5. Адаптация процедуры декодирования в системах с переменными параметрами

В системах с переменными параметрами задача оптимального декодирования сводится (по условию) к поиску некоторого наивыгоднейшего разбиения множества на подмножеств для каждого из возможных состояний канала.

Формальная запись таких алгоритмов декодирования (и других, связанных с ним соотношений) для -го состояния канала осуществляется простой заменой в сооттвующих формулах вероятности на . Так, в простых системах типа сигналы включенные в подмножество , должны удовлетворять условию [см. (V.3.3)

(V.5.1)

Правая часть (V.5.1) - функция состояния канала, а левая — константа. Поэтому при переходе канала из одного состояния в другое процедура декодирования по критерию отношения правдоподобия с фиксированным критическим уровнем, вообще говоря, предполагает перераспределение сигналов между подмножествами. Рассмотрим наиболее характерные ситуации. Пусть для всех и а также для всех состояний канала знак величины

(V.5.2)

остается постоянным (что, конечно, не следует толковать как ). Тогда в силу (V.5.1) процедура декодирования оказывается ограниченной функцией состояния канала в том смысле, что возможно перераспределение сигналов между подмножествами и . Последнее обстоятельство особенно наглядно проявляется в системах с медленно меняющимися параметрами и симметричными каналами. Здесь в состоянии канала в подмножество должны быть включены но крайней мере все комбинации, отличающиеся от в числе позиций, не большем, чем [см. (V.3.5)]

(V.5.3)

где

(V.5.4)

Пусть состояние канала меняется в широких пределах и отношение принимает все значения от величин, весьма близких к нулю (очень хорошее состояние канала), до величин, достаточно близких к единице (очень плохое состояние канала). Тогда при фиксированном коде согласно следствию 1 (теоремы (V.2) можно указать два значения и , таких, что при первом из них , а при втором . Другими словами, при отношении , весьма близком к нулю, система типа вырождается в систему типа , а при отношении близком к единице, она оказывается -разомкнутой. Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема V.5. В системах типа с симметричными каналами без памяти и медленно меняющимися параметрами оптимальная процедура декодирования (V.5.1) допускает как режимы работы, сходные с режимами работы в системах типа , так и -размыкание системы.

Согласно следствиям 2 и 3 (теоремы V.2) изменяет свою величину только при переходе отношения через определенные значения и остается неизменной в промежуточных интервалах. Критические состояния канала, при которых необходимо производить изменение декодирования, легко находятся либо из выражения (V.3.6), либо непосредственно из условия, что вероятность ошибочного декодирования в каждом состоянии не больше заданной, а вероятность правильного приема максимальна.

Приведем простой пример, поясняющий сказанное. Пусть число сообщений и для их передачи выбран семизначный бинарный код, комбинации которого отличаются одна от другой точно позициях (III.4.8). Предположим, что при передаче требуется обеспечить вероятность ошибочного декодирования во всех состояниях канала. Для выбранного кода можно определить четыре алгоритма декодирования: и . Используя формулы (III.4.11) и (III.4.14), легко установить, что первый алгоритм декодирования обеспечивает при . Второй алгоритм, как это следует из (III.5.8), решает поставленную задачу при , а третий — при . Таким образом, первое критическое состояние канала наступает при , второе — при и третье — при . Для значений система должна находиться в режиме -размыкания (четвертый алгоритм).

Адаптивное декодирование при посимвольном приеме требует оценки состояния канала, т. е. величины . Аналогичная ситуация характерна также для систем с симметричными стирающими каналами и симметрическими каналами с двумя градациями верности. Отличие заключается лишь в том, что в таких системах при переходе канала из одного состояния в другое необходимо изменять как алгоритм декодирования, так и ширину интервала стирания.

В тех случаях, когда контроль за состоянием канала осуществляется по сигналам, несущим основную информацию, в частности, на основе оценки вероятности стирания символа, возникают любопытные задачи по наивыгоднейшему сопряжению процедур декодирования и контроля.

В заключение сделаем несколько общих замечаний относительно декодирования в системах с быстро меняющимися параметрами.

Прежде всего следует обратить внимание на возможность использования в таких системах алгоритмов декодирования, априорно рассчитанных на системы с медленно меняющимися параметрами. Множество состояний канала , при которых эти алгоритмы оказываются наилучшими, определяется по аналогии с § 9 гл. IV. Отметим, что вопрос о перераспределении некоторых комбинаций множества между подмножествами и практически может возникнуть только в очень хороших состояниях канала, т. е. тогда, когда система типа вырождается в систему типа . Причем перераспределению в первую очередь, возможно, будут подлежать комбинации, «равноудаленные» от и и комбинации, отличающиеся от кодовых в позициях. Однако потери, возникающие из-за ненаилучшего распределения таких комбинаций между подмножествами и пренебрежимо малы.

В таких ситуациях каждое состояние канала (вектор ) допустимо характеризовать средней вероятностью трансформации символа (средним значением компонент вектора . В относительно плохих состояниях канала может возникнуть необходимость исключить некоторые комбинации из подмножества и включить их в подмножество (но не в ). Поэтому и в этом случае декодирование может проводиться так же, как и в случае систем с медленно меняющимися параметрами с использованием оценки среднего значения компонент вектора или оценки средней вероятности трансформации символа . Такой подход к адаптации процедуры декодирования решает задачу по поддержанию вероятности ошибочного декодирования на уровне, не большем заданного, не в каждом из возможных состояний канала. Однако можно ожидать, что получаемый проигрыш будет не слишком большим и вполне окупится за счет упрощения аппаратуры контроля за состоянием канала.

Кстати, возможность применения к системам с быстро меняющимися параметрами методов адаптивного декодирования, рассчитанных на системы с медленно меняющимися параметрами, говорит о том, что коды, оптимальные в смысле Хэмминга, с успехом могут применяться и в этом классе систем.