3. Метод Вагнера
Обстоятельное исследование процесса декодирования комбинаций линейных кодов по методу Вагнера проведено в [150]. Его сущность сводится к следующему (рис. 3.0.5). Случайные величины (3.0.1), образующиеся на выходе приемника, поступают в первую решающую схему, где каждая из них отождествляется с одним из выходных символов канала (либо с 0, либо с 1). Затем в полученной таким образом комбинации осуществляются проверки на четность. Если они (проверки) выполняются, то комбинация выдается получателю. Если же будет обнаружено наличие 
кратной ошибки, то комбинация выдается получателю после коррекции 
символов с наименьшими относительными мерами похожести, в частности символов, условная вероятность правильной демодуляции которых в данный момент оказывается наименьшей.
Характерной чертой декодирования по методу Вагнера является то, что здесь проверки на четность используются только для определения числа трансформированных символов (кратности ошибки), а не для определения номеров искаженных символов, как это обычно делается. Последняя операция здесь выполняется в результате сравнения относительных мер похожести принятых в данный момент символов [случайных величин (3.0.1)]. Такой подход позволяет более рационально использовать избыточность кода, ибо появляется возможность корректировать (с вероятностью, весьма близкой к единице) по крайней мере все ошибки кратности 
и менее.
Вероятность принять правильное решение определяется как вероятность принять комбинацию, содержащую 
ошибок, при условии, что мера похожести трансформированных символов наименьшая. Проиллюстрируем процесс вычисления этой вероятности на примере кода с 
.
Не нарушая общности рассуждений, найдем вероятность правильного приема 
комбинации 
, состоящей из символов 0:
(XII.3.1)
где 
— вероятность того, что все случайные величины (3.0.1) в пороговом селекторе будут интерпретированы как символы 0; 
— вероятность того, что в первой решающей схеме из всей последовательности (3.0.1) только случайная величина 
, наделенная наименьшей относительной мерой похожести, будет зафиксирована как символ 1.
Допустим, что распределение 
является зеркальным отображением распределения 
относительно точки 0, а значение порога в первой решающей схеме выбрано равным нулю, тогда
(XII.3.2)
Расчет 
проводится с помощью следующих рассуждений. Прежде всего при сделанных предположениях вероятность неправильной демодуляции 
-го элементарного сигнала при условии, что на выходе приемника зафиксирована случайная величина 
, будет тем меньше, чем больше абсолютное значение 
. Поэтому в качестве относительной меры похожести 
-го символа разумно использовать величину
(XII.3.3)
Пусть только 
символ принятой комбинации является 1, т. е. 
, а все другие случайные 
0. После проверки на четность будет зафиксировано, что принятая комбинация содержит ошибку.
Однако 
символ будет исправлен на ноль только тогда, когда
(XII.3.4)
или, что то же самое,
(XII.3.5)
Вероятность того, что случайная величина 
примет некоторое конкретное значение 
равна 
,
а вероятность того, что 
случайных величин будут удовлетворять условию (XII.3.5), равна 
.Вероятность совместного наступления указанных событий определяется выражением 
. Если проинтегрировать это произведение по 
в пределах от 
до 0, то получим вероятность правильного приема комбинации при условии, что один конкретный ее символ 
был опознан неправильно. Следовательно,
(XII.3.6)
В общем случае вероятность правильного приема комбинации 
(XII.3.7)
где 
определяется по формуле (XII.3.3), а 
.
В работе [150] было показано, что метод Вагнера обеспечивает ббльшую вероятность правильного приема, чем посимвольный с последующей коррекцией максимально возможного числа ошибок. Наконец, из (XII.3.7) следует, что коды, оптимальные в смысле максимума 
здесь максимизируют нижнюю оценку вероятности правильного приема комбинации.
