151. Момент инерции относительно точки. Моментом инерции данной системы материальных частиц относительно данной точки, или полюса, называется сумма произведений масс частиц на квадраты их расстояний от взятого полюса. Пусть данный полюс $O$ служит началом координат; радиус-вектор частицы с массой $m_v$ и координатами ${\mathit{x}}_v,{\mathit{y}}_v,{\mathit{z}}_v$ обозначим $r_v$; тогда, если число частиц равно $n$, момент инерции $J_o$ данной системы относительно полюса $O$ представится так:
$$J_O=\sum _{v=1}^n{m}_v{r}_v^2=\sum _{v=1}^n{m}_v(x_v^2+y_v^2+z_v^2).$$

Для масс, распределённых сплошным образом, сумма в этом выражении заменится интегралом, распространённым на объём, занимаемый массами:
$$J_o=\iiint r^{2}dm=\iiint \sigma r^{2}dv,$$

где $\sigma$-плотность, а $dv$-элемент объёма. Из определения момента инерции относительно точки следует, что он представляет собой величину неотрицательную; он может обратиться в нуль только в случае единственной частицы, совпадающей с полюсом.

Найдем зависимость между моментом инерции $J_0$ системы относительно произвольного полюса $O$ и её моментом $J_c$ относительно центра масс. Рассмотрим произвольную частицу системы, имеющую массу $m_y$; обозначим ее радиусы-векторы, проведынные из полюсов $O$ и $C$, соответственно $r_v$ и ${\rho }_v$; вектор $\overline{OC}$ назовём $r_C$; тогда
$$r_v=r_s+{\overline{\rho }}_v,$$

и, следовательно,
$$J_O=\sum _v{m}_v{r}_v^2=\sum _v{m}_v{(r_C+{\overline{\rho }}_v)}^2=\left(\sum _v{m}_v\right)r_C^2+2r_C\cdot \sum _v{m}_v{\overline{\rho }}_v+\sum _v{m}_v{\rho }_v^2.$$

Здесь $\sum m_v$ есть масса всей системы частиц; мы её обозначим $M$; сумма $\sum _{\vee }{m}_v\overline{P_v}$ представляет собой статический момент системы относительно центра масс и потому равна нулю (§ 144); наконец, последнее слагаемое равно моменту инерции $J_C$ системы относительно центра масс. Игак, мы получили:
$$J_o=M{r}_C^2+J_C,$$
т. е. момент инерции системы относительно любого полюса равняется ее моменту инериии относительно центра масс, сложенному с моментом инериии самого центра масс относительно взятого центра, если примем, что масса центра масс равна массе всей системы.

Выражению для $J_C$ легко можем дать иной вид. Для этого рассмотрим тождество
$$\sum _{\mu =1}^n{m}_{\mu }\cdot \sum _{v=1}^n{m}_u{\rho }_u^2={\left(\sum _{u=1}^n{m}_u{\overline{\rho }}_v\right)}^2+\sum _{v=1}^{n-1}\sum _{\mu =v+1}^n{m}_v{m}_{\mu }{({\overline{\rho }}_u-{\overline{\rho }}_{\mu })}^2,$$

координаты вернин кәкого-либо из них равны $x_a,y_a,x_b,y_b,x_c,y_c$, то площадь ero равна половине абсолютной величины определителя:
$$\left|\begin{array}{lll}{x}_a& y_a& 1\\ x_b& y_b& 1\\ x_c& y_c& 1\end{array}\right|.$$

Если сечение сделано на высоте $z$, то из выражений (25.14) ясно, что плошадь треугольника, а следовательно, и площадь $P$ многоугольника, образованиого в сечении, представится целой квадратичной функцией от $z$ :
$$P=A+Bz+C{z}^3\text{. }$$

Таким образом, теорема примера 65 применима и в рассматриваемом случае, если только формула (25.15) годится для сечения на любой высоте, т. е. если боковые рёбра идут, не прерываясь от верхнего основания до нижнего.

Приложив полученный результат к полной пирамиде, находим, что е» центр масс отстоит от основания на четверти высоты пирамиды.
150. Теоремы Паппуса-Гюльдена. Непосредственно пользуясь выражениями для координат центра масс данной крнвой или данной площади, легко убеждаемся в справедливости следуюиих двух теорем Папнуса-Гюльдена(Pappus-Guldin):
1) Если плоскую кривую повернуть на некоторый угол вокруг какой-либо оси, лежащей в плоскости кривой и ее не пересекающей, то величина площади части поверхности вращения, описанной кривою, равняется длине Фиг. 97 .
Фиг. 98. кривой, умноженной на длину пути ее центра масс $C$.
2) Если какую-либо замкнутую плоскую фигуру повернуть на некоторый угол вокруг оси, лежалей с ней в одной плоскости, но не встречающей ее контура, то объем части тела вращения, описанного фигурой, равняется произведению величины площади фигуры на длину пути ее центра масс $C$.

Действительно, площадь полоски, описанной элементом $ds$ кривой $AB$ при повороте ее на угол $\mathrm{\Delta }$ ‘ , равна $x\mathrm{\Delta }p\cdot ds$ (фиг. 97); следовательно, вся площадь $\mathcal{S}$, описанная кривой $AB$, если $\stackrel{⏜}{AB}=s$, будет иметь выражение
$$S=\mathrm{\Delta }\phi \int xds=\mathrm{\Delta }\phi x_C\cdot s.$$

Для доказательства второй теоремы рассмотрим элемент abde плоской фигуры $ABDE$ (фиг. 98): если его площадь обозначить $dS$, то объем, им описанный при повороте фигуры на угол ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\rho$, будет $x{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\cdot dS$; следовательно, весь объём $v$, описанный фигурой $ABDE$, если площадь ее обозначить через $S$, будет равен
$$v=\mathrm{\Delta }\phi \iint xdS=\mathrm{\Delta }\phi x_c\cdot S.$$

где последняя сумма распространяется на все члены, в которых $u<\mu$. Если $\overline{\rho }$, попрежнему есть радиус-вектор $v$-ой частицы, шроведённый из центра масс, то из этого равенства мы получаем:
$$J_C=\frac{1}{M}\sum _{u=1}^{n-1}\sum _{\mu =v+1}^n{m}_v{m}_{\mu }{\rho }_{u\mu }^2,$$

где $P_{u\mu }$ — расстояние между массами $m_u$ и $m_{\mu }$.

152. Момент инерции относительно оси. Моментоминерции данной системы материальных частиц относительно некоторой ос и называется сумма произведений масс частиц на квадраты их расстояний от взятой оси, т. е. если момент инерции относительно оси $и$ мы обозначим через $J_{ut}$, а расстояние частицы с массой $m_v$ от этой оси через ${\rho }_u$, то
$$J_{uu}=\sum _v{m}_v{\rho }_v^2$$

Из этого выражения видим, что момент инерции относительно оси есть величина неотрицательная; он может обратиться в нуль лишь в том случае, когда все материальные частицы расположены на прямой, совпадающей со взятой осью. Если массы расположены непрерывно, то в выражении момента инерции вместо суммы получим интеграл
$$J_{tu}=\iiint {\rho }^{2}dm=\iiint \sigma {\rho }^{2}dv,$$

Иной раз приходится рассматривать моменты инерции масс, расположенных по поверхностям или по линиям (ср. § 147). Конечно, как и в главе о центре масс, такое расположение масс следует рассматривать как вспомогательное геометрическое построение или принимать, что одно или два измерения объёма, заполненного массами, настолько малы, что мы считаем себя в праве не принимать их в расчёт. Для масс, распределённых по поверхности, тройной интеграл (26.3) заменится двойным:
$$J_{uu}={\iint }_0{\rho }^{2}d\dot{S},$$

где ${\sigma }_1$ — поверхностная плотность, а $dS$ — элемент поверхности. Для масс линейных имеем обыкновенный определённый интеграл:
$$J_{uu}=\int {\sigma }_2{\rho }^{2}ds$$

где ${\sigma }_2$ — линейная плотность, а $ds$ — элемент дуги той кривой, по которой распределены массы.

153. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей. Для того чтобы найти зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, сравним момент инерции $J$ относительно какой-либо оси $A{A}^{\prime }$ с моментом инерции $J_C$ тех же масс относительно оси $C{C}^{\prime }$, параллельной $A{A}^{\prime }$, но проходящей через центр масс $C$ рассматриваемњх масс; расстояние между этими осями пусть будет $d$. Поместим начало координат в центре масс $C$ (фиг. 99), ось $z$

направим по оси $C{C}^{\prime }$, а плоскость $Cyz$ проведём через ось $A{A}^{\prime }$; обозиачим расстолния магериальной частиты $M$, от осей $C{C}^{\prime }$ и $A{A}^{\prime }$ соответственно через ${\rho }_y$ и ${\rho }_v$, а угол отрезка $C{M}_v$ с осью у назовём ${\phi }_v$. Из треугольника $CM,B$ имеем
$${\rho }^{\prime 2}={\rho }_v^2+d^2-2d{\rho }_v\cos {\phi }_v={\rho }_v^2+d^2-2d{y}_v.$$

Умножив полученное выражение на массу $m_v$ частицы и просуммировав его по всем частицам, полуінм:
$$\sum _{v=1}^n{m}_v{p}_v^2=\sum _{v=1}^n{m}_v{p}_v^2+d^2\sum _{v=1}^n{m}_v-2d\sum _{v=1}^n{m}_v{y}_v$$

По определению имеем
$$\sum _{v=1}^n{m}_v{\rho }_v^2=J;\sum _{v=1}^n{m}_v{\rho }_v^2=J_c$$

далее,
$$\sum _{v=1}^n{m}_1=M$$

есть масса всей системы; наконец, сумма $\sum _{v=1}^n{m}_u{y}_u$ входяцая в последнее слагаемое, равна нулю как статический момент относительно плоскости, проходящей через центр масс (§144):
$$\sum _{v=1}^n{m}_v{y}_v=M{y}_C=0.$$

Следовательно, равенство (26.4) перепииется так:
$$J=J_c+M\cdot d^2\text{, }$$
т. с. момент инерии системы частии относительно некоторой оси равен моменту инерции системы относительно параллельной оси, проходячей через центр масс, сложенному с моментом инерции центра масс относительно данной оси в предположении,
${\mathrm{\Phi }}_{\text{HI: }}99$.
что его масса равна массе всей системы. Доказанное положение носит названне теоремы Гюйгенса-Штейнера (Huygtrens-Steiner).

Из доказанной теоремы легко вывести соотношение между моментами инериин $J$ и $J_1$ относительно любых параллельных осей $A{A}^{\prime }$ и $A_1{A}_1^{\prime }$; действигельно, цля момента $J_1$ имеем по теореме (26.5)
$$J_1=J_C+M\cdot d_1^2$$

если $d_1$ ознатает расстояние между осями $A{A}^{\prime }$ и $C{C}^{\prime }$; вычтя последнее. равенство из равенства (26.5), голучим искомую зависимость:
$$J-J_1=M\cdot (d^2-d_1^2).$$

154. Зависимость между моментами инериии относительно осей, проходящих через данную точку. Произведения инериии. Эллипсоид инерции. Сравним теперь между собой моменты инерции некоторой системы ча.тии относительно осей, проходящих через одну и ту же

точку. Берём эту точку за начало декартовых осей $Oxyz$ (фиг. 100). Пусть направление произвольной оси $Ou$ характеризуется единичным век тором
$$u^0=a{x}^0+\beta y^0+\gamma z^0;$$

величины $\alpha ,\beta ,\gamma$, очевидно, являются направляющими косинусами этой оси. Радиус-вектор какой-либо частицы $M_v$ с массой $m_v$ обозначим $r_v$, а расстояние этой частицы от оси $u$ назовём ${\rho }_{.}$. Момент инерции системы частии относительно оси $Ou$ имеет выражение
$$J_{uu}=\sum _v{m}_v{\rho }_v^2$$

но
$${\rho }_v^2=r_v^2-{(r_v\cdot u^0)}^2={(r_v\times u^0)}^2$$
[см. формулу (1.30) на стр. 11]. Выразив здесь векторное произведение через проекции сомножителей, получаем:

Фиг. 100.
$${\rho }_v^2={(y_v\gamma -z_v\beta )}^2+{(z_v\alpha -x_v\gamma )}^2+{(x_v\beta -y_v\alpha )}^2,$$

или, если расположить выражение по степеням косинусов,
$$\begin{array}{r}{\rho }_v^2=(y_v^2+z_v^2){\alpha }^2+(z_v^2+x_v^2){\beta }^2+(x_v^2+y_v^2){\gamma }^2-2y_u{\mathcal{z}}_v\beta \gamma -2z_{v}x,\gamma \alpha -\\ -2x{y}_u\alpha .\end{array}$$

Умножим это равенство на $m$, и просуммируем по всем частицам системы. Введём обозначения:
$$\begin{array}{l}{J}_{xx}=\sum _v{m}_v{(y_v^2+z_{\vee }^2)}_{,}{J}_{vv}=\sum _v{m}_v(z_v^2+x_v^2),\\ J_{zz}=\sum _v{m}_v(x_v^2+y_v^2),\\ J_{yz}=\sum _{\vee }{m}_v{y}_v{z}_v,J_{zx}=\sum _v{m}_{,}{z}_v{x}_v,\\ J_{xy}=\sum _v{m}_v{x}_v{y}_v;\end{array}$$

в результате мы получим:
$$J_{xz}=J_{xx}{\alpha }^2+J_{yy}{\beta }^2+J_{zz}{\gamma }^2-2J_{yz}\beta \gamma -2J_{zx}\gamma \alpha -2J_{xy}\alpha \beta .$$

Величины $J_{xx}{J}_{yy}{J}_{zz}$ представляют собой моменты инерции рассматриваемой сисгемы частиц относительно осей $Ox,Oy$ и $Oz$. Величины $J_{yz}$, $J_{zx},J_{xy}$ соответственно носят название произведений инериии, или центробежных моментов инерции относительно осей $y$ н $z,z$ и $x$, $x$ и $y$; в обозначениях произведений инерции, когда это почему-либо удобно, мы будем ставить индексы и в обратном поряке, иными словами, $J_{xy}=J_{vx}$ и т. д. В случае непрерывно распределённых масс все суммы (26.6) заменяются интегралами по типу формулы (26.3). Полученное нами выражение (26.7) показывает, что если мы знаем три момента инерции и три произведения инерции относительно координатных осей, то сумеем вылислить моменты инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат.

Чтобы нагляднее выразить зависимость величины момента инерции от направления оси, употребим следующий геометрический приём. Огложим от начала координат по направлению взятой оси вектор $r$, длина которого обратно пропорциональна корню квадратному из соогветственного момента инерции, т. е. пусть
$$r=\frac{l}{\sqrt{J_{un}}},$$

где $l$ — некоторая постоянная, определяющая масщтаб построения, и найдём геометрическое место конца этого вектора. Обозначим координаты конца построенного нами вектора $x,y,z$; тогда
$$x=\frac{l}{\sqrt{J_{mi}}}a,y=\frac{l}{\sqrt{J_{mu}}}\beta ,z=\frac{l}{\sqrt{J_{up}}}\gamma .$$

Если теперь умножим обе части равенства (26.7) на $\frac{l^2}{J_{ua}}$ и воспользуемся соотношениями (26.9), то легко найдём:
$$J_{xx}{x}^2+J_{yy}{y}^2+J_{zz}{z}^2-2J_{yz}yz-2J_{zx}zx-2J_{xy}zy=l^2.$$

Мы видим, что геометрическим местом конца построенного вектора служит некоторая центральная поверхность второго порядка. Как видно из формул (26.8) и (26.7), поверхность эта не может иметь бесконечно удалённых точек за исключением того случая, когда все материальные частицыі лежат на прямой, проходящей через взятый полюс. В последнем случае, как легко показать, поверхность (26.10) обращается в цилиндр вращения. При всяком другом расположении масс рассматриваемая центральная поверхность, следовательно, может быгь только эллипсоидом; поэтому она и носит название эллипсоида инердии, соответствующего взятому полюсу. Собственно говоря, данному полюсу соответствует бесчисленное множество подобных друг другу эллипсоидов инерции, отличающихся один от другого значениями постоянной $l$; иногда из семейства этих подобных погерхностей выделяется как представительница та, уравнение которой в какомлибо отношении пишется наиболее просто; так, если принять $l=1$, то уравнение эллипсоида инерции представится в таком виде:
$$J_{xx}{x}^2+J_{vy}{y}^2+J_{zz}{z}^2-2J_{yz}yz-2J_{zx}zx-2J_{xy}xy=1.$$

Если за оси координат возьмём направления главных диаметров, или осей поверхности (26.10), то уравнение эллипсоида напишется следующим образом:
$$J_{xx}{x}^2+J_{y,y}{y}^2+J_{zz}{z}^2=l^2;$$

следовательно, вместо формулы (26.7) мы в этом случае будем иметь:
$$J_{ta}=J_{xx}{\alpha }^2+J_{yu}{\beta }^2+J_{zz}{\gamma }^2.$$

Из возможности привести уравнение эллипсоида инерции к виду (26.12) мы заключаем, что через любой полюс всегда проходят три такие взаимно перпендикулярные оси, что для них произведения инерции обрацаются в нули. Эти оси носят название главных осей инерции для взятого полюса, а моменты инерции, им соответствующие, называются главнымимоментами инерции для данного полюса. Когда за полюс взят центр масс, то эллипсоид инерции, главные оси и главные мо-

менты инерции соогветсгвенно называют центральным эллипсоидом, главными центральными осями главными центральными моментами инерции.

Когда радиус-вектор $r$, проведённый из центра эллипсоида к точке, лежащей на его поверхности, приходит в совпадение с одной из осей эллипсоида, его модуль $r$, как известно, принимает стационарное значение, т. е. для этих положений
$$dr=0;$$

при совпадении с большей и меньшей осями трёхосного эллипсоида $r$ соответственно проходит через максимум и минимум, при совпадении со средней осью $r$ проходит через так называемый минимакс. На основании формулы (26.8) отсюда, как следствие, вытекает, что и момент инерции $J_{\text{tu }}$ относительно каждой из главных осей инерции принимает стационарное значение. При этом, когда эллипсоид инерции для взятого полюса трёосный, го все три главные момента инерции различны и один из них имеет наибольшее, а другой наименьшее значсние среди моментов инерции относительно всех других осей, проходящих через взятый полюс. Когда эллипсоид инеріии для взятого полюса представляет собой поверхность вращения, то два из главных моментов инерции становятся равными, причём попрежнему момент инерции относительно любой другой (не главной) оси, проходящей через данный полюс, содержится между двумя неравными друг другу главными моментами инерции. Накснец, когда эллипсоид инерции обращается в сферу, все моменты инерции относительно осей, проходящих через данный полюс, равны между собой.

Заметим, что не всякий эллипсоид может служить эллипсоидом инерции. Пусть главные моменты инериии так располагаются по своей всличине, что

тотда во всяком случае
$$\begin{array}{l}{J}_{xx}⩽J_{vy}⩽J_{zz};\\ J_{xx}+J_{yy}⩾J_{zz};\end{array}$$

это видно из формул (26.6), поскольку
$$J_{xx}+J_{vy}=J_{zz}+2\sum _v{m}_v{z}_v^2$$

так как в уравнении (26.12) коэффициенты $J_{xx}{J}_{yy}{J}_{zz}$ обратно пропорциональны квадратам полуосей поверхности, то отсюда заключаем, что эллипсоид
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

при
$$a⩾b⩾c$$

может служить эллипсоидом инерции лишь при условии
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}⩾\frac{1}{c^2}\text{. }$$
155. Радиус инерции. Гирационный эллипсоид. Выражению для момента инерции $J$ материальной системы дают иногда. следующий вид:
$$J=M{\rho }^2,$$

где $M$ — масса всей системы. Из размерности ве.иччны $J$ нетрудно заключить, что $\rho$ представляет-собой длину. Длина эта носит название радиуса, или плеча, инерции данных масс по отношению ко взятой оси. Радиусы инершин относительно главных осей называются главным Ейли уравненге (26.10) эллипсоида инерции отнесём к главным диаметрам, дадим постоянной $l^2$ значение $M$ и введём главные радиусы инерции $a,b,c$, т. е. положим
$$J_{xx}^{\prime }=M{a}^2;J_{yy}=M{b}^2;J_{zz}=M{c}^2,$$

то получим:
$$a^2{x}^2+b^2{y}^2+c^2{z}^2=1.$$

Кроме эллипсоида инерции, роль в механике играет и другая поверхность, носящая название гирационного эллипссида. Фиг. Iui.

Получается она из эллипсоида инерции’следующим построением. Берём на эллипсонде инерции
$$f=J_{xx}{x}^2+J_{yy}{y}^2+J_{zz}{z}^2-l^2=0$$

произвольную точку $m$,. определяемую радиусом-вектором
$$r=x{x}^0+y{y}^0+z{z}^0,$$

и строим в этой точке касательную плоскость (фиг. 101). На эту плоскость опускаем из центра $O$ эллипсоида перпендикуляр $OD=\delta$ и производим инверсию точки $D$ относительно сферы произвольного радиуса $R$, т. е. на том же луче $OD$ эткладываем вектор $\overline{O\mu }=\overline{\rho }$, по модулю равный
$$\rho =\frac{R^2}{8}\text{. }$$

Геометрическое место точки $\mu$ и будет искомой поверхностью. Для получения ее уравнения заметим, что,
$$\delta =r\cdot \frac{\mathrm{grad}f}{|\mathrm{grad}f|}$$

следовательно,
$$\rho =\frac{R^2|\mathrm{grad}f|}{r\cdot \mathrm{grad}f}$$

откуда
$$\overline{\rho }=\frac{R^2\mathrm{grad}f}{r\cdot \mathrm{grad}f}.$$

Выразив все входящие в это равенство векторы через их проекции, получим соотношение
$$x_{\mu }{x}^0+y_{\mu }{y}^0+z_{\mu }{z}^0=\frac{R^2}{l^2}(J_{xx}x{x}^0+J_{yy}y{y}^0+J_{zz}z{z}^0);$$

следовательно,
$$x=\frac{l^2{x}_{\mu }}{R^2{J}_{xx}},y=\frac{l^2{y}_{\mu }}{R^2{J}_{yy}},z=\frac{l^2{z}_{\mu }}{R^2{J}_{zy}}.$$

Вставив эти значения $\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}$ в уравнение (26.17) и опустив в окончательном результате индекс $\mu$, мы получим уравнение искомой поверхности в виде
$$\frac{x^2}{J_{xx}}+\frac{y^2}{J_{yy}}+\frac{z^2}{J_{zz}}=\frac{R^4}{l^2}.$$

Если преобразование, посредством которого мы из эллипсоида инерции получили гирационный эллипсоид, применить к последнему, то снова получится эллипсоид инерции; вследствие этого оба эти эллипсоида называются взаимными. Если радиус инверсии $R$ взять равным единице, то эллипсоидом, взаимным с эллипсоидом (26.16), будет следующий
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\text{. }$$

156. Эллиптические координаты. Прежде чем перейти к изучению распределения главных осей инерции в пространстве, познакомимся с той системой криволинейных координат, которая носит название эллиптической. Рассмотрим равенство
$$\frac{x^2}{a^2+\lambda }+\frac{y^2}{b^2+\lambda }+\frac{z^2}{c^2+\lambda }-1=0.$$

Когда $\lambda$ имеет постоянное значение, а $x,y,z$ представляют собой текущие координаты, то это равенство служит уравнением некоторой центральной поверхности второго порядка. Если же дадим $x,y,z$ какиелибо постоянные значения, то оно обращается в кубичное уравнение относительно $\lambda$, имеющее, как сейчас убедимся, три действительных корня. Пусть
$$c^2<b^2<a^2.$$

Обозначим $Q(\lambda )$ левую часть уравнения (26.20):
$$Q(\lambda )=\frac{x^2}{a^2+\lambda }+\frac{y^2}{b^2+\lambda }+\frac{z^2}{c^2+\lambda }-1.$$

Положим $\lambda =-a^2+{\epsilon }^2$, где ${\epsilon }^2$ — сколь угодно малая положительная величина. Тогда знак всего выражения $Q(\lambda )$ будет зависеть от знака первого члена и, следовательно, будет
$$Q(-a^2+{\epsilon }^2)>0\text{. }$$

Голожив, далее, $\lambda =-b^2-{\epsilon }^2$, найдём, что
$$Q(-b^2-{\epsilon }^2)<0.$$

Из этих неравенств заключаем, что между $-a^2$ и $-b^2$ уравнение $Q(i)=0$ имеет, по крайней мере, один действительный корень; обозначим его ${\lambda }_1$. Дав теперь $\downarrow$ значения $-b^2+{\epsilon }^2$ и затем $-c^2-{\epsilon }^2$, убеждаемся, что
$$Q(-b^2+{\epsilon }^2)>0,Q(-c^2-{\epsilon }^2)<0;$$

следовательно, уравнение $Q(\lambda )=0$ имеет действительный корень ${\lambda }_2$ между $-b^2$ и $-c^2$. Наконец, положив $\lambda =-c^2+{\epsilon }^2$ и $\lambda =+\mathrm{\infty }$, видим, что
$$Q(-c^2+{\epsilon }^2)>0,Q(+\mathrm{\infty })=-1<0,$$

т. е. третий действительный корень ${\lambda }_3$ лежит между $-c^2$ и $+\mathrm{\infty }$. Итак, корни уравнения $Q(\lambda )$ можно раснолюжить в таком порядке:
$$-a^2<{\lambda }_1<-b^2<{\lambda }_2<-c^2<{\lambda }_3<+\mathrm{\infty }.$$

Три уравнения:
$$\begin{array}{l}{f}_1=\frac{x^2}{a^2+{\lambda }_1}+\frac{y^2}{b^2+{\lambda }_1}+\frac{z^2}{c^2+{\lambda }_1}-1=0,\\ f_2=\frac{x^2}{a^2+{\lambda }_2}+\frac{y^2}{b^2+{\lambda }_2}+\frac{z^2}{c^2+{\lambda }_2}-1=0,\\ f_3=\frac{x^2}{a^2+{\lambda }_3}+\frac{y^2}{b^2+{\lambda }_3}+\frac{z^2}{c^2+{\lambda }_3}-1=0\end{array}$$

дают нам три центральные поверхности второго порядка, проходящие через данную точку. Если примем во внимание неравенства (26.21) и (26.23), то увидим, что первая из них будет двухполостным гиперболоидом, вторая — однополостным, третья — эллипсоидом. Так как между квадратами нолуосей этих поверхностей имеют место соотношения
$$(a^2+{\lambda }_i)-a^2=({\dot{o}}^2+{\lambda }_i)-b^2=(c^2+{\lambda }_i)-c^2={\lambda }_l(i=1,2,3),$$

то все три поверхности софокусны с основным эллипсоидом:
$$\frac{x^2}{a_2}+\frac{y^2}{b_2}+\frac{z^2}{c_2}-1=0.$$

Величины ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ можно принять за три криволинейные координаты данной точки, определяемой декартовыми координатами $x,y,z$. Всякой точке будет соответствовать своя система значений этих координат. Наоборот, давши некоторые значения величинам ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ и ${\lambda }_3$, мы можем определить положение точки, впрочем, не однозначно, потому что поверхности $(26.24),(26.25)$ и (26.26) пересекаются не в одной, а в восьми точках. Координаты ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ носят название эллиптических.

Когда величина ${\lambda }_1$ проходит систему значений между $-a^2$ и $-b^2$, двухполостный гиперболоид (26.24) изменяется от плоскости $Oyz$ до той части плоскости $Ozx$, которая ‘лежит по положительную сторону гиперболы
$$\frac{x^2}{a^2-b^2}-\frac{z^2}{b^2-c^2}-1=0,$$
т. е. той части плоскости, ксэрдинаты любой точки которой обращают левую часть уравнения (26.27) в положительную величину. Когда величина ${\lambda }_2$ проходит систему значений между $-b^2$ и $-c^2$, однополостный гиперболоид (26.25) изменяется от гиперболической пластинки, лежащей в плоскости Ozx по отрицательную сторону гипербозы (26.27), до той части плоскости $Oxy$, которая лежит по положительную сторону эллипса
$$\frac{x^2}{a^2-c^2}+\frac{y^2}{b^2-c^2}-1=0.$$

Наконец, когда величина ${\lambda }_3$ проходит систему значений от $-c^2$ до $+\mathrm{\infty }$, эллипсоид ( 26.26 ) изменяется от эллиптической пластинки, лежащей в плоскости $Oxy$ и представляющей собой место точек, лежащих по положительную сторону эллипса (26.28), до сферы бесконечно болыного радиуса.

Обе кривые (26.27) и (26.28) лежат во взанмно перпендикулярных плоскостях, проходят соответственно одна через фокусы другой и представляют собой геометрические места тех точек, для которых две эллип-

тические координзты равны между собой: для гиперболы (26.27) имеем ${\lambda }_1={\lambda }_2$, а для эллипса (26.28). ${\lambda }_2={\lambda }_3$.

Докажем, что эллиптическая система координат представляет собой систему ортогональную. Координатные поверхности (26.24), (26.25), (26.26) встречаются ортогонально, если соблюдены условия
$$\mathrm{grad}{f}_1\cdot \mathrm{grad}{f}_2=0,\mathrm{grad}{f}_2\cdot \mathrm{grad}{f}_3=0,\mathrm{grad}{f}_3\cdot \mathrm{grad}{f}_1=0.$$

Если мы вычтем уравнение (26.25) из (26.24) и полученный результат сократим на ${\lambda }_2-{\lambda }_1$, то найдём:
$$\frac{x^2}{(a^2+{\lambda }_1)(a^2+{\lambda }_2)}+\frac{y^2}{(b^2+{\lambda }_1)(b^2+{\lambda }_2)}+\frac{z^2}{(c^2+{\lambda }_1)(c^2+{\lambda }_2)}=0;$$

а это равенство и будет первым из условий (26.29), выраженным в скалярной форме. То же можно показать относительно каждой из других двух пар координатных поверхностей.

Чтобы выразить декартовы координаты явным образом через эллиптические, снова обращаемся к уравнедниям (26.24), (26.25) и (26.26). Исключив из них сперва одну из координат, например $z$, получим:
$$\begin{array}{l}\frac{(c^2-a^2)x^2}{(a^2+{\lambda }_1)(a^2+{\lambda }_3)}+\frac{(c^2-b^2)y^2}{(b^2+{\lambda }_1)(b^2+{\lambda }_3)}=1,\\ \frac{(c^2-a^2)x^2}{(a^2+{\lambda }_2)(a^2+{\lambda }_3)}+\frac{(c^2-b^2)y^2}{(b^2+{\lambda }_2)(b^2+{\lambda }_3)}=1.\end{array}$$

Исключив теперь отсюда $y^2$, получим первое из искомых выражении:
$$x=\pm \sqrt{\frac{(a^2+{\lambda }_1)(a^2+{\lambda }_2)(a^2+{\lambda }_3)}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}},$$

подобным образом найдём и остальные:
$$\begin{array}{l}y=\pm \sqrt{\frac{(b^2+{\lambda }_1)(b^2+{\lambda }_2)(b^2+{\lambda }_3)}{(b^2-c^2)(b^2-a^2)}},\\ z=\pm \sqrt{\frac{(c^2+{\lambda }_1)(c^2+{\lambda }_2)(c^2+{\lambda }_3)}{(c^3-a^2)(c^2-b^2)}}.\end{array}$$

Если принять во внимание неравенства (26.21) и (26.23), то нетрудно увидеть, что подрадикальные выражения здесь всегда положительны.

В заключение выведсм некоторые вспомогательные формулы, которыми нам придётся впоследствии воспользоваться. Прежде всего заметим, что равенство (26.22) можно переписать так:
$$Q(\lambda )\cdot (a^2+\lambda )(b^2+\lambda )(c^2+\lambda )=-(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)(\lambda -{\lambda }_3).$$

Действительно, с одной стороны, корнями уравнения $Q(\lambda )=0$ служат ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ н ${\lambda }_3$, а с цругой стороны, если все четыре члена выражения $Q(\lambda )$ привести к общему знаменателю
$$(a^2+\lambda )({\dot{b}}^2+\lambda )(c^2+\lambda ),$$

то коэффициент при высшей степени $\lambda$ в числителе будет равен отрицательной единице, что мы и имеем в правой части. Из равенства (26.34) внтекает, что
$$Q(\lambda )=-\frac{(\lambda -i_1)(\lambda -{\lambda }_2)(\lambda -{\lambda }_3)}{(a^2+\lambda )(b^2+\lambda )(c^2+\lambda )}.$$

Найдём теперь значение производной $-\frac{\partial Q}{\partial \lambda }$ для $\lambda ={\lambda }_{\mathbf{1}}$. Нетрудно видеть, что
$$-\frac{\partial Q}{\partial \lambda }=\frac{(\lambda -{\lambda }_2)(\lambda -{\lambda }_3)}{(a^2+\lambda )(b^2+\lambda )(c^2+\lambda )}+M\cdot (\lambda -{\lambda }_1),$$

где через $M$ обозначены члены, не обращающиеся в бесконечность для $\lambda ={\lambda }_1$. Дав $\lambda$ значение ${\lambda }_1$, находим отсюда:
$${\{-\frac{\partial Q}{\partial \lambda }\}}_{A={\lambda }_1}=\frac{({\lambda }_1-{\lambda }_2)({\lambda }_1-{\lambda }_3)}{(a^2+{\lambda }_1)(b^2+{\lambda }_1)(c^2+{\lambda }_1)}.$$

С другой стороны, из выражения (26.22) имеем
$${\{-\frac{\partial Q}{\partial \lambda }\}}_{h={\lambda }_1}=\frac{x^2}{{(a^3+{\lambda }_1)}^2}+\frac{y^2}{{(b^2+{\lambda }_1)}^2}+\frac{z^2}{{(c^2+{\lambda }_1)}^2}.$$

Введя для ${\{-\frac{\partial Q}{\partial \lambda }\}}_{\wedge ={\lambda }_1}$ обозначенне $L_1^2$, мы получаем, следовательно, такое соотношение:
$$L_1^2=\frac{x^2}{{(a^2+{\lambda }_1)}^2}+\frac{y^2}{{(b^2+{\lambda }_1)}^2}+\frac{z^2}{{(c^2+{\lambda }_1)}^2}=\frac{({\lambda }_1-{\lambda }_2)({\lambda }_1-{\lambda }_8)}{(a^2+{\lambda }_1)(b^2+{\lambda }_1)(c^2+{\lambda }_1)}.$$

К этой формуле, очевидно, могут быть присоединены ешё две:
$$\begin{array}{l}{L}_2^2=\frac{x^2}{{(a^2+{\lambda }_2)}^2}+\frac{y^2}{{(b^2+{\lambda }_3)}^2}+\frac{z^2}{{(c^2+{\lambda }_9)}^2}=\frac{({\lambda }_2-{\lambda }_3)({\lambda }_2-{\lambda }_1)}{(a^2+{\lambda }_2)(b^2+{\lambda }_2)(c^2+{\lambda }_2)},\\ L_3^2=\frac{x^2}{{(a^2+{\lambda }_3)}^2}+\frac{y^2}{{(b^2+{\lambda }_3)}^2}+\frac{z^2}{{(c^2+{\lambda }_3)}^2}=\frac{({\lambda }_3-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_2)}{(a^2+{\lambda }_3)(b^2+{\lambda }_3)(c^2+{\lambda }_3)}.\end{array}$$

157. Распределение главных осей инерции в пространстве. Займёмся теперь решением следующего вопроса: как по данным главным центральным моментам инерции каких-либо масс и по данным направлениям главных центральных осей инерции найти момент инерции тех же масс огносительно любой оси, а также опрәделить направления главных осей инерции для люєого полюса.

Возьмём центр масс $C$ за начало декартовых координат и совместим координатные оси с главными центральными осями инерции (фиг. 102). Пусть моменты инерции относительно осей $Cx,Cy,Cz$ будут соответственно $J_{xx},J_{yy},J_{zz}$. Берём произвольный полюс $K$ с радиусом-вектором
$$r_k=x_k{x}^0+y_k{y}^0+z_k{z}^0;$$

пусть через него проходит ось $Ku$, определяемая единичным вектором
$$u^0=\alpha x^0+\beta y^0+\gamma z^0.$$

Искомый момент инерции относительно оси $Ku$ обозначим $J_{un}$, а момент инерции относительно оси ${\mathrm{Cu}}^{\prime }$, ей параллельной и проходящей через на-

чало координат, т. е. центр масс, пусть будет $J_{nu}^{\prime }$. Тогда по теореме Гюйгенса [см. формулу (26.5) на стр. 225)] имеем
$$J_{uz}=J_{tu}^{\prime }+M{d}^2,$$

где $M$ — масса всей системы частиц, а $d$-расстояние между осями $Ku$ и ${\mathrm{Cu}}^{\prime }$. Для квадрата этого расстояния получаем следуюшее выражение:
$$\begin{array}{rl}{d}^2=r_k^2-{(r_k\cdot u^{atural})}^2& ={(r_k\times u^0)}^2=\\ & ={(y_k\gamma -z_k\beta )}^2+{(z_k\alpha -x_k\gamma )}^2+{(x_k\beta -y_{k}a)}^2,\end{array}$$

или
$$\begin{array}{rl}{d}^2=(y_k^2+z_k^2){\alpha }^2+(z_k^2+x_k^2){\beta }^2+& (x_k^2+y_k^2){\gamma }^2-2y_k{z}_k\beta \gamma -\\ & -2z_k{x}_k\gamma \alpha -2x_k{y}_k\alpha \beta .\end{array}$$

С другой стороны, по формуле (26.13) мы имеем
$$J_{u^{\prime }{u}^{\prime }}=J_{xx}{a}^2+J_{yy}{\beta }^2+J_{zz}{\gamma }^2.$$

Введём обозначения:
$$\begin{array}{l}{J}_{xx}^{(k)}=J_{xx}+M(y_k^2+z_k^2),\\ J_{yy}^{(k)}=J_{vy}+M(z_k^2+x_k^2),\\ J_{zz}^{(k)}=J_{zz}+M(x_k^2+y_k^2),\\ J_{yz}^{(k)}=M{y}_k{z}_k,\\ J_{zx}^{(k)}=M{z}_k{x}_k,\\ J_{xy}^{(k)}=M{x}_k{y}_k;\end{array}\}$$

тогда, объединив полученные результаты, мы можем, вместо формулы (26.38), написать
$$J_{tu}=J_{xx}^{(k)}{\alpha }^2+J_{yy}^{(k)}{\beta }^2+J_{zz}^{(k)}{\gamma }^2-2J_{yz}^{(k)\beta \gamma }-2J_{z\lambda }^{(k)}\gamma \alpha -2J_{xy}^{(k)}\alpha \beta .$$

Эта формула и определяет по нацим данным нскомый момент инерции $J_{tz\ast }$.
Направления главных осей инерции для полюса $K$ можно найти из условия стационарности момента инерции $J_{\text{mu }}$ относительно каждой из 9тих осей. Формула (26.42) выражает момент инерции $J_{ua}$ в функции переменных $\alpha ,\beta ,\gamma$, но последние связаны между собой очевидным соотношением
$$f={\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-1=0.$$

По известной теореме математического анализа, когда исследуемая функция принимает стационарное значение, её частные производные пропорциональны частным производным от функции, выражающей связь между переменными. Поэтому в нашем случае, называя множитель пропорциональности $J$, мы имеем
$$\frac{\partial J_{ut}}{\partial a}=J\frac{\partial f}{\partial \alpha },\frac{\partial J_{uz}}{\partial \beta }=J\frac{\partial f}{\partial \beta },\frac{\partial J_{ut}}{\partial \gamma }=J\frac{\partial f}{\partial \gamma };$$

напишем эти равенства в развёрнутом виде и перенесём все члены в левые части; в результате мы получим:
$$\begin{array}{rl}(J_{xx}^{kk}-J)\alpha -J_{xy}^{(k)}\beta -J_{xz}^{(k)\gamma }& \doteq 0,\\ -J_{yx}^{kl}\alpha +(J_{iy}^{(k)}-J)\beta -J_{yz}^{(k)\gamma }& =0,\\ -J_{zx}^{(k)}\alpha +J_{zy}^{ky}\beta +(J_{zz}^{(k)}-J)\gamma & =0.\end{array}\}$$

Условием, при которо: эта система однородных уравнений удовлетворяется значениями $\alpha ,\beta ,\gamma$, не равными нулю одновременно, является равенство нулю определителя системы:
$$\left|\begin{array}{ccc}{J}_{\pm x}^{(ky}-J& -J_{xy}^{k)}& -J_{xz}^{(k)}\\ -J_{yx}^{(k)}& J_{yy}^{(k)}-J& J_{yz}^{(k)}\\ -J_{zx}^{(k)}& -J_{zy}^{(k)}& J_{zz}^{(k)}-J\end{array}\right|=0.$$
множитель $J$ явлнется его корнем. В высшей алгебре доказывается, что если коэффициенты векового уравнения действительны (что в нашем случае имеет место), то все корни его также действительны. С другой стороны, если равенства (26.43) умножим соответственно на $\alpha ,\beta ,\gamma$, затем сложим и сравним результат с выражением (26.42), то убедимся, что $J$ представляет собой одно из искомых стационарных значений функции $J_{uu}$. Следовательно, корни $J_1,J_2,J_3$ векового уравнения (26.43) служат главными моментами инерции для полюса $K$; соответствуюшие этим корням направления главных осей инерции определяются косинусами ${\alpha }_v,{\beta }_v,{\gamma }_v$, где $u=1,2,3$; их значения найдутся из уравнений (26.43), если туда вместо $J$ вставим соответствующий корень $J_u$ :

Чтобы уяснить, по какому закону меняются направления главных осей инерции для различных точек пространства, преобразуем уравнения (26.43) к другому виду. Первое из них, если вернуться к прежним обозначениям (26.40) и (26.41), можно теперь написать так:
$$[J_{xx}+M(y_k^2+z_k^2)-J_v]{\alpha }_{\chi }=M{x}_k{y}_k{\beta }_v+M{x}_k{z}_k{\gamma }_v.$$

Прибавим к обеим частям $M{x}_k^i{a}_v$; введём радиусы инерции, положив
$$J_{xx}=M{a}^2,J_{vy}=M{b}^2,J_{zz}=M{c}^2;J_v=M{\rho }_v^2;$$

сдиничный вектор рассматриваемой главной оси инерцйи назовём
$$u_v^0={\alpha }_v{x}^0+{\beta }_v{y}^0+{\gamma }_{\gamma }{z}^0,$$

радиус-вектор точки $K$ назовём попрежнему
$$r_k=x_k{x}^0+y_k{y}^0+z_k{z}^0;$$

наконец, для сокращения письма обозначим
$$r_k^2-{\rho }_i^2={\lambda }_v$$

тогда после очевидных преобразований мы получим:
$$a_v=\frac{u_v^0\cdot r_k}{a^2+{\lambda }_v}{x}_k$$

Подобным образом найдём из остальных двух уравнений выражения
$${\beta }_v=\frac{u^0\cdot r_k}{b^2+{\lambda }_v}{y}_k,{\gamma }_v=\frac{u^0\cdot r_k}{c^2+{\lambda }_v}{z}_k.$$

Умножив последние три равенства соответственно на $x_k,y_k,z_k$, сложив и выполнив сокращение, мы получим:
$$\frac{x_k^2}{a^2+{\lambda }_u}+\frac{y_k^2}{b^2+{\lambda }_u}+\frac{z_k^2}{c^2+{\lambda }_u}-1=0,$$

что мы короче запишем так:
$$f_v(x_k,y_k,z_k)=0.$$

С другой стороны, умножив эти же равенства соответственно на $x^0,y^0,z^0$ и сложив, получим:
$$u_v^0=u_v^0\cdot r_k(\frac{x_k}{a^2+{\lambda }_v}{x}^0+\frac{y_k}{b^2+{\lambda }_v}{y}^0+\frac{z_k}{c^2+{\lambda }_v}{z}^0),$$

или
$${\mathit{u}}_v^0={\mathit{u}}_{\vee }^0\cdot {\mathit{r}}_k\mathrm{grad}{f}_v.$$

Выраженне (26.48) показывает, что через взятый полюс проходят три поверхности 2-го порядка, соответствуюцие значениям $u=1,2,3$ и софокусные с центральным гирационным эллипсоидом (26.19)
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$

Параметры этих софокусных поверхностей связаны с главными моментами инериии для полюса $K$ соотношениями (26.45), которые можно переписать так:
$${\lambda }_v=r_k^2-\frac{J_v}{M}.$$

Из соотношения (26.49) мы усматриваем, что направления главных осей инерции для полюса $K$ совпадают с нормалями к трём выше упомянутым софокусным поверхностям; при этом согласно формуле (26.48) нормаль к эллипсоиду служит осью наименьшего, а нормаль к двухполостному гиперболоиду осью наибольшего момента инерции ( $\mathrm{\S }156$ ).

Когда главные центральные моменты инерции $J_{xx},J_{yy},J_{z2}$ не равны между собой, то эллипсоид инерии и и для полюса $K$ будет, вообще говоря, трёхосный; эллиясоид инерции для полюса $K$ обратится в поверхность врашения, лишь когда точка $K$ лежит на одной из кривых (26.27) или (26.28). В предельном случае $b\to c$ эги кривые пересекаются в точках оси $x$ с координатами
$$x=\pm \sqrt{a^2-b^2},$$

причём это единственный случай, когда рассмагриваемые кривые имеют общие точки; сами кривые при этом соответственны превращаются в отрезки оси $x$ :
$$|x|⩾\sqrt{a^2-b^2}\text{ и }|x|⩽\sqrt{a^2-b^2}.$$

Таким образом, эллипсонд инершии обращается в шар лишь дтя двух полюсов и притом только тогда, когда центральный гирационный элличсоид является яйцевидным эллипсоидом вращения (а не сфероидом) с полуосями
$$a>b=c.$$

Упомянутые два полюса лежат в таком случае на оси вращения гирационного эллипсоида на расстояниях от центра масс, равных (при принлтом маситтабе) $\sqrt{a^2-b^2}$.

В заключение заметим следуюшее. Как показывают формулы (26.46) и (26.47), проекции вектора ${\mathit{u}}^{\prime }$ являются линейными функциями проекций

вектора ${\mathit{r}}_{\mathit{k}}$. Обозначим $\Vert {\mathrm{\Delta }}_{\vee }\Vert$ матрицу рассматриваемого преобразования
$$\Vert {\mathrm{\Delta }}_u\Vert =\Vert \begin{array}{ccc}\frac{u_v^0\cdot r_k}{a^2+{\lambda }_u}& 0& 0\\ 0& \frac{u_v^0\cdot r_k}{b^2+{\lambda }_v}& 0\\ 0& 0& \frac{u_v^0\cdot r_k}{c^2+\lambda }\end{array}\Vert .$$

Принято говорить, что вектор ${\mathit{u}}_v^0$ получается аффинным преобразованием из вектора $r_k$ при помощи матришы $\Vert {\mathrm{\Delta }}_v\Vert$; в записи это выглядит так:
$$u^0=\Vert {\mathrm{\Delta }}_v\Vert r_k$$

эта векторная формула эквивалентна трём выше приведённым скалярным.

158. Момент инерции относительно плоскости. Моментом инерции данной системы материальных частии относительно плоскости называется сумма произведений масс частиц на квадраты их расстояний от рассматриваемой плоскости. На основании этого определения мы имеем следуюшие выражения для моментов инерции относительно координатных плоскостей:
$$J_{\text{пл, }yz}=\sum _v{m}_v{x}_v^2,J_{\text{пл. }zx}=\sum _y{m}_v{y}_v^2,J_{\text{п., }xy}=\sum _v{m}_v{z}_{v.}^2$$

В случае масс, расположенных сплошным образом, мы; вместо сумм, получаем интегралы:
$$J_{\text{пл. }vz}=\iiint \sigma x^{2}dv\text{ и т. д. }$$

Для момента инерции огносительно плоскости можно было бы доказать теорему, аналогичную теореме Гюйгенса [формула (26.5) на стр. 255]:
$$J=J_C+M{d}^2.$$

Из выражений для моментов инерции относительно начала координат, осей координат и плоскостей координат видно, что они связаны между собой следующими соотношениями:
$$\begin{array}{rl}{J}_0& =J_{\text{пл. }yz}+J_{\text{пл. }zx}+J_{\text{пл. }xy}=\frac{J_{xx}+J_{yy}+J_{zz}}{2},\\ J_{xx}& =J_{\text{пл. }zx}+J_{\text{пл. }xy}\text{ и }\text{ г. д., }\\ J_{xx}+J_{yy}& =J_{zz}+2J_{\text{пл. }xy}⩾J_{zz}\text{ и }\text{ т. д. }\end{array}\}$$

Если массы расположены в плоскости (в плоскости $Oxy$ ), то как частный случай последнен формулы мы нмеем
$$J_{xx}+J_{yy}=J_{zz}$$

или, как говорят, сумма двух экваториальных моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей равняется полярному моменту инерции относительно точки их пересечения.
159. Вычисление моментов инерции. Как было показано в предыдущем параграфе, мы сумеем вычислить момент инершии данной системы материаль частиц относигельно данной оси, если нам известны глав-
ные центральные моменты инериии и направления главных центральных осей инерции. В некоторых случаях направления главных осей могут быть указаны непосредственно.
a) Если массы расположены симметрично относительно некоторой плоскосги (или лежат в одной плоскости), то для полюсов на этой плоскости одна из главних осей инерции направлена по перпендикуляру к плоскости симметрии; иначе говоря, всякая линия, перпендикулярная к плоскости симметрии, будет главной осью. Действительно, возьмём начало координат в произвольной точке плоскости симметрии, а эту плоскость примем за плоскость $Oxy$; тогда в суммах
$$J_{vz}=\sum _{v=1}^n{m}_v{y}_v{z}_v,J_{zx}=\sum _{v=1}^n{m}_v{z}_v{x}_v$$

каждой массе $m_v$ с координатами $x_v,y_v,z_v$ будет соответствовать, по условию, равная масса $m_{\mu }=m_v$ с координатами $x_v,y_v-z_v$, за исключением масс $m_y$, лежащих в самой плоскости симметрии; но для таких масс $z_u=0$. Следовательно, в нашем случае
$$J_{yz}=J_{zx}=0$$

а потому по формуле (26.10) уравнение эллипсоида инерции для начала координат (которое помещено в произвольной точке плоскости симметрии) будет
$$J_{xx}{x}^2+J_{yy}{y}^2+J_{zz}{z}^2-2J_{xy}xy=l^2,$$
т. е. ось $Oz$ служит осью этого эллипсоида или, что то же, главной осью инерции.
б) Если массы имеют три взаимноперпендикулярные плоскости симметрии, то линии встречи этих пілоскостей служат главными центральными осями инерции [ср. свойство 5), § 146].

Когда пользуются декартовой системой координат, то большей частью вычислять непосредственно приходится лишь моменты инерции относительно координатных плоскостей, а затем уже с помощью формул (26.51) получают выражения для моментов инерции относительно осей координат.

Если плотность системы масс постоянна, то ее выносят за знак интеграла и вычисляют сперва оставшееся выражение, или так называемый геометрический момент инерции (момент инерции объёма, поверхности или линии); умножив полученный результат на плотность, получают требуемый момент инерции: в отличие от геометрического его называют физическим.

Пример 69. Геометрический момент инерции площади прямоугольного треугольника относительно одного из катетов. Примем вершину $A$ за начало координат, а ось $x$ направим по катету $AC$ (фиг. 103). Тогда, если длины катетов $BC$ и $AC$ — соответственно обовначим $a$ и $b$, то уравнение прямой $AB$ будет
$$y=\frac{a}{b}x,$$

а потому имеем
$$J_{xx}={\int }_0^{b}dx{\int }_0^y{y}^{2}dy=\frac{1}{3}{\int }_0^b{y}^{3}dx=\frac{a^3}{3b^3}{\int }_0^b{x}^{3}dx=\frac{a^{3}b}{12},$$

или
$$j_{xx}=\frac{S{a}^2}{6},$$

где $S$ — площадь треугольника.
Пример 70. Геометрический момент инерции площади косоугольного треугольника относительно одной из сторон. Пусть высота треугольника $ABC$ равна $C{C}^{\prime }=h$ (фиг. 104 и 105 ); тогда, рассматривая данный треугольник как сумму (фиг. 104) или разность (фиг. 105) двух

Фиг. 103.
Фиг. 104.
Фиг. 105.

прямоугольных треугольников $AC{C}^{\prime }$ и $BC{C}^{\prime }$, легко найдём, если $S$ — площадь данного түеугольника, что искомый момент инерции относительно основания $AB$ равняется $\frac{S{h}^2}{6}$.

Пример 71. Главные центральные геометрические моменты ииердии плошади элдипса, лежащегов плоскости $Oxy$ и заданого уравнением
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{. }$$

Вычисляем:
$$J_{xx}=4{\int }_0^b{y}^{2}dy{\int }_0^{2}dx=\frac{4a}{b}{\int }_0^b{y}^2\sqrt{b^2-y^2}dy.$$

Вводим новую переменную $\phi$, положив $y=b\sin \phi$; тогда
$$\begin{array}{rl}{J}_{xx}& =4a{b}^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\phi {\cos }^2\phi \cdot d\phi =a{b}^3{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}2\phi \cdot d\phi =\\ & =\frac{a{b}^3}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 4\phi )d\phi =\frac{\pi a{b}^8}{4},\end{array}$$

или, если $S$ — площадь эллипса,
$$J_{xx}=\frac{S{b}^2}{4}.$$

Подобным образом найдём:
$$J_{yy}=\frac{S{a}^2}{4}.$$

Следовательно, по формуле (26.52)
$$J_{zz}=\frac{S(a^2+b^2)}{4}.$$

Когда $a=b=R$, т. е. эллипс превращается в круг радиуса $R$, то
$$J_{xx}=J_{yy}=\frac{S{R}^2}{4},J_{zz}=\frac{S{R}^2}{2}.$$

Пример 72. Главные центральные геометрическиемоменты инерции прямоугольного параллелепипеда, стороны которогосоответственно равны $2a,2b,2c$. Направяя оси, $x,y,z$ параллельно сторонам $2a,2b,2c$ и называя $Q_x$ площадь сечения, перпендикулярного оси $x$, и $V$ — объе п параллелепипеда, имеем
$$J_{\text{пл. }yz}=2{\int }_0^a{Q}_x{x}^{2}dx=8bc{\int }_0^a{x}^{2}dx=\frac{8}{3}{a}^{3}bc=\frac{V{a}^2}{3},$$

аналогично
$$J_{\text{п. }zx}=\frac{V{b}^2}{3},J_{\text{пл. }xy}=\frac{V{c}^2}{3}.$$

Огсюда по формуле (26.51) находим:
$$J_{xx}=\frac{V(b^2+c^2)}{3},J_{yy}=\frac{V(c^2+a^2)}{3},J_{zz}=\frac{V(a^2+b^2)}{3}.$$

Для куба $a=b=c$, и, следовательно,
$$J_{xx}=J_{yy}=J_{zz}=\frac{2V{a}^2}{3}.$$

Чтобы получить геометрический момент инерции стержня длины $2a$ относительно оси $z$, ему перпендикулярной и проходящей через его середину, можно взять третью из формул (26.53) и положить в ней $b=0$, а вместо $V$ поставить $2a$; тогда мы получим:
$$J_{zz}=\frac{2a^3}{3}\text{. }$$

Пример 73. Главные центральные геометрические моменты инерции круговогоцилиндра радиуса $R$ и высоты $H$. Поместим начало координат в центре цилиндра и ось $\mathit{z}$ направим по его оси. Так как элемент объема в цилиндрических координатах равен $d\rho \cdot \rho d\phi \cdot drz$, то
$$J_{xz}={\int }_{-\frac{H}{2}}^{\frac{H}{2}}dz{\int }_{\gamma }^{2\pi }d\phi {\int }_{\gamma }^R{\rho }^{\mathrm{s}}\cdot d\rho =\frac{\pi R^{4}H}{2}=\frac{V{R}^2}{2},$$

где $V$-объем цилиндра. Далее
$$J_{xx}=J_{\text{пл. }xy}+J_{\text{пл. }zx},J_{yy}=J_{\text{пл. }xy}+J_{\text{пл. }yz};$$

отсюда, так как по соображениям симметрии $J_{xx}=J_{yy}$, имеем
$$J_{xx}=\frac{J_{xx}+J_{yy}}{2}=J_{\text{пл. }xy}+\frac{J_{\text{пл. }zx}+J_{\text{пл. }yz}}{2}=J_{\text{пл. }xy}+\frac{J_{zx}}{2};$$

но
$$J_{\text{เл. }xy}={\int }_{-\frac{H}{2}}^{\frac{H}{2}}dz{\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^R{z}^2\cdot d\rho =\frac{V{H}^2}{12};$$

окончательно получаем:
$$J_{xx}=J_{yv}=\frac{V}{12}(H^2+6R^2).$$

Пример 74. Главные центральные геометрические моменты инерции эллипсоида
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$

Вычисляем сперва момент инериии относительно плоскости $Oyz$; назвав $Q_x$ плошадь сечения, параллельного плоскости $Oyz$ и отстоящего от неё на $x$, и $V-$ объём эллипсоида, находим:
$$J_{\text{пл. }yz}=2{\int }_0^a{Q}_x{x}^{2}dx$$

по формуле (25.13) на стр. 251 имеем
$$Q_x=\pi bc\cdot (1-\frac{x^2}{a^2});$$

подставив это выражение в предыдущую формулу, получаем:
$$J_{\text{ил. }\dot{y}z}=\frac{4\pi a^{3}bc}{15}=\frac{V{a}^2}{5}.$$

Подобным образом находим:
$$J_{\text{пл. }zx}=\frac{V{b}^2}{5},J_{\text{п.. }xy}=\frac{V{c}^2}{5}.$$

Следовательно,
$$J_{xx}=\frac{V(b^2+c^2)}{5},J_{vy}=\frac{V(c^2+a^2)}{5},J_{zz}=\frac{V(a^2+b^2)}{5}.$$

Если $a=b=c=R$, т. е. эллипсоид обращается в шар радиуса $R$, то
$$J_{xx}=J_{vy}=J_{zz}=\frac{2V{R}^2}{5}.$$

Пример 75. Дан однородный параллелепипед со сторонами $2a,2a,2b$ (фиг. 106); исходя из результатов примера 72 , определить для середины $K$ ребра $AB$ главные геометрические моменты инерции и направления главных осей инерции. Назвав $V$ объём параллелепипеда, имеем
$$J_{xx}=J_{yy}=\frac{V(a^2+b^2)}{3},J_{zz}=\frac{2V{a}^3}{3};$$
Фиг. 106.
далее, по формулам (26.40) и (26.41), заменив массу $M$ объёмом $V$, находим:
$$\begin{array}{l}{J}_{xx}^{(k)}=J_{yy}^{(k)}=\frac{V(4a^2+b^2)}{3},j_{zz}^{(k)}=\frac{4V{a}^2}{3},\\ J_{yz}^{(k)}=J_{zx}^{(k)}=0;J_{xy}^{(k)}=V{a}^2.\end{array}$$

Составляем уравнения (26.43), определяюшие направляющие косинусы $a_v,{\beta }_v,\dot{\gamma }$ главных осей инерции полюса $K$; положив для краткости письма ${\delta }_v=\frac{V_{{\tau }_v}}{3}$, имеем
$$\begin{array}{rrr}(4a^2+b^2-{\tau }_v)a_v-& 0a^2{\beta }_v+& 0\cdot {\gamma }_v=0\\ -3a^2{\alpha }_v+(4a^2+b^2-{\tau }_v){\beta }_u+& 0\cdot {\gamma }_v=0\\ 0\cdot {\alpha }_v+& 0\cdot {\beta }_u+(2a^2-{\tau }_v){\gamma }_v=0\end{array}\}$$

Вековое уравнение после развертывания определителя примет вид

Отсюда находим:
$$\begin{array}{c}{(4a^2+b^2-{\tau }_{\downarrow })}^2(2a^2-{\tau }_{\downarrow })-9a^4(2a^2-{\tau }_v)=0.\\ {\tau }_1=2a^2,{\tau }_2=7a^2+b^2,{\tau }_3=a^2+b^2.\end{array}$$

Следовательно, главные момеить инерции для полюса $K$ равны
$$J_1=\frac{2V{a}^2}{3},J_2=\frac{V(7a^2+b^2)}{3},J_3=\frac{V(a^2+b^2)}{3}.$$

Косинусы $a_v,{\beta }_v,{\gamma }_v$ находим из уравнений (26.54), последовательно полагая $y=1,2,3$. Если ранг определителя системы $n$ однородных уравнений с $n$ неизвестными равен $n-1$ (что имеет место в нашем случае), то, как известно, нетривиальные решения (т. е. не равные нулю одновременно) иаходим, написав, что неизвестные пропорциональны соответственным адъюнктам определителя системы. На этом основании мы находим:
$$\frac{{\alpha }_1}{0}=\frac{{\beta }_1}{0}=\frac{{\gamma }_1}{1},\frac{{\alpha }_2}{1}=\frac{{\beta }_2}{-1}=\frac{{\gamma }_2}{0},\frac{{\alpha }_8}{1}=\frac{{\beta }_B}{1}=\frac{r_3}{0}.$$

Если, кроме того, мы примем во внимание, что сумма квадратов косинусов равна единице, то окончательно получия:
$$\begin{array}{lll}{a}_1=0,& {\beta }_1=0,& {\gamma }_1=1;\\ a_2=\frac{\sqrt{2}}{2},& {\beta }_2=\frac{-\sqrt{2}}{2},& {\gamma }_2=0;\\ a_3=\frac{\sqrt{2}}{2},& {\beta }_3=\frac{\sqrt{2}}{2},& {\gamma }_3=0.\end{array}$$

Разумеется, в данном примере направления главных осей инериии для полюса $K$ можно было бы также найги непосредственно из соображений симметрии.