12. Система свободных векторов. Главный вектор. Координаты системы. Совокупность $n$ свободных векторов $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \ldots, \boldsymbol{a}_{n}$, объеди нённых каким-либо признаком, мы будем называть системой свободы ных векторов. Вектор $a$, представляющий собой сумму данных. векторов,
\[
a=\sum_{v=1}^{n} a_{v},
\]

носит название главного вектора системы. Проекцин главного век-

изменения в том и другом отношении. Для этого представим прежде всего вектор $\boldsymbol{a}$ как произведение модуля на единичный вектор:
\[
a=a a^{0} .
\]

Взяв производную от обеих частей, мы найдём:
\[
\dot{a}=\dot{a} a^{0}+a \dot{a}^{0},
\]

ніни, на основании $(4.10)$,
\[
\dot{\boldsymbol{a}}=\dot{a} a^{0}+a \omega p^{0} .
\]

Первое слагаемое правой части, очевидно, направлено по самому вектору $a$ и потому носит название продольной, или радиальной, составляющей; оно характеризует быстроту изменения модуля вектора; есии вектор постоянен по модулю, радиальная составляющая равна нулю, и, следовательно, производная $\dot{\boldsymbol{a}}$ или равна нулю, или перпендикулярна к $\boldsymbol{a}$; второе слагаемое перпендикулярно к вектору $\boldsymbol{a}$ и называется поперечной, или трансверсальной, составляющей; оно характеризует быстроту поворота вектора. Если вектор не меняется по направлению, трансверсальная составляющая равна нулю, и, следовательно, производная $\dot{\boldsymbol{a}}$ или равна нулю, или коллинеарна с $\boldsymbol{a}$. Из формулы (4.12) видно, что вообще $|\dot{\boldsymbol{a}}|
eq \dot{\boldsymbol{a}}$, а значит, и $|d \boldsymbol{a}|
eq d a$, т. е. модуль дифференциала, вообще говоря, не равен дифференциалу модуля вектора.
28. Геометрический смысл первой и второй производных вектора. формула кривизны кривой. Заметим прежде всего, что приращение $\Delta \boldsymbol{a}$ вектора служит хордой его годографа (фиг. 34). Пусть длина дуги годографа от некоторой его точки до конца вектора $\boldsymbol{a}$, измеренная в тех же единицах, что и вектор $\boldsymbol{a}$, есть $s$. Называя $\Delta s$ длину дуги, стягиваемой хордой $\Delta \boldsymbol{a}$, мы получаем для модуля производной выражение
\[
\left|\frac{d a}{d t}\right|=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta a}{\Delta t}\right|=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta a}{\Delta s}\right|\left|\frac{\Delta s}{\Delta t}\right|=1 \cdot\left|\frac{d s}{d t}\right|,
\]
т. e.
\[
\left|\frac{d a}{d t}\right|=\left|\frac{d s}{d t}\right|
\]

как следствие получаем:
\[
|d a|=|d s| .
\]

С другой стороны, поскольку предельным направлением секущей (при неограниченном сближении точек её пересечения с кривой) является касательная, мы можем утверждать, что производная $\frac{d \boldsymbol{a}}{d \boldsymbol{t}}$ направлена по касательной к годографу вектора $\boldsymbol{a}$. Назвав $\tau^{0}$ единичный вектор касательной, направленный в сторону отсчёта длин дуг, мы можем оба результата объедннить в записи:
\[
\frac{d a}{d t}=\frac{d s}{d t} \tau^{0}
\]

В частном случае, если независимой переменной служит длина дуги $s$ годографа, мы получаем:
\[
\frac{d a}{d s}=\bar{\tau}^{0},
\]

Отсюда суммированием находим:
\[
\sum_{v=1}^{n} L_{C_{v}}=\sum_{v=1}^{n} L_{O v}-\sum_{v=1}^{n} r_{C} \times a_{v}
\]

здесь
\[
\sum_{
u=1}^{n} \boldsymbol{L}_{C
u}=\boldsymbol{L}_{C} \quad \text { н } \quad \sum_{
u=1}^{n} \boldsymbol{L}_{O v}=\boldsymbol{L}_{O}
\]

представляют собой соответственно главные моменты системы относительно полюсов $C$ и $O$, а второе слагаемое правой части может быть преобразовано следующим образом:
\[
-\sum_{v=1}^{n} r_{C} \times a_{v}=-r_{C} \times \sum_{v=1}^{n} a_{v}=-r_{C} \times a .
\]

Таким образом, мы окончательно получаем:
\[
\boldsymbol{L}_{C}=\boldsymbol{L}_{0}-\boldsymbol{r}_{C} \times \boldsymbol{a},
\]

или, что то же,
\[
\boldsymbol{L}_{C}=\boldsymbol{L}_{O}+. \overline{C O} \times \boldsymbol{a} .
\]

Это соотношение может быть истолковано в том смысле, что главный момент системы относительно некоторого нового полюса $C$ равен сумме главного момента относительно старого полюса $O$ и момента главного вектора относительно нового полюса $C$ в предположении, что главный вектор приложен в старом полюсе O. Пусть, например, $\boldsymbol{L}_{O}$ есть главный момент системы относительно полюса $O$ (фиг. 23), $\boldsymbol{a}$ – главный вектор системы, $\overline{C O} \times \boldsymbol{a}$ – момент вектора $\boldsymbol{a}$, приложенного к точке $O$, относительно полюса $C$. Тогда главный момент $\boldsymbol{L}_{C}$ системы относительно полюса $C$ будет равен сумме векторов $\boldsymbol{L}_{O}$ и $\overline{C O} \times \boldsymbol{a}$, как показано на чертеже:
\[
\boldsymbol{L}_{C}=\boldsymbol{L}_{O}+\overline{C O} \times \boldsymbol{a} .
\]

Из доказанного соотношения (3.2), между прочим, вытекает, что геометрическим местом полюсов $C$ с геометрически равными главными моментами $\boldsymbol{L}_{C}$ служит прямая, параллельная главному вектору системы: в самом деле, вектор $\boldsymbol{r}_{C} \times \boldsymbol{a}$ не будет изменяться, если конец вектора $\boldsymbol{r}_{C}$ перемещать параллельно вектору $\boldsymbol{a}$.
15. Инварианты системы скользящих векторов. Мы видели, что главный вектор $\boldsymbol{a}$ системы скользящих векторов не зависит от того, относительно какого полюса мы вычисляем главный момент $\boldsymbol{L}$. Поэтому главния полюса.

Другим инвариантом является, как мы сейчас покажем, скалярное произведение $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}$ главного вектора на главный момент. Дяя доказательства будем исходить из формулы (3.2), выражающей главный момент относительно произвольного полюса $C$ через главный момент относительно некоторого полюса $O$ :
\[
\boldsymbol{L}_{c}=\boldsymbol{L}_{0}-r_{C} \times \boldsymbol{a} .
\]

Умножив обе части этого равенства скалярно на главный вектор $\boldsymbol{a}$, мы получим:
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}_{C}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}_{O}-\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{r}_{C} \times \boldsymbol{a} .
\]

Здесь векторно-скалярное произведение $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{c}} \times \boldsymbol{a}$, как содержашее два одинаковых множителя, равно нулю; поэтому окончательно получаем:
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}_{C}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}_{O} ;
\]

следовательно, инвариантность скалярного произведения главного вектора на главный момент доказана. Если $\boldsymbol{a}
eq 0$, то равенство (3.4) может быть поделено на $a$, и тогда мы получим:

или
\[
\begin{array}{c}
\underset{a}{a} \cdot \boldsymbol{L}_{C}=\frac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}} \cdot \boldsymbol{L}_{O}, \\
\boldsymbol{a}^{0} \cdot \boldsymbol{L}_{C}=\boldsymbol{a}^{\prime} \cdot \boldsymbol{L}_{O} .
\end{array}
\]

Согласно формуле (1.11) на стр. 7 это равенство означает, что проекция главного момента снстемы на направление главного вектора не зависит от положения полюса; для любого полюса эта проекция равна
\[
п р_{a} L=\frac{a \cdot L o}{a} .
\]

16. Центральная ось системы скользящих векторов. Разложим главный момент $\boldsymbol{L}_{O}$ системы относительно полюса $O$ на составляющий вектор $\boldsymbol{L}_{O}^{(a)}$ по направлению главного вектора $\boldsymbol{a}$ и на составляющий вектор $\boldsymbol{L}_{O}^{(p)}$ по направлению, перпендикулярному к главному вектору (фиг. 24). Перемена полюса, как показывает формула (3.4), влияет лишь на сосгавляющий момент $\boldsymbol{L}_{O}^{(p)}$, перпендикулярный к главному вектору. Посмотрим, нельзя ли выбрать полюс $C$ так, чтобы этот составляющий момент обратился в нуль. Тогда, очевидно, главный момент $\boldsymbol{L}_{C}$ относительно этого полюса будет иметь наименьшую из всех возможных величину, именно $\boldsymbol{L}_{O}^{(a)}$, и по направленню совпадёт с главным вектором $\boldsymbol{a}$. Отступим от плоскости, содержащей векторы $\boldsymbol{a}$ и $L_{O}^{(p)}$, по перпендикуляру $O C$ Фиг. 24.

к ней на расстояние $O C=\frac{L_{O}^{(p)}}{a}$, притом в такую сторону, чтобы наблюдателю, находящемуся в точке $C$, переход от вектора $\boldsymbol{a}$ к вектору $\boldsymbol{L}_{O}$ (по кратчайшему пути) представлялся происходящим против движения часовой стрелки. Тогда точка $C$ и будет искомым полюсом. Действительно, по предыдущему [формула (3.3)] главный момент $\boldsymbol{L}_{C}$ для полюса $C$ получится, как сумма момента $\boldsymbol{L}_{O}$ и момента $\boldsymbol{K}=\overline{\boldsymbol{C O}} \times \boldsymbol{a}$ вектора $\boldsymbol{a}$ относительно полюса $C$. Этот момент по модулю равен
\[
a \cdot O C=a \cdot \frac{L_{O}^{(p)}}{a}
\]

и по направлению противоположен $\boldsymbol{L}_{O}^{(p)}$. Следовательно, сумма векторов $\boldsymbol{L}_{O}$ и $\boldsymbol{K}$ даст только вектор $\boldsymbol{L}_{C}$, равный вектору $\boldsymbol{L}_{O}^{(a)}$, что мы и желали. получить.

Полюсов, подобных $C$, бесконечное множество; все они лежат на прямой $C C^{\prime}$, проходящей через выше построенную точку $C$ и параллельной главному вектору (см. § 14). Прямая эта носит название центральной оси системы скользящих векторов. Уравнение центральной оси можно написать, опираясь на построение, выполненное в предыдущем параграфе (фиг. 24). Радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ произвольной точки $M$ оси, очевидно, может быть выражен следующим образом:
\[
r=\overline{O C}+a \tau,
\]

где переменный скалярный параметр $\tau$ равен отношению векторов $\frac{\overline{C M}}{\boldsymbol{a}}$. Чтобы выразить вектор $\overline{O C}$ через главный вектор $\boldsymbol{a}$ и главный момент $\boldsymbol{L}_{O}$, заметим, что этот вектор направлен одинаково с векторным произведением $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{L}_{O}$ и, следовательно, может быть представлен в виде
\[
\overline{O C}=k \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{L}_{O} ;
\]

скалярный коэффициент $k$ можно определить из условия, что длина отрезка $O C$ равна $\frac{L_{O}^{(p)}}{a}$; на этом оснозании имеем
\[
k\left|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{L}_{O}\right|=\frac{L_{O}^{(p)}}{a},
\]

или
\[
k a L_{O} \sin \left(\boldsymbol{a}, \hat{\boldsymbol{L}}_{O}\right)=\frac{L_{O}^{(p)}}{a} ;
\]

а так как $L_{O} \sin \left(\hat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{L}_{O}}\right)=L_{O}^{(p)}$, то окончательно получаем:
\[
k=\frac{1}{a^{2}} \text {. }
\]

Возвращаясь к выражению вектора $\boldsymbol{r}$, можем теперь написать
\[
r=\frac{a \times L_{0}}{a^{2}}+\boldsymbol{a} \tau,
\]

или
\[
\frac{\boldsymbol{r}-\frac{\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{L}_{O}}{a^{2}}}{\boldsymbol{a}}=\tau .
\]

Это и есть уравнение центральной оси в векторной форме. Полученное уравнение показывает, что центральная ось-это прямая, параллельная вектору $\boldsymbol{a}$ и проходящая через точку, определённую радиусом-вектором $\frac{\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{L}_{O}}{a^{2}}$. В проекциях на оси координат уравнение (3.6) будет иметь вид
\[
\frac{x-\frac{a_{y} L_{O z}-a_{z} L_{O y}}{a^{2}}}{a_{x}}=\frac{y-\frac{a_{z} L_{O x}-a_{x} L_{O z}}{a^{2}}}{a_{y}}=\frac{z-\frac{a_{x} L_{O y}-a_{y} L_{O x}}{a^{2}}}{a_{z}},
\]

где
\[
a^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2} .
\]

Уравнение центральной оси можно также искать, исходя из того условия, что для точек центральной оси главный момент является минималь-

ным. Пусть $\boldsymbol{a}$ попрежнему главный вектор системы, $\boldsymbol{L}_{O}$ – её главный момент относительно начала координат, $\boldsymbol{r}$ – радиус-вектор некоторой точки $M$ центральной оси и $\boldsymbol{L}$ – главный момент относительно этой точки. По формуле (3.2) имеем для этого момента выражение
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}_{O}-\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{a} ;
\]

следовательно, если координаты точки $M$ обозначить $x, y, z$, то квадрат модуля главного момента будет равен
\[
L^{2}=\left(L_{O x}-y a_{z}+z a_{y}\right)^{2}+\left(L_{O y}-z a_{x}+x a_{z}\right)^{2}+\left(L_{O z}-x a_{y}+y a_{x}\right)^{2} .
\]

Желая определить координаты $x, y, z$ полюса так, чтобый главный момент для него был наименьшим, мы должны искать минимум функции $L^{2}$ от трёх переменных $x, y, z$. По известным правилам приравниваем нулю частные производные по этим переменным; получаем
\[
\begin{array}{l}
a_{z}\left(L_{O y}-z a_{x}+x a_{z}\right)-a_{y}\left(L_{O z}-x a_{y}+y a_{x}\right)=0, \\
a_{x}\left(L_{O z}-x a_{y}+y a_{x}\right)-a_{z}\left(L_{O x}-y a_{z}+z a_{y}\right)=0, \\
a_{y}\left(L_{O x}-y a_{z}+z a_{y}\right)-a_{x}\left(L_{O y}-z a_{x}+x a_{z}\right)=0 .
\end{array}
\]

Первое урзвнение можно преобразовать следующим образом:
\[
x a_{z}^{2}+x a_{y}^{2}-a_{y} L_{O z}+a_{z} L_{O y}=z a_{x} a_{z}+y a_{x} a_{y} .
\]

Прибавим к обеим частям полученного уравнения $x a_{x}^{2}$ и перепишем его в следующем виде:
\[
x-\frac{a_{y} L_{O z}-a_{z} L_{O y}}{a^{2}}=a_{x} \frac{x a_{x}+y a_{y}+z a_{z}}{a^{2}},
\]

где положено
\[
a^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2} .
\]

К аналогичному виду приведём также второе и третье уравнения (3.8):
\[
\begin{array}{c}
y-\frac{a_{z} L_{O x}-a_{x} L_{O Z}}{a^{2}}=a_{y} \cdot \frac{x a_{x}+y a_{y}+z a_{z}}{a^{2}}, \\
z-\frac{a_{x} L_{O y}-a_{y} L_{O x}}{a^{2}}=a_{z} \cdot \frac{x a_{x}+y a_{y}+z a_{z}}{a^{2}} .
\end{array}
\]

Последние три уравнения можно теперь записать в виде равенства отношений
\[
\frac{x-\frac{a_{y} L_{O Z}-a_{z} L_{O y}}{a^{2}}}{a_{x}}=\frac{y-\frac{a_{z} L_{O:}-a_{x} L_{O z}}{a^{2}}}{a_{y}}=\frac{z-\frac{a_{x} L_{O y}-a_{y} L_{O x}}{a^{2}}}{a_{z}} .
\]

Мы получили уравнение центральной оси в той же форме (3.7), что и при предыдущем выводе.

17. Распределение главных моментов в пространстве. На основании предылущего мы можем составить себе ясное представление о том, как расположены в пространстве главные моменты около различных полюсов. Модуль главного момента $\boldsymbol{L}_{O}$ относительно точки $O$, отстоящей от центральной оси на расстоянии $C O=d$ (фиг. 24), по § 14 представится так:
\[
L_{O}=\sqrt{L_{C}^{2}+a^{2} d^{2}}
\]

и, следовательно,
\[
x=\frac{a}{a} a^{0}+c
\]

или
\[
x=\frac{a}{a^{2}} a+c,
\]

где $\boldsymbol{c}$ – произвольный по длине вектор, перпендикулярный к $\boldsymbol{a}$ (фиг. 10). В заключение выведем важную формулу, выражающую скалярное пройзведение $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ двух векторов через их проекции на оси прямоугольной системы координат. Согласно формуле (1.7) имеем
\[
\begin{array}{l}
a=a_{x} x^{0}+a_{y} y^{0}+a_{z} z^{0}, \\
b=b_{x} x^{0}+b_{y} y^{0}+b_{z} z^{0} .
\end{array}
\]

Перемножим эти равенства. Опираясь на распределительный закон (1.15) и на формулы (1.14), мы получим:
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z} .
\]

Отсюда находим следующее выражение косинуса угла между двумя векторами:
\[
\cos (\hat{a, b})=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{a b}=\frac{a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}}{a b} .
\]

В частном случае, если векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ взаимно перпендикулярны, из последней формулы получаем:
\[
a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}=0 .
\]
б) Векторное произведение двух векторов, обозначаемое $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, есть вектор, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, а направление его перпендикулярно к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами (фиг. 11); при этом вектор $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ направлен так, что наблюдателю, смотрящему с конца вектора $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ на перемножаемые векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, кажется, что для кратчайшего совмешения первого множителя со вторым его нужно вращать против движения стрелки часов. Непосредственно из определения векторного произведения следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах:

Далее, очевидно
\[
\begin{array}{c}
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=\text { пл } O A B C . \\
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a},
\end{array}
\]
т. е. векторное умножение не обладает свойством переместительности. Сочетательность относительно умножения на скаляр, отевидно, имеет место:
\[
(n \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b}=n(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) .
\]

19.Эквивалентные системы скользящих векторов. Системы прямо противоположные. Системы,эквивалентные нулю.

Если две системы $S_{1}$ и $S_{2}$ скользящих векторов таковы, что сложная система из $S_{1}$ и системы, прямо противоположной $S_{2}$, или, наоборот, из $S_{2}$ и системы, прямо противоположной $S_{1}$, эквиваленгна , нулю, то системы $S_{1}$ и $S_{2}$ эквивалентны друг другу.

20. Простейшие системы скользящих векторов. Один вектор. Пара векторов. Наиболее простой системой скользящих векторов является система, состоящая только из одного вектора. Другая простая система получится, если мы возьмём два скользящих вектора $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{P}^{\prime}$, равные по модулю, лежащие на параллельных основаниях $A B$ и $C D$ и противоположно направленные (фиг. 27). Такая система носит название пары векторов. Главный вектор для пары обращается в нуль, а потому (§17) главный момент пары не зависит от положения полюса. Мы его просто будем называть моментом $\boldsymbol{L}$ пары. Обозначим $\boldsymbol{r}$ вектор, соединяющий в каком-нибудь направлении точки приложения векторов пары, например от $O$ к $E$. Непосредственно видно, что если при вычислении главного момента $\boldsymbol{L}$ пары взять за полюс точку $O$, то главный момент равен векторном произведению вектора $\boldsymbol{r}$ на тот из векторов пары (вектор $\boldsymbol{P}$ ), к началу которого направлен вектор r. Итак, момент пары равен
\[
L=r \times P .
\]

Модуль момента пары, очевидно, равен произведению модуля одного из векторов пары на расстояние $h$ между основаниями, т. е. на так называемое плечо пары:
\[
L=h P .
\]

По направлению момент пары перпендикулярен к плоскости пары, т. е. плоскости, содержащей векторы пары, и идёт в ту сторону от неё, откуда наблюдатель видит векторы стремящимися повернуть плечо пары против движения часовой стрелки. Пары, имеющие равные моменты и лежащие в одной плоскости, эквивалентны между собой. Точно так же пары, лежацие в параллельных плоскостях, эквивалентны между собой, если равны их моменты.

21. Замена данной системы векторов простейшей, ей эквивалентной, при инвариантах, отличных от нуля. Введение в рассмотрение эквивалентных систем даёт нам возможность заменять одни системы векторов другими, более простыми или более удобными в каком-либо отношении. Так, например, система, состоящая из нескольких векторов с общей точкой приложения, может быть заменена одним вектором, равным сумме данных векторов и приложенным к той же точке.

Рассмотрим сначала общий случай замены данной системы простейшей. Пусть для взятого полюса данная система имеет главный вектор $\boldsymbol{a}$ и главный момент $\boldsymbol{L}_{O}$ (фиг. 28). Система, состоящая из вектора $\boldsymbol{a}$, приложенного к точке $O$, и пары ( $\left.\boldsymbol{P}, \boldsymbol{P}^{\prime}\right)$, плоскость которой перпендикулярна к $\boldsymbol{L}_{O}$ и момент которой равен $\boldsymbol{L}_{O}$, будет очевидно, эквивалентна данной системе. Если полюс $O$ взят на центральной оси, то плоскость пары $\left(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{P}^{\prime}\right)$ будет

Фиг. 28.
Фиг. 29.

перпендикулярна к $\boldsymbol{a}$ и момент её будет наименьший (фиг. 29). Система векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{L}$, расположенных на одной прямой, носит название винта, или динамы. Скалярная величина $p=\frac{L}{a}$ называется параметром винта.

Итак, мы нашли, что любая система скользящих векторов может быть заменена системой, состоящей из трёх векторов: главного вектора $\boldsymbol{a}$ и пары $\left(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{P}^{\prime}\right)$ с моментом $\boldsymbol{L}_{O}$. Нетрудно уменьшить число этих векторов до двух. Действительно, эаменив пару $\left(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{P}^{\prime}\right)$ ей эквивалентной, мы можем совместить то’іку приложения одного нз векторов пары, например $\boldsymbol{P}^{\prime}$, с точкой $O$ (фиг. 30). Теперь два вектора, $\boldsymbol{P}^{\prime}$ н $\boldsymbol{a}$, могут быть заменены одним вектором $\boldsymbol{Q}$, им Фиг. 30. эквивалентным, т. е. равным диагонали параллелограмма, построенного на $\boldsymbol{P}^{\prime}$ и $\boldsymbol{a}$ (ср. сказанное в начале этого параграфа). Таким образом, оказывается, что любая система скользящих векторов с инвариантами, отличными от нуля, эквивалентна двум векторам, не лежащим в одной плоскости.

22. Теоремы Шаля и Мёбиуса. Замена данной системы векторов двумя векторами может быть сделана бесчисленным множеством способов. В самом деле, когда пару $\left(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{P}^{\prime}\right)$ мы заменяем ей эквивалентною, то можем взять произвольную длину плеча $h$, лишь бы при соответственном изменении модуля вектора $\boldsymbol{P}$ поизведение $P h$ сохранило свою величину; кроме того, пара может быть повёрнута на произвольный угол в своей плоскости; наконец, полюс может быть взят в любой точке. Но интересно, что какими бы двумя векторами $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{Q}$ мы ни заменили данную систему, взаимный момент $\operatorname{mom}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})$ остаётся величиной постоянной, а так как по § 11 взаимный момент численно равняется ушестерённому объему тетраэдра, построенного на $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{Q}$, как на противоположных рёбрах, то и этот объём остаётся постоянным. Чтобы доказать высказанное положение, называемое тгоремою Шаля (Chasles), положим, что моменты рассматрнваемых векторов относительно некоторого центра соответственно равны $L^{(P)}$ и $\boldsymbol{L}(\boldsymbol{Q})$. По формуле (2.21) взаимный момент векторов $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{Q}$ равен
\[
\operatorname{mom}(P, Q)=P \cdot L^{(Q)}+Q \cdot L^{(P)} .
\]

Это выражение можно преобразовать следующим образом:
\[
\operatorname{mom}(P, Q)=(P+Q) \cdot\left(L^{(P)}+L^{(Q)}\right) ;
\]

действительно, по раскрытии скобок, кроме прежнего выражения, появятся два слагаемые
\[
P \cdot L^{(P)}+Q \cdot L^{(Q)},
\]

каждое из которых согласно формуле (2.17) равно нулю как произведение вектора на его момент. Но $\boldsymbol{P}+\boldsymbol{Q}$ есть главный вектор $\boldsymbol{a}$ системы и $\boldsymbol{L}^{(P)}+\boldsymbol{L}(\boldsymbol{Q})-$ её главный момент $\boldsymbol{L}$. Следовательно,
\[
\operatorname{mom}(P, Q)=a \cdot L,
\]
т. е. взаимный момент равен второму инварианту системы, что и доказывает теорему.

Если данная система состоит из $n$ векторов $\boldsymbol{a}_{\mathrm{v}}^{\prime}$ с моментами $\boldsymbol{L}_{\mathrm{v}}$ относительно некоторого центра, то можно показать, что взаимный момент тех двух векторов $P, Q$, которые эквивалентны системе, равняется сумме взаимных моментов всех векторов системы, т. е.
\[
\operatorname{mom}(P, Q)=\sum_{
u=1, \mu=1}^{n, n} \operatorname{mom}\left(a_{v}, a_{\mu}\right) \quad(
u
eq \mu) ;
\]

здесь значки $
u, \mu$ в каждом слагаемом различны, так что число членов суммы есть $\frac{n(n-1)}{2}$. Для доказательства этого положения преобразуем следующим образом выражение (2.21) для взаимного момента:
\[
\operatorname{mom}(P, Q)=P \cdot L^{(Q)}+Q \cdot L^{(P)}=(P+Q) \cdot\left(L^{(P)}+L^{(Q)}\right)=\sum_{
u=1}^{n} a_{v} \cdot \sum_{v=1}^{n} L_{v}
\]

Выбросив в последнем выражении все произведения с одинаковыми индексами, как равные нулю, можем написать
\[
\operatorname{mom}(P, Q)=\sum_{v=1, \mu=1}^{n, n}\left(a_{
u} \cdot L_{\mu}+a_{\mu} \cdot L_{\gamma}\right) .
\]

Выражение в скобках представляет как раз взаимный момент векторов $\boldsymbol{a}_{v}, \boldsymbol{a}_{\mu}$; таким образом, как мы и желали получить,
\[
\operatorname{mom}(P, Q)=\sum_{
u=1, \mu=1}^{n, n} \operatorname{mom}\left(a_{v}, a_{\mu}\right) \quad(
u
eq \mu) .
\]

Доказанная теорема носит название теоремы Мёбиуса (Möbius).

23. Замена системы векторов простейшей, если хотя бы один инвариант равен нулю. Мы вндели, что в общем случае, когда инварианты отличны от нуля, т. е. когда
\[
a
eq 0, \quad \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}
eq 0,
\]

система эквивалентна двум векторам, не лежащим в одной плоскости. Теперь рассмотрим случаи, когда какой-либо из инвариантов обращается в нуль.

Если $\boldsymbol{a}=0$, то и второй инвариант $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}$ станозится нулём. Так как главный вектор системы – нуль, то система или эквивалентна нулю, или эквизалентна паре с моментом $\boldsymbol{L}$, равным главному моменту системы; последний в данном случае не зависит от положения полюса.

Пусть теперь
\[
\boldsymbol{a}
eq 0, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}=0 .
\]

Нетрудно видеть, что написанные выражения представляют условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная система была эквивалентна одному вектору. Если система может быть заменена одним вектором, то для полюсов, лежащих на основа: нии этого вектора, главный момент $\boldsymbol{L}$ системы должен обращаться в нуль, а, значит, для рассматриваемых полюсов и произведение $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}=0$. Но поскольку это произведение является инвариантом, оно равно нулю также и для всех других точек. Итак, условия (3.11) необходимы. Докажем, что они также достаточны. Если $\boldsymbol{L}=0$, это очевидно само

Фиг. 31. собой. В противном случае из равенства нулю скалярного произведения $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}$ следует, что главный момент $\boldsymbol{L}$ перпендикулярен к главному вектору $\boldsymbol{a}$ (фиг. 31). Отступив в этом случае от полюса $O$ по перпендикуляру к плоскости ( $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{L}$ ) в соответственную сторону на расстояние $O C=\frac{L}{a}$ (см. § 14), мы найдё по:юс $C$, для которого главный момент обратится в нуль, и, следовательно, система окажется действительно эквивалентной одному вектору $a^{\prime}=a$, приложенному к точке $C$.

24. Плоская система векторов. Система, у которой все векторы лежат в одной плоскости, называется плоской. Главный момент такой системы относительно тюбого центра, расположенного в её плоскости, перпендикулярен к этой плоскости, а главный вектор лежит в самой плоскости. Следовательно, второй инвариант системы равен нулю и, по $\S 23$, система эквивалентна или одному вектору, или паре, или нулю.

25. Система параллельных векторов. Центр системы. Пусть все векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ системы параллельны некоторому направлению $t$, характеризуемому единичным вектором $\boldsymbol{u}^{0}$ (фиг. 32). Будем обозначать проекции векторов системы на направление $u$ индексом $u$. Тогда координаты некоторого $
u$-го вектора системы получат выражение
\[
\begin{aligned}
a_{v} & =a_{v u} u^{0}, \\
\boldsymbol{L}_{O v} & =r_{v} \times a_{v u} u^{0}=a_{v u} r_{v} \times \boldsymbol{u}^{0},
\end{aligned}
\]

где $\boldsymbol{L}_{O}$, есть момент вектора $\boldsymbol{a}_{\downarrow}$ относнтель-
Фиг. 32.

но точки $O$ (начала координат). Следовательно, главный вектор и главный момент относительно точки $O$ соответственно равны:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} & =\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v u}\right) \boldsymbol{u}^{0}, \\
\boldsymbol{L}_{O} & =\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v u} r_{v}\right) \times \boldsymbol{u}^{0} .
\end{aligned}
\]

Составим выражение для второго инварианта; имеем
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}_{O}=\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v a}\right) \boldsymbol{u}^{0} \cdot\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v u} \boldsymbol{r}_{v}\right) \times \boldsymbol{u}^{0} ;
\]

но векторно-скалярное произведение при наянчии двух коллинеарных множителей равно нулю (см. § 5, а), следовательно,
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}_{O}=0 .
\]

Мы видели (§ 23), что если второй инвариант равен нулю, то система векторов или приводится к нулю, или к паре, или, если главный вектор $\boldsymbol{a}$ системы отличен от нуля, к одңому вектору, равному вектору $\boldsymbol{a}$. В нашем случае последнее обстоятельство имеет место при условии
\[
\sum_{v=1}^{n} a_{v a}
eq 0 .
\]

Вектор, эквивалентный системе, имеет в этом случае выраженне
\[
a=\left(\sum_{v=1}^{n} a^{\prime \prime}\right) \boldsymbol{u}^{0}
\]

как видим, он параллелен векторам системы.
Найдём на прямой, служащей основанием этого вектора (т. е. на центральной оси системы), точку, независимую от общего направления векторов; иначе говоря, найдём на основании вектора $\boldsymbol{a}$ такую точку $C$ (фиг. 32), которая не изменит своего положения, если, оставив все векторы $\boldsymbol{a}_{v}$ параллельными между собой, повернуть их на один и -тот же угол около их точек приложения: искомая точка носит название центра системы параллельных векторов. Согласно формуле (3.2) главный момент $\boldsymbol{L}_{C}$ относительно точки $C$, заданной радиусом-вектором $\boldsymbol{r}_{C}$, выражается через главный момент $\boldsymbol{L}_{O}$ относительно начала координат следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{L}_{C} & =\boldsymbol{L}_{O}-\boldsymbol{r}_{C} \times \boldsymbol{a}=\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v t r} \boldsymbol{r}_{v}\right) \times \boldsymbol{u}^{0}-\boldsymbol{r}_{C} \times\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v u}\right) \boldsymbol{u}^{0}= \\
& =\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v \boldsymbol{u}} \boldsymbol{r}_{v}\right) \times \boldsymbol{u}^{0}-\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v u}\right) \boldsymbol{r}_{C} \times \boldsymbol{u}^{0}=\left(\sum_{v=1}^{n} a_{v n} \boldsymbol{r}_{v}-\boldsymbol{r}_{C} \sum_{v=1}^{n} a_{v u}\right) \times \boldsymbol{u}^{0} .
\end{aligned}
\]

Так как точка $C$ лежит на основании того вектора $\boldsymbol{a}$, который эквивалентен всей системе векторов, то $\boldsymbol{L}_{C}=0$, и дия определения вектора $r_{C}$ мы получаем уравнение
\[
\left(\sum_{v=1}^{n} a_{\cdot u} r_{v}-r_{C} \sum_{v=1}^{n} a_{v u t}\right) \times u^{0}=0 .
\]

Множитель в скобках не зависит ог общего направления $\boldsymbol{u}^{0}$ векторов системы, а так как этот множитель не может быть коллинеарным с вектором $\boldsymbol{u}^{0}$ произволного направления, то равенство нулю рассматриваемого векторного произведения получается за счёт 1ого, что этот множитень равен нулю. Итак,
\[
\sum_{v=1}^{n} a_{v t} r_{v}-r_{C} \sum_{v=1}^{n} a_{v t}=0
\]

Отсюда для раднуса-вектора $r_{C}$ центра $C$ системн получаем выражение
\[
r_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} a_{v u} r_{v}}{\sum_{v=1}^{n} a_{v t}},
\]

или, в проекциях на оси координат,
\[
x_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} a_{v u t} x_{v}}{\sum_{v=1}^{n} a_{v t}}, y_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} a_{v i} y_{v}}{\sum_{v=1}^{n} a_{v i t}}, z_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} a_{v i t} z_{v}}{\sum_{v=1}^{n} a_{v u}} .
\]

Если все параллельные векторы $\boldsymbol{a}$, направлены в одну сторону, то в последних формулах, очевидно, вместо $a_{\mathrm{va}}$ везде мижно писать $a_{\mathrm{v}}$.

Мы обнаружили инвариантность точки $C$ относительно направления векторов $\boldsymbol{a}$, системы. Положение этой точки по отношению к точкам приложения $m_{\vee}$ векторов $\boldsymbol{a}_{v}$ не зависит также от выбора системы координат. В самом деле, при переходе от системы координат Oxyz к некоторой новой системе координат $O^{\prime} x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ (фиг. 33) радиусы-векторы $\boldsymbol{r}_{\mathbf{v}}$ в правой части выражения (3.12) придётся преобразовать по фррмуле
\[
r_{v}=r_{v}^{\prime}+b,
\]

Фиг. 33.
где $r_{v}^{\prime}$ – радиусы-векторы точек приложения векторов $a_{v}$ в новой системе коэрдинат и $b$-радиус-вектор начала $O^{\prime}$ новых осей по отношению к старой системе. Но тогда по той же формуле преобразуется и левая часть выражения (3.12); действительно,
\[
r_{C}=\frac{\sum_{v=1}^{n} a_{v u} r_{v}}{\sum_{v=1}^{n} a_{v a}}=\frac{\sum_{v=1}^{n} a_{v a}\left(r_{v}^{\prime}+b\right)}{\sum_{v=1}^{n} a_{v a}}=\frac{\sum_{v=1}^{n} a_{v u} r_{v}^{\prime}}{\sum_{v=1}^{n} a_{v l}}+\frac{b \sum_{v=1}^{n} a_{v a}}{\sum_{v=1}^{n} a_{v / l}}=r_{c}^{\prime}+\boldsymbol{b} .
\]

Отсюда и видно, что центр $C$ системы векторов $a_{v}$ места своего по отношению к точкам приложения векторов $\boldsymbol{a}_{\text {, }}$ не переменил.