290. Условия, при которых весомое твёрдое тело совершает гессово движение. Положим, что все три момента инерции твёрдого тела для точки опоры не равны между собой, а центр масс тела лежит на перпендикуляре, восставленном из точки опоры к одному из круговых сечений гирационного эллипсоида. Тогда, если, кроме того, начальный кинетический момент тела лежит в плоскости выше названного кругового сечения, то рассматриваемое весомое твёрдое тело будет совершать движение, указанное Гессом ${ }^{1}$ ).

Прежде всего выразим аналитически только что высказанные условия. Так как три момента инерции по условию не равны друг другу, то всегда можно считать
\[
J_{\xi \xi}>J_{\text {in }}>J_{t \zeta} .
\]

Уравнение гирационного эллипсоида для точки опоры $O$ по формуле (26.18) на стр. 260 напишется так:
\[
\frac{\xi^{2}}{J_{\xi \xi}}+\frac{\eta^{2}}{J_{\eta \eta}}+\frac{\zeta^{2}}{J_{\xi \xi}}=\frac{R^{4}}{l^{2}} .
\]

Круговые сечения этой поверхности получаются как пересечение её с концентрической сферой радиуса, равного средней нолуоси эллипсоида. На основании формулы (51.1) уравнение этой сферы будет
\[
\frac{\xi^{2}}{J_{\eta \eta}}+\frac{\eta^{2}}{J_{\eta n}}+\frac{\zeta^{2}}{J_{\eta \eta}}=\frac{R^{4}}{l^{2}} \text {. }
\]

Вычтя почленно это уравнение из уравнения (51.2), мы получим уравнения плоскостей кругивых сечений
\[
\xi^{2}\left(\frac{1}{J_{\xi \xi}}-\frac{1}{J_{\eta \eta}}\right)+\zeta^{2}\left(\frac{1}{J_{\tau \zeta}}-\frac{1}{J_{\eta \eta}}\right)=0 ;
\]

остановимся на одной из них, например, на следующей:
\[
\xi \sqrt{J_{\xi \xi}\left(J_{\xi \xi}-J_{\tau_{i} \eta}\right)}+\xi \sqrt{J_{\xi \xi}\left(J_{\eta \eta}-J_{\xi \xi}\right)}=0 .
\]

Проекции единичного вектора $n^{0}$ положительной нормали к этой плоскости, которые мы обозначим через $\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\xi},\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\eta},\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\zeta}$, очевидно, выразятся так:

Центр масс $C$ тела лежит на перпендикуляре к плоскости (51.3); иначе говоря, радиус-вектор $\bar{\rho}_{C}$ центра масс коллинеарен с вектором $n^{0}$; исходя из этого-условия, мы приходим к равенству отношений
\[
\frac{\xi_{C}}{\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\xi}}=\frac{\eta_{C}}{\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\eta}}=\frac{\zeta_{C}}{\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\xi}} ;
\]

следовательно,

Уравнения движения (46.21) и (46.22) на стр. 513 для рассматриваемого случая примут вид:
\[
\begin{array}{l}
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi}-\left(J_{\gamma_{1} \eta_{1}}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\gamma_{1}} \omega_{\xi}=M g a_{32} \zeta_{C} \\
J_{\eta_{11} 1_{1}} \dot{\omega}_{\eta_{1}}-\left(J_{\xi \zeta}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi} \omega_{\xi}=M g\left(a_{33} \xi_{C}-a_{31} \xi_{C}\right) \text {, } \\
J_{t \zeta} \dot{\omega}_{\xi}-\left(J_{\xi \xi}-J_{r_{1} x_{1}}\right) \omega_{\xi} \omega_{\eta}=-M g a_{32} \xi_{C}, \\
\dot{a}_{31}=\omega_{5} a_{32}-\omega_{\gamma_{1}} a_{33} \text {, } \\
\dot{a}_{32}=\omega_{\xi} a_{33}-\omega_{\zeta} a_{31} \text {, } \\
\dot{a}_{33}=\omega_{\gamma_{1}} a_{31}-\omega_{\xi} a_{32} \text {; } \\
\end{array}
\]
$\xi_{C}$ и $\zeta_{C}$ должны удовлетворять условию (51.6).
Кинетический момент $\boldsymbol{G}$ тела определяется своими проекциями по формулам (46.7) на стр. 509
\[
G_{\xi}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi}, \quad G_{\eta}=J_{\eta \eta} \omega_{\eta}, \quad G_{\xi \xi}=J_{\xi \eta} \omega_{\xi} .
\]

Условне, что начальный кинетический момент $\boldsymbol{G}_{0}$ лежит в плоскости (51.3), или, что одно и то же, условие перпендикулярности его к вектору $\boldsymbol{n}^{0}$ выразится так:
\[
\boldsymbol{G}_{0} \cdot \boldsymbol{n}^{0}=J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi}\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\xi}+J_{\eta_{i}{ }^{\left(\omega_{0}\right.}}\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\eta}+J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi}\left(\boldsymbol{n}^{0}\right)_{\zeta}=0,
\]

или согласно соотношениям (51.5):
\[
J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi} \xi_{c}+J_{c} \omega_{0 \xi} \zeta_{C}=0 .
\]

Как видим, по своим условиям случай Гесса существенно отличается от раньше разобранных случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской: тело совершает гессово движение не при произвольных начальных условиях, а только тогда, когда начальные данные связаны ограниченнем (51.8). Другими словами, мы имеем здесь не общее решение задачи о движении твёрдого тела с определённым распределением масс, как это было в предыхущих трёх случаях, а толькочастное.

291. Простейшие (алгебраические) интегралы уравнений движения. Уравнения (51.7) имеют следующие очевидные интегралы:
\[
\begin{aligned}
J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta_{1}}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{\eta}^{2} & =-2 M g\left(\xi_{C} a_{31}+\zeta_{C} a_{33}\right)+2 h= \\
& =-2 M g z_{C}+2 h, \\
J_{\xi \xi} \omega_{\xi} a_{31}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta} a_{32}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi} a_{33} & =\Gamma, \\
a_{31}^{2}+a_{32}^{2}+a_{33}^{2} & =1 .
\end{aligned}
\]

Уравнение (51.9) представляет собой интеграл энергии. Интеграл (51.10) выражает постоянство кинетического момента тела относительно вертикали, проходящей через точку опоры; иначе то же выражение можно написать так:
\[
G_{z}=\Gamma \text {. }
\]

Равенство (51.11) является известным соотношением между косинусами. Далее, из первого и третьего уравнєний (51.7) мы получаем такое уравнение:
\[
J_{\xi \xi} \xi_{c} \dot{\omega}_{\xi}+J_{\eta} \xi_{c} \dot{\omega}_{\xi}-\omega_{\eta}\left[\omega_{\xi} \xi_{c}\left(J_{\eta \eta}-J_{\varphi \xi}\right)+\omega_{\xi}^{\zeta} \zeta_{C}\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right)\right]=0 .
\]

Но из равенства (51.6) следует
\[
\frac{J_{\eta \eta}-J_{\tau t}}{J_{\tau \tau} \zeta_{C}^{2}}=\frac{J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}}{J_{\xi \xi} \xi_{C}^{2}}=k,
\]

где буквой $k$ обозначено общее значение этих отношений. Следовательно, предыдущему равенству мы можем дать вид

Остюда мы заключаем о существовании следующего частного алгебраического интеграла уравнений движения:
\[
J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \hat{\xi}_{c}+J_{\xi} \omega_{\xi}{ }_{c}=0 .
\]

Само собою разумеется, что для существования этого иитеграла необходимо выполнение условия (51.8) в отношении начальных данных.

Аналитически двнжение Гесса весьма подробно исследовано проф. П. А. Некрасовым ${ }^{2}$ ); геометрическую картину движения дал проф. Н. Е. Жуковский ${ }^{2}$ ). Результаты исследований второго автора и будут изложены нами в дальнейшем.
292. Геометрическая интерпретация гессова движения. Прежде всего остановимся на рассмотрении движения центра масс $C$ тела; по формулам (9.7) на стр. 85, если принять во внимание первое из равенств (51.6), мы получаем следующие выражения для проекции скорости $\boldsymbol{v}_{C}$ этой точки на координатные оси:
\[
v_{C \xi}=\omega_{\eta} \zeta_{C}, \quad v_{C \eta}=\omega_{r} \xi_{C}-\omega_{\xi} \xi_{C}, \quad v_{C \zeta}=-\omega_{\eta_{i}} \xi_{C} .
\]

Составим выражение для кинетитеской энергии $T^{(C)}$ центра масс в том предположении, что эта точка обладает массой $M$ тела:

Преобразовав последний член выражения в скобках с помощью интеграла (51.13), мы получим:

Далее, из уравнений (51.6) мы имеем

где попрежнему $\bar{\rho}_{c}$ есть радиус-вектор центра масс, т. е.
\[
\rho_{c}^{2}=\xi_{c}^{2}+\dot{q}_{c}^{2} .
\]

С помощью равенств (51.16) и (51.17) и формулы (46.1) на стр. 508 выражение (51.15) можно преобразовать к виду
\[
T^{(C)}=\frac{M \rho_{C}^{2}}{2 J_{\eta \eta_{1}}}\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta_{i}} \omega_{\tau_{1}}^{2}+J_{\xi \xi}\left(\omega_{\xi}^{2}\right),\right.
\]

или
\[
T^{(C)}=\varepsilon^{2} T,
\]

где
\[
T=\frac{1}{2}\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\gamma_{1} i_{i}} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{\eta}^{2}\right)
\]

есть кинетическая энерғия тела, а постоянный множитель $\varepsilon$ равен
\[
\varepsilon=\sqrt{\frac{\overline{M_{\rho}^{2}}}{J_{r, \eta}}} .
\]

Обозначим $\boldsymbol{G}^{(C)}$ кинетический молент центра масс $C$ в предположении, что в нём сосредоточена масса $M$ тела; для его проекций на оси координат мы в согласии с формулами (51.14) будем иметь выражения:
\[
\begin{array}{l}
G_{\xi}^{(C)}=M\left(-\omega_{\xi}^{\xi} C_{C}+\omega_{\xi_{C}{ }_{C}^{2}}\right), \\
G_{\eta}^{(C)}=M\left(\omega_{r}{ }_{i}^{2}+\omega_{r} \xi_{c}^{2}\right), \\
G_{t}^{(C)}=M\left(\omega_{\tau}^{*}-\omega_{\xi}^{\xi} C_{C}\right) . \\
\end{array}
\]

Иначе, приняв во внимание интеграл (51.13), можно написать
\[
\begin{array}{l}
G_{\xi}^{(C)}=M \omega_{\xi}\left(\zeta_{C}^{2}+\frac{J_{\xi}}{J_{\xi}} \xi_{C}^{2}\right), \\
G_{\eta}^{(C)}=M \omega_{\eta}\left(\xi_{C}^{2}+\zeta_{C}^{2}\right), \\
G_{\zeta}^{(C)}=M \omega_{\zeta}\left(\xi_{C}^{2}+\frac{J_{\xi \xi}}{J_{\xi \xi}^{2}} \zeta_{C}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Заменив опять $\varepsilon_{C}$, $\eta_{C}$ черзз ос по формуле (52.17) и воспользовавшись обозначением (51.19), мы на основании формул (46.7) на стр. 509 получим:
\[
G_{\xi}^{(C)}=\varepsilon^{2} J_{\xi \xi} \omega_{\xi}=\varepsilon^{2} G_{\xi}, \quad G_{\tau_{i}}^{(C)}=\varepsilon^{2} J_{\eta \eta} \omega_{\eta}=\varepsilon^{2} G_{\eta}, \quad G_{\xi}^{(C)}=\varepsilon^{2} J_{\xi \xi} \omega_{\xi}=\varepsilon^{2} G_{\zeta},
\]
т. e.
\[
\boldsymbol{G}^{(C)}=\varepsilon^{2} \boldsymbol{G} ;
\]
$\boldsymbol{G}$ попрежнему означает кинетический момент тела относительно неподвижной точки.

На основании равенств (51.18) и (51.20) интегралы уравнений движения (51.9) и (51.12) могут быть переписаны так:
\[
T^{(C)}=-M g^{\prime} z_{\mathrm{c}}+h^{\prime}, \quad G_{z}^{(C)}=\Gamma^{\prime},
\]

если обозначить
\[
g^{\prime}=\varepsilon^{2} g, \quad h^{\prime}=\varepsilon^{\prime} h, \quad \Gamma^{\prime}=\varepsilon^{2} \Gamma .
\]

В первое из уравнений (51.21) введём явно скорость $\boldsymbol{v}_{C}$ центра масс, а во втором уравнении кинетический момент $G_{z}^{(C)}$ выразим через полярные координаты $\rho_{C^{\prime}}, \Psi$ проекции $C^{\prime}$ точки $C$ на плоскость $O x y$ [ср. Формулу (18.24) на стр. 161 ]; мы получим:
\[
\frac{M v_{C}^{2}}{2}=-M g^{\prime} z_{c}+h^{\prime}, \quad \rho_{C^{\prime}}^{2} \dot{\psi}=\Gamma^{\prime} .
\]

Сравнивая эти интегралы с интегралами (21.21) и (21.20) на стр. 204, относящимися к движению сфернческого маятника, мы видим, что центр масс $C$ тела движется, как сферический маятник, в том предположении, что ускорение тяжести $\boldsymbol{g}$ заменено через $\boldsymbol{g}^{\prime}$.

Однако, двжение тела не определится движением только одной его точки: остаётся ещё неизвестным, каким образом тело вращается вокруг прямой $O C$. Чтобы выяснить себе характер этого последнего движения, обратим внимание на точку $\beta$, леंжащую на конце средней полуоси гирационного эллипсоида (51.2). Координатами этой точки будут
\[
\xi_{\beta}=0, \quad \eta_{3}=\sqrt{J_{\tau \eta}}, \quad \zeta_{\beta}=0 ;
\]

поэтому для проекций её скорости $\emptyset_{\beta}$ на оси мы получим выражения:
\[
v_{\beta \xi}=-\omega_{\xi} \sqrt{J_{\eta,}} \quad v_{\beta x_{i}}=0, \quad v_{\beta \zeta}=\omega_{\xi} \sqrt{J_{\tau, \eta^{\prime}}}
\]

Вычислим угол $\theta$, образуемый этою скоростью с плоскостью кругового сечения (51.3); по формулам (51.4) и (51.22) мы находим:
\[
\begin{array}{l}
\sin \theta=\cos \left(\widehat{v}_{\beta}, n^{0}\right)= \\
=\frac{\boldsymbol{v}_{\beta} \cdot \boldsymbol{n}^{0}}{\boldsymbol{v}_{\beta}}=\frac{1}{\boldsymbol{v}_{\beta} \sqrt{J_{\eta \eta \eta}\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \zeta}\right)}}\left[-\omega_{\tau} \sqrt{J_{\tau_{i, 1}} J_{\xi \xi}\left(J_{\xi \xi}-J_{i, q_{i}}\right)}+\right. \\
\left.+\omega_{\xi} \sqrt{J_{x_{i} x_{i}} J_{\xi \xi}\left(J_{x_{i n}}-J_{\xi \xi}\right)}\right] \text {. } \\
\end{array}
\]

Но из уравнений (51.22) мы имеем
\[
v_{\beta}=J_{x_{i}}\left(\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\xi}^{2}\right) .
\]

Далее, из равенств (51.13) и (51.6) мы находим:

На этом основании равенство (51.24) может быть переписано так:
\[
v_{\beta}=\omega_{\xi} \sqrt{\frac{J_{m \eta}\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \xi}\right)\left(J_{\xi \xi}+J_{\eta \eta}-J_{\eta \eta}\right)}{J_{\xi \xi}\left(J_{\eta \eta}-J_{\psi \eta}\right)}} .
\]

Если теперь это значение $v_{3}$ мы подставим в уравнение (52.23) и из двучлена, стоящего в скобках, исключим $\omega_{z}$ при помощи того же равенства (51.25), то окончательно получнм:
\[
\sin \theta=\frac{\sqrt{J_{\xi \xi} J_{\xi \xi}}}{\sqrt{J_{\eta \eta \eta}\left(J_{\xi \xi}+J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta}\right)}} .
\]

Из, этого выражения мы видим, что направление скорости точки $\beta$ образует постоянный угол с плоскостью -кругового сечения (51.3). Положение плоскости (51.3) вполне определяется положением центра масс $C$ тела, соотношение же (51.26) геометрически вполне характеризует вращение тела вокруг оси $O C$.

В частном случае, когда кинетический момент $\boldsymbol{G}$ тела в начальный момент равен нулю или гсризонтален, постоянная Г в интеграле (51.12) равна нулю, и точка $C$ движется, как математический маятник (§132); следовательно плоскость (51.3) в этом случае вращается около неподвижной горизонтальной прямой, перпендикулярной к плоскости траектории точки $C$. Пусть одна из точек встречи этой прямой со сферой, радиус которой равен $V \bar{J}_{\gamma, \text {, }}$, а центр находится в точке опоры, будет $K$. Нетрудно сообразить, что траекторией точки $\beta$ на этой сфере служит кривая, называемая локсодромией. В самом деле, по предыдущему, эта траектория образует постоянный угол со сферическими радиусами-векторами точки $\beta$, проведёнными из точки $K$, а это и есть характерное свойство локсодромии. Если центр масс $C$ совершает колебательное движение, т. е. движение, описанное в п. $1, \S 132$, то и точка $\beta$ колеблется по некоторой дуге локсодромии; если же точка $C$ совершает прогрессивное движение (п. 3 , $\S 132$ ), то точка $\beta$ асимптотически приближается к точке $K$ или к точке, ей диаметрально противоположной, т. е. движение тела асимптотически сіремится к вращению вокруг средней оси инерции.

293. Случай Бобылёва-Стеклова. Кроме разобранных нами четырЁх случаев движения весомого твёрдого тела вокруг кеподвижной точки, было указано ещё несколько других частных решений уравнений (46.21) и (46.22) на стр. $513^{1}$ ). Мы остановимся только на одном весьма простом

случае, открытом одновременно проф. Д. К. Бобылёвым и проф. В. А. Стекловым ${ }^{1}$ ).
Пусть между моментами инерции для точки опоры имеем соотношение
\[
J_{x, \pi}=2 J_{\xi \xi},
\]

а центр масс $C$ тела пусть лежит на оси $\eta$, т. е.
\[
\xi_{c}=\zeta_{c}=0 \text {. }
\]

Тогда система указанных уравнений (46.21) и (46.22) на стр. 513 упростится так:
\[
\begin{array}{l}
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi}-\left(2 J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\eta_{i}} \omega_{\xi}=-M g a_{33} r_{i C}, \\
2 J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\gamma_{1}}-\left(J_{\psi r}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi} \omega_{\xi}=0 \text {, } \\
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\zeta}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \omega_{r_{1}}=M g a_{31} r_{C} \text {, } \\
\left.\dot{a}_{31}=\omega_{\xi} a_{32}-\omega_{\gamma} a_{33}, \quad \dot{a}_{\mathrm{s} 2}=\omega_{\xi} a_{33}-\omega_{\zeta} a_{31}, \quad \dot{a}_{33}=\omega_{1} a_{31}-\omega_{\xi} a_{32} .\right) \\
\end{array}
\]

Нетрудно увидеть, что эти уравнения допускают следующее частное решение:
\[
\omega_{\xi} \pm 0, \quad \omega_{x_{1}}=\text { const. }=\omega_{0,1} \quad \omega_{\xi}=\frac{M \eta_{1} c}{J_{\xi \xi} \omega_{0 \eta}} a_{31}=m a_{31},
\]

где $m$ – постоянная величина. С помощью этих интегралов система уравнений (51.27) может быть приведена к такой:
\[
\dot{a}_{31}=-\omega_{0 r_{1}} a_{33}, \quad \dot{a}_{32}=m a_{31} a_{33}, \quad \dot{a}_{33}=a_{31}\left(\omega_{0 x_{1}}-m a_{32}\right) .
\]

А для этих уравнений, кроме очевидного интеграла
\[
a_{31}^{2}+a_{32}^{2}+a_{33}^{2}=1,
\]

легко находится ещё другой:
\[
2 \omega_{0,} a_{32}+m a_{31}^{2}=\Gamma,
\]

где $Г$-произвольная постоянная. Из уравнений (51.29) и (51.30) мк находим:
\[
a_{33}^{2}=1-a_{31}^{2}-\left(l-n a_{31}^{2}\right)^{2},
\]

где
\[
l=\frac{\Gamma}{2 \omega_{0 n}}, \quad n=\frac{m}{2 \omega_{0 \eta}} .
\]

Подставив это значение $a_{33}$ в первое из уравнений (51.28), мы увидим, что интегрирование уравнений движения сведётся к эллиптической квадратуре
\[
\frac{d a_{31}}{ \pm \sqrt{1-a_{31}^{2}-\left(l-n a_{31}^{2}\right)}}=-\omega_{0_{1}} d t .
\]