6. Определение скользящего вектора. Векторы эквивалентные и прямо противоположные. Скользящим вектором, в отличие от вектора свободного, называется вектор, лежащий на данной прямой; последняя называется основанием вектора. Два скользящих вектора равной длины и одинакового направления, лежащие на общем основании, носят название эквивалентных, или равносильных. Два скользящих вектора равной дтины, лежащие на одном и том же

основании, но противоположно направленные, называются прямо проти воположным и.

7. Координаты скользящего вектора. Для определения скользящего вектора надо задать модуль вектора и его направление, а также положение прямой, на которой он расположен. Это можно сделать различными способами. Например, скользящий вектор $\boldsymbol{a}$ определится однозначно, если за координаты возьмём три проекции его $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ на координатные оси и две координаты $x_{0}, y_{0}$ следа $A_{0}$ основания вектора на координатной плоскости $O x y$ (фиг. 16). Таким образом, число н е зв исимых координат скользящего вектора равно ня я и.

В последующем изложении мы будем задавать ско.иьзящий вектор $a$ шестью координатами: тремя проекциями $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ вектора $\boldsymbol{a}$ на координатные оси и тремя проекциями $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ радиуса-вектора $r_{A}$ какойлибо точки $A$, лежащей на основании вектора (иначе говоря, тремя декартовыми координатами точки $A$ ). Эту точку мы большей частью будем выбирать в начале вектора $\boldsymbol{a}$ к будем её тогда называть точкой пр иложения вектора. Сущность излагаемого способа задания скользяцего вектора $\boldsymbol{a}$ состоит, очевидно, в том, что скользя ий вектор $\boldsymbol{a}$ определяется двумя свободными векторами $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{r}_{A}$; последние называются векторыыми координатами скользящего вектора $\boldsymbol{a}$.

Так как число выбранных нами координат $a_{x}, a_{y}, a_{z} ; x_{A}, y_{A}, z_{A}$ превышает на единицу чисто независимых координат вектора, то или эти координаты связаны некоторым уравнением, или одна из них остаётся неопределённою. Очевидно, в нашем случае имеет место второе обстоятельство: одной из координат точки, лежащей на основании вектора $\boldsymbol{a}$, мы можем дать произвоиьное значение. Так, векторы $a, r_{A}$ и $a, r$ или соответственно координаты
\[
a_{x}, a_{v}, a_{z} ; x_{A}, y_{A}, z_{A}
\]

H
\[
a_{x}, a_{y}, a_{z} ; x, y, z
\]

определяют один и тот же скользящий вектор $a$, если вектор $\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{A}$ пропорционален вектору $\boldsymbol{a}$ (фиг. 17), т. е. если
\[
\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{4}}{\boldsymbol{a}}=\tau
\]

Фиг. 17.

где $\tau$– произвольный скаляр; в проекциях последнее соотношение может быть записано следующим образом:
\[
\frac{x-x_{A}}{a_{x}}=\frac{y-y_{A}}{a_{y}}=\frac{z-z_{A}}{a_{z}} .
\]

Ясно, что при переходе от некоторой системы знаџндй координат (2.1) к системе значений (2.2) можно одной из величин $x, y, z$ дать произвольно выбранное значение; нельзя лишь изменять той из них, которой в выражении (2.4) соответствует знаменатель, равный нулю. Пусть,

например, система (2.1) следующая:
\[
1,2,3 ; 1,2,3 \text {. }
\]

Дадим новой координате $z$ в системе (2.2) значение 0 ; тогда согласно соотношению (2.4) новые координаты (2.2) будут следующие:
\[
1,2,3 ; 0,0,0 .
\]

Если же положить $z=-6$, то получим:
\[
1,2,3 ;-2,-4,-6
\]

и т. д. Координаты эквивалентных векторов всегда могут быть сделаны одинаковыми. Заметим, чте уравнения (2.3) и (2.4) при текущих $\boldsymbol{r}$ и $x, y, z$ соответственно представляют собой уравнения основания в векторной и координатной формах.

8. Момент скользящего вектора относительно точки (полюса). Моментом $\boldsymbol{L}_{O}$ скользящего вектора $\boldsymbol{a}$ относительно точки, или полюса, $O$ (фиг. 18) называется векторное произведение радиуса-вектора $\boldsymbol{r}_{A}$, проведённого из точки $O$ к началу $A$ данного вектора, на этот вектор $\boldsymbol{a}$, т. е.
\[
\boldsymbol{L}_{O}=\operatorname{mom}_{O} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{r}_{A} \times \boldsymbol{a} .(2.5)
\]

Согласно формуле (1.26) на стр. 10 момент вектора относительно точки может быть выражен в форме определителя
\[
\boldsymbol{L}_{0}=\left|\begin{array}{lll}
x^{0} & \boldsymbol{y}^{0} & \boldsymbol{z}^{0} \\
r_{A x} & r_{A y} & r_{A z} \\
a_{x} & a_{y} & a_{z}
\end{array}\right| .
\]

Фиг, 18.
Фит. 19.

Следовательно, проекции момента $\boldsymbol{L}_{O}$ на оси координат равны
\[
L_{O x}=\left|\begin{array}{ll}
r_{A y} & r_{A z} \\
a_{y} & a_{z}
\end{array}\right|, \quad L_{O y}=\left|\begin{array}{ll}
r_{A z} & r_{A x} \\
a_{2} & a_{x}
\end{array}\right|, \quad L_{O z}=\left|\begin{array}{ll}
r_{A x} & r_{A y} \\
a_{x} & a_{y}
\end{array}\right| .
\]

Если точка $O$, относительно которой берётся момент, является началом координат (как на фиг. 18), то $r_{A x}=x_{A}, r_{A y}=y_{A}, r_{A z}=z_{A}$, и формулы (2.6), (2.7) переходят в следующие:
\[
\begin{aligned}
L_{O} & =\left|\begin{array}{lll}
x^{0} & y^{0} & z^{0} \\
x_{A} & y_{A} & z_{A} \\
a_{x} & a_{y} & a_{z}
\end{array}\right|, \\
L_{O x}=\left|\begin{array}{ll}
y_{A} & z_{A} \\
a_{y} & a_{z}
\end{array}\right|, \quad L_{O y} & =\left|\begin{array}{ll}
z_{A} & x_{A} \\
a_{z} & a_{x}
\end{array}\right|, \quad L_{O z}=\left|\begin{array}{ll}
x_{A} & y_{A} \\
a_{x} & a_{y}
\end{array}\right| .
\end{aligned}
\]

Если же момент нужно взять относительно точки $C$ с координатами $x_{C}, y_{C}, z_{C}$ (фит. 19), то, очевидно, в формулах (2.6), (2.7) надо положить
\[
r_{A x}=x_{A}-x_{C}, \quad r_{A y}=y_{A}-y_{C}, \quad r_{A z}=z_{A}-z_{C} .
\]

Как и всякое векторное произведение, момент $\boldsymbol{L}_{O}$ вектора $\boldsymbol{a}$ численно

равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{a}$ (фиг. 18). Можно также сказать, что модуль момента равен произведению модуля $a$ вектора $\boldsymbol{a}$ на плечо $h$, при этом плечом мы называем длину перпендикуляра, опущенного из полюса на основание вектора. Из формулы (2.6) легко получаем выражение для модуля момента через проекции векторов $\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{A}}$ и $\boldsymbol{a}$ :
\[
L_{O}=\sqrt{\left(\left|\begin{array}{ll}
r_{A y} & r_{A z} \\
a_{y} & a_{z}
\end{array}\right|\right)^{2}+\left(\left|\begin{array}{ll}
r_{A z} & r_{A x} \\
a_{z} & a_{x}
\end{array}\right|\right)^{2}+\left(\left|\begin{array}{ll}
r_{A x} & r_{A y} \\
a_{x} & a_{y}
\end{array}\right| \cdot\right)^{2}} .
\]

Очевидно, эквивалентные векторы имеют равные, а прямо противоположные векторы – противоположные моменты относительно любой точки. Если момент вектора равен нулю, то или сам вектор равен нулю, или момент берётся относительно точки, лежащей на основании вектора.

Выведем в заключение важную формулу, связывающую момент $\boldsymbol{L}_{\boldsymbol{Q}}$ вектора $\boldsymbol{a}$ относительно \”старого\” полюса $O$ с моментом $\boldsymbol{L}_{C}$ этого же вектора относительно некоторого «нового» полюса $C$, заданного по отношению к полюсу $O$ радиусом-вектором $\boldsymbol{r}_{C}$ (фиг. 19); имеем
\[
\boldsymbol{L}_{O}=\overline{O A} \times \boldsymbol{a}=(\overline{O C}+\overline{C A}) \times \boldsymbol{a}=\overline{O C} \times \boldsymbol{a}+\overline{C A} \times \boldsymbol{a}=\boldsymbol{r}_{C} \times \boldsymbol{a}+\boldsymbol{L}_{C},
\]

откуда
\[
\boldsymbol{L}_{C}=\boldsymbol{L}_{O}-\boldsymbol{r}_{C} \times \boldsymbol{a} .
\]

9. Момент скользящего вектора относительно оси. Докажем предварительно, что проекция момента $\boldsymbol{L}_{O}$ вектора $\boldsymbol{a}$ относительно точки $O$ на какую-либо ось $z$, проходяшую через точку $O$ (фиг. 20), равна проекции ңа ту же ось момента $\boldsymbol{L}_{O}$, вектора $\boldsymbol{a}$ относительно любой другой точки $O^{\prime}$ той же оси, т. е., что
\[
L_{O z}=L_{O^{\prime} z} .
\]

Для доказательства проведём плоскость $(s)$, перпендикулярную оси $z$, и спроектируем вектор $\boldsymbol{a}$ на эту плоскость. Назвав $\alpha$ угол, образуемый вектором $L_{O}$ с осью $O z$, имеем:
\[
\begin{aligned}
L_{O_{2}}=|\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{a}| \cos \alpha & =2 \text { пл } \triangle O A B \cos \alpha= \\
& =2 \text { пл } \triangle O_{1} A_{1} B_{1} ;
\end{aligned}
\]

Фиг. 20.
постеднее равенство написано на том основании, что двугранный угол между плоскостями ( $s$ ) и $O A B$ равен углу между перпендикулярами $O z$ и $L_{O}$ к этим плоскостям, т. е. равен тоже $\alpha$. Так как величина проекции $O A_{1} B_{1}$ не зависит от положения точки $O$ на оси, то
\[
L_{O z}=L_{O^{\prime} z} .
\]

Установив это свойство, мы можем ввести следующее определение: моментом вектора $\boldsymbol{a}$ относительно оси $l$ называется проекция на эту ось момента данного вектора относительно любой точки $O$ оси:
\[
\operatorname{mom}_{l} a=\left(\operatorname{mom}_{0} a\right)_{l} .
\]

В частности, моментами вектора $\boldsymbol{a}$ относительно координатных осей являются проекции на эти оси момента вектора относительно начала

координат [см. формулы (2.9)]:
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{mom}_{x} a=\left(\operatorname{mom}_{O} a\right)_{x}=\left|\begin{array}{ll}
y_{A} & z_{A} \\
a_{y} & a_{z}
\end{array}\right|, \\
\operatorname{mom}_{y} a=\left(\operatorname{mom}_{O} a\right)_{y}=\left|\begin{array}{ll}
z_{A} & x_{A} \\
a_{z} & a_{x}
\end{array}\right|, \\
\operatorname{mom}_{z} a=\left(\operatorname{mom}_{O} a\right)_{z}=\left|\begin{array}{ll}
x_{A} & y_{A} \\
a_{x} & a_{y}
\end{array}\right| .
\end{array}
\]

Аналогичные формулы получим для моментов вектора $\boldsymbol{a}$ относительно осей. $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, параллельных осям координат и проходящих через точку $x_{C}$,
\[
\begin{array}{l}
y_{C}, z_{C}[\text { см. формулы }(2.10)]: \\
\operatorname{mom}_{x^{\prime}} \boldsymbol{a}=\left|\begin{array}{cc}
y_{A}-y_{C} & z_{A}-z_{C} \\
a_{y} & a_{z}
\end{array}\right|, \\
\operatorname{mom}_{y^{\prime}} \boldsymbol{a}=\left|\begin{array}{cc}
z_{A}-z_{C} & x_{A}-x_{C} \\
a_{z} & a_{x}
\end{array}\right|, \\
\operatorname{mom}_{z^{\prime}} \boldsymbol{a}=\left|\begin{array}{cc}
x_{A}-x_{C} & y_{A}-y_{C} \\
a_{x} & a_{y}
\end{array}\right| .
\end{array}
\]
В. заключение найдём аналитическое выражение для Фиг. 21. момента вектора $a$ относительно оси $l$ (фиг. 21), если заданы:
1) проекции $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ вектора $a$,
2) координаты $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ то’ни его приложения,
3) коордннаты $x_{B}, y_{B}, z_{B}$ точки $B$, лежащей на оси $l$,
4) направляющие косинусы $\alpha, \beta, \gamma$ оси $l$.

Иначе говоря, мы считаем, известными векторы $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{A}, \boldsymbol{r}_{B}$ и единичный вектор $l^{0}$ оси $l$, имеющий проекциями $\alpha, \beta, \gamma$. В соответствии с формулами (2.13), (2.5), (1.11), (1.32) последовательно получаем:
\[
\operatorname{mom}_{l} \boldsymbol{a}=\left[\mathrm{mom}_{B} \boldsymbol{a}\right]_{l}=[\overline{B A} \times \boldsymbol{a}]_{l}=\left[\left(\boldsymbol{r}_{A}-\boldsymbol{r}_{B}\right) \times \boldsymbol{a}\right]_{l}=\left[\boldsymbol{r}_{A}-\boldsymbol{r}_{B}\right] \times \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{l}^{0},
\]
T. e.
\[
\operatorname{mom}_{l} \boldsymbol{a}=\left|\begin{array}{ccc}
x_{A}-x_{B} & y_{A}-y_{B} & z_{A}-z_{B} \\
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
a & \beta^{y} & \gamma
\end{array}\right| .
\]

10. Задание скользящего вектора его проекциями и его моментами относительно координатных осей. Вместо того чтобы задаты скользящий вектор $\boldsymbol{a}$ двумя свободными векторами $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{r}_{A}$ (фиг. 18) или; иначе говоря, проекциями $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ вектора $a$ на координатные оси и координатами $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ точки его приложения, мы можем определить ero двумя другими свободными векторами, а именно, свободным вектором $\boldsymbol{a}$ и вектором, равным момевту $\boldsymbol{L}_{O}$ скользящего вектора $\boldsymbol{a}$ относительно начала координат, т. е. следующими шестью скалярными величи. нами: тремя проекциями вектора $\boldsymbol{a}$

и тремя сго моментами
\[
\begin{array}{c}
a_{x}, a_{y}, a_{z} \\
L_{O x}, L_{O y}, L_{O z}
\end{array}
\]

относительно координатных осей. Число координат вектора снова на еди-

ницу превышает число его независимы кордынат; следовательно, между ними должна существовать некоторая зависимость. Эту зависимость нетрудно найти, если составить скалярное произведение вектора $\boldsymbol{a}$ на его момент $\boldsymbol{L}_{O}$; имеем
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}_{O}=\boldsymbol{a} \cdot\left(\boldsymbol{r}_{A} \times \boldsymbol{a}\right) .
\]

Но векторно-скалярное произведение, содержащее два одинаковых множителя, как известно, равно нулю; поэтому мы получаем:
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{L}_{O}=a_{x} L_{O x}+a_{y} L_{O y}+a_{z} L_{O z}=0 .
\]

Это и есть искомая зависимость. Геометрически она выражает перпендикулярность вектора $\boldsymbol{a}$ к своему моменту $\boldsymbol{L}_{0}$ относительно точки $O$.

От прежней системы координат $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{A}$ скользящего вектора $\boldsymbol{a}$ к новой системе $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{L}_{O}$ легко перейти с помощью соотношения (2.5); имеем
\[
\boldsymbol{L}_{O}=\boldsymbol{r}_{A} \times \boldsymbol{a},
\]

или
\[
L_{O x}=\left|\begin{array}{ll}
y_{A} & z_{A} \\
a_{y} & a_{z}
\end{array}\right|, \quad L_{O y}=\left|\begin{array}{ll}
z_{A} & x_{A} \\
a_{z} & a_{x}
\end{array}\right|, \quad L_{O z}=\left|\begin{array}{ll}
x_{A} & y_{A} \\
a_{x} & a_{y}
\end{array}\right| .
\]

Эти же уравнения служат и для обратного перехода, только одной из координат точки приложения вектора нужно при этом дать значение, выбранное по произволу.

11. Взаимный момент двух векторов. Взаимным моментом двух векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ называется произведение модуля одного из векторов на момент другого относительно оси, служащей основанием первому и совпадающей с ним по направлению (фиг. 22). Обозначив взаимный – момент векторов $\boldsymbol{a}$ н $\boldsymbol{b}$ символом mom $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$, имеем, следовательно,
\[
\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=a \operatorname{mom}_{\boldsymbol{a}} \boldsymbol{b} .
\]

Докажем прежде всего упоминаемое в определении свойство взаимности, т. е. покажем, что
\[
\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\operatorname{mom}(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}) \text {. }
\]

Выразим для этого $\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ через векторы $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ и через вектор $\overline{A B}$, идущий от начала первого вектора к началу второго. В ссл ласии с формулами (2.13), (2.5) и (1.11) получаем:
\[
\operatorname{mom}(a, b)=a \operatorname{mom}_{a} \boldsymbol{b}=a(\overline{A B} \times \boldsymbol{b}) \cdot a^{0},
\]

или
\[
\operatorname{mom}(a, b)=a \cdot \overline{A B} \times \boldsymbol{b} .
\]

Точно так же находим:
\[
\operatorname{mom}(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a})=\boldsymbol{b} \cdot \overline{B A} \times \boldsymbol{a} .
\]

Но в силу правила (1.33) о циклической перестановке сомножителей векторноскалярного произведения мы можем написать
\[
\boldsymbol{a} \cdot \overline{A B} \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} \times \overline{A B},
\]

так как
\[
a \times \overline{A B}=-\overline{A B} \times \boldsymbol{a}=\overline{B A} \times \boldsymbol{a},
\]
ro
\[
\boldsymbol{a} \cdot \overrightarrow{A B} \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \overrightarrow{B A} \times \boldsymbol{a} ;
\]

свойство взаимности доказано. Заметим, что в частном случае, если векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ эквивалентны, ив взаимный момент равен нулю.

Формула-2.19) в соответствии с геометрическим смыслом векторно-скалярного произведения показывает, что взаимный момент двух векторов численно равен ушестерённому объёму тетраэдра, построенного на данных векторах как на противоположных ребрах; при этом объёму тетраэдра приписывается знак в прежде указанном смысле ( $\$ 5$, а).

Выразим взаимный момент векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ через проекции этих векторов и через координаты их точек приложения $A$ и $B$. На основании формул (2.19) и (1.32) мы можем написать
\[
\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\boldsymbol{a} \cdot \overline{A B} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ccc}
x_{B} \frac{a_{x}}{b_{x}} x_{A} & y_{B} \frac{a_{y}}{b_{y}} y_{A} & z_{B} \frac{a_{z}}{b_{z}} z_{A}
\end{array}\right| .
\]

Чтобы придать полученному определителю более симметричный вид, преобразуем его прежде всего в определитель 4-го порядка; имеем
\[
\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
0 & x_{B} \frac{b_{A}}{b_{x}} x_{A} & y_{B} \frac{y_{y}}{b_{y}} & z_{B} \frac{z_{z}}{b_{z}}
\end{array}\right| .
\]

Прибавим теперь к элементам 2-го, 3-го и 4-го столбцов элементы первого столбца, соответственно умноженные на $x_{A}, y_{A}, z_{A}$, и после этого приложим преобразованную первую строку к третьей; мы получим тогда окончательное выражение:
\[
\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\left|\begin{array}{llll}
1 & x_{A} & y_{A} & z_{A} \\
0 & a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
1 & x_{B} & y_{B} & z_{B} \\
0 & b_{x} & b_{y} & b_{z}
\end{array}\right|
\]

Выразим ещ взаимный момент mom $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ скользящих векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ через нх другие координаты, а именно, герез $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, и моменты $\boldsymbol{L}_{O}^{(A)}$ и $\boldsymbol{L}_{O}^{(B)}$ рассматриваемых векторов относительно некогорой точки $O$ (начала координат). Заменим для этого в формуле (2.19) вектор $\overline{A B}$ через разность $r_{B}-r_{A}$; мы тогда получим:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) & =\boldsymbol{a} \cdot \overline{A B} \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \cdot\left(\boldsymbol{r}_{B}-\boldsymbol{r}_{A}\right) \times \boldsymbol{b}= \\
& =\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{r}_{B} \times \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{r}_{A} \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{r}_{B} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{r}_{A} \times \boldsymbol{a},
\end{aligned}
\]
т. e.
\[
\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\boldsymbol{a} \cdot L_{O}^{(B)}+\boldsymbol{b} \cdot L_{O}^{(A)} .
\]

Выразив в правой части скалярные произведения через проекции векторов, можем также написать
\[
\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=a_{x} L_{O x}^{(B)}+a_{y} L_{O y}^{(B)}+a_{z} L_{O z}^{(B)}+b_{x} L_{O x}^{(A)}+b_{y} L_{O y}^{(A)}+b_{z} L_{O z}^{(A)} .
\]