174. Возможные ускорения несвободной системы. Положим, что данная материальная система, состоящая из $n$ частиц $m_{\text{v }}$ подчинена a конечным удерживающим связям
$$f_{\alpha }(x_v,y_v,z_v,t)=0(v=1,2,\dots ,n;a=1,2,\dots ,a)$$

и $b$ дифференциальным удерживающим связям
$${\phi }_{\beta }=\sum _{u=1}^n{B}_v^{(\beta )}\cdot u_u+D_{\beta }=0(\beta =1,2,\dots ,b).$$

В этом случае, как мы видели ( $\mathrm{\S }164,167$ ), ускорения частиц системн связаны условиями:
$$\sum _{u=1}^n{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot w_u+D_2{f}_{\alpha }=0$$

и
$$\sum _{v=1}^n{B}_v^{(\beta )}\cdot w_v+\sum _{u=1}^n{\dot{B}}_v^{(\beta )}\cdot {\mathit{v}}_v+\dot{D_{\beta }}=0.$$

Всякую систему ускорений $w_u$ у удовлетворяющих для данного момента времени уравнениям (30.3) и (30.4) при условии, что соответствующее положение системы, а также соответствующие ему возможные скорости частиц системы удовлетворяют уравнениям (30.1) и $(30.2)$, мы будем называть системой возмөжных ускорений частиц системы.

Наоборот, такую совокупность значений $w_y$, которые для данного момента времени и данных положения системы и её скоростей не удовлетворяют хотя бы одному из выше приведённых равенств (30.3) и (30.4), а также (30.1) и (30.2), мы будем для краткости называть системой невозможных ускорений.

Если какая-нибудь связь, например $f_{\alpha }$ или ${\phi }_{\beta }$, неудерживающая, то всё сказанное изменится только в том отношении, что соответствующий знак равенства в выражениях ( 30.1$)-(30.4)$ перейде в в знак $⩾$.
175. Реакции удерживающих связей. Идеальные связи. Предстввим себе, что к частицам $m_{\text{v }}$ взятой несвободной системы приложены данные силы ${\mathit{F}}_{\mathrm{y}}$. Если бы система была свободной, то согласно основному уравнению динамики ускорение частицы $m_v$ нашлось бы по формуле
$$m_v{w}_v=F_v.$$

Может случиться, что определённые таким образом ускорения дадут систему возможных ускорений; тогда легко показать, что уравнения данных связей представляют собой частные интегралы уравнений двнжения, и, следовательно, мы имеем дело не с движением несвободной системы, а с частным случаем движения свободной системы:

В самом деле, пусть силы ${\mathit{F}}_{\mathrm{v}}$ таковы, что
$$\begin{array}{l}\sum _{v=1}^n\frac{1}{m_v}{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot F_v+D_2{f}_{\alpha }=0,\\ \sum _{v=1}^n\frac{1}{m_v}{B}_v^{(\beta )}:F_v+\sum _{v=1}^n{\dot{B}}_v^{(\beta )}\cdot u_v+{\dot{D}}_{\beta }=0.\end{array}$$

Умножим уравнения (30.5) на $\frac{1}{m_v}{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }$ и сложим их; тогда мы получим:
$$\sum _{v=1}^n{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot w_v=\sum _{v=1}^n\frac{1}{m_v}{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot F_v,$$

или на основании уравнения (30.6), после переноса $D_2{f}_a$ в левую часть,
$$\sum _{v=1}^n{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot w_v+D_2{f}_{\alpha }=0.$$

Левая часть этого уравнения представляет собой вторую производную по времени от функции $f_{\alpha }$ [см. формулу (27.11) на стр. 277]; таким образом, мы получили, как следствие из уравнений движения, равенство
$$\frac{d^2{f}_a}{d{t}^2}=0\text{. }$$

Отсюда мы заключаем, что уравнения движения имеют следующий второй интеграл:
$$f_{\alpha }=A_{a}t+H_{\alpha },$$

где $A_{\alpha }$ и $H_{\alpha }$ — произвольные постоянные. Если уравнения движения (30.5) умножим. на $\frac{{\mathit{B}}_v^{(\beta )}}{m_v}$. и сложим, то совершенно таким же способом убедимся, что они имеют первый интеграл:
$${\phi }_{\beta }=K_{\beta }.$$

Теперь видно, что уравнения связей действительно представляют собой в рассматриваемом случае частные интегралы уравнений движения рассматриваемой свободной системы при значениях произвольных постоянных $A_{\alpha }=0,H_{\alpha }=0,K_{\beta }=0$. Если указанный случай оставить в стороне, то ускорения ${\mathit{w}}_{\gamma }$, сообщаемые системе прилбженными силами $F_v$, будут относиться к числу ускорений невозможных. Чтобы эти ускорения системы стали возможными, необходимо допустить, что присутствие связей является причиной проявления некоторых добавочных сил, действующих на частицы системы. Эти добавочные силы называются реакциями связей. Эффектом совокупного хействия на материальную систему приложенных сил и реакций и является появление у частии системы таких ускорений, которые не противоречат равенствам (30.3) и (30.4), т. е. ускорений возможных. Такой взгляд находится в полном соответствии с нашим представлением о том, что источником сил служат материальные тела, потому что связи так или иңаче реализуются всегда с помощью некоторой системы материальных приспособлений. Если реак

цию, приложенную к частице $m_v$, обозначим $R_v$, уравнения движения несвободной системы в отличие от уравнений (30.5) напишутся следующим образом:
$$m_v{w}_v=F_v+R_v(u=1,2,\dots ,n).$$

Введённые нами реакции $\mathit{R}$, охарактеризованы пока лишь тем, чтоускорения $w_v$, стоящие в левых частях написанных уравнений, составляют систему возможных ускорений, т. е. удивлетворяют $a+b$ уравнениями (30.3) и (30.4). Таким образом, мы имеем $a+b$ уравнений для определения $3n$ неизвестных проекций реакций $R_{yx},R_{vy},R_{\mathrm{yz}}$. Так как всегда $3n>a+b$, то эта задача неопределённая. Важно, однако, заметить, что задача станет вполне определённой для случая, когда сумма элементарных работ всех реакций на любом виртуальном перемешении системы равна нулю; удерживающие связи, оказывающие реакцин такого типа, носят название связей идеальных. Чтобы доказать высказанное положение и вместе с тем найти выражения для реакций идеальных связей, поставим вопрос несколько иначе. Напишем выражение для суммы элементарных работ $8A^{(R)}$ всех реакций на некотором виртуальном перемещении системы и приравняем его нулю:
$$\partial A^{(R)}=\sum _{v=1}^n{R}_v\cdot \partial r_v=0.$$

Найдём, при каких значениях реакций $R_y$-имеет место это свойство элементарной работы. Если бы перемещения $\delta$ r. были вполне произвольны, то указанному равенству можно было бы удовлетворить, лишь положив все реакции равными нулю:
$$R_{\downarrow }=0.(u=1,2,\dots ,n);$$

в самом деле, в силу произвольности перемещений можно было бы все их, кроме какого-либо одного; например $\delta r_{\mathbf{x}}$, положить равными нулю; тогда уравнение (30.9) превратилось бы в следующее:
$$R_{\mathrm{x}}\cdot \delta r_{\mathrm{x}}=0;$$

отсюда ввиду произвольности направления $\delta r_x$ следовало бы, что
$${\mathit{R}}_{\mathrm{x}}=0.$$

Повторив это же рассуждение относительно всех других реакций ${\mathit{R}}_{\mathbf{v}}$, мы бы и пришли к утверждению (30.10). Но виртуальнье перемещения $\delta r_v$, как известно, связаны условиями (28.7) или (28.8) на стр. 284 и 285 :
$$\begin{array}{ll}\delta f_{\alpha }=\sum _{u=1}^n{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot \delta r_u=0& (\alpha =1,2,\dots ,a),\\ \delta {\phi }_{\beta }=\sum _{u=1}^n{B}_v^{\beta )}\cdot \delta r_u=0(\beta =1,2,\dots ,b).\end{array}$$

Иначе говоря, некоторые $3n-a-b$ проекции пәремещений, или, что то же, вариаций координат $\partial x_v,\partial y_v,\delta z_v$, могут быть выбраны произвольно, а остальные $a+b$ будут их функциями, определяемыми только что написанными уравнениями. Первые называются независимыми вариациями, а вторые зависимым Вы Выразив зависимые вариации через независимые

и вставив полученные выражения в уравнение (30.9), мы опять будем в нём иметь- проекции лишь одних независимых перемещений. Приравняв, по предыдущему, коэффициенты при них нулю, мы найдём $3n-a-b$ зависимостей между проекциями реакций $R_v$. Вместе с ранее указанными $a+b$ уравнениями (30.3) и (30.4) получается, таким образом, $3n$ уравнений с $3n$ неизвестными $R_{vx},R_{vy},R_{vz}$.

Для симметрии исключение завксимых вариаций координат производится обыкновенно по так называемому способу множителей, а именно; умножают каждое из уравнений (30.11) на произвольный пока множитель $-{\lambda }_{\alpha }$ и каждое из уравнений (30.12) на произвольный множитель- ${\mu }_{\beta }$; затем прибавляют все эти равенства к уравнению (30.9); тогда получается уравнение
$$\sum _{u=1}^n{R}_v\cdot \delta r_u-\sum _{\alpha =1}^a{i}_{\alpha }\delta f_{\alpha }-\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }\delta {\phi }_{\beta }=0.$$

Сгруппировав члены по виртуальным перемещениям $\delta r_v$ частиц, мы сможем это уравненис переписать так:
$$\sum _{v=1}^n\{R_v-\sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }-\sum _{\beta }^b{\mu }_{\beta }{B}_v^{(\beta )}\}\cdot \delta r_v=0;$$

отсюда, если выразить все векторы через их проекции, мы получаем:
$$\begin{array}{l}\sum _{v=1}^n\{(R_{vx}-\sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial x_v}-\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{B}_{v,x}^{(\beta )})\delta x_v+\\ +(R_{vy}-\sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial y_v}-\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{B}_{vy}^{(\beta )})\delta y_v+\\ +(R_{vz}-\sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial z_v}-\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{B}_{vz}^{(\beta )})\delta z_v\}=0.\end{array}$$

Произвольными пока множителями ${\lambda }_{\mathrm{o}}$ и ${\mu }_{\beta }$ распорядимся теперь так, чтобы коэффициенты при $a+b$ зависимых вариациях координат обратились в нули. Тогда в последнем уравнении останутся лишь члены с независимыми вариациями. Коэффициенты при них должны быть равны нулю; в противном случае, как выше было разъяснено по поводу уравнения (30.9), это равенство не сможет быть справедливым при любых. значениях независимых вариаций координат. Другими словами, коэффициенты при $a+b$ зависимых вариацйх нули потому, что мы так подобрали значения $a+b$ множителей ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$, а коэффициенты при независимых вариациях, — потому, что иначе левая часть уравнения (30.14) не может быть всегда нулем. С формальной стороны, как видим, различие между зависимыми и независимыми вариациями пропадает и для удовлетворения уравнсния (30.14) или, что всё равно, уравнення (30.13), надо приравнять нулю подряд все коэффициенты, не разбирая, какие вариации зависимые, какие независимые. Таким путем находим следующие выраже-

ния для реакций:
$$R_u=\sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }{\mathrm{grad}}_u{f}_{\alpha }+\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{B}_v^{(\beta )}(u=1,2,\dots ,n).$$

В суммах в правой части каждое слагаемое, очевидно, представляет собой действве одной какой-либо связи на данную частицу $m_u$. Эти силы, следовательно, равны
$${\mathit{R}}_v^{(\alpha )}={\lambda }_{\alpha }{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\text{ и }{\mathit{R}}_{\gamma }^{\beta )}={\mu }_{\beta }{B}_{\gamma }^{(\beta )}.$$

Входяцие в выражения реакций $a+b$ величин ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$ носят название множителей связей. Число этих множителей как раз соответствует числу уравнений (30.3) и (30.4), определяющих возможные ускорения. Таким образом, мы опять убеждаемся, что задача о нахождении реакций системы с удерживающими идеальннми связями является задачей определённой. Может лишь явиться сомнение, всегда ли мы в состоянии определить множители ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$ так, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях стали нулями; ведь для этого нужно, чтобы определитель $\mathrm{\Delta }$ из $(a+b{)}^2$ коэффициентов при ${\lambda }_{\alpha }$ и $\mu$ был отличен от нуля. Чтобы изучить поведение этого определителя, введём прежде всего следующие единообразные обозначения координат:
$$x_v={\xi }_{3v-2},y_v={\xi }_{3v-1},z_v={\xi }_{3v};$$

таким образом, в новых обозначениях координаты частиц системы будут ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{3n^{\ast }}$ В соответствии с этим положим:
$$B_{vx}^{(\beta )}=B_{\beta ,3v-2},B_{vy}^{(\beta )}=B_{\beta ,3v-1},B_{vz}^{(\beta )}=B_{\beta ,3v^{\ast }}$$

Обозначим, кроме того, производную $\frac{d{f}_{\alpha }}{dt}$ через ${\dot{f}}_{\alpha }$ и заметим, что
$$\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial {\xi }_v}=\frac{\partial {\dot{f}}_{\alpha }}{\partial {\dot{\xi }}_v^{\ast }}\text{ и }{B}_{\beta v}=\frac{\partial p_{\beta }}{\partial {\dot{\xi }}_v}.$$

Примем сперва за зависимые варнации первне $a+b$ вариаций коордннат $\delta {\xi }_1$, $\partial {\xi }_2,\dots ,\delta {\xi }_{a+b}$; тогда определитель, о котором идёт речь, будет иметь выражение

где $u_1,u_2,\dots ,u_{a+b}$ — каждый раз какие-либо различные числа из ряда $1,2,\dots ,a+b$. Пусть этот определитель нуль. Тогда возьмём за зависимые вариации $\delta {\xi }_2,\delta {\xi }_3,\dots ,\delta {\xi }_{a+b+1}$ и т. д., пока не переберём всех сочетаний координат. Если окажется при этом, что все определители типа (30.20) нули, то, как известно, исжду функциями ${\dot{f}}_{\alpha }$ и ${\phi }_{\beta }$ должна существовать зависимость типа
$$\mathrm{\Pi }({\dot{f}}_{\alpha },{\phi }_{\beta },{\xi }_v,t)=0,$$

явно не содержащая скоростей. Но в таком случае из того, что
$${\dot{f}}_1={\dot{f}}_2=\dots ={\dot{f}}_a={\phi }_1={\phi }_2=\dots ={\phi }_{b-1}=0,$$

вытекает, или что ${\phi }_b=0$, или что ${\phi }_b={\phi }_b({\xi }_v,t)$, т. е. что ${\phi }_b$ есть от-

личная от нуля функция координат н времени. В первом случае связь ${\phi }_b$ служит следствием остальных, во втором случае она противоречит остальным. Конечно, такие случаи исключаются из нашего рассмотрения.

Исходя из выражения (30.15) для реакций идеальных удерживающих связей, легко обратно прийти к свойству (30.9), т. е. можно показать, что элементарная работа этих реакций на любом виртуальном перемещении равна нулю. Для этого умножим каждое из равенств (30.15) на or $r_{\text{v }}$ и сложим их; мы получим:
$$\sum _{v=1}^n{R}_v\cdot \delta r_v\doteq \sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }\delta f_{\alpha }+\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }\delta {\phi }_{\beta }.$$

Отсюда согласно формулам (30.11) и (30.12) мы для-элементарной работы реакций находим значение
$$\delta A^{(R)}=\sum _{v=1}^n{R}_v\cdot \delta r_v=0.$$
176. Реакции идеальных неудерживающих связей. Представим себе теперь, что одна из связей, например $f_{\alpha }$, стала неудерживающей. Тогда соответствовавшее этой связи уравнение (30.3) для возможных ускорений согласно $\mathrm{\S }174$ заменится неравенством
$$\sum _{v=1}^n{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot w_v+D_2{f}_{\alpha }>0.$$

Рассмотрим частицу $m_{\vee }$ и обозначим через $S_{\mathrm{v}}$ равнодействующую заданных сил, действующих на эту частицу, и всех реакций, кроме реакции связи $f_{\alpha }$. Может случиться, что ускорения, сообщаемые силами $S_{\text{, }}$ частицам $m_y$ будут сами по себе удовлетворять указанному условию (30.23), т. е. будет справедливо неравенство
$$\sum _{v=1}^n\frac{1}{m_v}{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot S_v+D_2{f}_{\alpha }>0.$$

Тогда, следовательно, связь $f_a$ никакой реакции не окажет, и уравнения движения рассматриваемой системы напишутся так, как будто бы этой связи вовсе не было, т. е.
$$m_{\vee }{w}_{\vee }=S_{\vee }(u=1,2,\dots ,n).$$

Но если будет иметь место неравенство
$$\sum _{v=1}^n\frac{1}{m}{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot S_v+D_2{f}_{\alpha }<0,$$

ускорения, софбщаемые силами $S_y$, станут ускорениями невозможными. Для того чтобы перевести эти ускорения из невозможных в возможные, мы допускаем, что неудерживающая связь $f_{\alpha }$ оказывает реакцию. Мы будем называть неудерживающие связи $f_{\alpha }$ и ${\phi }_3$ идеальными, если, как и в случае удерживающих связей, их действия на частицу $m_v$, соответственно имеют выражения (30.16):
$${\mathit{R}}_v^{(\alpha )}={\lambda }_{\alpha }{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha },R_v^{(\beta )}={\mu }_{\beta }{B}_v^{(\beta )},$$

где ${\lambda }_{\alpha }и{\mu }_{\beta }$ — множители связей. В рассматриваемом случае, когда неудерживаюшей является связь $f_{\alpha }$, мы, вместо уравнений (30.24), будем, следовательно, иметь такие уравнения движения:
$$m_v{w}_u=S_v+{\lambda }_{\alpha }{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }(u=1,2,\dots ,n).$$

Мы принимаем, что неудерживающах связь оказывает лишь такую реакцию, чтобы система могла при известных условиях оставаться на связи, а отнюдь не такую, которая сводила бы систему со связи. Следовательно, в соответствии с равенствами (27.22) на стр. 280 реакция $R_y^{(\alpha )}$ связи $f_z$ может быть отличною от нуля лишь при условии
$$\frac{d^2{f}_{\alpha }}{d{t}^2}=\sum _{v=1}^n{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot w_u+D_2{f}_{\alpha }=0.$$

Заменив здесь $w_{\text{v }}$ его значением из уравнения (30.26) и разрешив полученное уравнение относительно множителя ${\lambda }_a$, мы найде для него следующее выражение:
$${\lambda }_{\alpha }=-\frac{\sum _{v=1}^n\frac{1}{m_v}{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot s_v+D_2{f}_{\alpha }}{\sum _{v=1}^n\frac{1}{m_v}{\left|{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\right|}^2}.$$

Уравнения (30.26), на основании которых выведена эта формула, справедливы, когда
$$\sum _{v=1}^n\frac{1}{m_v}{\mathrm{grad}}_v{f}_{\alpha }\cdot S_v+D_2{f}_{\alpha }⩽0;$$

при этом в случае знака равенства в этом выражении реакция связи $f_a$ равна нулю, и уравнения (30.26) и (30.24) сливаются. Отсюда мы заключаем, что множитель ${\lambda }_a$ неудерживающей связи должен быть не отрицателен:
$${\lambda }_{\alpha }⩾0$$

когда связь перестаёт действовать, он обращается в нуль. Для неудерживающей дифференциальной связи ${\phi }_{\beta }⩾0$ рассуждения наши от слова до слова остались бы те же самые.

В предыдущем параграфе, говоря об удерживающих связях, мы называли эти связи идеальными, если сумма элементарных работ всех реакций на любом виртуальном перемещении равнялась нулю. При этом для реакций идеальных связей мы получили выражения (30.16). Посмотрим, как в этом отношении обобщается понятие об идеальности связи в случае неудерживающей связи. В качестве аналитического выражения для реакций неудерживающих связей мы сохранили формулу (30.16). Поэтому и для элементарной работы реакций неудерживающих связей на некотором виртуальном перемещении получается прежнее выражение $(30.21):$
$$\delta A^{(R)}=\sum _{u=1}^n{R}_u\cdot \delta r_u=\sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }\delta f_{\alpha }+\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{\delta }^{\prime }{\rho }_{\beta };$$

но, сравнивая правую часть этого выражения с неравенствами (28.11) на стр. 285 , мы вместо равенства (30.22) получаем отсюда для неудерживающих связей равенство, соединённое с неравенством
$$\delta A^{(R)}=\sum _{v=1}^n{R}_v\cdot \delta r_v>0.$$

Таким образом, для идеальной связи сумма элементарных работ реакций равна нулю на любом неосвобождающем виртуальном перемещении системы и больше нуля на любом её освобождающем виртуальном перемещении. Необходимо при этом заметить, что в случае освобождающего виртуального перемещения написанное выражение представляет собий элементарную работу реакций лишь в условном смысле, а именно, если предположить, что на протяжении всего перемещения реакции сохраняли своё первоначальное значение. В этом смысле мы и будем понимать в дальнейшем выражение (30.29), когда будем на него ссылаться. В отношении же возможных освобождающих перемещений условие (30.29) даёт только указание на соотношение между направлениями перемещений и реакций, но не на работу реакций. Работа реакции идеальной неудерживающей связи на каком-угодном возможном перемещении всегда равна нулю. Действительно, когда возможные перемещения оставляют систему на связи, тогда реакции, вообще говоря, отличны от нуля, и поэтому ${\lambda }_{\alpha }>0,{\mu }_{\beta }>0$, но зато перемещения их точек приложения подчинены условиям (28.11) на стр. 285 со знаком равенства:
$$\delta f_{\alpha }=0,\delta {\phi }_3=0.$$

Когда же взятое перемсщение сводит систему со связи, т. е.
$$\delta f_{\alpha }>0,\delta {\phi }_{\beta }>0,$$

тогда соответственные реакции обращаются в нуль, и, следовательно,
$${\lambda }_{\alpha }=0,{\mu }_{\beta }=0.$$

Движение несвободных систем с идеальными связями представляет собой схему весьма часто наблюдаеиых движений масс: примером может служить качение друг по другу твёрдых тел, ограниченных гладкими поверхностями. Введением идеальных связей из механики не исключается, конечно, рассмотрение связей не идеальных. Нужно только, если пожелаем исследовать движение системы с не идеальными связями под действием данных приложенных сил, кроме аналитической формы связей (т. е. их уравнений), иметь ещё некоторые добавочные условия о реакциях, притом в достаточном числе. Таким образом, например, решаются все задачи о движении тел с трением.
177. Уравнения движения несвободной системы в декартовых координатах (уравнения Лагранжа первого рода). На основании найденных нами выражений (30.15) для реакций связей уравнения движения (30.8) несвободной системы, подчинённой $a$ конечным и $b$ дифференци́альным удерживающим связям (30.1) и (30.2), напишутся так:
$$m_u{w}_u=F_u+\sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }{\mathrm{grad}}_u{f}_{\alpha }+\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{B}_u^{\beta )}\cdot (u=1,2,\dots ,\dot{n}),$$

или, в проекциях на оси координат:
$$\begin{array}{c}{m}_v{\ddot{x}}_v=F_{vx}+\sum _{\alpha =1}^a{\lambda }_{\alpha }\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial x_v}+\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{B}_{vx}^{(\beta )},\\ m_v{\ddot{y}}_v=F_{vy}+\sum _{\alpha =1}^b{\lambda }_{\alpha }\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial y_v}+\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{B}_{vy}^{(\beta )},\\ m_v{\ddot{z}}_v=F_{vz}+\sum _{\alpha =1}^b{\lambda }_{\alpha }\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial z_v}+\sum _{\beta =1}^b{\mu }_{\beta }{B}_{vz}^{(\beta )}\\ (u=1,2,\dots ,n).\end{array}\}$$

Уравнения эти носят название уравнений несвободного движения с множителями, или уравнений Лагранжа первого рода. Система уравнений (30.1), (30.2) и (30.31) содержит $3n+\overline{a}+b$ неизвестных функций времени $x_v,y_v,z_v,{\lambda }_a,{\mu }_{\beta }$, т. е. как раз столько, сколько имеется уравнений.

Интегрирование рассматриваемой системы уравнений ведётся следующим путём. При помощи уравнений (30.3) и (30.4) исключаем неизвестные множители связей ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$. С эгой целью вставляем в эти уравнения $\mathit{w}$, из уравнений (30.30); мы получим тогда систему $a+b$ уравнении, линейных относительно всех множителей ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$ :
$$\begin{array}{l}{a}_{11}{\lambda }_1+a_{12}{\lambda }_2+\dots +a_{1a}{\lambda }_a+a_{1,a+1}{\mu }_1+\dots +\\ +a_{1,a+b}{\mu }_b+c_1=0\text{, }\\ a_{21}{\lambda }_1+a_{22}{\lambda }_2+\dots +a_{2a}{\lambda }_a+a_{2,a+1}{\mu }_1+\dots +\\ +a_{2,a+b}{\mu }_b+c_2=0\text{; }\\ a_{a+b,1}{\dot{\lambda }}_1+{\dot{a}}_{a+b,2}{\dot{\lambda }}_2+\dots +{\dot{a}}_{a+b,{\lambda }_a}+{\dot{a}}_{a+b,a+1}{\mu }_1+\dots +\\ +a_{a+b,a+b}{\mu }_b+c_{a+b}\stackrel{=}{=}\text{. }\end{array}$$

Исследуем, каково значение определителя $\left|a_{pq}\right|$ этой системы уравнений. Употребляя обозначения (30.17) и (30.18) и основываясь на равенствах (30.19), легко видеть, что коэффициенты $a_{pq}=a_{qp}$ имеют следующую структуру:
$$\begin{array}{l}{a}_{pq}=\sum _{v=1}^{3n}\frac{1}{m_v}\frac{\partial {\dot{f}}_p}{\partial {\dot{\xi }}_v}\frac{\partial {\dot{f}}_q}{\partial {\dot{\xi }}_v},\text{ если }p⩽a,q⩽a;\\ a_{pq}=\sum _{v=1}^{3n}\frac{1}{m_v}\frac{\partial {\dot{f}}_p}{{\partial }_{{\xi }_v^2}^2}\frac{\partial {\phi }_{q-a}}{\partial {\dot{\xi }}_v},\text{ если }p⩽a,q>a;\\ a_{pq}=\sum _{v=1}^{3n}\frac{1}{m_v}\frac{\partial {\phi }_{p-a}}{\partial {\dot{\xi }}_v}\frac{\partial {\phi }_{q-a}}{\partial {\dot{\xi }}_v},\text{ если }p>a,q>a.\end{array}$$

Следовательно, определитель $\left|a_{pq}\right|$ может быть представлен как сумма квадратов определителей $(a+b)$-го порядка вида:
$$\frac{\partial ({\dot{f}}_1,{\dot{f}}_3,\dots ,{\dot{f}}_a,{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_b)}{\partial ({\dot{\xi }}_{v1},{\dot{\xi }}_{vg},\dots ,{\dot{\xi }}_{va+b})},$$

где $u_1,u_2,\dots ,u_{a+b}$ — различные между собой числа из ряда

$1,2,\dots ,3n$. Число таких определителей, очевидно, равно числу $C_{3n}^{a+b}$ сочетаний из $3n$ элементов по $a+b$. Определитель $\left|a_{pq}\right|$ может обратиться в нуль лишь тогда, когда каждый из упомянутых функциональных определителей равен нулю. Но в таком случае между функциями $f_{{\alpha }^{\prime }}$ и ${\phi }_{\beta }$ существовала бы зависимость
$$\mathrm{\Pi }({\dot{f}}_{\alpha },{\phi }_{\beta },{\xi }_u,t)=0,$$

явно не содержащая скоростей, что в нашем случае исключается (ср. замечание в конце § 175). Итак, определитель $\left|a_{pq}\right|$ системы уравнений (30.32) отличен от нуля, и потому из этих уравнений ${\lambda }_a$ и ${\mu }_3$ определяются как функции от $t,x_v,y_v,z_v,{\dot{x}}_v,{\dot{y}}_v,{\dot{z}}_v$. Подставив полученные таким способом выражения для ‘ ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$ в уравнения (30.31), мы получим систему $3n$ дифференциальных уравнений второго порядка относительно $3n$ неизвестных функций времени $x_v,y_v,z_v$. Интегрирование этой системы введёт $6n$ произвольньх постоянных $C_{\rho }(\rho =1,2,\dots ,6n)$. Независимых между этими постоянными будет только $6n-2a-b$. Действительно, множители ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$ определены так, чтобы удовлетворялись равенства (30.3) и (30.4). Обратно, из уравнений (30.31) при найденных значениях множителей ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$ все $a+b$ равенств (30.3) и (30.4) вытекают как следствия (ср. §119 и 121). Отсюда мы заключаем, что система дифференциальных уравнений (31.31) имеет $a$ вторых и $b$ первых интегралов вида
$$f_{\alpha }=A_{\alpha }t+H_{\alpha },{\phi }_{\beta }=K_{\beta }.$$

Произвольные постоянные $A_{\alpha },H_{\alpha },K_{\beta }$ будут, конечно, функциями постоянных $C_{\rho }$. Так как система движется в соответствии со связями (30.1) и (30.2), то надо положить
$$A_{\alpha }=0,H_{\alpha }=0,K_3=0,$$

что и даёт $2a+b$ зависимостей между постоянными $C_p$; следовательно, произвольных, или : независимых, между ними останется только $6n-2a-b$.

Интегрирование уравнений (30.31) весьма затруднительно. Обыкновенно закон движения несвободной материальной системы находят при помощи интегрирования уравнений других типов, с которыми мы познакомимся впоследствии. Уравнениями с множителями и в особенности равенствами (30.32) пользуются лишь для определения реакций связей. В самом деле, когда движение системы найдено, т. е. $x_v,y_v,z_v$, ${\dot{x}}_v,{\dot{y}}_v,{\dot{z}}_v$ известны как функции времени, из уравнений (30.32) легко найти все множители ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$, и, следовательно, по формуле (30.15) можно определить реакции в функции времени.

Когда некоторые из связей неудерживающие, ход интеграции уравнений (30.31) намечается следующий. Прежде всего по начальным данным $t=t_0,x_v=x_{v0},y_v=y_{v0},z_v=z_{v0},{\dot{x}}_v={\dot{x}}_{v0},y_v={\dot{y}}_{v0},{\dot{z}}_u={\dot{z}}_{v0}$ смотрим, соблюдены ли для начального момента $t=t_0$ условия
$$f_{\alpha }=0,\frac{d{f}_{\alpha }}{dt}=0,{\lambda }_{\alpha }⩾0\text{ и }{\phi }_{\beta }=0,{\mu }_{\beta }⩾0$$

для всех неудерживающих связей. Если условия (30.33) выполнены для всех связей, то обращаемся к интегрированию уравнений вида (30.31) со всеми множителями связей. Если же для некоторых неудерживающих связей не соблюдается какое-либо из условий (30.33), то в уравнениях (30.31) надо положить соответствующий множитель ${\lambda }_{\alpha }$ или ${\mu }_3$ равным нулю, т. е. вовсе отбросить члены, содержащие такие множители, и интегрировать укороченные уравнения (30.31). В том или другом случае, т. е. после интеграции уравнсний типа (30.31) или укороченного типа, определяем $x_v,y_v,z_v,{\lambda }_{\alpha };{\mu }_{\beta }$ как функции времени:
$$x_v=x_v(t),y_v=y_v(t),z_v=z_v(t),{\lambda }_{\alpha }={\lambda }_{\alpha }(i),{\mu }_{\beta }={\mu }_{\beta }(t).$$

Затем исследуем, не может ли какая-либо функция ${\lambda }_{\alpha }(t)$ или ${\mu }_{\beta }(t)$ с течением времени обратиться в нуль и затем стать отрицательной. Если ${\lambda }_{\alpha }(t),{\mu }_{\beta }(t)$ не принимают отрицательных значений, задача кончена. Если же для какого-дибо момента $t=t_1$ одна или несколько функций ${\lambda }_{\alpha }(t),{\mu }_{\beta }(t)$, обратившись в нуль, затем становятся отрицательными, то найденные нами интегралы уравнений движения годятся лишь для промежутка времени от $t_0$ до $t_1$. Чтобы найти дальнейшее движение, надо интегрировать уже укороченные уравнения, не содержацие членов с множителями, принимающими отрицательные значения; при этом за начальные данные надо будст взять
$$\begin{array}{l}\stackrel{`}{t}=t_1,x_v=x_v\left(t_1\right),y_v=y_v\left(t_1\right),z_v=z_v\left(t_1\right),\\ {\ddot{x}}_{\mathrm{v}}={\dot{x}}_{\mathrm{v}}\left(t_1\right),{\dot{y}}_{\mathrm{v}}={\dot{y}}_v\left(t_1\right),{\dot{z}}_{\mathrm{v}}={\dot{z}}_{\mathrm{v}}\left(t_1\right).\end{array}$$

Затем надо снова произвести исследование функций, определяющих после новой интеграции величины ${\lambda }_{\alpha }$ и ${\mu }_{\beta }$. Может случиться также, что система, не лежавшая на какой-либо неудерживающей связи, например $f_{\alpha }$, снова придёт на неё, т. е. наступит момент, когда окажет: $f_{\alpha }eq0$. Тогда может произойти явление, назызаемое ударом, т. е. скорости точек системы могут измениться мгновенно. Как определить эти изменения, увидим впоследствии. Во всяком случае к новым скоростям после удара мы должны отнестись, как к новым начальным данным и так продолжать наше исследование и переход от уравнений одного типа к уравнениям другого типа, пока не исчерпаем, если сможем, все мо̄менты, когда или какие-либо из множителей ${\lambda }_2$ или ${\mu }_3$ становятся отрицательными, или когда ослабленная связь приходит в состояние напряжения.