211. Нитевые и стержневые многоугольники. Условия их равновесия. Система материальных частиц, из которых каждая соединена нерастяжимыми нитями или неизменяемыми стержнями с двумя другими, носит название замкнутого нитевого или стержневого многоугольника. Ег ти же две крайние частицы не связаны друг с другом и,-следовательно,

каждая из них соединена лишь с одной из частиц системы, то многоугольник называется разомкнутым. Обозначим через $m_{\mathrm{v}}$ массу какойлибо частицы системы; радиус-вектор этой частицы пусть будет $\boldsymbol{r}_{\mathbf{v}}$. Примем, что индекс $
u$ может принимать значения $
u=0,1, \ldots, n$, т. е. пусть число частиц равно $n+1$. Активную силу, приложенную к частице $m_{v}$, назовём $F_{v}$. Рассмотрим условия равновесия данного многоугольника под дсйствием сил $\boldsymbol{F}_{v}$, причём предположим, что силы $\boldsymbol{F}_{\mathbf{v}}$ даны по модулю и направленио и не зависят от положения частиц $m_{v}$. Bсе последующие рассуждения будут вестись в этом предположении. Принцип виртуальных перемещений даёт нам следующее условие равновесия:
\[
\sum_{v=0}^{n} F_{v} \cdot \partial r_{v} ₹ 0
\]

при этом для стержневого многоугольника мы должны сохранить лишь знак равенства. Если многоугольник замкнутый, то уравнения $n+1$ связей системы будут:
\[
\left.\begin{array}{rl}
f_{0,1}=l_{0,1}-\left|r_{0}-r_{1}\right| & >0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
f_{v, v+1}=l_{v, v+1}-\left|r_{v}-r_{v+1}\right| & >0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
f_{n-1, n}=l_{n-1, n}-\left|r_{n-1}-r_{n}\right| & >0, \\
f_{n, 0}=l_{n, 0}-\left|r_{n}-r_{0}\right| & >0 .
\end{array}\right\}
\]

Здесь каждая из постоянных $l_{v, v+1}$ равна длине соответственного звена, т. е. длине нити или стержня между двумя частицами. Конечно, для стержней надь знаки неравенства огбросить. Когда многоугольник разомкнут, связей будет только $n$, а именно, последнее из уравнений (37.2), выражающее связь между крайними частицами $m_{0}$ и $m_{n}$, тогда отсутствует. Провариировав каждое из уравнений связей ( 37.2 ), мы получим условия для виртуальных перемещенкй системы:
\[
\delta f_{v, v+1}=\frac{\left(r_{v}-r_{v+1}\right) \cdot\left(\delta r_{v}-\delta r_{v+1}\right)}{\left|r_{v}-r_{v+1}\right|} \geqslant 0 .
\]

Для замкнутого многоугольника $
u=0,1,2, \ldots, n$, причём индекс $n$ надо заменить нулём; для разомкнутого многоугольника $
u=0,1, \ldots, n-1$. Из выражений (37.1) и (37.3) способом, изложенным в $\$ 207$, выводим следующие уравнения равновесия для замкнутого многоугольника:
\[
\begin{array}{l}
F_{0}+\lambda_{0,1} \frac{r_{1}-r_{0}}{\left|r_{1}-r_{0}\right|} \quad-\lambda_{n, 0} \frac{r_{0}-r_{n}}{\left|r_{0}-r_{n}\right|}=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\boldsymbol{F}_{v}+\lambda_{v, v+1} \frac{\boldsymbol{r}_{v+1}-\boldsymbol{r}_{v}}{\left|\boldsymbol{r}_{v+1}-\boldsymbol{r}_{v}\right|}-\lambda_{v-1, v} \frac{\boldsymbol{r}_{v}-\boldsymbol{r}_{v-1}}{\left|\boldsymbol{r}_{v}-\boldsymbol{r}_{v-1}\right|}=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\boldsymbol{F}_{n}+\lambda_{n, 0} \frac{r_{0}-r_{n}}{\left|\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{r}_{n}\right|}-\lambda_{n-1, n} \frac{r_{n}-r_{n-1}}{\left|\boldsymbol{r}_{n}-r_{n-1}\right|}=0 . \quad \\
\end{array}
\]

Величины $\lambda_{v, v+1}$ представляют собой множители связей. В настоящем случае эти множители по своей абсолютной величине равняются модулям соответственных реакций $\boldsymbol{R}_{v, v+1}$ : это следует из формулы (30.16) на стр. 295, так как градиенты связей (37.2) по численным значениям равны единицам; итак,
\[
R_{v, v+1}=\lambda_{v, v+1} \frac{r_{v+1}-r_{v}}{\left|r_{v+1}-r_{v}\right|} \text { и } R_{v, v+1}=\left|\lambda_{v, v+1}\right| .
\]

Уравнения равновесия разомкнутого многоугольника будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
F_{0}+\lambda_{0,1} \frac{r_{1}-r_{0}}{\left|r_{1}-r_{0}\right|}=0 \\
\text {. . . . . . . . . } \\
P_{v}+\lambda_{v, v+1} \frac{r_{v+1}-r_{v}}{\left|r_{v+1}-r_{v}\right|}-\lambda_{v-1, v} \frac{r_{v}-r_{v-1}}{\left|r_{v}-r_{v-1}\right|}=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
F_{n}-\lambda_{n-1, n} \frac{r_{n}-r_{n-1}}{\left|r_{n}-r_{n-1}\right|}=0 . \\
\end{array}
\]

Уравнения (37.4) числом $3 n+3$, если их записать в проекциях, будут содержать в себе $4 n+4$ неизвестных: $3 n+3$ координаты и $n+1$ множителей связей. К этим уравнениям, если связи не ослаблены, надо присоединить ещё $n+1$ уравнений связей (37.2). Следовательно, повидимому, число уравнений равно числу неизвестных. Но если мы сложим почленно все уравнения (37.4), то получим:
\[
\sum_{v=0}^{n} F_{v}=0 .
\]

Это уравнение свободно от координат частиц (см. выше замечание о силах $F_{v}$ ) и выражает собой условие только относительно заданных сил: оно требует, чтобы главный вектор заданных сил равнялся нулю. Легко понять, почему это условие должно быть выполнено. В самом целе, представим себе, что многоугольник затвердел в своём положении равновесия; от этого, очевидно, равновесие не нарушится, а для неизме няемой системы одним из условий равновесия как раз является равенство (37.6). Векторное уравнение (37.6), конечно, эквивалентно трём уравнениям в проекциях. Итак, оказывается, что $4 n+4$ неизвестных надо определить из $4 n+1$ уравнений. По исключении $n+1$ множителей связей, $3 n+3$ координаты будут связаны пишь $3 n$ уравнениями, так что три координаты могут принимать произвольные значения. Другими словами, одной из вершин многоугольника можно дать вполне произвольное положение. Если бы какой-нибудь из множителей $\lambda_{v, v+1}$ оказался отрицательным (т. е. связь была ослаблена), то соответственное уравнение связи надо было бы заменить неравенством, и тогда, конечно, неопределённость стала бы ещё большей.

Заметим, между прочим, что каждыс три взаимно уравновешивающиеся силы, $\boldsymbol{F}_{v,} \boldsymbol{R}_{v-1, v}$ и $\boldsymbol{R}_{v, v+1}$, приложенные к частице $m_{v}$, должны лежать в одной плоскости. А так как направление реакций $\boldsymbol{R}_{v, v+1}$ совпадает с направлением соответственных звеньев, то, следовательно, сила $\boldsymbol{F}_{v}$ с двумя звеньями, $m_{v-1} m_{v}$ и $m_{v} m_{v+1}$, лежит в одной плоско-

сти. Легко проверить это; пусть через точки $m_{v-1}, m_{v}, m_{v+1}$ проходит плоскость $O x y$, т. е. пусть $z_{v-1}=z_{v}=z_{v+1}=0$; тогда из уравнений равновесия вытекает, что $F_{\mathrm{yz}}=0$.

Всё сказанное о замкнутом многоугольнике относится с небольшими изменениями и к разомкнутому. Число уравнений (37.5) между координатами и реакциями равно в координатной записи $3 n+3$, а неизвестных имеется $4 n+3$ : а именно, $3 n+3$ координаты и $n$ реакций. Зато и добавочных авнений связей мы имеем всего $n$, так как последнее из уравнеи (37.2) отсутствует. Из уравнений (37.5) опять выводим равенво (37.6) и, следовательно, убеждаемся, что положение одной из чаиц, например $m_{0}$, может быть выбрано произвольно. Кроме того. за-
Фиг. 121.

метим, что крайние звенья многоугольника совпадают по направлению о силами, приложенными к крайним частицам: это непосредственно видно из первого и последнего уравнений (37.5).

Когда разомкнутый многоугольник плоский, т. е. когда все данные силы $\boldsymbol{F}_{v}$ параллельны одной и той же плоскости, то для определения формы равновесия такого многоугольника с большим удобством применяется графический приём. Мы уже видели выше, что положение одной из вершин многоугольника, например крайней частицы $m_{0}$, можно выбрать произвольно. Отметим на фиг. $121, a$ положение этой частишы, а также силу $\boldsymbol{F}_{0}$, к ней приложенную. Обратимся к звену $m_{0} m_{1}$. Оно должно, по сказанному выше, иметь направление, совпадающее с силой $\boldsymbol{F}_{0}$; при этом, если многоугольник стержневой, то сила может итти по направлению как от $m_{0}$ к $m_{1}$, так и в обратную сторону, а если многоугольник нитяной, то лишь от $m_{1}$ к $m_{0}$, т. е. так, как показано на чертеже. Оґложив в построенном направленин длину $l_{0_{1}}$ звена $m_{0} m_{1}$, получим вер\”

шину многоугольника $m_{1}$. Теперь заметим, что реакции $\boldsymbol{R}_{0_{1}}$ и $\boldsymbol{R}_{10}$, coответственно приложенные к частицам $m_{0}$ и $m_{1}$, имеют выражения
\[
R_{01}=-F_{0}, R_{10}=-R_{01}=F_{0}
\]

следовательно, в точке $m_{1}$ две уже известные нам силы, именно, $\boldsymbol{F}_{\mathbf{1}}$ и $\boldsymbol{R}_{10}$, уравновешиваются реакциею $\boldsymbol{R}_{1,2}$ второго звена. Построим равнодействующую $S_{1}$ сил $F_{1}$ и $R_{1,0}$ и определим модуль и направление реакции $\boldsymbol{R}_{i, 2}$. Само звено $m_{1} m_{2}$ опять может для стержневого многоугольника иметь направление, совпадающее с реакцией $\boldsymbol{R}_{1,2}$, или ему противоположное, а для нитевого только одно совпадающее, которое и построено на чертеже. Огложив длину $l_{12}$ звена $m_{1} m_{2}$, найдём вершину $m_{2}$. Продолжая поступать таким образом, мы, очевидно, сумеем построить все звенья многоугольника; при этом для последнего, $(n+1)$-го, звена должно оказаться, что его направление совпадает с силой $\boldsymbol{F}_{n}$. Возьмём произвольный полюс $O$ (фиг. $121, b$ ) и из него, как из начала, начнём строить многоугольник сил $\boldsymbol{F}_{0}, F_{1}, \ldots, F_{n}$; т. е. пусть $\overline{O f_{0}}=F_{0}, \overline{f_{0} f_{1}}=F_{1}, \ldots$, $\overline{f_{n-1} f_{n}}=F_{n}$. По свойству (37.6) многоугольник $O f_{0} f_{1} \ldots f_{n}$ обязательно замкнётся, и, следовательно, точка $f_{n}$ совпадёт с полюсом $O$. Нетрудно сообразить, что векторы $\overline{O f_{0}}, \overline{O f_{1}}, \ldots, \overline{O f_{n}}$ представят собой реакиии $\boldsymbol{R}_{0,1} \boldsymbol{R}_{1,2}, \ldots, \boldsymbol{R}_{n-1, n}$ соответственных звеньев. В самом деле, реакция $\boldsymbol{R}_{0,1}$, как мы видели, равна силе $\boldsymbol{F}_{0}$, т. е. выражается вектором $\overline{O f_{0}}$; реакция $R_{2,1}$ служит суммой сил $\boldsymbol{R}_{1,0}$ и $\boldsymbol{F}_{1}$, т. е. выразится вектором $\overline{O f_{1}}$ и т. д. до реакции $\boldsymbol{R}_{n-1, n}$, которая по предыдущему должна равобразом, если построен многоугольннк сил $O f_{1} f_{2} \ldots f_{n-1}$, то мы можем тотчас же построить и положение равновесия нитяного многоугольника, а также графически определить натяжения звеньев. Между обеими диаграммами можно вывести также другие любопытные соотношения, которые и легли в основание одного из отделов прикладной механики, носящего название графической статики.

212. Уравнения равновесия свободной нити. Представим себе, что звенья стержневого многоугольника становятся бесконечно малы, и, следовательно, при постоянной конечной длине периметра число вершин его безгранично возрастает. При этом предполагается, что силы, приложенные к вершинам, будут также бесконечно малы, но что главный вектор сил остаётся величиной конечной (т. е. не бесконечно малой). Тогда в пределе, вместо многоугольника, мы получим некоторую материальную гибкуюнерастяжимуюнить, по которой распределены приложенные силы. Относительно сил допустим, что они распределены по нити непрерывно, т. е. что силы, действующие на две бесконечно близкие точки нити, бесконечно мало отличаются друг от друга. Прежде чем перейти к разбору условий равновесия таких материальных нитей, заметим, что сами бесконечно малые силы неудобно непосредственно вводить в анализ. Вместо сил мы введём следующие величины, тесно с ними связанные. Возьмём какой-либо отрезок нити $B^{\prime} B^{\prime \prime}$, а на этом отрезке или на границе его некоторую то’чу $B$ (фиг. 122). Пусть длина отрезка $B^{\prime} B^{\prime \prime}$ будет $\Delta s$. Найдём главный вектор $\boldsymbol{F}$ сил, приложенных к $B^{\prime} B^{\prime \prime}$. По условию, при конечности $\Delta s$ этот вектор сам будет конечным. Кроме вектора $\boldsymbol{F}$ рассмотрим теперь вектор $\frac{F}{\Delta s}$. Представим себе теперь, что точки ${ }^{‘} B^{\prime}$

и $B^{\prime \prime}$ стремятся совпасть с $B$; тогда отношение $\frac{\boldsymbol{F}}{\Delta s}$ примет неопределённый вид. Допустим, что отношение это имеет некоторый определённый предел $\bar{\Phi}$, т. е. пусть
\[
\bar{\Phi}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{F}{\Delta s} .
\]

В таком случае вектор $\bar{\Phi}$ носит название силы, приложенной к точке $B$ и отнесённой к единице длины нити. В самом деле, если бы отрезок $B^{\prime} B^{\prime \prime}$ стал равным единице (одному сантиметру), ‘если бы он спрямился и наложился на кагательную к нити в точке $B$ и если бы по всему этому отрезку силы были распределены так, как по нити в соседстве с точкой $B$, то главный вектор таких сил равнялся бы $\bar{\Phi}$. Обозначим бесконенно малый элемент нити, содержащий точку $B$, через $d s$; тогда, Фиг. 122. по предыдущему, сила, приложеннає к этому элементу, будет иметь значение $\bar{\Phi} d s$. Величина $\bar{\Phi}$ не однородна с силой по размерности: единицей $\bar{\Phi}$ служит не дина, а $\frac{\partial и н а}{c M}=\frac{\text { грамм }}{(\text { секунда })^{2}}$.

Чтобы найти условия равновесия гибкой нерастяжимой нити $B_{0} B_{1}$, обратимся к принципу виртуальных перемещений, причём для общности предположим, что нить разомкнутая. Тогда, если обозначим через $\delta A_{k}$ виртуальную работу сил $\boldsymbol{F}_{0}$ и $\boldsymbol{F}_{1}$, приложенных к началу $B_{0}$ и концу $B_{1}$ нити, то получим согласно предыдущему
\[
\delta A_{k}+\underbrace{\int}_{B_{0} B_{1}} \tilde{\Phi} \cdot \delta r d s=0,
\]

где интегрирование должно быть распространено на всю длину $B_{0} B_{1}$ нити. За положительное направление отсчёта дуг считаем направление $B_{0} B_{1}$. Уравнения связей рассматриваемой системы мы запишем в форме, аналогичной уравнениям (37.2):
\[
\text { const. }-d s=0 .
\]

Число таких связей равно числу элементов нити. Провариируем каждое из уравнений (37.8), умножим на соответственный множитель и сумму полученных выражений ‘прибавим к уравнению (37.7); тогда мы найдем:
\[
\delta A_{k}+\int_{B_{0} B_{1}} \Phi \cdot \delta r d s-\int_{B_{0} B_{1}}^{\int} \lambda . \delta d s=0 .
\]

Конечно, и второй интеграл распространён на все элементы, т. е. на всю длину $B_{0} B_{1}$ нити.

Назовем $\tau^{0}$ единичный вектор касательной к дуге $B_{0} B_{1}$ в некоторой данной её точке; тогда мы найдём:
\[
\delta d s=\delta(\bar{\tau} 0 d \boldsymbol{r})=\overline{\delta \tau^{0}} \cdot d \boldsymbol{r}+\bar{\tau}^{0} \cdot \delta d \boldsymbol{r}=\overline{\tau^{0}} \cdot d \bar{r} \boldsymbol{r},
\]

так как произведение $\overline{\partial \tau^{0}} \cdot d \boldsymbol{r}$ равно нулю ввиду перпендикулярности сомножителей. Тептерь второй интеграл формулы (37.9), если применить интегрирование по частям, может быть преобразован следующим образом:

здесь значки 0 и 1 показывают, что значения соответственных величин надо взять для концов $B_{0}$ и $B_{1}$ нити. Подставим последний результат в равенство (37.7) и, кроме того, выпишем в нём полностью элементарную работу $\delta A_{k}$; мы получим:
\[
\left(F_{0}+\lambda_{0} \tau_{0}^{0}\right) \cdot \delta r^{0}+\left(F_{1}-\lambda_{1} \tau_{1}^{0}\right) \cdot \delta r_{1}+\underbrace{\int}_{B_{0} B_{1}}\left(\bar{\Phi}+\frac{d\left(\bar{\lambda} \tau^{0}\right)}{t s} \cdot \delta r\right) d s=0 .
\]

По тем же соображениям, что и при выводе уравнений равновесия (36.20) из равенства (36.19) на стр. 377, мы должны приравнять нулю коэффициенты при всех вариациях как вне знака интеграла, так и в подинтегральном выражении. Тогда подинтегральная функция даст нам следующее уравнение равновесия для внутреннего элемента нити:
\[
\bar{\Phi}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \overline{\tau^{0}}\right)=0 ;
\]

члены же вне интеграла дадут граничные условия:
\[
\begin{array}{c}
F_{0}+\lambda_{0}^{0}=0, \\
F_{1}-\lambda_{1}^{0}=0 .
\end{array}
\]

Как видно из вывода, $\boldsymbol{F}_{0}$ и $\boldsymbol{F}_{1}$ представляют собой силы, а $\vec{\Phi}$ – силу, отнесённую к единице длины. Из сопоставления уравнений (37.11), (37.12) и (37.13) с уравнениями (37.5) ясно, что $\overrightarrow{\lambda \tau^{0}}$ представляет собой ту силу, которую надо было бы приложить по положительной касательной в любой точке $B$ нити, если бы мы нить разрезали в этой точке. и пожелали, чтобы её часть $B_{0} B$ осталась в равновесии. Эта сила называется натяжением нити в данной. точке. За положительное направление натяжения, следовательно, принимается направление $B_{0} B_{1}$ – положительного отсчёта дуг. Сказанное с особенной ясностью выступает в формулах (37.12) и (37.13), так как обе силы $\boldsymbol{F}_{0}$ и $\boldsymbol{F}_{1}$, приложенные к концам $B_{0}$ и $B_{1}$ нити, очевидно, направлень по касательным к ней, притом первая в отрицательную сторону, а вторая – в положительную: Нетрудно записать уравнения (37.11), (37.12) и (37.13) в проекциях на оси декартовой системы координат; имеем
\[
\left.\begin{array}{ll}
\Phi_{x}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d x}{d s}\right)=0, & F_{0 x}+\lambda_{0}\left(\frac{d x}{d s}\right)_{0}=0, \\
& F_{1 x}-\lambda_{1}\left(\frac{d x}{d s}\right)_{1}=0 \\
\Phi_{v}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d y}{d s}\right)=0, & F_{0 y}+\lambda_{0}\left(\frac{d y}{d s}\right)_{0}=0, \\
& F_{1 y}-\lambda_{1}\left(\frac{d y}{d s}\right)_{1}=0, \\
\Phi_{z}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d z}{d s}\right)=0, & F_{0 z}+\lambda_{0}\left(\frac{d z}{d s}\right)_{0}=0, \\
& F_{1 z}-\lambda_{1}\left(\frac{d z}{d s}\right)_{1}=0 .
\end{array}\right\}
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
F_{0 x}+\lambda_{0}\left(\frac{d x}{d s}\right)_{0}=0 \\
F_{1 x}-\lambda_{1}\left(\frac{d x}{d s}\right)_{1}=0 \\
F_{0 y}+\lambda_{0}\left(\frac{d y}{d s}\right)_{0}=0 \\
F_{1 y}-\lambda_{1}\left(\frac{d y}{d s}\right)_{1}=0 \\
F_{0 z}+\lambda_{0}\left(\frac{d z}{d s}\right)_{0}=0 \\
F_{1 z}-\lambda_{1}\left(\frac{d z}{d s}\right)_{1}=0
\end{array}\right\}
\]

Предположим тенерь, что один из концов нити, например $B_{0}$, не свободен и должен лежать на данной поверхности:
\[
\varphi(x, y, z)=0 \text {. }
\]

Тогда вариация $\delta r_{0}$ радиуса-векітора конца $A_{0}$ нити окажется подчинённой условию:
\[
\operatorname{grad} \varphi_{0} \cdot \delta r_{0}=0 .
\]

Умножим это $_{\text {ма }}$ равенство на некоторьй множитель $\mu_{0}$ и приоавим к уравнению (37.10). Тогда вместо уравнения (37.12) мы получим следующее уравнение равновесия конца $B_{0}$ нитн:
\[
F_{0}+\lambda_{0} \tau_{0}^{0}+\mu_{0} \operatorname{grad} \varphi_{0}=0 .
\]

В частном случае, если к концу $B_{0}$ не приложена активная сила, т. е. $F_{0}=0$, мы из последнего уравнения получаем, что или
\[
\lambda_{0}=0, \mu_{0}=0,
\]

или
\[
\overline{\tau_{0}^{0}} \| \text { grad } \varphi_{0} \text {, }
\]
т. е. касательная в конце $B_{0}$ нити нормальна к поверхности (37.15).
Если бы конец $B_{0}$ нити был принуждён лежать на данной кривой
\[
r=r(\sigma),
\]

где $\sigma$-длина дуги этой кривой, то вариация $\delta r_{0}$ выразилась бы через вариацию до следующим образом:
\[
\delta r_{0}=\frac{d r}{d \sigma} \delta \sigma .
\]

Поэтому вместо уравнения равновесия (37.12) мы бы нашли:
\[
F_{0} \cdot\left(\frac{d r}{d \sigma}\right)_{0}+\lambda_{0}\left(\frac{d r}{d \sigma}\right)_{0} \cdot \tau_{0}^{0}=0 .
\]

Если $F_{0}=0$, то отсюда вытекает, что либо $\lambda_{0}=0$, либо $\left(\frac{d r}{d \sigma}\right)_{0} \cdot \tau_{0}^{0}=0$, т. е. или начальное натяжение нити нуль, или начальная касательная нити нормальна к кривой (37.16).

Наконец, если конец $B_{0}$ нити неподвижно закреплён, то вари́ация его радиуса-вектора равна нулю, $\delta r_{0}=0$, и, следовательно, условие (37.12) вовсе отпадает. Подобно только что рассмотренным граничным условиям для конца $B_{0}$ нити могут быть заданы граничные условия и для второго конца $B_{1}$ нити или же одновременно для обоих концов $B_{0}$ и $B_{1}$.

Вернёмся к уравнению (37.11) и произведём указанное в нём дифференцирование. Согласно формуле (4.20) на стр. 36 мы имеем
\[
\frac{d}{d s}\left(\lambda \bar{\tau}^{0}\right)=\frac{d \lambda}{d s} \overline{\tau^{0}}+\frac{\lambda}{\rho} \bar{
u}^{0},
\]

где $\overline{
u^{0}}$ – единичный вектор главной нормали кривой, по которой расположена нить, а $\rho$-её радиус кривизны. Следовательно, уравнение (37.11) перепишется так:
\[
\bar{\Phi}+\frac{d \lambda}{d s} \bar{\tau}^{0}+\frac{\lambda}{\rho} \bar{
u}=0 .
\]

Спроектировав это равенство на касательную, главную нормаль и бинормаль к кривой, по которой расположена нить, и обозначив $\Phi_{\tau}, \Phi_{
u}, \Phi_{\beta}$ ‘

проекции вектора $\bar{\Phi}$. на эти напіравления, мы получим:
\[
\Phi_{\tau}+\frac{d \lambda}{d s}=0, \quad \Phi_{
u}+\frac{\lambda}{\rho}=0, \Phi_{\beta}=0 .
\]

Эти три уравнения эквивалентны уравнениям (37.14). Последнее из них говорит, что нить располагается тским образом, что в любой её точке соприкасаюшаяся плоскость проходит через активную силу. Аналогия выведенных уравнений с уравнениями движения материальной частицы очевидна сама собой.

213. Интегрирование уравнений равновесия свободной нити. Относительно интегрирования уравненьй равновесия (37.14) или равносильных им уравнений (37.18) мы можем сделать такие замечания. Отнесённая к единице длины сила $\bar{\Phi}$ может зависеть от положения элемента $d s$ на нити и в пространстве, а также и от направления этого элемента; поэтому мы имеем:
\[
\bar{\Phi}=\bar{\Phi}\left(s, r, \tilde{\tau}^{0}\right) .
\]

Не надо при этом забывать, что $\left|\overline{\tau^{0}}\right|=1$, что в записи в проекциях даёт:
\[
\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}=1 .
\]

Из сказанного мы заключаем, что вопрос о форме равновесия свободной нити решается при помощи четырёх дифференциальных уравнений (37.14) и (37.19), заключающих в себе четыре неизвестные функции от $s$, а именно, $x, y, z$ и $\lambda$. Уравнения эти второго порядка относітельно $x, y, z$ и перв ого относительно $\lambda$. Кроме того, между первыми производными функций $x, y, z$ по $s$ мн имеем соотношение (37.19), свободное от всяких произвольных постоянных. Следовательно, число произвольных постоянных в самом общем решении рассматриваемых уравнений должно равняться шести; т. е. интегралы будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
x=x\left(s, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), \\
y=y\left(s, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), \\
z=z\left(s, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), \\
\lambda=\lambda\left(s, C_{1}, \ldots, C_{6}\right),
\end{array}
\]

где $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$ – произвольные постоянные. Эти постоянные определятся, если мы зададим для некоторого, так называемого начального значения переменного $s$, например $s_{0}$, положение элемента нити, т. е. $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, его направляющие косинусы $\left(\frac{d x}{d s}\right)_{0},\left(\frac{d y}{d s}\right)_{0},\left(\frac{d z}{d s}\right)_{0}$ и величину натяжения $\lambda_{0}$ нити на этом элементе; уравнения для определения постоянных будут следуюшие:
\[
\begin{array}{l}
x_{0}=x\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), y_{0}=y\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), \quad z_{0}=z\left(s_{0} C_{1}, \ldots, C_{6}\right), \\
\lambda_{0}=\lambda\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), x_{0}^{\prime}=x^{\prime}\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), y_{0}^{\prime}=y^{\prime}\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{6}\right) ;
\end{array}
\]

штрихами обозначены производные по $s$.
Можно также задать длину нити $l$ и положения двух её концов, $B_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ и $B_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$. Пусть начало отсчёта дуг совпадает с точкой $B_{0}$; тогда $s_{0}=0$, а $s_{1}=l$ и, следовательно, шесть постоянных

$C_{1}, \ldots, C_{6}$ определятся из уравнсний:
\[
\begin{array}{l}
x_{0}=x\left(0, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), y_{0}=y\left(0, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), z_{0}=z\left(0, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), \\
x_{1}=x\left(l, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), y_{1}=y\left(l, C_{1}, \ldots, C_{6}\right), z_{1}=z\left(l, C_{1}, \ldots, C_{6}\right) .
\end{array}
\]

Когда отнесённая к единице длины сила $\bar{\Phi}$ не зависит ог $s$, тогда можно взять одну из координат, например $x$, за независимую псременную. В таком случае уравнение (37.19) обращается в тождество, а три уравнения (37.14) будут второго порядка относительно функций $y, z$ и первого относительно $\lambda$. Поэтому в общее решение войдут пять произвольных постоянных:
\[
y=y\left(x, D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{5}\right), \quad z=z\left(x, D_{1}, \ldots, D_{5}\right), \lambda=\lambda\left(x, D_{1}, \ldots, D_{5}\right) \text {, }
\]

где $D_{1}, \ldots, D_{5}$ – произвольные постоянные. При помощи первых двух интегралов мы сумеем выразить и длину дуги $s$ как функцию от $x$ и $D_{1}, \ldots, D_{5}$, если выберем определённое начало отсчёта дуг:
\[
s=s\left(x, D_{1}, \ldots, D_{5}\right) .
\]

Когда нам будут даны длина нити $l$ и положения её концов $B_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ и $B_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$, то постоянные найдутся из пяти уравнений:
\[
\begin{array}{l}
y_{0}=y\left(x_{0}, D_{1}, \ldots, D_{5}\right), \quad z_{0}=z\left(x_{0}, D_{1}, \ldots, D_{5}\right), \\
y_{1}=y\left(x_{1}, D_{1}, \ldots, D_{5}\right), \quad z_{1}=z\left(x_{1}, D_{1}, \ldots, D_{5}\right), \\
\quad l=s_{1}-s_{0}=s\left(x_{1}, D_{1}, \ldots, D_{5}\right)-s\left(x_{0}, D_{1}, \ldots, D_{5}\right) .
\end{array}
\]
214. Связь между задачей о форме равновесия нити и задачей о движении материальной частицы. Положим, что силы, приложенные к нити, имеют силовую функцию, т. е. пусть
\[
\bar{\Phi}=\operatorname{grad} U(x, y, z) .
\]

В этом случае уравненис (37.11) можно переписать так:
\[
\operatorname{grad} U+\frac{d}{d s}\left(\lambda \cdot \bar{\tau}^{0}\right)=0 .
\]

Умножим это равенство на $\bar{\tau}^{0}$; мы получим:
\[
\operatorname{grad} U \cdot \bar{\tau}^{0}+\bar{\tau}^{0} \frac{d}{d s}\left(\lambda \bar{\tau}^{0}\right)=0 .
\]

Согласно формуле (18.56) на. стр. 170, первое слагаемое равно $\frac{d U}{d s}$; второе слагаемое преобразуем следующим образом:
\[
\bar{\tau}^{0} \cdot \frac{d}{d s}\left(\lambda \bar{\tau}^{0}\right)=\frac{d}{d s}\left(\bar{\tau}^{0} \cdot \lambda \bar{\tau}^{0}\right)-\frac{d}{d s} \bar{\tau}^{0} \cdot \lambda \bar{\tau}^{0}=\frac{d \lambda}{d s} ;
\]

это справедливо, так как $\bar{\tau}^{0} \cdot \bar{\tau}^{0}=1$, а $\frac{d}{d s} \bar{\tau}^{0} \cdot \lambda \bar{\tau}^{0}=0$ ввиду перпендикулярности сомножителей. Таким образом, мы приходим к уравнению
\[
\frac{d U}{d s}+\frac{d \lambda}{d s}=0 .
\]

Отсюда интегрированием находим:
\[
\lambda=\gamma-U,
\]

где $\gamma$-произвольная постоянная.

При помощи этого интеграла уравнению (37.20), по умножении его на $\lambda$, можно дать такой вид:
\[
\lambda \frac{d}{d s}\left(\hat{\lambda} \tau^{0}\right)=-\lambda \operatorname{grad} U=(U-\gamma) \operatorname{grad} U,
\]

или
\[
\lambda \frac{d}{d s}\left(\lambda \bar{\tau}^{0}\right)=\operatorname{grad} P,
\]

где положено
\[
P=\frac{1}{2}(U-\gamma)^{2} .
\]

С другой стороны, уравнение движения свободной материальной частицы массы $m$, движущейся в поле сил, имеющих силовую функцию $U_{1}$, имеет вид:
\[
m w=\operatorname{grad} U_{1} .
\]

Преобразуем следующим образом ускорение $\boldsymbol{w}$ частицы:
\[
w=\frac{d}{d t}\left(\frac{d s}{d t} \bar{\tau}^{0}\right)=\frac{d}{d s}\left(\frac{d s}{d t} \bar{\tau}^{0}\right) \cdot \frac{d s}{d t}=v \frac{d}{d s}\left(v \bar{\tau}^{0}\right) .
\]

На этом основании предыдущее уравнение можно переписать так:
\[
v \frac{d}{d s}\left(v \tau^{0}\right)=\frac{1}{m} \operatorname{grad} U_{1} .
\]

Полученное равенство представляет собой дифференциальное уравненис траектории. Если его записать в проекциях на оси декартовых координат, мы будем иметь четыре неизвестные функции от $s$, именно, $x, y$, $z, v$. В силу свойства $\left|\tilde{\tau}^{0}\right|=1$ первые три из них связаны соотношением
\[
\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}=1 .
\]

Сравнение уравнений (37.21) и (37.22) Һоказывает, что две задачи, а именно, задача о равновесии нити и задача о движении материальной частицы, аналогичны. На самом деле, оба уравнения совпадают, когда
\[
\frac{1}{m} U_{1}=P \quad \text { н } \quad v=\lambda .
\]

Следовательно, если и начальные условия в той и другой задачах будут одинаковы, то совпадут и интегралы. Итак, если сила, отнесённая к единице длины и действующая на элемент материальной нити, является градиентом функции $U$, то кривая, по которой располагается нить, тождественна с траекторией свободной материальной частицы, к которой приложена сила, имеющая силовую функцию
\[
U_{1}=\frac{m}{2}(U-\gamma)^{2},
\]

где $m$-масса частицы; при этом начальное положение частицы должно совпадать с началом $B_{0}$ нити и начальная скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ частицы должна быть не только направлена по начальной касательной к нити, но и быть численно равной начальному натяжению $\lambda_{0}$, т. е.
\[
v_{0}=\gamma-U_{0},
\]

где $U_{0}$ есть начальное значение функции $U$. Из сказанного вытекает, что многие положения, доказанные для движения материальной частицы, могут быть перснесены с соответственными изменениями на вопросы о равновесии нитей. Так, например, пусть нить находится под действием центральных сил, и пусть
\[
U=U(r),
\]

где $r$ есть расстояние элемента нити от некоторого неподвижного центра, например начала координат. Тогда задача о равновесии нити сводится к задаче о центральной орбите (гл. XIX) под действием силы с силовой функцией
\[
U_{1}=\frac{m}{2}[U(r)-\gamma]^{2} .
\]

Отсюда мы непосредственно заключаем, что поставленная задача всегда решается квадратурами и что формой равновесия служит некотороя плоская кривая, плоскость которой проходит через центр силы. Затем теорема о постоянстве секторной скорости для статической задачи формулируется так: момент натяжения относительно центра силы по всей нити есть величина постоянная.

Пример 117. Определим форму равновесия нити, если сила, действующая на единицу её длины, является градиентом функции
\[
U=k r,
\]

где $r$-егть расстояние точки от начала координат. Искомая кривая служит центральной орбитой для сил с силовой функцией:
\[
U_{1}=\frac{m}{2}(k r-\gamma)^{2} .
\]

Если постоянная $\gamma$ равна нулю и $k>0$, то нить расположится по гиперболе с центром в начале координат (§99).
215. Цепная линия. Определим форму равновесия свободной весомой однородной нити. Направим ось $O y$ вертикально кверху; тогда мы будем иметь:
\[
\Phi_{x}=\Phi_{z}=0, \quad \Phi_{y}=-k g,
\]

где $g$ – ускорение силы тяжести, а $k$ – постоянная линейная плотность нити (§ 147). Уравнения (37.14) примут вид
\[
\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d x}{d s}\right)=0, \quad \frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d y}{d s}\right)-k g=0, \quad \frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d z}{d s}\right)=0 .
\]

Проинтегрировав последнее уравненде, найдём:
\[
\lambda \frac{d z}{d s}=\text { const. }
\]

Если плоскость $O x y$ проведём через начальную касательную к нити, то будем иметь:
\[
\left(\frac{d z}{d s}\right)_{0}=0 ;
\]

поэтому, согласно соотношению (37.25), для любой точки нити также будет иметь место равенство
\[
\frac{d z}{d s}=0
\]

следовательно, вся нить лежит в плоскости Oxy. Интегрируем первое из уравнений (37.24); получаем:
\[
\lambda \frac{d x}{d s}=A,
\]

где $A$ – произвольная постоянная. С помощью этого равенства второе из уравнений (37.24) перепинется так:
\[
\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d y}{d s}\right)=\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d s}\right)=\frac{d}{d s}\left(A \frac{d y}{d x}\right)=k g,
\]

или
\[
A d y^{\prime}=k g d s,
\]

где для краткости положено:
\[
\frac{d y}{d x}=y^{\prime} \text {. }
\]

Берём координату $x$ за независимую переменную; тогда, вместо прежнего уравнения, найдём:
\[
A y^{\prime \prime}=k g \sqrt{1+y^{\prime 2}} \text {, }
\]

где
\[
y^{\prime \prime}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \text {. }
\]

Полученное уравнение легко сводится к квадратурам; перепишем его так:
\[
A \frac{y^{\prime} y^{\prime \prime} d x}{\sqrt{1+y^{2}}}=k g y^{\prime} d x ;
\]

теперь проинтегрируем уравнение; находим:
\[
\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\frac{k g y+B}{A} ;
\]

здесь $B$ – произвольная постоянная.
Вводим новую переменную, положив
\[
r_{1}=\frac{k g y+B}{A} .
\]

Тогда
\[
y^{\prime}=\frac{d y}{d x}=\frac{A}{k g} \frac{d \eta}{d x} .
\]

Подставляем это выражение в равенство (37.27) и преобразуем получен ное уравнение в такое:
\[
\frac{d \eta}{\sqrt{\eta^{2}-1}}=\frac{k g}{A} d x \text {. }
\]

Берем квадратуру
\[
\ln \left(\eta+\sqrt{\eta^{2}-1}\right)=\frac{k g}{A}(x+\alpha),
\]

где $\alpha$ – произвольная постоянная. Переходим от логарифмов к показательным функциям:
\[
\eta+\sqrt{\eta^{2}-1}=e^{\frac{k g}{A}(x+\alpha)} .
\]

Приравниваем обратные величины:
\[
\frac{1}{r_{i}+\sqrt{\eta^{2}-1}}=r_{i}-\sqrt{r_{i}^{2}-1}=e^{-\frac{k g}{A}(x+\alpha)}
\]

Сложив равенства (37.29) и (37.30), получим:
\[
\eta=\frac{1}{2}\left\{e^{\frac{k g}{A}(x+\alpha)}+e^{-\frac{k g}{A}(x+\alpha)}\right\} .
\]

Переходим здесь от $\eta$ к прежнему переменному $y$ с помощью соотношения (37.28); найдём:
\[
y+\frac{B}{k g}=\frac{A}{2 k g}\left\{e^{\frac{k g}{A}(x+\alpha)}+e^{-\frac{k g}{A}(x+\alpha)}\right\}=\frac{A}{k g} \operatorname{ch} \frac{k g}{A}(x+\alpha) .
\]

Чтобы привести уравнение кривой к простейшему виду, перенесём начало координат, не изменяя направления осей; для этого устанавливаем нижеследующие зависимости между прежними координатами $x$, $y$ и новыми $X, Y$ :
\[
\begin{array}{l}
X=x+\alpha, \\
Y=y+\frac{B}{k g} .
\end{array}
\]

Заметим ещё, что в силу соотношения (37.26) размерность постоянной $A$ та же, что и $\lambda$, т. е. дина, а постоянная $k g$, согласно формуле (37.23), однородна с силой, отнесённой к единице длины (§214); поэтому отношение $\frac{A}{k g}$ представляет собой некоторую длину; мы её обозначим через $a$. Тогда уравнение рассматриваемой кривой будет:
\[
Y=a \mathrm{ch} \frac{X}{a} .
\]

Полученная кривая носит название цепной линии. Геометрические свойства её общеизвестны.
Натяжение $\lambda$ нити можно определить из уравнения (37.26); имеем
\[
\lambda=A \frac{d s}{d x}=A \sqrt{1+y^{2}} ;
\]

отсюда по формуле (38.27) находим:
\[
\lambda=B+k g y,
\]

или, согласно соотношению (38.31),
\[
\lambda=k g Y \text {. }
\]

Итак, оказывается, что натяжение в какойлибо точке нити равняется весу отрезка нити, Фиг. 123. равного по длине ординате $Y$ выбранной точки. Отсюда вытекает, что однородная весомая нить $A B C D E$ (фиг. 123), перекинутая через бесконечно малые блоки $B$ и $D$, будет в равновесии, если крайнис, висящие вертикально, куски $B A$ и $D E$ нити как раз доходят до оси $O X$.

216. Параболическая цепь. Как пример на равновесие нити под действием сил, зависящих от направления элемента нити, рассмотрим

следующую задачу: определить форму равновесия нити под действием сил поєтоянного направления, но таких, что модуль силы, приложенной к рассматриваемому элементу, пропорционален синусу угла между элементом и направлением сил. Постоянное направление сил выберем за отрицательное направление оси $O y$; тогда, по условию, будем иметь:
\[
\Phi_{x}=\Phi_{z}=0, \Phi_{y}=-k \sqrt{1-\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}}=-k \sqrt{\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}},
\]

где $k$ – некоторая постоянная. Уравнения равновесия (37.14) в настоящем случае будут:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d x}{d s}\right)=0, \quad \frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d y}{d s}\right)-k \sqrt{\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}}=0 \\
\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d z}{d s}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Интеграл последнего уравнения будет
\[
\lambda \frac{d z}{d s}=\text { const.; }
\]

он показывает, что если плоскость $O x y$ провести через начальную касательную, т. е. положить
\[
\left(\frac{d z}{d s}\right)_{0}=0
\]

то все элементы нити будут лежать в плоскости $O x y$; действительно, в этом случае для любой точки нити будет соблюдаться равенство
\[
\frac{d z}{d s}=0 \text {. }
\]

Случай $\lambda=0$ не вносит в этом отношении исключения, так как тогда, согласно второму из уравнений (37.32), мы получим $\frac{d x}{d s}=\frac{d z}{d s}=0$, т. е. нить расположится по оси $O y$.
Проинтегрировав первое уравнение (37.32), находим:
\[
\lambda \frac{d x}{d s}=A,
\]

где $A$ – произвольная постоянная. Второе из уравнений (37.32), согласно равенству (37.33), теперь. станет таким:
\[
\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d y}{d s}\right)=k \frac{d x}{d s} .
\]

Иначе можно напюсть:
\[
\frac{d}{d x}\left(\lambda \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d s}\right) \cdot \frac{d x}{d s}=-k \frac{d x}{d s} .
\]

Отсюда получаем: или
\[
\frac{d x}{d s}=0,
\]

т. е. нить представляет собой прямую, параллельную оси $O y$, или, согласно равенству (37.34),
\[
\frac{d}{d x}\left(A \frac{d y}{d x}\right)=A \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=k .
\]

Проинтегрировав это уравнение, найдём:
\[
y=\frac{k}{2 A} x^{2}+B x+C,
\]

где $B$ и $C$ – новые произвольные постоянные. Из полученного уравнения видим, что нить располагается по параболе с осью, параллельной постоянному направлению сил. Такую параболическую форму принимает, например, цепь, поддерживающая с поиощью вертикальных штанг висячий горизонтальный мост.
217. Равновесие нити, лежащей на гладкой поверхности. Когда нить не свободна, а лежит на данной поверхности
\[
f(x, y, z)=0,
\]

тогда виртуальное перемещение $\delta r$ её элемента связано условием:
\[
\operatorname{grad} f \cdot \grave{r}=0 .
\]

Условий этих, конечно, столько, сколько элементов в нити. Как было сказано, поверхность мы считаем гладюой, иначе говоря, связь (37.35) принимаем за идеальную ( $\$ 175$ ). Для вывода уравнений равновесия нити согласно сказанному в § 207 поступим следующим образом: умнножим каждое из равенств (37.36) на множитель $\mu d s$; составим сумму такиу произведений для всех элементов нити $B_{0} B_{1}$, т. е. напишем интеграл
\[
\int_{\widetilde{B_{0} B_{1}}} \mu \operatorname{grad} f \cdot \hat{\partial} r d s,
\]

распространённый на всю длину $B_{3} B_{1}$ нити; прибавим этот интеграл к выражению (37.9), представляющему собой виртуальную работу активных сил и сил натяжения; мы получим:
\[
\delta A_{k}+\int_{B_{0} B_{1}} \bar{\Phi} \cdot \partial r d s-\int_{B_{0} B_{1}} \lambda \delta \partial d s+\int_{B_{0} B_{1}} \mu \operatorname{grad} f \cdot \delta r d s=0 .
\]

Преобразуем интеграл $\int_{B_{0} B_{1}} \lambda . \delta d s$ совершенно так же, как это было сделано
в § 212 , и затем приравняем нулю коэффициенты при вариациях в подинтегральной функции. Тогда мы найдём следующие уравнения равновесия для внутренних элементов нити.
\[
\bar{\Phi}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \bar{\tau}^{0}\right)+\mu \operatorname{grad} f=0 .
\]

Члены вне знака интеграла, подобно тому, как это имело место в § 211 , дают граничные условия равновесия для концов нити; на разборе этих условий мы останавливаться не будәм. Приняв во внимание размерность членов уравнения (37.37), легко устанавливаем, что $\mu \mathrm{grad} f$ представляет

собой реакцию поверхности, отнесённуюкединицедлины нити.

Напишем равенство (37.37) в проекциях на оси діекартовых координат; имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\Phi_{x}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d x}{d s}\right)+\mu \frac{\partial f}{\partial x}=0, \\
\Phi_{y}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d y}{d s}\right)+\mu \frac{\partial f}{\partial y}=0, \\
\Phi_{z}+\frac{d}{d s}\left(\lambda \frac{d z}{d s}\right)+\mu \frac{\partial f}{\partial z}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Присоединив к ним уравнения (37.35) и (37.19), т. е.
\[
\begin{array}{c}
f(x, y, z)=0 \\
\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}=1
\end{array}
\]

мы получили всего пять уравнений с таким же числом неизвестных функций от переменного $s$, именно, $x, y, z, \lambda, \mu$. Рассматриваемые уравнения являются уравнениями второго порядка относительно $x, y, z$, первого относительно $\lambda$ и нулевого относительно $\mu$. Заметим, что координаты и их первые производные должны удовлетворять трём уравнениям, свободным от произвольных постоянных, а именно, уравнениям (37.39).и $(37.40)$ и тому, которое получается из первого из них дифференцированием по длине дуги, т. е. уравнению
\[
\frac{d f}{d s}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d s}+\frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d s}=0 .
\]

Поэтому число произвольных постоянных в самом общем решении будет равняться четырём, т. е. интегралы будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =x\left(s, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), \\
y & =y\left(s, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), \\
z=z\left(s, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), \\
\lambda & =\lambda\left(s, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), \\
\mu & =\mu\left(s, C_{1}, \ldots, C_{4}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Постоянные $C_{1}, \ldots, C_{4}$ определятся, если зададим для некоторого значения $s=s_{0}$ положение начального элемента нити и его направление, т. е., например, $x_{0}, y_{0}$ и $\left(\frac{d x}{d s}\right)_{0}$, а также величину натяжения $\lambda_{0}$ на этом элементе; $z_{0}$ найдётся тогда из уравнения (37.39), а $\left(\frac{d y}{d s}\right)_{0}$ и $\left(\frac{d z}{d s}\right)_{0}$ определятся из уравнений (37.40) и (37.41). Уравнения для определения постоянных будут следующие:
\[
\begin{aligned}
x_{0} & =x\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), \\
y_{0} & =y\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), \\
\left(\frac{d x}{d s}\right)_{0} & =x^{\prime}\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), \\
\lambda_{0} & =\lambda\left(s_{0}, C_{1}, \ldots, C_{4}\right) .
\end{aligned}
\]

Можно также задать длину нити $l$ и положения двух её концов, $B_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ и $B_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)$. Пусть начало отсчёта дуг совпадает с точкой $B_{0}$; тогда $s_{0}=0$, а $s_{1}=l$, и, следовательно, четыре постоянные определятся из уравнений:
\[
\begin{array}{ll}
x_{0}=x\left(0, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), & y_{0}=y\left(0, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), \\
x_{1}=x\left(l, C_{1}, \ldots, C_{4}\right), & y_{1}=y\left(l, C_{1}, \ldots, C_{4}\right) .
\end{array}
\]

Когда силы не зависят от $s$, тогда можно взять за независимую переменную одну из координат, например $x$. В таком случае одно из добавочных уравнений, а именно, уравнение (37.40), обращается в тождество, а три уравнения (37.38) будут второго порядка относительно $y, z$, первого относительно $\lambda$ и нулевого относительно $\mu$. В общее решение войдут три произвольных постоянных $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ :
\[
\begin{array}{l}
y=y\left(x, D_{1}, D_{2}, D_{3}\right), \\
z=z\left(x, D_{1}, D_{2}, D_{3}\right), \\
\lambda=\lambda\left(x, D_{1}, D_{2}, D_{3}\right), \\
\mu=\mu\left(x, D_{1}, D_{2}, D_{3}\right) .
\end{array}
\]
1Іри помощи первых двух , интегралов мы найдём и длину дуги, если выберем начало отсчёта, т. е. мы получим:
\[
s=s\left(x, D_{1}, D_{2}, D_{3}\right) .
\]

Когда нам будут даны длина нити $l$ и положения её концов, т. е. $x_{0}, y_{0}$ и $x_{1}, y_{1}$, то постоянные определятся из уравнений:
\[
\begin{aligned}
y_{0} & =y\left(x_{0}, D_{1}, D_{2}, D_{8}\right), \\
y_{1} & =y\left(x_{1}, D_{1}, D_{2}, D_{3}\right), \\
l & =l\left(x_{1}, D_{1}, D_{2}, D_{3}\right)-l\left(x_{0}, D_{1}, D_{2}, D_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Вернёмся к равенству (37.37) и произведём указанное в нём дифференцирование. Так же, как й при выводе уравнения (37.17), мы получим:
\[
\bar{\Phi}+\frac{d \lambda}{d s} \bar{\tau}^{0}+\frac{\lambda}{\rho} \bar{
u}^{0}+\mu \operatorname{grad} f=0,
\]

где $\tilde{\tau}^{0}$ и $\bar{v}^{0}$ – единичные векторы касательной $O \tau$ и главной нормали $O$, в цанной точке кривой, по которой расположена нить. Пусть, кроме того, $O n$ есть положительная нормаль поверхности $f=0$, а $O g$ – перпендикуляр к $O \tau$ и $O n$, проведённый так, чтобы оси $O \tau, O g, O n$ образовывали правую систему (§ 122). Спроектируем уравнение (37.42) на эти оси, для чего умножим его скалярно на соответствующие единичные векторы $\bar{\tau}^{0}, \boldsymbol{g}^{0}, \boldsymbol{n}^{0} ;$ мы получим:
\[
\left.\begin{array}{r}
\Phi_{\tau}+\frac{d \lambda}{d s}=0, \\
\Phi_{g}+\frac{\lambda}{\rho} \bar{
u}^{0} \cdot g^{0}=0, \\
\Phi_{n}+\frac{\lambda}{\rho} \bar{
u}^{0} \cdot n^{0}+\mu|\operatorname{grad} f|=0 .
\end{array}\right\}
\]

На основании сказанного в § 122 эти уравнения могут быть переписаны

следующим образом:
\[
\begin{array}{r}
\Phi_{\tau}+\frac{d \lambda}{d s}=0, \\
\Phi_{g} \pm \frac{\lambda}{\rho_{g}}=0, \\
\Phi_{n} \pm \frac{\lambda}{\rho_{n}}+\mu|\operatorname{grad} f|=0 .
\end{array}
\]

В этих формулах $\rho, \rho_{g}, \rho_{n}$ представляют собой соответственно радиус кривизны кривой и радиусы её геодезической и нормальной кривизны.

Когда активные силы, отнесённые к единице длины, являются градиентом некоторой функции $U(x, y, z)$, то по формуле (18.56) на стр. 170 мы можем написать:
\[
\Phi_{\tau}=\operatorname{grad} U \cdot \bar{\tau}^{0}=\frac{d U}{d s} .
\]

На этом основании из уравнения (37.44) следует:
\[
\frac{d U}{d s}+\frac{d \lambda}{d s}=0,
\]

или
\[
U+\lambda=\text { const. }
\]

Пример 118. Определим форму равновесия нити, расположенной на гладкой поверхности, если на неё не действуют никакие другие силы, кроме реакции поверхности. Так как $\bar{\Phi}=0$, то из уравнения (37.45) следует, что или
\[
\lambda=\text { const }=\lambda_{0}=0,
\]
т. е. нить не натянута и её форма произвольна, или $\frac{1}{\rho_{g}}=0$, т. е. нить располагается по геодезической линии поверхности. Как видно из уравнения (37.46), натяжение нити во всех её точках одно и то же:
\[
\lambda=\text { const. }=\lambda_{0} .
\]