100. Закон изменения количества движения и кинетического момента материальной частицы. Напишем основное уравнение динамики:
\[
m w=F .
\]

В силу постоянства массы величина тш, стоящая здесь в левой части, может быть представлена как производная по времени от количества движения $m v$ (§ 83 ), т. е.:
\[
\frac{d}{d t}(m v)=m w .
\]

С другой стороны, мы видели, что производная от скользящего вектора, равного скорости $v$ частицы, есть скользящий вектор, равный её ускорению $w$ (в смысле §51). Вследствие равенства (18.2) таким же образом между собой связаны количество движения $m v$ и величина $m w$, т. е. согласно равенству (18.1) количество движения и сила. Поэтому мы можем утверждать, что, во-первых, производная по времени от количества движения частицы равна силе
\[
\frac{d}{d t}(m v)=F
\]

и, во-вторых, производная по времени от момента количествадвижения, или так называемого кинетическогомомента частицы относительно некоторого центра, равнамоменту силы относительнотого же центра:
\[
\frac{d}{d t}(r \times m \boldsymbol{v})=r \times F \text {. }
\]

Для количества движения, кинетического момента и момента силы мы в дальнейшем часто будем употреблять обозначения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{K}=m \boldsymbol{v}, \\
\boldsymbol{G}=\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}, \\
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} ;
\end{array}\right\}
\]

равенства (18.3) и (18.4) в этих обозначениях перепишутся так:
\[
\begin{aligned}
\dot{\boldsymbol{K}} & =\boldsymbol{F}, \\
\dot{\boldsymbol{G}} & =\boldsymbol{L} .
\end{aligned}
\]

Первое положение называется законом изменения количества движения, второе носит название закона изменения кинетического момента. В справедливости этих положений можно убедиться и непосредственно: формула (18.3) получается сопоставле-

нием равенств (18.1) и (18.2); для доказательства соотношения (18.4) достаточно выполнить фактически дифференцирование, указанное в левой части: в самом деле,
\[
\frac{d}{d t}(\boldsymbol{r} \times m v)=\frac{d r}{d t} \times m \boldsymbol{v}+\boldsymbol{r} \times \frac{d}{d t}(m v) ;
\]

аервое слагаемое в правой части равно нулю вследствие коллинеарности сомножителей $\frac{d r}{d t}$ и $m v$, множитель же $\frac{d}{d t}(m v)$ во втором слагаемом в силу уравнения (18.1) равен силе $F$; таким образом, действительно,
\[
\frac{d}{d t}(\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}) \doteq \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}
\]

Формулы (18.3) и (18.4) нетрудно записать в проекциях на оси декартовых координат; соответственно имеем
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}(m \dot{x})=F_{x}, \quad \frac{d}{d t}(m \dot{y})=F_{y}, \quad \frac{d}{d t}(m \dot{z})=F_{z} \\
m \frac{d}{d t}(y \dot{z}-z \dot{y})=y F_{z}-z F_{y}, \\
m \cdot \frac{d}{d t}(z \dot{x}-x \dot{z})=z F_{x}-x F_{z} \\
m \frac{d}{d t}(x \dot{y}-y \dot{x})=x F_{y}-y F_{x}
\end{array}\right\}
\]

Каждое из последних трёх равенств говорит, что производная по времени от кинетического момента относительно некоторой оси равна моментусилы относительно той же оси.

Закону изменения количества движения можно дать другую форму. $\mathrm{y}_{\text {множив }}$ уравнение (18.7) на $d t$, получим:
\[
d \boldsymbol{K}=\boldsymbol{F} d t .
\]

Проинтегрируем левую и правую части в соответствующих друг другу пределах $\boldsymbol{K}_{0}, \boldsymbol{K}$ и $\boldsymbol{t}_{0}, t$; будем иметь
\[
\boldsymbol{K}-\boldsymbol{K}_{0}=\int_{\boldsymbol{t}_{0}}^{t} \boldsymbol{F} d t
\]

векторная величина $\boldsymbol{F} d t$ носит название элементарного импульса силы, а интеграл $\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{F} d t$ называется импульсом силы за промежуток времени ( $\left.t_{0}, t\right)$. Таким образом, мы доказали, что дифференциалколичества движения равен элементарномуимпульсу силы, а приращение количества движения за некоторый промежуток времени равноимпульсу силы за этот промежуток времени. Формулы (18.11) и (18.12)

нетрудно записать в проекция на оси координат:
\[
\left.\begin{array}{l}
d(m \dot{x})=F_{x} d t, \quad d(m \dot{y})=F_{y} d t, \quad d(m \dot{z})=F_{z} d t \\
m \dot{x}-m \dot{x}_{0}=\int_{t_{0}}^{t} F_{x} d t, \\
m \dot{y}-m \dot{y}_{0}=\int_{t_{0}}^{t} F_{y} d t, \\
m \dot{z}-m \dot{z}_{0}=\int_{t_{0}}^{t} F_{z} d t .
\end{array}\right\}
\]

Заметим, что направление импульса, вообще говоря, отлично от направления силы $\boldsymbol{F}$. Если сила постоянна, т. е. $\boldsymbol{F}=\overline{\text { const., направление }}$ импульса совпадает с направлением силы, потому что тогда
\[
\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{F} d t=\boldsymbol{F}\left(t-t_{0}\right) .
\]

Закону изменения кинетического момента тоже часто дают другую форму. Заметим, что кинетический момент частицы равен удвоенному произведению её массы на секторную скорость [ср. формулу (6.32) на стр. 62]:
\[
\boldsymbol{G}=\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}=2 \mathrm{~m} \boldsymbol{S} .
\]

На этом основании формулы (18.8) и (18.10) можно переписать так:
\[
2 m \dot{\boldsymbol{S}}=\boldsymbol{L}
\]

и
\[
2 m \dot{S}_{x}=L_{x}, \quad 2 m \dot{S}_{y}=L_{y}, \quad 2 m \dot{S}_{z}=L_{z},
\]
т. е. удвоенное произведение массы частицы на её секторное ускорение (относительно некоторого полюса или относительно оси) равно моменту действующей на частицу силы (соответственно относительно того же полюса или той же оси). Так как секторная скорость представляет собой быстроту ометания некоторой площади, то эту форму закона изменения кинетического момента часто называют теоремой площадей. Третье из равенств (18.16) особенно просто записывается в цилиндрических координатах [см. формулу (6.34) на стр. 62]:
\[
m \frac{d}{d t}\left(\rho^{2} \dot{\varphi}\right)=L_{z} .
\]

В заключение заметим, что, сравнивая равенство (18.8) с выражением скорости частицы через её радиус-вектор, т. е. с формулой
\[
\dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{v},
\]

мы можем дать закону изменения кинетического момента следующую кинематическую интерпретацию: скорость точки, чертящей годограф кинетического момента частицы око.о неподвижного полюса, численно и по направлению равна моменту (относительно того же полюса) силы, действующей на частицу. Это положение известно под названием теоремы Резаля (Résal).

101. Интегралы количества движения. Если во всё время движения действующая на частицу сила равна нулю,
\[
\boldsymbol{F}=\overline{\text { const. }}=0,
\]

то, как видно из уравнения (18.3), количество движения частицы остаётся постоянным:
\[
m v=c,
\]

или, в проекциях:
\[
m v_{x}=c_{x}, m v_{y}=c_{y}, m v_{z}=c_{z} .
\]

Таким образом, в рассматриваемом случае закон изменения количества движения даёт один векторный, или, что всё равно, три скалярных первых интеграла дифференциальных уравнений движения частицы (§ 91).

Если во всё время движения проекция силы на какую-либо ось остаётся равной нулю, например,
\[
F_{x}=\text { const. }=0,
\]

то мы получаем один скалярный первый интеграл
\[
m v_{x}=c_{x} .
\]

Необходимо заметить, что так как масса частицы предполагается постоянной, то в случае постоянства количества движения $m v$ или его проекции $m v_{x}$ म скорость $v$ частицы или соответственно её проекция $v_{x}$ также постоянны.

102. Интегралы кинетического момента (интегралы площадей). Пусть сила, действующая на частицу, такова, что её момент относительно начала координат во всё время движения равен нулю:
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}=0 .
\]

Сила, обладающая этим свойством, называется центральной силой, точка, относительно которой момент равен нулю, – центром силы, а движенис, совершаемое под действием такой силы, —центральным движением. В рассматриваемом случае, как видно из уравн (18.8), кинетический момент относительно начала коодинат остаётся постоянным:
\[
\boldsymbol{G}=\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}=\boldsymbol{C} .
\]

Следовательно, постоянными будут и кинетические моменты относительно всех трёх осей координат:
\[
\left.\begin{array}{l}
G_{x}=m(y \dot{z}-z \dot{y})=C_{x}, \\
G_{y}=m(z \dot{x}-x \dot{z})=C_{y}, \\
G_{z}=m(x \dot{y}-y \dot{x})=C_{z} .
\end{array}\right\}
\]

Таким ббразом, в случае центральной силы закон изменения кинетического момента даёт один векторный, или, что то же, три скалярных первых интеграла цифференциальных уравнений движения частицы.

Согласно равенству (18.14), полученные интегралы (18.20) и (18.21) говорят о том, что в случае центральной силы имеет место постоянство секторной скорости частицы относительно начала координат, а следова

тельно, и относительно трёх координдтных осей:
\[
\begin{aligned}
S & =\frac{C}{2 m}, \\
S_{x} & =\frac{C_{x}}{2 m}, \quad S_{y}=\frac{C_{y}}{2 m}, \quad S_{z}=\frac{C_{z}}{2 m} ;
\end{aligned}
\]

эти выражения носят название интегралов площадей. Третье из равенств (18.21) особенно удобно записывается в цилиндрических координатах:
\[
\rho^{2} \dot{\varphi}=\text { const. }
\]

Следует заметить, что в изучаемом нами случае кинетический момент, а значит, и секторная, скорость постоянны не только относительно осей координат, но также относительно любой оси $O u$, проходящей через начало координат. Действительно, пусть $\boldsymbol{u}^{0}$ – единичный вектор этой оси. Тогда секторная скорость относительно этой оси равна
\[
S_{u}=\boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{u}^{0}=\frac{\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{u}^{0}}{2 m}=\text { const. }
\]

Из последнего выражения видно, что наибольшую секторную скорость частица имеет относительно оси, совпадающей с вектором $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{G}$. Наименьшая по абсолютной величине секторная скорость, именно, равная нулю, соответствует осям, лежащим в плоскости, перпендикулярной к направлению $\boldsymbol{G}$.

В случае центрального движения легко получить и один второй интеграл уравнений движения (§91). Действительно, запишем уравнение (18.20) в форме
\[
\boldsymbol{C}=\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}
\]

и умножим обе его части скалярно на радиус-вектор $r$. Правая часть, как векторно-скалярное произведение, в котором два сомножителя коллинеарны, будет равна нулю ( $\S 5, a$ ), и мы получим:
\[
\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{r}=0 \text {, }
\]

или
\[
c_{x} x+c_{v} y+c_{z} z=0 .
\]

Геометрически этот второй интеграл изображает плоскость, в которой располагается траектория, или, как иначе говорят, орбита движущейся частицы. Итак, траекторией частицы, совершаюшей движение под действием центральной силы, является плоская кривая, расположенная в плоскости, проходящей через центр силы и перпендикулярной к кинетическому моменту. $\boldsymbol{G}$ : последнее следует из уравнения (18.25), так как $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{G}$. Сама плоскость служит геометрическим местом осей, относительно которых секторная скорость частицы равна нулю.

Положим теперь, что сила, приложенная к материальной частице, во всё время движения пересекает некоторую прямую постоянного направления. Примем эту прямую за ось $O z$; тогда будем иметь $L_{z}=$ const. $=0$, а следовательно, согласно равенствам (18.21), мы в этом случае получим один первый интеграл:
\[
G_{z}=m(x \dot{y}-y \dot{x})=C_{z} ;
\]

т. е. кинетический момент частицы относительно оси $z$ постоянен. Полу. ченное соотношение, разумеется, можно занисать как интеграл площадей:
\[
S_{z}=\frac{C_{z}}{2 m} .
\]

Допустим, что сушествуют два интеграла кинетического момента и что, например,
\[
L_{x}=L_{y}=\text { const. }=0 .
\]

Тогда, вспомннв, что $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$, будем иметь равенство:
\[
\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}=L_{z} \boldsymbol{z}^{0} .
\]

Умножим обе его часги векторно на $\boldsymbol{z}^{0}$; справа получим нуль, а левую часть преобразуем по известной формуле векторно-векторного произведения трёх векторов [формула (1.36) на стр. 12]; будем иметь:
\[
\boldsymbol{r}\left(\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{z}^{0}\right)-\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{z}^{0}\right)=0,
\]

или
\[
r F_{z}-\imath z=0 .
\]

Умножив последнее равенство векторно на $r$, получим:
\[
z r \times F=0 \text {. }
\]

Исключая из рассмотрения уже изученный случай $\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}=0$, когда существует три интеграла кинетического момента, видим, что единственным случаем, когда из интегралов (18.21) существует только дв а интеграла, является тот, когда $z=0$, т. е. когда частица движется в плоскости $O x y$.

103. Зависимость между интегралами количества движения и кинетического момента. Интегралы (18.18) и (18.20), т. е.

и
\[
\left.\begin{array}{rl}
\boldsymbol{c} & =m \boldsymbol{v} \\
\boldsymbol{C} & =\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v},
\end{array}\right\}
\]

получающиеся в некоторых случаях из законов изменения количества движения и кинетического момента, не являются независимыми между собой. Действительно, почленно перемножив скалярно равенства (18.27), мы получаем соотношение
\[
\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{C}=0,
\]

или, перейдя к проекциям,
\[
c_{x} C_{x}+c_{y} C_{y}+c_{z} C_{z}=0 .
\]

Основываясь на геометрическом смысле констант $\boldsymbol{c}$ и $\boldsymbol{C}$, легко можно было бы показать, что других зависимостей между ними не существует. Если, вместо интегралов (18.27), иметь в виду эквивалентные им скалярные интегралы (18.19) и (18.21), то можно высказать следующее положение: между шестью первыми интегралами (18.19) и (18.21) существует одна зъвисимость (18.28). Следовательно, законы изменения количества движения и кинетического момента могут дать пять неззвисимых первых интегралов. Шестой независимый интеграл, как мы увидим, даёт в некоторых случаях закон изменения кинетической энергии.

104. Закон изменения кинетической энергии. Возьмём основное уравнение динамики
\[
m w=F
\]

и умножим его скалярно на $d r$; мы получим:
\[
m w \cdot d r=F \cdot d r .
\]

Преобразууем левую часть этого равенства; имеем
\[
m w \cdot d \boldsymbol{r}=m \frac{d \boldsymbol{v}}{d t} \cdot d \boldsymbol{r}=m d \boldsymbol{v} \cdot \frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=m d \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}=d\left(\frac{m \boldsymbol{v}^{2}}{2,}\right)=d\left(\frac{m v^{2}}{2}\right) .
\]

На основании этого резэльтата предыдущее уравнение можно переписать так:
\[
d \cdot\left(\frac{m v^{2}}{2}\right)=F \cdot d r
\]

Величина $\frac{m v^{2}}{2}$, т. е. половина произведения массы частицы на квадрат её скорости называется кинетической энергие й частицы или, по Лейбницу (Leibnitz), живой-силой. Мы будем обозначать её буквою $T$ :
\[
T=\frac{m v^{2}}{2} \text {. }
\]

Скалярное произведение силы на элементарное перемещение, т. е.
\[
\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{d} \boldsymbol{r}=F|\boldsymbol{r}| \cos (\boldsymbol{F}, \boldsymbol{d r})=F|d s| \cos (\widehat{\boldsymbol{F}, \boldsymbol{v}}),
\]

носит название работы силы на элементарном перемещении или, короче, элементарной работы силы. Элементарную работу мы будем обозначать $d^{\prime} A$ :
\[
d^{\prime} A=\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r} \text {. }
\]

штрих у буквы $d$ ставится для того, чтобы показать, что элементарная работа, ‘вообще говоря, не является полным дифференциалом некоторой функции. Выразив скалярное произведение $\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}$ через проекции сомножителей, можно элементарную работу представить ещё в следующем виде:
\[
d^{\prime} A=F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z .
\]

С помошью введённых обозначений равенство (18.29) перепишется так:
\[
d T=d^{\prime} A,
\]
т. е. дифференциал кинетической энергии частицы равен элементарной работе действующей на неё силы. В этом и состоит закон изменения кинетической энергии частицы в дифференциальной форме.

Если мы проинтегрируем равенство (18.33) между пределами, соответствующими некоторым двум моментам $t_{0}$ и $t$, то получим:
\[
T-T_{0}=A,
\]

где $T_{0}$ и $T$ – значения кинетической энергии частицы в моменты $t_{0}$ и $t$, а буквой $A$ обозначен криволинейный интеграл от $\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{d r}$, соответствующий промежутку времени $\left(t_{0}, t\right)$ и взятый по пути следования частицы; $11 *$

если начальное и конечное положения частицы соответственно обозначить Во и $B$, то, следовательно,
\[
A=\int_{B_{0} B} F \cdot d r .
\]

Величнна $A$, таким образом определеинная, носит название работы силы $\boldsymbol{F}$ на пути $\overline{B_{0} B}$. Равенство (18.34) выражает закон изменения кинетической энергии частицы в интегральной (или конечной) форме и говорит, что приращение кинетической 9нергии частипы за некоторый промежуток времени равно работе действующей на не сйы за тот же промежутоквремени.
Размерность работы выражается символом
\[
[A]=\frac{\text { длина }{ }^{2} \text { масса }}{\text { время }^{2}} .
\]

Единицей работы, а следователько, в силу равенства (18.34) и единицей кинетической энергии частишы служит эрг. Зависимость эрга от основных единиц следующая:

105. Выражение работы силы через её импульс. Напишсм уравнение, выражающее закон изменения количества движения частицы [см. формулы (18.5) и (18.12)]:
\[
m \boldsymbol{v}-m \boldsymbol{v}_{0}=\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{F} d t .
\]

Умножим это равенство скалярно на $v$ и на $\boldsymbol{v}_{0}$; получим:
\[
\begin{array}{l}
m \boldsymbol{v}^{2}-m \boldsymbol{v}_{0} \cdot \boldsymbol{v}=\int_{t_{0}}^{t} F d t \cdot \boldsymbol{v}, \\
m \boldsymbol{v}_{0} \cdot \boldsymbol{v}-m \boldsymbol{v}_{0}^{2}=\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{F} d t \cdot \boldsymbol{v}_{0} .
\end{array}
\]

Сложим эти равенства и результат поделим на 2 ; тогда найдём:
\[
\frac{m v^{2}}{2}-\frac{m v_{0}^{2}}{2}=\int \boldsymbol{F} d t \cdot \frac{\boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{v}}{2},
\]

или, на основании теоремы (18.34),
\[
A=\int F d t \cdot \frac{v_{0}+\boldsymbol{v}}{2} ;
\]

таким образом, работа силы за какой-либо промежуток времени равняется скалярному произведению импульса силы за тот же промежуток времени на полусумм начальной и конечной скоростей. Эта теорема принадлежит лорду Кельвину (Kelvin).

106. Силовая функция. Интеграл энергии. Потенциальная энергия. Положим, что сила, действующая на материальную частицу, такова, что проекции ев̈ на координатные оси могуг быть представлены как частные произзодные по соответственным координатам от некоторой функіии координат $U(x, y, z)$, называемой в этом случае силовой функцие й; т. е. пусть
\[
F_{x}=\frac{\partial U}{\partial x}, F_{y}=\frac{\partial U}{\partial y}, F_{z}=\frac{\partial U}{\partial z} .
\]

В этом случае элементарная работа силы становится полным дифференциалом этой функции координат; действительно, по формуле (18.32) имеем
\[
d^{\prime} A=\frac{\partial U}{\partial x} d x+\frac{\partial U}{\partial y} d y+\frac{\partial U}{\partial z} d z,
\]

или, в других обозначениях,
\[
F \cdot d r=d U .
\]

Уравнение (18.33) теперь принимает вид.
\[
d T=d U
\]

и приводит к первому интегралу дифференциальных уравнений движения, называемому интегралом энергии, а именно,
\[
T=U+h,
\]

где $h$ – произвольная постоянная.
Равенствами (18.38) на силу $\boldsymbol{F}$ накладываются некоторые ограничения. Чтобы получить их в явном виде, вспомним, что если у функции нескольких переменных существуют непрерывные вторые частные проиэводные, то их значения не зависят от порядка дифференцирования. Отсюда соответственным дифференцированием равенств $(18.38)$ и последующим приравниванием левых частей получим следующие соотношения:
\[
\frac{\partial F_{y}}{\partial z}=\frac{\partial F_{z}}{\partial y}, \quad \frac{\partial F_{z}}{\partial x}=\frac{\partial F_{x}}{\partial z}, \quad \frac{\partial F_{x}}{\partial y}=\frac{\partial F_{y}}{\partial x} .
\]

Мы даказали необходимость условий (18.42) для существования силовой функции. Можно было бы показать, что эти условия являются также и достаточными.

Вместо силовой функции $U$ иногда рассматривают так называемую потенциальную функцию $V$, связанную с силовой функцией зависимостью
\[
V=-U \text {. }
\]

Как видно из равенств (18.38), силовая функция, а следовательно, и потенциальная фуункция определяются с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Потенциальная функция с фиксированной константой носит название потенциала. Однозначная потенциальная функция иначе называется потенциальной энергией частицы. Сила, удовлетворяющая условию (18.38), называется потенциальной силой.

Введя потенциальную энергию, можно уравнение (18.41) переписать так:
\[
T+V=h .
\]

Сумму кинетической и потеншиальной энергии называют полной механической энергией частицы: уравнение (18.43) Выражает собой постоянство механической энергии частицы и носит название закона сохранения механической энергии. Силы, при которых имеет место закон сохранения механической энергии, носят название консервативных сил.

Замстим, что работа силы, имеющей однозначную силовую функцию, зависит лишь от начального и конечного положений $B_{0}$ и $B$ материальной частицы и вовсе не зависит ни от промежуточных её положений, ни от закона её движения; действительно,
\[
A=\int_{B_{0} B} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{U_{0}}^{U} d U=U-U_{0},
\]

или
\[
A=U(x, y, z)-U\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}^{\prime}\right) \text {, }
\]

если $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ и $x, y, z$ – координаты частицы в её начальном и конечном положениях $B_{0}$ и $B$. Из выражения (18.43) мы, кроме того, видим, что всякий раз, когда частица проходит через какое-нибудь произь вольно выбранное данное положение, она имеет в нём одну и ту же кинетическую энергию, а значит, и одно ито же численное значение скорости.

107. Силы, направленные по прямым, соединяюшим частицу с некоторыми неподвижными центрами, и зависящие лишь от расстояния частицы от этих центров. Одним из самых важных примеров сил, имеющих силовую функцию, служат силы притяжения или отталкивания частицы от ненодвижных центров пропорционально некоторой функции расстояния. Пусть $\boldsymbol{r}$ – радиус-вектор некоторой частицы $M$, a $\boldsymbol{r}_{v}$ – радиус-вектор неподвижной части́цы $M_{v}$, которая действует на частицу $M$ с некоторой силой $F_{v}$, направленной вдоль прямой $M_{v} M$ и очевидно, можем написать следующее выражение:
\[
F_{v}=\varphi_{v}\left(\rho_{v}\right) \bar{\rho}_{v}^{0},
\]

где $\varphi_{v}\left(\rho_{v}\right)$ – заданная функция расстояния $\rho_{v}$, а $\bar{\rho}_{v}^{0}$ – орт вектора $\rho_{v}=\overline{M_{v} M}$. При выбранном направлении вектора $\bar{\rho}_{\text {v }}$ сила $F_{v}$ будет силой отталкивания или силой притяжения, смотря по тому, будет ли $\varphi_{v}\left(\rho_{v}\right)>0$ или $\varphi_{v}\left(\rho_{v}\right)<0$. Иначе выражение (18.45) можно написать следующим образом:
\[
F_{v}=\varphi_{v}\left(\rho_{v}\right) \frac{r-r_{v}}{\rho_{v}} .
\]

Если центров, под8бных $M_{v}$, имеется всего $n$, то равнодействущая $F$ сил, приложенных к частице $M$, будет
\[
\boldsymbol{F}=\sum_{v=1}^{n} \frac{\varphi_{v}\left(\rho_{v}\right)}{\rho_{
u}}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{
u}\right) .
\]

Отсюда для элементарной работы равнодействующей мы получаем выражение
\[
d^{\prime} \dot{A}=\sum_{v=1}^{n} \frac{\varphi_{v}\left(\rho_{v}\right)}{\rho_{v}}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{v}\right) \cdot d \boldsymbol{r} .
\]

Теперь заметим, что
\[
\left(r-r_{v}\right)^{2}=\rho_{?}^{?} .
\]

Продифференцировав это равенство, мы находим:
\[
\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{y}\right) \cdot d \boldsymbol{r}
eq \rho_{v} \cdot d \rho_{y} .
\]

Следовательно, элементарная работа равнодействующей может быть выражена так:
\[
d^{\prime} A=\sum_{v=1}^{n} \varphi_{v}\left(\rho_{v}\right) d \rho_{v} .
\]

Если геперь неопределённый интеграл $\oint_{i}\left(\rho_{v}\right) d \rho$, обозначим через $\Phi_{
u}\left(\rho_{v}\right)$, т. е. положим
\[
\Phi_{v}\left(\rho_{v}\right)=\int \rho_{v}\left(\rho_{v}\right) d \rho_{
u},
\]

то, очевидно, получим:
\[
d^{\prime} A=d \sum_{v=1}^{n} \Phi_{v}
\]

и, следовательно, силовая функция $U$ будет иметь выражение:
\[
U=\Phi+\text { const. }
\]

Если центры $M_{\text {v }}$ притягивают по ньютонову закону, то по выше сказанному имеем
\[
\varphi_{v}\left(\rho_{
u}\right)=-\frac{k^{2} m_{v}}{\rho_{v}^{2}},
\]

где $m_{v}$ – массы, сосредоточенные в центрах $M_{v}$, а $k^{2}$ – множитель пропорциональности; следовательно,
\[
\Phi_{v}=-\int \frac{k^{2} m_{v}}{\rho_{v}^{2}} d \rho_{v}=\frac{k^{2} m_{v}}{\rho_{v}}+\text { const., }
\]

и силовая функция равна.
\[
U=k^{2} \sum_{v=1}^{n} \frac{m_{v}}{P_{v}}+\text { const. }
\]

Если центры притягивают прямопропорционально расстоянию, то можно положить
\[
\varphi_{v}\left(\rho_{v}\right)=-k^{2} m_{v} \rho_{v} ;
\]

отсюда
\[
\Phi_{v}=-k^{2} m_{v} \int \rho_{v} d \rho_{v}=-\frac{k^{2}}{2} m_{v} \rho_{v}^{2}+\text { – const., }
\]

и, следовательно,
\[
U=-\frac{k^{2}}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} p_{v}^{2}+\text { const. }
\]

Для сил отталкивания пропорционально расстоянию мы нашли бы:
\[
U=+\frac{k^{2}}{2} \sum_{v=1}^{n} m, \rho_{v}^{2}+\text { const. }
\]

Почленно умножив это равенство скалярно на тождество
\[
d r=d x \cdot x^{0}+d y \cdot y^{0}+d z \cdot z^{0},
\]

мы получаем:
\[
\operatorname{grad} \varphi \cdot d \boldsymbol{r}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} d x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} d y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} d z
\]

или
\[
\operatorname{grad} \varphi \cdot d r=\partial \varphi,
\]

если ठ’p обозначить полный дифференциал функции $\varphi$, вычисленный в предположении неизменности времени $t$. В частном случае стационарного поля, очевидно,
\[
\operatorname{grad} \varphi \cdot d r=d^{\prime} \varphi .
\]

Равенства (18.52) или (18.53), как эквивалентные исходному равенству (18.50), могут также служить определением понятия градиента.
Из равенства (18.50) мы видим, что по модулю градиент равен
\[
|\operatorname{grad} \varphi|=\sqrt{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}} .
\]

Это выражение часто обозначают по Ламе (Lamé) $\Delta_{1} \varphi$ и назыв ают дифференциальным ‘ параиетром первого порядка функции $\varphi$ :
\[
\Delta_{1} \varphi=|\operatorname{grad} \varphi| \text {. }
\]

109. Производная от функции точки по данному направлению. Проведём через взятую на поверхности уровня точку $M(x, y, z)$ какую-нибудь кривую (фиг. 73). Касательная к ней в точке $M$ пусть характеризуется единичным вектором $\boldsymbol{s}^{0}$.\” Возьмём на әтой кривой другую точку $M^{\prime}(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)$ и длину дуги $\bar{M} M^{\prime}$, обозначим $\Delta s$. Если точка $M$ не принадлежиг к числу особенных точек функции $\varphi$, то значение $\varphi+\Delta \varphi$ этой функции в точке $M^{\prime}$, вынисленное для того же момента, при бесконечно малом $\Delta s$ будет бесконечно мало отличаться от её знятения $\varphi$ в точке $M$. Рассмотрим предел отноwения $\frac{\Delta \varphi}{I_{S}}$ в том предположении, что точка $M^{\prime}$ $\Phi$ иг. 73. неограниченно приближается к $M$; этот предел, если он существует, носит название производной от функции $\varphi$ нонаправлению $\boldsymbol{s}^{0}$ и обозначается через $\frac{\delta \varphi}{\delta s}$; в частном случае, когда функция $\varphi$ не зависит от вреиени, пишут также $\frac{d \varphi}{d s}$. Таким образом,
\[
\frac{\delta \varphi}{\delta s}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} .
\]

Чтобы вычислить этот предел, заметим, что согласно теореме Тейлора (Taylor) приращение $\Delta \varphi$ функции $\varphi$ равно
\[
\Delta \varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \Delta y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \Delta z+\varepsilon,
\]

где $\varepsilon$ – члены высшего порядка малости относительно $\Delta s$; поэтому
B
\[
\frac{\delta \varphi}{\delta s}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\Delta x}{\Delta s}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\Delta y}{\Delta s}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{\Delta z}{\Delta s}\right),
\]
T
или, после перехода к пределу,
\[
\frac{\delta \varphi}{\delta s}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{d x}{d s}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{d y}{d s}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{d z}{d s},
\]

что можно написать также в виде
\[
\frac{\delta \varphi}{\delta s}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} x^{0} \cdot s^{0}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} y^{0} \cdot s^{0}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} z^{0} \cdot s^{0} .
\]

Это равенство может также служить формальным определением производной от скалярной функции $\varphi(x, y, z, t)$ по направлению $s^{0}$; с таким определением этого понятия мы уже встречались [формула (10.5) на стр. 104]. Имея в виду дальнейшие приложения, заметим, что аналогичным образом вводится производная от векторной функции $a(x, y, z, t)$ по направлению $\boldsymbol{s}^{0}$; именно,
\[
\frac{\delta a}{\delta s}=\frac{\partial a}{\partial x} x^{0} \cdot s^{0}+\frac{\partial a}{\partial y} y^{0} \cdot s^{0}+\frac{\partial a}{\partial z} z^{0} \cdot s^{0} ;
\]

если функция $a$ не зависит от времени, то -здесь также вместо $\frac{\delta a}{\delta s}$ пишут $\frac{d a}{d s}$.

Примем теперь во внимание, что ччастные производные, стоящие в правой части формулы (18.55), являются проекциями градиента, а скалярные произведения – проекциями единичного вектора $s^{0}$ на координатные оси; на этом основании равенство (18.55) можно написать в следующем виде:
\[
\frac{\delta \varphi}{\delta s}=\operatorname{grad} \varphi \cdot s^{0} .
\]

Таким образом, производная от функции точки по данному направлению равна проекции градиента на это направление.

Из последней теоремы вытекают следующие свойства градиента. Пусть в качестве вектора $s^{0}$, в направленин которого берётся производная, взят единичный вектор $\overline{\tau^{0}}$, расположенный в касательной плоскости к поверхности уровня. Так как для всех точек поверхности уровня функция $\varphi$ имеет одно и то же значение, то производная $\frac{\delta \varphi}{\delta s}$ в рассматриваемом случае равна нулю, и потому
\[
\operatorname{grad} \varphi \cdot \overline{\tau^{0}}=0 ;
\]

следовательно, градиент перпендикулярен к касательной плоскости, или, иначе говоря, направлен по нормали к поверхности уровня. Заметим, далее, что производная $\frac{\delta \varphi}{\delta s}$ положительна, если функция $\varphi$ возрастает в направлении $s^{0}$, и отрицательна, если функция $\varphi$ убывает; отсюда мы находим, что градиент направлен по нормали к поверхности уровня в сторопу возрастания функции $\varphi$, т. е. совпадает с так называемым положительным направлением нормали к поверхности уровня. На осно

вании сқазанного получаем следующее выражение для единичного вектора $\boldsymbol{n}^{0}$ положительной нормали:
\[
\boldsymbol{n}^{0}=\frac{\operatorname{grad} \varphi}{|\operatorname{grad} \varphi|} .
\]

Кроме того, формула (18.56) при $\boldsymbol{s}^{0}=\boldsymbol{n}^{0}$ даёт
\[
\frac{\delta \varphi}{\delta n}=|\operatorname{grad} \varphi| \text {, }
\]
т. е. производная от функции точки по положительной кормали поверхности уровня равняется модулю г. адиента. Отсюда для самого градиента получаем выражение
\[
\operatorname{grad} \varphi=\frac{\delta \varphi}{\delta n} n^{0} .
\]

Наряду с производной от функции точки по данному направлению вводят иногда понятие о дифференциале функции по данному направлению; это делается так же, как в отношении дифференцйала функции одного независимого переменного: именно, полагают
\[
\dot{\partial \varphi}=\frac{\delta \varphi}{\delta s} \delta s .
\]

Понятие о дифференциале по данному направлению позволяет смотреть на производную $\frac{\delta \varphi}{\delta s}$, как на отношение величин $\delta \varphi$ и $\delta s$. С этой точки зрения формула (18.59) допускает следующую геометрическую интерпретацию. Станем стронть семейство поверхностей $\varphi=C$ таким образом, чтобы параметры их возрастали всегда на одну и ту же величину; т. е. чтобы дС или, что то же, бџр для всяких двух соседних поверхностей было одним и тем же. Тогда, как показывает формула (18.59), градиент по своей абсолютной величине будет обратно пропорционален расстоянию ò между смежными поверхностями. – В этом состоит теорема лорда Кельвина (Kelvin).

Если построим семейство кривых, ортогональных к поверхностям уровня, то, по доказанному, касательные к этим кривым определят собой направления градиента в каждой точке области. Дифференциальные уравнения рассматриваемых кривых мы получим, если выразим коллинеарность элемента $\boldsymbol{d r}$ кривой и градиента; следовательно,
\[
\operatorname{grad} \varphi \times d \boldsymbol{r}=0,
\]

или, согласно формуле (18.50), в скалярной форме:
\[
\frac{d x}{\frac{\partial \varphi}{\partial x}}=\frac{d y}{\frac{\partial \varphi}{\partial y}}=\frac{d z}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}} .
\]

Пример 43. Рассмотрим функцию точки частного вида, когда она зависит-только от расстояния точки от начала координат, или, иначе говоря, от модуля ее радиуса-вектора; т. е. пусть.
rде
\[
\begin{array}{c}
\varphi=\varphi(r), \\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} .
\end{array}
\]

Поверхностями уровня в этом случае, очевидно, будут концентрические шаровые поверхности, а линиями, им ортогональными, прямые, проходящие через начало коорднізт.

Найдём градиент функции $\varphi(r)$. Воспользуемся формулой (18.50), причём частные производные будем вычислять по правилу дифференцирования сложных функций, принимая за промежуточное переменное расстояние $r$; имеем
\[
\operatorname{grad} \varphi=\frac{d \varphi}{d r}\left(\frac{\partial r}{\partial x} x^{0}+\frac{\partial r}{\partial y} y^{0}+\frac{\partial r}{\partial z} z^{0}\right)=\frac{d \varphi}{d r} \cdot \frac{x x^{0}+y y^{0}+z z^{0}}{r}=\frac{d \varphi}{d r} \frac{r}{r},
\]

или.
\[
\operatorname{grad} \varphi=\frac{d \varphi}{d r} r^{0}
\]
110. Свойства силовой функции как функции точки. Приложим всё сказанное в предыдущих параграфах к силовой функции. Градиент от силовой функции, очевидно, представляет собой силу, которая была бы приложена к движущенся частице, если бы она занимала рассматриваемое положение в поле силовой функцич:
\[
F=\operatorname{grad} U .
\]

Отношение этой силы к массе частицы называется напряжением поля в рассматриваемой точке. Если масса частицы равна единице, то напряжение поля численно равно модулю силы, т. е. равно проиэводной от силовой функции по направлению положительной нормали к соответственной поверхности уровня. Вообще производная от силовой функции по какому-либо направлению равна проекцин на это направление силы, с которой действует поле на массу, находящуюся в рассматриваемой точке поля. Когда по́строено семейство поверхностей уровня, то по теореме лорда Кельвина напряжение поля там больше, где поверхности уровня гуще, теснее расположены друг относительно пруга. Кривые, ортогональные к поверхностям уровня, носят в случая силового поля название силовых линий, так как, по предыдущему, касательные к ним определяют собой направление силы или напряжения поля.

Пример 44. Рассмотрим расположение поверхностей уровня для двух сил $F_{2}$ и $F_{2}$, действующих на частицу $M$, если эти силы постоянны по модулю и имеют своими источниками некоторые два неподвижные центра $A_{1}$ и $A_{2}$. Назовём $k^{2}$ общее значение модулей сил:
\[
F_{1}=F_{2}=k^{2},
\]

и разберём отдельно следующие четыре случая:
1) обе силы, $F_{1}$ и $F_{2}$, – силы притяжения (фиг. 74),
2) обе силы – силы отталкивания (фиг. 75),
-3) сила $F_{1}$ – сила отталкивания, сила $F_{2}$ – сила притяжения (фиг. 76),
4) сила $\boldsymbol{F}_{1}$ – сила притяжения, сила $\boldsymbol{F}_{2}$ – сила отталкивания (фиг. 77 ).
Обозначим радиусы-векторы частицы $M$, проведённые из центров $A_{1}$ и $A_{2}$, соответственно $\boldsymbol{r}_{1}$ и $\boldsymbol{r}_{2}$; тогда в первом случае будем иметь для сил $\boldsymbol{F}_{1}$ и $\boldsymbol{F}_{2}$ следующие выражения:
\[
F_{1}=-k^{2} r_{1}^{0}=-\frac{k^{2} r_{1}}{r_{1}}, \quad F_{2}=-\frac{k^{2} r_{2}}{r_{2}} .
\]

Отсюда вытекает гакое выражение для дифференциала силовой функции:
\[
d U=F_{1} \cdot d r_{1}+F_{2} \cdot d r_{2}=-k^{2}\left(\frac{r_{1} \cdot d r_{1}}{r_{1}}+\frac{r_{2} \cdot d r_{2}}{r_{2}}\right) .
\]

Но на основании формулы (4.4) на стр. 33
\[
r_{1} \cdot d r_{1}=r_{1} d r_{1} \quad \text { и } \quad r_{2} \cdot d r_{2}=r_{2} d r_{2}
\]

поэтому
\[
d U=-k^{2} d\left(r_{1}+r_{2}\right),
\]

и, следовательно, в первом случае:
1) $U=-k^{2}\left(r_{1}+r_{2}\right)$.

Подобным образом найдем в остальных случаях:
2) $U=k^{2}\left(r_{1}+r_{2}\right)$,
3) $U=k^{2}\left(r_{1}-r_{2}\right)$,
4) $U=k^{2}\left(-r_{1}+r_{2}\right)$.

Постоянные интегрирования мы везде положили равными нулю, так как их численное значение не играет роли при разыскивании семей й та поверхностей уровня.

Как видим, поверхностями уровня в первых двух случаях служат софокусные эллипсоиды вращения войруг прямсй $A_{1} A_{2}$. Фокусы совпадают с центрами сил. Если расстояние между ними обозначить $2 c$, то в первом случае параметр
Фиг. 74.
Фиг. 75.
.поверхностей уровня, т. е. та константа $C$, которая входит в уравнение $U=C$ поверхности, изменяется от – (бесконечно большая сфера) до $-2 c k^{2}$ (отрезок $A_{1} A_{2}$; ;о втором случае границами изменения параметра служат $+2 c k^{2}$ (отрезок $A_{1} A_{2}$ ) н $+\infty$ (бесконечно большая сфера).

В последних двух случаях поверхнсстями служат софокусные двухполостные гиперболоиды вращения вокруг оси $A_{1} A_{2}$, причём каждой полости каждой
Фиг. 76.
Фиг. 77.

поверхисти соответствует своё значение- параметра. В обоих случаях параметры ныеняются от $-2 c k^{2}$ до $+2 c k^{2}$. Нулевому значению параметра соответствует доскость, перпендикулярная к $\dot{A}_{1} A_{2}$ и делящая $A_{1} A_{2}$ пополам. Граничному знаенни – $2 c k^{2}$ параметра в третьем случае соответствует полупрямая, идущая or центра $A_{1}$ влево, в четвёртом случае – полупрямая, идущая от $A_{2}$ вправо.

Значению $+2 c k^{2}$ параметра в третьем случае соответствует полупрямая от $A_{2}$ вправо, а в четвёртом от $A_{1}$ влево.

На фигурах 74-77 изображены меридиональные сечения рассмотренных поверхностей плоскостью $A_{1} A_{2} M$. Стрелками указаны направления, в которых параметры поверхностей уровня возрастают. Силовыми линиями в разобранных примерах будут плоские кривые, лежащие в меридионалыны плоскостях, а именно, кривые второго порядка, софокусные с меридианами поверхностей уровня.