76. Движения точки абсолютное, и относительное. Движение переносное. Представим себе, что точка $M$ движется одновременно в двух неизменяемых средах $S$ и $\Sigma$. Положение точки $M$ в этих средах пусть определяется с помощью систем осей $O x y z$ и $A \xi т \zeta$, неизменно связанных с этими средами. Среды $S$ и $\Sigma$ движутся одна в другой. Если движение среды $\Sigma$ в среде $\mathcal{S}$ указано как основное, то движение точки $M$ в среде $\Sigma$ называется относительным, а движение её в среде $S$-абсолютным, или сложным; движение же среды $\Sigma$ в среде $S$ называется переносным. Наоборот, когда движение среды $S$ в среде $\Sigma$ дано как основное, то движение точки $M$ в среде $S$ будет относительным, а движение ее в среде $\Sigma$ абсолютным. Очевидно, если движение переносное в первом случас примем за прямое, то переносное во втором случае будет обращённым. Таким образом, зазисит от нашей точки зрения, которое из двух движений точки $M$ назвать абсолютным, которое относительным.

В дальнейшем изложении условимся считать основным движение среды $\Sigma$ в среде $S$. Обозначим, как и раньше, $\boldsymbol{r}, \bar{\rho}$ и $\boldsymbol{r}_{A}$ соответственно абсолютный и относительный радиусы-векторы точки и абсолютный радиусвектор начала $A$ системы $A \xi$ ү (иногда называемого полюсом). Пусть, далее, $x, y, z$ и $\xi, \eta, \zeta$-абсолютные и относительные декартовы координаты точки $M$ и $x_{A}, y_{A}, z_{A}, a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{33}$ – абсолютные координаты среды $\Sigma$ (§55). Между указанными величинами, как известно, имеются следуюшие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
r=r_{A}+\bar{\rho}, \\
\bar{\rho}=r-r_{A},
\end{array}
\]

или, в координатной форме:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=x_{A}+a_{11} \xi+a_{12} r_{1}+a_{13} \xi \\
y=y_{A}+a_{21} \xi+a_{22} r_{1}+a_{23} \xi \\
z=z_{A}+a_{31} \xi+a_{32} r_{1}+a_{33}
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=a_{11}\left(x-x_{A}\right)+a_{21}\left(y-y_{A}\right)+a_{31}\left(z-z_{A}\right), \\
\eta=a_{12}\left(x-x_{A}\right)+a_{22}\left(y-y_{A}\right)+a_{32}\left(z-z_{A}\right), \\
\xi=a_{13}\left(x-x_{A}\right)+a_{23}\left(y-y_{A}\right)+a_{33}\left(z-z_{A}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Выписанные формулы позволяют находить связь между тремя выше упомянутыми движениями. Формула (12.1) или, что всё равно, формулы (12.3) решают вопрос об определении абсолютного движения по данным относительному и переносному. По формулам (12.2) или, что to же, (12.4) находится относительное движение точки по данным абсолютному и переносному. Определить переносное движение по абсолютному и относительному движению одной толькј точки, вообще говоря, невозможно, так как положение твёрдого тела определяется шестью независимыми координатами и, следовательно, дєижение задаётся шестью функциями времени, а уравнений (12.3) у нас всего три.

Пример 33 . Пусть движение среды $\Sigma$ есть движение вокруг неподвижной точки $O$ (начала координат) по закону
\[
x_{A}=y_{A}=z_{A}=0 ; \quad \varphi=k f(t), \quad \psi=f(t), \quad \vartheta=v_{0} ;
\]

относительное движение точки $M$ пусть дано уравнениями
\[
\xi=R \cos k f(t), \quad \eta=-R \sin k f(t), \quad \xi=0 .
\]

Найдём абсолютное движение. По формулам (8.15) на стр. 77 и формуле (12.3) нагтоящего параграфа получаем следующий закон движения:
\[
x=R \cos f, \quad y=R \sin f, \quad z=0 ;
\]

таким образом, абсолютной траекторией является окружность
\[
x^{2}+y^{2}=R^{2}, \quad z=0 .
\]

Пример 34. Пусть среда $\Sigma$ говершает плоскопараллельное движение по закону
\[
x_{A}=R \cos f(t), \quad y_{A}=R \sin f(t), \quad \varphi=2 \pi-f(t),
\]

а абсолютное движение точки пусть дано уравнениями
\[
x=D \cos f(t), \quad y=D \sin f(t), \quad z=0 .
\]

Найдём относительное движение. Применив формулы (12.4) или, лучше, формулы (8.18) на стр. 79 для плоскопараллельного движения, получим:
\[
\xi=(D-R) \cos 2 f, \quad \eta=(D-R) \sin 2 f, \quad \zeta=0 ;
\]

следовательно, относительной траекторией будет окружность
\[
\xi^{2}+\eta^{2}=(D-R)^{2}, \quad \zeta=0 .
\]

77. Зависимость между скоростями точки в абсолютном и относительном движениях. Продифференцируем по времени обе части равенства (12.1); при этом, поскольку вектор $\bar{\rho}$ отнесён к подвижной системе, выразим его абсолютную производную через его относительную производную [по формуле (9.18) на стр. 88]; мы получим:
\[
\dot{r}=\dot{r}_{A}+\bar{\omega}_{e} \times \bar{\rho}+\tilde{\bar{\rho}},
\]

где $\vec{\omega}_{e}$ есть угловая скорость в переносном движении, т. е. угловая скорость системы $\Sigma$ относительно системы $S$. Слева мы имеем абсолютню скорость $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{a}}$; первое слагаемое правой части представляет собой скорость $\boldsymbol{v}_{A}$ начала подвижной системы координат; последнее слагаемое

является относительной скоростью $\boldsymbol{v}_{r}$; таким образом
\[
\boldsymbol{v}_{a}=\boldsymbol{v}_{A}+\tilde{\omega}_{e} \times \bar{\rho}+\boldsymbol{v}_{r} .
\]

Обратим теперь внимание на то, что сумма первых двух членов правой части, $\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega}_{e} \times \bar{\rho}$; согласно формуле (9.32) на стр. 93 , равна скорости той точки псдвижной среды $\Sigma$, которая в рассматриваемый момент совпадает с движущейся точкой $M$. Эта скорость называется переносной скоростью точки $M$, и мы её обозначим $\boldsymbol{v}_{e}$. Окончательно, следовательно, получаем
\[
\boldsymbol{v}_{a}=\boldsymbol{v}_{e}+\boldsymbol{v}_{r},
\]
т. е. абсолютная скорость точки равна сумме скоростей орносительной и переносной.

Тот же результат можно получить геометрическим путём. Движущаяся точка $M$ описывает в теле $\Sigma$ относительную траекторию $M M_{1} M_{2}$ (фиг. 66). Эта неизменно связанная с телом $\Sigma$ кривая движется вместе с ним в среде $S$. Различные точки $M, M, \” M_{2}, \ldots$, в которые движущаяся точка приходит в моменты времени $t, t_{1}, t_{2}, \ldots$, перемещаются в среде $S$ по некоторым траекториям $M M^{\prime}, M_{1} M_{1}^{\prime}$, $M_{2} M_{2}^{\prime}, \ldots$ Таким образом, точка $M$ в моменты времени $t, t_{1}, t_{2}, \ldots$ будет в среде $S$ занимать положения $M, M_{1}^{\prime}, M_{2}^{\prime}, \ldots$, и её абсолютная траектория $M M_{1}^{\prime} M_{2}^{\prime} \ldots$ пересекает диагонально сеть, образованную с одной стороны различными положениями относительной траектории в среде $\mathcal{S}$, т. е. $M M_{1}$, $M^{\prime} M_{1}^{\prime}, M^{\prime \prime} M_{2}^{\prime} \ldots$, с другой – траекториями тех
Фиг. 65.
точек $M, M_{1}^{\prime}, M_{2}^{\prime}$ этой линии, с которыми движущаяся точка $M$ совпадает в моменты времени $t, t_{1}, t_{2}, \ldots$ Рассмотрим ближе элементарный четыреугольник $M M^{\prime} M_{1}^{\prime} M_{1}$ этой сеіи, соответствующий промежутку времени $\Delta t=t_{1}-t$. Соединим прямыми точки $M, M^{\prime}, M_{1}^{\prime}$ и дополним полученный треугольник до параллелограмма $M M^{\prime} M_{1}^{\prime} M_{0}$. Очевидно, вектор $\Delta r_{a}=\overline{M M}_{1}^{\prime}$ предс гавляет собой абсолютное перемещение точки за промежуток времени $\Delta t=t_{1}-t$. Вектор $\Delta r_{e}=\overline{M M}^{\prime}$ есть перемещение той точки траектории, которая совпадает с движущейся точкой в момент времени $t$. Наконец, вектор $\Delta r_{r}=\overline{M M}_{0}$ равен относительному перемещению $\overline{M^{\prime} \bar{M}_{1}^{\prime}}$ точки, отмеченному на том положении траектории, которое она занимает в момент времени $t_{1}=t+\Delta t$. Непосредственно из чертежа усматриваем, что
\[
\Delta r_{a}=\Delta r_{e}+\Delta r_{r} .
\]

Раэделим обе части равенства на $\Delta t$ и иерейдём к пределу, устремив промежуток времени $\Delta t$ к нулю. Тогда слева мы получим абсолютную скорость $\boldsymbol{v}_{a}$ точки, которую она имеет в момент времени $t$, первое слагаемое правой части даст переносную скорость $\boldsymbol{v}_{e}$, а второе – относительную скорость $\boldsymbol{v}_{r}$ для того же момента $t$ : последнее обстоятельство сле-

дует из того, что предельным направлением для $\overline{M M}_{0}$ будет касательная к относительной траектории в точке $M$. Таким образом, высказанное положение доказано:
\[
\boldsymbol{v}_{a}=\boldsymbol{v}_{e}+\boldsymbol{v}_{r} .
\]

78. Зависимость между ускорениями точки в абсолютном и относительном движениях. Поворотное ускорение. Теорема Кориолиса. Как мы видели в гл. XI, ускорение точки твёрдого тела определяется приёмом более сложным, чем скорость (за исключением случая поступательного движения тела). Поэтому и связь между ускорениями абсолютным и относительным не будет столь простой, как для скоростей. Продифференцировав по времени равенство (12.5), прежде всего получаем:
\[
\dot{v}_{a}=\dot{v}_{A}+\dot{\bar{\omega}}_{e} \times \bar{\rho}+\bar{\omega}_{e} \times \dot{\bar{\rho}}+\dot{\boldsymbol{v}}_{r} .
\]

Здесь $\dot{\boldsymbol{v}}_{a}=w_{a}$ есть абсолютное ускорение точки $M$; затем $\dot{\boldsymbol{v}}_{A} \leftrightharpoons w_{A}$ есть ускорение начала подвижной системы координат; $\dot{\hat{\omega}}_{e}=\bar{\varepsilon}_{e}$ является угловым ускорением в переносном движении, т. е. угловым ускорением системы $\Sigma$ относительно системы $\mathcal{S}$. Выразим абсолютные производные $\dot{\bar{\rho}}$ и $\dot{\boldsymbol{v}}_{\text {r }}$ через соответствующие относительные производные; это естественно сделать, поскольку сами векторы $\bar{\rho}$ и $\boldsymbol{v}_{r}$ отнесены к подвижной системе координат; имеем
\[
\begin{array}{c}
\dot{\bar{\rho}}=\bar{\omega}_{e} \times \bar{\rho}+\dot{\bar{\rho}}=\bar{\omega}_{e} \times \vec{\rho}+v_{r}, \\
\dot{v}_{r}=\bar{\omega}_{e} \times v_{r}+\overline{v_{r}}=\bar{\omega}_{e} \times v_{r}+\omega_{r},
\end{array}
\]

где $w_{r}$ есть относительное ускорение точки. Подставив все эти результаты в формулу (12.7), мы получим:
\[
\boldsymbol{w}_{a}=\boldsymbol{w}_{A}+\bar{\varepsilon}_{e} \times \bar{\rho}+\bar{\omega}_{e} \times\left(\bar{\omega}_{e} \times \bar{\rho}+\boldsymbol{v}_{r}\right)+\bar{\omega}_{e} \times \boldsymbol{v}_{r}+\boldsymbol{w}_{r},
\]

или, если раскрыть скобки и соединить одинаковые члены,
\[
\boldsymbol{w}_{a}=\boldsymbol{w}_{A}+\bar{\varepsilon}_{e} \times \bar{\rho}+\bar{\omega}_{e} \times\left(\bar{\omega}_{e} \times \bar{\rho}\right)+w_{r}+2 \bar{\omega}_{e} \times \boldsymbol{v}_{r} .
\]

Первые три слагаемые в правой части согласно формуле (11.1) на стр. 112 представляют собой ускорение той точки подвижной среды $\Sigma$, которая в рассматриваемый момент совпадает с движущейся точкой $M$; это ускорение называется переносным ускорением точки $M$ и обозначается $w_{e}$. Далее следует относительное ускорение $\boldsymbol{w}_{r}$. Наконец, последний член $2 \bar{\omega}_{e} \times \boldsymbol{v}_{r}$ носит название добавочного, или поворотного, ускорения, или ускоpet.ия Кориолиса (Coriolis); мы его будем обозначать $w_{c}$. Таким образом, мы получили следующую теорему (теорему Кориолиса) об ускорении точки в сложном, или абсолютном, движении:
\[
w_{a}=w_{e}+w_{r}+w_{C},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
w_{e}=w_{A}+\bar{\varepsilon}_{e} \times \bar{\rho}+\bar{\omega}_{e} \times\left(\bar{\omega}_{e} \times \bar{\rho}\right), \\
w_{c}=2 \bar{\omega}_{e} \times \boldsymbol{v}_{r},
\end{array}
\]

т. е. абсолютное ускорение точки равняется сумме ускорений переносного, относительного и поворотного. Важно заметить, что в следующих случаях поворотное ускорение обращается в нуль:
1) если $\bar{\omega}_{e}=0$; например, если переносное движение – поступательное;
2) если $\boldsymbol{v}_{r}^{e}=0$;
3) если $\bar{\omega}_{e} \| \boldsymbol{v}_{r}$, т. е. если угловая скорость в переносном движении и относительная линейная скорость коллинеарны. Легко получить проекции поворотного ускорения на подвижные оси координат; по правилам проектирования векторного произведения находим:
\[
w_{C \xi}=2\left(\omega_{e \eta} \dot{\xi}-\omega_{e r} \dot{\eta}\right), \quad w_{C \eta}=2\left(\omega_{e \xi} \dot{\xi}-\omega_{e \xi} \dot{\xi}\right), \quad w_{C r}=2\left(\omega_{e \xi} \dot{\eta}-\omega_{e \eta} \dot{\xi}\right) .
\]

В справедливости теоремы Кориолиса можно убедиться и из геометрических соображеңий (фиг. 67). Движушаяся точка $M$ за бесконечно малый промежуток времени $\Delta t$ переместится по относительной траектории в точку $M^{\prime}$;
Фиг. 67.

за то же время точка твёрдого тела, совпадавшая с точкой $M$, передвинется по своей траектории в положение $M_{1}$. Построим скорости $\boldsymbol{v}_{r}$ и $\boldsymbol{v}_{e}$ относительного и переносного движений и отложим на них длины $M R$ и $M E$, соответственно равные $v_{r} \Delta t$ и $v_{e} \Delta t$. Если бы переносное движение было поступательное, то относительная траектория и неизменно с нею связанный вектор $\overline{M R}$ заняли бы положения $M_{1} M_{2}$ и $\overline{M_{1} B}$, параллельные первоначальным. Но вследствие наличия вращательной части переносного движения вектор $\overline{M_{1} B}$ повернётся около мгновенной оси $M_{1} \Omega$ полюса $M_{1}$ на некоторый бесконечно малый угол $\Delta \varphi=\omega_{e} \Delta t$, где $\vec{\omega}_{e}$ есть мгновенная угловая скорость тела для рассматриваемого момента. Абсолютная скорость $\boldsymbol{v}_{a}$, по предыдущему, изобразится диагональю параллелограмма, построенного на $\boldsymbol{v}_{e}$ и $\boldsymbol{v}_{r}$; следовательно, вектор $\overline{M A}$, расположенный по диагонали па-

раллелограмма $M R A E$, равняется $\boldsymbol{v}_{a} \Delta t$. Если соединим прямыми точку $A$ с $M_{1}^{\prime}, E$ с $M_{1}$ и $R$ с $M^{\prime}$, то получим девиации для движений абсолютного, переносного и относительного (§ 45 ):
\[
\bar{\delta}_{a}=\overline{A M_{1}^{\prime}}, \quad \bar{\delta}_{e}=\overline{E M_{1}}, \quad \bar{\delta}_{r}=\overline{R M^{\prime}} .
\]

Далее, непосредственно из чертежа видно, что

или
\[
\begin{array}{l}
\overline{A M_{1}^{\prime}}=\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C M_{1}^{*}}, \\
\bar{\delta}_{a}=\bar{\delta}_{e}+\bar{\omega}_{e} \Delta t \times \boldsymbol{v}_{r} \Delta^{t}+\bar{\delta}_{r}:
\end{array}
\]

вектор $\overline{C M_{1}^{\prime}}$ здесь можно было заменить на $\overline{B M_{2}}=\bar{\delta}_{r}$, так как по модулю они равны и в пределе параллельны. Теперь вспомним, что девиация следующим образом выражается через ускорение [формула (7.6) на стр. 65]:
\[
\bar{\delta}={ }_{2}^{1} w \Delta t^{2} .
\]

Поэтому равенство (12.9) после умножения на $\frac{2}{\Delta t^{2}}$ перепишется так:
\[
w_{a}=w_{e}+w_{r}+2 \bar{\omega}_{e} \times \boldsymbol{v}_{r} .
\]

Таким образом, теорема Кориолиса доказана.
Пример 35. Пусть среда $S$ неизменно спединена с плоскостью земной орбиты, а среда $\dot{\Sigma}$ – с Землёй. За полюс $A$ (начало подвижной системы координат) возьмём какую-нибудь точку на эемной поверхности, расположенную на данной широте ф (фиг. 68). По горизонтальной плоскости $H$, проходящей через точку $A$, пусть движется некоторая точка $\mu$ с относительной скоростью $\boldsymbol{v}_{r}$ и абсолютным ускорением, равным ускорению точки $A$, т. е. равным поступательной’ части своего переносного ускорения. Определим проекцию на плоскость $H$ относительного ускорения точки $\mu$. Угловая скорость системы $\Sigma$ равна угловой скорости Земли $\overline{\bar{Q}}$ и направлена параллельно

земной оси с юга на север; по модулю она равна
\[
\Omega=\frac{2 \pi}{86164,09}=0,0000729 \frac{1}{\text { ceк. } \text { cp. } \text { вp. }} .
\]

Если точка $\mu$ не удаляется от положения $A$ на значительное расстояние, то по малости $\Omega$ осестремительной частью переносного ускорения, пропорциональной $\Omega^{2}$, мы можем пренебречь. Далее, вращательное ускорение равно нулю, так как $\bar{\Omega}$ постоянна (прецессию и нутацию в расчёт не принимаем). При таких обстоятельствах всё-переносное ускорение сводится к одной поступательной части. Выпишем формулу, выражаюпую теорему Кориолиса:
\[
w_{a}=w_{e}+w_{r}+w_{C} .
\]

В условиях нашей задачи члены $\boldsymbol{w}_{a}$ и $\boldsymbol{w}_{e}$ взаимно уничтожаются, и, следовательно, относительное ускорение направлено противоположно поворотному и равно ему по модулю:
\[
w_{r}=-w_{C} ;
\]

следовательно, их проекции на горизонтальную плоскость равны между собой, т. e.
\[
w_{r H}=w_{C H} .
\]

Для определения проекции $w_{C H}$ воспользуемся построением, указанным на фиг. 68. Пусть точка $A$ находится в северном полушарии. Пусть $A N-$ мгновенная ось полюса $A$, направленная параллельно оси Земли с юга на север и, следовательно, наклонённая к горизонту на угол, равный широте места $\psi$. Далее, отложим от точки $A$ вектор $\overline{A E}$, равный относительной скорости точки $\mu$. Тогда поворотное ускорение изобразится вектором $\overline{E C}$, перпендикулярным к плоскости $A N E$ и идущим так, как показано на чертеже (относительное ускорение направлено в противоположную сторону); при этом
\[
E C=2 Q_{v_{r}} \sin \angle E A N .
\]

Проведем вертикальную плогкость $A N B$ (плоскость меридиана точки $A$ ) и вертикальную плоскость $E B N$, перпендикулярную к $A E$. Интересующая нас проекция $w_{C H}$ имеет выражение

Ho
\[
\begin{array}{c}
w_{C H}=2 \Omega v_{r} \sin \angle E A N \cos \angle C E B=2 Q v_{r} \sin \angle E A N \sin \angle B E N ; \\
\sin \angle E A N \cdot \sin \angle B E N=\frac{E N}{A N} \cdot \frac{B N}{E N}=\frac{B N}{A N}=\sin \angle B A N=\sin \psi,
\end{array}
\]

поэтому окончательно получаем:
\[
w_{r H}=w_{C H}=2 Q v_{r} \sin \psi .
\]

Таким образом, оказалось, что ортогональная горизонтальная составляющая относительного ускорения перпендикулярна к относительной скорости, направлена для северного полушария в правую сторону и по модулю пропорциональна относительной скорости и синусу широты места.

Результат (12.10) можно иначе получить применением векторной алгебры. Действительно, мы имеем
\[
\boldsymbol{w}_{C H}=\left|R^{0} \times \boldsymbol{w}_{C}\right|,
\]

где $R^{0}$ – единичный вектор радиуса Земли, проведённого к точке $A$. Подставив сюда известное выражение поворотного ускорения и воспользовавшись затем формулой преобразования векторно-векторного произведения, мы находим:
\[
w_{C H}=2\left|R^{0} \times\left(\vec{\Omega} \times \boldsymbol{v}_{r}\right)\right|=2\left|\bar{\Omega}\left(R^{0} \cdot \boldsymbol{v}_{t}\right)-\boldsymbol{v}_{r}\left(\boldsymbol{R}^{0} \cdot \bar{\Omega}\right)\right| ;
\]

но $\boldsymbol{R}^{\mathbf{0}} \cdot \boldsymbol{\eta}_{r}=0$ вследствие перпендикулярности этих векторов, а $\boldsymbol{R}^{0} \overline{\mathbf{Q}}=\mathbf{Q} \sin \zeta$, так что окончательно мы получаем:
\[
w_{t H}=w_{C H}=2 \Omega v_{r} \sin \psi,
\]
т. е. мы пришли к прежнему выраженню (12.10).