233. Лемма. Пусть функция $f$ содержит $2 s$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 s}$. Обозначим $A(f)$ результат следующей операции над этой функцией:
\[
A(f)=A_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+A_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+A_{2 s} \frac{\partial f}{\partial x_{2 s}}=\sum_{\sigma=1}^{2 s} A_{\sigma} \frac{\partial f}{\partial x_{\sigma}} ;
\]

коэффициенты $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2 s}$ пусть являются функшиями переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 s}$. Пусть $B(f)$ ознатает подобную же операцию:
\[
B(f)=B_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+B_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+B_{2 s} \frac{\partial f}{\partial x_{2 s}}=\sum_{a=1}^{\prime s} B_{s} \frac{\partial f}{\partial x_{0}} ;
\]

здесь $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{2 s}$– некоторые другие функции тех же $2 s$ аргументов.

Далее, произведём операцию, соответствующую символу $A(f)$, над выражением (41.2) и результат обозначим $A[B(f)]$; мы получим:
\[
\begin{array}{l}
A[B(f)]=\sum_{\sigma=1}^{2 s} A_{\sigma} \frac{\partial}{\partial x_{o}}\left(\sum_{\rho=1}^{2 s} B_{\rho} \frac{\partial f}{\partial x_{\rho}}\right)= \\
=\sum_{o=1}^{2 s} \sum_{\rho=1}^{2 s} A_{\sigma} B_{\rho} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{\sigma} \partial x_{\rho}}+\sum_{s=1}^{2 s} \sum_{\rho=1}^{2 s} A_{\sigma} \frac{\partial B_{\rho}}{\partial x_{0}} \frac{\partial f}{\partial x_{0}} . \\
\end{array}
\]

С другой стороны, операцию, соответствующую символу $B(f)$, произведё над выражением (41.1) н результат обозначим $B[A(f)]$, т. е. пусть
\[
\begin{aligned}
B[A(f)] & =\sum_{\rho=1}^{2 s} B_{\rho} \frac{\partial}{\partial x_{0}}\left(\sum_{\sigma=1}^{2 s} A_{\sigma} \frac{\partial f}{\partial x_{\sigma}}\right)= \\
& =\sum_{s=1}^{2 s} \sum_{\rho=1}^{2 s} A_{\rho} B_{\rho} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{\sigma} \partial x_{\rho}}+\sum_{\sigma=1}^{2 s} \sum_{\rho=1}^{2 s} B_{\rho} \frac{\partial A_{\sigma}}{\partial x_{\rho}} \frac{\partial f}{\partial x_{\sigma}} .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим тешерь разность функций (41.3) и (41.4), т. е.
\[
A[B(f)]-B[A(f)] .
\]

Лемма, которую мы хотели хоказать, состоит в том, что полученное выражение не содержит вовсе вторых производных функции $f$; это следует из того, что коэффициенты при этих производных в обоих выражениях (41.3) и (41.4) одинаковы.

234. Скобки Пуассона. Изменим обозначения независимых переменных; пусть
\[
x_{1}=q_{1}, x_{2}=q_{2}, \ldots, x_{s}=q_{s} ; x_{s+1}=p_{1}, x_{s+2}=p_{2}, \ldots, x_{2 s}=p_{s} ;
\]

составим для двух функций $\varphi$ и ф от этих аргументов выражение, носящее название скобок Пуассона (Poisson):
\[
(\varphi \psi)=\sum_{\sigma=1}^{s}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{0}} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial p_{\sigma}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{\sigma}} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial q_{\sigma}}\right)=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial(\varphi \phi)}{\partial\left(q_{\sigma} p_{0}\right)} .
\]

Если считать, что скобки Пуассона представляют собой результат некоторой операции над какою-либо одной из функций $\varphi$ или $\psi$, то ясно само собою, что эти скобки подходят под тип выражений, рассмотренных в предыдущей лемме.
Скобки Пуассона обладают следующими очевидными свойствами:
\[
(\varphi \phi)=-(\phi \varphi) ;(\varphi \varphi)=0 ;(\varphi,-\psi)=-(\varphi \phi) .
\]

Далее, положим, что функции $\varphi$ в $\phi$ содержат ещё параметр $t$; тогда
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}(\varphi \psi) & =\sum_{0=1}^{s}\left[\frac{\partial}{\partial q_{\sigma}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right) \cdot \frac{\partial \phi}{\partial p_{0}}-\frac{\partial}{\partial p_{0}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right) \cdot \frac{\partial \psi}{\partial q_{0}}\right]+ \\
& +\sum_{\sigma=1}^{s}\left[\frac{\partial \varphi}{\partial q_{\sigma}} \frac{\partial}{\partial p_{\mathrm{o}}}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{0}} \cdot \frac{\partial}{\partial q_{0}}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)\right]=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \psi\right)+\left(\varphi \frac{\partial \psi}{\partial t}\right) .
\end{aligned}
\]

235. Тождество Пуассона. Возьмём три какие-нибудь функции $f$, $\varphi, \phi$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{s}$ и составим из них пуассоновы скобки:
\[
f_{1}=(\varphi \phi) ; \quad f_{1}=\left(\psi_{1}\right) ; \quad \phi_{1}=(f \varphi) .
\]

Затем, в свою очередь, составим новые скобки:
\[
\left(f f_{1}\right) ; \quad\left(\varphi \oplus_{1}\right) ; \quad\left(\psi_{1}\right) \text {. }
\]

В таком случае мы будем иметь тождественно:
\[
\left(f f_{1}\right)+\left(\varphi \varphi_{1}\right)+\left(\varphi_{1}\right)=0,
\]

или, согласно равенствам (41.9):
\[
(f(\varphi \phi))+(\varphi(\phi f))+(\phi(f \varphi))=0 .
\]

Чтобы убедиться в этом, заметим предварительно, что по самому составу скобок (41.6) каждый член левой части равенства (41.10) представляет собой производную второго порядка от какой-либо из трёх взятых функций $f, \varphi$ или $\phi$, умноженную на некоторый коэффициент. Остановимся

на членах, содержащих производные от $f$. Такого рода члены могут появиться лишь в выражении
\[
(\varphi(\phi f))+(\phi(f \varphi))
\]

которое по свойству (41.7) скобок можно переписать так:
\[
(\varphi(\psi f))-(\psi(\varphi f)) \text {. }
\]

Но, как было уже упомянуто, скобки Пуассона подходят под тип выражений (41.1) и (41.2); следовательно, если операцию над какой-либо функцией $F$, соответствующую процессу составления .скобок $(\varphi, F)$, мы обозначим через $A(F)$, а операцию ( $\downarrow F$ ) через $B(F)$, то вместо выражения (41.11) мы сможем написать
\[
A[B(f)]-B[A(f)] .
\]

А такое выражение, как мы видели, не содержит вовсе вторых производных от $f$. Таким же точно образом убедимся, что левая часть равенства (41.10) не может заключать в себе и вторых производных от $\varphi$ и $џ$, т. е. что вообще все члены взаимно уничтожаются и что выражение, стоящее в левой части, тождественно равно нулю.
236. Теорема Якоби-Пуассона. Пусть мы имеем систему канонических уравнений:
\[
\frac{d q_{1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}=\frac{d q_{2}}{\frac{\partial H}{\partial p_{2}}}=\ldots=\frac{d q_{s}}{\frac{\partial H}{\partial p_{s}}}=\frac{d p_{1}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}}=\frac{d p_{2}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}}=\ldots=\frac{d p_{s}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{s}}}=\frac{d t}{1} .
\]

Тогда условие, при котором функция $f$ служит интегралом этих уравнений, согласно формуле (40.2) на стр. 427 и формуле (41.6) на стр. 441, напишется так:
\[
(f H)+\frac{\partial f}{\partial t}=0 .
\]

Положим, что мы нашли два интеграла системы (41.12):
\[
\varphi=\text { const., } \phi=\text { const.; }
\]

в таком случае выражение
\[
(\varphi \phi)=\text { const. }
\]

также служит интегралом уравнений (41.12). Эта теорема была впервые доказана Пуассоном, но истинный сиысл её раскрыт Якоби. Для доказательства заметим, что если $\varphi$ и ф-интегралы системы (41.12), то согласно формуле (41.13) справедливы равенства
\[
(\varphi H)+\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0, \quad(\Psi H)+\frac{\partial \psi}{\partial t}=0 .
\]

Но по тождеству Пуассона (41.10) мы имеем
\[
(H(\varphi \phi))+(\varphi(\phi H))+(\phi(H \varphi))=0 .
\]

С другой стороны, из формул (41.16) и (41.7) вытекают равенства:
\[
\begin{array}{l}
(\varphi(\phi H))=-\left(\varphi \frac{\partial \psi}{\partial t}\right), \\
(\phi(H \varphi))=-(\phi(\varphi H))=\left(\psi \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)=-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \psi\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, тождество (41.17) можно переписать так:
\[
(H(\varphi \phi))-\left(\varphi \frac{\partial \psi}{\partial t}\right)-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \varphi\right)=0
\]

или, согласно формуле (41.7):
\[
((\varphi \Psi) H)+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \phi\right)+\left(\varphi \frac{\partial \psi}{\partial t}\right)=0 ;
\]

в силу соотношения (41.8) мы отсюда получаем:
\[
((\varphi \psi) H)+\frac{\partial}{\partial t}(\varphi \phi)=0 .
\]

Это равенство согласно формуле (41.13) и доказывает нашу теорему.
Итак, зная два интеграла, $\varphi$ и Џ, уравнений (41.12), мы можем дифференцированием получить третий, а именно, интеграл (41.15). Комбинируя этот последний с первыми двумя, выведем четвёртый, пятый ит. д. Может показаться, что для полного интегрирования системы канонических уравненай (41.12) достаточно, таким образом, найти только два интеграла, – все остальные можно получить дифференцированием. Но дело в том, что указанный приём не всегда приводит к цели: интеграл, происшедший от комбинаций двух данных, может оказаться не новым, а функцией уже известных интегралов или даже просто постоянною. Как справедливо заметил Якоби, только в том случае мы можем надеяться вывести из данного интеграла, комбинируя его с другкми, всю цепь интегралов данной системы, если этот интеграл ‘принадлежит специально взятой системе; интегралы же, общие нескольким системам уравнений, очевидно, в конце концов должны приводигь к выше упомянутым иллюзорным результатам ${ }^{1}$ ).

Пусть, например, уравнения (41.12) являются системою уравнений движения консервативной системы; тогда функция $H$ не зависит явно от времени, и данные уравнения, как легко непосредственно убедиться, допускают интеграл энергии
\[
H=h .
\]

Пусть, кроме того, известен ещё один интеграл уравнений движения, не зависящий явно от времени: $\varphi=$ const. Tогда по формуле (41.13) имеем тождес твенно
\[
(\varphi H)=0 .
\]

Итак, комбинация любого интеграла уравнений движения консервативной : системы, не содержащего явно времени, с интегралом энергии никогда не приводит к’новому интегралу, а даёт тождественный результат.

Если же интеграл $\varphi$ содержит явно время, то по формуле (41.13) мы получаем:
\[
(\varphi H)=-\frac{\partial \varphi}{\partial t} ;
\]

следовательно, в этом случае пронзводная от $\varphi$ по времени может служить новым интегралом, если, конечно, она не обратится в постоянную или в функцию уже известных интегралов.

Пример 127. Рассмотрим движение системы, состоящей из двух материальных частиц масс $m_{1}$ и $m_{2}$ с координатами $x_{1}, y_{2}, z_{1}$ и $x_{2}, y_{2}, z_{2}$. Частишы эти пусть взаимно притягиваются прямо пропориионально расстоянию, причём множитель пропорциональности пусть равен $\mu^{2}$. Полагаем
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=q_{1}, y_{1}=q_{2}, z_{1}=q_{3} ; x_{2}=q_{4}, y_{2}=q_{5}, z_{2}=q_{6} ; \\
m_{1} x_{1}=p_{1}, m_{1} y_{1}=p_{2}, m_{1} z_{1}=p_{3} ; m_{2} x_{2}=p_{4}, m_{2} y_{2}=p_{5}, m_{2} z_{2}=p_{6} .
\end{array}
\]

Тогда по формуле (33.24) на стр. 347 найдём для функции $H$ такое выражение:
\[
\begin{aligned}
H=\frac{1}{2 m_{1}}\left\{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right) & +\frac{1}{2 m_{2}}\left(p_{4}^{2}+p_{5}^{2}+p_{6}^{2}\right)+ \\
+ & \frac{\mu^{2}}{2}\left\{\left(q_{1}-q_{4}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{5}\right)^{2}+\left(q_{3}-q_{6}\right)^{2}\right\}
\end{aligned}
\]

следовательно, уравнения движения будут следующие:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{p_{1}}{m_{1}} ; \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{p_{2}}{m_{1}} ; \frac{d q_{3}}{d t}=\frac{p_{3}}{m_{1}}: \frac{d q_{4}}{d t}=\frac{p_{4}}{m_{2}} ; \frac{d q_{5}}{d t}=\frac{p_{5}}{m_{2}} ; \frac{d q_{6}}{d t}=\frac{p_{6}}{m_{2}} ; \\
\frac{d p_{1}}{d t}=-\mu^{2}\left(q_{1}-q_{4}\right) ; \frac{d p_{2}}{d t}=-\mu^{2}\left(q_{2}-q_{5}\right) ; \frac{d p_{3}}{d t}=-\mu^{2}\left(q_{3}-q_{6}\right) ; \\
\frac{d p_{4}}{d t}=\mu^{2}\left(q_{1}-q_{4}\right): \frac{d p_{5}}{d t}=\mu^{2}\left(q_{2}-q_{5}\right) ; \frac{d p_{6}}{d t}=\mu^{2} \quad\left(q_{5}-q_{6}\right) .
\end{array}
\]

Написанные уравнения имеют следуюшие очевидные интегралы (интегралы сохранения движения шентра масс):
\[
p_{1}+p_{4}=C_{1} ; p_{9}+p_{5}=C_{2} ; p_{3}+p_{6}=C_{3} .
\]

Затем имеем ещӗ два интеграла (интегралы сохранения кинетического момента в относительном движении):
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{p_{1}}{m_{1}}-\frac{p_{4}}{m_{2}}\right)\left(q_{2}-q_{5}\right)-\left(\frac{p_{2}}{m_{1}}-\frac{p_{5}}{m_{2}}\right)\left(q_{1}-q_{4}\right)=C_{4} ; \\
\left(\frac{p_{2}}{m_{1}}-\frac{p_{5}}{m_{2}}\right)\left(q_{3}-q_{6}\right)-\left(\frac{p_{3}}{m_{1}}-\frac{p_{6}}{m_{2}}\right)\left(q_{2}-q_{5}\right)=C_{5} .
\end{array}
\]

Составив из последних двух интегралов скобку Пуассона, найдём новый интеграл
\[
\left(\frac{p_{3}}{m_{1}}-\frac{p_{6}}{m_{2}}\right)\left(q_{1}-q_{4}\right)-\left(\frac{p_{1}}{m_{1}}-\frac{p_{4}}{m_{2}}\right)\left(q_{3}-q_{6}\right)=C_{6} .
\]

Дальнейшее комбинирование полученных интегралов новых результатов не даёт. Снова, обратившись к уравнениям, легко находим интеграл
\[
\left(\frac{p_{1}}{m_{1}}-\frac{p_{4}}{m_{2}}\right)^{2}+\lambda^{2}\left(q_{1}-q_{4}\right)^{2}=C_{7}
\]

где
\[
\lambda^{2}=\mu^{2}\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) .
\]

Условимся для краткости называть интегралы по постоянным, им соответствующим. Комбинация интеграла $C_{7}$ с первыми тремя интегралами: $C_{1}, C_{2}, C_{3}$, даёт иллюзорные результаты, а комбинация с интегралом $C_{4}$ приводит к новому интегралу
\[
\left(\frac{p_{1}}{m_{1}}-\frac{p_{4}}{m_{2}}\right)\left(\frac{p_{2}}{m_{1}}-\frac{p_{5}}{m_{2}}\right)+\lambda^{2}\left(q_{1}-q_{1}\right)\left(q_{2}-q_{5}\right)=C_{8} \text {. }
\]

Составив скобки из $C_{8}$ и $C_{5}$, находим:
\[
\left(\frac{p_{2}}{m_{1}}-\frac{p_{5}}{m_{2}}\right)^{2}+\lambda^{2}\left(q_{2}-q_{5}\right)^{2}=C .
\]

Но нетрудно сообразить, что полученный интеграл должен представлять собой следствие интегралов $C_{4}, C_{5}, C_{6}, C_{7}$ и $C_{8}$. В самом деле, левые части перечисленных интегралов зависят лишь ог шести разностей:
\[
\begin{array}{c}
\frac{p_{1}}{m_{1}}-\frac{p_{4}}{m_{2}}, \quad \frac{p_{2}}{m_{1}}-\frac{p_{5}}{m_{2}}, \quad \frac{p_{3}}{m_{1}}-\frac{n_{6}}{m_{2}} ; \\
q_{1}-q_{4}, q_{2}-q_{5}, q_{3}-q_{6} ;
\end{array}
\]

поэтому, если бы все шесть интегралов были независимы друг от друга, то из них вытекало бы, что выше приведённые разности постоянны, между тем как данные уравнения допускают интеграл вида
\[
\left(\frac{p_{1}}{m_{1}}-\frac{p_{4}}{m_{2}}\right) \sin \lambda t-\lambda\left(q_{1}-q_{4}\right) \cos \lambda t=C_{9} .
\]

И, действительно, как легко убедиться, между названными интегралами имеет место следующее тождественное соотношение:
\[
C_{7} \cdot C^{\prime}-C_{8}^{2}=\lambda^{2} C_{6}^{2}
\]

где для сокращения левые части ингегралов обозначены соответствующими постоянными.
Кроме интеграла $C_{9}$, легко найдём ещё три следующие:
\[
\begin{array}{l}
m_{1} q_{1}+m_{2} q_{4}-t\left(p_{1}+p_{4}\right)=C_{10}, \\
m_{1} q_{2}+m_{2} q_{5}-t\left(p_{2}+p_{5}\right)=C_{11}, \\
m_{1} q_{3}+m_{2} q_{6}-t\left(p_{3}+p_{6}\right)=C_{12} .
\end{array}
\]

Интегралы $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{12}$ и составляют полную систему двенадшати независимых интегралов уравнений движения.

Нами было замечено, что если интеграл содержит явно время, то частная производная от него по времени также будет интегралом. Сказанное легко проверить на интегралах $C_{9}, C_{10}, C_{11}$ и $C_{12}$. Действительно, если мы возьмём производную от интеграла $C_{9}$ и приравняем ее произвольной постоянной $\gamma$, то получим выражение
\[
\lambda\left(\frac{p_{1}}{m_{1}}-\frac{p_{4}}{m_{2}}\right) \cos \lambda t+\lambda^{2}\left(q_{1}-q_{4}\right) \sin \lambda t=\gamma .
\]

являющееся тоже интегралом уравнений движения данной системы. Этот интеграл, конечно, является функцией выше найденных независимых интегралов: он связан с ними соотношением
\[
C_{9}^{2}+\left(\frac{\gamma}{\lambda}\right)^{2}=C_{7}^{2} .
\]

Заметим в заключение, что интегралы сохранения кинетического момента в абсолютном движении, т. е.
\[
\begin{array}{l}
p_{1} q_{2}-p_{2} q_{1}+p_{4} q_{5}-p_{5} q_{4}=a_{1}, \\
p_{2} q_{3}-p_{3} q_{2}+p_{5} q_{6}-p_{6} q_{5}=\alpha_{2}, \\
p_{3} q_{1}-p_{1} q_{8}+p_{6} q_{4}-p_{4} q_{6}=\alpha_{3},
\end{array}
\]

также являются, конечно, функциями от $C_{1}, \ldots, C_{12}$; так, например, мы имеем
\[
\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) a_{3}=C_{6}+\frac{1}{m_{1} m_{2}}\left(C_{3} C_{10}-C_{1} C_{12}\right) .
\]