196. Предварительные замечания. В общем курсе динамики системы изложены так называемые законы динамики, т. е. некоторые общие теоремы, указывающие, как изменяются скорости частиц системы в зависимости от данных активных сил и от реакций связей. Это были: закон изменения количества движения, закон изменения кинетического момента и закон изменения кинетической энергии. Каждая такая теорема в частном предположении об активных силах и реакциях системы может непосредственно привести к интегралам уравнений движения: к закону сохранения количества движения (или сохранения движения шентра масс), к закону сохранения кинетического иомента, к закону сохранения энергии. Но зато, вообще говоря, ни один из названных законов не в состоянии заменнть собой всей совокупности уравнений движения системы. Другими словами, движение системы в общем случае не может быть. вполне охарактеризовано одним каким-либо из упомянутых законов.

Те общие положения, которыми мы желаем теперь заняться и которые носят название принципов, или начал, отличны от законов динамики. Конечно, и принципы выражают собой некоторые свойства движения системы, но ни один из них не даёт интегралов уравнений движения, хотя бы при частных свойствах сил системы, если все величины, входящие в выражение начала, сохраняют своё общее значение. Зато, с другой стороны, каждый принцип вполне характеризует движение системы и эквивалентен всей системе дифференциальных уравнений движения, т. е. из каждого прияципа соответственные уравнения движения могут быть выведены как следствия.

Bсе принципы по форме своей разделяются на две категории: на принципы дифференциальные и интегральные. К первым относятся: принцип Даламбера (D’Alembert), принцип виртуальных перемещений [принцип Лагранжа (Lagrange)], принцип наименьшего принуждения. Bсе

дифференциальные принципы представляются дифференциальными равенствами или неравенствами. Ко вторым принадлежат: принцип стационарного действия в форме Гамильтона (Hamilton), принцип стационарного действия в форме Лагранжа, принцип Гельмгольца (Helmholtz). Все интегральные принципы выражаются свойствами некоторых интегралов. Принципы первой категории более обчего характера: они прилагаются к системам со связями как конечными, так и дифференциальными, причём последние могут быть интегрируемыми и неинтегрируемыми. Принципы второй категории несправедливы для систем с неинтегрируемыми дифференциальными связями, т. е. они верны только для голономных систем.

Законы движения получаются из принципов как следствия, если сделать частные предположения о тех произвольных величинах, которые заключаются в выражениях принципов.

197. Принцип Даламбера. Вернёмся к уравнениям движения несвободной системы ( $\$ 177$ ), подчинённой $a$ конечным связям
\[
f_{a}\left(x_{v}, y_{v}, z_{v}, t\right)>0 \quad(z=1,2, \ldots, a)
\]

и $b$ дифференциальным связям типа
\[
\varphi_{\beta}=\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot v_{v}+D_{\beta}>0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) .
\]

Если все связи находятся в напряжении, то уравнения движения могут быть записаны в таком виде:
\[
F_{v}-m_{v} w_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{v}^{(\beta)}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть, как и прежде ‘( $\$ 171$ ), ठr, обозначает вариацию радиуса-вектора $r$, частицы $m_{v}$, т. е. виртуальное перемещение этой частицы. Если все связи – удерживающие, варнации і $r_{v}$ должны удовлетворять условиям:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\delta f_{\alpha}=\sum_{
u=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \delta r_{v}=0 & (\alpha=1,2, \ldots, a)_{
u} \\
\delta \varphi_{\beta}=\sum_{v=1}^{n} B_{
u}{ }^{(\beta)} \cdot \delta r_{
u}=0 & (\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}\right\}
\]

Если же которые-нибудь из связей неудерживающие, например. $f_{\alpha}$ и $\varphi_{\beta}$, то
\[
f_{\alpha} \gg 0, \quad \varphi_{\beta} \gg 0,
\]

и условия, которым подчинены вариции, заменятся следующими:
\[
\partial f_{a}>0, \quad \delta \varphi_{3}>0 ;
\]

при этом знак равенства должен ставиться в случае неосвобождающих перемещений, а знак \”больше\”-в случае освобождающих. Вспомним также, что множители связей $\lambda_{a}$ и $\mu_{3}$ для неудерживающих связей не могут быть отрицательными, т. е.
\[
\lambda_{\alpha} \gg 0, \quad \mu_{\beta}>0 \text {. }
\]

Умножим каждое из уравнений (34.2) скалярно на дт , и после этого возьмём сумму всех уравнений; при этом в окончательном результате переставим порядки суммирований в третьем и четвёртом слагаемых; получим:
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right) \cdot \delta r_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \delta f_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \delta \varphi_{\beta}=0 .
\]

Если все связи удерживающие, то, согласно формулам (34.3), члены, содержащие множителей связей, обратятся в нуль; если хотя бы некоторые связи неудерживающие, упомянутые члены с множителями, в силу соотношений (34.4), или нули, или положительны. На основании сказанного из выражения (34.5) следует, что для системы с удерживающими связями справедливо равенство
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}-m, w_{v}\right) \cdot \delta r_{v}=0,
\]

а для системы, у которой хотя бы некоторые связи неудерживающие, нмеет место равенство, соединённое с неравенством
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right) \cdot \delta r_{v}<0 ;
\]

знак равенства должен ставиться в случае неосвобождающих виртуальных перемещений и знак «меньше\” в случае освобождающих. Формулы (34.6) и (34.7) представляют собой аналитическое выражение принципа Даламбера (D’Alembert). По причинам, которые будут разъяснены ниже (§198), величина $F_{v}-m_{v} w_{v}$ называется потерянной силой. Мы видим, что сумма элементарных работ потерянных сил на любом виртуальном перемещении соответственно равна нулю или не положительна, смотря по тому, будут ли все связи удерживающие или среди них есть и неудерживающие. Впоследствии (§198) принцип Даламбера мы выразим в иной форме. Уравнение (34.6) называют общим уравнением механики.

Мы вывели принцип Даламбера как следствие из уравнений движения (34.2). Можно поступить обратно: принять за исходное положение приннип Даламбера и из него получить как следствие уравнения движения (34.2). Допустим сперва, что система подчинена удерживающим связям:
\[
f_{\alpha}=0, \quad \varphi_{\beta}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a ; \quad \beta=1,2, \ldots, b),
\]

и пусть, следовательно, соблюдается равенство (34.6). Если бы все вирсвободной, то равенству (34.6) можно было удовлетворить, лишь положив:
\[
\boldsymbol{F}_{v}-m_{v} \boldsymbol{w}_{v}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n) ;
\]

это и были бы уравнения движения свободной материальнои системы. Но у рассматриваемой несвободной системы виртуальные перемещения стеснены условиями (34.3); следовательно, только $3 n-a$-b проекций перемещений, или, что то же, вариаций координат, произвольны, или независимы, остальные же являются их функциями. Для исключения ва-

риаций координат мы воспользуемся тем же приёмом, который применили в § 175. А именно, умножим каждое из равенств (34.3) соответственно на некоторые множители $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{\beta}$ и прибавим их после этого к равенству (34.6); мы вернёмся к равенству (34.5):
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right) \cdot \delta r_{v}+\sum_{i=1}^{a} \lambda_{\alpha} \delta f_{a}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \delta \varphi_{\beta}=0 .
\]

В более подробной записи, расположив члены по вариациям координат и перейдя к обозначениям (32.2) на стр. 320 , мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{3 n}\left(X_{v}-m_{v} \ddot{\xi}_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{\beta v}\right) \delta \xi_{v}=0 .
\]

Введёнными $a+b$ неопределёнными множителями распорядимся теперь так, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях координат, число которых также равно $a+b$, обратились в нули; тогда у нас останутся лишь члены с независимыми вариациями координат, а следовательно, коэффициенты при них также должны быть нулями, иначе последнему равенству нельзя было бы удовлетзорить при любых значеннях этих независимых вариаций. Мы видим, что опять, как и в § 175, формально исчезает различие между зависимыми и независимыми вариациями координат; приходится коэффиценты при всех вариациях приравнивать нулю. Выполнив указанные действия, мы от выражения (34.8) вернёмся к уравнениям (34.2). т. е., исходя ‘из принципа Даламбера (34.6), мы действительно получили дифференциальные уравнения движения системы.

Когда между связями системы есть и неудерживающие, рассуждения придётся несколько видоизменить. В рассматриваемом случае выражение принципа Даламбера имеет вид (34.7), а вариации координат подчинены условиям (34.4). Дадим сначала системе какое-либо неосвобождающее премещение. Тогда, согласно формулировке принципа Даламбера, в формулах (34.7) и (34.4) следует сохранить лишь знак равенства. Отсюда тем же путём, как и для удерживающих связей, мы приходим к уравнениям движения (34.2). Теперь заметим, что коэффициенты при вариациях координат в уравнении (34.9) не зависят от этих вариаций; следовательно, нуль в правой части уравнения (34.9), или, что то же, уравнения (34.8), получится и при освобождающем перемещении. Но так как в выраженни (34.7) в рассматриваемом случае следует взять знак равенства, соединённого с неравенством, то мы отсюда получаем следующее добавочное условие:
\[
\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \delta f_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \delta \varphi_{\beta} \geqslant 0 .
\]

Пусть мы сперва дали системе такое виртуальное перемещение, что в ослабление пришла только одна связь $f_{\alpha}$; тогда в левой части последнего неравенства сохранится лишь один член $\lambda_{\alpha} \delta f_{\alpha}$, откуда, ввиду положительности множителя $\delta f_{\alpha}$, мы должны сделать вывод, что $\lambda_{a}$ нсотрицдтельно. Повторив это рассуждение в отношении остальных множителей неудерживающих связей, приходим к общему результату, что все эти множители должны быть неотрицательны. При этом условии, следовательно, имеют место уравнения движения (34.2). Заметим, что вышеприведён-

ные неравенства для множителей связей вполне соответствуют тем, которые были установлены в § 176 .

Раз из принципа Даламбера вытекают дифференциальные уравнения движения системы, то и общие законы динамики (гл. XXXI) могут рассматриваться как его следствия. Для некоторых специальных классов связей общие законы динамики могут быть выведены и непосредственно из выражения (34.6) принципа Даламбера, причём в той суженной формулировке, в какой они будут выражены, в них, как и в уравнение Даламбера (34.6), будут входить только активные силы системы.

Рассмотрим сначала случай, когда связи допускают виртуальное поступательное перемещение систеиы в некотором направлении $s^{0}$, т. е. пусть перемещения $\delta r$, всех частиц могут быть выбраны одинаковыми:
\[
\delta r_{
u}=\delta s, s^{0} \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

Покажем, что производная $\dot{K}_{s}$ от проекции количества движения системы на это направление равна проекции $R_{s}^{(e)}$ главного вектора внешних активных сил на это же направление, т. е. что для указанного направления справедлив закон изменения количества движения (в приведённом суженном смысле). Для доказательства вставим выражение (34.10) для дг. в формулу (34.6). Сократив получснное уравнение на $\delta$, мы можем результат записать в следующем виде:
\[
\frac{d}{d t}\left[\left(\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v}\right) \cdot s^{0}\right]=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot s^{0} .
\]

Отсюда, так как внутренние силы в сумме попарно дают нули, получаем:
\[
\dot{K}_{s}=R_{s}^{(e)} .
\]

Это равенсгво и выражает закон изменения количества движения.
Если связи допускают виртуальное вращательное перемещение системы вокруг некоторой оси $O z$, то в отношении этой оси справедлив закон изменения кинетического момента применительно к активным силам: производная $\dot{G}_{z}$ кинетического момента равна гдавному моменту $L_{z}^{(e)}$ внешних .активных сил. В самом деле, основываясь на формуле (9.14) на стр. 87 для скорости $\boldsymbol{v}$. частицы вращающегося тела, мы можем написать следующее выражение для виртуального перемещения частицы в рассматриваемом нами случае:
\[
\hat{\delta} r_{
u}=\delta x z^{0} \times r_{
u},
\]

где $\delta \alpha$ есть бесконечно малый угол поворота системы вокруг оси $O z$. На этом основании уравнение (34.6) после преобразований векторноскалярных произведений и других очевидных упрощений даӗт:
\[
\frac{d}{d t}\left[\left(\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times m_{v} v_{v}\right) \cdot z^{0}\right]=\left(\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v}\right) \cdot z^{0} .
\]

Моменты внутренних сил в сумме дают попарно нули; поэтому из последнего уравнения и получается выражение закона изменения кинетического момента:
\[
\dot{G}_{z}=L_{z}^{(e)} .
\]

Пусть теперь конечные связи системы явно не зависят от времени, а дифференциальные связи однородны относительно скоростей. Покажем, что в этом случае справедлив закон изменения кинетической энергии для активных сил, т. е. дифференциал кинетической энергии $d T$ равен элементарной работе активных сил $\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v}$. В самом деле, в указанном случае действительное перемещение принадлежит к числу виртуальных (§171); поэтому в равенстве (34.6) можно положить
\[
\delta r_{v}=d r_{v} .
\]

После этого тем же способом, каким закон изменения кинетической энергии был выведен в § 185 , мы получаем:
\[
d T=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{v}
\]

Вообще, всякому преобразованию уравнений движения (34.2) соответствует определённое преобразование выражения (34.5). В виде примера покажем ещё, как из равенства (34.5) вывести уравнения Лагранжа 2 -го рода (32.42). Перейдемм в равенстве (34.5) к обозначениям (32.2) на стр. 320 ; имеем
\[
\sum_{v=1}^{3 n}\left(X_{v}-m_{v} \ddot{\xi}_{v}\right) \delta \xi_{v}=0 .
\]

Пусть все связи системы конечны. Вместо $\xi_{v}$ введём $s$ новых координат $q_{\sigma}$, независимых между собой, положив
\[
\varepsilon_{v}=\xi_{v}\left(q_{\sigma}, t\right) \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n ; \sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

По условию, уравнения связей (34.1) после подстановки этих функций обращаются в тождества; следовательно, наряду с переменными $q_{\star}$ и вариации их $\delta q_{\sigma}$ вполне произвольны. В выражении (34.11) в соответствии с последним равенством положим:
\[
\delta \dot{\varepsilon}_{\mathrm{v}}=\sum_{\mathrm{o}}^{S} \frac{\partial \varepsilon_{\mathrm{v}}}{\partial q_{\mathrm{o}}} \delta q_{\mathrm{s}}
\]

тогда мы получим;
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} \delta q_{\sigma}\left(\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}-\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \ddot{\xi}_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}\right)=0
\]

Далее, имеем
\[
\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \xi_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}}=\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \xi_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{b}}-\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \xi_{v} \frac{d}{d t} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Теперь таким же путём, каким были получены формулы (32.23) и (32.24) на стр. 326 , находим:
\[
\frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{0}}=\frac{\partial \xi_{\mathrm{y}}}{\partial \dot{q}_{0}} \quad \text { и } \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial \xi_{\mathrm{v}}}{\partial q_{0}}=\frac{\partial \xi_{\mathrm{v}}^{2}}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Предыдущее выражение на этом основании перепишется так:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \ddot{\xi}_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{a}}=\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \dot{\xi}_{v} \frac{\partial \dot{\xi}_{v}}{\partial \dot{q}_{s}}-\sum_{v=1}^{3 n} m_{v} \dot{\xi}_{v} \frac{\partial \dot{E}_{v}}{\partial q_{0}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{a}}-\frac{\partial T}{\partial q_{0}} .
\]

Припомним, наконец, обозначение (32.28) на стр. 327:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \frac{\partial \xi_{v}}{\partial q_{0}}=Q_{\sigma}
\]

На основании соотношений (34.13) и (34.14) уравнение (34.12) примет вид
\[
\sum_{a=1}^{s} \delta q_{\sigma}\left(Q_{0}+\frac{\partial T}{\partial q_{s}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{a}}\right)=0 .
\]

Отсюда ввиду независимости вариацнй $\delta q_{\text {。 }}$ мы выводим:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}}=Q_{0} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s),
\]
т. е. мы получили уравнения Лагранжа 2-го рода.

198. Принцип виртуальных перемещений. Под положением равновесня данной материальной системы мы разумеем такое её положение, в котором рассматриваемая система может неопределённое время оставаться в покое. Не при всяких активных силах и не при всяких связях система может иметь положения равновесия. Чаще всего приходится искать положения равновесия в случае, когда ни активные силы, ни связи не зависят явно от времени.

Если система находится в состоянни равновесия, то скорости частиц всё время равны нулю; следовательно, их ускорения также равны нулю:
\[
w_{v}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

Подставив эти значения ускорений в формулы (34.6) и (34.7), выражающие принцип Даламбера, мы приходим к выводу, что в положении равновесия системы сумма элементарных работактивных сил на любом виртуальном перемещении должна равняться нулюв случае удерживающих связей и должна равняться нулю илибытьменьшенуля, если среди связей естьнеудерживающие, т. е. соответственно
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}=0
\]

и
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v} \Leftarrow 0 .
\]

Найденный частный вид принципа Даламоера носит название принципа виртуальных перемещений; на нём основан самый общий приём нахождения положений равновесия системы. В дальнейшем мы подробно

займёмся принципом виртуальных перемещений; сейчас же мы упомянули о нём лишь для того, чтобы с его помощью дать статическую форму принципу Даламбера.

Предварительно обратим внимание на следующее. Пусть $m_{v}$ – некоторая частица системы (фиг. 115) и пусть $F_{v}$ – равнодействующая приложенных к ней активных сил. Если бы частица была свободной, то от этой силы она получила бы ускорение $\frac{F_{v}}{m_{v}}$. Но на самом деле ускорение $w_{v}$ частицы будет иное, а именно, такое, какое сообщается ей равнодействующей $S_{v}$ активной силы $F_{v}$ и реакции $\boldsymbol{R}_{\gamma}$ связей:
\[
w_{v}=\frac{s_{v}}{m_{v}},
\]

где
\[
S_{v}=F_{v}{ }^{*}+R_{v} \text {. }
\]

Сила $S_{y}$ называется эффективной сиФиг. 115. лой. Введём в рассмотрение векторную величину $\boldsymbol{J}_{
u}$, равную по модулю эффективной силе и ей противоположную по направлению; эта фиктивная сила носит название даламберовой силы инерции:
\[
J_{v}=-S_{v}=-m_{v} \boldsymbol{w}_{v} .
\]

Разность $P_{v}$ между активной силой и эффективной силой, или, что то же. сумма активной силы и даламберовой силы инерции, называется потерянной силой:
\[
P_{v}=F_{v}-S_{v}=F_{v}+J_{v}=F_{v}-m_{v} w_{v} .
\]

Вернёмся к соотношениям (34.6) и (34.7), выражающим принцип Даламбера. Если в них ввести потерянные силы, то они перепишутся так:
\[
\sum_{v=1}^{n} P_{v} \cdot i r_{v}=0
\]

если все связи удерживающие, и
\[
\sum_{v=1}^{n} P_{v} \cdot i r_{v}<0
\]

если среди связей есть неудерживающие. Написанные формулы представляют собой выражение принципа виртуальных перемещений для системы, находящейся под действием потерянных сил. Таким образом, действительно, принципу Даламбера дано статическое выражение: сумма элементарных работ потерянных сил (или, что то же, активных сил и сил инерции) на любом виртуальном перемещении равна нулю или меныше нуля. Можно также сказать, что потерянные силы уравновешиваются реакциями связей. Этим хотят сказать, что если бы активные силы и связи системы перестали изменяться со временем и мы вместо активных сил приложили к частицам системы потерянные силы, а частицы системы остановили, то система осталась бы в покое. К этому

утверждению можно также прийти, рассматривая фиг. 115. Действительно, сумма потерянной силы и реакции для каждой частицы равна нулю:
\[
\boldsymbol{P}_{v}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{v}}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

При высказанных условиях относительно неизменяемости со временем активных сил и связей отсюда вытекает, что частицы системы не получат ускорений, а следовательно, останутся в покое, если их скорости равнялись нулю. Если в последнее равенство вставить выражение потерянной силь по формуле (34.16), то мы получим иную формулировку принципа Даламбера:
\[
F_{v}+R_{v}+J_{v}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n),
\]
r. е. активная сила, реакция исила инерции уравновешиваются длякаждой частицы системы.

В последней формупировке основного уравнения динамики частицы не нужно забывать, что движение частицы происходит под действием только силы $S_{v}$. Что же касается даламберовой силы инерции, то она нами введена с целью представить основное уравнение динамики частицы в форме уравнения уравновешивающейся системы сил, действующих на отдельную частицу, т. е. в форме уравнения статики. Этим чисто математическим приёмо достигается возможность перенесения математических методов решения задач статики на задачи динамики. Поскольку даламберова сила инерции не , входит в разряд действительно приложенных к частице сил, она является фиктивной силой.

Принцип виртуальных перемещений получился у нас, как частное следствие из принципа Даламбера. Обратно, если принцип виртуальных перемещений принять за исходную истину, из него как следствие получается принцип Даламбера. Действительно, согласно формуле (34.19) потерянные силы и реакции находятся в равновесии, а потому сумма их элементарных работ на любом виртуальном перемещении равна нулю. Но сумма элементарных работ реакций сама по себе равна нулю. Следовательно, равна нулю сумма элементарных работ потерянных сил, а это и есть, как мы видели, одно из выражений принципа Даламбера.

Таким образом, в нашем распоряжении два пути к получению уравнений движения несвободной системы. Один путь тот, которым мы шли, а именно, сначала были составлены выражения для реакций связей, затем были написаны уравнения движения несвободной системы, а из них уже были получены как следствия принцип Даламбера и принцип виртуальных перемещений. Другой путь был бы следующий: за основное положение принимается или выводится из какого-либо иного определения или условия принцип виртуальных перемещений; следствием из него служит приниип Даламбера, а уже из последнего внводятся уравнения движения несвободной системы и выражения для реакций связей. Оба пути одннаково законны и правильны; в обоих необходимо исходить из некоторого основного положения, явно или скрыто введённого в рассуждения. У нас, например, таким основным положением служит условие (30.9) на стр. 293 о работе реакций идеальных связей. Когда мы будем говорить подробнее о принципе виртуальных перемещений, а также о доказательствах, данных некогорыми авторами этому предложению, то ещё раз вернемся к затронутому вопросу и укажем, какие в приведённых доказательствах положе-

ния приняты в качестве основных. Заметим ещё здесь, что не только принцип Даламбера или принцип виртуальных перемещений можно положить в основу динамики несвободной системы; за исходную точку может быть принят любой из принципов, с которыми мы нознакомимся в последующем изложении, например прияцип Гамильтона. В пределах приложимости данного принципа может быть построена вся соответственная динамика, например в случае принципа Гамильтона динамика систем без неинтегрируемых дифференциальных связей.

199. Принцип Гаусса, или принцип наименьшего принуждения. К принципу Даламбера тесно примыкает принцип Гаусса (Gauss), или принцип наименьшего принуждения. Рассмотрим произвольную материальную систему, подчинённую идеальным связям, конечным и дифференциальным. Пусть частица $m_{v}$ системы в момент времени $t$ находится в положении $M_{v}$ и имеет скорость $\boldsymbol{v}_{v}$ и ускоренне $w_{v}$ (фиг. 116). Если бы на частицу $m_{v}$ не действовали никакие силы, то за некоторый малый промежуток времени $\Delta t$ она бы совершила перемещение

Фиг. 116.
\[
\bar{M}_{v} A_{v}=\boldsymbol{v}_{v} \Delta t .
\]

Если бы на частицу действовала только активная сила $\boldsymbol{F}_{\mathbf{y}}$, она за тот же промежуток времени $\Delta t$ совершила бы некоторое другое перемещение $\bar{M}_{v} \bar{v}_{v}$; пи этом вектор $\overline{A_{v} B_{v}}$ как девиация частицы в этом движении $(\S 45$ ) имел бы выражение
\[
\overline{A_{v} B_{v}}=\frac{1}{2} \frac{\boldsymbol{F}_{\mathrm{v}}}{\boldsymbol{m}_{\mathrm{v}}} \Delta \boldsymbol{t}^{2},
\]

где $\frac{\boldsymbol{F}_{v}}{m_{v}}$ есть ускорение, сообщаемое частице силой $\boldsymbol{F}_{v}$. Пусть, далее, под действием активной силы $\boldsymbol{F}_{v}$ и реакции связей $\boldsymbol{R}_{\mathrm{v}}$ частица в. действительности совериает за промежуток времени $\Delta t$ перемещение $\bar{M}_{v} \bar{C}_{v}$. Tогда вектор $\overline{A_{v} C_{v}}$ есть девиация частицы в действительном движении и потому он равен
\[
\overline{A_{v} C_{v}}=\frac{1}{2} w_{v} \Delta t^{2}
\]

Наконец, пусть $\overline{M_{v} D}$, есть произвольное, отличное от $\overline{M_{v} C_{\mathrm{v}}}$ возможное перемещение частицы за промежуток времени $\Delta t$, т. \”е. перемещение, допускаемое связями, вообе говоря, изменяющимися (§ 170).

Векторы $\bar{B}_{v} C_{v}$ и $\overline{B_{v} D_{v}}$ представляют собой отклонения частицы $m_{v}$ от свободного движения, которые она получает за промежуток времени $\Delta t$ при действительном движении и при вышеуказанном возможном движении. Эти отклонения связаны между собсй следующим образом:
\[
\overline{B_{v} D_{v}}=\overline{B_{v} C_{v}}+\overline{C_{v} D_{v}} .
\]

Отсюда мы имеем

Умножив это равенство на массу $m$, частицы и взяв затем сумму полученных равенств для всех частиц системы, мы найдём:

Нетрудно убедиться, что последняя сумма в правой части равна нулю. Действительно, вектор $\bar{C}_{\gamma} D_{v}$, как разность между возможным и действительным (т.,е. тоже возможным) перемещениями, представляет собой некоторое виртуальное перемещение $\delta r_{v}$ частицы:
С другой стороны, вектор $\overline{B_{v} C_{v}}$ может быть представлен следующим образом
\[
\overline{B_{v} C_{v}}=\overline{A_{v} C_{v}}-\overline{A_{v} B_{v}}=\frac{\Delta t^{2}}{2}\left(w_{v}-\frac{F_{v}}{m_{v}}\right)=-\frac{\Delta t^{2}}{2 m_{v}} \dot{P}_{v},
\]

где $\boldsymbol{P}_{\vee}$ есть потерянная сила частицы $m_{v}$ [см. формулу (34.16)]. На основании этих двух выражений, а также на основании принципа Даламбера в форме (34.17) и (34.18) мы получаем:

Знак неравенства здесь может появиться только в том случае, если на виртуальном перемещении системы пришли в ослабление такие связи, которые не пришли в ослабление на действительном перемещении (ср. $\$ 171$ ). Иными словами, связи, приходящие в ослабление на действительном перемещении, не должны вовсе приниматься в расчёт. Как следствие из равенства (34.20), мы теперь получасм такое соотношение:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v}{\overline{B_{v}}}_{v}^{2}>\sum_{v=1}^{n} m_{v}{\overline{B_{v} C_{v}}}^{2}
\]

Доказанное неравенство и приводит к принципу Гаусса.
Рассматривая отклонение частицы от свободного движения, Гаусс принимает за меру этого отклонения так называемое принуждение $Z_{v}$, т. е. следующую величину, пропорциональную квадрату отклонения $\overline{B C}$ :
\[
Z_{\mathrm{v}}=\frac{2}{\Delta t^{4}} m_{v}{\overline{B_{v} C_{v}}}^{2} .
\]

Под принуждением системы понимается сумма принуждений её частиц. Назвав принуждения системы в действительном и выше упомянутом возможном движениях соответственно $Z$ и $Z^{\prime}$, мы имеем, следовательно:

Сопоставив эти выражения с неравенством (34.22), мы заключаем, что
\[
Z<Z^{\prime},
\]
т. е. в любой момент времени для. нстинного цвижения, сравнительно с кинематически возможными цвіжениями, принуждение имеет наимень-

шее значение; движения, с которыми мы сравниваем истинное движение, должны быть не только согласными с теми же связями, при которых происходит истинное движение, но должны характеризоваться теми же исходными положениями частиц и теии же начальными скоростями. В этом и состоит принцип Гаусс́а.

На основании формулы (34.21) принуждение может быть представлено в следующем виде:
\[
Z=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} \frac{1}{m_{v}}\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right)^{2}
\]

или, в декартовых координатах (§ 187),
\[
Z=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{3 n} \frac{1}{m_{v}}\left(X_{v}-m_{v} \vec{k}\right)^{2} .
\]

Из условия минимальности принуждения для действительного движения следует, что первая вариация принуждения равна нулю; при этом, согласно формулировке принципа, вариироваться должны лишь ускорения. Таким образом; мы получаем:
\[
\delta Z=\sum_{
u=1}^{3 n}\left(X_{
u}-m_{
u} \ddot{\xi}_{v}\right) \partial \tilde{\varepsilon}_{
u}=0 ;
\]

вариации ускорений связаны здесь соотношениями
\[
\left.\begin{array}{cc}
\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \delta \xi_{v}>0 & (\alpha=1,2, \ldots, a) \\
\sum_{v=1}^{3 n} B_{\beta v} \partial \xi_{v}>0 & (\beta=1,2, \ldots, b) ;
\end{array}\right\}
\]

эти условия вытекают из равенств (30.3) и (30.4) на стр. 291, если опять-таки иметь в виду, что вариируются только ускорения.

Мы вывели принцип Гаусса из принципа Даламбера, который сам получается из уравнений движения. Можно, обратно, показать, что из принципа Гаусса вытекают уравнения движения системы.

Интересно отметить, что при этом не будет необходимости предполагать дифференциальные связи линейными относительно скоростей, как мы это делали до сих пор. При выводе мы ограничимся рассмотрением систем с удерживающими связями. Итак, пусть на систему наложены конечные и дифференциальные связи
\[
\begin{aligned}
f_{\alpha}\left(\xi_{v}, t\right)=0 & (\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\varphi_{\beta}\left(\xi_{v}, \xi_{v}, t\right)=0 & (\beta=1,2, \ldots, b),
\end{aligned}
\]

и пусть справедливо равенство (34.23). Продифференцируем дважды по времени уравнения (34.25) и один раз уравнения (34.26), а затем провариируем полученные равенства в отношении ускорений; мы тогда придём к соотношениям типа (34.24), но полько записанным без знака

неравенства:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \partial \xi_{v}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial \varphi_{\beta}}{\partial \xi_{v}} \partial \tilde{\xi}_{v}=0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}
\]

Исключив теперь вариации ускорений из уравнений (34.23), (34.27) и (34.28) способом неоіределённых множителей, которым уже не раз пользовались, мы придём к уравнениям движения:
\[
X_{v}-m_{v} \ddot{\xi}_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial \dot{\xi},}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n) .
\]

В предыдущих главах частные производные $\frac{\partial \varphi_{\beta}}{\partial \dot{\xi}_{v}}$ обозначались $B_{3 v}$. В силу линейности дифференциальных связей эти производные предполагались независящими от скоростей. В настоящем выводе это ограничение устранено.