200. Прямой и окольный пути материальной системы. Прежде чем перейти к рассмотрению принципов второй категории, условимся в некоторых терминах. Выберем два возможных положения $A_{0}$ и $A_{1}$ взятой материальной системы (§161). Одно из них, например $A_{0}$ назовём начальным, другое, $A_{1}$-конечным. Допустим, что возможно так подобрать скорости частиц системы в положении $A_{0}$, чтобы она в своём дальнейшем движении под дейс гвием данных сил прошла через положение $A_{1}$. Совокупность траекторий, которые описывают различные частицы системы в её движении из начального положения в конечное, назовём прямым путём системы, ведушим из $A_{0}$ в $A_{1}$. Пусть частица $m_{2}$ системы занимает в $A_{0}$ положение $m_{50}$, а в $A_{1}$ положение $m_{\mathrm{v} 1}$; соединим точки $m_{\mathrm{v} 0}$ и $m_{\mathrm{v} 1}$ какойлибо кривой $K_{
u}$, бесконечно близкой к траектории частицы $m_{v}$. Совокупность всех таких кривых $K_{\text {v мы }}$ назовём окольным путём системы из положения $A_{0}$ в положение $A_{1}$, если только частицы системы могут перемещаться каждая по соответственной кривой $K_{\text {v }}$ без разрушения связей.

Пример 107. Пусть система состоит из трёх весомых частиц: $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, соединённых неизменяемыми стержнями (фиг. 117). Положим, что из положения $A_{0}$ в положение $A_{1}$ система может быть переброшена поступательным движением по параболам $m_{10} m_{11}$, $m_{20} m_{21}, \quad m_{30} m_{31}$. Тогда совокупность этих трёх парабол будет прямым путём системы из положения $A_{0}$ в положение $A_{1}$. Проведём кривые $K_{1}, K_{2}, K_{3}$, обозначенные на чертеже пунктиром, бесконечно близкие к параболам и тоже начинающиеся в точках $m_{10}, m_{20}, m_{30}$ и кончающиеся в точках $m_{11}, m_{21}, m_{31}$. Совокупность трёх кривых $K_{1}, K_{2}, K_{3}$ составит окольный путь, если вершины треугольника $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ можно будет продви* нуть по этим кривым из $A_{0}$ в $A_{1}$ без сжатия, разрыва или гнутия стержней,

201. Принцип стационарного действия в форме Гамильтона. Положим, что данная материальная система голономная, т. е. не имеет неинтегрируемых связей ( $\S 166$ ), и что, следовательно, все её связи можно считать конечными. Допустим, кроме того, что активные силы, приложенные к системе, имеют силозую функцию $U$ (которая может содержать явно время). Тогда за уравнения движения рассматриваемой системы можно принять уравнения движения в независимых координатах $q_{\text {。 }}$ в форме (32.48) на стр. 332 :
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\mathrm{o}}}-\frac{\partial L}{\partial q_{0}}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s),
\]

где $L$ есть так называемая лагранжева функция, равная сумме кинетической энергии и силовой функции:
\[
L=T+U .
\]

Возьмём два такие возможные положения системы $A_{0}$ и $A_{1}$, которые могут быть соединены прямым путём (§200). Пусть переход системы по этому пути из $A_{0}$ в $A_{1}$ совершаєтся в течение промежутка времени $t_{1}-t_{0}$, где $t_{0}$ и $t_{1}$ – те моменты времени, в которые система занимала положения $A_{0}$ и $A_{1}$. Рассмотрим интеграл
\[
W=\int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t
\]

и сравним значение этого интеграла для движения системы по прямому пути со значением, которое он принимает для движения по какому-либо окольному пути, ведущему из того же начального положения $A_{0}$ в то же конечное положение $A_{1}$, причём предположим, что переход системы из $A_{0}$ в $A_{1}$ по любому окольному пути начинается и кончается одновременно с эачалом и концом движения по прямому пути, т. е. все окольные движения имеют одни и те же начальные, а также одни и те же конечные моменты движения, соответственно совпадающие с начальным и конечным моментами при движении системы по прямому пути. Тогда окажется, что значение интеграла $W$ для прямого пути по огношению к значениям его для окольных путей будет стационарным; иначе говоря, первая вариация интеграла (35.2) для прямого пути равчяется нулю. При вариировании необходимо будет принять во внимание все вышеуказанные ограничения:
1) связи системы не должны быть нарушены (§200);
2) все окольные движения начинаются одновременно в момент $t_{0}$ и кончаются также одновременно в моиент $t_{1}$; в эти же моменты начинается и кончается движение по прямому пути;
3) начальное и конечное положения системы долюны быть одни и те же для всех путей.

Целость связей будет обеспечена, т. е. связи не будут разрушены, если мы станем вариновать только независимые координаты, так как эти координаты именно и выбраны таким образом, что уравнения связей выполняются тождественно; например, как бы мы ни изменяли координаты $q_{1}$ и $q_{2}$ частицы в примере 95 на стр. 323 , эта частица не покинет эллипсоида; точно так же произвольное изменение шести координат твёрдого тела не нарушит относительного расположения частиц этого тела

и т. д. Если мы примем, что пределы $t_{0}$ и $t_{1}$ интеграла (35.2) не подлежат варинованию, то тем самым продолжительность перехода для всех движений будет сделана одинаковой. Наконец, в силу третьего условия не должно вариировать координаты системы в её предельных положениях $A_{0}$ и $A_{1}$. Приняв во внимание всё сказанное, возьмём вариацию от функции $W ;$ имеем
\[
\delta W=\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta L d t=\int_{t_{0}}^{t_{0}} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \delta \dot{q}_{\sigma} d t+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial q_{0}} \delta q_{\sigma} d t .
\]

Для преобразования первого слагаемого последней строки заметим, что в случае, когда время не вариируется, вариирование и дифференцирование по времени коммутативны. Действительно, называя $\bar{q}_{\text {。 }}$ вариированное значение функции $q_{0}$, имеем
\[
\delta q_{\sigma}=\bar{q}_{\sigma}-q_{\sigma} .
\]

Взяв от обеих частей равенства производные, находим:
\[
\frac{d}{d t} \delta q_{\sigma}=\dot{\bar{q}}_{\sigma}-\dot{q}_{\sigma}=\delta \dot{q}_{\sigma} .
\]

На этом основании получаем:
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{0}} \delta \dot{q}_{\sigma} d t=\int_{t_{0}}^{t_{2}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \frac{d}{d t} \delta q_{\sigma} d t=\int_{t_{0}}^{t_{0}} \frac{d L}{d \dot{q}_{\sigma}} \delta q_{\sigma}-\int_{t_{\mathrm{s}}}^{t_{2}} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}} \delta q_{\sigma} d t .
\]
поэтому имеем
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{0}} \delta q_{\sigma}=0
\]

На основании сказанного выражение (35.3) для вариации функции $W$ можно представить в следующем виде:
\[
\delta W=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{\sigma=1}^{s}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\sigma}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right) \cdot \delta q_{\sigma} \cdot d t .
\]

Так как движение по прямому пути совершается в соответствии с уравнениями (35.1), то подинтегральная функция в последнем выражении равна нулю; следовательно, мы доказали, что
\[
\delta W=\delta \int_{i_{0}}^{t_{1}} L d t=0
\]

Доказанное иами свойство интеграла (35.2) и составляет содержание принцип Гамильтона (Hamilton). Сам интеграл $W$ обыкновенно называют действием по Гамильтону и самому принципу дают такое выражение: гамильтоноводейтвие по прямому пути из данного начального положения системы в данное конечное положение имеет стаиионарное значение по сравнению с действими по окольным путям, идущимимеждутеми же

положениями, если переход системы повсем путям совершается в один и тот же, промежутоквремени $t_{1}-t_{0}$, причём $t_{0}$ – общий для всех путей начальный момент, а $t_{1}$ – общий для всех путей конечный момент времени.

Мы доказали принцип Гамильтона, исходя из уравнений движения (35.1); наоборот, если принять принцип Гамильтона за исходное положение или вывести его из какого-либо другого принятого нами положения, то уравнения движения (35.1) можно получить из рассматриваемого принципа как следствие. В самом деле, примем, что в равенстве (35.4) $\delta W=0$; тогда интеграл, стоящий в правой части этого равенства, должен быть нулём. Но так как интервал интегрирования произволен, то для этого должно равняться нулю подинтегральное выражение. Наконец, отдельности должен быть нулём. Итак, из обращения в нуль первой вариации действия по Гамильтону при вышеупомянутых условиях вытекают как следствие уравнения движения (35.1).

Пример 108. Легко убедиться непосредственно в том, что принцип Гамильтона не прилагается к системам, подчиненным неинтегрируемым дифференциальным связям. В виде примера станем искать стационарное .значение действия по Гамильтону для материальной частицы массы $m$, находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию $U$, и подчинённой связи
\[
\varphi=A \dot{x}+B \dot{y}+C \dot{z}=0,
\]

где $A, B, C$ являются функциями от координат $x, y, z$ взятой частицы. По правилам для нахождения условной вариации нам придётся приравнять нулю первую вариацию интеграла
\[
W=\int_{t_{0}}^{t_{1}}(L+\mu \varphi) d t
\]

где $\mu$ – некоторый множитель. Таким образом, мы имеем
\[
\delta W=\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{\dot{2}}\right)+U+\mu(A \dot{x}+B \dot{y}+C \dot{z})\right\} d t=0 .
\]

Произведя вариирование, находим:
\[
\begin{aligned}
\int_{t_{0}}^{t}\{m(\dot{x} \delta \dot{x}+\dot{y} \dot{\delta}+\dot{z} \delta \dot{z})+\delta U+\mu(\dot{x} \delta A+\dot{y} \delta B+\dot{z} \delta C+A \dot{x}+B \dot{y}+ \\
+C \dot{\delta} \dot{z})\} d t=0 .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим члены, в которые входит множителем $\dot{\delta} \dot{x}$; имеем
\[
\begin{aligned}
\int_{t_{0}}^{t_{1}}(m \dot{x}+\mu A) \delta \dot{x}=\int_{t_{0}}^{t_{1}}(m \dot{x}+\mu A) \frac{d \delta x}{d t} d t= & \int_{t_{0}}^{t_{1}}(m \dot{x}+\mu A) \delta x- \\
& -\int_{i_{0}}^{t_{1}}\left(m \ddot{x}+A \frac{d \mu}{d t}+\mu \frac{d A}{d t}\right) \delta x d t .
\end{aligned}
\]

Подобным же образом преобразуем члены, содержащие $\delta \dot{y}$ и $\delta \dot{z}$. Тогда, вместо

выражения (35.6), получим следующее:
\[
\begin{array}{c}
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\{(m \dot{x}+\mu A) \delta x+(m \dot{y}+\mu B) \delta y+(m \dot{z}+\mu C) \delta z\}+ \\
+\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\left[\frac{\partial U}{\partial x}+\mu\left(\dot{x} \frac{\partial A}{\partial x}+\dot{y} \frac{\partial B}{\partial x}+\dot{z} \frac{\partial C}{\partial x}\right)-m \ddot{x}-A \frac{d \mu}{d t}-\mu\left(\frac{\partial A}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial A}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial A}{\partial z} \dot{z}\right)\right] \delta x+\right. \\
+\left[\frac{\partial U}{\partial y}+\mu\left(\dot{x} \frac{\partial A}{\partial y}+y \frac{\partial B}{\partial y}+\dot{z} \frac{\partial C}{\partial y}\right)-m \ddot{y}-B \frac{d \mu}{d t}-\mu\left(\frac{\partial B}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial B}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial B}{\partial z} \dot{z}\right)\right] \delta y+ \\
+\left[\frac{\partial U}{\partial z}+\mu\left(\dot{x} \frac{\partial A}{\partial z}+\dot{y} \frac{\partial B}{\partial z}+\dot{z} \frac{\partial C}{\partial z}\right)-m \ddot{z}-C \frac{d \mu}{d t}-\right. \\
\left.\left.-\mu\left(\frac{\partial C}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial C}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial C}{\partial z} \dot{z}\right)\right] \delta z\right\} d t=0 .
\end{array}
\]

Члены вне знака интеграла равны нулю, так как начальное и конечное положения частицы остаются при вариировании неизменными; обращение же в нуль подинтегральной функции приводит нас к таким уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial x}-A \frac{d \mu}{d t}-m \ddot{x}-\mu\left\{\dot{y}\left(\frac{\partial A}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial x}\right)-\dot{z}\left(\frac{\partial C}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial z}\right)\right\}=0, \\
\frac{\partial U}{\partial y}-B \frac{d \mu}{d t}-m \ddot{y}-\mu\left\{\dot{z}\left(\frac{\partial B}{\partial z}-\frac{\partial C}{\partial y}\right)-\dot{x}\left(\frac{\partial A}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial x}\right)\right\}=0 \\
\frac{\partial U}{\partial z}-C \frac{d \mu}{d t}-m \ddot{z}-\mu\left\{\dot{x}\left(\frac{\partial C}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial z}\right)-\dot{y}\left(\frac{\partial B}{\partial z}-\frac{\partial C}{\partial y}\right)\right\}=0 .
\end{array}
\]

Полученные уравнения совпадут $<$ уравнениями движения материальной частицы, т. е. с уравнениями:
\[
m \ddot{x}=\frac{\partial U}{\partial x}+\lambda A, \quad m \ddot{y}=\frac{\partial U}{\partial y}+\lambda B, \quad m \ddot{z}=\frac{\partial U}{\partial z}+\lambda C,
\]

егли положим $\lambda=-\frac{d \mu}{d t}$ и если, кроме того, имеет место равенство отношений:
\[
\frac{\dot{x}}{\frac{\partial B}{\partial z}-\frac{\partial C}{\partial y}}=\frac{\dot{y}}{\frac{\partial C}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial z}}=\frac{\dot{\boldsymbol{z}}}{\frac{\partial A}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial x}} .
\]

Подставив выражения скоростей из этой пропорции в уравнение (35.5) связи, иы придём к соотношению
\[
A\left(\frac{\partial B}{\partial z}-\frac{\partial C}{\partial y}\right)+B\left(\frac{\partial C}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial z}\right)+C\left(\frac{\partial A}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial x}\right)=0
\]
a это, как известно, есть условие, при выполнении которого связь (35.5) является интегрируемой.

Принцип Гамильтона по отношению к построению системы динамики может играть ту же роль, с соответственными ограничениями, как и принцип Даламбера. Приняв принцип Гамильтона за основное положение, мы можем вывести из него уравнения движения любой несвободной системы без нсинтегрируемых связей, а следовательно, получить выражения и для реакций связей.

Если начальное и конечное положения системы $A_{0}$ и $A_{1}$ выбраны произвольно, то может случиться, что их вовсе нельзя соединить прямым путём; но в общем случае между данными двумя положениями можно провести не-

сколько отличных друг от друга прямых путей, конечно, таких, чтобы движение по ним происходило в течение одного и того же промежутка времени. Когда два положения $A_{0}$ и $A_{1}$ таковы, что могут быть соединены бесконечно близкими между собой прямыми путями, то эти положения называются сопряжёнными кинетическіми фокусами. Когда связи системы не зависят явно от времени, то можно показать, что гамильтоново действие по взятому прямому пути будет минимуммом относительно действий по окольным путям (с одинаковыми начальными и конечными моментами времени, если конечное положение $A_{1}$ удалено от начального $A_{0}$ не далее ближайшего кинетического фокуса, сопряжённого с $A_{0}{ }^{1}$ ). Например, дла движения одной материальной частицы по сфере без приложенных сил действие будет минимальным, пока консчное положсние на прямом пути (большом круге сферы) не дойдёт до точки, диаметрально противоположной начальному положению.

202. Принцип стационарного действия в форме Лагранжа. Движение консервативной системы без неинтегрируемых связей, как мы видели (§193), геометрически вполне определяется интегралом энергии
\[
T=U+h
\]

и системой совокупных уравнений в независимых координатах
\[
\frac{d}{d q_{1}} \frac{\partial P}{\partial q_{o}^{\prime}}-\frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}}=0 \quad(\sigma=2,3, \ldots, s),
\]

где
\[
q_{\sigma}^{\prime}=\frac{d q_{\mathrm{o}}}{d q_{1}}, P=\sqrt{G(U+h)}
\]

а функция $G$ следующим образом связана с кинетической энергией:
\[
T=\dot{q}_{1}^{2} G
\]

В этом случае зависимость движения от времени находится при пимиuи квадратуры из уравнения
\[
d t=d q_{1} \sqrt{\frac{G}{U+h}} .
\]

Составим выражение для полной работы количеств движения всех частиц рассматриваемой системы на каком-либо пути, соединяющем два взятых положения $A_{0}$ и $A_{1}$. Вообще работой данного вектора на данном пути называется величина, которая формально вычисляется так же, как работа силы. Так как количество движения какой-либо частицы массы $m$, совпадает по направлению с её элементарным перемещением, то для элементарной работы количеств движения имеем следующее выражение:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v} d s_{v},
\]

где $v$. есть скорость частицы $m_{v}$, а $d s_{v}$ – дифференциал дуги её траектории. Полная рабога $\mathcal{S}$ на пути из положения $A_{0}$ до положения $A_{1}$

представится интегралом
\[
S=\int_{\left(A_{0}\right)}^{\left(A_{1}\right)} \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v} d s_{v}
\]

но так как $d s_{v}=v_{\mathrm{v}} d t$, то можно также написать:
\[
S=\int_{\left(A_{0}\right)}^{\left(A_{1}\right)} 2 T d t .
\]

Полученный интеграл $S$ носит название действия по Лагранжу. Сравним действие по Лагранжу по прямому пути, ведущему из $A_{0}$ в $A_{1}$, с действием по какому-либо окольному пути между теми же положениями, предположив, что окольное движение происходит при той же начальной энергии $h$, как и прямое движение; тогда окажется, что действие по прямому пути по отношению к действиям по окольным путям будет иметь стационарное значение. Иначе говоря, первая вариация интеграла (35.11) для прямого пути равняется нулю. При вариировании необходимо будет помнить, что:
1) связи системы не должны быть нарушены; 2) движения прямое и окольные должны происходить с одной и той же начальной энергией; 3) начальное и конечное положения $A_{0}$ и $A_{1}$ для всех путей одни и те же.

Предварительно преобразуем несколько интеграл (35.11), заменив в нём переменную интеграции $t$ переменной $q_{1}$ при помощи соотношения (35.10); имеем
\[
S=\int_{\left(A_{0}\right)}^{\left(A_{1}\right)} 2 T \sqrt{\frac{G}{U+h}} d q_{1},
\]

или, согласно выражениям (35.7) и (35.9),
\[
S=2 \int_{\boldsymbol{q}_{10}}^{q_{11}} P d q_{1},
\]

где $q_{10}$ и $q_{11}$ представляют собой те значения, которые принимает кордината $q_{1}$ для положений $A_{0}$ н $A_{1}$. Условия вариирования 1) и 3) те же, что и для принципа Гамильтона; мы удовлетворим им, вариируя лишь независимые координаты и оставляя неизменными координаты начального и конечного положений $A_{0}$ и $A_{1}$. Наконец, по условию 2) постоянная $h$, входящая в состав функции $P$, вариированию не подлежит. Итак, мы имеем
\[
\delta S=2 \int_{q_{10}}^{q_{11}} \delta P d q_{1}=2 \int_{q_{10}}^{q_{11}}\left(\sum_{\sigma=2}^{s} \frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}^{\prime}} \delta q_{\sigma}^{\prime}+\sum_{\sigma=z}^{s} \frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma}\right) d q_{1},
\]

причём штрихами попрежнему обозначены производные по коодинате $q_{1}$, т. e.
\[
q_{\mathrm{o}}^{\prime}=\frac{d q_{0}}{d q_{1}} .
\]

Выполним следующее вспомогательное преобразование:
\[
\begin{aligned}
\int_{q_{10}}^{q_{11}} \frac{\partial P}{\partial q_{0}^{\prime}} \delta q_{0}^{\prime} d q_{1}=\int_{q_{10}}^{q_{11}} \frac{\partial P}{\partial q_{0}^{\prime}} \delta \frac{d q_{0}}{d q_{1}} d q_{1} & =\int_{q_{10}}^{q_{11}} \frac{\partial P}{\partial q_{0}^{\prime}} \frac{d \delta q_{0}}{d q_{1}} d q_{1}= \\
& =\int_{q_{10}}^{q_{11}} \frac{\partial P}{\partial q_{0}} \delta q_{\sigma}-\int_{q_{10}}^{q_{11}} \frac{d}{d q_{1}} \frac{\partial P}{\partial q_{3}}, \delta q_{s} d q_{1} .
\end{aligned}
\]

На этом основании выражение для вариации $\delta S$ действия перепишется так:
\[
\begin{aligned}
\delta S=\sum_{\sigma=2}^{s}\left(\frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}^{\prime}}\right)_{1} \delta q_{\sigma,}- & \sum_{\sigma=2}^{s}\left(\frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}^{\prime}}\right)_{0} \delta q_{\sigma 0}+ \\
& +\int_{q_{10}}^{q_{11}} \sum_{\sigma=2}^{s}\left(\frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}}-\frac{d}{d q_{1}} \frac{\partial P}{\partial q_{\sigma}^{\prime}}\right) \delta q_{\sigma} d q_{1} .
\end{aligned}
\]

Индексы 0 и 1 показывают, что соответственные величины относятся к положенням $A_{0}$ и $A_{1}$. Slo- условию 3 ) в отношении вариирования члены вне знака интеграла пропадают. Далее, прямое движение происходит в соответствии с уравнениями (35.8); поэтому интеграл в правой части выражения (35.13) равен нулю. Таким образом, для прямого пути мы получили
\[
\partial S=0 .
\]

Доказанное свойство интеграла $S$ и составляет содержание принципа Лагранжа (Lagrange): действие по Лагранжу по прямому пути между данными двумя положениями консерзативной системы без неинтегрируемых связей имеет стационарное значение по отношению к действиям по окольным путям между теми же положениями, если движения по прямому и окольным путям совершаются с одной и той же начальной энергией.

Принцип Лагранжа мы вывели из уравнений движения (35.8); обратно, приняв этот принцип за исходное положение, мы можем совершенно так же, как это было сделано для принципа Гамильтона, получить из него как следствие уравнения движения (35.8). Подобно предыдущим принципам и принцип Лагранжа может быть положен в основание динамики, точнес, в основание динамики консервативных систем без неинтегрируемых связей (т. е. голономных).

Можно показать, что действие го Лагранжу по взятому прямому пути будет минимумом относительно действий по окольным путям при одинаковых значениях начальной энергии, если конечное положение $A_{1}$ удалено от начального положения $A_{0}$ не далее ближайшего кинетического фокуса, сопряжённого с $A_{0}$ (см. заключительные указания в § 201). В отделе «Интегрирование уравнений динамики» мы ещё вернёмся к этому вопросу.

203. Принцип Гельмгольтца. Гельмгольтц (Helmholtz) показал, что принцип Лагранжа может быть распространён на неконсервативные системы (без неинтегрируемых связей) при том условии, что приложенные

силы не зависят от скоростей и имеют силовую функцию, хотя бы и содержащую явно время ${ }^{1}$ ). Уже при выводе выражений для реакций связей (§175) мы упоминали о том, что уравнения связей должны заключать в себе координаты связанных друг с другом масс: это следует из того, что источняком всякой силы, в том числе и реакции связи, может служить лишь некоторая масса. Подобным образом и силовая функция зависит от координат действующих друг на друга масс. Если движение некоторых из этих масс заранее известно в зависимости от времени, то в выражения связей или снловой функции войдёт явно время.

Условимся называть неконсервативную материальную систему, движение частиц которой завнсит от масс, не входящих в состав системы, незамкнутой, а массы, входящие в состав её, внутренними; массы, связанные с внутренними массами или действующие на них, но не входящие в систему, – внешними. Расширенную систему, состоящую из указанных внутренних и внешних масс, назовём соответствующей замкнутой системой. Допустим, что эта замкнутая система консервативна. Допустим, кроме того, что её положение определяется такими независимыми координатами $q_{\circ}(\sigma=1,2, \ldots, s)$, что первые $r$ из них определяют положение вышеуказанной незамкнутой системы, а остальные $s-r$ известны в функции времени:
\[
q_{\rho}=q_{\rho}(t) \quad(\rho=r+1, r+2, \ldots, s) .
\]

Обозначим кинетическую энергию и силовую функцию рассматриваемых замкнутой и незамкнутой систем соответственно $T, U$ и $T_{1}, U_{1}$. Очевидно, между этими величинами существуют соотношения:
\[
T=T_{1}+\varphi(t), \quad U=U_{1}+\varphi(t),
\]

где $\varphi$ и $\psi$ являются функциями только времени. Время, вообще говоря, войдёт явным образом также в $T_{1}$ и $U_{1}$. Согласно формулам (32.42) и (32.43) на стр. 331 и 332 , уравнения движения замкнутой системы будут:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial T}{\partial q_{0}}=\frac{\partial U}{\partial q_{0}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Если в эти уравнения вместо координат и скоростей $q_{\rho}$ и $\dot{q}_{\rho}$ вставить соответственные функции времени по формулам (35.14), то первые $r$ уравнений примут вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T_{1}}{\partial \dot{q}_{\sigma}}-\frac{\partial T_{1}}{\partial q_{\sigma}}=\frac{\partial U_{1}}{\partial q_{\circ}} \quad(\sigma=1,2, \ldots, r) .
\]

Остальные уравнения (35.16), числом $s-r$, или обратятся в тождества, или будут следствиями уравнений (35.17); это следует из того, что функции (35.14) являются частными интегралами уравнений (35.16).

Окольные пути, о которых идёт речь в принципах Гамильтона и Лагранжа, подчинены лишь тому условию, чтобы совокупность траекторий, входящих в их состав, допускала переход системы по ним без разрыва связей. Поэтому в применениях принципов ничто не мешает нам принять, что некоторые из окольных траекторий частиц совпадают с траек-

ториями прямого пути. Воспользовавшись этим замечанием, приложим принцип Лагранжа к замкнутой системе, заключающей в себе рассматриваемую неконсервативную систему. Допустим, что элементы движения внешних масс не вариируются и, следовательно, траектории их совпадают с соответственными траекториями прямого пути. Тогда вариации $s-r$ координат $q_{p}$ будут равны нулю во всё время движения от начального положения системы $A_{0}$ до конечного $A_{1}$ :
\[
\delta q_{p}=0 \quad(\rho=r+1, r+2, \ldots, s) .
\]

Условие неизменности начальной энергии будет теперь, согласно формуле (35.15), иметь вид
\[
\delta h=\delta T-\delta U=\delta T_{1}-\delta U_{1}=0 ;
\]

это следует из того, что время, входящее явно, не должно вариироваться, если движение внешних иасс оставляется таким, каким оно было в прямом движении. Между тем скорости внутренних масс, а следовательно, и дифференциал $d t$ могут вариироваться, если того требует условие (35.19) 1). Таким путём мы и приходим к формулировке нринципа, данңой Гельмгольтцем для неконсервативной незамкнутой системы. Следовательно, принцип Гельмгольтца для незамкнутой системы является непосредственным следствием принципа Лагранжа, приложенного вышеуказанным способом к замкнутой системе, заключающей в себе как часть данную незамкнутую.

Самые вычисления при выводе принципа Гельмгольтца можно произвести следующим образом. За независимую переменную интеграции выберем некоторую величину $\boldsymbol{\theta}$, отличную от времени; пусть $\theta$ принимает значения $\theta_{0}$ и $\theta_{1}$ для начального и конечного положений системы $A_{0}$ и $A_{1}$. Примем во внимание, что кинетяческая энергия $T$ является однородной функцией скоростей внутренних масс $\dot{q}_{\sigma}(\sigma=1,2, \ldots, r)$ и скоростей внешних масс $\dot{q}_{\rho}(\rho=r+1, r+2, \ldots, s)$. Интеграл (35.11), выражающий действие по Лагранжу и подлежащий вариированию, может быть написан так:
\[
S=2 \int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} T \frac{d t}{d \theta} d \theta
\]

вариация его будет иметь вид
\[
\delta S=2 \int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \delta T \frac{d t}{d \theta} d \theta+2 \int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} T \cdot \delta \frac{d t}{d \theta} \cdot d \theta .
\]

Положим
\[
\xi_{o}=\frac{d q_{o}}{d \theta} ; \quad \varepsilon_{p}=\frac{d q_{p}}{d \theta}
\]

тогда будем иметь:
\[
\left.T d t^{2}=\hat{G} d\right)^{2},
\]

где $G$ есть однородная функция второй степени от $\xi_{0}$ и $\xi_{\rho}$. Из написанного равенства вытекают следующие:
\[
\frac{\partial G}{\partial \xi_{0}} \cdot \frac{d^{\theta}}{d t}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}} ; \quad \frac{\partial G}{\partial q_{\sigma}}\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}=\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Из того же выражения (35.21) имеем
\[
\frac{d t}{d \theta}=\sqrt{\frac{\bar{G}}{T}}
\]

откуда
\[
\delta \frac{d t}{d \theta}=\frac{1}{2 \sqrt{G T}} \delta G-\frac{\sqrt{\bar{G}}}{2 T \sqrt{T}} \delta T
\]

здесь
\[
\delta G=\sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial G}{\partial \xi_{\sigma}} \delta_{\xi_{\sigma}}+\sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial G}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma},
\]

так как, согласно формуле (35.18), д $q_{p}=0$, а следовательно,
\[
\partial \xi_{\rho}=\frac{d}{d^{\theta}} \partial q_{\rho}=0 \text {. }
\]

Подставив выражения (35.24) и (35.25) в равенство (35.20), мы найдём
\[
\begin{aligned}
\delta S & =2 \int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \partial T d t+ \\
& +\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} T\left\{\frac{1}{\sqrt{G T}} \sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial G}{\partial \xi_{\sigma}} \partial \xi_{\sigma}+\frac{1}{\sqrt{G T}} \sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial G}{\partial q_{0}} \delta q_{\sigma}-\frac{\sqrt{G}}{T \sqrt{T}} \partial T\right\} d \theta .
\end{aligned}
\]

Но согласно формуле (35.23), мы имеем
\[
\int_{\theta_{0}}^{\theta_{2}} \sqrt{\frac{\pi}{G}} \frac{\partial G}{\partial \xi_{0}} \partial \xi_{\sigma} d \theta=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \frac{d \theta}{d t} \cdot \frac{\partial G}{\partial \xi_{0}} \cdot \frac{d \delta q_{0}}{d \theta} d \theta=-\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \frac{d}{d \theta}\left(\frac{d \theta}{d t} \cdot \frac{\partial G}{\partial \xi_{\sigma}}\right) \delta q_{\sigma} d \theta,
\]

так как при неизменности положений $A_{0}$ и $A_{1}$ члены вне знака интеграла обращаются в нуль. Отсюда на основании соотношения (35.22) получаем:
\[
\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{\frac{T}{G}} \frac{\partial G}{\partial \xi_{0}} \partial \xi_{\sigma} d \theta=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{0}} \cdot \frac{d t}{d \theta} \cdot \delta q_{a} \cdot d \theta .
\]

Далее, на основании равенств (35.23) и (35.22) имеем
\[
\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{\frac{T}{G}} \cdot \frac{\partial G}{\partial q_{\sigma}} \partial q_{\sigma} d \theta=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}}\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2} \frac{\partial G}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma} \frac{d t}{d \theta} d \theta=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma} \frac{d t}{d \theta} \cdot d \theta .
\]

Сумма остальных интегралов в правой части выражения (35.26) имеет в силу соотношения (35.23) следующее значение:
\[
2 \int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \delta T \frac{d t}{d \theta} d \theta-\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{\frac{\bar{Q}}{T}} \cdot \delta T \cdot d \theta=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \delta T \cdot \frac{d t}{d \theta} d \theta ;
\]

но по условию неизменности энергии (35.19) последний интеграл может быть преобразован следующим образом:
\[
\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \delta T \cdot \frac{d t}{d \theta} d \theta=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{t}} \delta U \frac{d t}{d \theta} \cdot d \theta
\]

здеєь вариация силовой функции в силу равенств (35.18) имеет значение:
\[
\delta U=\sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}} \cdot \delta q_{\sigma} .
\]

Подставив наиденные выражения в равенство (35.26), получаем:
\[
S=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \frac{d t}{d \theta} \sum_{\sigma=1}^{r}\left(\frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}}+\frac{\partial T}{\partial q_{\sigma}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right) \delta q_{\sigma} d \theta .
\]

Заменим теперь координаты $q_{p}$ и скорости $\dot{q}_{p}$ соответственными функциями времени по формулам (36.14); тогда в силу соотношений (35.15) производные от $U$ и $T$ перейдут в производные от $U_{1}$ и $T_{1}$, и, следовательно, мы получим:
\[
\delta S=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \frac{d t}{d \theta} \sum_{\sigma=1}^{r}\left(\frac{\partial U_{1}}{\partial q_{\sigma}}+\frac{\partial T_{1}}{\partial q_{\sigma}}-\frac{d}{\boldsymbol{d}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\sigma}}\right) \delta q_{\sigma} d \theta
\]

Отсюда или следует, что
\[
\delta S=0
\]

в силу уравнений движения (35.17), или же, наоборот, из равенства нулю вариации действия $S$ вытекают эти уравнения движения (35.17).
204. Применение принципов. Рассмотренные нами принципы применяются: главным образом, для получения уравнений движения (в частном случае, равновесия) произвольных несвободных материальных систем. В виде примера выведем с помощью принципов Даламбера и Гамильтона уравнение движения для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной прямой. Примем эту прямую за ось $O z$ неподвижных осей координат $O x y z$ и за ось $O \zeta$ подвижных осей $O \xi \eta$, , неизменно связанных с телом. За обобщённую координату тела примем угол $\varphi$ между осями $O x$ и $O \xi$. Возьмём сперва принцип Даламбера; имеем
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(\boldsymbol{F}_{v}-m_{\mathrm{v}} \boldsymbol{w}_{\mathrm{v}}\right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{\mathrm{v}}=0 .
\]

Основываясь на формуле (9.14) на стр. 87 для скорости ә, частицы вращающегося тела, мы можем следующим образом выразить виртуальное перемещение $\delta r_{v}$ частицы через бесконечно малый угол поворота $\delta \varphi$ тела:
\[
\delta \boldsymbol{r}_{v}=\delta p \cdot \boldsymbol{z}^{0} \times \boldsymbol{r}_{v} .
\]

С другой стороны, ускорение $\boldsymbol{w}_{\vee}$ частицы вращающегося тела, согласно теореме (11.1) на стр. 112 , имеет выражение:
\[
\boldsymbol{w}_{v}=\bar{\varepsilon} \times \boldsymbol{r}_{v}-\omega^{2} p_{v}=\ddot{\varphi} z^{0} \times r_{v}-\dot{\varphi}^{2} p_{v}
\]
(cр. фиг. 64 на стр. 112). Вставив эти значения $\delta r_{v}$ и $\boldsymbol{w}_{v}$ в уравнение Далам-

бера и воспользовавшись правилом циклической перестановки сомножителей векторно-скалярного произведения, мы получим:
\[
\left.\delta \varphi z^{0} \cdot \sum_{v=1}^{n}\left[\boldsymbol{r}_{v} \times \boldsymbol{F}_{v}-\ddot{\varphi} m_{v} \boldsymbol{r}_{v} \times(\boldsymbol{z}) \times \boldsymbol{r}_{v}\right)+\dot{\varphi}^{2} m_{v} \boldsymbol{r}_{v} \times \boldsymbol{p}_{v}\right]=0 .
\]

Сократим уравнение на не равный нулю множитель $\delta \varphi$ и выполним умножение на $\boldsymbol{z}^{0}$. Имеем прежде всего
\[
z^{0} \cdot \sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v}=L_{z}^{(e)}
\]

где $L_{z}^{(e)}$ есть главный момент внешних.сил относительно сси $O z$; далее, находим:
\[
\begin{aligned}
z^{0} \cdot \sum_{v=1}^{n} m_{v} r_{v} \times\left(z^{6} \times r_{v}\right) & =z^{0} \cdot \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left[z^{0} r_{v}^{2}-r_{v}\left(z^{0} \cdot r_{v}\right)\right]= \\
& =\sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(r_{v}^{2}-z_{v}^{2}\right)=\sum_{v=1}^{n} m_{v} p_{v}^{2}=J_{z z},
\end{aligned}
\]

где $J_{z z}$ есть момент инерции тела относительно оси $O z$; наконец,
\[
\boldsymbol{z}^{0} \cdot \boldsymbol{r}_{\vee} \times \boldsymbol{p}_{v}=\boldsymbol{z}^{0} \cdot\left[\left(z_{\imath} \boldsymbol{z}^{0}+\boldsymbol{p}_{\mathrm{v}}\right) \times \boldsymbol{p}_{v}\right]=0,
\]

что, впрочем, и без вычислений ясно из чертежа. В результате мы получим следуюшее дифференциальное уравнение вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оєи:
\[
L_{z}^{(e)}-J_{z z} \ddot{\varphi}=0 .
\]

Пусть. теперь внешние силы имеют силовую функцию $U$, хотя бы содержащую явно время. Основываясь на равенстве (31.39) на стр. 316, которое может служить определением силовой функцив, мы находим:
\[
d U=\sum_{
u=1}^{n} F_{v} \cdot d r_{
u}=\sum_{
u=1} F_{v} \cdot d \varphi z^{0} \times r_{v}=d \varphi z^{0} \cdot \sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v},
\]

или
\[
d U=L_{z}^{(e)} d \varphi .
\]

Следовательно, уравнение (35.27) преобразуется к следующему виду:
\[
\frac{d U}{d \varphi}-J_{z z} \ddot{\varphi}=0 .
\]

Применим теперь к выводу того же уравнения принцип Гамильтона. Мы имеем
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{\mathrm{t}}} L d t=0
\]

где
\[
L=T+U .
\]

Для вращающегося твёрдого тела кинетическая энергия равна
\[
T=\frac{1}{2} J_{z z} \dot{\varphi}^{2} \text {, }
\]

а силовая функция определяется уравнением (35.28). Произведём указанное в формуле (35.30) вариирование; имеем
\[
\begin{array}{l}
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t=\delta \int_{t_{1}}^{t_{1}}(T+U) d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(J_{z z} \dot{\phi} \dot{\phi}+\frac{d U}{d \varphi} \delta_{\varphi}\right) d t= \\
=\int_{t_{0}}^{t_{1}} J_{z z} \dot{\phi} \dot{\varphi}+\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(L_{z}^{(\varepsilon)}-J_{z z} \ddot{\varphi}\right) \delta \varphi d t=0 . \\
\end{array}
\]

Член вне знака интеграла равен нулю по условию вариирования; следовательно, равен нулю интеграл, а значит, и подинтегральная функция (ввиду произвольности интервала интегрирования). Таким образом, мы приходим к прежнему результату ( 35.27$)$ :
\[
L_{z}^{(e)}-J_{z z} \ddot{p}=0 .
\]