249. Основные динамические величины, характеризующие движение твёрдого тела. Пусть Oxyz – неподвижная система координат и $A \xi$ т $\zeta$ – система координат, имеющая начало в произвольной точке, или полюсе $A$ тела, и неизменно связанная с телом (см. пример 76 на стр. 273); пусть, кроме того, $A X Y Z$ – система осей, имеющих начало в той же то’Іке $A$ и параллельных осям неподвижной системы $O x y z$ (фиг. 136). Рассмотрим произвольную частицу $m_{v}$ тела. Назовём её радиусы-векторы в неподвижной и подвижной системах соотве тственно $r_{v}$ и $\bar{\rho}_{v}$; радиус-вектор начала $A$ подвижной системы, проведённый из начала $O$ неподвижной системы, пусть будет $\boldsymbol{r}_{A}$. Эти векторы связаны соотношением
\[
r_{v}=r_{A}+\bar{\rho}_{v} \text {. }
\]

Из кинематики мы знаем, что скорость $\boldsymbol{v}_{\text {v }}$ любой – частицы $m_{y}$ неизменяемой системы в данныи момент будет известна, если даны для этого момента поступательная скорость $\boldsymbol{\vartheta}_{A}$ тела, т. е. скорость выбранного нами полюса $A$, и мгновенная угловая скорость $\bar{\omega}$ (гл. IX); действительно, по формуле (9.32) на стр. 93 мы имеем
$\Phi_{\text {иг. }} 136$.
\[
\boldsymbol{v}_{v}=\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \times \bar{\rho}_{v} .
\]

Векторы $\boldsymbol{v}_{A}$ и $\bar{\omega}$ можно задать или по отношению к неподвижным осям $O x y z$, т. е. их проекциями
\[
v_{A x}=\dot{x}_{A}, \quad v_{A y}=\dot{y}_{A}, \quad v_{A z}=\dot{z}_{A} ; \quad \omega_{x}, \omega_{v}, \omega_{z},
\]

нли по отношению к подвижным осям $A \xi \eta \zeta$, неизменно связанным с телом, т. е. проекциями
\[
v_{A \xi}, \quad v_{A \eta}, \quad v_{A \xi}, \quad \omega_{\xi}, \quad \omega_{\eta}, \omega_{\zeta} .
\]

Соответственно сказанному и основные динамические величины, количество движения $\boldsymbol{K}$, кинетический момент $\boldsymbol{G}$ и кинетическая энергия $T$ тела, могут быть отнесены как к неподвижным, так и к подвижным осям, г. е. могут быть соответственно выражены через величины (45.3) и (45. 4). Кинетическую энергию $T$ тела часто, кроме того, выражают через обоб: щённые координаты $q_{\circ}$ и их производные по времени, т. е. в форме (32.35) на стр. 329. За независимые координаты свободного твёрдого тела могут быть приняты координаты полюса $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ и три эйлеровых угла $\varphi, \phi, \vartheta$ (§55). Кинетическую энергию неизменяемой системы, представленную в указанной форме, мы будем называть лагранжевой формой кинетической энергии.

250. Количество движения и кинетический момент твёрдого тела. Количеством движения $\boldsymbol{K}$ материальной системы, состоящей из $n$

частии $m_{v}$, как известно, называется сумма произведений масс $m_{v}$ частиц на их скорости $\boldsymbol{v}_{v}$ (§178):
\[
K=\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v} \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

Если материальная система состоит не из дискретных частиц, а представляет собою тело с непрерывно распределённой массой, то при вычислении количества движения по выше приєеденной формуле суммирование следует заменить интегрированием; тог да мы будем иметь:
\[
\boldsymbol{K}=\iiint_{\mathrm{I}} \boldsymbol{v} d m
\]

при этом $d m=\sigma d x d y d z$, где $\sigma$ есть плотность тела в данной точке, а интеграл распространён на весь объём, занятый телом. В последующем мы, однако, всегда будем писать символы суммы, помня, что в случае непрерывно распределённой массы суммы при вычисления надо заменять интегралами по типу формулы (45. 6).

Corласно теореме (31.3) на стр. 302 количество движения системы следующим образом выражается через её массу $M$ и через скорость ${ }_{C}$ её центра масс $C$ :
\[
K=M v_{C} .
\]

По формуле (45.2) мы получаем отсюда:
\[
K=M\left(\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \times \bar{\rho}_{C}\right) .
\]

Найдём кинетический момент, или главный момент количеств движения $\boldsymbol{G}_{A}$ тела относительно начала $A$ подвижной системы координат. По формуле (31.15) на стр. 307 , применённой к полюсу $A$, эмеем:
\[
\boldsymbol{G}_{A}=\sum_{
u=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times \boldsymbol{m}_{v} \boldsymbol{v}_{v} .
\]

Подставив сюда значение скорости ø, по формуле (45. 2), мы находим:
\[
\boldsymbol{G}_{A}=\sum_{
u=1}^{n} \bar{\rho}_{
u} \times m_{
u}\left(\boldsymbol{v}_{A}+\overline{\boldsymbol{\omega}} \times \bar{\rho}_{
u}\right),
\]

или согласно равенствам (25.1) на стр. 243 и (1.36) на стр. 12:
\[
\boldsymbol{G}_{A}=M \bar{\rho}_{C} \times \boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \sum_{v=1}^{n} m_{v} \rho_{
u}^{2}-\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v}\left(\bar{\omega} \cdot \bar{\rho}_{
u}\right) .
\]

Спроектируем это выражение на оси неподвижной системы координат $O x y z$, при этом проекции вектора $\rho^{-}$, выразим через координаты частишы $m_{v}$ в системе $A X Y Z$; применив обозначения (26.6) и (26.7) на стр. 256, мы получим:

здесь согласно формуле (45.1) положено:
\[
X_{C}=x_{C}-x_{A}, \quad Y_{C}=y_{C}-y_{A}, \quad Z_{C}=z_{C}-z_{A} .
\]

Аналогично в проекциях на оси системы $A \xi \eta \xi$ неизменно связанной с телом, мы будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
G_{A \xi}=M\left(\eta_{C} v_{A t}-\zeta_{C} v_{A \eta}\right)+J_{\xi \xi} \omega_{\hat{\xi}}-J_{\xi \eta} \omega_{\eta}-J_{\xi \epsilon} \omega_{\zeta}, \\
G_{A t}=M\left(\zeta_{C} v_{A \xi}-\xi_{C} v_{A \xi}\right)-J_{\eta \xi} \omega_{\xi}+J_{\eta \eta} \omega_{r i}-J_{\eta \zeta} \omega_{\zeta}, \\
G_{A K}=M\left(\xi_{C} v_{A n}-\eta_{C} v_{A \xi}\right)-J_{z \xi} \omega_{\xi}-J_{\xi_{\eta}} \omega_{\eta}+J_{z \xi} \omega_{\varepsilon} . \\
\end{array}
\]

Найдём еще кинетический момент $\boldsymbol{G}_{O}$ тела относительно начала $O$ неподвижной системы координат; по той же формуле (31.15) на стр. 307 получаем
\[
\boldsymbol{G}_{O}=\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times m_{v} \boldsymbol{v}_{v}=\sum_{v=1}^{n}\left(\boldsymbol{r}_{A}+\bar{\rho}_{v}\right) \times m_{v} \boldsymbol{v}_{v}=r_{A} \times \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v}+\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times m_{v} v_{v}
\]

или согласно равенствам (45.5) и (45.8)
\[
G_{O}=r_{A} \times K+G_{A} \text {. }
\]

251. Кинетическая энергия твёрдого тела, отнесённая к неподвижным осям. Кинетическая энергия произвольной материальной системы выражается так:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v}
abla_{v}^{2}
\]

Подставив сюда значение скорости $\boldsymbol{v}_{\text {v }}$ из формулы (45.2), мы получим для кинетической энергии твёрдого тела выражение
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{A}^{2}+\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{A} \cdot \bar{\omega} \times \overline{\rho_{v}}+\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(\bar{\omega} \times \overline{\rho_{v}}\right)^{2} .
\]

Здесь первое слагаемое, очевидно, можно упростить следующим образом:
\[
\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{A}^{2}=\frac{1}{2} M v_{A}^{2} .
\]

Ко второму слагаемому применим формулы (25.1) на стр. 243 и (1.32) на стр. 11; мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{n} m_{v} \delta_{A} \cdot \bar{\omega} \times \bar{\rho}_{v}=M v_{A} \cdot \bar{\omega} \times \bar{\rho}_{C}=M\left|\begin{array}{lll}
\omega_{x} & \omega_{y} & \omega_{z} \\
X_{C} & Y_{C} & Z_{C} \\
v_{A x} & v_{A y} & v_{A z}
\end{array}\right| .
\]

К последнему слагаемому равенства (45.13) применим формулу (1:30) на стр. 11 и эатем выразим вектор $\bar{\omega}$ через его проекции на оси си. стемы $O x y z$, а вектор $\bar{\rho}_{v}$ – через координаты частицы $m_{v}$ в системе $O X Y Z$; мы получим:
\[
\begin{aligned}
\left(\bar{\omega} \times \overline{\rho_{v}}\right)^{2} & =\omega^{2} \rho_{v}^{2}-\left(\bar{\omega} \cdot \overline{\rho_{v}}\right)^{2}= \\
& =\left(\omega_{x}^{2}+\omega_{y}^{2}+\omega_{z}^{2}\right)\left(X_{v}^{2}+Y_{v}^{2}+Z_{v}^{2}\right)-\left(\omega_{x} X_{v}+\omega_{y} Y_{v}+\omega_{z} Z_{v}\right)^{2},
\end{aligned}
\]

T. e.
\[
\begin{array}{r}
\left(\bar{\omega} \times \overline{\rho_{v}}\right)^{2}=\left(Y_{v}^{2}+Z_{v}^{2}\right) \omega_{x}^{2}+\left(Z_{v}^{2}+X_{v}^{2}\right) \omega_{y}^{2}+\left(X_{v}^{2}+Y_{v}^{2}\right) \omega_{z}^{2}- \\
-2 Y_{v} Z_{v} \omega_{y} \omega_{z}-2 Z_{v} X_{v} \omega_{z} \omega_{x}-2 X_{v} Y_{v} \omega_{x} \omega_{y} ;
\end{array}
\]

отсюда, применив обозначения (26.6) и (26.7) на стр. 256, мы найдём:
\[
\begin{array}{l}
2 \sum_{v=1}^{n} m_{v}\left(\bar{\omega} \times \overline{\rho_{v}}\right)^{2}= \\
\quad=J_{X X} \omega_{x}^{2}+J_{Y Y} \omega_{y}^{2}+J_{Z Z} \omega_{z}^{2}-2 J_{Y Z} \omega_{y} \omega_{z}-2 J_{Z X^{\omega}} \omega_{z} \omega_{x}-2 J_{X Y} \omega_{x} \omega_{y} .
\end{array}
\]

Собрав результаты, мы получим следующее выражение для кинетической энергии твёрдого тела в неподвижной системе координат:
\[
\begin{aligned}
T=\frac{1}{2} M v_{A}^{2}+M\left|\begin{array}{ccc}
\omega_{x} & \omega_{y} & \omega_{z} \\
X_{C} & \gamma_{C} & Z_{C} \\
v_{A x} & v_{A v} & v_{A z}
\end{array}\right|+\frac{1}{2}\left(J_{X X} \omega_{x}^{2}+J_{Y Y} \omega_{y}^{2}+J_{Z Z} \omega_{z}^{2}-\right. \\
\left.-2 J_{Y Z} \omega_{
u} \omega_{z}-2 J_{Z X} \omega_{z} \omega_{x}-2 J_{X Y} \omega_{x} \omega_{y}\right) ;
\end{aligned}
\]

здесь
\[
v_{A}^{2}=v_{A_{x}}^{2}+v_{A_{y}}^{2}+v_{A_{z}}^{2} .
\]

Обозначим косинусы углов мгновенной угловой скорости $\bar{\omega}$ с осяминеподвижной системы координат соответственно через $\alpha, \beta, \gamma_{n}$ т. е. положим
\[
\omega_{x}=\alpha \omega, \quad \omega_{y}=\beta \omega, \quad \omega_{z}=\gamma \omega ;
\]

подставим эти выражения в последнсе слагаемое в формуле (45.14), в круглых скобках; тогда, применив теорему (26.8) на стр. 274 и обозначив $J_{\omega \omega}^{(A)}$ момент инерции тела относительно мгновенной оси полюса $A$, мы представим кинетическую энергию твёрдого тела в следующем виде:
\[
T=\frac{1}{2} M v_{A}^{z}+M\left|\begin{array}{lll}
\omega_{x} & \omega_{y} & \omega_{z} \\
X_{C} & Y_{c} & Z_{C} \\
v_{A x} & v_{A y} & v_{A z}
\end{array}\right|+\frac{1}{2} J_{\omega \omega}^{(A)} \omega^{2} .
\]

Выражение кинетической энергии несколько упростится, если за полюс $A$ взять центр масс $C$ данного твёрдого тела; тогда мы будем иметь $X_{C}=Y_{C}=Z_{C}=0$; следовательно, второе слагаемое в формуле (45.14) обратится в нуль, и мы получим:
\[
\begin{aligned}
T=\frac{1}{2} M v_{C}^{z}+\frac{1}{2} & \left(J_{X x} \omega_{x}^{2}+J_{V Y} \omega_{v}^{2}+J_{Z Z} \omega_{z}^{2}-\right. \\
& \left.-2 J_{Y Z} \omega_{y} \omega_{z}-2 J_{Z X} \omega_{z} \omega_{x}-2 J_{X Y} \omega_{x} \omega_{y}\right),
\end{aligned}
\]

или, если перейти к форме (45.15),
\[
T=\frac{1}{2} M v_{C}^{2}+\frac{1}{2} J_{\omega \omega}^{(C)} \omega^{2} .
\]

Этот результат мог бы быть непосредственно получен из формулы (31.44) на стр. 318. Для данного момента времени выражения (45.14) или (45.16) можно ещё упростить, выбрав за неподвижные оси те направления, которые параллельны главным осям инерции полюсов $A$ или $C$

для рассматриваемого момента времени (§ 154 ); тогда произведения инерции для рассматриваемого момента исчезнут, и, например, вместо формулы (45.16) мы получим:
\[
T=\frac{1}{2} M v_{c}^{2}+J_{X X}{ }_{x}^{2}+J_{Y \gamma \omega_{y}^{2}}+J_{Z z} \omega_{z}^{2} .
\]

Само собою разумеется, что в следующие моменты времени величины $J_{Y Z}, J_{Z X}, J_{X Y}$, вообще говоря, опять появятся, так как главные оси инерции, как нензменно связанные с телом и, следовательно, участвующие в его движении, уже не будут, вообще говоря, совпадать с выбранными нами неподвижными осями.

Как показывает формула (45.14), кинетическая энергия тела является функцией двух векторных величин $
abla_{A}$ и $\bar{\omega}$ или, что то же, функцией шести проехций эгих векторов:
\[
T=T\left(v_{A}, \bar{\omega}\right) .
\]

Поставим вопрос, чему равен градиент этой функции (§ 108), если вектор $\boldsymbol{v}_{A}$ рассматривается как независимое переменное, а вектор $\bar{\omega}$ служит параметром; градиент, вычисленный в этом предположении, мы будем обозначать $\operatorname{grad}_{v_{A}} T$. Точно так же найдём затем $\operatorname{grad}_{\omega} T$. т. е. будем $\bar{\omega}$ считать независимым переменным, а $\boldsymbol{v}_{A}$ – параметром. Имеем
\[
\frac{\partial T}{\partial v_{A x}}=M\left\{v_{A x}+\left|\begin{array}{ll}
\omega_{y} & \omega_{z} \\
\gamma_{C} & Z_{C}
\end{array}\right|\right\} ;
\]

на основании формул (1.27) на стр. 10 и (45.7) это равенство может быть переписано так:
\[
\frac{\partial T}{\partial v_{A x}}={ }_{n} p_{x} M\left(\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \times \bar{\rho}_{C}\right)=K_{x} .
\]

Присоединив аналогичные формулы для двух других осей, мы получим следующие соотношения:
\[
K_{x}=\frac{\partial T}{\partial v_{A x}}, \quad K_{y}=\frac{\partial T}{\partial v_{A y}}, \quad K_{z}=\frac{\partial T}{\partial v_{A z}},
\]

или
\[
\boldsymbol{K}=\operatorname{grad}_{v_{A}} T .
\]

Составим теперь производную от кинегической энергии по $\omega_{x}$. Исходя из того же выражения (45.14), мы найдём:
\[
\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}=M\left|\begin{array}{ll}
Y_{C} & Z_{C} \\
v_{A y} & v_{A z}
\end{array}\right|+J_{X X{ }^{\omega}{ }_{x}}-J_{X Y^{\omega}{ }_{v}}-J_{X Z} \omega_{z} ;
\]

аналогичные выражения получатся для производных по другим двум проекциям угловой скорости. На основании равенств (45.10) этот результат можно записать так:
\[
G_{A x}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}, \quad G_{A y}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}, \quad G_{A z}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{z}},
\]

или
\[
G_{A}=\operatorname{grad}_{\omega} T .
\]

Имея соотношения (45.12), (45.18) и (45.19), нетрудно также выразить

через производнь от кинетической энергии и кинетический момент $\boldsymbol{G}_{O}$ относительно начала $O$ неподвижной системы координат; мы получим:
\[
\boldsymbol{G}_{O}=\boldsymbol{G}_{A}+\boldsymbol{r}_{A} \times \operatorname{grad}_{\boldsymbol{v}_{A}} T,
\]

или, в проекциях:
\[
\left.\begin{array}{rl}
G_{O x} & =\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}+y_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}-z_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}, \\
G_{O y} & =\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}+z_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A x}}-x_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}, \\
G_{O z} & =\frac{\partial T}{\partial \omega_{z}}+x_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}-y_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A x}} .
\end{array}\right\}
\]

Как видно из выражения (45.14), кинетическая энергия является однородной функцией второй степени от переменных $v_{A x}, v_{A y}, v_{A z}, \omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z}$ : Следовательно, по известной теореме Эйлера об однородных функциях мы имеем
\[
2 T=v_{A x} \frac{\partial T}{\partial v_{A x}}+v_{A y} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}+v_{A z} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}+\omega_{x} \frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}+\omega_{y} \frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}+\omega_{z} \frac{\partial T}{\partial \omega_{z}} .
\]

На основании формул (45.18) и (45.19) мы отсюда получаем следующее важное соотношение:
\[
2 T=\boldsymbol{v}_{A} \cdot K+\bar{\omega} \cdot \boldsymbol{G}_{A} .
\]

252. Кинетическая энергия твёрдого тела, отнесённая к осям, неизменно связанным с телом. Формою (45.14) кинетической энергии тела пользоваться неудобно, так как коэффициенты $J_{X X}, J_{Y Y}, \ldots, J_{X Y}$, вообще говоря, не постоянны, а являются функциями времени; поэтому выражение (45.14) не поддаётся упрощению соответственным выбором системы осей координат, за исключением, разве, отдельных моментов времени, как это было показано при выводе формулы (45.17). Гораздо удобнее для приложений вторая форма кинетической энергии твёрдого тела, именно выражение кинетической энергии, отнесённое к осям $A \xi \eta$, неизменно связанным с телом. Мы можем прийти к этому выражению тем же путём, каким формула (45.14) была выведена из равенства (45.13), но только в окончательном результате все величины, отнесённые к системе осей $O x y z$ и ей параллельной системе $A X Y Z$, окажутся заменёнными соответствующими величинами, выраженными в спстеме $A \xi \eta ;$; мы получим:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} M v_{A}^{2}+M\left|\begin{array}{lll}
\omega_{\xi} & \omega_{\eta} & \omega_{\xi} \\
\xi_{C} & \eta_{\dot{c}} & \zeta_{C} \\
\boldsymbol{v}_{A \xi} & \boldsymbol{v}_{A \eta} & \boldsymbol{v}_{A \xi}
\end{array}\right|+ \\
& +\frac{1}{2}\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{t \zeta} \omega_{\xi}^{2}-2 J_{\eta \xi} \omega_{\eta} \omega_{\zeta}-2 J_{\xi \xi} \omega_{\zeta} \omega_{\xi}-2 J_{\xi \eta} \omega_{\xi} \omega_{\eta}\right),
\end{aligned}
\]

причём
\[
v_{A}^{2}=v_{A \xi}^{2}+v_{A \gamma_{1}}^{2}+v_{A \zeta}^{2} .
\]

Коэффициенты $J_{\xi \xi}, J_{\eta \eta}, \ldots, J_{\xi \eta}$ представляют собой моменты инерции и пронзведения инерции относительно осей, неизменно связанных с телом, н потому являются величинами постоянными. Подобно тому, как это было сделано в отношении неподвижных осей, формулу (45.23) можно преоб-

разовать к виду
\[
T=\frac{1}{2} M v_{A}^{2}+M\left|\begin{array}{lll}
\omega_{\xi} & \omega_{\eta} & \omega_{C} \\
\xi_{C} & \eta_{C} & \zeta_{C} \\
v_{A \xi} & v_{A \eta} & v_{A C}
\end{array}\right|+\frac{1}{2} J_{\omega \omega}^{(A)} \omega^{2} .
\]

Когда за полюс $A$ взят центр масс $C$, то мы будем имегь: $\xi_{C}=\eta_{C}=\zeta_{C}=0$, и формулы (45.23) и (45.24) перейдут в следующие:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} M v_{c}^{2}+ \\
+\frac{1}{2}\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{\eta \eta} \omega_{\eta}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}-2 J_{\eta \xi} \omega_{\eta} \omega_{\xi}-2 J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \omega_{\xi}-2 J_{\xi \eta} \omega_{\xi} \omega_{\eta}\right),
\end{array}
\]

или
\[
T=\frac{1}{2} M v_{C}^{2}+\frac{1}{2} J_{\omega \omega}^{(C)} \omega^{2} .
\]

Если, кроме того, неизменно связанные с телом оси $C \xi \eta_{\zeta}$ расположить по его главным центральным осям инерции (§ 154), то произведения инерции обратятся в нули, и мы получим:
\[
T=\frac{1}{2} M v_{C}^{2}+\frac{1}{2}\left(J_{\xi \xi} \omega_{\xi}^{2}+J_{n_{i}} \omega_{\eta_{i}}^{2}+J_{\zeta \zeta} \omega_{\xi}^{2}\right) .
\]

Это – простейшая форма кинетической энергии твёрдого тела, если распределение масс в иём вполне произвольно. Как видим, в общем случае выражение кинетической энергии твёрдого тела содержит четыре постоянных: массу $M$ тела и три главных центральных момента инерции: $J_{\xi \xi}$, $J_{\eta \eta}, J_{\text {ъс. }}$ В частном случае, когда распределение масс в теле таково, что центральным эллипсоидом инерции служит эллипсоид вращения, две из последних трёх постоянных становятся равными между собой. Твёрдое тело такого типа обыкновенно называют телом вращения в динамическом смысле, а та главная центральная ось инерции, которая перлендикулярна к осям равных моментов инерции, носит название оси динамической симметрии тела. Пусть, например, $J_{\xi \xi}=J_{\eta т i}$; тогда вместо формулы (45.26) мы будем нметь:
\[
T=\frac{1}{2} M v_{A}^{2}+\frac{1}{2}\left[J_{\xi \xi}\left(\omega_{\xi}^{2}+\omega_{x_{i}}^{2}\right)+J_{\zeta \xi} \omega_{\xi}^{2}\right] .
\]

Наконец, если все три главных центральных момента инерции тела равны между собой, т. е. центральным эллипсоидом инерции служит шар, тогда кинетическая энергия содержит лишь две постоянных и имеет вид
\[
T=\frac{1}{2} M v_{A}^{2} T \frac{1}{2} J_{\xi \xi} \omega^{2} .
\]

Сравнивая между собой выражения (45.14) и (45.23) кинетической энергии в неподвижной системе координат и в системе, неизменно свяванной с телом, мы замечаем, что обе функции имеют совершенно одннаковую структуру в отношении соответственных проекций скорости $\boldsymbol{v}_{A}$ полюса $A$ и угловой скорости $\bar{\omega}$. С другой стороны, как видно из формул (45.7) и (45.9), количество движения $\boldsymbol{K}$ и кинетический момент $\boldsymbol{G}_{A}$ относительно полюса $A$ тоже одинаково зависят от $\boldsymbol{\eta}_{A}$ и $\bar{\omega}$, если их выражать в неподвижной системе координат и в системе, неизменно связанной с телом. Отсюда мы приходим к заключению, что выведенные выше фор-

мулы (45.18) и (45.19) справедливы и в отношении системы координат $A \xi \eta$, неизменно связанной с телом; т. е. мы имеем
\[
K=\operatorname{grad}_{v_{A}} T, \text { или } K_{\xi}=\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}, \quad K_{\eta}=\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}}, \quad K_{\mathrm{t}}=-\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}},
\]

и
\[
G_{A}=\operatorname{grad}_{\omega} T, \quad \text { или } \quad G_{A \xi}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}, G_{A \eta}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}, \quad G_{A \xi}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} .
\]

Эти формулы можно, конечно, получить и непосредственным дифференцированием выражения (45.22) кинетической энергии. Найдём теперь соотношения между частными производными от кинетической энергии по скоростям, выраженным в \”неподвижной и подвижной системах координат. Употребляя схему косинусов (8.3) на стр. 74 , мы можем согласно формулам (8.7) и (8.8) на этой странице написать:
\[
\begin{array}{l}
K_{x}=K_{\xi} a_{11}+K_{\eta_{1}} a_{12}+K_{\xi} a_{13}, \ldots, \\
K_{\xi}=K_{x} a_{11}+K_{y} a_{21}+K_{z} a_{31}, \ldots,
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
G_{A x}=G_{A \xi} a_{11}+G_{A \eta} a_{12}+G_{A z} a_{13}, \ldots, \\
G_{A \xi}=G_{A x} a_{11}+G_{A y} a_{21}+G_{A z} a_{31}, \ldots .
\end{array}
\]

Отсюда в силу соотношений (45.18), (45.19), (45.29) и (45.30) мы приходим к следующим равенствам:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial v_{A x}}=\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{13}, \\
\frac{\partial T}{\partial v_{A y}}=\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{23}, \\
\frac{\partial T}{\partial v_{A z}}=\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{31}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{32}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{33} ; \\
\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}=\frac{\partial T}{\partial v_{A x}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial v_{A y}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial v_{A z}} a_{31}, \\
\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}}=\frac{\partial T}{\partial v_{A x}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial v_{A y}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial v_{A z}} a_{32}, \\
\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}=\frac{\partial T}{\partial T_{A x}} a_{13}+\frac{\partial T}{\partial v_{A y}} a_{23}+\frac{\partial T}{\partial v_{A z}} a_{33} ; \\
\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{13}, \\
\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{23}, \\
\frac{\partial T}{\partial \omega_{z}}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{31}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}} a_{32}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{33} ; \\
\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{z}} a_{B 1}, \\
\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{z}} a_{32}, \\
\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}} a_{13}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}} a_{23}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{z}} a_{33} .
\end{array}\right\}
\]

В дальнейшем нам понадобится также выражение проекıий кинетического момента $\boldsymbol{G}_{O}$ относительно начала $O$ неполвижной системы координат через производные от кинетической энергии по проекциям скоростей в подвижной системе координат; из формулы (45.12) на основании только что выведенных соотношений мы получаем:
\[
\begin{array}{l}
G_{o x}=y_{A}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{31}+\frac{\partial T}{\partial v_{A_{\eta}}} a_{32}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{33}\right)- \\
-z_{A}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{23}\right)+ \\
+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{13}, \\
G_{o y}=z_{A}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{13}\right)- \\
-x_{A}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi} \xi} a_{31}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{32}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{33}\right)+ \\
+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\zeta}} a_{23}, \\
G_{O z}=x_{A}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{23}\right)- \\
-\dot{y}_{A}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{13}\right)+ \\
+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} a_{31}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}} a_{32}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\zeta}} a_{35} ; \\
\begin{aligned}
G_{o \xi}= & \frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}}\left(x_{A} a_{12}+y_{A} a_{22}+z_{A} a_{32}\right)- \\
& -\frac{\partial T}{\partial v_{A_{\eta}}}\left(x_{A} a_{13}+y_{A} a_{23}+z_{A} a_{33}\right)+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}},
\end{aligned} \\
G_{O n}=\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}\left(x_{A} a_{13}+y_{A} a_{23}+z_{{ }_{A}} a_{33}\right)- \\
-\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}}\left(x_{A} a_{11}+y_{A} a_{21}+z_{A} a_{31}\right)+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta_{i}}}, \\
G_{O 5}=\frac{\partial T}{\partial v_{A 1}}\left(x_{A} a_{11}+y_{A} a_{21}+z_{A} a_{31}\right)- \\
-\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}\left(x_{A} a_{12}+y_{A} a_{22}+z_{A} a_{32}\right)+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\zeta}} . \quad \\
\end{array}
\]

Так как выражение (45.23) кинетической энергии представляет собой однородную функцию второй степени относигельно $v_{A \xi}, v_{A r_{i}}, v_{A \zeta}, \omega_{\xi}, \omega_{r_{i}}, \omega_{\zeta}$, то по теореме Эйлера, аналоги’но формуле (46.21), мы находим:
\[
2 T=v_{A \xi} \frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}}+v_{A \eta} \frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}}+v_{A^{\xi}} \frac{\partial T}{\partial v_{A_{\xi}}}+\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}}+\omega_{\gamma_{1}} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}}+\omega_{\xi} \frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} .
\]

Отсюда, очевидно, опять вытекает соотношение (45.22).

253. Лагранжева форма кинетической энергии твёрдого тела. Чтобы выразить кинетическую энергню свободного твёрдого тела через независимые координаты
\[
x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \underset{\psi}{\psi}, \theta
\]

и их производные по времени ( $\$ 55$ ), нужно подставить в равөнство

(45.23) знатения проекции угловой скорости по формулам (9.30) на стр. 92, а именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{\xi}=\sin \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}+\cos \varphi \cdot \dot{\vartheta}, \\
\omega_{\eta}=\cos \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}-\sin \varphi \cdot \dot{\vartheta}, \\
\omega_{\xi}=\cos \vartheta \cdot \psi+\dot{\varphi} .
\end{array}\right\}
\]

В явном виде мы выпишем результат этой подстановки лишь для случая, когда за полюс $A$ взят центр масс. $C$, а оси $A \xi$ ст совмещены с главными центральными осями инерции тела; тогда по формуле (45.26) мы подучим:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{T}=\frac{1}{2} M v_{C}^{\vartheta}+\frac{1}{2} {\left[J_{\xi \xi}(\sin \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}+\cos \varphi \cdot \dot{\vartheta})^{2}+\right.} \\
\left.J_{\eta_{7}}(\cos \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi} \sin \psi \cdot \dot{\vartheta})^{2}+J_{t \xi}(\cos \vartheta \cdot \dot{\psi}+\dot{\varphi})^{2}\right] ;
\end{array}
\]

здесь $-\boldsymbol{\sigma}_{C}$ попрежнему означает сксрость центра масс $C$ и выражается так:
\[
v_{c}^{2}=v_{C x}^{2}+v_{c y}^{2}+v_{C z}^{2}=v_{C \xi}^{2}+v_{C \eta}^{2}+v_{c \zeta}^{2} .
\]

Если данное твёрдое тело имеет два главных центральных момента инерции равными, то, приняв динамнческую ось симметрии за ось $C \zeta$, мы вместо формулы (45.38) получим следующую:
\[
T=\frac{1}{2} M v_{C}^{2}+\frac{1}{2}\left[J_{\xi \xi}\left(\sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\varphi}^{2}+\dot{\vartheta}^{2}\right)+J_{\mathrm{tz}}(\cos \vartheta \cdot \dot{\psi}+\dot{\varphi})^{2}\right] .
\]

Заметим, что в этом случае выражение кинетической энергии не содержит явн с самих координат $\varphi$ и $ф$, а только их производные; поэтому для указанного случая мы имеем
\[
\frac{\partial T}{\partial \varphi}=0, \quad \frac{\partial T}{\partial \psi}=0 .
\]

Если все три главных центральных момента одинаковы, то кинетическая энергия будет равна
\[
\left.I=\frac{1}{2} M v_{C}^{2}+\frac{1}{2} J_{\xi \xi}\left(\dot{\varphi}^{2}+\dot{\psi}^{2}+\dot{\vartheta}^{2}+2 \cos \vartheta\right) \dot{\varphi} \dot{\psi}\right) .
\]

Возвращаясь к общему случаю, поставим вопрос о механическом смысле производных ог кинети’еской энергии по переменным $\dot{\varphi}, \dot{\phi}, \dot{\vartheta}$. Предварительно заметим, что из равенств (45.37) получаются следующие соогношения:
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{\partial \omega_{\xi}}{\partial \dot{\varphi}}=0, & \frac{\partial \omega_{\eta}}{\partial \dot{\varphi}}=0, & \frac{\partial \omega_{\zeta}}{\partial \varphi}=1, \\
\frac{\partial \omega_{\xi}}{\partial \dot{\phi}}=\sin \varphi \sin \vartheta, & \frac{\partial \omega_{\eta}}{\partial \dot{\psi}}=\cos \varphi \sin \vartheta, & \frac{\partial \omega_{\zeta}}{\partial \dot{\phi}}=\cos \vartheta \\
\frac{\partial \omega_{\xi}}{\partial \dot{\vartheta}}=\cos \varphi, & \frac{\partial \omega_{\eta}}{\partial \dot{\theta}}=-\sin \varphi, & \frac{\partial \omega_{\zeta}}{\partial \dot{\vartheta}}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Нетрудно усмотреть, что правые части этих равенств представляют собою косинусы углов между осями собственного вращения, прецессии и нутации (§55) с одной стороны, и осями трёхгранника $A \xi \eta \zeta-с$ другой (фиг. 137); в помощь к геометрическим соображениям можно при этом

воспользоваться третьей строкой формул (8.15) на стр. 77. Введя единичные векторы, указанные на фиг. 137, можно формулы (45.41) переписать так:

Вычислим теперь производную от кинетической энергии по переменной $\dot{\varphi}$, рассматривая кинстическую энергию как сложную функцию от $\dot{\varphi}$, зависящую от $ழ$ посредством промежуточных переменных $\omega_{\xi}, \omega_{\eta_{i}}$ и $\omega_{\zeta}$; мы находим:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} \frac{\partial \omega_{\xi}}{\partial \dot{\varphi}}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\eta}} \frac{\partial \omega_{\eta}}{\partial \dot{\varphi}}+\frac{\partial T}{\partial \omega_{\xi}} \frac{\partial \omega_{\xi}}{\partial \dot{\varphi}} .
\]

На основании формул (45.30) и (45.42) это равенство мокет быть переписано следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}} & =G_{A \xi} \overline{\xi^{0}} \cdot \overline{\zeta^{0}}+G_{A \eta_{i}} \overline{\eta^{0}} \cdot \zeta_{0}^{0}+G_{A \xi} \overline{\zeta^{0}} \cdot \overline{\zeta^{0}}= \\
& =G_{A} \cdot \overline{\zeta^{0}},
\end{aligned}
\]

или
Фиг. 137.
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=G_{\varphi},
\]

если через $G_{0}$ обозначить кинетический момент тела относительно осн, при вращении вокруг которой изменяется угол $\varphi$, т. е. оси собственного вращения. Присоединив аналогичные выражения для производных по $\dot{\psi}$ и $\dot{\vartheta}$, мы найдём:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=G_{\varphi}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=G_{\psi}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}=G_{\theta} .
\]

Само собою разумеется, что
\[
G_{\varphi}=G_{A^{*}}, \quad G_{\psi}=G_{A Z}, \quad G_{\vartheta}=G_{A Y^{*}} .
\]

254. Различные типы уравнений движения свободного твёрдого тела. Годобно тому, как кинетическая энергия свободного твёрдого тела может быть представлена в той или другой форме, точно так же и уравнения движения могут принимать раз.личный вид. Главных тиітов уравнений движения три, соответственно числу форм кинетической энергии, изложенных выше: уравнения движения, отнесённые к неюдвижным осям, уравнения двнжения, отнесённые к осям, неизменно связанным с телом, и уравнения движення в независимых координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Твёрдое тело, не стеснённое никакими связями, имеет шесть стененей свободы (см. примеры 76 на стр. 273 и 97 на стр. 324);

поэтому и уравнений движения, свободных от реакций связей, должно быть также шесть. Уравнения эти обыкновенно распадаются на две групы: на три уравнения поступательного движения вместе с некоторою точкою $A$ тела и на три уравнения движения тела вокруг точки $A$, как неподвижной.

255. Уравнения движения твёрдого тела, отнесённые к неподвижным осям. Уравнения движения твёрдого тела получаются непосредственно, если приложим к нему закон, изложенный в § 183 и представляющий собой объединение законов изменения колитества движения ( $§ 178$ ) и кинетического момента ( $\$ 180$ ). Упомянутый закон в применении к твёрдому телу гласит: производная по времени от системы скользящих векторов, изображающих количества движения частиц твёрдого тела, эквивалентна системе скользящих векторов, изображающих действующие на тело активные силы. Такая формулировка закона вытекает из замечаний о сумме и о сумме моментов реакций внутренних связей, сделанных в $\S 178$ и 180 .

Если систему векторов $m_{v} \boldsymbol{v}_{v}$, т. е. количеств движения частиц твёрдого тела, мы обозначим через $\mathcal{S}$, а систему векторов $\boldsymbol{F}_{v}$, т. е. приложенных к телу сил, обозначим через $\Sigma$, то высказанный закон согласно формуле (31.25) на стр. 311 символически выразится так:
\[
\dot{S} \equiv \Sigma
\]

здесь точка означает, что от системы $\mathcal{S}$ взята производная по времени, а знак $\equiv$ выражает эквивалентность.

Система $\mathcal{S}$ для полюса $O$ (начала координат) характеризуется свонм главным вектором $\boldsymbol{K}$, т. е. количеством д́вижения твёрдого тела, и своим главным моментом $\boldsymbol{G}_{O}$, т. е. главным моментом количеств движения, или кинетическим моментом относительно полюса $O$. Система $\Sigma$ для того же полюса характеризуется своим главіным вектором $\boldsymbol{F}$, или результирующею силою и главным моментом $\boldsymbol{L}_{O}$, или моментом результирующей пары. Так как полюс $O$ неподвижен, то равенство (45.43) равносильно следующим двум (§32):
\[
\dot{\boldsymbol{K}}=F, \quad \dot{\boldsymbol{G}}_{o}=\boldsymbol{L}_{O} .
\]

Каждое из этих векторных равенств может быть заменено тремя скалярными:
\[
\begin{aligned}
\dot{K}_{x} & =F_{x}, & \dot{K}_{y} & =F_{y}, & \dot{K}_{z} & =F_{z} ; \\
\dot{G}_{O x} & =L_{O x}, & \dot{G}_{O y} & =L_{O y}, & \dot{G}_{O z} & =L_{O z} ;
\end{aligned}
\]

здесь значками $x, y, z$ отметены проекции векторов на соотве гственные осн. Первое из уравнений (45.44) или уравнения (45.45) представляют собой уравнения поступательного движения тела вместе с некоторою его точкою $A$; второе из уравнений (45.44) или уравнения (45.46) являются уравнениями движения твёрдого тела вокруг этой точки $A$, как вокруг ненодвижной. Раскрыть уравнения поступательного движения можно с помощью равенств (45.18) и (45.31); точно так же уравнения движения вокруг точки $A$ раскрываются с помощью равенств (45.20) и (45.35). Таким образом, если желатсльно, чтобы динамические величины, входящие в уравнения движения, были выражены через производные от выражения $\mathbf{( 4 5 . 1 4 )}$ для кинетической энергии, то вместо уравнений (45.44) мы долж-

ны написать следующие:
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{\partial}{\partial t} \frac{d T}{d v_{A x}}=F_{x^{\prime}} \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}=F_{y,} \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}=F_{z}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}+y_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}-z_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}\right)=L_{O x}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}+z_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A x}}-x_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}\right)=L_{O y}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \omega_{z}}+x_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}-y_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A x}}\right)=L_{O z} .
\end{array}\right\}
\]

Тем же уравнениям можно дать другой вид, если ввести производные от выраження (45.23) кинетической энергии; дяя этого нужно воспользовагься формулами (45.31) и (45.33); мы тогда получим:
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{13}\right)=F_{x^{\prime}} \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{23}\right)=F_{v} \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{31}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{32}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{33}\right)=F_{z^{\prime}}
\end{array}\right\}
\]

256. Уравнения движения твёрдого тела, отнесённые к осям, пеизменно связанным с телом. Эйлеровы уравнения движения твёрдого тела. Цля получения ураннений движення свободного твёрдого тела, отнесёниых к осям $A \xi \eta \zeta$, неизменно связанным с телом, служи тот же закон, о котором шла речь в предылущем параграфе, только рвенство (45.43) раскрывается с помоцью подвижных осей. С этой пелью мы замечаем, что система $S$ для полюса $A$, служащего наталом подвижных осей, характеризуется своим главным вектором $\boldsymbol{K}$ и главным моментом $\boldsymbol{G}_{A}$, а система $\Sigma$ – главным вектором $\boldsymbol{F}$ и главным моментом $\boldsymbol{L}_{\boldsymbol{A}}$. Значок $A$ попрежнему отмечает, что момент берётся относительно соогветствующего полюса (в данном случае полюса $A$ ). Как и в случае неподвижного полюса, выражение (45.43) может быть заменено двумя векторными равенствами, причём второе пишется по типу формулы (31.27) на стр. 311 :
\[
\dot{K}=F, \quad \dot{G}_{A}+v_{A} \times K=L_{A} .
\]

ны написать следующие:
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{\partial}{\partial t} \frac{d T}{d v_{A x}}=F_{x}, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}=F_{y,}, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}=F_{z}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \omega_{x}}+y_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}-z_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}\right)=L_{O x^{\prime}} \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \omega_{y}}+z_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A x}}-x_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A z}}\right)=L_{O y}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \omega_{z}}+x_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A y}}-y_{A} \frac{\partial T}{\partial v_{A x}}\right)=L_{O z^{*}}
\end{array}\right\}
\]

Тем же уравнениям можно дать другой вид, если ввесги производные от выражения (45.23) кинетической энергии; для этого нужно воспользовагься формулами (45.31) и (45.33); мы тогда получим:
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{11}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{12}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{13}\right)=F_{x^{\prime}} \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{21}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{22}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{23}\right)=F_{\eta} \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial v_{A \xi}} a_{31}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \eta}} a_{32}+\frac{\partial T}{\partial v_{A \zeta}} a_{33}\right)=F_{z^{\prime}}
\end{array}\right\}
\]
256. Уравнения движения твёрдого тела, отнесённые к осям, пеизменно связанным с телом. Эйлеровы уравнения движения твёрдого тела. Для получения уравнений движения свободного твёрдого же закон, о котором шла речь в предыдущем параграфе, только равенство (45.43) раскрывается с помощью подвижных осей. С этой челью мы замечаем, что система $S$ для полюса $A$, служашего началом подвижных осей, характеризуется своим главним вектором $\boldsymbol{K}$ и главным моментом $\boldsymbol{G}_{A}$, а система $\Sigma$ – главным вектором $F$ и главным моментом $\boldsymbol{L}_{A}$. Значок $A$ порежнему отмечает, что момент берется относительно соогветствующего полюса (в данном случае полюса $A$ ). Как и в случае. неюдвижного полюса, выражение (45.43) может быть заменено двуми векторными равенствами, причём второе пишется по типу формулы (31.27) на crp. 311 :
\[
\dot{K}=F, \quad \dot{G}_{A}+\boldsymbol{v}_{A} \times K=L_{A} .
\]

где $J_{\xi,}, J_{\gamma_{1},}, J_{\xi s}$ – главные центральные моменты инерции тела. Уравнсния (45.56) примут в этом случае вид
\[
\left.\begin{array}{l}
J_{\xi \xi} \dot{\omega}_{\xi}-\left(J_{\gamma_{\eta}}-J_{\zeta \xi}\right) \omega_{\eta} \omega_{\tau}=L_{C \xi}, \\
J_{\gamma \eta} \dot{\omega}_{\eta}-\left(J_{\zeta \xi}-J_{\xi \xi}\right) \omega_{\xi} \omega_{\xi}=L_{C \eta}, \\
J_{t \xi} \dot{\omega}_{\xi}-\left(J_{\xi \xi}-J_{\eta \eta_{1}}\right) \omega_{\xi} \omega_{\eta}=L_{C \zeta} .
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения носят название эйлеровых уравнений движения свободного твёрдого тела вокруг его центра масс.

257. Вывод уравнений движения твёрдого тела из принципа Даламбера. Уравнения движения твёрдого тела могут быть получены также с помощью любого из принципов, изложенных в главах XXXIV и XXXV. В виде примера покажем, как вывести эти уравнения из принципа Даламбера. Согласно принципу Даламбера (§ 197), если все связи неосвобождающие, то элементарная работа потерянных сил на любом виртуальном перемещении системы равна нулю [см. формулу (34.6) на стр. 349]; т. е. мы имеем
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right) \cdot \delta r_{v}=0 .
\]

Согласно формуле (36.49) на стр. 387 виртуальное перемещение $\delta \bar{r}_{v}$ частицы твёрдого тела выражается так:
\[
\delta r_{v}=\delta r_{A}+\overline{\omega^{0}} \delta \alpha \times \overline{\rho_{
u}} .
\]

На этом основании предыдущее уравнение можно преобразовать к виду
\[
\delta r_{A} \cdot \sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right)+\bar{\omega}^{0} \delta \alpha \cdot \sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right)=0 .
\]

Ввиду независимости вариаций $\delta \bar{r}_{A}$ и $\delta \alpha$ это уравнение распадается на два [ср. сказанное по поводу уравнения (36.50) на стр. 388]; а именно, мы получаем:
\[
\sum_{
u=1}^{n}\left(F_{v}-m_{
u} w_{v}\right)=0, \quad \sum_{
u=1}^{n} \bar{\rho}_{
u} \times\left(F_{
u}-m_{
u} w_{v}\right)=0 .
\]

Так как
\[
\sum_{\mathrm{v}=1}^{n} F_{\mathrm{v}}=\boldsymbol{F} \text { и } \sum_{\mathrm{v}=1}^{n} m_{\mathrm{v}} \boldsymbol{w}_{\mathrm{v}}=\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} m_{\mathrm{v}} \boldsymbol{v}_{\mathrm{v}}=\dot{\boldsymbol{K}},
\]

то первое из полученных уравнений даёт
\[
\dot{\boldsymbol{K}}=\boldsymbol{F} \text {. }
\]

Далее, мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\sum_{v=1}^{n} \bar{\rho}_{v} \times\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right)=\sum_{v=1}^{n}\left(r_{v}-r_{A}\right) \times\left(F_{v}-m_{v} w_{v}\right)= \\
=\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times F_{v}-r_{A} \times \sum_{v=1}^{n} F_{v}-\sum_{v=1}^{n} r_{v} \times m_{v} w_{v}+r_{A} \times \sum_{v=1}^{n} m_{v} w_{v} .
\end{array}
\]

Второе и последнее слагаемое в последней строке на основании соотношений (45.59) и (45.60) взаимно уничтожаются; первое слагаемое представляет собой главный момент $\boldsymbol{L}_{O}$ внешних сил, а третье слагаемое равно
\[
-\sum_{v=1}^{n} r_{
u} \times m_{v} w_{v}=-\frac{d}{d t} \sum_{v=1}^{n} r_{v} \times m_{
u} \boldsymbol{v}_{v}=-\dot{\boldsymbol{G}}_{O},
\]

где $\boldsymbol{G}_{O}$ есть кинетический момент тела относительно полюса $O$. Таким образом, вместо уравнений (45.58) мы получаем:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{K}}=\boldsymbol{F}, \\
\dot{\boldsymbol{G}}=\boldsymbol{L}_{o} ;
\end{array}
\]
т. е. мы снова пришли к уравнениям движения (45.44).

Для вывода уравнений движения в подвижных осях перейдём прежде всего в последнем уравнении от полюса $O$ к полюсу $A$; в сигласии с теоремою (3.2) на стр. 20 мы получаем:
\[
\frac{d}{d t}\left(G_{A}+r_{A} \times K\right)=L_{A}+r_{A} \times F,
\]

или
\[
\dot{\boldsymbol{G}}_{A}+\boldsymbol{v}_{A} \times K+\boldsymbol{r}_{A} \times \dot{\boldsymbol{K}}=L_{A}+r_{A} \times
\]

последний член в левой части и последний член в правой части согласно равенству (45.61) взаимно уничтожаются. Чтобы теперь прийти к окончательному результату, выразим в последнем уравненни, а такжс в уравнении (45.61) производные $\dot{\boldsymbol{K}}$ и $\dot{\boldsymbol{G}}_{A}$ через соответствующие относительные производные; мы тогда получим ранее выведенные уравнения (45.52):
\[
\tilde{\dot{K}}+\bar{\omega} \times K=F, \quad \tilde{\dot{\boldsymbol{G}}}+\bar{\omega} \times G_{A}+v_{A} \times K=\boldsymbol{L}_{A} .
\]

258. Лагранжевы уравнения движения твёрдого тела. К свободному твёрдому телу можно приложить непосредственно уравнения движения Лагранжа второго рода (32.42) на стр. 331. Если положение тела определять независимыми координатами $x_{A}, y_{A}, z_{A}, \varphi, \psi, \vartheta$, то искомые уравнения будут иметь вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{A}}-\frac{\partial T}{\partial x_{A}}=Q_{x_{A}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{y}_{A}}-\frac{\partial T}{\partial y_{A}}=Q_{y_{A}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{z}_{A}}-\frac{\partial T}{\partial z_{A}}=Q_{z_{A}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=Q_{\varphi}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}-\frac{\partial T}{\partial \phi}=Q_{\phi}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\delta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}=Q_{\diamond} .
\end{array}\right\}
\]

Выражения, стоящие в правых частях уравнений, представляют собой обобщённые силы,отвечающие выбранным независимым координатам твёрдого тела. Эти обобщённые силы просıс выражаются через действующие на тело силы $\boldsymbol{F}_{\mathbf{y}}$. Чтобы найти эту зависимость, составим выражение для элементарной работы сил на произвольном виртуальном перемещении тела. Согласно формуле (36.49) на стр. 387 мы имеем
\[
\begin{aligned}
\delta A=\sum_{v=1}^{n} F_{
u} \cdot \delta r_{v} & =\sum_{v=1}^{n}\left\{F_{
u} \cdot\left(\delta r_{A}+\delta \alpha \overline{\omega^{0}} \times \overline{\rho_{
u}}\right)\right\}= \\
& =\left(\sum_{
u=1}^{n} F_{v}\right) \cdot \delta r_{A}+\delta \alpha \overline{\omega^{0}} \cdot \sum_{v=1}^{n} \overline{\rho_{v}} \times F_{v}
\end{aligned}
\]

или
\[
\delta A=F \cdot \delta r_{A}+L_{A} \cdot \bar{\omega}^{0} \delta \alpha,
\]

где $\boldsymbol{F}=\sum_{
u=1}^{n} \boldsymbol{F}_{
u}$ и $\boldsymbol{L}_{A}=\sum_{
u=1}^{n} \bar{\rho}_{
u} \times \boldsymbol{F}_{
u}$ являются соответственно главным ‘вектором и главным моментом сил. Поступательное перемещение $\delta r_{A}$ следующим образом выражается через вариации независимых координат:
\[
\delta r_{A}=x^{0} \delta x_{A}+y^{0} \delta y_{A}+z^{0} \delta z_{A} .
\]

Чтобы угловое перемещение $\overrightarrow{\omega^{0}} \delta \alpha$ также выразить через вариации независимых коордйнат, преобразуем выражение $\bar{\omega}^{0} \delta \alpha$ сперва при помощи формулы (9.29) на стр. 92:
\[
\bar{\omega}^{0} \delta \alpha=\bar{\omega} \partial t=\left(\dot{\varphi} \bar{\rho}+\dot{\psi} Z_{0}+\dot{\gamma} \bar{\gamma}^{0}\right) \partial t .
\]

Отсюда мы получим:
\[
\overline{\omega^{0}} \partial \alpha=\overline{\rho^{0}} \partial \varphi+Z^{0} \delta \phi+\overline{\gamma^{0}} \partial \vartheta .
\]

Подставив выражения (45.65) и (45.66) в формулу (45.64), мы сможем представить элементарную работу в следующем виде:
\[
\delta A=F_{x} \delta x_{A}+F_{y} \delta y_{A}+F_{z} \delta z_{A}+L_{\varphi} \delta \varphi+L_{\psi} \delta \phi+L_{\vartheta} \delta \vartheta,
\]

где $L_{\varphi}=\boldsymbol{L}_{A} \cdot \varphi^{0}, L_{\phi}=\boldsymbol{L}_{A} \cdot \boldsymbol{Z}^{n}$ и $L_{\vartheta}=\boldsymbol{L}_{A} \cdot \bar{\gamma}^{0}$ соответственно представляют собой главные моменты сил относительно осей собственного вращения, прецессии и нутации. С другой стороны, согласно формуле (32.30) на стр. 327 элементарная работа сил следующим образом выражается через выше введённые обобщённые силы:
\[
\delta A=Q_{x_{A}} \delta x_{A}+Q_{y_{A}} \delta y_{A}+Q_{z_{A}} \delta z_{A}+Q_{\varphi} \delta \varphi+Q_{\phi} \delta \phi+Q_{\theta} \delta \vartheta .
\]

Ввиду независимости вариаций координат коэффициенты при одинаковых вариациях в выражениях (45.67) и (45.68) должны быть равны; отсюда мы и получаем искомые выражения обобщённых сил через действующие на тело силы:
\[
\left.\begin{array}{rl}
Q_{x_{A}} & =F_{x}, \quad Q_{y_{A}}=F_{v}, Q_{z_{4}}=F_{z}, \\
Q_{\varphi} & =L_{\varphi}, \quad Q_{\psi}=L_{\psi}, \quad Q_{y}=L_{\phi} .
\end{array}\right\}
\]

вую функцию $U$, обобщённыс силы согласно формуле (32.43) на стр. 332 могут быть представлены как частные производные от эгой функции:
\[
\left.\begin{array}{c}
Q_{x_{A}}=\frac{\partial U}{\partial x_{A}}, \quad Q_{v_{A}}=\frac{\partial U}{\partial y_{A}}, \quad Q_{z_{A}}=\frac{\partial U}{\partial z_{A}}, \\
Q_{\varphi}=\frac{\partial U}{\partial \varphi}, \quad Q_{\psi}=\frac{\partial U}{\partial \psi}, \quad Q_{\vartheta}=\frac{\partial U}{\partial \vartheta} .
\end{array}\right\}
\]

Заметим, что в этом случае моменты сил относительно координатных осей $L_{A X}, L_{A Y}, L_{A Z}$ и $L_{A \xi}, L_{A T ;}, L_{A t}$ могут быть также выражены через производные от силовой функцин. Действительно, пользуясь фиг. 137 на стр. 500 и формулами косинусов (8.15) на стр. 77, нетрудно выразить моменты $L_{\varphi}, L_{d}, L_{\vartheta}$ через моменты относительно координатных осей $A X Y Z$ и $A \varepsilon \eta \varrho:$ мы находим, с одной стороны,
\[
\begin{array}{l}
L_{\infty}=L_{A X} \sin \psi \sin \theta-L_{A Y} \cos \psi \sin \vartheta+L_{A Z} \cos \vartheta \\
L_{\phi}=L_{A Z}, \\
L_{\vartheta}=L_{A X} \cos \psi+L_{A Y} \sin \psi ;
\end{array}
\]

с другой стороны, мы получаем:
\[
\left.\begin{array}{l}
L_{\phi}=L_{A t}, \\
L_{\phi}=L_{A \xi} \sin \varphi \sin \vartheta+L_{A \eta} \cos \varphi \sin \vartheta+L_{A \zeta} \cos \vartheta \\
L_{\vartheta}=L_{A \xi} \cos \varphi-L_{A \eta} \sin \varphi
\end{array}\right\}
\]

Разрешив систему уравнений (45.71) относительно моментов $L_{A X}, L_{A Y}, L_{A Z}$, мы находим:
\[
\begin{array}{l}
L_{A X}=\left(L_{\varphi}-L_{\phi} \cos \vartheta\right) \frac{\sin \phi}{\sin \vartheta}+L_{\vartheta} \cos \psi, \\
L_{A Y}=-\left(L_{\varphi}-L_{\phi} \cos \vartheta\right) \frac{\cos \psi}{\sin \vartheta}+L_{\vartheta} \sin \psi, \\
L_{A Z}=L_{\phi} .
\end{array}
\]

Наконец, решение системы уравнений (45.72) даёт:
\[
\left.\begin{array}{l}
L_{A \xi}=\left(-L_{\varphi} \cos \vartheta+L_{\phi}\right) \frac{\sin \varphi}{\sin \theta}+L_{\vartheta} \cos \varphi, \\
L_{A_{1}}=\left(-L_{\varphi} \cos \vartheta+L_{\phi}\right) \frac{\sin \varphi}{\sin \theta}-L_{\vartheta} \sin \varphi, \\
L_{A \xi}=L_{\varphi} .
\end{array}\right\}
\]

Положив здесь в соответствии с формулами (45.69) и (45.70)
\[
L_{\varphi}=\frac{\partial U}{\partial \varphi}, \quad L_{\phi}=\frac{\partial U}{\partial \phi}, \quad L_{\vartheta}=\frac{\partial U}{\partial \theta},
\]

мы и получим искомые выражения моментов сил относительно координатных осей через производные от силовой функции.

Система уравнений поступательного движения (45.62) упрошается. если за полюс взять центр масс; тогда согласно формуле (45.25) мы

будем иметь:
\[
\frac{\partial T}{\partial x_{C}}=\frac{\partial T}{\partial y_{C}}=\frac{\partial T}{\partial z_{C}}=0
\]

и вместо уравнений (45.62) получим:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{C}}=F_{x}, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{y}_{C}}=F_{y}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{z}_{C}}=F_{z} .
\]

Уравнения движения (45.63) вокруг полюса $A$ принимают особенно простой вид, если твёрдое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через центр масс. Тогда, приняв центр масс $C$ за полюс, кинетическую энергию можно привести к виду (45.39), и, следовательно, в согласии с формулой (45.40) уравнения (45.63) заменятся такими:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=L_{\phi}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}=L_{\psi}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}-\frac{\partial T}{\partial \vartheta}=L_{\vartheta} .
\]