279. Лагранжев случай движения весомого твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Симметричный гироскоп. Пусть весомое твёрдое тело $S$ движется вокруг неподвижного полюса $O$, для которого эллипсоид инерции тела является поверхностью вращения. Пусть при этом центр масс тела лежит на оси вращения эллипсоида инерции, или, как говорят, на динамической оси симметрии тела (§252). Этот случай движения тела носит название лагранжева случая движения весомого твёрдого тела, а само тело называется симметричным весомым гироскопом. Уравнения двнжения (46.21) на стр. 513 для названного случая примут вид
\[
\left.\begin{array}{c}
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi}-\left(J_{\xi \xi}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\eta} \omega_{\xi}=M g_{C C}^{\circ} a_{32}, \\
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\eta}-\left(J_{t \zeta}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi} \omega_{\xi}=-M g \zeta_{C} a_{31}, \\
\omega_{\xi}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Здесь ось симметрии тела принята за ось $O \xi$, а координата $\zeta$ центра масс тела обозначена $\zeta_{C}$, причём эга величина может быть и положительной, и отрицательной. Ось $O z$ попрежнему направлена вертикально кверху ( $\$ 261$ ). Косинусы $a_{31}, a_{32}$ по формулам (8.15) на стр. 77 следующим образом зависят от эйлеровых углов $\varphi$ и ษ:
\[
a_{31}=\sin \varphi \sin \vartheta, \quad a_{32}=\cos \varphi \sin \vartheta .
\]

280. Простейшие интегралы уравнений движения. Последнее из уравнений (49.1) показывает, что
\[
\omega_{\zeta}=\text { const. }=\omega_{0 \zeta} .
\]

Далее, заметим, что приложеннан к телу сила тяжести не даёт момента относительно вертикали; следовательно, кинетический момент тела относительно оси $O z$ постоянен и равен своему начальному значению:
\[
G_{z}=\text { const. }=a_{0 z}
\]

Согласно формулам (8.7) на стр. 74, (46.7) на стр. 509 и (49.3) мы можем это уравнение переписать так:
\[
J_{\xi \xi}\left(\omega_{\xi} a_{31}+\omega_{\eta} a_{32}\right)+J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi} u=G_{0 z},
\]

где для краткости письма положено
\[
u=a_{33}=\cos \vartheta
\]
[см. последнюю из формул (8.15) на стр. 77].
Непосредственно из уравнений (49.1) интеграл (49.4) получается так. Умножаем первое из уравнений (49.1) на $a_{31}$, второе на $a_{32}$ и складываем:
\[
J_{\xi \xi}\left(\dot{\omega}_{\xi} a_{31}+\dot{\omega}_{\eta} a_{32}\right)+\left(J_{\xi \xi}-J_{\tau \xi}\right) \omega_{\xi}\left(\omega_{\xi} a_{32}-\omega_{\eta} a_{31}\right)=0 .
\]

Обратившись теперь к кинематическим формулам (9.23) на стр. 90, мы получаем
\[
-J_{t \zeta} \omega_{\xi}\left(\omega_{\xi} a_{32}-\omega_{n} a_{31}\right)=J_{t \xi} \omega_{\xi} \dot{a}_{33}=J_{\tau \zeta} \omega_{\xi} \dot{u} ;
\]

с другой стороны, мы имеем
\[
\begin{array}{l}
J_{\xi \xi} \omega_{\zeta}\left(\omega_{\xi} a_{32}-\omega_{\eta} a_{31}\right)=J_{\xi \xi} \omega_{\xi}\left(\omega_{\xi} a_{32}-\omega_{7} a_{33}\right)+J_{\xi \xi} \omega_{\gamma,}\left(\omega_{\xi} a_{33}-\omega_{\xi} a_{51}\right)= \\
=J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \dot{a}_{31}+J_{\xi \xi} \omega_{x_{i}} \dot{a}_{32} \text {. } \\
\end{array}
\]

Подставив эти выражения в равенство (49.6) и воспользовавшись интегралом $(49.3)$, мы находим:
\[
J_{\xi \xi}\left(\dot{\omega}_{\xi} a_{31}+\omega_{\xi} \dot{a}_{31}+\dot{\omega}_{\eta} a_{32}+\omega_{\eta} \dot{a}_{32}\right)+J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi} i=0 ;
\]

отсюда и вытекает интеграл (49.4).
Наконец, напишем интеграл энергии [см. формулу (31.40) на стр. 316]
\[
T=U+h .
\]

Выразив кинетическую энергию по формуле (46.1) на стр. 508, а силовую функцию по формуле (36.54) на стр. 391 и замегив, что

мы найдём:
\[
\begin{array}{c}
z_{C}=\zeta_{c} \cos \vartheta=\zeta_{C} u, \\
J_{\xi \xi}\left(\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}\right)+J_{\ell \xi} \omega_{0 \zeta}^{2}=-2 M g \zeta_{c} u+2 h .
\end{array}
\]

281. Окончание интеграции. Выразим $\omega_{\xi}, \omega_{\eta}, \omega_{\zeta}, a_{31}, a_{32}$ через эйлеровы углы соответственно по формулам (9.30) на стр. 92 и (49.2); тогда найденные ингегралы (49.3), (49.4) и (49.7) примут вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\psi} u+\dot{\varphi}=\omega_{0 \zeta}, \\
J_{\xi \xi} \dot{\psi}^{2}\left(1-u^{2}\right)=G_{0 z}-J_{\varepsilon \xi} \omega_{0 \xi} u, \\
J_{\xi \xi}\left\{\dot{\psi}^{2}\left(1-u^{2}\right)+\dot{\vartheta}^{2}\right\}=-2 M g \zeta_{c} u+2 h-J_{\xi \xi} \omega_{\cup \zeta}^{2} . \\
\end{array}
\]

Из уравнения (49.9) мы имеем

Подставив это выражение в равенство (49.10), мы найдём:
\[
J_{\xi \xi} \dot{\vartheta}^{2}=\frac{J_{\xi \dot{z}} \dot{u}^{2}}{1-u^{2}}=-2 M g \zeta_{c} u+2 h-J_{\zeta \xi} \omega_{0 \xi}^{2}-\frac{\left(G_{0 z}-J_{\zeta \xi} \omega_{0} t u\right)^{2}}{J_{\xi \xi}\left(1-u^{2}\right)},
\]

ипи, после сокращений,
\[
\begin{aligned}
u^{2} & =\frac{1}{J_{\xi \xi}^{2}}\left\{\left[-2 M g \zeta_{c} u+2 h-J_{\zeta \xi} \omega_{0 \xi}^{2}\right]\left(1-u^{2}\right) J_{\xi \xi}-\left(G_{0 z}-J_{\varepsilon z} \omega_{0 \zeta} u\right)^{2}\right\}= \\
& =Q(u) .
\end{aligned}
\]

Наконец, из равенства (49.8) мы получим:
\[
\dot{\varphi}=\omega_{0 \zeta}-\frac{\left(G_{02}-J_{\xi \xi} \omega_{G \xi} u\right) u}{J_{\xi \xi}\left(\mathrm{j}-u^{2}\right)} .
\]

Пусть центр масс тела лежит на положительной стороне оси $O$; тогда $\zeta_{c}$ будет положиельно, и, следовательно, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
Q(-\infty)<0, Q(-1)=-\frac{\left(O_{0 z}+J_{\left.\tau \xi \omega_{0 \xi}\right)^{2}}\right.}{J_{\xi \xi}}<0, \\
\left.Q\left(u_{0}\right) \geqslant 0, Q(+1)=-\frac{\left(C_{0 z}-J_{\xi,} \omega_{0 z}\right)^{2}}{J_{\xi \xi}}<0, Q(+\infty)>0 .\right\} \\
\end{array}
\]

Здесь через $u_{0}$ обозначено начальное значение переменной $u$, причём, конечно, $u_{0}$ заключено в интервале
\[
-1 \leqslant u_{0} \leqslant+1 .
\]

Полином $Q(u)$ для $u=u_{0}$ должен принять по.ожительное значение или обратиться в нуль, так как иначе для начальной скорости $\dot{u}_{0}$ мы по формуле (49.12) получили бы мнимое выражение. Из неравенств (49.14) мы видим, что
\[
Q(u)=\frac{2 M g \imath c}{J_{\xi \epsilon}}\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\left(u-u^{\prime}\right)
\]

если через $u_{1}, u_{2}, u^{\prime}$ мы обозначим три вещественные корня полинома $Q(u)$. Эги корни расположены в таких интервалах:
\[
-1 \leqslant u_{1} \leqslant u_{0} \leqslant u_{2} \leqslant+1<u^{\prime}<+\infty .
\]

Из равенств (49.12) и (49.15) ясно, что для того, чтобы $\dot{u}$ сохраняло вещественное значение, $u$ должно меняться в пределах от $u_{1}$ до $u_{2}$ :
\[
u_{1} \leqslant u \leqslant u_{2} \text {. }
\]

Введём новую переменную $\chi$, положив
\[
u=u_{1} \cos ^{2} \chi+u_{2} \sin ^{2} \chi=u_{1}-\left(u_{1}-u_{2}\right) \sin ^{2} \chi ;
\]

согласно только что написанным неравенствам $\chi$ всегда будет оставаться вещественным. Мы имеем
\[
\begin{aligned}
u-u_{1} & =-\left(u_{1}-u_{2}\right) \sin ^{2} \chi \\
u-u_{2} & =\left(u_{1}-u_{2}\right) \cos ^{2} \chi \\
u-u^{\prime} & =\left(u_{1}-u^{\prime}\right)\left(1-k^{2} \sin ^{2} \chi\right)
\end{aligned}
\]

где
\[
k^{2}=\frac{u_{2}-u_{1}}{u^{\prime}-u_{1}}
\]

причём $\boldsymbol{k}^{2}$ в силу неравенств (49.16) заключено в пределах
\[
0 \leqslant k^{2}<1 \text {. }
\]

Подставив вычисленные значения разностей $u-u_{1}, u-u_{2}, \quad u-u^{\prime}$ в уравнение (49.12), мы найдём:
\[
\frac{d \eta}{ \pm \sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \chi}}=\varepsilon d t,
\]

где
\[
\varepsilon=\sqrt{\frac{M g^{l} c\left(u^{\prime}-u_{1}\right)}{2 J_{\xi}}} .
\]

Отсюда аналогично тому, как это было сделано в § 132 и 269, мы получим:
\[
\sin \chi=\sin \text { am }(\varepsilon t+\beta),
\]

гле $\beta$ – произвольная постоянная. Теперь из уравнения (49.17) мы найдём $и$ как функıию от времени, а затем получим $\varphi$ и $\psi$ квадратурами из уравнений (49.13) и (49.11). Эгии мы и закончим ннтеграцию.

Остановимся на частном случее движения гироскопа; именно, допустим, что
\[
\omega_{0 \zeta}=0 .
\]

Тогда уравнения (49.11) и (49.12) можно будет переписать так:
\[
\begin{array}{c}
\left(1-u^{2}\right) \dot{\phi}=\frac{G_{0 z}}{J_{\xi \xi}}, \\
\dot{u}^{2}=\left(-\frac{2 M g \zeta_{C}}{J_{\xi \xi}} u+\frac{2 h}{J_{\xi \xi}}\right)\left(1-u^{2}\right)-\frac{G_{0 z}^{2}}{J_{\xi \xi}^{2}} .
\end{array}
\]

Выпишем для сравнения первое из уравнений (21.26) и уравнение (21.27) на стр. 205, относящиеся к движению сферического маятника; предварительно заменим обозначение угла $\varphi$ на $\psi$ и положим
\[
z=R \cos \theta=R u \text {, }
\]

где $\vartheta$ в применении к маятнику означает сферическую координату дополнение до широты»; мы пюлучим:
\[
\begin{aligned}
\left(1-u^{2}\right) \dot{\psi} & =\frac{A}{R^{2}}, \\
\dot{u}^{2} & =\left(-\frac{2 g}{R} u+\frac{2 H}{R^{2}}\right)\left(1-u^{2}\right)-\frac{A^{2}}{R^{4}} .
\end{aligned}
\]

Отвлекаясь от различного обозначения произвольных постоянных, мы видим, что уравнення движения оси гироскопа и сферического маятника станут одинаковыми, если положить радиус шара равным
\[
R=\frac{J_{\xi \xi}}{M \zeta_{C}} .
\]

Иначе говоря, ось симметрии тела совершает такое же движение, как радиус-вектор весомой частицы, принуждённой оставаться на сфере указанного радиуса.
282. Сферический гироскоп. Твёрдое тело, подпёргое в одной точке, называется сферическим гироскопом, если эллипсоид инерции для точки опоры обращается в сферу. Покажем, что движение весомого симметричного гироскопа может быть поставлено в весьма простую связь с движением некогорого весомого сферического гироскопа. В самом деле, интегралам (49.3), (49.4) и (49.7) мы можем дать вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\omega_{\xi} & =\omega_{0 \zeta}, \\
\omega_{\xi} a_{31}+\omega_{\eta} a_{32}+\frac{J_{\zeta \xi} \omega_{0 \xi}}{J_{\xi \xi}} u & =2 E, \\
\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}+\frac{J_{\xi \zeta} \omega_{0 \xi}^{2}}{J_{\xi \xi}} & =2(D u+K),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
D=-\frac{M g \zeta_{C}}{J_{\xi}},
\]

а $E$ и $K$ – новые постоянные, функции прежних. Станем теперь одновременно с симметричным гироскопом $S$ рассматривать воображаемое

тело $\Sigma$, имеющее относительно. $S$ постоянную угловую скорость $\left(\omega_{0 s}^{\prime}-\omega_{0 \zeta}\right) \overline{\zeta 0}$ вокруг оси симметрии. Таким образом, проекции угловой скорости $\omega^{\prime}$ тела $\Sigma$ на оси $O \leqslant \eta \zeta$ равны
\[
\omega_{\xi}^{\prime}=\omega_{\xi}, \quad \omega_{\eta}^{\prime}=\omega_{\eta}, \quad \omega_{\xi}^{\prime}=\omega_{0 \xi}+\left(\omega_{0 \xi}^{\prime}-\omega_{j \xi}\right)=\omega_{0 \xi}^{\prime} .
\]

Если теперь постоянную величину $\omega_{\tau}^{\prime}$ мы выберем так, чтобы выполнялось равенство
\[
J_{t \zeta} \omega_{0 \xi}=J_{\xi \xi} \omega_{\zeta}^{*},
\]

то интегралы (49.18) для тела $\Sigma$ заменятся следующими:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\omega_{\xi}^{\prime} & =\omega_{0 \xi}, \\
\omega_{\xi}^{\prime} a_{31}+\omega_{\eta}^{\prime} a_{32}+\omega_{\xi}^{\prime} u & =2 E, \\
\omega_{\xi}^{\prime 2}+\omega_{\dot{\eta}}^{\prime 2}+\omega_{\xi}^{\prime 2} & =2 D u+2 K^{\prime},
\end{array}\right\}
\]

где $K^{\prime} \longrightarrow$ новая постоянная, отличная от постоянной $K$.
Сравнивая уравнения (49.18) и (49.20), мы видим, что движение тела $\Sigma$ происходит так, как будто оно было весомое, а эллипсоид инерции для точки опоры был сферою.

Итак, общий лагранжев случай движения тве̋рдого тела получается из того частного, когда эллипсоидом инерции служит сфера, посредством присоединения постоянного вращения вокруг оси симметрии тела.

283. Разложение движения сферического гироскопа на прямое и обращённое движения Пуансо. Покажем теперь, как движение весомого сферического гироскопа с помощью соиряжённых движений Дарбу (§276) можно разложить на два движения: на движение Пуансо и на обращённое движение Пуансо. С этой целью мы станем искать промежуточную неизменяемую среду, относительно которой неподвижное пространство и сферический гироскоп совершали бы обращённые движения Пуансо, сопряжённые между собой. Пусть направлением нормали к катящейся плоскости для одного двяжения будет вертикаль, а для другого ось симметрии. Обозначим через $\bar{\Omega}$ угловую скорость гироскопа по отношению к промежуточной среде и через $\bar{\omega}$ его угловую скорость по отношению к неподвижной среде; тогда по сказанному в $\$ 277$ мы будем иметь:
\[
\omega=2 \Omega \text {. }
\]

Далее, если за координатные оси мы возьмём совпадающие между собой оси поверхностей второго порядка, неизменно связанных с промежуточной средой, то косинусы углов вертикали с осями будут пропорциональны величинам
\[
\omega_{\xi}, x \omega_{\eta}, y \omega_{t},
\]

а косинусы углов оси симметрии величинам
\[
\omega_{\xi}, x^{\prime} \omega_{\eta}, y^{\prime} \omega_{t} ;
\]

здесь сохранены обозначения гл. XLVIII.
Прежде всего мы убеждаемся, что интегралы (49.20) могут быть волучены как следствия интегралов (48.12) и (48.17) на стр. 548.

Рассмотрение первого из интегралов (49.20) на основании выражения (49.20) и (49.23) приводит к равенству
\[
2 \frac{\omega_{\xi}^{2}+x \omega_{\eta}^{2}+y \omega_{\xi}^{2}}{\sqrt{\omega_{\xi}^{2}+x^{2} \omega_{\eta}^{2}+y^{2} \omega_{\xi}^{2}}}=\omega_{0 \xi}^{\prime}=2 B,
\]

если для удобства письма введём новую постоянную $B$ вместо $\omega_{0 \text { : }}^{\prime}$. Из ятого равенсіва вытекает такое соотношение между постоянными:
\[
\frac{H^{\prime}}{L^{\prime}}=B \text {. }
\]

Подобным же образом из второго из интегралов (49.20) мы выводим
\[
\frac{H}{L}=E \text {. }
\]

Третий из интегралов (49.20) в соответствии с выражениями (49.21), (49.22) и (49.23) напишется так:
\[
\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}+\omega_{\xi}^{2}=\frac{1}{2}\left(D u+K^{\prime}\right)=\frac{D}{2 L L^{\prime}}\left(\omega_{\xi}^{2}+x x^{\prime} \omega_{\eta}^{2}+y y^{\prime} \omega_{\xi}^{2}\right)+\frac{1}{2} K^{\prime} .
\]

Если интегралы (48.12) на стр. 548 мы умножим на соответственно выбранные множители $\lambda$ и $\mu$, а затем сложим, то в результате мы должны будем получить предыдушее выражение. Это соображение приводит нас к таким четыреєм уравнениям между постоянными:

Полученные шесть уравнений связывают произвольные постоянные интегралов с шестью постоянными: двумя множителями $\lambda$, $\mu$ и четырьмя дают ли предылущие уравнения вещественные значения для этих элементов и притом значения, удовлетворяющие условиям (48.13) на стр. 548 .

Прежде чем итти дальше, найдӗм, какое механическое значение имеют введённые постоянные $B, E$ и $K^{\prime}$. Постоянная $D$ была уже определена выше равенством (49.19). Далее нетрудно сообразить, что
\[
B=\frac{\omega_{0} \cos \alpha}{2}, E=\frac{\omega_{0} \cos \gamma}{2}, \quad K^{\prime}=\frac{\omega_{0}^{2}}{2}-D \cos \theta_{0},
\]

если под $\bar{\omega}_{0}$ разуметь начальную угловую скорость гироскопа, пол $\alpha, \gamma$ – углы этой начальной скорости с начальным положением оси симметрии и вертикалью, а под $\vartheta_{0}$ – начальный угол оси симметрии с вертикалью. Заметим, кроме того, что дифференциальное уравнение для определения $и$ согласно формулам (49.12) и (49.20) теперь будет уже таким:
\[
\frac{1}{4} u^{2}=\frac{1}{2}\left(D u+K^{\prime}\right)\left(1-u^{2}\right)-B^{2}-E^{2}+2 B E u \text {. }
\]

Введеям новую переменную $z$, положив
\[
z=\frac{H}{L^{2}} \text {. }
\]

Исключим теперь четыре величины: $H, L, H^{\prime}$ и $L^{\prime}$ из уравнений (49.24) и (49.25) настоящего параграфа, а также уравнений (48.18) и (48.19) на стр. 549 и предыдущего равенства (49.29); мы тогда найдём для $z$ уравнение
\[
\begin{array}{l}
4 B^{2} x y(z-1)\left(z-\frac{1}{x}\right)\left(z-\frac{1}{y}\right)+ \\
+\left(B^{2}-E^{2}\right)[z(y+x+1)-2]^{2}=0 .
\end{array}
\]

При определении постоянных $H, L, H^{\prime}, L^{\prime}$, получается
\[
L^{\prime}=\frac{E^{2}[z(y+x+1)-2]}{B z^{2}(y+x-1)} ;
\]

после этого первое и последнее из уравнений (49.26) дают для множителей $\lambda$ и $\mu$ следующие значения:
\[
\begin{array}{l}
\lambda=\frac{1}{1-z}-\frac{D B z^{3}(y+x-1)}{2 E^{3}(1-z)[z(y+x+1)-2\}}-\frac{K^{\prime} z^{2}}{2 E^{2}(1-z)}, \\
\mu=\frac{z}{z-1}-\frac{D B z^{4}(y+x-1)}{2 E^{3}(z-1)[z(y+x+1)-2)}-\frac{K^{2} z^{2}}{2 E^{2}(z-1)} .
\end{array}
\]

Подставив найденные значения $\lambda$ и д в средние уравнения (49.26), мы после упрощений получим,
\[
\left.\begin{array}{rl}
{\left[E^{3}\{z(x+1)-1\}\right.} & \left.-N z^{2} x\right][z\{y+x+1)-2]- \\
& -M z^{3} x(y-x-1+2 z x)=0 \\
{\left[E^{3}\{z(y+1)-1\}\right.} & \left.-N z^{2} y\right][z(y+x+1)-2]- \\
& -M z^{3} y(x-y-1+2 z y)=0
\end{array}\right\}
\]

где обозначено
\[
\left.\begin{array}{l}
M=\frac{1}{2} D B=\frac{1}{4} D \omega_{0} \cos \alpha ; \\
N=\frac{1}{2} E F^{\prime}=\frac{1}{4} \omega_{0} \cos \gamma\left(\frac{\omega_{0}^{2}}{2}-D \cos \theta_{0}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Вычтя одно из другого уравнения (49.31), мы после сокращений найдём:
\[
z(y+x+1)-2=-\frac{2 M z(1-z)^{2}}{\Delta(z)},
\]

где
\[
\Delta z=E^{3}-(N-M) z-2 M z^{2} .
\]

Исключив из уравнений (49.31) члены с коэффициентом $N$, мы получим после упрощений:
\[
E^{3}[z(y+x+1)-2]+2 M z^{3} x y=0,
\]

откуда
\[
x y=\frac{E^{3}(1-z)^{3}}{z^{2} \Delta(z)} .
\]

При упрощения мы отбрасывали множители ( $x-1),(z-1),(y-x)$ 41 т. п., так как обращение их в нуль приводит не к общему случаю, а к частным: к случаям вращения поверхности, связанной с промежуточной средой, вокруг главных осей; к случаю, когда эта поверхность является поверхностью вращения; к случаю качения этой поверхности по плоскости, отстоящей от центра на длину средней оси.
Равенство (49.33) может быть заменено таким:
\[
y+x=-1+\frac{2}{z}-\frac{2 M(1-z)^{2}}{\Delta(z)} .
\]

Из выражений (49.36) и (49.37) следует, что $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ служат корнями квадратного уравнения
\[
u^{2}-\frac{u z}{E^{3}(1-z)^{2}}\left\{\left(E^{3}-N z\right)(2-z)-M z^{2}\right\}+\frac{z^{2 \Delta}(z)}{E^{3}(1-z)^{2}}=0 .
\]

Если в левую часть этого уравнения подставить $z$ вместо $t$, то получится
\[
\left(z-\frac{1}{x}\right)\left(z-\frac{1}{y}\right)=\frac{\left(M+N-E^{3}\right) z^{3}}{E^{3}(1-z)}=-\frac{k z^{3}}{E^{3}(1-z)},
\]

сде
\[
k=E^{3}-M-N=\Delta(1) .
\]

Исключив $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ из уравінения (49.30) при помощи равенств (49.36) и (49.33), мы получим:
\[
F(z)=B^{2} k \Delta(z)+M^{2}\left(B^{2}-G^{2}\right) z(1-z)^{2}=0 .
\]

Приняв во внимание равенство (49.39), мы найдём:
\[
F(1)=B^{2} k^{2} \text {, }
\]

следовательно, это – всегда положительная величина.
Мы искали $H, L, x, y$, т. е. элементы движения $\omega$. Конечно, можно было бы искать элементы сопряжённого движения $H^{\prime}, L^{\prime}, x^{\prime} ; y^{\prime}$. Ясно само собою, что в результате мы получили бы формулы, вполне аналогичные найденным, только постоянные $B$ и $E$ поменялись бы местами. Так, например, уравнение для
\[
z^{\prime}=\frac{H^{\prime}}{L^{\prime 2}}
\]

вместо (49.30) было бы таким:
\[
\Phi\left(z^{\prime}\right)=E^{2} k_{1} \Delta_{1}\left(z^{\prime}\right)+M_{1}^{2}\left(E^{2}-B^{2}\right) z^{\prime}\left(1-z^{\prime}\right)^{2}=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{1}\left(z^{\prime}\right)=B^{3}-\left(N^{\prime}-M^{\prime}\right) z^{\prime}-2 M^{\prime} z^{\prime 2}, k_{1}^{\prime}=\Delta^{\prime}(1), \\
M^{\prime}=\frac{1}{4} D \omega_{0} \cos \gamma, \quad N^{\prime}=\frac{1}{4} \omega_{0} \cos \alpha\left(\frac{\omega_{0}^{2}}{2}-D \cos \varphi_{0}\right) .
\end{array}
\]

Перейдём теперь к исследованию возможности сопряжённых движений Дарбу. Займёмся сначала тем случаем, когда $B^{2}<E^{2}$. За начальное положение гироскогі выберем то, при котором производная

по времени от угла $\vartheta$ нутации равна нулю. Таких положений два: для них величина $u_{0}=\cos \vartheta_{0}$ удовлетворяет согласно формуле (49.28) уравнению
\[
\left(1-u_{0}^{2}\right)\left(D u_{0}+K^{\prime}\right)-2 B^{2}-2 E^{2}+4 B E u_{0}=0,
\]
т. е. в силу соотношений (49.27) уравнению
\[
\cos \theta_{0}=\cos (\alpha \pm \gamma) \text {. }
\]

Мы выберем за начальное то положение, для которого
\[
\pm \alpha=\varphi_{0}-\gamma .
\]

Изменив направление оси симметрии, т. е. знак $\zeta_{C}$, мы можем согласно равенству (49.19) всегда сделать одинаковыми знаки у постоянных $E$ и $D$. Таким образом, все возможные начальные условия сводятся к двум:
\[
\text { 1) } E>0, D>0 \text { и } 2) E<0, D<0 .
\]

При этом постоянная $k$ будет для первого случая отрицательной, а для второго положительной, как это видно из равенств (49.39) и (49.42):
\[
\begin{aligned}
k=E^{3}-M-N & =-\frac{\omega_{0}^{3}}{8} \cos \gamma \sin ^{2} \gamma-\frac{1}{4} \omega_{0} D\left(\cos \alpha-\cos \vartheta_{0} \cos \gamma\right)= \\
& =-\frac{\omega_{0}^{2}}{4} \sin ^{2} \gamma \cdot G-\frac{1}{4} \omega_{0} D \sin \vartheta_{0} \sin \gamma .
\end{aligned}
\]

Пусть мы имеем первый подслучай:
\[
B^{2}<E^{2}, \quad E>0, \quad D>0, \quad k<0 .
\]

Из уравнения (49.40) мы находим:
\[
F(-\infty)>0, \quad F(0)=B^{2} E^{2} k<0 ;
\]

следовательно, уравнение (49.40) имеет вещественный корень
\[
z_{0}<0 .
\]

Но в таком случае из этого уравнения вытекает, что
\[
\Delta\left(z_{0}\right)>0,
\]

а потому из равенств (49.35) и (49.38) следует
\[
x y>0, \quad\left(z_{0}-\frac{1}{x}\right)\left(z_{0}-\frac{1}{y}\right)<0 .
\]

Итак, $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ оба вещественны и имеют одинаковые знаки. Остальные элементы движения ( $\omega$ ), а именно, $H$ и $L$, также вещественны, ибо рационально зависят от $x, y, z$. Кроме того,
\[
z_{0}-1<0
\]

что в связи с неравенствами (49.43) показывает согласно формуле (49.29) и формуле (48.13) на стр. 548 , что движение ( $\omega$ ) механически возможно; следовательно, возможно и сопряжённое ему движение ( $\omega$ ).
Во втором подслучае мы имеем
\[
B^{2}<E^{2}, \quad E<0, \quad D<0, \quad k>0 .
\]

Теперь из уравнения (49.40) согласно результату (49.41) получается
\[
F(+\infty)<0, \quad F(1)>0 ;
\]

следовательно, уравнение (49.40) имеет корень
\[
z_{0}>1 \text {. }
\]

Но в таком случае из уравнения (49.40) вытекает, что
\[
\Delta\left(z_{0}\right)>0 ;
\]

следовательно, из выражений (49.36) и (49.38) мы находим:
\[
x y<0,\left(z_{0}-\frac{1}{x}\right)\left(z_{0}-\frac{1}{y}\right)<0 .
\]

Поэтому $x$ и $y$ оба вещественны и имеют различные знаки, а так как по предыдущем
\[
z_{0}-1>0,
\]

то из неравенств (49.44) мы опять выводим, что движения ( $\omega)$ и ( $\left.\omega^{\prime}\right)$ механически возможны.

Если $B^{2}-E^{2}>0$, то мы обращаемся к уравнениям, определяющим элементы движения ( $\left.\omega^{\prime}\right)$. Повторив дословно выше сказанное, только с перестановкой постоянных $B$ и $E$, \& и $\gamma$, мы убедимся в механической возможности второго из сопряжённых движений, а следовательно, и первого.

Если, наконец, $B^{2}-E^{2}=0$, то уравнение (49.40) для $z$ принимает вид
\[
\Delta(z)=0 ;
\]

следовательно, в силу соотношения (49.35) одна из постоянных $x$ или $y$ обращается в бесконечность. Пусть $x=\infty$, т. е. полуось $\sqrt{b}$ катящейся поверхности обращается в нуль, и, следовательно, поверхность становится диском; тогда из соотношения (49.35) мы найдём для $у$ уравнение
\[
\frac{1}{y}=-\frac{2 M z^{2}}{E^{3}} .
\]

Пусть $E>0, D>0$; тогда
\[
\Delta(1)<0, \quad \Delta(0)>0 ;
\]

следовательно, уравнение (49.45) имеет корень $\boldsymbol{z}_{0}$, причём
\[
0<z_{0}<1 \text {. }
\]

Подобным же образом для $E<0, D<0$ мы найдём:
\[
\Delta(1)>0, \quad \Delta(0)<0 ;
\]

следовательно, опять уравнение (49.45) имеет корень в том же интервале. В обоих случаях разности
\[
z-1, \quad z-\frac{1}{x}, z-\frac{1}{y}
\]

для $x=\infty$ заменяются разностями
\[
z-1, \quad z, \quad z-\frac{1}{y} ;
\]

поэтому при произвольном значении $y$, которое на основании формулы (49.46) должно быть вещественным, движение ( $\omega$ ) механически возможно: действительно, из неравенств $(49.47$ ) вытекает, что
\[
z_{0}-1<0, \quad z_{0}>0 ;
\]

следовательно, условие (48.13) на стр. 548 всегда выполняется.
Итак, возможность разложения движения сферического гироскопа на прямое и обращённое движения Пуансо доказана нами для произвольных начальных условий.

284. Теорема Якоби о разложении движения симметричного гироскопа на прямое и обращённое движения Пуансо. В § 282 бы. указано, что общий лагранжев случай движения весомого твёрдого тела получается из движения сферического весомого гироскопа прибавлением постоянной угловой скорости вокруг оси симметрии, т. е. перпендикулярно к плоскости качения одного из движений Пуансо, о которых говорилось в предыдущем параграфе. По теореме Сильвестра ( $\$ 278$ ) от прибавления такой постоянной угловой скорости мы получаем из движения Пуансо снова движение Пуансо. Таким образом мы н приходим к теореме Якоби: движение симметричного весомого гироскопа всегда может быть разложено на два движения: на прямое движение Пуансо и на обращённое движение Пуансо.