305. Удар материальной системы о неудерживающую связь. Примем, что положение системы, состоящей из $n$ материальных частиц с массами $m_{v}$, определяется декартовыми координатами $x_{v}, y_{v}, z_{v}$, где $
u=1,2,3, \ldots, n$. Для сокращения письма заменим эти координаты другими, положив
\[
x_{v} \sqrt{m_{v}}=\xi_{3 v-2}, \quad y_{v} \sqrt{m_{v}}=\xi_{3 v-1}, \quad z, \sqrt{m_{v}}=\xi_{3 v} .
\]

Кроме того, введём следующие обозначения для проекций активных сил $\boldsymbol{F}_{v}$, действующци на массы $m_{v}$ :
\[
F_{v x}=\sqrt{m_{v}} X_{3 v-2}, F_{v y}=\sqrt{m_{v}} X_{3 v-1}, \quad F_{v z}=\sqrt{m_{v}} X_{3 v} .
\]

Тогда можно будет сказать, что система отнесена к $3 n$ координатам $\xi_{v}$, где $y=1,2,3, \ldots, 3 n$. Кинетитеская энергия $T$ в новых координатах представится так:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{y=1}^{3 n} \xi_{v} \text {. }
\]

Пусть система подчинена $a$ удерживающим конечным связям
\[
f_{1}\left(\xi_{v}, t\right)=0, f_{2}\left(\xi_{v}, t\right)=0, \ldots, f_{a}\left(\xi_{v}, t\right)=0,
\]

а также неудерживающей конечной связи
\[
f\left(\xi_{y,} t\right) \geqslant 0 \text {. }
\]

Лагранжевы уравнения движения (32.6) на стр. 320 напишутся следующим образом:
\[
\ddot{\xi}_{
u}=X_{
u}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{a} \frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}+\lambda \frac{\partial f}{\partial \xi_{
u}} \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n) ;
\]

здесь $\lambda_{\alpha}$ и $\lambda$ представляют собой множители связей.
Положим, что связь (56.3) ослаблена, т. е.
\[
f\left(\xi_{v}, t\right)>0 \text {. }
\]

В этом случае движение системы будет происходить так, как будто бы этой связи вовсе не было. Пусть указанное движение совершается согласно закону
\[
\varepsilon_{
u}=\varepsilon_{
u}(t) \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n) .
\]

Может случиться, что система снова придёт на связь (56.3), т. е. в некоторый момент $t_{0}$ координаты ее $\xi_{\gamma}$ обратят левую часть выражения (56.3) в нуль. Условимся, что за начало отсчетта времени нами взят некоторый момент того промежутка времени, в течение которого связь (56.3) была ослаблена; тогда момент $t_{0}$ прихода системы на связь определится, если мы найдём наименыший положительный корень уравнения
\[
f\left[\xi_{
u}(t), t\right]=0 .
\]

Если такого корня не окажется, то во всё свов̈ дальнейшее движение система никогда не встретится со связью. Но пусть такой корень $t_{0}$ найден; тогда в момент $t_{0}$ система придёт в положение, лежащее на связи (56.3), и её координаты и скорости 5удут соответственно иметь значения
\[
\begin{array}{l}
\xi_{v 0}=\xi_{v}\left(t_{0}\right), \\
\dot{\xi}_{v 0}=\dot{\varepsilon}_{v}\left(t_{0}\right) .
\end{array}
\]

Конечно, найденные скорости обязательно удовлетворяют условиям, налагаемым связями (56.2), т. е.
\[
\left(\frac{d f_{a}}{d t}\right)_{0}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \xi_{v 0}+\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial t}\right)_{0}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a)
\]
[см. формулу (27.6) на стр. 275]. Далее, мы знаем, что система, находящаяся на неудерживающей связи (56.3), не может иметь произвольных скоростей, а должна подчиняться ограничению, выражаемому формулой $(27.25)$ на стр. 281 , т. е.
\[
\frac{d f}{d t}>0 \text {, }
\]

или
\[
\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial f}{\partial \xi_{v}} \xi_{v}+\frac{\partial f}{\partial t} \gg 0
\]

Применив это неравенство к моменту $t_{0}$, мы найдём, что скорости $\dot{\varepsilon}_{v}$ должны удовлетворять условию
\[
\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \xi_{v 0}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{0}>0
\]

или, короче,
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}>0 .
\]

Знаток 0 показывает, что в соответствующую функцию вместо $\varepsilon_{y}, \dot{\varepsilon}_{y,} t$ подставлены $\varepsilon_{v 0}, \varepsilon_{v 0}, t_{0}$.

Если скорости системы в момент $t_{0}$ таковы, что левая часть выражения (56.6) положительна, то рассматривземый момент является тем моментом, в который система снова покидает связь (§ 168). Если скорости системы в момент $t_{0}$ таковы, что левая часть выражения (56.6) обращается в нуль, то, в зависимости от значений второй и высших пронзводных функции $f$, система или останется на связи, или покинет её. Но если скорости $\xi_{\text {v0 }}$ таковы, что
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}<0,
\]

то, чтобы согласовать это неравенство с условием (56.5), мы должны принять, что связь (56.3) оказывдет ударные реакции на массы, входящие в состав системы, и что эти реакции изменяют невозможные скорости $\dot{\xi}_{\text {v0 }}$ в некоторые другие, возможные $\dot{\varepsilon}_{22}$. Происходит так называемый удар системы о связь (56.3). При этом, чтобы возможно большее число наблюдаемых явлений подвести под нашу схему, мы примем, что в общем случае скорости $\xi_{22}$ удовлетворяют условию (56.5) со знаком $>$, г. е. «равно или больше». Если в момент $t_{0}$ система покидает связь, то мы должны исследовать в том же отношении следуюций по величине положительный корень уравнения (56.5) и продолжать таким образом, пока не переберём всех корней или не дойдём до такого, при котором система остаётся на связи нли при котором происходит удар.

Итак, пусть для момента $t_{0}$ соблюдается неравенство (56.7). Так как ударные реакции связи отнесены нами к разряду ударных сил, то в согласии со сказанным в § 302 мы принимаем, что:
1) время действия ударных реакций бесконечно мало, или, иначе говоря, продолжительность удара т бесконечно мала;
2) за время удара ни система, ни связи не успевают изменять своего положения или формы;
3) за время удара импульс всякой конечной, т. е. не ударной, силы равен нулю; кроме того, мы допустим, что
4) удар не разрушает конечных удерживаюцих связей (56.2) системы.
Пусть удар кончается в момент $t_{2}=t_{0}+\tau$; тогда по сказанному выше в общем случае мы будем иметь
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}>0,
\]

где
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\varepsilon}_{v 2}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{0} .
\]

Все коэффициенты, как показывает значок 0 , здесь постоянны.
Полагая, что во время удара скорости системы изменяются непрерывно, мы из уравнений (56.7) и (56.8) заключаем, что для некоторого

промежуточного момента $t_{1}$, т. е. момента, удовлетворяющего условию
\[
t_{0}<t_{1}<t_{0}+\tau,
\]

система приобретает такие скорости $\dot{\xi}_{\text {v, }}$, что для них соблюдается равенство
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{1}=0
\]
rie
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{1}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \xi_{v_{1}}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{0} .
\]

Промежуток времени от $t_{0}$ до $t_{1}$ мы назовём первым актом удара, а промежуток от $t_{1}$ до $t_{2}=t_{0}+\tau$ – вторым актом удара. В частном случае удар может ограничиться только одним первым актом, и тогда мы его будем называть абсолютно неупругим.

Мы примем, что ударные реакиии, а следовательно, и их импульсы направлены по соответствующим градиентам связей и что каждая связь характеризуется своим множителем связи ( $\S 161$ и 175 ). Для реакции $R_{\mathrm{vx}}$ связи $f_{\alpha}$, с которой последняя действует на частицу $m_{v}$, мы имели выражение (30.16) на стр. 295 :
\[
\boldsymbol{R}_{a v}=\lambda_{\alpha} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} .
\]

Аналогично для реакции $\boldsymbol{R}_{\mathrm{v}}$ связи $f$ мы получим:
\[
R_{\mathrm{v}}=\lambda \operatorname{grad}_{\mathrm{v}} f .
\]

Проекции этих реакций при обозначениях настоящего параграфа соответственно имеют следующие выражения:
\[
\lambda_{\alpha}\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}, \lambda\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} .
\]

Импульсы реакций гмеют следующие значения:
\[
\boldsymbol{R}_{\alpha \mathrm{y}}=\left(\operatorname{grad}_{v} f_{\alpha}\right)_{0} \int_{t_{0}}^{t} \lambda_{\alpha} d t, \quad \boldsymbol{R}_{v}=\left(\operatorname{grad}_{v} f_{0} \int_{t_{0}}^{t} \lambda d t .\right.
\]

Пусть попрежнему $t_{0}$ и $t_{2}$ означают моменты начала и конца удара и пусть $t_{1}$ и $t$ – соответственно некоторый фиксированный и некоторый произвольный моменты в течение удара. Условимся в следующих обозначениях:
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{\alpha}=\int_{t_{0}}^{t} \lambda_{a} d t, \quad \lambda=\int_{i_{0}}^{t} \lambda d t, \\
\lambda_{\alpha 01}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \lambda_{\alpha} d t, \quad \lambda_{01}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \lambda d t \\
\lambda_{\alpha 12}=\int_{t_{1}}^{t_{1}} \lambda_{a} d t, \quad \lambda_{2}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \lambda \lambda d t \\
\lambda_{\alpha 02}=\lambda_{a 01}+\lambda_{.12}=\int_{t_{0}}^{t_{2}} \lambda_{a} d t, \quad \lambda_{02}=\lambda_{01}+\lambda_{12}=\int_{t_{0}}^{t_{2}} \lambda d t \text {. } \\
\end{array}
\]

Определённые этими равенствами величины мы будем называть импульсивными множителями.

С помощью введённых обозначений мы из уравнений (56.4), отнесённых ко времени удара, интегрированием находим следующие выражения:
\[
\begin{array}{c}
\xi_{v 1}-\xi_{v 0}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 01}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}+\lambda_{01}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}, \\
\dot{\xi}_{v 2}-\xi_{v 1}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 12}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}+\lambda_{12}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}, \\
\dot{\xi}_{v 2}-\xi_{v 0}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 02}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}+\lambda_{02}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} . \\
(
u=1,2, \ldots, 3 n) .
\end{array}
\]

Здесь по условию (3) импульсы конечных сил $X_{v}$ положены равными нулю.

Задача об ударе состоит в определении скоростей $\xi_{\text {у2 }}$ по данным $t_{0}$, $\xi_{
u_{0}}$ и $\dot{\xi}_{\text {y }^{\circ}}$ Рассмотрим сначала частный случай, а именно, допустим, что удар абсолютно неупругий, т. е. ограничивается одним первым актом. Тогда искомыми являются скорости $\dot{\xi}_{\text {v1 }}$, числом $3 n$; для нахождения их, мы имеем $3 n$ уравнений (56.16), но этих уравнений недостаточно, так как сюда входят ещё $a+1$ неизвестных импульсивных множителей $\lambda_{\text {a01 }}$ и $\lambda_{01}$. Добавочными уравнениями служат равенство (56.10) и $a$ равенств:
\[
\left(\frac{d f_{a}}{d t}\right)_{1}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \xi_{v 1}+\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial t}\right)_{0}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a) ;
\]

равенства эти вытекают из условия (4), т. е. из того, что удар не разрушает данных удерживающих связей (56.2). Указанных $3 n+a+1$ уравнений имеется ровно столько, сколько есть искомых величин
\[
\dot{\xi}_{v 1}, \quad \lambda_{a 01}, \quad \lambda_{01} \text {. }
\]

Уравнения для определения импульсивных множителей получаются следующим приёмом. Умножим каждое из уравнений (56.16) соответственно на $\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}$ и просуммируем их; таким способом мы нандден:
\[
\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \xi_{v 1}-\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \xi_{v 0}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 01}\left[f f_{\alpha}\right]+\lambda_{01}[f f],
\]

где символ $[\varphi \phi]$ употреблён как обозначение суммы следующего вида:
\[
[\varphi \psi]=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}\left(\frac{\partial \psi}{\partial \xi_{v}}\right)_{0}
\]

заметим, что справедливо равенство
\[
[\varphi \psi]=[\psi \varphi] \text {. }
\]

Если в левой части уравнения (56.20) мы прибавим и вычтем по $\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{0}$ и воспользуемся равенством (56.10), то получим:
\[
-\left(\frac{d f}{\partial t}\right)_{0}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{a 01}\left[f f_{\alpha}\right]+\lambda_{01}[f f] .
\]

Умножив уравнения (56.16) соответственно на $\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial \dot{\varepsilon}_{v}}\right)_{0}$, мы тем же путём в силу соотношения (56.19) придём к следующим $a$ равенствам:
\[
\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha, 01}\left[f_{\alpha^{\prime}} f_{a}\right]+\lambda_{01}\left[f_{\alpha^{\prime}} f\right]=0 \quad\left(\alpha^{\prime}=1,2, \ldots, a\right) .
\]

Из уравнений (56.21) и (56.22) мы находим:
\[
\lambda_{01}=-\frac{\Delta_{00}}{\Delta}\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}, \quad \lambda_{201}=-\frac{\Delta_{a n}}{\Delta}\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0},
\]

где под $\Delta$ разумеется определитель уравнений (56.20) и (56.21), а под $\Delta_{00}$ и $\Delta_{\alpha 0}$ – адъюнкты этого определителя, соответствующие элементам $[f f]$ и $\left[f_{\alpha} f\right]$. Подставив выражения (56.23) импульсивных множителей в равенства (56.16), мы непосредственно найдём значения скоростей $\dot{\xi}_{\text {v1 }}$, что в нашем частном случае и решает задачу об ударе.

При решении задачи об ударе в общем случае надо обратиться к уравнениям (56.18) или к группе уравнений (56.16) и (56.17). Нетрудно усмотреть, что в том и другом случае число неизвестных на единицу превышает число уравнений. Если остановимся на уравнениях (56.18), то число неизвестных будет $3 n+a+1$; этими неизвестными будут $\xi_{v 1}$, $\lambda_{a 02}$ и $\lambda_{02}$. Уравнений же будет всего $3 n+a$, а именно, $3 n$ уравнений $(56.18)^{\circ}$ и $а$ уравнений
\[
\left(\frac{d f_{a}}{d t}\right)_{2}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 2}+\left(\frac{\partial f_{a}}{d t}\right)_{0}=0,
\]

которым по условию (4) должны удовлетворять скорости $\xi_{v_{9}}$. При другом выборе уравнений неизвестных окажется $6 n+2 a+2$, а именно, 9то будут $\xi_{v 2}, \xi_{v 1,} \lambda_{x 12}, \lambda_{a 01}, \lambda_{12}$ и $\lambda_{01}$; уравнений же будет всего $6 n+2 a+1$, т. е. опять на единицу менвше, а именно, $3 n$ уравнений (56.16), $3 n$ уравнений (56.17), а уравнений (56.19), $a$ уравнений (56.24) и уравнение (56.10). Если бы для нахождения импульсивных множителей $\lambda_{\alpha 02}, \lambda_{02}$ из уравнений (56.18) мы применили прежний способ, то пришли бы і следуюцим равенствам:
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}-\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0} & =\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 02}\left[f f_{\alpha}\right]+\lambda_{02}[f f], \\
0 & =\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 01}\left[f_{\alpha} f_{\alpha}\right]+\lambda_{02}\left[f_{\alpha^{\prime}} f\right] \quad\left(a^{\prime}=1,2,3, \ldots, a\right) .
\end{aligned}
\]

Отсюда мы находим:
\[
\lambda_{02}=\frac{\Delta_{00}}{\Delta}\left[\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}-\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}\right], \quad \lambda_{\alpha 02}=\frac{\Delta_{\alpha 0}}{\Delta}\left[\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}-\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}\right] ;
\]

здесь в выражении ( $\left.\frac{d f}{d t}\right)_{2}$ согласно формуле (56.9) содержатся неизвестные скорости $\xi_{\text {v2 }}$. Из равенств (56.25) и (56.23) или непосредственно из уравнений (56.17) мы получаем также
\[
\lambda_{12}=\frac{\Delta_{00}}{\Delta}\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}, \quad \lambda_{a 12}=\frac{\Delta_{00}}{\Delta}\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2} .
\]

Недостающее уравнение берётся по аналогии с уравнением (55.17) нә стр. 612 в таком виде:
\[
\lambda_{12}=\varepsilon \lambda_{01}
\]

здесь $\varepsilon$ является правильной положительной дробью и носит название коэффициента восстановления. Если $\varepsilon=1$, удар называется абсолютно упругим; если $\varepsilon=0$, удар называется абсолютно шеупругим. Уравнение (56.27) согласно форму.лам (56.26) и (56.23) может быть заменено следующим, ему равносильным:
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}+\varepsilon\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}=0 .
\]

Из этого уравнения и из равенств (56.26) и (56.23) мы видим, что и для импульсивных множителей удерживающих связей мы имеем соотношения, аналигичные равенству (56.27):
\[
\lambda_{a 18}=\varepsilon_{\lambda_{a 01}} \text {. }
\]

С добавлением уравнения (56.27) или (56.28) задача об определении скоростей в конце удара становится вполне определённой; найдя импульсивные множители за первый акт удара по формулам (56.23), мы, пользуясь соотношениями (56.27) и (56.29), подставляем их значения в уравнения (56.18) и, наконец, определяем скорости $\xi_{v_{2}}$ из уравнений
\[
\varepsilon_{v_{2}}-\xi_{v_{0}}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{a 01}(1+\varepsilon)\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial \varepsilon_{v}}\right)_{0}+\lambda_{.01}(1+\varepsilon)\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} ;
\]

здесь в правой части теперь всё уже известно.
Пример 153. Две материальные частицы $m_{1}$ и $m_{2}$ равных масс связаны неизменяемым стержнем длины $l$ и движутся в плоскости поступательно, равномерно и прямолинейно со скоростью $\boldsymbol{k}$. Рассмотрим удар этой системы 0 прямую, составляющую угол а со стержнем и перпендикулярную к направлению движения. Примем эту прямую за ось $O x$. Обозначим через а постоянную абсциссу частицы $m_{2}$ и через $b$ – начальную ординату частицы $m_{1}$. Если считать, что $b>0$ и что частица $m_{1}$ находится ближе к оси $O x$, чем частица $m_{2}$, то уравнения движения взятых частиц будут следующие:
\[
x_{1}=a+l \cos \alpha, \quad y_{1}=b-k t ; \quad x_{2}=a ; \quad y_{2}=b+l \sin a-k t .
\]

Здесь все коэффициенты постоянны. Уравнение наложенной на систему удерживающей связи напишется так:
\[
f_{k}=\frac{1}{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\frac{1}{2} l^{2}=0 .
\]

Неудерживающих связей имеется две:
\[
f=y_{1} \gg 0, f^{\prime}=y_{2}>0 .
\]

Так как $b>0, k>0, a>0$, то в момент $t_{0}=\frac{b}{k}$ система сначала ударится о первую связь. Этот удар мы и будем исследовать. Координаты и скорости сисгемы для момента $t_{0}$ будут:
\[
\begin{array}{llll}
x_{10}=a+l \cos a, & y_{10}=0 ; & x_{20}=a, & y_{20}=l \sin a ; \\
\dot{x}_{10}=0, & \dot{y}_{10}=-k ; & \dot{x}_{20}=0, & y_{20}=-k .
\end{array}
\]

Так как по условию
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}=-k<0,
\]

то произойдёт удар. Для вычисления импульсивных множителей $\lambda_{a_{4}}$ связи $f_{\alpha}$ и $\lambda_{1}$ связи $f$ за первый акт удара воспользуемся формулой (56.23); мы получим:
\[
\left[f_{\alpha} f_{\alpha}\right]=2 l^{2},\left[f_{\alpha} f\right]=-l \sin \alpha ; \quad\left[f f=1, \Delta=l^{2}\left(1+\cos ^{2} \alpha\right) .\right.
\]

Следовательно,
\[
\lambda_{01}=\frac{2 k}{1+\cos ^{2} \alpha}, \quad \lambda_{a 01}=\frac{k \sin a}{l\left(1+\cos ^{2} \alpha\right)} .
\]

Отсюда, если коэффициент восстановления равен $\varepsilon$, мы по уравнениям (56.30) найдём следующие значения скоростей частии в конце удара:
\[
\begin{array}{ll}
\dot{x}_{12}=\dot{x}_{10}+\lambda_{\alpha 01}(1+\varepsilon)\left(x_{10}-x_{20}\right) & =\frac{k(1+\varepsilon) \sin a \cos \alpha}{1+\cos ^{2} a}, \\
\dot{x}_{22}=\dot{x}_{20}+\lambda_{\alpha, 11}(1+\varepsilon)\left(x_{20}-x_{10}\right) & =-\frac{k(1+\varepsilon) \sin \alpha \cos a}{1+\cos ^{2} \alpha}, \\
\dot{y}_{12}=\dot{y}_{10}+\lambda_{\alpha 01}(1+\varepsilon)\left(y_{10}-y_{20}\right)+\lambda_{01}(1+\varepsilon) & =\varepsilon k, \\
\dot{y}_{22}=\dot{y}_{20}+\lambda_{\alpha 01}(1+\varepsilon)\left(y_{20}-y_{10}\right) & =\frac{-2 k \cos ^{2} \alpha+k \varepsilon \sin ^{2} a}{1+\cos ^{2} \alpha} .
\end{array}
\]
306. Решение задачи об ударе в обобшённых координатах. Когда положение системы определяется обобщёнными координатами $q_{3}$, где $\sigma=1,2,3, \ldots, s$, то ход решения задачи об ударе остаётся тот же самый, только вычисления будут несколько сложнее. Пусть снова система подчинсна $a$ удерживающим связям:
\[
f_{1}\left(q_{a}, t\right)=0, f_{2}\left(q_{0}, t\right)=0, \ldots, f_{a}\left(q_{0}, t\right)=0,
\]

а гакже неудерживающей связи:
\[
f\left(q_{0}, t\right)>0 \text {. }
\]

Момент $t_{0}$ прихода системы на связь, координаты системы $q_{\sigma_{0}}$ для этого момента и скорости $\dot{q}_{\sigma_{0}}$, с которыми система приходит к связи, определяются совершенно так же, как и в предыдущем параграфе. Встреча системы со связью будет сопровождаться ударом, если
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}=\sum_{0=1}^{j}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0} \dot{q}_{\sigma_{0}}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{0}<0 .
\]

Вместо уравнений (56.4) мы теперь возьмём уравнения Гамильтона (формула (33.19) на стр. 345 ); при обозначениях настоящей главы

они напишутся так:
\[
\frac{d p_{\sigma}}{d t}=\widehat{Q}_{\sigma}-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{\sigma}}+\sum_{a=1}^{a} \hat{\lambda}_{a} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}+\hat{\lambda} \frac{\partial f}{\partial q_{\alpha}} .
\]

Проинтегрировав эти уравнения в соответственных пределах, мы вместо равенств (56.16), (56.17) и (56.18) при аналогичных обозначениях получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{\sigma 1}-p_{\sigma 0}=\sum_{\alpha=1}^{a} \tilde{\lambda}_{a_{01}}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0}+\tilde{\lambda}_{01}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0}, \\
p_{\sigma 2}-p_{\sigma 1}=\sum_{\alpha=1}^{a} \hat{\lambda}_{\alpha 12}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0}+\tilde{\lambda}_{\cdot 12}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0}, \\
p_{\sigma 2}-p_{\sigma 0}=\sum_{\alpha=1}^{a} \hat{\lambda}_{\alpha 02}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0}+\tilde{\lambda}_{02}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0} ;
\end{array}\right\}
\]

при написании этих уравнений принято во внимание, что интегралы ію времени от разности
\[
\widehat{Q}_{a}-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{0}}
\]

ка основании определения ударных сил бесконечно малы ( $§ 302$ ).
Составим союзные зыражения для производных $\frac{d f_{\alpha}}{d t}$ и $\frac{d f}{d t}$, представив их в таком виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d f_{a}}{d t}=\sum_{a=1}^{s} \frac{D f_{a}}{D q_{0}} p_{a}+\frac{D f_{a}}{D t}, \\
\frac{d f}{d t}=\sum_{a=1}^{s} \frac{D f}{D q_{0}} p_{a}+\frac{D f}{D t} ;
\end{array}
\]

здесь в соответствии с формулой (33.4) на стр. 340 введено обозначение
\[
\frac{D \varphi}{D q_{\sigma}}=\sum_{\rho=1}^{s} b_{\partial \rho} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{\rho}} ; \quad \frac{D \varphi}{D t}=\sum_{\rho=1}^{s} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{o}} b_{\rho}+\frac{\partial \varphi}{\partial t} .
\]

Исходя из уравнений (56.31), мы тем же путём, как и раньше, придём к ряду равенств:
\[
\left.\begin{array}{rl}
-\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0} & =\sum_{\alpha=1}^{a} \tilde{\Gamma}_{\alpha 01}\left[f f_{\alpha}\right]+\hat{\lambda}_{01}[f f] \\
0 & =\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 01}\left[f_{a} f_{\alpha}\right]+\lambda_{01}\left[f_{\alpha^{\prime}} f\right] \quad\left(a^{\prime}=1,2,3, \ldots, a\right) .
\end{array}\right\}
\]

Символом $[\varphi \Psi]$ обозначена следующая сумма:
\[
[\varphi \psi]=\sum_{0=1}^{s}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{0}}\right)_{0}\left(\frac{D \phi}{D q_{0}}\right)_{0}=\sum_{0=1}^{s}\left(\frac{\partial \psi}{\partial q_{0}}\right)_{0} \cdot\left(\frac{D \varphi}{D q_{0}}\right)_{0} \cdot
\]

Из уравнений (56.32) для импульсов $\lambda_{\alpha 01}$ и $\lambda_{01}$ за первый акт удара мы

снова находим выражения (56.23), где $\Delta$ будет, конечно, уже определителем уравнений (56.32). В заключение, если коэффициент восстановления равен $\varepsilon$, мы получаем следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
p_{\sigma 2}-p_{\sigma_{0}}=\sum_{\rho=1}^{s} b_{\sigma p}\left(\dot{q}_{\rho^{2}}-\dot{q}_{\rho 0}\right)=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{201}(1+\varepsilon)\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}\right)_{0}+\lambda_{01}(1+\varepsilon)\left(\frac{\partial f}{\partial q_{o}}\right)_{0} \\
(\sigma=1,2,3, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Отсюда скорости $\dot{q}_{\text {д2 }}$ найдутся по формулам (33.4) на стр. 340.
Пример 154. Решим задачу, помешёнию в предыдущем параграфе, с помощью независимых координат. Координатами этими пусть будут $x_{1}, y_{1}$. , причём
\[
x_{2}=x_{1}-l \cos \varphi, \quad y_{2}=y_{1}+l \sin \varphi .
\]

Кинетическая энергия $T$ в этих коордннатах выразится так:
\[
T=\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{1}^{2}+l \sin \varphi \cdot \dot{x}_{1} \dot{\varphi}+l \cos \varphi \cdot \dot{y}_{1} \dot{\varphi}+\frac{1}{2} l^{2} \dot{\varphi}^{2} .
\]

Поэтому импульсы $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, соответствующие координатам $x_{1}, y_{1}, \varphi$, будут равны
\[
p_{1}=2 \dot{x}_{1}+l \sin \varphi \cdot \dot{\varphi}, \quad p_{2}=2 \dot{y}_{1}+l \cos \varphi \cdot \dot{\varphi}, \quad p_{3}=l^{2} \varphi+l \sin \varphi \cdot \dot{x}_{1}+l \cos \varphi \cdot \dot{y}_{1} .
\]

Уравнения движения системы до удара о связь $y_{1} \gg 0$ напишутся теперь так:
\[
x_{1}=a+l \cos \alpha, \quad y_{1}=b-k t, \varphi=\alpha .
\]

Координаты и скорости в момент начала удара будут иметь следующие значения:
\[
\begin{array}{lll}
x_{10}=a+l \cos \alpha, & y_{10}=0, & \varphi_{0}=a ; \\
\dot{x}_{10}=0, & \dot{y}_{10}=-k, & \varphi_{0}=0 .
\end{array}
\]

Составим уравнения для нахождения импульсивного множителя $\lambda_{01}$ реакции связи за первый акт удара; имеем
\[
\begin{array}{l}
p_{11}-p_{10}=2 \dot{x}_{11}+l \sin \alpha \cdot \dot{\varphi}_{1}=0, \\
p_{21}-p_{20}=l \cos \alpha \cdot \varphi_{1}+2 k=i_{01}, \\
p_{31}-p_{30}=l 2 \dot{\varphi}_{1}+l \sin \alpha \cdot \dot{x}_{11}+k l \cos \alpha=0 ;
\end{array}
\]

при написании этих уравнений принято в расчёт, что $\dot{y}_{11}=0$. Определив из этих уравнений $\lambda_{01}$, мы получим:
\[
\lambda_{01}=\frac{2 k}{1+\cos ^{2} \alpha} \text {. }
\]

Если коэффициент восстановления попрежнему обозначить $\varepsilon$, то уравнения для скоростей в конце удара будут сле дующие:
\[
\begin{array}{l}
p_{12}-p_{10}=2 \dot{x}_{12}+l \sin \alpha \cdot \dot{\varphi}_{2}=0, \\
p_{22}-p_{20}=2 \dot{y}_{12}+l \cos \alpha \cdot \dot{\varphi}_{2}+2 k=\lambda_{01}(1+\varepsilon)=\frac{2 k(1+\varepsilon)}{1+\cos ^{2} \alpha}, \\
p_{32}-p_{30}=l^{2} \dot{\varphi}_{2}+l \sin \alpha \cdot \dot{x}_{12}+l \cos \alpha \cdot \dot{y}_{12}+k l \cos \alpha=0 .
\end{array}
\]

Отсюда мы находим:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{12}=\frac{\left.k r^{1}+\varepsilon\right) \sin \alpha \cos \alpha}{1+\cos ^{2} \alpha}, \dot{y}_{12}=0 ; \\
\dot{\varphi}_{2}=-\frac{2 k(1+\varepsilon) \cos \alpha}{l\left(1+\cos ^{2} \alpha\right)} .
\end{array}
\]

307. Изменение кинетической энергии системы за время удара. Теоремы Карно. Исследуем теперь, как изменяется кинетическая энергия системы за время удара, причём ограничимся рассмотрением линь того случая, когда связи, как удерживающие (56.2), так и неудерживающие (56.3), не зависят явно от времени, т. е. когда они удовлетворяют условиям
\[
\frac{\partial f_{a}}{\partial t}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial t}=0 .
\]

Само собой разумеется, что если связи изменяются со временем, то сказать что-либо общее об изменении кинетической энергии системы нельзя, так как это изменение будет зависеть от индивидуального характера изменения связей. Итак, пусть соблюдены равенства (56.33). Обращаясь к уравнениям (56.16), умножим их соответственно на $\dot{\xi}_{\text {v1 }}$ и сложим; мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} \dot{\xi}_{v 1}^{2}-\sum_{v=1}^{3 n} \dot{\xi}_{v 0} \dot{\xi}_{v 1}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 01} \sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \dot{\epsilon}_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 1}+\lambda_{01} \sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 1} .
\]

Введём следующее обозначение:
\[
2 A=\sum_{v=1}^{5 n} \dot{\xi}_{v 1} \dot{\xi}_{v 0} .
\]

Далее, в соответствии с формулой (56.1) обозначим через $T_{1}$ кинетическую энергию системы по окончании первого акта удара. Наконец, примем во внимание, что согласно равенствам (56.10) 2 (56.19) и (56.33) мы в нашем случае имеем
\[
\left(\frac{d f_{a}}{d t}\right)_{1}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 1}=0, \quad\left(\frac{d f}{d t}\right)_{1}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 1}=0 .
\]

Тогда из уравнений (56.34) мы получим:
\[
T_{1}-A=0 .
\]

Повторив тот же приём со скоростями $\dot{\xi}_{v 0}$, мы вместо уравнений (56.34) найдём следующие уравнения:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} \dot{\xi}_{v} \dot{\xi}_{v 0}-\sum_{v=1}^{3 n} \dot{\xi}_{v 0}^{2}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha 01} \sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 0}+\lambda_{01} \sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 0} .
\]

Но скорости в начале удара удовлетворяют условиям
\[
\left(\frac{d f_{a}}{d t}\right)_{0}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 0}=0, \quad\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi_{v}}\right)_{0} \dot{\xi}_{v 0} ;
\]

поэтому, обозначив через $T_{0}$ кинетическую энергию системы в начальный момент удара и воспользовавшись обозначением (56.35), мы получим из равенства (56.37), как следствие, следующее уравнение:
\[
A-T_{0}=\frac{1}{2} \underline{\lambda}_{01}\left(\frac{d f}{d t}\right)_{0} .
\]

Иначе, согласно равенству (56.23) мы можем написать
\[
A-T_{0}=-\frac{1}{2} \lambda_{01}^{2} k^{2},
\]

где коэффициент $k^{2}$ определяется равенством
\[
k^{2}=\frac{\Delta}{\Delta_{00}} .
\]

Убедиться в том, что коэффициент, обозначенный нами через $k^{2}$, действительно не отрицателен, можно или непосредственно, заметив что $\Delta$ симметричный определитель, или на основании нижеследующих соображений. Вычтя равенство (56.38) из равснства (56.36), мы найдём:
\[
\frac{1}{2} \lambda_{01}^{?} k^{2}=T_{1}+T_{0}-2 A \text {. }
\]

Подставив сюда выше полученные выражения для $T_{1}, T_{0}, A$, мы придём к такому равенству:
\[
T_{1}+T_{0}-2 A=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{3 n}\left(\xi_{v 0}-\dot{\xi}_{v 1}\right)^{2}=T_{01},
\]

где $T_{01}$ есть так называемая кинетическая энергия потерянных скоростей за первый акт удара (ср. § 304); как видим, она представляет собой величину неотрицательную. Итак, вместо уравнения (56.38), мы имеем
\[
A-T_{0}=-\frac{1}{2} \lambda_{01}^{2} k^{2}=-T_{01} .
\]

Сложением равенств (56.40) и (56.36) мы получаем так называемую первую теорему Карно (Carnot)
\[
T_{0}-T_{\mathrm{i}}=\frac{1}{2} \lambda_{01}^{2} k^{2}=T_{01} ;
\]
т. е. если связи системы не зависят явно от времени, то потеря кинетической энергии системы за первый акт удара равна кинетической энергии потерянных скоростей. Как видим, кинетическая энергия системы за первый акт удара всегда уменьшается.

Обратимся теперь к уравнениям (56.17); умножив их соответственно на $\dot{\xi}_{11}$ и сложив, мы получим следующее равенство, аналогичное равенству (56.36):
\[
B-T_{1}=0,
\]
rде
\[
2 B=\sum_{v=1}^{3 n} \xi_{v 2} \xi_{v 1} .
\]

Если же равенства (56.17) соответственно умножить на $\dot{\xi}_{\text {у2 }}$ и сложить, то на основании соотношения (56.26) мы найдём равенство, аналогичное равенству (56.38), а именно:
\[
T_{2}-B=\frac{1}{2} \lambda_{12}\left(\frac{d f}{d t}\right)_{2}=\frac{1}{2} \lambda_{12}^{2} k^{2},
\]

где $T_{2}$ есть кинетическая энергия системы по окончании второго акта удара. Вычтя уравнение (56.42) из уравнения (56.43), мы получим:
\[
\frac{1}{2} \lambda_{12}^{2} k^{2}=T_{2}+T_{1}-2 B=\sum_{v=1}^{8 n}\left(\xi_{v 2}-\dot{\xi}_{v 1}\right)^{2}=T_{12},
\]

где $T_{12}$ есть так называемая кинетическая энергия приобретённых скоростей за второй акт удара. Следовательно, согласно равенству (56.43) мы имеем
\[
T_{2}-B=\frac{1}{2} \lambda_{.12}^{2} k^{2}=T_{12} \text {. }
\]

Сложив полученное равенство с равенством (56.42), мы придём ко второй теореме Карно
\[
T_{2}-T_{1}=\frac{1}{2} \lambda_{12}^{2} k^{2}=T_{12} ;
\]
т. е. если связи системы не зависят явно от времени, то приращение кинетической энергии за второй акт удара равно кинетической энергии приобретённых скоростей. Как видим, кинетнеская энергия системы за второй акт удара (если только он имеет место) всегда увеличивается.

Исключив из равенств (56.44) и (56.41) величину $T_{1}$ и приняв во внимание соотношение (56.27), мы выведем третью теорему Карно.
\[
T_{2}-T_{0}=\frac{1}{2} k^{2}\left(\lambda_{12}^{z}-i_{01}^{2}\right)=-\frac{1}{2} k^{2} \lambda_{01}^{2}\left(1-\varepsilon^{2}\right) ;
\]

таким образом, если связи системн не зависят явно от времени, то за оба акта удара кинетическая энергия системы, вообще говоря, уменьпается, и только для абсолютно упругого удара, т. е. при $\varepsilon \doteq 1$, она остаётся без изменения.

Результат исключения $T_{1}$ из равенств (56.41) и (56.44) можно записать также и в следующей форме:
\[
T_{0}-T_{2}=T_{01}-T_{12}=\sum_{
u=1}^{3 n}\left\{\left(\dot{\xi}_{v 1}-\dot{\xi}_{
u 0}\right)^{2}-\left(\dot{\xi}_{
u 2}-\dot{\xi}_{v 1}\right)^{2}\right\} .
\]

Для упронения полученного выражения обратимся к формулам (56.15), (56.25) и (56.28); из них мы получим следующие вспомогательные соотношения:
\[
\begin{array}{ll}
\lambda_{01}=\frac{1}{1+\varepsilon} \lambda_{02}, & \lambda_{x 01}=\frac{1}{1+\varepsilon} \lambda_{x 02}, \\
\lambda_{12}=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon} \lambda_{02}, & \lambda_{x 12}=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon} \lambda_{\alpha 02} .
\end{array}
\]

Эти равенства позволят нам исключить суммы, стоящие в правых частях уравнений (56.16), (56.17) и (56.18); а именно, мы получим.
\[
\dot{\xi}_{v 1}-\dot{\xi}_{v 0}=\frac{1}{1+\varepsilon}\left(\dot{\xi}_{v 2}-\dot{\xi}_{v 0}\right), \quad \dot{\xi}_{v 2}-\dot{\xi}_{v 1}=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\left(\dot{\xi}_{v 2}-\xi_{v 0}\right) .
\]

Подставив эти выражения в равенство (56.45), мы придём к соотношению
\[
T_{0}-T_{2}=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon} T_{02},
\]

где через $T_{02}$ обозначена сумма
\[
T_{02}=\sum_{v=1}^{3 n}\left(\dot{\xi}_{v 0}-\dot{\varepsilon}_{v 2}\right)^{2} .
\]

Равенство (56.47) выражает собой гак называемую обобщённую теорему Карно: потеря кинетической энергии за полное время удара равняется $\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}$-ой доле кинетической энергии потерянных скоростей за этот промежуток времени.

308. Закон изменения количества движения системы в случае удара. Положим, что на данную материальную систему, подчинённую каким-либо идеальным связям, действуют одновременно и конечные, и ударные силы. Пусть $F$ есть главный вектор активных ударных сил, $\boldsymbol{F}^{\prime}$ – главный вектор активных конечных сил, $\boldsymbol{R}$ – главный вектор ударных реакций, $\boldsymbol{R}^{\prime}$ – глазный вектор конечных реакций и
\[
\boldsymbol{K}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{v}=M \boldsymbol{v}_{C}
\]
— количество движения системы. Согласно теореме (31.10) на стр. 305 мы имеем
\[
d \boldsymbol{K}=\boldsymbol{F} d t+\boldsymbol{F}^{\prime} d t+\boldsymbol{R} d t+\boldsymbol{R}^{\prime} d t .
\]

Проинтегрируем обе части этого уравнения в пределах от $t_{0}$ до $t_{2}$, соответствующих времени действия ударных сил; при этом учтём замечание (3) на стр. 618 об импульсе конечной силы; наконец, по аналогии с формулами (56.15) введём обозначения
\[
\boldsymbol{F}_{02}=\int_{t_{0}}^{t_{4}} F d t, \quad R_{02}=\int_{t_{0}}^{t_{2}} R d t
\]

в результате мы найдём:
\[
\boldsymbol{K}_{2}-\boldsymbol{K}_{0}=\boldsymbol{F}_{02}+\boldsymbol{R}_{02} .
\]
$\boldsymbol{K}_{0}$ и $\boldsymbol{K}_{2}$ означают количества движения системы в начале и в конце удара. Полученное уравнение выражает закон изменения количества движения для ударных сил: приращение количества движения системы равняется сумме главного вектора активных импульсов и главного вектора импульсивных реакций. Согласно равенству (56.48) этой теореме можно дать вид
\[
M \boldsymbol{v}_{C 2}-M \boldsymbol{v}_{C 0}=\boldsymbol{F}_{02}+\boldsymbol{R}_{02} .
\]

Если главный вектор импульсивных реакций равен нулю, то вместо уравнения (56.50) мы получим:
\[
\boldsymbol{K}_{2}-\boldsymbol{K}_{0}=\boldsymbol{F}_{02},
\]
т. е. приращение количества движелия системы равно главному вектору

активных импульсов. Если, кроме того, и $\boldsymbol{F}_{02}$ равно нулю или если сумма $\boldsymbol{F}_{02}+\boldsymbol{R}_{02}$ обращается в нуль, мы имеем
\[
\boldsymbol{K}_{2}=\boldsymbol{K}_{0},
\]
т. е. колячество движения системы не изменяется за время удара.
309. Закон изменения кинетического момента системы в случае удара. Пусть $\boldsymbol{G}$ есть кинетический момент системы относительно некоторого центра $O$ (начала координат), а $\boldsymbol{L}, \boldsymbol{L}^{\prime}, \boldsymbol{H}$ и $\boldsymbol{H}^{\prime}$ соответственно означают главные моменты ударных и конечных активных сил и ударных и конечных реакций относительно того же центра. Будем, кроме того, аналогично прежнему пользоваться сбозначениями
\[
\boldsymbol{L}_{02}=\int_{t_{0}}^{t_{2}} \boldsymbol{L} d t, \boldsymbol{H}_{02}=\int_{t_{0}}^{t_{2}} \boldsymbol{H} d t .
\]

Нетрудно показать, что $\boldsymbol{L}_{02}$ и $\boldsymbol{H}_{02}$ представляют собой соответственно главные моменты импульсов активных и реактивных ударных сил. Действительно, согласно замечанию 2) на стр. 618 мы, например, имеем для $\boldsymbol{L}_{02}$
\[
\boldsymbol{L}_{02}=\int_{t_{0}}^{t_{\mathrm{g}}} \sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v} d t=\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times \int_{t_{0}}^{t} F_{v} d t=\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times \boldsymbol{F}_{v 2} .
\]

Изучим, как изменяется кинетический момент системы за время удара. На основания теоремы (31.17) на стр. 308 мы имеем
\[
d \boldsymbol{G}=\boldsymbol{L} d t+\boldsymbol{L}^{\prime} d t+\boldsymbol{H} d t+\boldsymbol{H}^{\prime} d t .
\]

Проинтегрировав обе части этого уравненяя в пределах от $t_{0}$ до $t_{2}$, соответствующих времени действия ударных сил, мы на основании предыдущих замечаняй найдём:
\[
\boldsymbol{G}_{2}-\boldsymbol{G}_{0}=\boldsymbol{L}_{02}+\boldsymbol{H}_{02},
\]

где $\boldsymbol{G}_{0}$ и $\boldsymbol{G}_{2}$ означают кинетический момент системы в начале и конце удара. Полученное уравнение и выражает закон изменения кинетического момента для ударных сил; приращение кинетического момента системы относительно любого полюса равно сумме главных моментов активных импульсов и импульсивных реакций относительно того же полюса. Существенно заметить, что формула (56.52) остаётся без изменения, если полюс $A$, относительно которого берутся моменты, подвижной. Действительно, в этом случае в левой части равенства (56.52) согласно формуле (31.27) на стр. 311 добавится член $\int_{t_{0}}^{t_{2}} \boldsymbol{v}_{A} \times K d t$. Но так как скорости частиц сястемы во время удара остаются конечными, то этот член бесконечно мал. Если главный моменг импульсивных реакций относительно полюса $O$ равен нулю, то вместо уравнения (56.52) мы получим:
\[
\boldsymbol{G}_{2}-\boldsymbol{G}_{0}=\boldsymbol{L}_{02}
\]
т. е. приращение кинетического момента равно главному моменту актив-

ных импульсов. Когда, кроме того $\boldsymbol{L}_{02}$ равно нулю или когда сумма $\boldsymbol{L}_{02}+\boldsymbol{H}_{02}$ обращается в нуль, мы из равенства (56.52) получаем
\[
\boldsymbol{G}_{2}=\boldsymbol{G}_{0},
\]
т. е. кинетический момент системы не изменяется за время удара.

По аналогии со сказанным в § 183 оба закона, (56.50) и (56.52), мы можем соединить в один: система скользящих векторов, равных приращениям количеств движения частиц системы, эквивалентна системе векторов, равных активным импульсам и импульсивным реакция. Если снстема векторов, равных импульсивным реакциям, эквивалентна нулю, то система векторов, равных приращениям количеств движения частиц системы, эквивалентна системе векторов, равных активным импульсам. Вместо того, чтобы говорить «система векторов, равных приращениям количеств движения частиц системы», можно было бы сказать «приращение системы векторов, равных количествам движения частиц системы» (§31).

Примером материальной системы, для которой система импульсивных реакций всегда эквивалентна нулю, может служить свободное абсолютно твёрдое тело (§ 178 и 180). Но, конечно, кроме твёрдого тела можно подобрать много других материальных систем, для которых указанное обстоятельство также будет иметь место; такова, например, система, лежащая на той связи, о которой говорится в примере 89 на стр. 281.
310. Принцип Даламбера в теории удара. Представим себе, что данная материальная система подчинена $a$ удерживающим конечным связям типа (27.1) на стр. 273 и $b$ удерживающим дифференциальным типа (27.12) на стр. 277.

Если $\boldsymbol{F}_{v}$ и $\boldsymbol{F}_{v}^{\prime}$ соответственно означают ударную и конечную актив ные силы, приложенные к частице $\boldsymbol{m}_{v}$ системы, то уравнения движения частиц (уравнения Јагранжа 1-го рода) согласно формуле (30.30) на стр. 298 напишутся следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
m_{
u} w_{
u}=F_{
u}+F_{
u}^{\prime}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \mathrm{grad}, f_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{
u}^{(3)} \\
(
u=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Проинтегрируем обе части этих уравнений в пределах от $t_{0}$ до $t$, где $t_{0}$ – момент начала удара, а $t$ – некоторый момент во время удара; при этом примем во внимание замечание (3) на стр. 618 ог импульсе конечной силы и вспомним обозначения (56.13) и при интегрировании піравой части будем писать
\[
F_{v}=\int_{t_{0}}^{t} F_{
u} d t, \quad \mu_{\beta}=\int_{t_{0}}^{t} \mu_{\beta} d t ;
\]

в результате мы придём к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
m_{v}\left(v_{v}-\boldsymbol{v}_{v 0}\right)=F_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha}\left(\operatorname{grad}_{v} f_{\alpha}\right)_{0}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{v 0}^{(\beta)} \\
(v=1,2, \ldots, n) \text {; } \\
\end{array}
\]

здесь индексами 0 помечены величины, вычисленные для момента начала удара. Умножим теперь полученные равенства соответственно на виртуальные перемещения $\delta r_{v}$ частиц (§171), соответствующие положению системы в момент $t_{0}$, и возьмём сумму их для всех частиц системы. Употребив обозначения $\S 171$, мы найдём:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(\boldsymbol{
u}_{v}-\boldsymbol{
u}_{v 0}\right) \cdot \delta r_{v}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{a} \delta f_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \delta \cdot \rho_{\beta} .
\]

Так как виртуальные перемещеняя подчинены условиям (28.8) на стр. 285 , т. е.
\[
\delta f_{a}=0, \quad \delta \varphi_{3}=0,
\]

то из предыдущего равенства мы выводим следующее окончательное выражение для принципа Даламбера в приложении к ударным силам:
\[
\sum_{v=1}^{n}\left\{F_{v}-m_{v}\left(\boldsymbol{v}_{v}-\boldsymbol{v}_{v 0}\right)\right\} \cdot \delta r_{v}=0 .
\]

По аналогии с даламберовой силой инерции (§198) векторную величину $-m_{v}\left(\boldsymbol{v}_{v}-\boldsymbol{v}_{v 0}\right)$ называют инерционным ударным импульсом, а произведение импульса силы на элементарное перемещение, по аналогии с элементарной работой силы, называют элементарной работой импульса. Употребляя эти термины, уравнение (56.55) словами можно прочитать так: сумма элементарных работ активных и инерционных импульсов на любом виртуальном перемещении системы равна нулю.

Пусть теперь конечные связи явно не содержат времени, а дифференциальные однородны относительно скоростей, т. е. пусть выполнены условия
\[
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}=0, \quad D_{\beta}=0 .
\]

В этом случае, как было показано в § 171 , виртуальные перемещения совпадают с возможными перемещениями, и мы в праве положить как
\[
\delta r_{v}=\boldsymbol{v}_{\mathrm{v}} \delta t,
\]

так и
\[
\delta r_{v}=v_{v} \delta t \text {. }
\]

Вставим сперва первое из этих выражений для $\delta r_{v}$, а потом второе в уравнение (56.55) и в обоих случаях проинтегрируем левую и правую части уравнения в пределах от $t_{0}$ до $t$; в первом случае мы получим
\[
A-T_{0}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \boldsymbol{v}_{v 0}
\]

а во втором случае
\[
T-A=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot v_{v 2},
\]

где $T_{0}$ и $T$-значеняя кинетической энергии системы в моменты $t_{0}$ и $t$,

т. е. в начале удара и в момент $t$ во время удара, а буквою $A$ обозначена сумма
\[
A=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{v 0} \cdot \boldsymbol{v}_{v} .
\]

Если теперь мы сложим уравнения (56.57) и (56.58), то найдём:
\[
T-T_{0}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot\left(
u_{v 0}+\boldsymbol{v}_{v}\right) .
\]

Это равенство представляет собой распространение на систему частиц теоремы лорда Кельвина [см. формулу (18.36) на стр. 164].

Из выражения (56.58) легко получить выше доказанные теоремы Карно. Приложим, например, равенство (56.58) к первому акту удара о связь $f=0$. В этом случае надо будет положить $T=T_{1}$; кроме того, согласно формулам (56.12) и (56.14) мы будем иметь
\[
F_{v}=\lambda_{01}\left(\operatorname{grad}_{v} f\right)_{0}=\lambda_{01}\left(\operatorname{grad}_{v} f\right)_{1}
\]
[см. свойство (3) на стр. 618]. В результате мы найдём:
\[
T_{1}-A=\lambda_{01} \sum_{v=1}^{n} v_{v 1} \cdot \operatorname{grad}_{v} f=\lambda_{01}\left(\frac{d f}{d t}\right)_{1}
\]
(ср. преобразование, выполненное в \& 163). На основании формулы (56.10) мы из последнего равенства получим:
\[
T_{1}-A=0 \text {. }
\]

Но согласно формуле (56.39) мы имеем
\[
T_{1}+T_{0}-2 A=T_{0_{1}},
\]

где
\[
T_{01}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(v_{v 0}-v_{v 1}\right)^{2} .
\]

Исключив из равенств (56.59) и (56.60) величину $A$, мы получим первую теорему Карно
\[
T_{0}-T_{1}=T_{01} .
\]

Аналогичными рассуждениями можно получить и вторую теорему Карно.
311. Теорема лорда Кельвина. Задачу об ударе системы, или о действии импульсов на систему, можно свести к задаче о разыскании минимума некоторой функции. Пусть связи рассматриваемой системы удовлетворяют условиям (56.56) и пусть на систему, находящуюся в покое [а покой является возможным кинематическим состоянием системы (§205)], подействовали некоторые импульсы $\boldsymbol{F}_{v}$. Так как все начальные скорости $\boldsymbol{
abla}_{\text {у0 }}$ равны нулю, то, применив формулу (56.58) к моменту окончания действия импульсов, мы найдём:
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \boldsymbol{v}_{v 2} .
\]

Положим теперь, что на ту же покояцуюся систему подействовали некоторые другие импульсы, и пусть частицы системы от этих импульсов приобрели скорости $\boldsymbol{v}_{v 2}^{\prime}$. Допустим при этом, что новые скорости таковы, что
\[
\sum_{
u=1}^{n} F_{
u} \cdot v_{v 2}^{\prime}=\sum_{
u=1}^{n} F_{v} \cdot v_{v 2} \cdot
\]

Так как скорости $\boldsymbol{v}_{\vee 2}^{\prime}$ относятся к числу возможных, то в равенстве (56.55) мы можем положить
\[
\delta r_{\mathrm{v}}=\boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}^{\prime} \delta t .
\]

Тогда мы получим:
\[
\sum_{
u=1}^{n} m_{v} v_{v 2} \cdot v_{v 2}^{\prime}=\sum_{
u=1}^{n} F_{v} \cdot v_{v 2}^{\prime} \cdot
\]

IIо формулам (56.61) и (56.62) мы отсюда выводим
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{\vee} v_{v 2} \cdot v_{v 2}^{\prime}=2 T_{2} .
\]

Далее, тождественным преобразованием мы находим:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{v 2} \cdot \boldsymbol{v}_{v 2}^{\prime}=T_{2}+T_{2}^{\prime}-T_{22}^{\prime},
\]

где
\[
T_{2}^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}^{\prime 2}, \quad T_{22}^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(\boldsymbol{v}_{\vee 2}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}\right)^{2} .
\]

Из равенств (56.63) и (56.64), мы, наконец, получаем:
\[
T_{2}^{\prime}-T_{2}=T_{22}^{\prime}>0,
\]
т. е. кинетическая энергия, которую получит система в действительности от приложенных импульсов, будет наименьшей из всех тех кинетических энергий, которые сообщили бы системе всевозможные импульсы, выполняющие условие (56.62).

Когда импульсы $\boldsymbol{F}_{\text {v }}$ приложены не ко всем частицам системы, а только к некоторым, то условию (56.62) можно удовлетворить, если новые импульсы подобрать так, чтобы выполнялось условие $\boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}^{\prime}=\boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}$ для всех тех частиц, скорости которых входят в условие (56.62).

Пример 155. Две частицы, имеющие массы $m_{1}$ и $m_{2}$, связаны неизменяемым стержнем длины $l$. Частица $m_{1}$ от некоторого толчка начала двигаться со скоростью $\boldsymbol{v}_{0}$, першендикулярной к стержню. Найти начальное положение мгновенного центра вращения системы.

Пусть начало координат совпадает с начальным положением частицы $m_{1}$, а стержень лежит на положительной части оси $O x$. Тогда если искомую координату мгновенного центра вращения мы обозначим через \&, то для кинетической энергии системы в конце удара будем иметь выражение:
\[
T=\frac{1}{2} \omega^{2}\left[m_{1} \xi^{2}+m_{2}(\xi-l)^{2}\right] .
\]

Скорость частицы $m_{1}$ в конце удара по модулю равна
\[
v_{0}=\omega^{2} .
\]

Применяя теорему лорда Кель̀вина, мы должны искать минимум функции (56.65) ири условии (56.66) или, что то же, минимум функции
\[
v_{0}^{2}\left[m_{1}+m_{2}\left(1-\frac{l}{\xi}\right)^{2}\right] .
\]

Очевидным решением будет $\xi=l$, т. е. мгновенный центр вращения совпадает со второй частицей.

312. Теорема Бертрана. Теорема лорда Кельвина сводит задачу о действии ударных импульсов на материальную систему к рассмотрению минимума некоторой функции. Подобным образом теорема Бертрана (Bertrand) показывает, что задача о действии ударных импульсов сил на систему совпадаег с задачей о нахождении некоторого максимума.

Пусть на материальную систему, связи которой удовлетворяют условиям (56.56), подействовали некоторые импульсы, и пусть частицы системы от этих импульсов изменили свои первоначальные скорости $\boldsymbol{v}_{\text {v0 }}$ на некоторые другие $\boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}$. Наложим на систему новые связи; тогда наша система от действия тех же имнульсов, исходя из того же начального кинематиqеского состояния, т. е. из того же положения и при тех же начальных скоростях $\boldsymbol{\eta}_{\text {v0 }}$, выйдет уже с другими скоростями $\boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}^{\prime}$. Эти новые скорости будут возможными как для системы с увеличенным числом связей, так и для первоначальной. Приложим равенство (56.55) сначала к первоначальной системе, положив
\[
\delta r_{v}=\boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}^{\prime} \partial t
\]

тогда мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v 2} \cdot v_{v 2}^{\prime}-\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v 0} \cdot v_{v 2}^{\prime}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot v_{v 2}^{\prime} .
\]

Затем приложим равенство (56.55) в предположении (56.68) к системе с увеличенным числом связей; мы будем иметь:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v 2}^{\prime 2}-\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v 0} \cdot v_{v 2}^{\prime}=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot v_{v 2}
\]

Вычтя полученное выражение почленно из равенства (56.69), мы найдём:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v 2} \cdot \boldsymbol{v}_{v 2}^{\prime}-\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v 2}^{\prime 2}=0 .
\]

Введём обозначения:
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}^{2}, \quad T_{2}^{\prime}=\sum_{v=1}^{n} m_{v} \boldsymbol{v}_{v 2}^{\prime \prime}, \quad T_{22}^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(\boldsymbol{v}_{v 2}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{v 2}\right)^{2} ;
\]

тогда мы будем иметь:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v 2} \cdot \boldsymbol{v}_{\mathrm{v} 2}^{\prime}=T_{2}+T_{2}^{\prime}-T_{22}^{\prime} .
\]

На основании сказанного равенство (56.70) приводит к следующему результату:
\[
T_{2}-T_{2}^{\prime}=T_{z 2}^{\prime}>0,
\]
т. е. прибавление новых связей при тех же импульсах всегда влечёт за собой уменышение кинетической энергии системы. Это и составляет теорему Бертрана. Другими словами, её можно высказать так: станем рассматривать движение системы после действия импульсов, как одно из движений системы с увеличенным числом связей; тогда из бесконечного множества этих движений система получит такое, которое даст ей наибольшую кинетическую энергию при тех же импульсах.

Пример 156. На частицу массы $m_{1}$, связанную неизменным стержнем $l$ с частицей массы $m_{2}$ и находящуюся в покое, подействовал импульс $\boldsymbol{N}$, перпендикулярный к стержню. Найти начальное положение мгновенного центра вращения системы.

Возьмём ту же систему координат, как в примере 155 на стр. 634, и допустим, что некоторая точка с коодинатой ะ, лежащая на стержне $l$ или на его продолжении, закреплена неподвижн. Врашение около мгновенного центра, которое получит в действительности рассматриваемая система, можно считать частным случаем указанных вращении при соответственном выборе положения неподвижной точки или при соответственном значении координаты \&. Кинетическая энергия $T$ при вращении около неподвижной точки выразится так:
\[
T=\frac{\omega^{2}}{2}\left\{m_{1} \xi^{2}+m_{2}(\xi-l)^{2}\right\} ;
\]

при этом угловая скорость $\omega$ найдётся из равенства
\[
\omega\left\{m_{1} \xi^{2}+m_{2}(l-\xi)^{2}\right\}= \pm \boldsymbol{N} \xi,
\]

выражающего согласно закону (56.53) зависимость между моментом импульса около неподвижной точки и кинетическим моментом системы относительно того же полюса. По теореме Бертрана система повернётся около того полюса, для которого кинетическая энергия (56.71) будет наибольшей при условин (56.72). Иными словами, надо искать максимум функции
\[
N^{2} \frac{\xi^{2}}{m_{1} \xi^{2}+m_{2}(l-\xi)^{2}}=N^{2}\left\{m_{1}+m_{2}\left(1-\frac{l}{\xi}\right)^{2}\right\}^{-1} .
\]

Сравнение выражений (56.67) и (56.73) показывает, что методы, применённые в двух последних примерах, приводят к одному и тому же результату: $\xi=l$.