96. Исследование криволинейного движения частицы, сводящееся к задаче о нескольких прямолинейных движениях отдельных точек. Если равнодействующая сил, приложенных к движущейся частице, такова, что
\[
\begin{array}{c}
F_{x}=f_{1}(t, x, \dot{x}), \\
F_{y}=f_{2}(t, y, \dot{y}), \\
F_{z}=f_{3}(t, z, \dot{z}),
\end{array}
\]

то, очевидно, каждое из уравнений движения
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}=F_{x}=f_{1}(t, x, \dot{x}), \\
m \ddot{y}=F_{y}=f_{2}(t, y, \dot{y}), \\
m \ddot{z}=F_{z}=f_{3}(t, z, \dot{z})
\end{array}
\]

может быть проинтегрировано независимо от других, и, следовательно, задача о движении рассматриваемой частицы сводится к решению трёх задач о прямолинейном движении трёх точек, именно, проекций движущейся частицы на оси координат. Прбстейшие из таких движений мы и рассмотрим в настоящей главе.
97. Криволинейное движение весомой частицы. Направим ось $z$ вертикально кверху, ускорение силы тяжести обозначим через $\boldsymbol{g}$; тогда уравнения движения будут
\[
m \ddot{x}=0, \quad m \ddot{y}=0, \quad m \ddot{z}=-m g .
\]

Непосредственно проинтегрировав их и определив произвольные постоянные, получаем
\[
\begin{array}{l}
x=\dot{x}_{0}+\dot{x}_{0}\left(t-t_{0}\right) ; \\
y=y_{0}+\dot{y}_{0}\left(t-t_{0}\right) ; \\
z=z_{0}+\dot{z}_{0}\left(t-t_{0}\right)-\frac{g}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Исключив время, находим уравнения траектории:
\[
\begin{aligned}
y-y_{0} & =\frac{\dot{y}_{0}}{\dot{x}_{0}}\left(x-x_{0}\right), \\
z-z_{0} & =\frac{\dot{z}_{0}}{\dot{y}_{0}}\left(y-y_{0}\right)-\frac{g}{2} \frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{\dot{y}_{0}^{2}} .
\end{aligned}
\]

Возьмём начало координат в начальном положении частицы, тогда $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$; плоскость $O y z$ проведём через направление начальной скорости; в таком случае будет $\dot{x}_{0}=0$; угол начальной скорости $\boldsymbol{v}_{0}$ с осью $y$ (угол возвышения) обозначим через $\alpha$; причём $\alpha$ считаем от оси $y$-ов к положительному направлению оси $z$ (кверху). Тогда предыдущие уравнения траектории примут вид
\[
x=0 ; \quad z=\operatorname{tg} \alpha \cdot y-\frac{g y^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha} .
\]

Как видим, траекторией служит вертикальная парабола, обращённая выпуклостью кверху.

Положим, что данная материальная частица представляет собой артиллерийский снаряд, движущийся в безвоздушном пространстве; решим такую задачу: найти угол возвышения, под которым надо пустить снаряд из начала координат с данной начальной скоростью для того, чтобы он попал в данную точку ( $\eta, \zeta$ ) плоскости Oyz.

Положив в уравнении (17.1) $y=\eta$ и $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{\zeta}$ и решив его относительно $\operatorname{tg} \alpha$, мы найдём для $\operatorname{tg} \alpha$ два значения:
\[
\operatorname{tg} \alpha=\frac{v_{0}^{2}}{g \eta} \pm \frac{1}{g \eta} \sqrt{-2 g v_{0}^{2}\left(\xi+\frac{g \eta^{2}}{2 v_{0}^{2}}-\frac{v_{0}^{2}}{2 g}\right)} .
\]

Таким образом, мы можем довести снаряд до назначенной цели по двум траекториям (настильной и навесной). Но для того, чтобы задача была возможна, данная точка $(\eta, \zeta)$ долкіна лежать внутри параболы
\[
\zeta+\frac{g \eta^{2}}{2 v_{0}^{2}}-\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=0 .
\]

Для точек, лежащих на этой параболе, обе траектории, настильная и навесная, сливаются в одну.

98. Притяжение частицы неподвижным центром прямо пропорционально расстоянию. Поместим притягивающий центр в начале координат. Тогда, если $\boldsymbol{r}$ – радиус-вектор частицы, то сила $\boldsymbol{F}$, к ней приложенная, будет иметь выражение
\[
F=-k^{2} m r .
\]

Следовательно, по сокращении на $m$, получаем такие уравнения движения:
\[
\ddot{x}=-k^{2} x ; \quad \ddot{y}=-k^{2} y ; \quad \ddot{z}=-k^{2} z .
\]

Общий интеграл первого уравнения был уже нами найден [см. формулу (16.19) на стр. 147]:
\[
x=x_{0} \cos k t+\frac{\dot{x}_{0}}{k} \sin k t .
\]

Аналогично получим интегралы второго и третьего уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
y=y_{0} \cos k t+\frac{\dot{y}_{0}}{k} \sin k t, \\
z=z_{0} \cos k t+\frac{\dot{z}_{0}}{k} \sin k t .
\end{array}\right\}
\]

Направим ось $x$ так, чтобы она проходила через начальное положение частицы; в таком случае будет $y_{0}=z_{0}=0$; кроме того, проведём плоскость $O x y$ через направление начальной скорости; тогда будет $\dot{z}_{0}=0$, и уравнения (17.2) и (17.3) примут вид
\[
x=x_{0} \cos k t+\frac{\dot{x}_{0}}{k} \sin k t, \quad y=\frac{\dot{y}_{0}}{k} \sin k t, \quad z=0 .
\]

Последнее уравнение показывает, что траектория; которую описывает

частица, будет плоская кривая. Чтобы исключить время из первых двух уравнений, разрешаем их сперва относительно $\sin k t$ и $\cos k t$ :
\[
\sin k t=\frac{k y}{\dot{y}_{0}} ; \quad \cos k t=\frac{1}{x_{0}}\left(x-\frac{\dot{x}_{0} y}{\dot{y}_{0}}\right) ;
\]

найденные выражения возвышаем в квадрат и складываем; получаем:
\[
\frac{k^{2} y^{2}}{\dot{y}_{0}^{2}}+\frac{1}{x_{0}^{2}}\left(x-\frac{\dot{x}_{0} y}{\dot{y}_{0}}\right)^{2}=1 .
\]

Это – уравнение кривой второго порядка, отнесённое к центру; составив дискриминант $\Delta$, убеждаемся, что он отрицателен:
\[
\Delta=4 \frac{\dot{x}_{0}^{2}}{\dot{y}_{0} x_{0}^{4}}-\frac{4}{x_{0}^{2}}\left(\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{\dot{y}_{0}^{2} x_{0}^{2}}+\frac{k^{2}}{\dot{y}_{0}^{2}}\right)=-\frac{4 k^{2}}{\dot{y}_{0}^{2} x_{0}^{2}}<0 .
\]

Таким образом, траекторией служит эллипс, центр которого лежит в притягивающем полюсе.

99. Отталкивание частицы неподвижным центром прямо пропорционально расстоянию. Берём опять начал координат в центре отталкивания; тогда подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, приходим к уравнениям:
\[
\ddot{x}=k^{2} x ; \quad \ddot{y}=k^{2} y ; \quad \ddot{z}=k^{2} z .
\]

Общий интеграл первого ‘уравнения мы уже находили [формула (16.24) на стр. 148]:
\[
x=x_{0} \operatorname{ch} k t+\frac{\dot{x}_{0}}{k} \operatorname{sh} k t,
\]

при условии, что $t_{0}=0$. По аналогии имеем для других координат
\[
\begin{array}{l}
y=y_{0} \operatorname{ch} k t+\frac{\dot{y}_{0}}{k} \operatorname{sh} k t, \\
z=z_{0} \operatorname{ch} k t+\frac{\dot{z}_{0}}{k} \operatorname{sh} k t .
\end{array}
\]

Проведём ось $O x$ через начальное положение частицы тогда будет $y_{0}=z_{0}=0$; плоскость $O x y$ проведём через начальную скорость, в таком случае будет $\dot{z}_{0}=0$; уравнения движения примут вид
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0} \operatorname{ch} k t+\frac{\dot{x}_{0}}{k} \mathrm{sh} k t, \\
y=\frac{\dot{y}_{0}}{k} \mathrm{sh} k t, \\
z=0 .
\end{array}
\]

Отсюда, проведя исследование подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, лег’ко убеждаемся, что траекторией служит гипербола с центром в отталкивающем полюсе:
\[
\frac{1}{x_{0}^{2}}\left(x-\frac{\dot{x}_{0}}{k}\right)^{2}-\frac{k^{2} y^{2}}{\dot{y}_{0}^{2}}=1 .
\]