227. Предварительные замечания. В предыдущем было изложено, как следует писать уравнения движения материальной системы, подчинённой идеальным связям ( $\S 175$ ): были рассмотрены уравнения, отнесённые к декартовым координатам (§ 177) и к обобщённым координатам (§189), в частности, к независимым координатам (§191). Было также показано, какими уравнениями можно заменить названные совокупные уравнения, если система консерватизна ( $\S 193$ ), и, наконец, к каким урав-

нениям они сводятся при переходе к с оюз ным выражениям входящих в них функций (§ 195). Теперь мы перейдём к выводу некоторых теорем, относящихся к интегрированию перечисленных нами уравнений движения. В особенности обратим внимание на связь между системой обыкновенных дифференциальных уравнений и соответственным уравнением в частных производных. В своем изложении мы будем, главным образом, останавливаться на тех положениях, которые так или иначе иллюстрируют свойства движения, и пропустим почти всё то, что служит собственно для щреодоления аналитических трудностей интеграции.

228. Множитель системы уравнений. Пусть мы имеем систему уравнений
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}}=\ldots=\frac{d x_{s}}{X_{s}},
\]

где $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{8}$ – данные функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$. Интегралом системн (40.1) называется всякая функция $f$ от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$, дифференциал которой тождественно обращается в нуль в силу уравнений (40.1); другими словами, функция $f$ для значений переменных, связанных соотношениями (40.1), сохраняет постоянное значение. Таким образом, если $f$ есть интеграл системы (40.1), то
\[
d f=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_{s}} d x_{8}=0
\]

в силу уравнений (40.1). Поэтому условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция $f$ служила интегралом системы (40.1), выражается raк:
\[
X_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{a} \frac{\partial f}{\partial x_{s}}=K(f)=0 ;
\]

здесь символ $K(f)$ введён для сокращения. Если функции $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{1}$ являются интегралами системы (40.1), т. е. если в согласии с соотношением (40.2) имеют место равенства
\[
K\left(f_{1}\right)=0, \quad K\left(f_{2}\right)=0, \ldots, \quad K\left(f_{l}\right)=0,
\]

то и любая функция $\pi\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{l}\right)$ от данных интегралов также будет интегралом; это вытекает из соотномений (40.3) и из равенства
\[
K(\pi)=\frac{\partial \pi}{\partial f_{1}} K\left(f_{1}\right)+\frac{\partial \pi}{\partial f_{2}} K\left(f_{2}\right)+\ldots+\frac{\partial \pi}{\partial f_{l}} K\left(f_{l}\right) .
\]

Данная система (40.1) может иметь только ( $s-1$ ) независимых друг от друга интегралов $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{s-1}$, всякий же другой интеграл $f$ иредставляется функцией от независимых. В самом деле, приложив условие (40.2) к функциям $f, f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{8-1}$, мы находим:
\[
\begin{array}{l}
K(f)=X_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{s} \frac{\partial f}{\partial x_{s}}=0 ; \\
K\left(f_{1}\right)=X_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{s} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{s}}=0 ; \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
K\left(f_{s-1}\right)=X_{1} \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{s} \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{s}}=0 . \\
\end{array}
\]

А эти равенства ıри $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{s}$, отличных от нуля, могут выполняться лишь тогда, когда определитель
\[
\begin{aligned}
R=\sum \pm \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} \cdots \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{s}} & =\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{s-1}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)}= \\
& =\left|\begin{array}{cccc}
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_{s}} \\
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{s}} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{s}}
\end{array}\right|
\end{aligned}
\]

обращается в нуль, что и доказывает выше сказанное.
Если адъюнкту определителя (40.4), соответствующую элементу $\frac{\partial f}{\partial x_{0}}$, обозначить через $A_{3}$, то услозие для обращения $R$ в нуль можно написать так:
\[
A_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+A_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+A_{8} \frac{\partial f}{\partial x_{s}}=0 .
\]

Равенства (40.2) и (40.5) равносильны: оба выражают собой условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция $f$ была интегралом системы (40.1). Поэтому из сравнения равенств (40.2) и (40.5) мы заключаем, что должна существовать такая функция $M$, чтобы выполнялось соотношение
\[
\frac{A_{1}}{X_{1}}=\frac{A_{2}}{X_{2}}=\ldots=\frac{A_{s}}{X_{s}}=M .
\]

Эта функция $M$ носит название множителя системы совокупных уравнений (40.1). Если умножим на $M$ левую часть уравнения (40.2), то согласно формулам (40.6) и (40.5) получим тождество
\[
M \cdot K(f)=A_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+A_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+A_{s} \frac{\partial f}{\partial x_{s}}=R=\frac{\partial\left(f, f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{s-1}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)} \cdot \text { (40.7) }
\]

229. Дифференциальное уравнение для множителя. Нетрудно показать, что между адъюнктами $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{8}$ имеет место тождественное соотношение
\[
\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial A_{s}}{\partial x_{s}}=0 .
\]

Прежде всего заметим, что левая часть нашего равенства – линейная и однородная функция вторых производных от функций $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{8-1}$, причём эти производные входят исключительно в форме
\[
\frac{\partial^{2} f_{\pi}}{\partial x_{p} \partial x_{\sigma}},
\]

где значки $\rho$ и $\sigma$ различны. Для нахождения коэффишиента при производной (40.9) обратим внимание на то обстоятельство, что производная эта может встретиться лишь в двух членах суммы (40.8), а именно в
\[
\frac{\partial A_{p}}{\partial x_{p}} \text { и } \frac{\partial A_{o}}{\partial x_{\sigma}} .
\]

Но каждая из адъюнкт $A_{\rho}$ и $A_{\circ}$ может быть представлена так:
\[
\begin{array}{l}
A_{o}=\frac{\partial A_{p}}{\partial \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{o}}} \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{o}}+\frac{\partial A_{p}}{\partial \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{\sigma}}} \cdot \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{0}}+\ldots+\frac{\partial A_{p}}{\partial \frac{\partial f_{\pi}}{\partial x_{\sigma}}} \cdot \frac{\partial f_{\pi}}{\partial x_{\sigma}}+\ldots+\frac{\partial A_{p}}{\partial \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{s}}} \cdot \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{\sigma}} ; \\
A_{0}=\frac{\partial A_{\sigma}}{\partial \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{p}}} \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{p}}+\frac{\partial A_{a}}{\partial \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{i}}} \cdot \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{p}}+\cdots+\frac{\partial A_{o}}{\partial \frac{\partial f_{\pi}}{\partial x_{p}}} \cdot \frac{\partial f_{\pi}}{\partial x_{0}}+\ldots+\frac{\partial A_{a}}{\partial \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{p}}} \cdot \frac{\partial f_{s-1}}{\partial x_{p}} . \\
\end{array}
\]

Следовательно, искомый коэффициент будет равен
\[
\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \frac{\partial f_{\pi}}{\partial x_{\sigma}}}+\frac{\partial A_{\sigma}}{\partial \frac{\partial f_{\pi}}{\partial x_{\rho}}} .
\]

Но, с другой стороны, сами адъюнкты $A_{p}$ и $A_{\sigma}$ выражаются как производные от определителя $R$ [формула (40.4)], т. е.
\[
A_{p}=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{p}}}, \quad A_{0}=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{0}}} .
\]

Поэтому рассматриваемому коэффициенту мы можем дать вид
\[
\frac{\partial^{2} R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{0}} \partial \frac{\partial f_{\pi}}{\partial x_{\sigma}}}+\frac{\partial^{2} R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{0}} \partial \frac{\partial f_{\pi}}{\partial x_{0}}} ;
\]

по основному свойству определителя это выражение равно нулю. Итак, коэффициент при любой производной типа (40.9) в выражении (40.8) равен нулю и, следовательно, искомбе равенство (40.8) доказано.

Подставив в равенство (40.8) значения адъюнкт $A_{\circ}$ из соотношений (40.6), мы придём к следующему уравнению, которому должен удовлетворять множитель рассматриваемой системы уравнений (40.1):
\[
\frac{\partial\left(M X_{1}\right)}{\partial x_{1}}+\frac{\partial\left(M X_{2}\right)}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial\left(M X_{s}\right)}{\partial x_{s}}=0,
\]

или
\[
\begin{aligned}
X_{1} \frac{\partial M}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial M}{\partial x_{2}}+ & \ldots+X_{s} \frac{\partial M}{\partial x_{s}}+ \\
& +M\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{s}}{\partial x_{s}}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Разделим обе части последнего уравнения на $M X_{1}$ и с помощью системы уравнений (40.1) заменим отношения $\frac{X_{0}}{\bar{X}_{1}}$ через $\frac{d x_{0}}{d x_{1}}$; тогда вместо равенства (40.11) мы получим следующее:
\[
\frac{\mathrm{d} \ln M}{\mathrm{~d} x_{1}}+\frac{S}{X_{1}}=0,
\]

где положено
\[
S=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial X_{s}}{\partial x_{s}} .
\]

В уравнении (40.12) с помощью прямых букв $\mathrm{d}$ обозначена полная производная по $x_{1}$, причём $x_{2}, \ldots, x_{8}$ принимаются за функции от $x_{1}$, onpeделяемые из системы уравнений (40.1), или, что то же, за $s-1$ независимых первых интегралов этих уравнений. Когда система (40.1) проинтегрирована, т. е. все $s-1$ её независимых первых интегралов найдены, множитель $M$ определится из уравнения (40.12) квадратурой. Но в частных случаях для уравнений определённого типа можно бывает найти множитель $M$, прежде чем интеграция кончена. Так, например, если отношение $\frac{S}{X_{1}}$ представляет собой функцию одного переменного $x_{1}$, т. е.
\[
\frac{S}{X_{1}}=\psi\left(x_{1}\right)
\]

то уравнение (40.12) допускает следующее очевидное решение:
\[
M=e^{-\int \phi\left(x_{1}\right) d x_{1}} .
\]

В еще более частном случае, когда сумма $S$, выражаемая формулой (40.13), обращается в нупь, вместо выражения (40.14) мы имеем решение $M=$ const., например:
\[
M=1 \text {. }
\]

Когда известны два значения $M_{1}$ и $M_{2}$ для множителя, то отношение $\frac{M_{1}}{\bar{M}_{2}}$ будет интегралом системы (40.1). В самом деле, пусть согласно формулам (40.11) и (40.13) мы имеем
\[
\begin{array}{l}
X_{1} \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{8} \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{s}}+M_{1} S=0, \\
X_{1} \frac{\partial M_{2}}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial M_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{8} \frac{\partial M_{2}}{\partial x_{s}}+M_{2} S=0 .
\end{array}
\]

Умножим первое равенство на $M_{2}$, второе на $M_{1}$ и вычтем одно из другого, мы получим:
\[
\begin{array}{l}
X_{1}\left(M_{2} \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{1}}-M_{1} \frac{\partial M_{2}}{\partial x_{1}}\right)+X_{2}\left(M_{2} \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{2}}-M_{1} \frac{\partial M_{2}}{\partial x_{2}}\right)+\ldots+ \\
+X_{8}\left(M_{2} \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{s}}-M_{1} \frac{\partial M_{2}}{\partial x_{s}}\right)=0 ;
\end{array}
\]

отсюда по делении на $M_{2}^{2}$ мы находим:
\[
X_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{M_{1}}{M_{2}}\right)+X_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(\frac{M_{1}}{M_{2}}\right)+\ldots+X_{s} \frac{\partial}{\partial x_{s}}\left(\frac{M_{1}}{M_{2}}\right)=K\left(\frac{M_{1}}{\bar{M}_{2}}\right)=0,
\]

а это согласно формуле (40.2) доказывает, что $\frac{M_{1}}{\bar{M}_{2}}$ есть интеграл системы (40.1).

Справедливо и обратное предложение: произведение из какого-либо значения $M_{0}$ множителя $M$ на интеграл системы (40.1) само служит множителем. Убедиться в этом можно непосредственной подстановкой рассматриваемого выражения в уравнение (40.11).

Введём в систему (40.1) вместо $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{8}$ новые переменные $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}$. Тогда по формулам (40.1) и (40.2) для $\sigma=1,2, \ldots, s$ мы получим:
\[
\begin{aligned}
\frac{d y_{0}}{d x_{1}} & =\frac{\partial y_{0}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial y_{0}}{\partial x_{2}} \frac{d x_{2}}{d x_{1}}+\ldots+\frac{\partial y_{0}}{\partial x_{s}} \cdot \frac{d x_{s}}{d x_{1}}= \\
& =\frac{1}{X_{1}}\left(X_{1} \frac{\partial y_{0}}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial y_{0}}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{s} \frac{\partial y_{0}}{\partial x_{s}}\right)=\frac{1}{X_{1}} K\left(y_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Отсюда мы видим, что система (40.1) в новых переменных напишется так:
\[
\frac{d y_{1}}{Y_{1}}=\frac{d y_{2}}{Y_{2}}=\ldots=\frac{d y_{s}}{Y_{s}},
\]

где
\[
Y_{0}=K\left(y_{0}\right) .
\]

Если в преобразованных уравнениях (40.16) сохранить для коэффициентов $Y_{\text {。 их }}$ выражения (40.17) (а не брать каких-либо величин, им пропоршиональных), го, как легко показать, выражение $K(f)$ останется инвариантным и для новой системь (40.16). В самом деле, так как
\[
\frac{\partial f}{\partial x_{0}}=\sum_{0=1}^{s} \frac{\partial f}{\partial y_{0}} \frac{\partial y_{0}}{\partial x_{0}},
\]

тo
\[
\begin{aligned}
K(f) & =X_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{s} \frac{\partial f}{\partial x_{s}}= \\
& =\frac{\partial f}{\partial y_{1}} \sum_{\rho=1}^{s} X_{o} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{o}}+\frac{\partial f}{\partial y_{2}} \sum_{\rho=1}^{s} X_{c} \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{0}}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial y_{s}} \sum_{\rho=1}^{s} X_{\rho} \frac{\partial y_{s}}{\partial x_{p}}= \\
& =K\left(y_{1}\right) \cdot \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+K\left(y_{2}\right) \cdot \frac{\partial f}{\partial y_{s}}+\ldots+K\left(y_{s}\right) \cdot \frac{\partial f}{\partial y_{s}}
\end{aligned}
\]

отсюда согласно формуле (40.17) мы получаем:
\[
K(f)=\sum_{\sigma=1}^{s} Y_{\circ} \frac{\partial f}{\partial y_{\sigma}},
\]

что и доказывает наше предложение.
Между прочим, из равенства (40.18) вытекает, что интеграл системы уравнений (40.1), будучи преобразован к новым переменным, служит интегралом системы уравнений (40.16).

Теперь мы можем доказать следующее весьма важное свойство множителя $M$; если известно значение $M_{0}$ множителя $M$ для системы (40.1), то мы найдём множитель для системы (40.16), полученной выше упомянутым способом при преобразовании системы (40.1) к новым переменным, если $M_{0}$ умножим на определитель
\[
\frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)} .
\]

Действительно, так как $M_{0}$ по условию является множителем системы (40.1), то согласно равенству (40.7) мы имеем
\[
M_{0} K(f)=\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{s-1}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)},
\]

где $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{8-1}$ – независимые интегралы системы (40.1), а также и системы (40.16). У Множим обе части предыдущего төждества на определитель
\[
\frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)} .
\]

Тогда по теореме об умножении определителей мы найдём:
\[
\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{s-1}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)} \cdot \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)}=\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{s-1}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)} .
\]

Отсюда мы видим, что величина
\[
M_{1}=M_{0} \cdot \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)}
\]

обладает тем свойством, что тождественно удовлетворяет єоотношению
\[
M_{1} \cdot K(f)=\frac{\partial\left(f, f_{1}, \ldots, f_{s-1}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)}
\]

как мы видели, операция, обозначенная символом $K(f)$, может быть отнесена к системе (40.16); отсюда согласно формуле (40.17) вытекает, что $M_{1}$ является множителем системы (40.16).

230. Последний множитель Якоби. Допустим, что мы нашли $s-2$ независимых первых интегралов $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{s-2}$ системы (40.1); введём их как новые переменные, т. е. пусть новые переменные $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}$ будут связаны с прежними $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ такими уравнениями:
\[
y_{1}=f_{1}, y_{2}=f_{2}, \ldots, y_{s-2}=f_{s-2}, y_{s-1}=x_{s-1}, y_{s}=x_{s} .
\]

Тогда согласно условию (40.2) мы будем иметь:
\[
K\left(y_{1}\right)=K\left(y_{2}\right)=\ldots=K\left(y_{s-2}\right)=0 ;
\]

следовательно, в силу равенств (40.17) мы получим следующую преобразованную систему:
\[
\frac{d y_{1}}{0}=\frac{d y_{2}}{0}=\ldots=\frac{d y_{s-2}}{0}=\frac{d y_{s-1}}{Y_{s-1}}=\frac{d y_{s}}{Y_{s}},
\]

где $Y_{s-1}$ и ‘ $Y_{s}$, как легко видеть, прежние выражения $X_{s-1}$ и $X_{s}$, из которых только переменные $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ исключены при помощи уравнений (40.20).

Для голного интегрирования системы (40.21) к очевндным её $s-2$ интегралам $y_{1}=$ const., $y_{2}=$ const., …, $y_{s-2}=$ const. надо прибавить ещё интеграл уравнения
\[
Y_{s} d y_{s-1}-Y_{s-1} d y_{s}=0 .
\]

Уравнение это заключает в себе лишь две переменные: $y_{s-1}$ и $y_{s}$; интегрирующий эйлеров множитель $\mu$ названного уравнения должен быть

таков, чтобы выражение
\[
\mu Y_{s} d y_{s-1}-\mu Y_{s^{\prime-1}} d y_{s}
\]

было полным дифференциалом, т. е. чтобы выполнялось равенство
\[
\frac{\partial\left(\mu Y_{s-1}\right)}{\partial y_{s-1}}+\frac{\partial\left(\mu Y_{s}\right)}{\partial y_{s}}=0 .
\]

Сравнивая полученное условие с общим типом (40.10) уравнения для множителя системы совокуиных уразнений, мы видим, что множитель системы (40.21) как раз и может служить интегрирующим множителем нашего последнего уравнения. Поэтому выражение (40.19), составленное для функций (40.20), т. е.

или, что то же,
\[
\begin{array}{c}
M_{0} \cdot \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)}, \\
M_{0}: \frac{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{s}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right)},
\end{array}
\]

м носит название последнего множителя, или, по имени Якоби (Jacobi), последнегомножителя Якоби.

Итак, оказывается, что если известно хотя одно частное значение для множителя системы уравнений (40.1), определяемого уравнением (40.10) или (40.11), то полное интегрирование системы (40.1) требует нахождения лишь $s-2$ независимых интегралов, последнее же интегрирование сводится к квадратуре.

Пример 126. Пусть имеем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=f(x, y) \text {. }
\]

Заменим его системою уравнений первого порядка, введя переменную
\[
y^{\prime}=\frac{d y}{d x} .
\]

Тогда мы получим:
\[
\frac{d y^{\prime}}{f(x, y)}=\frac{d y}{y^{\prime}}=\frac{d x}{1} .
\]

Уравнение (40.12) для множителя теперь будет
\[
\frac{d \ln M}{d x}=0,
\]
и. гледовательно, оно допускает решеяие
\[
M_{0}=1 .
\]

Поэтому, если мы найдём хотя один интеграл
\[
\psi\left(x, y, y^{\prime}\right)=\text { const. }
\]

системы (4.24) и с помощью его исключим $y^{\prime}$ из уравнения
\[
d y-y^{\prime} d x=0,
\]

то полученное таким образом уравненне согласно формуле (40.22) будет иметь интегрирующий множитель
\[
\frac{1}{\partial \psi_{i} \partial y^{r}}
\]

Действительно, в настоящем случае определитель, входящий в формуду (40.22), равен
\[
\frac{\partial(\psi, y, x)}{\partial\left(y^{\prime}, y, x\right)}=\frac{\partial \phi}{\partial y^{\prime}} .
\]

Рассмотрим частный случай; пусть дано уравнение
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y
\]

соответствующая ему система уравнений первого порядка
\[
\frac{d y^{\prime}}{y}=\frac{d y}{y^{\prime}}=\frac{d x}{1}
\]

допускает интеграл
Следовательно, уравнение $\phi=y^{\prime 2}-y^{2}=$ const. $=2 \gamma$.
\[
d y-y^{\prime} d x=0
\]

имеет по выше сказанному своим интегрирующим множителем функцию
\[
\frac{1}{\frac{\partial \psi}{\partial y^{\prime}}}=\frac{1}{2 y^{\prime}},
\]

где согласно равенству (40.25) мы имеем

И действительно, выражение
\[
y^{\prime}= \pm \sqrt{2 \gamma+y^{2}} .
\]
\[
\frac{d y}{2 \sqrt{2 \gamma+y^{2}}}-d x
\]

представляет собой полный дифференциал.

231. Приложение теории последнего множителя Якоби к уравнениям динамики в независимых координатах. Применим полученные результаты к уравнениям движения. Положим, что все связи рассматриваемой материальной системы конечны (§ 161), а приложенные к ней силы не зависят явно от скоростей; тогда гамильтоновы уравнения движения будут следующие [формула (33.21) на стр. 346]:
\[
{ }_{1}^{d t}=\frac{d q_{1}}{\frac{\partial \Phi}{\partial p_{1}}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\frac{\partial \Phi}{\partial p_{s}}}=\frac{d p_{1}}{-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}}+\hat{Q}_{1}}=\ldots=\frac{d p_{s}}{-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{s}}+\hat{Q}_{s}} ;
\]

при этом согласно предположению о силах мы имеем
\[
\widehat{Q}_{\sigma}=Q_{\sigma}=f\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}\right) .
\]

В уравнении (40.12) для множителя системы (40.26) сумма $S$ будет такова:
\[
\mathcal{S}=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial}{\partial q_{\sigma}}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial p_{\sigma}}\right)+\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial}{\partial p_{\sigma}}\left(-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{\sigma}}+\overparen{Q_{\sigma}}\right) ;
\]

отсюда мы видим, что
\[
S=0,
\]

так как согласно, равенству (40.27)
\[
\frac{\partial \widehat{Q}_{\sigma}}{\partial p_{\sigma}}=\frac{\partial Q_{\sigma}}{\partial p_{\sigma}}=0 \text {. }
\]

Но в таком случае, как мы видели, за множитель системы можно принять единицу: $M_{0}=1$. Следовательно, если для системы (40.26) мы знаем $2 s-1$ независимых первых интегралов, то последний, $2 s$-ый, найдём с помощью квадратуры.

Пусть время $t$ явно не входит в знаменатели отношений (40.26), т. е. пусть ни уравнения связей системы, ни проекции приложенных сил не зависят явно от времени; тогда оставим сперва без внимания отношение $\frac{d t}{1}$ и займёмся интегрированием следующей системы $2 s-1$ уравнений:
\[
\frac{d q_{1}}{\frac{\partial \Phi}{\partial p_{1}}}=\frac{d q_{2}}{\frac{\partial \Phi}{\partial p_{2}}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\frac{\partial \Phi}{\partial p_{s}}}=\frac{d p_{1}}{-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}}+\widehat{Q}_{1}}=\ldots=\frac{d p_{s}}{-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{s}}+\widehat{Q}_{s}} .
\]

Сумма $S$ и для этой системы согласно равенству (40.28) обращается в нуль; следовательно, и новая система допускает множителем единицу; поэтому для полного интегрирования её надо знать не все $2 s-1$ интегралов, а только $2 s-2$; последний же интеграл найдётся квадратурой. После того как система (40.29) проинтегрирована, время $t$ введётся квадратурой:
\[
d t=\frac{d q_{1}}{\partial \rho_{1}}
\]

где из знаменателя $\frac{\partial \Phi}{\partial p_{1}}$ должны быть исключены $q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{s}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{s}$ при помощи найденных $2 s-1$ интегралов системы (40.29). Итак, в указанном случае полный гроцесс интегрирования системы (40.26) заключается в нахождении $2 s-2$ первых ннтегралов и двух квадратур.

Если материальная система консервативна, то уравнения (40.26) согласно формулам (33.23) на стр. 346 упрощаются и приводятся к каноническому виду
\[
\frac{d t}{1}=\frac{d q_{1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}=\frac{d q_{2}}{\frac{\partial H}{\partial p_{2}}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\frac{\partial H}{\partial p_{s}}}=\frac{d p_{1}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}}=\frac{d p_{2}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}}=\ldots=\frac{d p_{s}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{s}}}
\]

Тогда система (40.29) примет вид
\[
\frac{d q_{1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\frac{\partial H}{\partial p_{s}}=\frac{d p_{1}}{\partial H}=\ldots=\frac{d p_{s}}{\partial H}}
\]

один из интегралов этой системы нам известен наперёд, а именно, интеграл энергии [формула (33.25) на стр. 347]:
\[
H=h \text {. }
\]

Таким образом, полное решение вопроса о движении консервативной системы с $s$ степенями свободы (§ 191) и без дифференциальных неинтегрируемых связей требует нахождения лишь $2 s-3$ первых интегралов уравнений движения, отличных от интеграла энергии; когда эти интегралы отысканы, дело интегрирования закончится двумя квадратурами.

Если, кроме того, одна из координат, например $q_{s}$, обладает тем свойством, что явно не входит в функцию $H$, т. е. когда
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{s}}=0,
\]

система (40.31) допускает ещё один очевидный интеграл
\[
p_{s}=\text { const. }=\gamma \text {. }
\]

А так как переменная $q_{s}$ входит лишь под знаком дифференциала, то отношение

из системы (40.32) можно откинуть и принять в соображение лишь систему из $2 s-3$ уравнений
\[
\frac{d q_{1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}=\ldots=\frac{d q_{s-1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{s-1}}}=\frac{d p_{1}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}}=\ldots=\frac{d p_{s-1}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{s-1}}},
\]

где всюду $p_{s}$ заменено постоянною $\gamma$. Один из интегралов системы (40.35), а именно, интеграл энергии (40.33), известен наперёд; следовательно, полнэе интегрированне этой системы требует знания ещё только $2 s-5$ интегралов; тогда последний интеграл системы, $(2 s-3)$-ий, найдётся квадратурой. Возвратимся теперь к пропущенному уравнению
\[
\frac{d q_{s}}{\partial H}=\frac{d q_{1}}{\partial p_{s}}
\]

в нём $2 s-3$ величин $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{s-1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{s-1}$ должны быть исключены при помощи $2 s-3$ выше упомянутых интегралов, а $p_{s}$ везде заменено постоянною $\gamma$. Ясно, что при нахождении $q_{s}$ дело сводится к квадратуре

Наконец, время $t$ введётся квадратурой (40.30), где теперь $\Phi=H$. Таким образом, в указанном случае процесс интеграции заключается в разыскании $2 s-5$ интегралов и нахождении трёх квадратур.

232. Приложение теории последнего множителя к уравнениям несвободного движения, содержащйм множители связей. Задача интегрирования уравнений несвободного движения, содержащих множители связей, значительно сложнее подобной же задачи, относящейся к уравнениям в независимых координатах; тем не менее, теория последнего множителя Якоби может и здесь оказать свою помощь. По предыдущему, для того чтобы упомянутая теория могла быть приложена с пользою, нужно знать наперёд, до окончания интеграции, хотя одно значение множителя данной системы. Во избежание длинных выкладок мы ограничимся

нахождением множителя для уравнений Лагранжа первого рода в том случае, когда неинтегрируемые связи отсутствуют, а силы не зависят явно от скоростей.
Пусть взятая материальная система подчинена $a$ связям
\[
\begin{array}{c}
t_{1}\left(x_{v}, y_{v}, z_{v}, t\right)=0, \quad f_{2}=0, \ldots, t_{a}=0 \\
(
u=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Если к частице массы $m_{v}$ с гоординатами $x_{v}, y_{v}, z_{v}$ приложена сила $F_{v}$, формулам (30.31) на стр. 229 , будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
m_{v} \ddot{x}_{v}=F_{v x}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{a}}{\partial x_{v}}, \\
m \ddot{y}_{v}=F_{v y}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{v}}, \\
m_{v} \ddot{z}_{v}=F_{v z}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{v}},
\end{array}\right\}(
u=1,2,3, \ldots, n) .
\]

Для упрощения письма преобразуем эти уравнения к новым переменным $\xi_{v}$, положив
\[
\sqrt{m_{v}} \cdot x_{v}=\xi_{3 v-2} ; \quad \sqrt{m_{v}} \cdot y_{v}=\xi_{3 v-1} ; \quad \sqrt{m_{v}} \cdot z_{v}=\xi_{3 v}
\]

Кроме того, введём следующие обозначения:
\[
\frac{1}{\sqrt{m_{v}}} F_{v x}=X_{3 v-2}, \quad \frac{1}{\sqrt{m_{v}}} F_{v y}=Y_{3 v-1}, \quad \frac{1}{\sqrt{m_{v}}} F_{v 2}=X_{3 v} \text {. }
\]

Тогда вместо системы (40.36) мы будем иметь:
\[
\xi_{v}=X_{
u}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \quad(
u=1,2,3, \ldots, 3 n) ;
\]

при этом уравнения связей перепишутся так:
\[
f_{1}\left(\xi_{v}, t\right)=0, \quad t_{2}\left(\xi_{v}, t\right)=0, \ldots, \quad f_{a}\left(\xi_{v}, t\right)=0 .
\]

Множители $\lambda_{a}$ должны быть иск.ючены из уравнений (40.37) при помощи уравнений
\[
\frac{d^{2} f_{1}}{d t^{2}}=0 ; \quad \frac{d^{2} f_{2}}{d t^{2}}=0 ; \ldots ; \quad \ldots \frac{d^{2} f_{a}}{d t^{2}}=0 .
\]

Выпишем подробно какое-либо одно из них; имеем
\[
\frac{d^{2} f_{\alpha}}{d t^{2}}=\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \xi_{v}+D_{2} f_{\alpha}=0
\]

где в соответствии с обозначением (27.10) на стр. 277 положено:
\[
D_{2} f_{a}=\sum_{
u=1}^{3 n} \xi_{v} \sum_{\mu=1}^{3 n} \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial \xi_{
u} \partial \xi_{\mu}} \xi_{\mu}+2 \sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial \xi_{
u} \partial t} \dot{\xi}_{\mu}+\frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial t^{2}} .
\]

Заметим при этом, что имеет место следующее равенство:
\[
\frac{\partial}{\partial \dot{\xi}_{v}}\left(D_{2} f_{\alpha}\right)=2 \sum_{\mu=1}^{i n} \frac{\partial^{2} f_{a}}{\partial \xi_{v} \partial \xi_{k}} \dot{\xi}_{\mu}+2 \frac{\partial^{2} f_{\alpha}}{\partial \xi_{v} \partial t}=2 \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} .
\]

При нахождении множителей связей $\lambda_{\alpha}$ надо в уравнения (40.39) вместо $\ddot{\xi}$, подставить их значения из равєнств (40.37); тогда мы получим следующую систему уравнений:
\[
\left.\begin{array}{c}
\lambda_{1}\left[f_{1} f_{1}\right]+\lambda_{2}\left[f_{1} f_{2}\right]+\ldots+\lambda_{a}\left[f_{1} f_{a}\right]+\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \frac{\partial f_{1}}{\partial \xi_{v}}+D_{2} f_{1}=0, \\
\lambda_{1}\left[f_{2} f_{1}\right]+\lambda_{2}\left[f_{2} f_{2}\right]+\cdots+\lambda_{a}\left[f_{2} f_{a}\right]+\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \frac{\partial f_{2}}{\partial \xi_{v}}+D_{2} f_{2}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\lambda_{1}\left[f_{a} f_{1}\right]+\lambda_{2}\left[f_{a} f_{2}\right]+\cdots \cdots+\lambda_{a}\left[f_{a} f_{a}\right]+\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}+D_{2} f_{a}=0
\end{array}\right\}
\]

здесь обозначено:
\[
\left[f_{p} f_{q}\right]=\left[f_{q} f_{p}\right]=\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial f_{p}}{\partial \xi_{v}} \frac{\partial f_{q}}{\partial \xi_{v}} .
\]

Система уравнений второго порядка (40.37) равносильна такой системе уравнений первого порядка:
\[
\begin{aligned}
\frac{d \dot{\xi}_{1}}{X_{1}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{1}}}=\ldots= & \frac{d \xi_{3 n}}{X_{3 n}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{3 n}}}= \\
& =\frac{d \xi_{1}}{\xi_{1}}=\ldots=\frac{d \xi_{3 n}}{\xi_{3 n}}=\frac{d t}{1} .
\end{aligned}
\]

Уравнение для множителя этой системы уравнений по формуле (40.12) будет следующее:
\[
\frac{d \ln M}{d t}+S=0,
\]

где
\[
S=\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial}{\partial \dot{\xi}_{v}}\left(X_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}\right) .
\]

Но по условию силы не содержат скоростей; следовательно,
\[
\frac{\partial X_{v}}{\partial \dot{\xi}_{v}}=0,
\]

а потому
\[
\mathcal{S}=\sum_{v=1}^{3 n} \sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial \lambda_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}} .
\]

Последнюю сумму мы постараемся выразить иначе. С этою целью возьмём производные пю $\dot{\xi}_{\text {у }}$ от обеих частей уравнений (40.41), причём будем помнить, что от скоростей зависят лишь множители $\lambda_{\alpha}$ и выражения $D_{2} f_{\alpha}$. Если воспользуемся формулою (40.40), то получим ряд равенств:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial \lambda_{\alpha}}{\partial \xi_{v}^{2}}\left[f_{1} f_{\alpha}\right]+2 \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{1}}{\partial \xi_{v}}=0 ; \\
\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial \lambda_{\alpha}}{\partial \xi_{1}}\left[f_{2} f_{\alpha}\right]+2 \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{2}}{\partial \xi_{v}}=0 ; \\
\text {. . . . . . . . . . . . } \\
\sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial \lambda_{\alpha}}{\partial \xi_{
u}}\left[f_{a} f_{\alpha}\right]+2 \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}=0 . \\
\end{array}
\]

Определим отсюда производную $\frac{\partial \lambda_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}$; имеем
\[
\frac{\partial \lambda_{\alpha}}{\partial \xi_{\gamma}}=-\frac{2}{R} \sum_{\beta=1}^{a} R_{\beta \times} \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial \xi_{\gamma}} ;
\]

здесь буквою $R$ обозначен определитель

а через $R_{\beta x}$-адъюнкта этого опрєделителя, соответствующая элементу $\left[f_{\beta} f_{\alpha}\right]$; при этом, так как определитель симметричный, то мы имеем
\[
R_{\beta \mathrm{x}}=R_{\alpha \beta} .
\]
по индексам $\alpha$ и $
u$; мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} \sum_{\alpha=1}^{a} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \cdot \frac{\partial \lambda_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}=-\frac{2}{R} \cdot \sum_{\alpha=1}^{a} \sum_{\beta=1}^{a} R_{\beta x} \sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial \xi_{v}} .
\]

Но в сумме, стоящей справа, можно без изменения ее значения переставить индексы $\beta$ и $\alpha$, т. е. мы имеем
\[
\sum_{\alpha=1}^{a} \sum_{\beta=1}^{a} R_{\beta \alpha} \sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{
u}} \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial \xi_{v}}=\sum_{\alpha=1}^{a} \sum_{\beta=1}^{a} R_{\alpha \beta} \sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial \xi_{
u}} \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{
u}} .
\]

Если же воспользоваться ещё равенством (40.47), то правую часть равенства (40.48) можно представить так:
\[
-\frac{1}{R}\left\{\sum_{\alpha=1}^{a} \sum_{\beta=1}^{a} R_{\beta x} \sum_{
u=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial \xi_{
u}}+\frac{\partial f_{\beta}}{\partial \xi_{v}} \frac{d}{d t} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}\right)\right\}_{j}
\]

Это выражение согласно формуле (40.42), очевидно, равняется
\[
-\frac{1}{R} \sum_{\alpha=1}^{a} \sum_{\beta=1}^{a} R_{\beta \alpha} \frac{d}{d t}\left[f_{\beta} f_{\alpha}\right]=-\frac{1}{R} \frac{d R}{d t}=-\frac{d \ln R}{d t} .
\]

Итак, по формуле (40.45) искомая сумма $S$ равна
\[
S=-\frac{d \ln R}{d t}
\]

уравнение (40.44) принимает вид
\[
\frac{d \ln M}{d t}-\frac{d \ln R}{d t}=0,
\]

и мы из него выводим
\[
M=R,
\]
что вполне согласуется с формулой (40.14).