Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
76. Движения точки абсолютное, и относительное. Движение переносное. Представим себе, что точка $M$ движется одновременно в двух неизменяемых средах $S$ и $\Sigma$. Положение точки $M$ в этих средах пусть определяется с помощью систем осей $O x y z$ и $A \xi т \zeta$, неизменно связанных с этими средами. Среды $S$ и $\Sigma$ движутся одна в другой. Если движение среды $\Sigma$ в среде $\mathcal{S}$ указано как основное, то движение точки $M$ в среде $\Sigma$ называется относительным, а движение её в среде $S$-абсолютным, или сложным; движение же среды $\Sigma$ в среде $S$ называется переносным. Наоборот, когда движение среды $S$ в среде $\Sigma$ дано как основное, то движение точки $M$ в среде $S$ будет относительным, а движение ее в среде $\Sigma$ абсолютным. Очевидно, если движение переносное в первом случас примем за прямое, то переносное во втором случае будет обращённым. Таким образом, зазисит от нашей точки зрения, которое из двух движений точки $M$ назвать абсолютным, которое относительным. В дальнейшем изложении условимся считать основным движение среды $\Sigma$ в среде $S$. Обозначим, как и раньше, $\boldsymbol{r}, \bar{\rho}$ и $\boldsymbol{r}_{A}$ соответственно абсолютный и относительный радиусы-векторы точки и абсолютный радиусвектор начала $A$ системы $A \xi$ ү (иногда называемого полюсом). Пусть, далее, $x, y, z$ и $\xi, \eta, \zeta$-абсолютные и относительные декартовы координаты точки $M$ и $x_{A}, y_{A}, z_{A}, a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{33}$ — абсолютные координаты среды $\Sigma$ (§55). Между указанными величинами, как известно, имеются следуюшие соотношения: или, в координатной форме: и Выписанные формулы позволяют находить связь между тремя выше упомянутыми движениями. Формула (12.1) или, что всё равно, формулы (12.3) решают вопрос об определении абсолютного движения по данным относительному и переносному. По формулам (12.2) или, что to же, (12.4) находится относительное движение точки по данным абсолютному и переносному. Определить переносное движение по абсолютному и относительному движению одной толькј точки, вообще говоря, невозможно, так как положение твёрдого тела определяется шестью независимыми координатами и, следовательно, дєижение задаётся шестью функциями времени, а уравнений (12.3) у нас всего три. Пример 33 . Пусть движение среды $\Sigma$ есть движение вокруг неподвижной точки $O$ (начала координат) по закону относительное движение точки $M$ пусть дано уравнениями Найдём абсолютное движение. По формулам (8.15) на стр. 77 и формуле (12.3) нагтоящего параграфа получаем следующий закон движения: таким образом, абсолютной траекторией является окружность Пример 34. Пусть среда $\Sigma$ говершает плоскопараллельное движение по закону а абсолютное движение точки пусть дано уравнениями Найдём относительное движение. Применив формулы (12.4) или, лучше, формулы (8.18) на стр. 79 для плоскопараллельного движения, получим: следовательно, относительной траекторией будет окружность 77. Зависимость между скоростями точки в абсолютном и относительном движениях. Продифференцируем по времени обе части равенства (12.1); при этом, поскольку вектор $\bar{\rho}$ отнесён к подвижной системе, выразим его абсолютную производную через его относительную производную [по формуле (9.18) на стр. 88]; мы получим: где $\vec{\omega}_{e}$ есть угловая скорость в переносном движении, т. е. угловая скорость системы $\Sigma$ относительно системы $S$. Слева мы имеем абсолютню скорость $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{a}}$; первое слагаемое правой части представляет собой скорость $\boldsymbol{v}_{A}$ начала подвижной системы координат; последнее слагаемое является относительной скоростью $\boldsymbol{v}_{r}$; таким образом Обратим теперь внимание на то, что сумма первых двух членов правой части, $\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega}_{e} \times \bar{\rho}$; согласно формуле (9.32) на стр. 93 , равна скорости той точки псдвижной среды $\Sigma$, которая в рассматриваемый момент совпадает с движущейся точкой $M$. Эта скорость называется переносной скоростью точки $M$, и мы её обозначим $\boldsymbol{v}_{e}$. Окончательно, следовательно, получаем Тот же результат можно получить геометрическим путём. Движущаяся точка $M$ описывает в теле $\Sigma$ относительную траекторию $M M_{1} M_{2}$ (фиг. 66). Эта неизменно связанная с телом $\Sigma$ кривая движется вместе с ним в среде $S$. Различные точки $M, M, \» M_{2}, \ldots$, в которые движущаяся точка приходит в моменты времени $t, t_{1}, t_{2}, \ldots$, перемещаются в среде $S$ по некоторым траекториям $M M^{\prime}, M_{1} M_{1}^{\prime}$, $M_{2} M_{2}^{\prime}, \ldots$ Таким образом, точка $M$ в моменты времени $t, t_{1}, t_{2}, \ldots$ будет в среде $S$ занимать положения $M, M_{1}^{\prime}, M_{2}^{\prime}, \ldots$, и её абсолютная траектория $M M_{1}^{\prime} M_{2}^{\prime} \ldots$ пересекает диагонально сеть, образованную с одной стороны различными положениями относительной траектории в среде $\mathcal{S}$, т. е. $M M_{1}$, $M^{\prime} M_{1}^{\prime}, M^{\prime \prime} M_{2}^{\prime} \ldots$, с другой — траекториями тех Раэделим обе части равенства на $\Delta t$ и иерейдём к пределу, устремив промежуток времени $\Delta t$ к нулю. Тогда слева мы получим абсолютную скорость $\boldsymbol{v}_{a}$ точки, которую она имеет в момент времени $t$, первое слагаемое правой части даст переносную скорость $\boldsymbol{v}_{e}$, а второе — относительную скорость $\boldsymbol{v}_{r}$ для того же момента $t$ : последнее обстоятельство сле- дует из того, что предельным направлением для $\overline{M M}_{0}$ будет касательная к относительной траектории в точке $M$. Таким образом, высказанное положение доказано: 78. Зависимость между ускорениями точки в абсолютном и относительном движениях. Поворотное ускорение. Теорема Кориолиса. Как мы видели в гл. XI, ускорение точки твёрдого тела определяется приёмом более сложным, чем скорость (за исключением случая поступательного движения тела). Поэтому и связь между ускорениями абсолютным и относительным не будет столь простой, как для скоростей. Продифференцировав по времени равенство (12.5), прежде всего получаем: Здесь $\dot{\boldsymbol{v}}_{a}=w_{a}$ есть абсолютное ускорение точки $M$; затем $\dot{\boldsymbol{v}}_{A} \leftrightharpoons w_{A}$ есть ускорение начала подвижной системы координат; $\dot{\hat{\omega}}_{e}=\bar{\varepsilon}_{e}$ является угловым ускорением в переносном движении, т. е. угловым ускорением системы $\Sigma$ относительно системы $\mathcal{S}$. Выразим абсолютные производные $\dot{\bar{\rho}}$ и $\dot{\boldsymbol{v}}_{\text {r }}$ через соответствующие относительные производные; это естественно сделать, поскольку сами векторы $\bar{\rho}$ и $\boldsymbol{v}_{r}$ отнесены к подвижной системе координат; имеем где $w_{r}$ есть относительное ускорение точки. Подставив все эти результаты в формулу (12.7), мы получим: или, если раскрыть скобки и соединить одинаковые члены, Первые три слагаемые в правой части согласно формуле (11.1) на стр. 112 представляют собой ускорение той точки подвижной среды $\Sigma$, которая в рассматриваемый момент совпадает с движущейся точкой $M$; это ускорение называется переносным ускорением точки $M$ и обозначается $w_{e}$. Далее следует относительное ускорение $\boldsymbol{w}_{r}$. Наконец, последний член $2 \bar{\omega}_{e} \times \boldsymbol{v}_{r}$ носит название добавочного, или поворотного, ускорения, или ускоpet.ия Кориолиса (Coriolis); мы его будем обозначать $w_{c}$. Таким образом, мы получили следующую теорему (теорему Кориолиса) об ускорении точки в сложном, или абсолютном, движении: где т. е. абсолютное ускорение точки равняется сумме ускорений переносного, относительного и поворотного. Важно заметить, что в следующих случаях поворотное ускорение обращается в нуль: В справедливости теоремы Кориолиса можно убедиться и из геометрических соображеңий (фиг. 67). Движушаяся точка $M$ за бесконечно малый промежуток времени $\Delta t$ переместится по относительной траектории в точку $M^{\prime}$; за то же время точка твёрдого тела, совпадавшая с точкой $M$, передвинется по своей траектории в положение $M_{1}$. Построим скорости $\boldsymbol{v}_{r}$ и $\boldsymbol{v}_{e}$ относительного и переносного движений и отложим на них длины $M R$ и $M E$, соответственно равные $v_{r} \Delta t$ и $v_{e} \Delta t$. Если бы переносное движение было поступательное, то относительная траектория и неизменно с нею связанный вектор $\overline{M R}$ заняли бы положения $M_{1} M_{2}$ и $\overline{M_{1} B}$, параллельные первоначальным. Но вследствие наличия вращательной части переносного движения вектор $\overline{M_{1} B}$ повернётся около мгновенной оси $M_{1} \Omega$ полюса $M_{1}$ на некоторый бесконечно малый угол $\Delta \varphi=\omega_{e} \Delta t$, где $\vec{\omega}_{e}$ есть мгновенная угловая скорость тела для рассматриваемого момента. Абсолютная скорость $\boldsymbol{v}_{a}$, по предыдущему, изобразится диагональю параллелограмма, построенного на $\boldsymbol{v}_{e}$ и $\boldsymbol{v}_{r}$; следовательно, вектор $\overline{M A}$, расположенный по диагонали па- раллелограмма $M R A E$, равняется $\boldsymbol{v}_{a} \Delta t$. Если соединим прямыми точку $A$ с $M_{1}^{\prime}, E$ с $M_{1}$ и $R$ с $M^{\prime}$, то получим девиации для движений абсолютного, переносного и относительного (§ 45 ): Далее, непосредственно из чертежа видно, что или вектор $\overline{C M_{1}^{\prime}}$ здесь можно было заменить на $\overline{B M_{2}}=\bar{\delta}_{r}$, так как по модулю они равны и в пределе параллельны. Теперь вспомним, что девиация следующим образом выражается через ускорение [формула (7.6) на стр. 65]: Поэтому равенство (12.9) после умножения на $\frac{2}{\Delta t^{2}}$ перепишется так: Таким образом, теорема Кориолиса доказана. земной оси с юга на север; по модулю она равна Если точка $\mu$ не удаляется от положения $A$ на значительное расстояние, то по малости $\Omega$ осестремительной частью переносного ускорения, пропорциональной $\Omega^{2}$, мы можем пренебречь. Далее, вращательное ускорение равно нулю, так как $\bar{\Omega}$ постоянна (прецессию и нутацию в расчёт не принимаем). При таких обстоятельствах всё-переносное ускорение сводится к одной поступательной части. Выпишем формулу, выражаюпую теорему Кориолиса: В условиях нашей задачи члены $\boldsymbol{w}_{a}$ и $\boldsymbol{w}_{e}$ взаимно уничтожаются, и, следовательно, относительное ускорение направлено противоположно поворотному и равно ему по модулю: следовательно, их проекции на горизонтальную плоскость равны между собой, т. e. Для определения проекции $w_{C H}$ воспользуемся построением, указанным на фиг. 68. Пусть точка $A$ находится в северном полушарии. Пусть $A N-$ мгновенная ось полюса $A$, направленная параллельно оси Земли с юга на север и, следовательно, наклонённая к горизонту на угол, равный широте места $\psi$. Далее, отложим от точки $A$ вектор $\overline{A E}$, равный относительной скорости точки $\mu$. Тогда поворотное ускорение изобразится вектором $\overline{E C}$, перпендикулярным к плоскости $A N E$ и идущим так, как показано на чертеже (относительное ускорение направлено в противоположную сторону); при этом Проведем вертикальную плогкость $A N B$ (плоскость меридиана точки $A$ ) и вертикальную плоскость $E B N$, перпендикулярную к $A E$. Интересующая нас проекция $w_{C H}$ имеет выражение Ho поэтому окончательно получаем: Таким образом, оказалось, что ортогональная горизонтальная составляющая относительного ускорения перпендикулярна к относительной скорости, направлена для северного полушария в правую сторону и по модулю пропорциональна относительной скорости и синусу широты места. Результат (12.10) можно иначе получить применением векторной алгебры. Действительно, мы имеем где $R^{0}$ — единичный вектор радиуса Земли, проведённого к точке $A$. Подставив сюда известное выражение поворотного ускорения и воспользовавшись затем формулой преобразования векторно-векторного произведения, мы находим: но $\boldsymbol{R}^{\mathbf{0}} \cdot \boldsymbol{\eta}_{r}=0$ вследствие перпендикулярности этих векторов, а $\boldsymbol{R}^{0} \overline{\mathbf{Q}}=\mathbf{Q} \sin \zeta$, так что окончательно мы получаем:
|
1 |
Оглавление
|