Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6. Определение скользящего вектора. Векторы эквивалентные и прямо противоположные. Скользящим вектором, в отличие от вектора свободного, называется вектор, лежащий на данной прямой; последняя называется основанием вектора. Два скользящих вектора равной длины и одинакового направления, лежащие на общем основании, носят название эквивалентных, или равносильных. Два скользящих вектора равной дтины, лежащие на одном и том же основании, но противоположно направленные, называются прямо проти воположным и. 7. Координаты скользящего вектора. Для определения скользящего вектора надо задать модуль вектора и его направление, а также положение прямой, на которой он расположен. Это можно сделать различными способами. Например, скользящий вектор $\boldsymbol{a}$ определится однозначно, если за координаты возьмём три проекции его $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ на координатные оси и две координаты $x_{0}, y_{0}$ следа $A_{0}$ основания вектора на координатной плоскости $O x y$ (фиг. 16). Таким образом, число н е зв исимых координат скользящего вектора равно ня я и. В последующем изложении мы будем задавать ско.иьзящий вектор $a$ шестью координатами: тремя проекциями $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ вектора $\boldsymbol{a}$ на координатные оси и тремя проекциями $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ радиуса-вектора $r_{A}$ какойлибо точки $A$, лежащей на основании вектора (иначе говоря, тремя декартовыми координатами точки $A$ ). Эту точку мы большей частью будем выбирать в начале вектора $\boldsymbol{a}$ к будем её тогда называть точкой пр иложения вектора. Сущность излагаемого способа задания скользяцего вектора $\boldsymbol{a}$ состоит, очевидно, в том, что скользя ий вектор $\boldsymbol{a}$ определяется двумя свободными векторами $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{r}_{A}$; последние называются векторыыми координатами скользящего вектора $\boldsymbol{a}$. Так как число выбранных нами координат $a_{x}, a_{y}, a_{z} ; x_{A}, y_{A}, z_{A}$ превышает на единицу чисто независимых координат вектора, то или эти координаты связаны некоторым уравнением, или одна из них остаётся неопределённою. Очевидно, в нашем случае имеет место второе обстоятельство: одной из координат точки, лежащей на основании вектора $\boldsymbol{a}$, мы можем дать произвоиьное значение. Так, векторы $a, r_{A}$ и $a, r$ или соответственно координаты H определяют один и тот же скользящий вектор $a$, если вектор $\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{A}$ пропорционален вектору $\boldsymbol{a}$ (фиг. 17), т. е. если Фиг. 17. где $\tau$— произвольный скаляр; в проекциях последнее соотношение может быть записано следующим образом: Ясно, что при переходе от некоторой системы знаџндй координат (2.1) к системе значений (2.2) можно одной из величин $x, y, z$ дать произвольно выбранное значение; нельзя лишь изменять той из них, которой в выражении (2.4) соответствует знаменатель, равный нулю. Пусть, например, система (2.1) следующая: Дадим новой координате $z$ в системе (2.2) значение 0 ; тогда согласно соотношению (2.4) новые координаты (2.2) будут следующие: Если же положить $z=-6$, то получим: и т. д. Координаты эквивалентных векторов всегда могут быть сделаны одинаковыми. Заметим, чте уравнения (2.3) и (2.4) при текущих $\boldsymbol{r}$ и $x, y, z$ соответственно представляют собой уравнения основания в векторной и координатной формах. 8. Момент скользящего вектора относительно точки (полюса). Моментом $\boldsymbol{L}_{O}$ скользящего вектора $\boldsymbol{a}$ относительно точки, или полюса, $O$ (фиг. 18) называется векторное произведение радиуса-вектора $\boldsymbol{r}_{A}$, проведённого из точки $O$ к началу $A$ данного вектора, на этот вектор $\boldsymbol{a}$, т. е. Согласно формуле (1.26) на стр. 10 момент вектора относительно точки может быть выражен в форме определителя Фиг, 18. Следовательно, проекции момента $\boldsymbol{L}_{O}$ на оси координат равны Если точка $O$, относительно которой берётся момент, является началом координат (как на фиг. 18), то $r_{A x}=x_{A}, r_{A y}=y_{A}, r_{A z}=z_{A}$, и формулы (2.6), (2.7) переходят в следующие: Если же момент нужно взять относительно точки $C$ с координатами $x_{C}, y_{C}, z_{C}$ (фит. 19), то, очевидно, в формулах (2.6), (2.7) надо положить Как и всякое векторное произведение, момент $\boldsymbol{L}_{O}$ вектора $\boldsymbol{a}$ численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{a}$ (фиг. 18). Можно также сказать, что модуль момента равен произведению модуля $a$ вектора $\boldsymbol{a}$ на плечо $h$, при этом плечом мы называем длину перпендикуляра, опущенного из полюса на основание вектора. Из формулы (2.6) легко получаем выражение для модуля момента через проекции векторов $\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{A}}$ и $\boldsymbol{a}$ : Очевидно, эквивалентные векторы имеют равные, а прямо противоположные векторы — противоположные моменты относительно любой точки. Если момент вектора равен нулю, то или сам вектор равен нулю, или момент берётся относительно точки, лежащей на основании вектора. Выведем в заключение важную формулу, связывающую момент $\boldsymbol{L}_{\boldsymbol{Q}}$ вектора $\boldsymbol{a}$ относительно \»старого\» полюса $O$ с моментом $\boldsymbol{L}_{C}$ этого же вектора относительно некоторого «нового» полюса $C$, заданного по отношению к полюсу $O$ радиусом-вектором $\boldsymbol{r}_{C}$ (фиг. 19); имеем откуда 9. Момент скользящего вектора относительно оси. Докажем предварительно, что проекция момента $\boldsymbol{L}_{O}$ вектора $\boldsymbol{a}$ относительно точки $O$ на какую-либо ось $z$, проходяшую через точку $O$ (фиг. 20), равна проекции ңа ту же ось момента $\boldsymbol{L}_{O}$, вектора $\boldsymbol{a}$ относительно любой другой точки $O^{\prime}$ той же оси, т. е., что Для доказательства проведём плоскость $(s)$, перпендикулярную оси $z$, и спроектируем вектор $\boldsymbol{a}$ на эту плоскость. Назвав $\alpha$ угол, образуемый вектором $L_{O}$ с осью $O z$, имеем: Фиг. 20. Установив это свойство, мы можем ввести следующее определение: моментом вектора $\boldsymbol{a}$ относительно оси $l$ называется проекция на эту ось момента данного вектора относительно любой точки $O$ оси: В частности, моментами вектора $\boldsymbol{a}$ относительно координатных осей являются проекции на эти оси момента вектора относительно начала координат [см. формулы (2.9)]: Аналогичные формулы получим для моментов вектора $\boldsymbol{a}$ относительно осей. $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, параллельных осям координат и проходящих через точку $x_{C}$, Иначе говоря, мы считаем, известными векторы $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{A}, \boldsymbol{r}_{B}$ и единичный вектор $l^{0}$ оси $l$, имеющий проекциями $\alpha, \beta, \gamma$. В соответствии с формулами (2.13), (2.5), (1.11), (1.32) последовательно получаем: 10. Задание скользящего вектора его проекциями и его моментами относительно координатных осей. Вместо того чтобы задаты скользящий вектор $\boldsymbol{a}$ двумя свободными векторами $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{r}_{A}$ (фиг. 18) или; иначе говоря, проекциями $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ вектора $a$ на координатные оси и координатами $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ точки его приложения, мы можем определить ero двумя другими свободными векторами, а именно, свободным вектором $\boldsymbol{a}$ и вектором, равным момевту $\boldsymbol{L}_{O}$ скользящего вектора $\boldsymbol{a}$ относительно начала координат, т. е. следующими шестью скалярными величи. нами: тремя проекциями вектора $\boldsymbol{a}$ и тремя сго моментами относительно координатных осей. Число координат вектора снова на еди- ницу превышает число его независимы кордынат; следовательно, между ними должна существовать некоторая зависимость. Эту зависимость нетрудно найти, если составить скалярное произведение вектора $\boldsymbol{a}$ на его момент $\boldsymbol{L}_{O}$; имеем Но векторно-скалярное произведение, содержащее два одинаковых множителя, как известно, равно нулю; поэтому мы получаем: Это и есть искомая зависимость. Геометрически она выражает перпендикулярность вектора $\boldsymbol{a}$ к своему моменту $\boldsymbol{L}_{0}$ относительно точки $O$. От прежней системы координат $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{A}$ скользящего вектора $\boldsymbol{a}$ к новой системе $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{L}_{O}$ легко перейти с помощью соотношения (2.5); имеем или Эти же уравнения служат и для обратного перехода, только одной из координат точки приложения вектора нужно при этом дать значение, выбранное по произволу. 11. Взаимный момент двух векторов. Взаимным моментом двух векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ называется произведение модуля одного из векторов на момент другого относительно оси, служащей основанием первому и совпадающей с ним по направлению (фиг. 22). Обозначив взаимный — момент векторов $\boldsymbol{a}$ н $\boldsymbol{b}$ символом mom $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$, имеем, следовательно, Докажем прежде всего упоминаемое в определении свойство взаимности, т. е. покажем, что Выразим для этого $\operatorname{mom}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ через векторы $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ и через вектор $\overline{A B}$, идущий от начала первого вектора к началу второго. В ссл ласии с формулами (2.13), (2.5) и (1.11) получаем: или Точно так же находим: Но в силу правила (1.33) о циклической перестановке сомножителей векторноскалярного произведения мы можем написать так как свойство взаимности доказано. Заметим, что в частном случае, если векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ эквивалентны, ив взаимный момент равен нулю. Формула-2.19) в соответствии с геометрическим смыслом векторно-скалярного произведения показывает, что взаимный момент двух векторов численно равен ушестерённому объёму тетраэдра, построенного на данных векторах как на противоположных ребрах; при этом объёму тетраэдра приписывается знак в прежде указанном смысле ( $\$ 5$, а). Выразим взаимный момент векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ через проекции этих векторов и через координаты их точек приложения $A$ и $B$. На основании формул (2.19) и (1.32) мы можем написать Чтобы придать полученному определителю более симметричный вид, преобразуем его прежде всего в определитель 4-го порядка; имеем Прибавим теперь к элементам 2-го, 3-го и 4-го столбцов элементы первого столбца, соответственно умноженные на $x_{A}, y_{A}, z_{A}$, и после этого приложим преобразованную первую строку к третьей; мы получим тогда окончательное выражение: Выразим ещ взаимный момент mom $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ скользящих векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ через нх другие координаты, а именно, герез $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, и моменты $\boldsymbol{L}_{O}^{(A)}$ и $\boldsymbol{L}_{O}^{(B)}$ рассматриваемых векторов относительно некогорой точки $O$ (начала координат). Заменим для этого в формуле (2.19) вектор $\overline{A B}$ через разность $r_{B}-r_{A}$; мы тогда получим: Выразив в правой части скалярные произведения через проекции векторов, можем также написать
|
1 |
Оглавление
|