72. Ускорение произвольной точки твёрдого тела. Теорема Ри́вальса. Для получения ускорения $w$ какой-либо точки. $M$ твёрдого тела нужно продифференцировать по времени выражение (9.32) на стр. 93 для скорости точки; имеем
\[
v=v_{A}+\vec{\omega} \times \vec{\rho}
\]

и, следовательно,
\[
w=\dot{v}_{A}+\dot{\bar{\omega}} \times \bar{\rho}+\bar{\omega} \times \dot{\bar{\rho}} .
\]

Первое слагаемое правой части, равное ускорению ${ }_{A}$ полюса $A$ и, следовательно, общее для всех точек твёрдого тела, носит название поступательного ускорения (фиг. 56 на стр. 82).

Множитель $\dot{\bar{\omega}}$ во втором члене, представляющий собой производную по времени от угловой скорости ш, называется угловым ускорением; мы его будем обозначать через $\bar{\varepsilon}$. Размерностью $\bar{\varepsilon}$ будет $[\varepsilon]=\frac{1}{\text { время }^{2}}$. Единицей углового ускорения служит $1 \frac{1}{\text { сек }_{2}^{2}}$. Численно и по направлению $\bar{\varepsilon}$, очевидно, равно скорости конца вектора $\bar{\omega}$ в его движении по годографу. Это общее правило для нахождения производной от вектора является истолкованием формулы (4.15) на стр. 35. Очевидно, как угловая скорость $\bar{\omega}$, так и угловое ускорение $\bar{\varepsilon}$ характеризуют движение

твёрдого тела по отношению к системе осей $A X Y Z$, движущихся поступательно вместе с полюсом $A$. Возвращаясь к выражению для ускорения $w$ точки тела, заметим, что второе слагаемое, т. е. $\bar{\varepsilon} \times \bar{\rho}$, носит. название вращательного ускорения; в дальнейшем мы его будем обозначать $\boldsymbol{w}^{\text {вр }}$.

При преобразовании третьего слагаемого, $\bar{\omega} \times \dot{\bar{\rho}}$, примем прежде всего во внимание, что вектор $\dot{\bar{\rho}}$, как производная радиуса-вектора $\bar{\rho}$, равен скорости точки в системе $A X Y Z$ и потому может быть представлен как $\bar{\omega} \times \bar{\rho}$; таким образом,
\[
\bar{\omega} \times \dot{\rho}=\bar{\omega} \times(\bar{\omega} \times \bar{\rho}) .
\]

Применив здесь к правой часги известную формулу преобразования векторно-векторного произведения [формулу (1.36) на стр. 12], мы получим:
\[
\bar{\omega} \times \overline{\bar{\rho}}=\bar{\omega}(\bar{\omega} \cdot \bar{\rho})-\bar{\rho} \omega^{2},
\]

или, если вынести $)^{2}$ за скобку,
\[
\bar{\omega} \times \dot{\bar{p}}=\omega^{2}\left[\overline{\omega^{0}}\left(\overline{\omega^{0}} \cdot \bar{\rho}\right)-\bar{\rho}\right] .
\]

Заметим, что $\bar{\omega}^{0} \cdot \bar{\rho}$ представляет собой проекцию вектора $\bar{\rho}$ на мгновенную ось вращения для полюса $A_{a}$ (фиг. 64); следовательно, вектор $\bar{\omega}^{0}\left(\bar{\omega}^{0} \cdot \bar{\rho}\right)$ равен
\[
\bar{\omega}^{0}\left(\overline{\omega^{0}} \cdot \bar{\rho}\right)=\overline{A C},
\]

а разность векторов, стоящая в квадратных скобках, есть
\[
\bar{\omega}^{0}\left(\overline{\omega^{0}} \cdot \bar{\rho}\right)-\bar{\rho}=\overline{B C}=-p .
\]

Фиг. 64.
Мы видим, что слагающая $\bar{\omega} \times \dot{\bar{p}}$ ускорения перпендикулярна к мгновенной оси вращения для полюса $A$ и направлена от гочки $B$ к оси; эта составляющая называется осестремительным ускорением:
\[
w^{\mathrm{oc}}=-\omega^{2} p .
\]

Таким образом, окончательно получаем:
\[
w=w_{A}+w^{\mathrm{Bp}}+w^{\mathrm{oc}},
\]

где
\[
w^{3 p}=\bar{\varepsilon} \times \bar{p},
\]

а осестремигельное ускорение может быть представлено в одной из следующих форм:
\[
w^{o c}=\bar{\omega} \times \bar{\rho}=\bar{\omega} \times(\bar{\omega} \times \bar{\rho})=\bar{\omega}(\bar{\omega} \cdot \bar{\rho})-\bar{\rho} \omega^{2}=-\omega^{2} p ;
\]

если тело имеет неподвижную точку и полюс $A$ совмещён с ней, то можно также написать
\[
w^{\mathrm{oc}}=\bar{\omega} \times 0 .
\]

Формула (11.1) говорит, что ускорение какой-либо точки твёрдого тела равняется сумме ускорений поступательного, вращательного и осесгремительного: в этом состоит теорема Ри́вальса (Rivals).

73. Проекции ускорения точки твёрдого тела на неподвижные оси координат. Пусть, как и прежде, $O x y z$ — система неподвижных осей координат, $A X Y Z$ — система осей, им параллельных и движущихся (поступательно) вместе с полюсом $A$, и $A \xi$ г $_{\zeta} \zeta$ — система осей, неизменно связанных с телом. Спроектировав обе части векторного равенства (11.1) на ось $O x$, мы получим:

Здесь, очевидно,
\[
\begin{array}{c}
w_{x}=w_{A x}+w_{x}^{\mathrm{pp}}+w_{x}^{o c} \ldots \\
w_{A x}=\ddot{x}_{A} .
\end{array}
\]

Далее,
\[
\bar{w}_{x}^{\mathrm{Bp}}=\varepsilon_{y} \mathrm{P}_{z}-\varepsilon_{z P_{y}} ;
\]

но
\[
\bar{\varepsilon}=\dot{\bar{\omega}}=\dot{\omega}_{x} x^{0}+\dot{\omega}_{y} y^{0}+\dot{\omega}_{z} z^{0},
\]

и поэтому
\[
w_{x}^{\mathrm{Bp}}=\dot{\omega}_{y}\left(z-z_{A}\right)-\omega_{z}\left(y-y_{A}\right) .
\]

Для нахождения проекций осестремительного ускорения воспользуемся его выражением в форме
\[
w^{\circ c}=\bar{\omega}(\bar{\omega} \cdot \bar{\rho})-\bar{\rho} \omega^{2} .
\]

Спроектируем обе части этого равенства на неподвижную ось $O X$ и, кроме того, выразим скалярное произведение $\bar{\omega} \cdot \bar{\rho}$ через проекции сомножителей; мы получим:
\[
w_{x}^{\text {oc }}=\omega_{x}\left[\omega_{x}\left(x-x_{A}\right)+\omega_{y}\left(y-y_{A}\right)+\omega_{z}\left(z-z_{A}\right)\right\}-x \omega^{2} .
\]

Аналогично получаются проекции ускорения на оси. Oy и $\mathrm{Oz}$. Собрав результаты, найдём
\[
\left.\begin{array}{rl}
w_{x}=\ddot{x}_{A} & +\dot{\omega}_{y}\left(z-z_{A}\right)-\dot{\omega}_{z}\left(y-y_{A}\right)+ \\
& +\omega_{x}\left[\omega_{x}\left(x-x_{A}\right)+\omega_{y}\left(y-y_{A}\right)+\omega_{z}\left(z-z_{A}\right)\right]-x \omega^{2} \\
w_{y}=\ddot{y}_{A} & +\dot{\omega}_{z}\left(x-x_{A}\right)-\dot{\omega}_{x}\left(z-z_{A}\right)+ \\
& +\omega_{y}\left[\omega_{x}\left(x-x_{A}\right)+\omega_{y}\left(y-y_{A}\right)+\omega_{z}\left(z-z_{A}\right)\right]-y \omega^{2} \\
w_{z}=\ddot{z}_{A} & +\dot{\omega}_{x}\left(y-y_{A}\right)-\dot{\omega}_{y}\left(x-x_{A}\right)+ \\
& +\omega_{z}\left[\omega_{x}\left(x-x_{A}\right)+\omega_{y}\left(y-y_{A}\right)+\omega_{z}\left(z-z_{A}\right)\right]-z \omega^{2}
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\omega^{2}=\omega_{x}^{2}+\omega_{y}^{2}+\omega_{z}^{2} .
\]

74. Проекции ускорения точки твёрдого тела на оси, неизменно связанные с телом: Как и при проектировании на неподвижные оси, прежде всего из равенства (11.1) получаем:
\[
w_{\xi}=w_{A_{\xi}^{\beta}}+w_{\xi}^{\mathrm{ip}}+w_{\xi}^{\mathrm{oc}} .
\]

Проекции ускорения точки $A$ на подвижные оси находим по формулам (8.8) на стр. 74 :
\[
w_{A \xi}=a_{11} \ddot{x}_{A}+a_{21} \ddot{y}_{A}+a_{31} \ddot{z}_{\text {A }} \text { и т. д. }
\]

При проектировании вращательного ускорения примем прежде всего во внимание, что абсолютная производная $\dot{\bar{\omega}}$ от угловой скорости равна ее относительной производной $\tilde{\bar{\omega}}$ в системе $A \xi$ т $^{\circ}$, так как поправочный член в данном случае принимает вид $\bar{\omega} \times \bar{\omega}$, т. е. он равен нулю [см. формулу (9.18) на стр. 88]. Следовательно, угловое ускорение $\bar{\varepsilon}$
\[
\bar{\varepsilon}=\dot{\bar{\omega}} \text {, }
\]

или
\[
\bar{\varepsilon}=\dot{\omega}_{x} x^{0}+\dot{\omega}_{y} y^{0}+\dot{\omega}_{z} z^{0}=\dot{\omega}_{\xi} \overline{\xi^{0}}+\dot{\omega_{\eta}} \overline{\eta_{0}}+\dot{\omega}_{\xi} \overline{\xi^{0}} .
\]

Поэтому для проекций вращательного ускорения получаем выражения, аналогичные прежним:
\[
w^{\text {вp }}=\dot{\omega}_{\eta} \zeta-\dot{\omega}_{\xi} \eta_{i} \text { и. т. д. . }
\]

Выражения прежнего типа мы получаем и для проекций осестремительного ускорения:
\[
w_{\xi}^{\mathrm{oc}}=\omega_{\xi}\left(\omega_{\xi} \xi+\omega_{\eta} \eta_{1}+\omega_{\xi} \xi\right)-\xi \omega^{2} \text { и т. д. }
\]

Собрав результаты. и выписав в порядке круговой перестановки формулы для проекций ускорения на две другие оси, мы получим:
\[
\begin{array}{l}
w_{\xi}=a_{11} \ddot{x}_{A}+a_{21} \ddot{y}_{A}+a_{31} \ddot{z}_{A}+\dot{\omega}_{\gamma} \zeta-\dot{\omega}_{\zeta} \eta_{1}+\omega_{\xi}\left(\omega_{\xi} \xi+\omega_{\gamma_{i}} \eta+\omega_{\zeta} \zeta\right)-\xi \omega^{2}, \\
\omega_{\eta}=a_{12} \ddot{x}_{A}+a_{22} \ddot{y}_{A}+a_{32} \ddot{z}_{A}+\dot{\omega}_{\xi} \xi-\dot{\omega}_{\xi} \xi+\omega_{\gamma_{i}}\left(\omega_{\xi} \xi+\omega_{r_{j}} r_{i}+\omega_{\xi} \xi\right)-r_{1} \omega^{2}, \\
w_{\eta}=a_{13} \ddot{x}_{A}+a_{23} \ddot{y}_{A}+a_{33} \ddot{z}_{A}+\dot{\omega}_{\xi} \eta^{-}-\dot{\omega}_{\eta} \xi+\omega_{\eta}\left(\omega_{\xi} \xi+\omega_{\alpha_{i}} \eta+\omega_{\xi} \xi\right)-\xi \omega^{2}, \quad \\
\end{array}
\]

где
\[
\omega^{2}=\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}+\omega_{\xi}^{2} .
\]

75. Мгновенный центр ускорений. Приравняем правую часть векторного равенства (11.1) к нулю. Тогда мы получим уравнение -для радиуса вектора $\bar{\rho}_{Q}$ такой точки $Q$ твёрдого тела, ускорение которой в рассматриваемый момент равно нулю. Эта точка носит название мгновенного центра ускорений. Рассмотрим указанное уравнение, определяющее положение мгновенного центра ускорений $Q$ относительно системы осей $A \xi r_{\zeta}$, неизменно связанных с телом, написав его в следующем виде:
\[
w_{A}+\bar{\varepsilon} \times \bar{\rho}_{Q}+\bar{\omega}\left(\bar{\omega} \cdot \bar{\rho}_{Q}\right)-\bar{\rho}_{Q} \omega^{2}=0 .
\]

Предположим сперва, что $\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}
eq 0$. Очевидно, в этом случае можно $\bar{\rho}_{Q}$ разложить на составляющие по направлениям векторов ‘ $\bar{\omega}$, 专 и $\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}$ :
\[
\bar{\rho}_{Q}=\alpha \bar{\omega}+\beta \bar{\varepsilon}+\gamma \bar{\omega} \times \bar{\varepsilon},
\]

где $\alpha, \beta$ и $\gamma$ необходимо определить из условия (11.5). Подставив последнее выражение $\tilde{\rho}_{Q}$ в уравнение (11.5), мы получим:
\[
w_{A}+\alpha \bar{\varepsilon} \times \bar{\omega}+\gamma \bar{\varepsilon} \times(\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon})+\bar{\omega}\left(\alpha \omega^{2}+\beta \bar{\omega} \cdot \bar{\varepsilon}\right)-\omega^{2}(\alpha \bar{\omega}+\beta \bar{\varepsilon}+\gamma \bar{\omega} \times \bar{\varepsilon})=0 .
\]

Выполнив приведение подобных членов, мы найдем:
\[
w_{A}-\left(\alpha+\gamma \omega^{2}\right) \bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}+\left(\gamma 3^{2}+\beta \bar{\omega} \cdot \bar{\varepsilon}\right) \bar{\omega}-\left(\beta \omega^{2}+\gamma \bar{\omega} \cdot \bar{\varepsilon}\right) \bar{\varepsilon}=0 .
\]

Для определения $\alpha, \beta$ и $\gamma$ умножим последнее уравнение скалярно на векторы $\bar{\omega}, \bar{\varepsilon}$ и $\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}$. В результате мы получим:
\[
\begin{array}{l}
w_{A} \cdot \bar{\omega}+\gamma\left[\omega^{2} \varepsilon^{2}-(\bar{\omega} \cdot \bar{\varepsilon})^{2}\right]=w_{A} \cdot \bar{\omega}+\gamma|\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}|^{2}=0, \\
\left.w_{A} \cdot \bar{\varepsilon}+\beta[\bar{\omega} \cdot \overline{\bar{s}})^{2}-\omega^{2} \bar{\varepsilon}^{2}\right]=w_{A} \cdot \bar{\varepsilon}-\beta|\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}|^{2}=0, \\
w_{A} \cdot \bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}-\left.\left(\alpha+\gamma \omega^{2}\right)\right|^{\bar{\omega}} \times\left.\bar{\varepsilon}\right|^{2}=0 .
\end{array}
\]

Отсюда легко найти $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Окончательно для радиуса-вектора $\bar{\rho}_{0}$ мгновенного центра ускорений мы получим следующее выражение:
\[
\bar{\rho}_{Q}=-\frac{1}{|\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}|^{2}}\left\{w_{A} \cdot \bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}+\omega^{2}\left(w_{A} \cdot \bar{\omega}\right) \bar{\omega}-\left(w_{A} \cdot \bar{\varepsilon}\right) \bar{s}+\left(w_{A} \cdot \bar{\omega}\right) \bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}\right\} .
\]

Для того, чтобы определить положение мгновенного центра в системе $O x y z$, необходимо выразить $r_{Q}$ через $\bar{\rho}_{Q}$ по формуле
\[
r_{Q}=r_{A}+\bar{\rho}_{Q} \text {. }
\]

Выражение (11.6) найдено нами в предположении $\bar{\omega} \times \vec{\varepsilon}
eq 0$; в этом случае существует, следовательно, один вполне определённый мгновенный центр ускорений.

Если теперь написать формулу Ривальса (11.1), приняв за полюс $A$ мгновенный центр ускорений $Q$, то мы получим для ускорения любой точки тела для данного момента времени выражение
\[
\boldsymbol{w}=\bar{\varepsilon} \times \bar{\rho}-\omega^{2} \boldsymbol{p} ;
\]

таким образам, остались лишь две составляющие вектора ускорения вращательное и осестремительное ускорения; такую картину мы имели при движении твёрдого тела около неподвижной точки, когда последняя была взята за полюс.

Рассмотрим теперь случай, когда $\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}=0$. Очевидно, соотношению $\bar{\omega} \times \bar{\varepsilon}=0$ в самом общем случае можно удовлетворить, положив
\[
\bar{\omega}=\lambda \tau^{0}, \quad \bar{\varepsilon}=\mu \bar{\tau}^{0},
\]

где $\bar{\tau}^{0}$ — единичный вектор, коллинеарный с $\bar{\omega}$ и $\bar{\varepsilon}$. Мы изучим лишь случай, когда $\lambda$ и $\mu$ одновременно не равны нулю. Если уравнение при этом допускает решение относительно $\bar{\rho}_{Q}$, то, как легко обнаружить, между $\boldsymbol{w}_{A}$ и $\bar{\tau}^{0}$ должна существовать зависимость:
\[
\boldsymbol{w}_{A} \cdot \bar{\tau}^{0}=0 ;
\]

к последнему соотношению мы придём, если уравнение (11.5) помножим на $\bar{\tau}^{0}$ и воспользуемся формулой (11.8), а также свойствами векторноскалярного произведения (см. § 5, стр. 11). На основании выражений (11.8) уравнение для радиуса-вектора $\bar{\rho}_{Q}$ примет вид
\[
w_{A}+\mu\left(\bar{\tau}^{0} \times \bar{\rho}_{Q}\right)+\lambda^{2} \tau^{0}\left(\overrightarrow{\tau^{0}} \cdot \bar{\rho}_{Q}\right)-\lambda^{2} \vec{\rho}_{Q}=0,
\]

причём, как было сказано, имеет место условие (11.9).

Искомый вектор $\hat{\rho}_{Q}$ можно заменить суммой трёх векторов, коллинеарных с $\tau^{0}, w_{A}$ и $\tau^{0} \times{ }^{Q} w_{A}$
\[
\bar{P}_{Q}=\alpha \bar{\tau}^{0}+\beta w_{A}+\gamma \bar{\tau}^{0} \times w_{A} .
\]

Уравнение (11.10) при подстановке (11.11) обращается в следующее:
\[
w_{A}+\mu \cdot\left(\beta \bar{\tau}^{0} \times w_{A}-\gamma w_{A}\right)+\alpha \lambda^{2} \tau^{0}-\lambda^{2}\left(\alpha \tau^{0}+\beta w_{A}+\gamma \bar{\tau}^{0} \times w_{A}\right)=0 .
\]

Отсюда мы получаем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
1-\mu \gamma-\lambda^{2} \beta & =0, \\
\mu \beta-\lambda^{2} \gamma & =0,
\end{array}\right\}
\]

а $\alpha$ — произвольно.
Поскольку $\lambda$ и $\mu$ одновременно не равны нулю, система (11.12) допускает следующее решение относительно $\beta$ и $\gamma$ :
\[
\beta=\frac{\lambda^{2}}{\mu^{2}+\lambda^{4}}, \quad \gamma=\frac{\mu}{\mu^{2}+\lambda^{4}} .
\]

На основании равенств (11.8) полученные выражения могут быть записаны следующим образом:
\[
\beta=\frac{\omega^{2}}{\varepsilon^{2}+\omega^{4}}, \quad \gamma=\frac{\bar{\varepsilon} \cdot \tau^{0}}{\varepsilon^{2}+\omega^{4}} .
\]

Окончательное выражение для радиуса-вектора $\bar{\rho}_{Q}$ имеет вид
\[
\bar{\rho}_{Q}=\alpha \bar{\tau}^{0}+\frac{1}{\varepsilon^{2}+\omega^{4}}\left\{\omega^{2} w_{A}+\left(\bar{\varepsilon} \cdot \bar{\tau}^{0}\right) \bar{\tau}^{0} \times w_{A}\right\} .
\]

Таким образом, в рассматриваемом случае мы имеем геометрическое место мгновенных центров ускорений, а именно, прямую, параллельную вектору $\bar{\omega}$ (или $\bar{\varepsilon}$ ); эта прямая носит название мгновенной оси ускорений.

Соотношения (11.8), а также зависимость (11.9) всегда осуществляются при плоскопараллельном движении. Следовательно, в этом движении будет существовать и мгновенная ось ускорений, определяемая уравнением (11.13). Случай, когда $\bar{\omega}$ и $\bar{\varepsilon}$ одновременно равны нулю, нами оставлен в стороне. Остановимся подробнее на плоскопаралелльном движении. Пусть плоскость Oxy перпендикулярна к угловой скорости $\bar{\omega}$ (или $\bar{\varepsilon}$ ). Напишем выражение для ускорения произвольной точки $M$, лежащей в этой плоскости, приняв за полюс точку $Q$, в которой плоскость $O x y$ пересекается с мгновенной осью ускорений (фиг. 65). Так как ускорение этой точки равно нулю, то на основании формулы (11.1), а также (11.2) мы находим:
\[
w=\bar{\varepsilon} \times \rho-\omega^{2} p ;
\]

при этом
\[
w^{\mathrm{Bp}}=\varepsilon_{\rho}, \quad w^{\mathrm{oc}}=\omega^{\mathrm{n}} \rho,
\]

и, следовательно,
\[
w=\rho \sqrt{\varepsilon^{2}+\omega^{4}},
\]

т. е. модуль ускорения точки тела пропорционален её расстоянию от мгновенной оси ускорений. Составим выражение для тангенса угла $\mu$ между ускорением $\boldsymbol{w}$ точки $M$ и вектором $\bar{M} \bar{Q}$, соединяющим её с мгновенной осью ускорений; мы имеем
\[
\operatorname{tg} \mu=\frac{\varepsilon_{z}}{\omega^{2}}=\frac{\ddot{\varphi}}{\dot{\varphi}^{2}},
\]

где $\varphi$ есть уго. вращения тела (§58); таким образом, угол, образуемый ускорением любой ючки тела с перпендикуляром, опущенным на мгновенную ось ускорений, одинаков для всех точек тела.