76. Движения точки абсолютное, и относительное. Движение переносное. Представим себе, что точка $M$ движется одновременно в двух неизменяемых средах $S$ и $\mathrm{\Sigma }$. Положение точки $M$ в этих средах пусть определяется с помощью систем осей $Oxyz$ и $A\xi т\zeta$, неизменно связанных с этими средами. Среды $S$ и $\mathrm{\Sigma }$ движутся одна в другой. Если движение среды $\mathrm{\Sigma }$ в среде $\mathcal{S}$ указано как основное, то движение точки $M$ в среде $\mathrm{\Sigma }$ называется относительным, а движение её в среде $S$-абсолютным, или сложным; движение же среды $\mathrm{\Sigma }$ в среде $S$ называется переносным. Наоборот, когда движение среды $S$ в среде $\mathrm{\Sigma }$ дано как основное, то движение точки $M$ в среде $S$ будет относительным, а движение ее в среде $\mathrm{\Sigma }$ абсолютным. Очевидно, если движение переносное в первом случас примем за прямое, то переносное во втором случае будет обращённым. Таким образом, зазисит от нашей точки зрения, которое из двух движений точки $M$ назвать абсолютным, которое относительным.

В дальнейшем изложении условимся считать основным движение среды $\mathrm{\Sigma }$ в среде $S$. Обозначим, как и раньше, $\mathit{r},\overline{\rho }$ и ${\mathit{r}}_A$ соответственно абсолютный и относительный радиусы-векторы точки и абсолютный радиусвектор начала $A$ системы $A\xi$ ү (иногда называемого полюсом). Пусть, далее, $x,y,z$ и $\xi ,\eta ,\zeta$-абсолютные и относительные декартовы координаты точки $M$ и $x_A,y_A,z_A,a_{11},a_{12},\dots ,a_{33}$ — абсолютные координаты среды $\mathrm{\Sigma }$ (§55). Между указанными величинами, как известно, имеются следуюшие соотношения:
$$\begin{array}{l}r=r_A+\overline{\rho },\\ \overline{\rho }=r-r_A,\end{array}$$

или, в координатной форме:
$$\begin{array}{l}x=x_A+a_{11}\xi +a_{12}{r}_1+a_{13}\xi \\ y=y_A+a_{21}\xi +a_{22}{r}_1+a_{23}\xi \\ z=z_A+a_{31}\xi +a_{32}{r}_1+a_{33}\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{l}\xi =a_{11}(x-x_A)+a_{21}(y-y_A)+a_{31}(z-z_A),\\ \eta =a_{12}(x-x_A)+a_{22}(y-y_A)+a_{32}(z-z_A),\\ \xi =a_{13}(x-x_A)+a_{23}(y-y_A)+a_{33}(z-z_A).\end{array}\}$$

Выписанные формулы позволяют находить связь между тремя выше упомянутыми движениями. Формула (12.1) или, что всё равно, формулы (12.3) решают вопрос об определении абсолютного движения по данным относительному и переносному. По формулам (12.2) или, что to же, (12.4) находится относительное движение точки по данным абсолютному и переносному. Определить переносное движение по абсолютному и относительному движению одной толькј точки, вообще говоря, невозможно, так как положение твёрдого тела определяется шестью независимыми координатами и, следовательно, дєижение задаётся шестью функциями времени, а уравнений (12.3) у нас всего три.

Пример 33 . Пусть движение среды $\mathrm{\Sigma }$ есть движение вокруг неподвижной точки $O$ (начала координат) по закону
$$x_A=y_A=z_A=0;\phi =kf(t),\psi =f(t),\vartheta =v_0;$$

относительное движение точки $M$ пусть дано уравнениями
$$\xi =R\cos kf(t),\eta =-R\sin kf(t),\xi =0.$$

Найдём абсолютное движение. По формулам (8.15) на стр. 77 и формуле (12.3) нагтоящего параграфа получаем следующий закон движения:
$$x=R\cos f,y=R\sin f,z=0;$$

таким образом, абсолютной траекторией является окружность
$$x^2+y^2=R^2,z=0.$$

Пример 34. Пусть среда $\mathrm{\Sigma }$ говершает плоскопараллельное движение по закону
$$x_A=R\cos f(t),y_A=R\sin f(t),\phi =2\pi -f(t),$$

а абсолютное движение точки пусть дано уравнениями
$$x=D\cos f(t),y=D\sin f(t),z=0.$$

Найдём относительное движение. Применив формулы (12.4) или, лучше, формулы (8.18) на стр. 79 для плоскопараллельного движения, получим:
$$\xi =(D-R)\cos 2f,\eta =(D-R)\sin 2f,\zeta =0;$$

следовательно, относительной траекторией будет окружность
$${\xi }^2+{\eta }^2=(D-R{)}^2,\zeta =0.$$

77. Зависимость между скоростями точки в абсолютном и относительном движениях. Продифференцируем по времени обе части равенства (12.1); при этом, поскольку вектор $\overline{\rho }$ отнесён к подвижной системе, выразим его абсолютную производную через его относительную производную [по формуле (9.18) на стр. 88]; мы получим:
$$\dot{r}={\dot{r}}_A+{\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }+\tilde{\overline{\rho }},$$

где ${\overrightarrow{\omega }}_e$ есть угловая скорость в переносном движении, т. е. угловая скорость системы $\mathrm{\Sigma }$ относительно системы $S$. Слева мы имеем абсолютню скорость ${\mathit{v}}_{\mathit{a}}$; первое слагаемое правой части представляет собой скорость ${\mathit{v}}_A$ начала подвижной системы координат; последнее слагаемое

является относительной скоростью ${\mathit{v}}_r$; таким образом
$${\mathit{v}}_a={\mathit{v}}_A+{\tilde{\omega }}_e\times \overline{\rho }+{\mathit{v}}_r.$$

Обратим теперь внимание на то, что сумма первых двух членов правой части, ${\mathit{v}}_A+{\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }$; согласно формуле (9.32) на стр. 93 , равна скорости той точки псдвижной среды $\mathrm{\Sigma }$, которая в рассматриваемый момент совпадает с движущейся точкой $M$. Эта скорость называется переносной скоростью точки $M$, и мы её обозначим ${\mathit{v}}_e$. Окончательно, следовательно, получаем
$${\mathit{v}}_a={\mathit{v}}_e+{\mathit{v}}_r,$$
т. е. абсолютная скорость точки равна сумме скоростей орносительной и переносной.

Тот же результат можно получить геометрическим путём. Движущаяся точка $M$ описывает в теле $\mathrm{\Sigma }$ относительную траекторию $M{M}_1{M}_2$ (фиг. 66). Эта неизменно связанная с телом $\mathrm{\Sigma }$ кривая движется вместе с ним в среде $S$. Различные точки $M,M,\text{»}{M}_2,\dots$, в которые движущаяся точка приходит в моменты времени $t,t_1,t_2,\dots$, перемещаются в среде $S$ по некоторым траекториям $M{M}^{\prime },M_1{M}_1^{\prime }$, $M_2{M}_2^{\prime },\dots$ Таким образом, точка $M$ в моменты времени $t,t_1,t_2,\dots$ будет в среде $S$ занимать положения $M,M_1^{\prime },M_2^{\prime },\dots$, и её абсолютная траектория $M{M}_1^{\prime }{M}_2^{\prime }\dots$ пересекает диагонально сеть, образованную с одной стороны различными положениями относительной траектории в среде $\mathcal{S}$, т. е. $M{M}_1$, $M^{\prime }{M}_1^{\prime },M^{\prime \prime }{M}_2^{\prime }\dots$, с другой — траекториями тех
Фиг. 65.
точек $M,M_1^{\prime },M_2^{\prime }$ этой линии, с которыми движущаяся точка $M$ совпадает в моменты времени $t,t_1,t_2,\dots$ Рассмотрим ближе элементарный четыреугольник $M{M}^{\prime }{M}_1^{\prime }{M}_1$ этой сеіи, соответствующий промежутку времени $\mathrm{\Delta }t=t_1-t$. Соединим прямыми точки $M,M^{\prime },M_1^{\prime }$ и дополним полученный треугольник до параллелограмма $M{M}^{\prime }{M}_1^{\prime }{M}_0$. Очевидно, вектор $\mathrm{\Delta }{r}_a={\overline{MM}}_1^{\prime }$ предс гавляет собой абсолютное перемещение точки за промежуток времени $\mathrm{\Delta }t=t_1-t$. Вектор $\mathrm{\Delta }{r}_e={\overline{MM}}^{\prime }$ есть перемещение той точки траектории, которая совпадает с движущейся точкой в момент времени $t$. Наконец, вектор $\mathrm{\Delta }{r}_r={\overline{MM}}_0$ равен относительному перемещению $\overline{M^{\prime }{\overline{M}}_1^{\prime }}$ точки, отмеченному на том положении траектории, которое она занимает в момент времени $t_1=t+\mathrm{\Delta }t$. Непосредственно из чертежа усматриваем, что
$$\mathrm{\Delta }{r}_a=\mathrm{\Delta }{r}_e+\mathrm{\Delta }{r}_r.$$

Раэделим обе части равенства на $\mathrm{\Delta }t$ и иерейдём к пределу, устремив промежуток времени $\mathrm{\Delta }t$ к нулю. Тогда слева мы получим абсолютную скорость ${\mathit{v}}_a$ точки, которую она имеет в момент времени $t$, первое слагаемое правой части даст переносную скорость ${\mathit{v}}_e$, а второе — относительную скорость ${\mathit{v}}_r$ для того же момента $t$ : последнее обстоятельство сле-

дует из того, что предельным направлением для ${\overline{MM}}_0$ будет касательная к относительной траектории в точке $M$. Таким образом, высказанное положение доказано:
$${\mathit{v}}_a={\mathit{v}}_e+{\mathit{v}}_r.$$

78. Зависимость между ускорениями точки в абсолютном и относительном движениях. Поворотное ускорение. Теорема Кориолиса. Как мы видели в гл. XI, ускорение точки твёрдого тела определяется приёмом более сложным, чем скорость (за исключением случая поступательного движения тела). Поэтому и связь между ускорениями абсолютным и относительным не будет столь простой, как для скоростей. Продифференцировав по времени равенство (12.5), прежде всего получаем:
$${\dot{v}}_a={\dot{v}}_A+{\dot{\overline{\omega }}}_e\times \overline{\rho }+{\overline{\omega }}_e\times \dot{\overline{\rho }}+{\dot{\mathit{v}}}_r.$$

Здесь ${\dot{\mathit{v}}}_a=w_a$ есть абсолютное ускорение точки $M$; затем ${\dot{\mathit{v}}}_A\leftrightharpoons w_A$ есть ускорение начала подвижной системы координат; ${\dot{\hat{\omega }}}_e={\overline{\epsilon }}_e$ является угловым ускорением в переносном движении, т. е. угловым ускорением системы $\mathrm{\Sigma }$ относительно системы $\mathcal{S}$. Выразим абсолютные производные $\dot{\overline{\rho }}$ и ${\dot{\mathit{v}}}_{\text{r }}$ через соответствующие относительные производные; это естественно сделать, поскольку сами векторы $\overline{\rho }$ и ${\mathit{v}}_r$ отнесены к подвижной системе координат; имеем
$$\begin{array}{c}\dot{\overline{\rho }}={\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }+\dot{\overline{\rho }}={\overline{\omega }}_e\times \overrightarrow{\rho }+v_r,\\ {\dot{v}}_r={\overline{\omega }}_e\times v_r+\overline{v_r}={\overline{\omega }}_e\times v_r+{\omega }_r,\end{array}$$

где $w_r$ есть относительное ускорение точки. Подставив все эти результаты в формулу (12.7), мы получим:
$${\mathit{w}}_a={\mathit{w}}_A+{\overline{\epsilon }}_e\times \overline{\rho }+{\overline{\omega }}_e\times ({\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }+{\mathit{v}}_r)+{\overline{\omega }}_e\times {\mathit{v}}_r+{\mathit{w}}_r,$$

или, если раскрыть скобки и соединить одинаковые члены,
$${\mathit{w}}_a={\mathit{w}}_A+{\overline{\epsilon }}_e\times \overline{\rho }+{\overline{\omega }}_e\times ({\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho })+w_r+2{\overline{\omega }}_e\times {\mathit{v}}_r.$$

Первые три слагаемые в правой части согласно формуле (11.1) на стр. 112 представляют собой ускорение той точки подвижной среды $\mathrm{\Sigma }$, которая в рассматриваемый момент совпадает с движущейся точкой $M$; это ускорение называется переносным ускорением точки $M$ и обозначается $w_e$. Далее следует относительное ускорение ${\mathit{w}}_r$. Наконец, последний член $2{\overline{\omega }}_e\times {\mathit{v}}_r$ носит название добавочного, или поворотного, ускорения, или ускоpet.ия Кориолиса (Coriolis); мы его будем обозначать $w_c$. Таким образом, мы получили следующую теорему (теорему Кориолиса) об ускорении точки в сложном, или абсолютном, движении:
$$w_a=w_e+w_r+w_C,$$

где
$$\begin{array}{l}{w}_e=w_A+{\overline{\epsilon }}_e\times \overline{\rho }+{\overline{\omega }}_e\times ({\overline{\omega }}_e\times \overline{\rho }),\\ w_c=2{\overline{\omega }}_e\times {\mathit{v}}_r,\end{array}$$

т. е. абсолютное ускорение точки равняется сумме ускорений переносного, относительного и поворотного. Важно заметить, что в следующих случаях поворотное ускорение обращается в нуль:
1) если ${\overline{\omega }}_e=0$; например, если переносное движение — поступательное;
2) если ${\mathit{v}}_r^e=0$;
3) если ${\overline{\omega }}_e\Vert {\mathit{v}}_r$, т. е. если угловая скорость в переносном движении и относительная линейная скорость коллинеарны. Легко получить проекции поворотного ускорения на подвижные оси координат; по правилам проектирования векторного произведения находим:
$$w_{C\xi }=2({\omega }_{e\eta }\dot{\xi }-{\omega }_{er}\dot{\eta }),w_{C\eta }=2({\omega }_{e\xi }\dot{\xi }-{\omega }_{e\xi }\dot{\xi }),w_{Cr}=2({\omega }_{e\xi }\dot{\eta }-{\omega }_{e\eta }\dot{\xi }).$$

В справедливости теоремы Кориолиса можно убедиться и из геометрических соображеңий (фиг. 67). Движушаяся точка $M$ за бесконечно малый промежуток времени $\mathrm{\Delta }t$ переместится по относительной траектории в точку $M^{\prime }$;
Фиг. 67.

за то же время точка твёрдого тела, совпадавшая с точкой $M$, передвинется по своей траектории в положение $M_1$. Построим скорости ${\mathit{v}}_r$ и ${\mathit{v}}_e$ относительного и переносного движений и отложим на них длины $MR$ и $ME$, соответственно равные $v_r\mathrm{\Delta }t$ и $v_e\mathrm{\Delta }t$. Если бы переносное движение было поступательное, то относительная траектория и неизменно с нею связанный вектор $\overline{MR}$ заняли бы положения $M_1{M}_2$ и $\overline{M_{1}B}$, параллельные первоначальным. Но вследствие наличия вращательной части переносного движения вектор $\overline{M_{1}B}$ повернётся около мгновенной оси $M_1\mathrm{\Omega }$ полюса $M_1$ на некоторый бесконечно малый угол $\mathrm{\Delta }\phi ={\omega }_e\mathrm{\Delta }t$, где ${\overrightarrow{\omega }}_e$ есть мгновенная угловая скорость тела для рассматриваемого момента. Абсолютная скорость ${\mathit{v}}_a$, по предыдущему, изобразится диагональю параллелограмма, построенного на ${\mathit{v}}_e$ и ${\mathit{v}}_r$; следовательно, вектор $\overline{MA}$, расположенный по диагонали па-

раллелограмма $MRAE$, равняется ${\mathit{v}}_a\mathrm{\Delta }t$. Если соединим прямыми точку $A$ с $M_1^{\prime },E$ с $M_1$ и $R$ с $M^{\prime }$, то получим девиации для движений абсолютного, переносного и относительного (§ 45 ):
$${\overline{\delta }}_a=\overline{A{M}_1^{\prime }},{\overline{\delta }}_e=\overline{E{M}_1},{\overline{\delta }}_r=\overline{R{M}^{\prime }}.$$

Далее, непосредственно из чертежа видно, что

или
$$\begin{array}{l}\overline{A{M}_1^{\prime }}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{C{M}_1^{\ast }},\\ {\overline{\delta }}_a={\overline{\delta }}_e+{\overline{\omega }}_e\mathrm{\Delta }t\times {\mathit{v}}_r{\mathrm{\Delta }}^t+{\overline{\delta }}_r:\end{array}$$

вектор $\overline{C{M}_1^{\prime }}$ здесь можно было заменить на $\overline{B{M}_2}={\overline{\delta }}_r$, так как по модулю они равны и в пределе параллельны. Теперь вспомним, что девиация следующим образом выражается через ускорение [формула (7.6) на стр. 65]:
$$\overline{\delta }={}_2^{1}w\mathrm{\Delta }{t}^2.$$

Поэтому равенство (12.9) после умножения на $\frac{2}{\mathrm{\Delta }{t}^2}$ перепишется так:
$$w_a=w_e+w_r+2{\overline{\omega }}_e\times {\mathit{v}}_r.$$

Таким образом, теорема Кориолиса доказана.
Пример 35. Пусть среда $S$ неизменно спединена с плоскостью земной орбиты, а среда $\dot{\mathrm{\Sigma }}$ — с Землёй. За полюс $A$ (начало подвижной системы координат) возьмём какую-нибудь точку на эемной поверхности, расположенную на данной широте ф (фиг. 68). По горизонтальной плоскости $H$, проходящей через точку $A$, пусть движется некоторая точка $\mu$ с относительной скоростью ${\mathit{v}}_r$ и абсолютным ускорением, равным ускорению точки $A$, т. е. равным поступательной’ части своего переносного ускорения. Определим проекцию на плоскость $H$ относительного ускорения точки $\mu$. Угловая скорость системы $\mathrm{\Sigma }$ равна угловой скорости Земли $\bar{\overline{Q}}$ и направлена параллельно

земной оси с юга на север; по модулю она равна
$$\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi }{86164,09}=0,0000729\frac{1}{\text{ ceк. }\text{ cp. }\text{ вp. }}.$$

Если точка $\mu$ не удаляется от положения $A$ на значительное расстояние, то по малости $\mathrm{\Omega }$ осестремительной частью переносного ускорения, пропорциональной ${\mathrm{\Omega }}^2$, мы можем пренебречь. Далее, вращательное ускорение равно нулю, так как $\overline{\mathrm{\Omega }}$ постоянна (прецессию и нутацию в расчёт не принимаем). При таких обстоятельствах всё-переносное ускорение сводится к одной поступательной части. Выпишем формулу, выражаюпую теорему Кориолиса:
$$w_a=w_e+w_r+w_C.$$

В условиях нашей задачи члены ${\mathit{w}}_a$ и ${\mathit{w}}_e$ взаимно уничтожаются, и, следовательно, относительное ускорение направлено противоположно поворотному и равно ему по модулю:
$$w_r=-w_C;$$

следовательно, их проекции на горизонтальную плоскость равны между собой, т. e.
$$w_{rH}=w_{CH}.$$

Для определения проекции $w_{CH}$ воспользуемся построением, указанным на фиг. 68. Пусть точка $A$ находится в северном полушарии. Пусть $AN-$ мгновенная ось полюса $A$, направленная параллельно оси Земли с юга на север и, следовательно, наклонённая к горизонту на угол, равный широте места $\psi$. Далее, отложим от точки $A$ вектор $\overline{AE}$, равный относительной скорости точки $\mu$. Тогда поворотное ускорение изобразится вектором $\overline{EC}$, перпендикулярным к плоскости $ANE$ и идущим так, как показано на чертеже (относительное ускорение направлено в противоположную сторону); при этом
$$EC=2Q_{v_r}\sin \mathrm{\angle }EAN.$$

Проведем вертикальную плогкость $ANB$ (плоскость меридиана точки $A$ ) и вертикальную плоскость $EBN$, перпендикулярную к $AE$. Интересующая нас проекция $w_{CH}$ имеет выражение

Ho
$$\begin{array}{c}{w}_{CH}=2\mathrm{\Omega }{v}_r\sin \mathrm{\angle }EAN\cos \mathrm{\angle }CEB=2Q{v}_r\sin \mathrm{\angle }EAN\sin \mathrm{\angle }BEN;\\ \sin \mathrm{\angle }EAN\cdot \sin \mathrm{\angle }BEN=\frac{EN}{AN}\cdot \frac{BN}{EN}=\frac{BN}{AN}=\sin \mathrm{\angle }BAN=\sin \psi ,\end{array}$$

поэтому окончательно получаем:
$$w_{rH}=w_{CH}=2Q{v}_r\sin \psi .$$

Таким образом, оказалось, что ортогональная горизонтальная составляющая относительного ускорения перпендикулярна к относительной скорости, направлена для северного полушария в правую сторону и по модулю пропорциональна относительной скорости и синусу широты места.

Результат (12.10) можно иначе получить применением векторной алгебры. Действительно, мы имеем
$${\mathit{w}}_{CH}=|R^0\times {\mathit{w}}_C|,$$

где $R^0$ — единичный вектор радиуса Земли, проведённого к точке $A$. Подставив сюда известное выражение поворотного ускорения и воспользовавшись затем формулой преобразования векторно-векторного произведения, мы находим:
$$w_{CH}=2|R^0\times (\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\times {\mathit{v}}_r)|=2|\overline{\mathrm{\Omega }}(R^0\cdot {\mathit{v}}_t)-{\mathit{v}}_r({\mathit{R}}^0\cdot \overline{\mathrm{\Omega }})|;$$

но ${\mathit{R}}^{\mathbf{0}}\cdot {\mathit{\eta }}_r=0$ вследствие перпендикулярности этих векторов, а ${\mathit{R}}^0\bar{\mathbf{Q}}=\mathbf{Q}\sin \zeta$, так что окончательно мы получаем:
$$w_{tH}=w_{CH}=2\mathrm{\Omega }{v}_r\sin \psi ,$$
т. е. мы пришли к прежнему выраженню (12.10).