphi \cdot \cos \psi \cdot \dot{\varphi}-a \sin \varphi \cdot \sin \psi \cdot \dot{\psi}, \\
\dot{x}_{2}=\dot{x}_{C}-b \cos \varphi \cdot \cos \psi \cdot \dot{\varphi}+b \sin \varphi \cdot \sin \psi \cdot \dot{\psi}, \\
\dot{y}_{1}=\dot{y}_{C}+a \cos \varphi \cdot \sin \psi \cdot \dot{\varphi}+a \sin \varphi \cdot \cos \psi \cdot \dot{\psi}, \\
\dot{y}_{2}=\dot{y}_{C}-b \cos \varphi \cdot \sin \psi \cdot \dot{\varphi}-b \sin \varphi \cdot \cos \psi \cdot \dot{\psi}, \\
\dot{z}_{1}=\dot{z}_{C}-a \sin \varphi \cdot \dot{\varphi} \\
\dot{z}_{2}=\dot{z}_{C}+b \sin \varphi \cdot \dot{\varphi} .
\end{array}\right\}
\]

Вычислим кинетическую энергию системы. Имеем
\[
T=\frac{m_{1}}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{1}^{2}+\dot{z}_{1}^{2}\right)+\frac{m_{2}}{2}\left(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}+\dot{z}_{2}^{2}\right),
\]

или, на основании формул (32.50) и (32.49),
\[
T=\frac{1}{2}\left[\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(\dot{x}_{C}^{2}+\dot{y}_{C}^{2}+\dot{z}_{C}^{2}\right)+J\left(\dot{\varphi}^{2}+\sin ^{2} \varphi \cdot \dot{\psi}^{2}\right)\right],
\]

где для сокращения буквой $J$ обозначен момент инерции системы относительно центра масс, т. е.
\[
J=m_{1} a^{2}+m_{2} b^{2} .
\]

Активные силы, приложенные к системе, имеют силовую функцию $U$. Легко находим, что
\[
U=g\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(x_{C} \cos \alpha+y_{C} \cos \beta+z_{C} \cos \gamma\right) .
\]

Уравнения движения (32.48) напишутся так:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}_{C}=g \cos \alpha, \quad \ddot{y}_{C}=g \cos \beta, \quad \ddot{z}_{C}=g \cos \gamma, \\
\ddot{\varphi}-\sin \varphi \cos \varphi \cdot \dot{\psi}^{2}=0, \quad \frac{d}{d t}\left(J \sin ^{2} \varphi \cdot \dot{\psi}\right)=0 .
\end{array}
\]

Первые три уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы и дают:
\[
\begin{array}{l}
x_{C}=g \cos \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}+\dot{x}_{C 0} t+x_{C 0} \\
y_{C}=g \cos \beta \cdot \frac{t^{2}}{2}+\dot{y}_{C 0} t+y_{C 0} \\
z_{C}=g \cos \gamma \cdot \frac{t^{2}}{2}+\dot{z}_{C 0} t+z_{C 0}
\end{array}
\]

значком 0 мы условимся обозначать начальные значения соответственных функций времени, т. е. их значения для $t=0$. Из последнего уравнения (32.51) вытекает:
\[
J \sin ^{2} \varphi \cdot \psi^{*}=\text { const. }=J \sin ^{2} \varphi_{0} \cdot \psi_{0}=0,
\]

так как по условию $\varphi_{0}=0$; следовательно, или $\dot{\psi}=0$ или $\varphi=\varphi_{0}=0$. В послепнем случае стержень движется поступательно; в первом случае $\psi=\psi_{0}$. При этом условии предпоследнее уравнение (32.51) даёr $\ddot{\varphi}=0$, откуда следует:
\[
\varphi=\dot{\varphi}_{0} t+\varphi_{0} .
\]

Это выражение содержит как частный случай выше полученный результат $\varphi=\varphi_{0}$. Таким образом, движение системы вполне определено.

Если мы пожелаем найти реакцию стержня, то должны обратиться к уравнениям с множителями связи, например, в декартовых координатах. Уравнение связи и уравнения движения с множигелем связи для частицы $m_{1}$ напишутся в этом случае так [см. формулы (32.4) и (32.6)]:
\[
\begin{aligned}
f_{1} & =\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{9}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-(a+b)^{2}=0, \\
m_{1} x_{1} & =m_{1} g \cos a+2 \lambda\left(x_{1}-x_{2}\right), \\
m_{1} \ddot{y}_{1} & =m_{1} g \cos \beta+2 \lambda\left(y_{1}-y_{2}\right), \\
m_{1} \ddot{z}_{1} & =m_{1} g \cos \gamma+2 \lambda\left(z_{1}-z_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Чтобы определить $\lambda$, возьмём хотя бы последнее из этих уравнений. Заменив в нём $z_{1}$ и $z_{2}$ их выражениями в функции времени, мы получим для $\lambda$ такое вначение:
\[
\lambda=-\frac{m_{1} a}{a+b} \dot{\varphi}_{0}^{2} \text {. }
\]

Отсюда находим, что реакция $R_{1}$, действуюшая на частицу $m_{1}$, имеет выражение:
\[
R_{1}=\lambda \operatorname{grad}_{1} f=-\frac{2 m_{1} a}{a+b} \dot{\varphi}_{0}^{2}\left[\left(x_{1}-x_{2}\right) x^{0}+\left(y_{1}-y_{2}\right) y^{0}+\left(z_{1}-z_{2}\right) z^{0}\right],
\]

откуда
\[
R_{1}=2 m_{1} a \dot{\varphi}_{0}^{2} .
\]

192. Приведение уравнений Лагранжа второго рода к системе уравнений первого порядка. Система $s$ совместных уравнений второго порядка (32.42) относительно $s$ неизвестных функций времени может быть заменена системой $2 s$ совместных уравнений первоге порядка, содержащих $2 s$ неизвестных функций времени. С этой целью мы обратимся к уравнениям (32.40) и выразим множители $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{\beta}$, входящие в величины $A_{\sigma}$, через $q_{\sigma}, \dot{q}_{0}$ и $t$, так, как это было указано выше; затем решим голученные таким образом уравнения относительно ускорений $\ddot{q}_{\sigma}$; тогда мы придём к уравнениям вида
\[
\ddot{q}_{\sigma}=P_{\sigma}\left(t, q_{\sigma}, \dot{q}_{\sigma}\right) \quad(\sigma=1,2,3, \ldots, s),
\]

где $P_{0}\left(t, q_{a}, \dot{q}_{\sigma}\right)$ являются некоторыми функциями указанных в скобке аргументов. Вместо $s$ величин $q_{0}$ станем теперь рассматривать $2 s$ неизвестных функций времени
\[
q_{\sigma} \text { и } \dot{q}_{\mathrm{s}}=\frac{d q_{0}}{d t}
\]

Эти $2 s$ функций будут связаны друг с другом и с временем следующими $2 s$ уравнениями:
\[
\frac{d \dot{q}_{1}}{P_{1}}=\frac{d \dot{q}_{2}}{P_{2}}=\ldots=\frac{d \dot{q}_{s}}{P_{s}}=\frac{d q_{1}}{\dot{q}_{1}}=\frac{d q_{2}}{\dot{q}_{2}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\dot{q}_{s}}=\frac{d t}{1} .
\]

Когда нам удастся отыскать $2 s$ первых интегралов этой системы
\[
C_{
u}\left(\dot{q}_{\sigma}, q_{\sigma}, t\right)=C_{
u} \quad(
u=1,2, \ldots, 2 s),
\]

где $C_{v}$ – произвольные постоянные, то из полученных таким путём $2 s$ уравнений мы сможем определить $q_{\mathrm{s}}$ и $\dot{q}_{\text {。 }}$ как функиии $C_{\mathrm{v}}$ и $t$ :
\[
q_{\sigma}=a_{\sigma}\left(t, C_{
u}\right), \quad \dot{q}_{\sigma}=\beta_{\sigma}\left(t, C_{
u}\right) ;
\]

при этом в соответствии с уравнениями (32.53) должно, конечно, оказаться, что
\[
\frac{d a_{a}}{d t}=\beta_{a} .
\]

Задача о движении системы будет вполне решена.

193. Уравнения движения Якөби для консервативной системы. Пусть данная материальная система без неинтегрируемых дифференциальных связей консервативна: пусть связи её не зависят явно от времени, а активные силы имеют однозначную силовую функцию $U$, зависящую только от координат. При выполнении первого условия, как мы видели (§189), систему можно отнести к таким независимым координатам, чтобы кинетическая энергия системы представилась однородной функцией второй степсни от скоростей с коэффициентами, не зависящими явно от времени. Обобщённые силы, являющиеся частными производными от силовой функции, тоже в нашем случае не содержат явно времени. Следовательно, время явно не войдёт и в выражение лагранжевой функции, а также в уравнения движения (33.42) или (32.48) и в те функции, которые мы в предыдущем параграфе обозначили $P_{\text {s }}$. Поэтому, когда систему уравнений (32.48) мы заменим системой уравнений первого порядка (32.53), то первые $2 s$ отношения окажутся свободными от $t$. Благодаря этому обстоятельству интегрирование системы (32.53) можно упростить. Отбрасываем последнее отношение $\frac{d t}{1}$ и вместо системы $2 s$ уравнений интегрируем систему $2 s-1$ уравнений:
\[
\frac{d \dot{q}_{1}}{P_{1}}=\frac{d \dot{q}_{2}}{P_{2}}=\ldots=\frac{d \dot{q}_{s}}{P_{s}}=\frac{d q_{1}}{\dot{q}_{1}}=\frac{d q_{2}}{\dot{q}_{2}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\dot{q}_{s}} .
\]

Пусть мы нашли $2 s-1$ первых интегралов этой системы:
\[
C_{\lambda}\left(\dot{q}_{\sigma}, q_{\sigma}\right)=C_{\lambda} \quad(\lambda=1,2, \ldots, 2 s-1) .
\]

С помощью этих уравнений определим $2 s-1$ из величин $q_{5}$ и $\dot{q}_{\sigma}$, как функции от одной из них, например $q_{1}$, и произвольных постоянных $C_{2}$ :
\[
q_{\sigma}=q_{\sigma}\left(q_{1}, C_{\lambda}\right), \quad \dot{q}_{\sigma}=\dot{q}_{\sigma}\left(q_{1}, C_{\lambda}\right) .
\]

Теперь примем во внимание и последнее отношение в ряду (32.51); берём уравнение
\[
d t=\frac{d q_{1}}{\dot{q}_{1}}
\]

и вставляем сюда вместо $\dot{q}_{1}$ его выражение через $q_{1}$ и $C_{\lambda}$; мы получаем
\[
d t=\frac{d q_{1}}{\dot{q}\left(q_{1}, C_{\lambda}\right)} ;
\]

отсюда находим квадратурой время $t$ :
\[
t+\tau=\int \frac{d q_{1}}{\dot{q}\left(q_{1}, C_{\lambda}\right)},
\]

где $\tau$ – произвольное постоянное, дополняющее число постоянных $C_{\lambda}$ до $2 s$. Таким образом, в рассмотренном случае интегрирование системы $2 s$ уравнений свелось к интегрированию $2 s-1$ уравнений и к нахождению одной квадратуры.

Теперь припомним, что для консервативной системы мы знаем наперёд один интеграл уравнсний движения, а именно, интеграл энергии $[(31.40)$ на стр. 316$]$ :
\[
T=U+h \text {. }
\]

C его помощью мы можем в уравнениях (32.54) исключить одну из переменных, например $\dot{q}_{1}$, выразив её как функцию от остальных и постоянной $h$ :
\[
\dot{q}_{1}=\omega\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}, \ldots, \dot{q}_{s}, h\right) .
\]

Тогда, вместо системы уравнений (32.54), придётся интегрировать следующую систему $2 s-2$ уравнений:
\[
\frac{d \dot{q}_{2}}{P_{2}}=\frac{d \dot{q}_{3}}{P_{s}}=\ldots=\frac{d \dot{q}_{s}}{P_{s}}=\frac{d q_{1}}{\omega}=\frac{d q_{2}}{\dot{q}_{2}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\dot{q}_{s}} .
\]

Здесь в выражениях $P_{2}, \ldots, P_{s}$ везде, вместо $\dot{q}_{1}$, вставлена функция $\omega$. Таким образом, полная система интегралов уравнений движения сос гоит из $2 s-2$ интегралов сиєтемы (32.57), интеграла энергии (32.56) и интеграла (32.55), получающегося квадратурой.

Система $2 s-2$ уравнений первого порядка (32.57) может быть заменена системой $s-1$ уравнений второго порядка. С этой целью преобразуем уравнения (32.42), введя в них независимую переменную $q_{1}$, вместо $t$. Выпишем уравнения (32.42), начиная со второго, при этом выразим в них обобщённые силы через силовую функцию по формуле (32.31); имеем
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}}=\frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}} \quad(\sigma=2,3, \ldots, s) .
\]

Прежде всего замечаем, что для всякого $\sigma$ имеет место соотношение
\[
\frac{\dot{q}_{a}}{\dot{q}_{1}}=\frac{d q_{o}}{d q_{1}}=q_{\sigma}^{\prime} \quad(\sigma=2,3, \ldots, s),
\]

где $q_{0}^{\prime}$, следовательно, означает полную производную от $q_{\sigma}$ по $q_{1}$. Затем в выражении (32.38) для кинетической энергии вынесем множитель $\dot{q}_{1}^{2}$ за скобку; мы получим:
\[
T=\frac{1}{2} \dot{q}_{1}^{2}\left(a_{11}+2 a_{12} \frac{\dot{q}_{2}}{\dot{q}_{1}}+2 a_{13} \frac{\dot{q}_{3}}{\dot{q}_{1}}+a_{22} \frac{\dot{q}_{2}^{2}}{\dot{q}_{1}^{2}}+2 a_{14} \frac{\dot{q}_{4}}{\dot{q}_{1}}+2 a_{23} \frac{\dot{q}_{2} \dot{q}_{3}}{\dot{q}_{1}^{2}}+\ldots\right),
\]

или, в сокращённой записи:
\[
T=\dot{q}_{1}^{2} G,
\]

где функция $G$ зависит только от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{\mathrm{s}}$ и производных $q_{9}^{\prime}$ :
\[
G=\frac{1}{2}\left\{a_{11}+2 a_{12} q_{2}^{\prime}+2 a_{13} q_{3}^{\prime}+a_{22} q_{2}^{\prime 2}+2 a_{14} q_{4}^{\prime}+2 a_{23} q_{2}^{\prime} q_{3}^{\prime}+\ldots\right\} .
\]

Отсюда найдегм:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{a}}=\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}^{\prime}} \frac{\partial q_{o}^{\prime}}{\partial \dot{q}_{a}}=\dot{q}_{1} \frac{\partial G}{\partial q_{\sigma}^{\prime}},
\]

и
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{0}}=\dot{q}_{1}^{2} \frac{\partial G}{\partial q_{\mathrm{s}}} .
\]

Вставим в интеграл энергии (32.56) выражение $T$ по формуле (32.60); из полученного уравнения найдём:
\[
\dot{q}_{1}= \pm \sqrt{\frac{U+h}{G}} .
\]

Формулы (33.62) и (33.63) перепишутся гак:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}} & = \pm \sqrt{\frac{U+h}{G}} \cdot \frac{\partial G}{\partial q_{\sigma}^{\prime}} \\
\frac{\partial T}{\partial q_{0}} & =\frac{U+h}{G} \cdot \frac{\partial G}{\partial q_{a}} .
\end{aligned}
\]

Производная по времени $\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{s}}$ на основании соотношений (32.64) преобразуется гак:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=\dot{q}_{1} \frac{d}{d q_{1}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}=\sqrt{\frac{\overline{U+h}}{G}} \cdot \frac{d}{d q_{1}}\left(\sqrt{\frac{\overline{U+h}}{G}} \frac{\partial G}{\partial q_{\sigma}^{\prime}}\right) .
\]

Подставив выражения (32.67) и (32.66) в уравнения (32.58), находим:

Умножив все члены на $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{G}{U+h}}$, мы получим:
\[
\frac{d^{-}}{d q_{1}}\left\{\frac{1}{2} \frac{\sqrt{U+h}}{\sqrt{G}} \frac{\partial G}{\partial q_{0}^{\prime}}\right\}-\frac{1}{2} \frac{\sqrt{U+h}}{\sqrt{G}} \cdot \frac{\partial G}{\partial q_{0}}-\frac{1}{2} \frac{\sqrt{G}}{\sqrt{U+h}} \cdot \frac{\partial U}{\partial q_{0}}=0 .
\]

Введём функцию
\[
P=\sqrt{G(U+h)} ;
\]

тогда окончательно придём к уравнениям:
\[
\frac{d}{d q_{1}} \frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}^{\prime}}-\frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}}=0 \quad(\sigma=2,3, \ldots, s) .
\]

Эти уравнения были выведены Якоби (Jacobi) ${ }^{1}$ ). При интегрировании этой системы введутся $2 s-2$ постоянных; кроме того, постоянная $h$ содержится уже в интеграле кинетической энергии; последняя постоянная $\tau$

прибавится, когда по формуле (32.64) возьмём квадратуру:
\[
t+\tau= \pm \int d q_{1} \sqrt{\frac{G}{U+h}} .
\]

После интеграции системы уравнений (32.69) мы будем в состоянии определить все геометрические свойства движения системы, и только зависимость координат от времени останется неизвестной, пока не будет взята квадратура (32.70).

Пример 101. Рассмотрим движение весомой частицы в вертикальной плоскости. Плоскость, в которой пронсходит движение, берём за плоскость $O v z$ и ось $O z$ направляем вертикально вверх. Если масса частицы равна единице, то её кинетическая энергия и силовая функция будут соответственно равны:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right), \quad U=-g z,
\]

где $g$ – ускорение силы тяжести. За независимую переменную принимаем $z$, т. е. положим $q_{1}=z$; тогда мы, получих:
\[
T=\frac{1}{2} \dot{z}^{2}\left(1+y^{\prime 2}\right),
\]

где $y^{\prime}=\frac{d y}{d z}$. Отсюда по формулам (32.61) и (32.68) находим:
\[
G=\frac{1}{2}\left(1+y^{\prime 2}\right), \quad P=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(-g z+h)\left(1+y^{\prime 2}\right)} .
\]

Рассматриваемая система имеет две степени свободы $(s=2$ ), следовательно, уравнений типа (32.69) будет только одно:
\[
\frac{d}{d z} \frac{\partial P}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial P}{\partial y}=0 .
\]
$P$ не содержит $y$; следовательно, $\frac{\partial P}{\partial y}=0$, и предыдущее уравнение непосредственно интегрируется; мы получаем:
\[
\frac{\partial P}{\partial y^{\prime}}=C,
\]

где $C$-произвольная постоянная. Вычислив производную $\frac{\partial P}{\partial y^{\prime \prime}}$, находим:
\[
\frac{y^{\prime}}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{-g z+h}{1+y^{\prime 2}}}=C
\]

откуда
\[
y^{\prime}=\frac{d y}{d z}=\frac{A}{\sqrt{-g z+h-A^{2}}},
\]

где
\[
A=c \sqrt{2} \text {. }
\]

Проинтегрировав это уравнение, получаем уравнение траектории
\[
y+B=\frac{2 A}{g} \sqrt{-g z+h-A^{2}},
\]

где $B$ – новая постоянная.
Чтобы найти зависимость координат от времени, обращаемся к квадратуре (32.70); имеем
\[
d t= \pm \frac{\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\cdot y^{\prime 2}\right)}}{\sqrt{-g z+h}} d z .
\]

Обратимся к формуле (32.71); из неё вытекает следующее равенство:
\[
\frac{1}{2}\left(1+y^{\prime 2}\right)=\frac{-g z+h}{2\left(-g z+h-A^{2}\right)} ;
\]

следовательно,
\[
d t= \pm \frac{d z}{\sqrt{2\left(-g z+h-A^{2}\right)}} ;
\]

отсюда находим:
\[
t+\tau= \pm \frac{\sqrt{2}}{g} \sqrt{\left(-g z+h-A^{2}\right)} .
\]

Этим задача интегрирования уравнений движения заканчивается.