ПРИЛОЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ПОЛЕЙ

Алгебраические операции и поле

Если в данном множестве элементов

(П.1)

указан закон, но которому любой паре элементов этого множества и однозначно ставится в соответствие третий элемент также принадлежащий указанному множеству, то тем самым алгебраическая операция считается заданной, а данное множество элементов называют замкнутым относительно этой операции.

Говорят, что множество элементов (П.1) образует поле, если в нём определены алгебраические операции «сложение» и «умножение», обе коммутативные, ассоциативные и связанные между собой законом дистрибутивности. При этом обе они обладают обратными операциями (вычитанием и делением), которые являются однозначными, кроме случая деления на нуль.

Поясним сказанное и попутно приведем (без доказательства) ряд свойств элементов поля [21].

В соответствии с понятием алгебраической операции:

1) любым двум элементам поля и однозначно поставлен в соответствие третий элемент поля, называемый их суммой и обозначаемый через

(П.2)

2) любым двум элементам поля и поставлен в соответствие третий элемент поля, называемый их произведением и обозначаемый через

(П.3)

3) операции сложения и умножения дают в результате элемент, принадлежащий исходному множеству (свойство замкнутости).

Из свойства однозначности и замкнутости операций следует, во-первых, то, что в поле всегда существует такой единственный элемент , называемый нулем поля и обладающий тем свойством, что

(П.4)

и

(П.5)

Во-вторых, в поле всегда имеется единственный элемент , называемый единицей поля и обладающий тем свойством, что

(П.2)

Для элементов поля согласно определению справедливы следующие законы сложения и умножения:

а) закон коммутативности (переместнтельный):

(П.7)

и

(П.8)

б) закон ассоциативности (распределительный):

(П.9)

и

(П.10)

в) закон дистрибутивности (сочетательный):

(П.11)

Последний закон связывает между собой две основные алгебраические операции поля.

Кроме того, как это следует из приведенных свойств поля, здесь всегда однозначно разрешимы уравнения

(П.12)

и

(П.13)

где — неизвестный элемент данного поля, причем в случае (П.13)

Непосредственно из (П.12) и (П.13) для элементов поля определяются операции вычитания и деления, их однозначность, а также невозможность деления на нуль поля.

Далее, для каждого элемента данного поля можно указать единственный элемент, называемый отрицанием и обозначаемый , такой, что

(П.14)

Это свойство элементов поля следует из того факта, что уравнение (П.12) имеет единственное решение и в случае, когда .

Помимо этого, для каждого (кроме нуля поля) можно указать обратный элемент (единственный), такой, что

(П.15)

Соотношение (П.15) непосредственно вытекает из однозначной разрешимости (П.13) при .

Заметим, что для элементов поля не существует понятий «большие» и «меньшие», или, как говорят, здесь не введена метрика. Поэтому бессмысленной, например, является запись

(П.16)

а выражение

(П.17)

следует понимать буквально и ни в коем случае не истолковывать как «либо больше, либо меньше».

Абелевой (коммутативной) группой принято называть множество элементов с одной алгебраической операцией — ассоциативной, коммутативной, имеющей обратную операцию.

В соответствии с этим множество элементов поля образует аддитивную группу относительно операции сложения. Одновременно множество всех отличных от нуля элементов поля образует мультипликативную группу. Порядком элемента а в мультипликативной группе называют наименьшее число , при котором .