92. Условия прямолинейности движения. В предыдущей главе мы рассмотрели дифференциальные уравнения движения материальной частицы под дейс1вием заданных сил, когда движение этой частицы ничем не стеснено, не ограничено никаким заранее данным условием, или, как говорят, когда частица свободна. Теперь мы займёмся рассмотрением простейшего случая движения свободной материальной частицы, а именно того, когда эта частица движется прямолинейно. Если одну из координатных осей, например $O x$, направим параллельно рассматриваемой траектории, то уравнения этой траектории будут:

а следовательно, по формулам (15.2) на стр. і 38 , мы найдём:
\[
F_{y}=0, \quad F_{z}=0,
\]
т. е. равнодействующая должна иметь постоянное направление, параллельное траектории. Но этого условия недостаточно: действительно, при его соблюдении два последние уравнения движения (15.2) будут
\[
\ddot{y}=0, \quad \ddot{z} \approx 0,
\]

что по иңтегрировании даёт
\[
y=a t+a, \quad z=b t+\beta,
\]

где $a, b, \alpha, \beta$ – произвольные постоянные. Условимся всегда обозначать начальный момент через $t_{0}$, начальные координаты частицы через $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, начальные проекции скорости через $\dot{x}_{0}, \dot{y}_{0}, \dot{z}_{0}$. Тогда предыдущие равенства дадут:
\[
y=\dot{y}_{0}\left(t-t_{0}\right)+y_{0}, \quad z=\dot{z}_{0}\left(t-t_{0}\right)+z_{0} ;
\]

от ююда видим, что траектория будет прямой, параллельной оси $O x$, лишь тогда, когда
\[
\dot{y}_{0}=0, \quad \dot{z}_{0}=0 .
\]

Таким образом, согласно равенствам (16.1) и (16.2), свободная материальная частица описывает прямую линию тогда и лищь тогда, когда сила, приложенная к ней, имеет постоянное направление и начальная скорость параллельна этому направлению.

В дальнейшем при изучении прямолинейного движения мы будем принимать траекторию за ось $O X$, и потому всегда будет $y=z=0$; следовательно, нам можно .будет ограничиться исследованием одного только уравнения
\[
m \ddot{x}=F_{x},
\]

где
\[
F_{x}=\ddot{F}_{x}(t, x, \dot{x}) .
\]

93. Движение под действием силы, зависящей лишь от времени. Когда данная сила зависит только ог времени, т. е. когда
\[
F_{x}=f(t),
\]

задача о прямолинейном движении частишы решается весьма просто. Интегрируя уравнение (16.3). и определяя произвольную постоянню по начальным данным, находим
\[
m \dot{x}=m \dot{x}_{0}+\int_{t_{0}}^{t} f(t) d t .
\]

Интегрируя ещё раз, получаем окончательно:
\[
m x-m x_{0}=m \dot{x}_{0}\left(t-t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} d t\left\{\int_{t_{0}}^{t} f(t) d t\right\} .
\]

Пример 37. Прямолинейное движение весомой частицы. Если ось $x$ направлена вертикально книзу, а ускорение силы тяжести

обозначим через $g$, то уравнение движения будет
\[
m \ddot{x}=m g ;
\]

следовательно, по формуле (16.4) имеем
\[
x=x_{0}+\dot{x}_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{g}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2} .
\]

Если $\dot{x}_{0}>0$, то с самого начала движения (с момента $t_{0}$ ) частица падает вниз. Если $\dot{x}_{0}<0$, то до момента $t=t_{0}-\frac{\dot{x}_{0}}{g}$, т. е. до высоты $x \doteq x_{0}-\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{2 g}$, частица движется кверху и затем падает книзу.
94. Движение под действием силы, зависящей лишь от положения частицы. Когда сила зависит только от положения частицы, т. е.
\[
F_{x}=f(x),
\]

то закон движения частицы находится с помощью двух квадратур. Умножаем почленно уравнение (16.3) на тождество
\[
\dot{x} d t=d x ;
\]

тогда обе части уравнения обратятся в полные дифференциалы:
\[
\ddot{x} x d t=f(x) d x
\]

или
\[
\dot{x} d \dot{x}=f(x) d x .
\]

Следовательно, интегрируя, найдём:
\[
\frac{1}{2} \dot{x}^{2}=\varphi(x)+C,
\]

где $C$ – произвольная постоянная, а $\varphi(x)=\int f(x) d x$. Разрешив полученное уравнение относительно $\dot{x}$, будем иметь
\[
\dot{x}=\frac{d x}{d t}= \pm \sqrt{2 \varphi(x)+2 C},
\]

или
\[
\frac{d x}{\sqrt{\varphi(x)+C}}= \pm d t \sqrt{2}
\]

отсюда, интегрируя, находим:
\[
\pm t \sqrt{2}+B=\int \frac{d x}{\sqrt{\varphi(x)+C}}=\Phi(x, C),
\]

где $B$ – новая про́извольная постоянная. Полученное равенство и определяет $x$ как функцию от $t$ и двух произвольных постоянных; последние, как мы знаем, могут быть выражены через начальные данные.

Пример 38. Прямолинейное двичжение частицы под действием силы притяжения неподвижномуцентру, прямо пропорциональной расстоянию. Возьмём центр притяжения за начало коорлинат. Тогда, если коэффициент пропорциональности примем равным $k^{2} m$, то для модуля силы $\boldsymbol{F}$ будем иметь выражение
\[
F=k^{2} m r
\]

где $r$-расстояние от частицы до начала координат. Иначе говоря,
\[
F= \pm k^{2} m x
\]

причём должно взять верхний знак, если $x>0$, т. е. частица находится на положительной половине оси $x$, и нижний знак, если $x<0$, т. е. находится на отрицательной половине оси $x$. Сила $F$ направлена к началу кооддинат; следовательно,
\[
\cos \widehat{(x, F)}=\mp 1 \text {; }
\]

еерхний знак надо взять, когда $x>0$, а нижний, когда $x<0$. Объединив формулы (16.5) и (16.6), получим для проекции силы выражение
\[
F_{x}=-k^{2} m x
\]

которое не зависит от того, где частица находится, на положительной или на отрицательной половине оси $x$. Дифференциальное уравнение движения частишы напишется, следовательно, так:
\[
m \ddot{x}=-k^{2} m x
\]

или, по сокращении на $m$,
\[
\ddot{x}=-k^{2} x .
\]

Умңожаем обе части этого уравнения на $x$ и интегрируем указанным выше способом; получаем:
\[
\frac{1}{2} \dot{x}^{2}=-\frac{1}{2} k^{2} x^{2}+C .
\]

Произвольную постоянную $C$ определяем из начальных условий:
\[
C=\frac{1}{2} \dot{x}_{0}^{2}+\frac{1}{2} k^{2} x_{0}^{2} .
\]

Найденный интеграл можно записать так:

или
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}^{2}=-k^{2} x^{2}+\dot{x}_{0}+k^{2} \dot{x}_{0}, \\
\dot{x}^{2}=k^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right),
\end{array}
\]

где положено
\[
k^{2} a^{2}=\dot{x}_{0}+k^{2} \dot{x}_{0} .
\]

Из выражения (16.8) сразу видно, что наибольшее удаление частицы от притягивающего центра не может превышать $a$. Разрешая теперь уравнение (16.8) относительно $\dot{x}$ и разделяя переменные, получаем:
\[
\frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}= \pm k d t .
\]

Знак + здесь следует брать для той стадии движения, когда $d x>0$, т. е. когда частица движется в сторону возрастания $x$, и знак-, когда он движется в обратном направлении. Пусть $t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}, \ldots$ – ряд последовательных моментов, когда частица меняет направление своего движения, при этом пусть в промежутке $t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2}$ будет $d x>0$. Тогда получим следующие выражения для интеграла уравнения ( 6.10 ):
\[
\begin{array}{ll}
\text { при } t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2} & \arcsin \frac{x}{a}=k t+\gamma_{12}, \\
\text { при } t_{2} \leqslant t \leqslant t_{3} & \arcsin \frac{x}{a}=-k t+\gamma_{23}^{\prime}, \\
\text { при } t_{3} \leqslant t \leqslant t_{4} & \arcsin \frac{x}{a}=k t+\gamma_{34}^{\prime}
\end{array}
\]

и т. д.; $\gamma_{12}, \gamma_{23}^{\prime}, \gamma_{34}^{\prime}$ здесь постоянные интегрирования. Напишем эти произволь-

ные постоянные в форме
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{23}^{\prime}=\pi-\gamma_{23}, \\
\gamma_{34}^{\prime}=2 \pi-\gamma_{34} \\
\cdots . \cdots
\end{array}
\]

и разрешим предыдущие уравнения относительно $x$; получаем:
\[
\begin{array}{ll}
\text { при } t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2} & x=a \sin \left(k t+\gamma_{12}\right), \\
\text { при } t_{2} \leqslant t \leqslant t_{3} & x=a \sin \left(k t+\gamma_{23}\right), \\
\text { при } t_{3} \leqslant t \leqslant t_{4} & x=a \sin \left(k t+\gamma_{34}\right) . \\
\text {. . . . . } & \text {. . . . . . . . }
\end{array}
\]

Между произвольными постоянными $\gamma_{12}, \gamma_{23}, \gamma_{34}, \ldots$ должна существовать такого рода зависимость, чтобы все функции $x$ переходили без разрывов и плавно одна в другую на границах интервалов, т. е. при $t=t_{2}, t_{3}, t_{4}, \ldots$ Иначе гороря, мы требуем, чтобы общее решение $x$ всюду обладало непрерывной первой производной. Это получится, если все постоянные положить равными между собой. Назвав их общее значение ү, мы можем, таким образом, выразить общее решение нашего дифференциального уравнения в единой форме:
\[
x=a \sin (k t+\gamma) .
\]

Важно заметить, что с одинаковым правом мы могли бы это общее рещение написать в виде
\[
x=a \cos (k t+\delta) \text {. }
\]

Между произвольными постоянными $\gamma$ и $\delta$, очевидно, имеет место соотношение
\[
\gamma+\delta=\frac{\pi}{2} \text {. }
\]

Движение, определяемое уравнением (16.11), называется пр остым г армоническим коле 6 ательным движением. Частица колеблется около центра притяжения; наибольшее отклонение её от центра равно $a$ и называется а мплитудою. Величина $k$ называется угловой частотой, аргумент синуса, $k t+\gamma$, носит название фазы колебаний, $\gamma$ называется начальной фазой. Гармонические колебания служат примером движений периодических, т. е. таких, в которых движущаяся частица в моменты времени, отстоящие друг от друга на постоянный промежуток $\tau$ (называемый периодом), занимает одно и то же положение и имеет одну и ту же скорость. В нашем случае период равен
\[
\tau=\frac{2 \pi}{k}
\]

Величина, обратная периоду колебаний, носит название частоты колебани й; частота, очевидно, равна числу колебаний в одну секунду и выражается формулой
\[
N=\frac{k}{2 \pi} .
\]

Постоянные интегрирования $a$ и $\gamma$ в общем интеграле (16.11) легко могут быть выражены через начальные данные. Из уравнения (16.9) сразу получаем:
\[
a=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{k^{2}}} .
\]

Для определения $\gamma$ найдем сперва скорость частицы в функции от времени, для чего продифференцируем уравнение (16.11); имеем
\[
\dot{x}=a k \cos (k t+\gamma) \text {. }
\]

Теперь положим в уравнениях (16.11) и (16.16)
тогда получим:
\[
\left.\begin{array}{c}
t=t_{0}=0, x=x_{0}, \quad \dot{x}=\dot{x}_{0} ; \\
x_{0}=a \sin \gamma, \\
\dot{x}_{0}=a k \cos \gamma .
\end{array}\right\}
\]

Разделив первое из этих равенств на второе, найдём уравнение, определяющее начальную фазу:
\[
\operatorname{tg} \gamma=\frac{k x_{0}}{\dot{x}_{0}} ;
\]

двойственность при определении $\gamma$ по тангенсу устраняется анализом знака синуса или косинуса по уравнениям (\$6.17).

Закон движения (16.11) можно прёдставить в такой форме, что постоянные интегрирования будут явно выражены через начальные данные. Для этого применим к правой части формулу синуса суммы и воспользуемся соотношениями (16.17); в результате мы получим:
\[
x=x_{0} \cos k t+\frac{\dot{x}_{0}}{k} \sin k t .
\]

Рассматривая выражения (16.13), (16.14), (16.15) и (16.18), мы замечаем, что период и частота колебаний не зависят от начальных данных, а амплитуда и начальная фаза зависят.

Если бы мы пожелали представить графически, как изменяются с течением времени координата $x$ движущейся частицы, а также проекции её скорости и ускорения, причём абсцисса изображала бы собой время, а ордината соответственно координату $x$ или проекция скорости и ускорения, то мы получили бы кривые линии, называемые синусондами. Этими синусоидами часто пользуются в физике, когда речь идет о гармоническом колебательном лвижении.

Пример 39. Прямолинейное движение частицы поддействием силы отталкивания от неподвижногоцентра, прямо пропорциональной расстоянию. Берём начало координатвцентре отталкивания. Тогда совершенно так, как в предыдущем примере, убедимся, что в рассматриваемом случае
\[
F_{x}=k^{2} m x,
\]

если коэффициент пропорциональности взять равным $k^{2} m$. Следовагельно, дифференциальное уравиение напишется так:
\[
m \ddot{x}=k^{2} m x .
\]

Проинтегрировав его, мы получим:
\[
\frac{1}{2} \dot{x}^{2}=C+\frac{1}{2} k^{2} x^{2} .
\]

Пусть при $t=t_{0}$ мы имеем $x=x_{0}$ и $\dot{x}=\dot{x}_{0}$. Определив произвольную постоянную $C$ по этим начальным данным, мы найдём:
\[
\dot{x}^{2}=\dot{x}_{0}^{2}-k^{2} x_{0}^{2}+k^{2} x^{2} .
\]

Пусть положительное направление оси $x$ параллельно начальной скорости; тогда $\dot{x}_{0}>0$, а потому, разрешив последнее уравнение относительно $\dot{x}_{0}$ и разделив переменные, мы должны перед радикалом взять знак + ; имеем
\[
\frac{d x}{\sqrt{\frac{x_{0}}{k^{2}}-x_{0}^{2}+x^{2}}}=k d t,
\]

откуда, проинтегрировав, найдём:
\[
\ln \left(x+\sqrt{\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{k^{2}}-x_{0}^{2}+x^{2}}\right)=k t+B .
\]

Выразим произвольную постоянную $B$ через начальные данные:
\[
B=\ln \left(x_{0}+\frac{\dot{x}_{0}}{k}\right)-k t_{0} .
\]

Подставив значение $B$ в предыдущее уравнение, найдём:
\[
\ln \frac{x+\sqrt{\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{k^{2}}-x_{0}^{2}+x^{2}}}{x_{0}+\frac{\dot{x}_{0}}{k}}=k\left(t-t_{0}\right) .
\]

Произведя теперь потенцирование, можем написать:
\[
x+\sqrt{\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{k^{2}}-x_{0}^{2}+x^{2}}=\left(x_{0}+\frac{\dot{x}_{0}}{k}\right) e^{k\left(t-t_{0}\right)} .
\]

Приравняв обратные величины, получим:
\[
\frac{1}{x+\sqrt{\frac{x_{0}^{2}}{k^{2}}-x_{0}^{2}+x^{2}}}=\frac{1}{x_{0}+\frac{\dot{x}_{0}}{k}} e^{-k\left(t-t_{0}\right)},
\]

что, после упрощения, даёт
\[
x-\sqrt{\frac{x_{0}^{2}}{k^{2}}-x_{0}^{2}+x^{2}}=\left(x_{0}-\frac{\dot{x}_{0}}{k}\right) e^{-k\left(t-t_{0}\right)} .
\]

Сложив уравнения (16.22) и (16.23), найдём:
\[
x=\frac{1}{2}\left\{\left(x_{0}+\frac{\dot{x}_{0}}{k}\right) e^{k\left(t-t_{0}\right)}+\left(x_{0}-\frac{\dot{x}_{0}}{k}\right) e^{-k\left(t-t_{0}\right)},\right.
\]

или
\[
x=x_{0} \operatorname{ch} k\left(t-t_{0}\right)+\frac{\dot{x}_{0}}{k} \operatorname{sh} k\left(t-t_{0}\right) .
\]

Постоянная $\dot{x}_{0}^{2}-k^{2} x_{0}^{2}$ может быть больше нуля, меньше нуля и равнанулю. Разберём все эти три случая.
1) Пусть $\dot{x}_{0}^{2}-k^{2} x_{0}^{2}>0$. Как показывает выражение (16.20), скорость в этом случае не обращается в нуль и, следовательно, движение происходит всё время в одном направлении, а именно, в положительном направления оси $x$, так как по условию, $\dot{x}_{0}>0$. Следователыо, если частица в гвоём начальном положении была на положительной половине оси $x$, т. е. $x_{0}>0$, то она с постоянно возрастающей скоростью будет всё время удаляться от центра отталкивания, притом неограниченно, как видно из формулы (16.24). Если же $x_{0}<0$, т. е. начальное положение находилось на отрицательной половине оси $x$, то частица сначала приближается к центру отталкивания и её скорость уменьшается, пока не достигнет своего минимума $\sqrt{\dot{x}_{0}^{2}-k^{2} x_{0}^{2}}$ в тот момент $t=\tau$, когда она пройдёт через центр отталкивания $x=0$. Значение $\tau$ определится из уравнения ( 16.21 ):
\[
\tau=t_{0}+\frac{1}{k} \ln \frac{\sqrt{\dot{x}_{0}^{2}-k^{2} x_{0}^{2}}}{k x_{0}+\dot{x}_{0}} .
\]

В дальнейшем скорость всё возрастает, и частица уходит в бесконечность в положительном направлении оси $x$ : в этом всего легче убедиться, если пред-

ставить закон движения (16.24) в форме
\[
x=x_{0} \operatorname{ch} k\left(t-t_{0}\right) \cdot\left[1+\frac{\dot{x}_{0}}{k x_{0}} \text { th } k\left(t-t_{0}\right)\right]
\]

и принять во внимание, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \text { th } k\left(t-t_{0}\right)=1 .
\]
2) Пусть теперь $\dot{x}_{0}^{2}-k^{2} x_{0}^{2}<0$. Из формулы (16.20) мы видим, что наименьшее возможное абсолютное значение координаты $x$ есть
\[
|x|_{\min }=\sqrt{x_{0}^{2}-\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{k^{2}}}:
\]

для этого значения $|x|$ скорость обращается в нуль. Если $x_{0}>0$ то, как видно из формулы (16.24), частица с возрастающей скоростью удаляется в бесконечность в положительном направлении оси $x$. Если же $x_{0}<0$, то движущаяся частица сперва с убывающей скоростью приближается к центру отталкивания на минимальное расстояние (16.26) и, как это следует из формул (16.20) и (16.2), достигает его в момент времени
\[
\tau=t_{0}+\frac{1}{k} \ln \frac{\sqrt{x_{0}^{2}-k^{2} x_{0}^{2}}}{k x_{0}+\dot{x}_{0}} .
\]

Затем частица с возрастающей скоростью уходит в бесконечность в отрицательном направлении оги $x$ : это сразу видно из уравнения движения (16.25).
3) Пусть, наконец, $\dot{x}_{0}-k^{2} x_{0}^{2}=0$. Здесь могут быть два случая: или $\dot{x}_{0}-k x_{0}=0$ или $\dot{x}+k x_{0}=0$. В первом случае из формулы (16.24) мы видим, что частица с возрастающей скоростью уходит в бесконечность в положительном направлении оси $x$ (так как $x_{0}$ одного знака с $\dot{x}_{0}$, которое положительно). Во втором случае на основании формулы (16.25) заключаем, что частица асимптотически приближается к центру отталкивания с отрицательной стороны.

95. Движение под действием силы, зависящей лишь от скорости частицы. Когда сила зависит только от скорости, т. е.

тогда в уравнении
\[
\begin{aligned}
F_{x} & =f(\dot{x}), \\
m \ddot{x} & =f(\dot{x})
\end{aligned}
\]

заменяем $\ddot{x}$ через $\frac{d \dot{x}}{d t}$; мы получаем:
\[
\frac{m d \dot{x}}{f(\dot{x})}=d t
\]

отсюда, проинтегрировав, находим:
\[
\int \frac{m d \dot{x}}{f(\dot{x})}=\varphi(\dot{x})=t+A,
\]

где $A$-произвольная постоянная. Допустим, что из этого уравнения мы сумеем найти $\dot{x}$ как функцию от $t+A$, г. е.

или, иначе,
\[
\begin{aligned}
x & =\Psi(t+A), \\
d x & =\Psi(t+A) d t .
\end{aligned}
\]

Тогда, проинтегрировав, найдём
\[
x+B=\int \Psi(t+A) d t=\Phi(t+A),
\]

что и решает задачу.
Когда из уравнения (16.28) нельзя найти $\dot{x}$, как явную функцию времени, можно поступить так: умножаем почленно уравнение (16.26) на тождество $\dot{x} d t=d x$; получаем:
\[
m \dot{x} \ddot{x} d t=m \dot{x} d \dot{x}=f(\dot{x}) d x,
\]

или
\[
\frac{m \dot{x} d \dot{x}}{f(\dot{x})}=d x
\]

отсюда находим:
\[
\int \frac{m \dot{x} d \dot{x}}{f(\dot{x})}=\omega(\dot{x})=x+C,
\]

где $C$ – произвольная постоянная. Пусть из этого уравнения мы можем найти $\dot{x}$, как явную функцию $x$ :
\[
\dot{x}=\frac{d x}{d t}=\lambda(x+C) ;
\]

следовательно,
\[
\frac{d x}{\lambda(x+C)}=d t
\]

проинтегрировав вторично, находим:
\[
\int \frac{d x}{\lambda(x+C)}=\Omega(x+C)=t+D ;
\]

это уравнение определяет $x$, как функцию времени и произвольных постоянных $C$ и $D$.

Наконец, ссли уравнения (16.28) и (16.29) относительно $\dot{x}$ не решаются иэвестными приёмами, то мы можем сохранить оба эти уравнения, так как второе определяет $x$ как функцию от $\dot{x}$, а первое даёт зависимость $\dot{x}$ от времени.
Пример 40. Прямолинейное движение весомой частицыв среде, сопротивляющейся пропорционально первой степени скорости. Направим ось $x$ вертикально книзу (фиг. 72). Тогда, если $g$ – ускорение силы тяжести и $f$ – сила сопротивления, то
\[
m \ddot{x}=m g+f \cos (\widehat{x, f}) .
\]

По условию сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, следовательно,
\[
f= \pm k^{2} m \dot{x}
\]

если для удобства коэффициент пропорциональности возьмем равным $k^{2} m$. Верхний знак надо взять, когда $\dot{x}>0$, т. е. частица падает вниз (фиг. $72, a$ ), а нижний, когда $\dot{x}<0$, т. е. частица брошена кверху (фиг. $72, b$ ). Но сила сопротивления всегда противоположна направлению движения частицы, следовательно,
\[
\cos (\widehat{x, f})=\mp 1
\]

здесь надо взять верхний знак, когда $\dot{x}>0$, и нижний, когда $\dot{x}<0$. Объединяя

выражения (16.31) и (16.32), мы сможем уравнение движения (16.30) переписать в следующем виде:
\[
\ddot{x}=g-k^{2} \dot{x} ;
\]

это уравнение справедливо независимо от того, в каком направлении движется частица. Заметим, что уравнение движения сохранило бы свой вид для двух направлений при всякой силе сопротивления, пропорциональной не чёт ной степени скорости. Разделив переменнье, дадим полученному уравнению вид:
\[
\frac{d \dot{x}}{g-k^{2} \dot{x}}=d t ;
\]

отсюда, проинтегрировав, найдём:
\[
\ln \left(g-k^{2} \dot{x}\right)=-k^{2} t+\ln C,
\]

или
\[
g-k^{2} \dot{x}=C e^{-k^{2} t} .
\]

Произвольную постоянную $C$ определим из начальных условий: пусть при $t=t_{0}=0$ имеем $x=x_{0}$ и $\dot{x}=\dot{x}_{0}$; тогда
\[
\begin{array}{c}
C=g-k^{2} \dot{x_{0}}, \\
\dot{x}=\frac{g}{k^{2}}-\left(\frac{g}{k^{2}}-\dot{x_{0}}\right) e^{-k^{2} t} .
\end{array}
\]

После вторичного интегрирования и определения произвольной постоянной найдём:
\[
x=x_{0}+\frac{g}{k^{2}} t+\frac{1}{k^{2}}\left(\frac{g}{k^{2}}-\dot{x}_{0}\right)\left(e^{-k^{2} t}-1\right) .
\]

Таким образом, движение частицы асимптотически приближается к равномерному со скоростью $\frac{g}{k^{2}}$, не зависящей от начальных условий. Положение движущейся частицы при $t$ весьма большом мало отличается от того, которое она занимала бы, если бы, выйдя из начального положения $x=x_{0}+\frac{\dot{x}_{0}}{k^{2}}-\frac{g}{k^{4}}$, двигалась равномерно со скоростью $\frac{g}{k^{2}}$.

Пример 41. Прямолинейное движение весомой частицы в среде, сопротивляющейся пропорциональновторойстепени скорости. Направим ось $x$ вертикально книзу. Тогда уравнение движения при обозначениях предыдущего примера будет
\[
m \ddot{x}=m g+f \cos (\widehat{x, f}) .
\]

В настоящем случае $f=k^{2} m \dot{x}^{2}$, если коэффициент пропорциональности равен $k^{2} m$. Что же касается косинуса угла $(\widehat{x, f})$, то по предыдущему
\[
\cos (\widehat{x, f})=\mp 1
\]

причём верхний знак надо взять для движения вниз, а нижний для движения вверх. Таким образом, мы получаем для движения вниз уравнение
\[
\ddot{x}=g-k^{2} \dot{x}^{2}
\]

а для движения вверх
\[
\ddot{x}=g-k^{2} \dot{x}^{2} \text {. }
\]

Одно уравнение переходит в другое при помощи замены $k$ на $k i$, где $\mathrm{i}=\sqrt{–1}$. Будем интегрировать уравнение (16.33). Умножив обе части на $d t$, полччим:
\[
\frac{d \dot{x}}{g-k^{2} \dot{x}^{2}}=d t,
\]

или
\[
\frac{k d \dot{x}}{\sqrt{g}+k \dot{x}}+\frac{k d \dot{x}}{\sqrt{g}-k \dot{x}}=2 k \sqrt{g} \cdot d t ;
\]

отсюда, проинтегрировав, найдём:
\[
\ln \frac{\sqrt{g}+k \dot{x}}{\sqrt{g}-k \dot{x}}=2 k \sqrt{g} t+\ln C .
\]

Положив $t_{0}=0$, определяем произвольную постоянную $C$ :
\[
C=\frac{\sqrt{g}+k \dot{x_{0}}}{\sqrt{g}-k \dot{x_{0}}}
\]

следовательно, найденный первый интеграл можно переписать так:
\[
\frac{\sqrt{g}+k \dot{x}}{\sqrt{g}-k \dot{x}}=\frac{\sqrt{g}+k \dot{x_{0}}}{\sqrt{g}-k \dot{x_{0}}} e^{2 k V \bar{g} t} .
\]

Разрешив это уравнение относительно $\dot{x}$, найдём:
\[
\dot{x}=\frac{\sqrt{g}}{k} \frac{\left(\sqrt{g}+k \dot{x}_{0}\right) e^{2 k V \bar{g} t}-\left(\sqrt{g}-k \dot{x}_{0}\right)}{\left(\sqrt{g}+k \dot{x}_{0}\right) e^{2 k V \bar{g} t}-\left(\sqrt{g}-k \dot{x}_{0}\right)},
\]

или
\[
\dot{x}=\frac{\sqrt{g}}{k} \frac{\sqrt{g} \operatorname{sh} k \sqrt{g} t+k \dot{x}_{0} \operatorname{ch} k \sqrt{g} t}{\sqrt{g} \operatorname{ch} k \sqrt{g} t+k \dot{x}_{0} \operatorname{sh} k \sqrt{g} t} .
\]

Приступая к вторичному интегрированию, замечаем, что числитель правой части с точностью до постоянного множителя равен производной от знаменателя; поэтому, разделив в уравнении (16.35) переменные, можем написать:
\[
d x=\frac{1}{k^{2}} \frac{d\left(\sqrt{g} \operatorname{ch} k \sqrt{g} t+k \dot{x}_{0} \operatorname{sh} k \sqrt{g} t\right)}{\sqrt{g} \operatorname{ch} k \sqrt{g} t+k \dot{x}_{0} \operatorname{sh} k \sqrt{g} t} .
\]

Отсюда, проинтегрировав и выразив произвольное постоянное через начальные данные, получаем:
\[
x=x_{0}+\frac{1}{k^{2}} \ln \left(\operatorname{ch} k \sqrt{g} t+\frac{k \dot{x}_{0}}{\sqrt{g}} \operatorname{sh} k \sqrt{g} t\right) .
\]

Из закона скорости (16.35) видно, что движение частицы асимптотически приближается к равномерному со скоростью $\frac{\sqrt{g}}{k}$, не зависящей от начальных условий.

Чтобы получить закон движения при движении снизу вверх, подставляем в формуле (16.36) вместо $k$ величину $k i$; имея в виду известные формулы
\[
\text { ch } z i=\cos z \quad \text { и } \quad \operatorname{sh} z i=i \sin z \text {, }
\]

получим:
\[
x=x_{0}+\frac{1}{k^{2}} \ln \left(\cos k \sqrt{g} t-\frac{k \dot{x}_{0}}{\sqrt{g}} \sin k \sqrt{g} t\right) .
\]

В этом движении скорость частицы станет равной нулю в момент
\[
\tau=\frac{1}{k \sqrt{g}} \operatorname{arctg}\left(-\frac{k \dot{x}_{0}}{\sqrt{g}}\right) ;
\]

следовательно, с этого момента надо пользоваться формулой (16.36), причём $x_{0}$ надо заменить значением правой части выражения (16.37) для $t=\tau$, а $\dot{x}_{0}$ положить равным нулю.

Пример 42. В виде примера на второй приём интегрирования уравнения движения (16.27) решим такую задачу: весомая частица брошена кверху с начальной скоростью $v_{0}$ и движется в среде, сопротивляющейся пропорционально второй степени скорости; опредезить, с какой скоростью $\boldsymbol{u}$ точка вернётся в первоначальное положение. Сначала движение определяется дифференциальным уравнением (16.34)
\[
\ddot{x}=g+k^{2} \dot{x}^{2} .
\]
преобразований:
\[
\frac{\dot{x} d \dot{x}}{g+k^{2} x^{2}}=d x
\]

отсюда, проинтегрировав, мы найдём:
\[
\ln \left(g+k^{2} \dot{x}^{2}\right)=2 k^{2} x+C_{1} .
\]

Если начало координат поместим в начальном положении частицы, т. е. положим $x_{0}=0$, то для определения постоянной интегрирования $C$ мы получим уравнение
\[
\ln \left(g+k^{2} v_{0}^{2}\right)=C_{\mathbf{1}} .
\]

Вычтя почленно равенства (16.38) и (16.39) и произведя потенцирование, мы получим следующий закон скорости при движении частищы вверх:
\[
\frac{g+k^{2} \dot{x}^{2}}{g+k^{2} v_{0}^{2}}=e^{2 k^{2} x} .
\]

Из этого уравнения мы найдём координату $x_{1}$ той точки, в которой скорость движущейся частицы обратится в нуль; полагая $\dot{x}=0$, имеем
\[
\frac{g}{g+k^{2} v_{0}^{2}}=e^{2 k^{2} x_{1}} .
\]

Теперь найдём связь между скоростью и положением частицы при её движении вниз; для этого заменим в уравнении (16.38) $k^{2}$ на $-k^{2}$; тәгда получим:
\[
\ln \left(g-k^{2} \dot{x}^{2}\right)=-2 k^{2} x+C_{2} .
\]

Произвольную постоянную определяем, замечая, что при $\dot{x}=0$ координата $x$ имеет значение $x_{1}$; таким образом,
\[
\ln g=-2 k^{2} x_{1}+C_{2} .
\]

Почленным вычитанием уравнений (16.41) и (16.42) исключим $C_{2}$; мы получим:
\[
\frac{g-k^{2} \dot{x}^{2}}{g}=e^{2 k^{2}\left(x_{1}-x\right)} .
\]

Скорость $\boldsymbol{u}$, с которой частица вернётся в начало координат, найдётся, если в последнем уравнении положим $x=0$; таким образом,
\[
\frac{g-k^{2} u^{2}}{g}=e^{2 k^{2} x_{1}}
\]

или, на основании равенства (16.40),
\[
\frac{g-k^{2} u^{2}}{g}=\frac{g}{g+k^{2} v_{0}^{2}} .
\]

Отсюда окончательно находим:
\[
u=\frac{v_{0}}{\sqrt{1+\frac{k^{2} v_{0}^{2}}{g}}} .
\]