26. Вектор-функция. Годограф. Производная от вектора по скалярному аргументу. Если модуль и направление вектора $\mathit{a}$ зависят от значений, принимаемых какими-либо переменными $t,u,v$, $w$, то вектор $a$ называется векторной функцией этих переменных или, короче, вектор-функцией. Мы ограничимся здесь рассмотрением вектор функций только от одной независимой переменной $t$ :
$$a=a(t).$$

Проекции такого вектора, очевидно, тоже представляют собой некоторые функции оr $t$ :
$$a_x=a_x(t),a_y=a_y(t),a_z=a_z(t).$$

Если из какого-либо неизменного полюса $O$ станем строить векторы, равные рассматриваемому переменному вектору $\mathit{a}$ (фиг. 34 ), то геометрическим местом концов этих векторов будет некоторая кривая $H$, носящая название годографа вектора $a$. Очевидно, выражения
$$x=a_x(t),y=a_y(t),z=a_z(t)$$

представляют собой уравнения годографа в параметрической форме, если за полюс $O$ взято начало координат. Когда вектор, не изменяя своего направления, меняет только свой модуль, годографом служит отрезок прямой. Если вектор, сохраняя постоянным свой модуль, меняет только направление, годографом является сферическая кривая. Годограф будет плоской кривой, если проекция вектора на некоторое неизменное направление постоянна.
Возьмём два значения независимой переменной: $t$ и $t+\mathrm{\Delta }t$. Пусть вектор-функция принимает для них значения $\mathit{a}$ и $\mathit{a}+\mathrm{\Delta }\mathit{a}$ (фиг. 34). Вектор $\mathrm{\Delta }\mathit{a}$ называется приращением вектора $\mathit{a}$, соответствующим приращению $\mathrm{\Delta }t$ независимой переменной $t$. Рассмотрим вектор, равный отношению $\frac{\mathrm{\Delta }a}{\mathrm{\Delta }t}$ : этот Фиг. 34. вектор направлен одинаково с вектором $\mathrm{\Delta }\mathit{a}$. Изучим его предел в предположении, что приращение независимой переменной стремится к нулю. Если такой предельный вектор существует, то он называется производной or вектора $\mathit{a}$ по переменной $t$ и обозначается $\frac{d\mathit{a}}{dt}$. Таким образом,
$$\frac{da}{dt}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\mathit{a}}{\mathrm{\Delta }t}\text{. }$$

Произведение производной вектора на дифференциал независимой переменной называется дифференциалом вектора:
$$da=\frac{da}{d\overline{t}}dt.$$

В частном случае параметр $t$ может быть временем; тогда для обозначения производной, кроме в вышеуказанного, употребляется также точка: $\frac{d\mathit{a}}{dt}=\dot{\mathit{a}}$. Впрочем, в этой главе, там где это не будет вызывать недоразумений, мы будем иногда для краткости письма обозначать точкой производную по аргументу $t$ независимо от его физического смысла.

Мы видим, что производная от вектор-функции вводится так же, как производная от скалярной функции. Если $\mathit{a}=\overline{\text{ const., т. е. если вектор }\mathit{a}}$ постоянен и по модулю, и по направлению, производная равна нулю: $\frac{da}{dt}=0$. Нетрудно было бы также распространить на вектор-функции

целый ряд правил формального дифференцирования. ,В частности, легко доказать следующие формулы:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}(a\cdot b)=\frac{da}{dt}\cdot b+a\cdot \frac{db}{dt},\\ \frac{d}{dt}(a\times b)=\frac{da}{dt}\times b+a\times \frac{db}{dt}.\end{array}$$

Формула Тейлора (Taylor) также остаётся верной для векторов:
Интересная формула получится, если продифференцифовать равенство
$$\mathit{a}\cdot \mathit{a}=a^2.$$

Применяя к левой части формулу (4.1), мы после сокращения на 2 получим:
$$\mathit{a}\cdot d\mathit{a}=ada.$$

В заключение выразим производную от вектора $\mathit{a}$ через производные от его проекций на огн неподвижной системы координат; имеем:
$$a=a_x{x}^0+a_y{y}^0+a_z{z}^0,$$

откуда
$$\dot{a}={\dot{a}}_x{x}^0+{\dot{a}}_y{y}^0+a_z{z}^0,$$
r. е. производная вектора по скалярному аргументу есть вектор, проекции которого равны производным от проекций дифференцируемого вектора по тому же аргументу. Аналогично имеем для производной $n$-го порядка
$$\frac{d^{n}a}{dt}=\frac{d^n{a}_x}{dt}{x}^0+\frac{d^n{a}_y}{dt}{y}^0+\frac{d^n{a}_z}{dt}{z}^0.$$

27. Производная от единичного вектора. Разложение производной вектора на радиальную и трансверсальную. Докажем, что производная ${\mathit{a}}^0$ от единичного вектора ${\mathit{a}}^0$ (если она не равна нулю) перпендикулярна к дифференцируемому вектору. Действительно, мы имеем:
$$a^0\cdot a^0=1;$$

отсюда согласно формуле (4.1) находим:
$$2{\dot{a}}^0\cdot a^0=0,$$

следовательно,
$${\dot{a}}^0\perp a^0.$$

Дифференциал единичного вектора, конечно, тоже перпендикулярен к единичному вектору.

К этому результату можно прийти также геометрическим путём. Пусть $a^0$ и $a^0+\mathrm{\Delta }{a}^0$ соответственно положения единичного вектора, отвечающие значениям $t$ и $t+\mathrm{\Delta }t$ независимой переменной (фиг. 35), и пусть $\mathrm{\Delta }$ ? — угол между ними. Поскольку как $OA$, так и $OB$ численно равны

единице и, следовательно, $\mathrm{△}OAB$ равнобедренный, угол между $a^0$ и $\mathrm{\Delta }{\mathit{a}}^0$, или, что то же, между ${\mathit{a}}^0$ и $\frac{\mathrm{\Delta }{a}^0}{\mathrm{\Delta }t}$ равен $\frac{\pi }{2},-\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}$. При предельном переходе $\mathrm{\Delta }t\to 0$ угол $\mathrm{\Delta }$ ? также будет стремиться к нулю, откуда следует, что вектор ${\dot{a}}^0$, равный $\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{a}^0}{\mathrm{\Delta }t}$, будет перпендикулярен к $a^0$.

Рассмотренное геометрическое построение позволяет также вычислить модуль производной единичного вектора. В самом деле, основание $\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{a}}^0\right|$ равнобедренного треугольника $OAB$ равно
$$\left|\mathrm{\Delta }{a}^0\right|=2\left|a^0\right|\sin \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}=2\sin \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2},$$

откуда
$$\begin{array}{rl}\left|{\dot{a}}^0\right|& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\left|\frac{\mathrm{\Delta }{a}^0}{\mathrm{\Delta }t}\right|=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{2\sin \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}}{\mathrm{\Delta }t}=\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}(2\cdot \frac{\sin \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}}{\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}}\cdot \frac{\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}}{\mathrm{\Delta }t})=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}.\end{array}$$

Обозначим предел отношения $\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}$ буквой $\omega$ (этот предел, вообще говоря, не равен производной $\frac{d\phi }{dt}$ от угла $\phi$ по переменному $t$, так как для вектора, который не остаётся параллельным неподвижной плоскости, вообще не существует такого угла $\phi$, который бы определял его положение); мы, следовательно, нашли, что
$$\left|{\dot{a}}^0\right|=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}=\omega .$$

Назовём теперь буквой ${\mathit{p}}^0$ единичный вектор, перпендикулярный $a^0$ и на̇правленный одинаково ‘с ${\dot{\mathit{a}}}^0$. Тогда, объединяя результаты (4.7) и (4.8), мы можем написать
$$\frac{d{a}^0}{dt}=lim\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}\cdot p^0$$

или
$$\dot{a}=\omega p^0\text{. }$$

В частном случае, если вектор ${\mathit{a}}^0$ остаётся параллельным неподвижной плоскости, эта формула переходит в более простую
$${\dot{a}}^0=\dot{\phi }{p}^0,$$

причём здесь уже под ${\mathit{p}}^0$ нужно подразумевать вектор, перпендикулярный $a^0$ и направленный в сторону возрастания угла $ழ$ (т. е. в сторону положительного отсчёта этого угла).

Переменный вектор $\mathit{a}=\mathit{a}(t)$ изменяется, вооше говоря, по модулю и по направлению. Интересно отдельно охарактеризовать быстроту его

изменения в том и другом отношении. Для этого представим прежде всего вектор $\mathit{a}$ как произведение модуля на единичный вектор:
$$a=a{a}^0.$$

Взяв производную от обеих частей, мы найдём:
$$\dot{a}=\dot{a}{a}^0+a{\dot{a}}^0,$$

или, на основании $(4.10)$,
$$\dot{a}=\dot{a}{a}^0+a\omega p^0.$$

Первое слагаемое правой части, очевидно, направлено по самому вектору $\mathit{a}$ и потому носит название продольной, или радиальной, составляющей; оно характеризует быстроту изменения модуля вектора; если век.тор постоянен по модулю, радиальная составляющая равна нулю, и, следовательно, производная $\dot{\mathit{a}}$ или равна нулю, или перпендикульрна к $\mathit{a}$; второе слагаемое перпендикулярно к вектору $\mathit{a}$ и называется поперечной, или трансверсальной, составляющей; оно характеризует быстроту поворота вектора. Если вектор не меняется по направлению, трансверсальная составляющая равна нулю, и, следовательно, производная $\dot{\mathit{a}}$ или равна нулю, или коллинеарна с $\mathit{a}$. Из формулы (4.12) видно, что вообще $|\dot{a}|eq\dot{a}$, а значит, и $|da|eqda$, т. е. модуль дифференциала, вообще говоря, не равен дифференциалу модуля вектора.

28. Геометрический смысл первой и второй производных вектора. Формула кривизны кривой. Заметим прежде всего, что приращение $\mathrm{\Delta }a$ вектора служит хордой его годографа (фиг. 34). Пусть длина дуги годографа от некоторой его точки до конца вектора $\mathit{a}$, измеренная в тех же единицах, что и вектор $\mathit{a}$, есть $s$. Называя $\mathrm{\Delta }s$ длину дуги, стягиваемой хордой $\mathrm{\Delta }a$, мы получаем для модуля производной выражение
$$\left|\frac{da}{dt}\right|=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\left|\frac{\mathrm{\Delta }a}{\mathrm{\Delta }t}\right|=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\left|\frac{\mathrm{\Delta }a}{\mathrm{\Delta }s}\right|\left|\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}\right|=1\cdot \left|\frac{ds}{dt}\right|,$$
T. e.
$$\left|\frac{da}{dt}\right|=\left|\frac{ds}{dt}\right|$$

как следствие получаем:
$$|da|=|ds|.$$

С другой стороны, поскольку предельным направлением секущей (при неограниченном сближении точек её пересечения с кривой) является касательная, мы можем утверждать, что производная $\frac{da}{dt}$ направлена по касательной к годографу вектора $\mathit{a}$. Назвав ${\tau }^0$ единичный вектор касательной, направленный в сторону отсчёта длин дуг, мы можем оба результата объединить в записи:
$$\frac{da}{dt}=\frac{ds}{dt}{\tau }^0.$$

В частном случае, если независимой переменной служит длина дуги $s$ годографа, мы получаем:
$$\frac{da}{ds}={\dot{\tau }}^0,$$

т. е. производная вектора по дуге годографа равна единичному вектору касательной.

Пусть в дальнейшем рассматриваемый вектор $\mathit{a}$ есть радиус-вектор $\mathit{r}$ текущей точки кривой, заданной векторным уравнением
$$\mathit{r}=\mathit{r}(s)\text{. }$$

Формула (4.16), применённая к радиусу-вектору точки, даёт
$$\frac{dr}{ds}={\overline{\tau }}^0,$$
т. е. производная от радиуса-вектора по дуге кривой равна единичному вектору касательной.
Продифференцировав вторично уравнение (4.17), мы получим
$$\frac{d^{2}r}{d{s}^2}=\frac{\overline{d\tau }0}{ds}.$$

Согласно формуле (4.9) правая часть этого равенства может быть представлена как $lim\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }s}\cdot u^0$ (фиг. 36); здесь $lim\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }s}$ есть предел, к которому стремится отношение угла ${\mathrm{\Delta }}_p$ между двумя касательными к соответствующему приращению длины дуги $\mathrm{\Delta }s={\widetilde{AA}}^{\prime }$, т. е. это есть кривизна $k$ кривой; $\overrightarrow{\text{ v }}$ представляет собою единичный вектор главной нормали; действительно, вектор $lim\frac{\mathrm{\Delta }{\text{ T }}^0}{\mathrm{\Delta }g}$ перпендикулярен к касательной и, кроме того, $\mathrm{\Delta }{\overline{\tau }}^0$ лежит в плоскости, проходящей через касательную $AT$ и параллельной касательной ${\dot{A}}^{\prime }{T}^{\prime }$ в соседней точке кривой; предельным положением этой плоскости при $A^{\prime }\to A$ является так называемая соприкасающаяся плоскость; нормаль же, лежащая в соприкасающейся плоскости и направленная в сторону вогнутости кривой, называется главной нормалью. Итак,
$$\frac{d\overline{{\tau }^0}}{ds}=\overrightarrow{k,0}$$

а следовательно, и
$$\frac{d^{2}r}{d{s}^2}=\overrightarrow{k{v}^0}$$
т. е. вторая производная от радиуса-вектора по дуге годографа, равна кривизне, умноженной на единичный вектор главной нормали. Введя радиус кривизны $\rho =\frac{1}{k}$, мы можем также написать
$$\overline{d{\tau }^0}=\frac{\overline{v}}{\rho }$$

и
$$\frac{d^{2}r}{d{s}^2}=\frac{\overline{v}}{\rho }.$$

Выразив радиус-вектор $\mathit{r}$ через его проекции, т. е. положив
$$r=x{x}^0+y{y}^0+z{z}^0,$$

и перейдя к модулям векторов в формуле (4.19), мы получим следующее выражение для кривизны:
$$k=\frac{1}{\rho }=\sqrt{{\left(\frac{d^{2}x}{d{s}^2}\right)}^2+{\left(\frac{d^{2}y}{d{s}^2}\right)}^2+{\left(\frac{d^{2}z}{d{s}^2}\right)}^2}.$$
29. Проекции производной вектора на неизменное и подвижное направления. Согласно формуле (1.11) прэекция вектора $\mathit{a}$ на направление, заданное единичным вектором ${\mathit{u}}^0$, имеет следующее выражение:
$${\text{ пр }}_{{\mathit{u}}^0}\mathit{a}=\mathit{a}\cdot {\mathit{u}}^{\mathbf{0}}.$$

Применив это правидо к производной вектора $\mathit{a}$, мы получаем:
$${\text{ пр }}_{u^0}\frac{da}{dt}=\frac{da}{dt}\cdot {\mathit{u}}^0.$$

Если ${\mathit{u}}^0=\overline{\text{ const. }}$, то правая часть равенства может быть представлена как $\frac{d}{dt}(\mathit{a}\cdot {\mathit{u}}^0)$, что, в свою очередь, равно $\frac{d}{dt}$ пр ${}_{{\mathit{u}}^{\circ }}\mathit{a}$. Поэтому мы окончательно получаем:
$${}_{n{u}^0}\frac{da}{dt}=\frac{d}{dt}{\mathrm{п}\mathrm{p}}_{u^0}a,$$
т. е. проекция производной вектора на неизменное направление равна производной от проекции вектора на это направление. Если же само направление ${\mathit{u}}^0$ меняется в зависимости от значений независимого переменного $t$, предыдущее выражение заменится другим. В этом случае
$$\frac{d}{dt}(a\cdot u^0)=\frac{da}{dt}\cdot u^0+a\cdot \frac{d{u}^0}{dt},$$

и потому
$$\frac{da}{dt}\cdot u^0=\frac{d}{dt}(a\cdot u^0)-a\cdot \frac{d{u}^0}{dt},$$
т. е.
30. Интеграл от вектора по скалярному аргументу. Если вектор $\mathit{b}$ равен производной от вектора $\mathit{a}$, т. е.
$$\frac{da}{dt}=b,$$

то вектор $\mathit{a}$ называется неопределённым интегралом от $\mathit{b}$, что обозначается следующим образом;
$$\mathit{a}=\int \mathit{b}dt.$$

Как и в области скалярного переменного, неопределённый интеграл (4.26) содержит в себе произвольную аддитивную постоянную, т. е. если $\mathit{F}(t)$ означает какую-либо одну из функций $a$, удовлетворяющих уравнению (4.25), то общее выражение функций $\mathit{a}$, ему удовлетворяющих, будет
$$a=F(t)+c,$$

мде $\mathit{c}$ — произвольный постоянный вектор.

Определённым интегралом в пределах от $t_0$ до $t$ называют разность соответствующих значений неопределённого интеграла
$${\int }_{t_0}^t\mathit{b}dt=\mathit{a}(t)-\mathit{a}\left(t_0\right).$$

Разрешим последнее уравнение относительно $\mathit{a}(t)$; мы найдём:
$$\mathit{a}(t)=\mathit{a}\left(t_0\right)+{\int }_{t_0}^t\mathit{b}dt.$$

В потученном выражении для неопределённого интеграла $\mathit{a}(t)$ роль произвольного постоянного играет значение $\mathit{a}\left(t_0\right)$, которое придают этому интегралу при некотором значении аргумента $t=t_0$.

На определённый интеграл (4.28) можно также смотреть, как на предел некоторой суммы, а именно:
$${\int }_{t_0}^t\mathit{b}dt=\underset{\mathrm{\Delta }{t}_v\to 0}{lim}\sum _{v=0}^n\mathit{b}\left(t_v\right)\mathrm{\Delta }{t}_v,$$

где $\mathrm{\Delta }{t}_v=t_{v+1}-t_v$ и $t_{n+1}=t$. Доказательство последней формулы совершенно такое же, как для скалярных функций; поэтому мы на нём не останавливаемся. Каждая из приведённых в этом параграфе векторных формул, разумеется, эквивалентна трём скалярным формулам; так, если
$$\mathit{a}=\int \mathit{b}dt$$

то
$$a_x=\int b_{x}dt,a_y=\int b_{y}dt,a_z=\int b_{z}dt$$

и т. д.
31. Производная системы скользящих векторов. Обратимся теперь к некоторой системе $S$ скользящих векторов. Пусть её координаты, т. е. главный вектор и главный момент относительно некоторого неподвижного полюса $O$ (начала координат), соответственно равны $\mathit{a}$ и ${\mathit{L}}_O$. Мы это будем изображать символическим равенством
$$\mathcal{S}=(\mathit{a},{\mathit{L}}_O).$$

Если векторы системы являются функциями одной независимой переменной $t$, то функциями той же самой переменной будут и координаты ( $\mathit{a},{\mathit{L}}_O$ ) системы. Рассмотрим два значения независимой переменной, $t$ и $t+\mathrm{\Delta }t$; пусть соответствующие значсния координат системы будут
$$(a,{\mathit{L}}_O)\text{ и }(a+\mathrm{\Delta }a,{\mathit{L}}_O+\mathrm{\Delta }{\mathit{L}}_O).$$

Очевидно, система ( $\mathrm{\Delta }\mathit{a},\mathrm{\Delta }{\mathit{L}}_o$ ) представляет собой такую систему, которая, будучи приложена к системе ( $\mathit{a},{\mathit{L}}_O)$, даёт систему ( $\mathit{a}+\mathrm{\Delta }\mathit{a},{\mathit{L}}_O+\mathrm{\Delta }{\mathit{L}}_O)$. Назовём систему ( $\mathrm{\Delta }\mathit{a},\mathrm{\Delta }{\mathit{L}}_O)$ приращение м системы $S$ и обозначим её $\mathrm{\Delta }S$. Разделим координаты системы $\mathrm{\Delta }\mathcal{S}$ на приращение $\mathrm{\Delta }t$ независимой переменной и перейдём к пределу, устреми приращение $\mathrm{\Delta }t$ независимой переменной к нулю. Тогда мы получим систему $(\dot{a},{\dot{\mathit{L}}}_O)$, которая называется производной от данной системы $S$ и обозначается следующим образом:
$$\dot{S}=(\dot{a},{\dot{L}}_o).$$

Итак, система $\ddot{S}$ имеет своим главным вектором и главиым моментом производные от главного вектора и главного момента данной системы.

32. Зависимость координат производной системы от изменения положения полюса. В предыдущем параграфе при введении понятия о производной от системы скользящих векторов существенной была предпосылка, что полюс $O$ мыслился как неподвижный. Посмотрим, как нужно обобщить заключительную формулировку па̄раграфа, если полюс, относительно которого берётся главный момент, меняет своё положение. Пусть этот по.юс обозначен буквой $A$. Согласно теореме (3.2) на стр. 20 новые координаты $\mathit{a},{\mathit{L}}_{\mathit{A}}$ рассматриваемой системы скользящих векторов следуюшим образом связаны с её старнми координатами $\mathit{a},{\mathit{L}}_O$ :
$$S=(\mathit{a},{\mathit{L}}_A)=(\mathit{a},{\mathit{L}}_O-{\mathit{r}}_A\times \mathit{a}).$$

Составим выражение для производной системы $\dot{S}$, имея в виду, что координаты производной системы равны производным от кооддинат основной системы, вылисленным в предположении неизменности полюса; мы получим:
$$\dot{S}=(\dot{a},{\dot{L}}_O-r_A\times \dot{a}).$$

С другой стороны, найдём производную от главного момента системы ${\mathit{L}}_A$; мы имеем
$${\dot{\mathit{L}}}_A=\frac{d}{dt}({\mathit{L}}_O-{\mathit{r}}_A\times \mathit{a})={\dot{\mathit{L}}}_O-{\mathit{r}}_A\times \dot{\mathit{a}}-{\dot{\mathit{r}}}_A\times \mathit{a}.$$

Сравнивая выражения (4.30) и (4.31), мы приходим к следующей теореме:
$$\dot{S}=(\dot{a},{\dot{L}}_A+{\dot{r}}_A\times a)$$

Полюс, радиус-вектор которого численно и по направлению равен ${\dot{r}}_A$, всего естественнее назвать производным полюсом от полюса $A$, определяемого радиусом-вектором ${\mathit{r}}_A$. Тогда формулу (4.32) словами можно будет выразить так: главный вектор производной системы равен производной от главного вектора основной системы; главный момент производной системы равен сумме производной от главного момента основной системы (относительно полюса $A$ ) и момента относительно начала координат главного вектора системы, приложенного к производному полюсу от полюса $A$. Указанный поправочный член обращается в нуль, если производный полюс для данного значения независимой переменной $\mathit{t}$ попадает в начало координат или если радиус-вектор ${\dot{r}}_A$ производного полюса коллинеарен с главным вектором $\mathit{a}$ системы.

Если вместо системы скользящих векторов мы имеем только один скользящий вектор, то всё сказанное выше остаётся в силе, только слова «главный вектор и главный момент» должны быть заменены словами «скользящий вектор и его момент».