ГЛАВА XII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И БЛИЗКИЕ К НИМ МЕТОДЫ ОПОЗНАНИЯ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ С ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ

1. Идеальное декодирование в целом

Алгоритм опознания случайной последовательности (3.0.1), обеспечивающего максимум апостериорной вероятности правильного решения, условимся называть идеальным. Идеальное устройство отождествления сложных сигналов при заданном приемнике анализировалось в [59], там же получены некоторые результаты применительно к идеальному декодированию небинарных сложных сигналов. Оригинальная схема идеального декодера для сочетательных кодов приведена в [141].

Совокупность случайных величин (3.0.1) образует -

мерный вектор с плотностью распределения

(XII. 1.1)

где — плотность распределения при условии, что была передана кодовая комбинация совпадает с , если на позиции располагается символ , и , когда .

Зная (XII. 1.1) и априорную вероятность передачи , легко найти апостериорную вероятность того, что при наличии совокупности случайных величин (3.0.1) была передана комбинация:

(XII. 1.2)

В соответствии с выбранным критерием последовательность (3.0.1) должна отождествляться с кодовой комбинацией тогда, когда

(XII. 1.3)

(XII. 1.4)

Разделим левую и правую часть последнего неравенства на положительную величину :

(XII. 1.5)

Величина если , поэтому

(XII. 1.6)

Для простоты дальнейших рассуждений положим и условимся считать распределения и нормальными с дисперсией и средними, соответственно равными h и . При этих условиях

(XII. 1.7)

и выражение (XII. 1.6) примет вид

(XII. 1.8)

Согласно неравенству (XII.1.8) для определения наиболее вероятного сообщения надо просуммировать случайные величины (3.0.1) по тем позициям, где у комбинации стоят символы единицы. В результате образуется различных чисел . Если окажется, что все , то переданной считается комбинация , состоящая только из символов ноль. В других случаях в качестве переданной должна воспроизводиться комбинация с номером, определяемым наименьшим из чисел [см. (3.0.2)].

Такого рода процедура декодирования в ряде случаев позволяет заметно упростить декодер. Она с успехом может применяться и в случае посимвольного метода приема. В этой ситуации наиболее вероятная комбинация находится на основе сравнения величии представляющих собой результат суммирования символов принятой комбинации на тех позициях, где у располагаются символы единицы.

Вероятность невыполнения хотя бы одного неравенства системы (XII.1.8) при условии, что передается определяет вероятность Рот неправильного решения. Наиболее наглядно эта вероятность определяется для (передается комбинация , содержащая только символы ноль). В этом случае левая часть каждого из неравенств (XII.1.8) равна нулю ( для всех ), а вероятность совпадает с вероятностью невыполнения хотя бы одного из неравенств:

(XII.1.9)

Для фиксированного k правая часть (XII.1.9) содержит отличных от нуля слагаемых ( — число единиц в комбинации каждая из которых распределена по одному и тому же закону . Сумма таких случайных величин распределена по нормальному закону со средним и дисперсией . Поэтому вероятность невыполнения k-ro неравенства системы (XII.1.9) равна

(XII.1.10)

Наименьшая из этих величин задает оценку вероятности снизу. Оценка сверху находится с помощью неравенства Буля. Таким образом, имеем

(XII.1.11)

Анализ соотношений (XII.1.11) показывает, что с точки зрения идеального декодера оптимальными являются коды с максимальным d. Это утверждение косвенно подтверждается хотя бы уже тем, что в системе (XII.1.9) вероятность невыполнения неравенств с числом слагаемых существенно меньше, чем неравенств, где число слагаемых в точности равно .

Кроме того, из (XII.1.11) следует, что с ростом вероятность во всяком случае тогда, когда

(XII.1.12)

В заключение обратим внимание на то, что вместо алгоритма (XII.1.9) можно использовать более простой, но менее эффективный способ декодирования: считать, что передана комбинация если

(XII.1.13)

отвергать эту гипотезу, если последнее неравенство не имеет места.

Расчет оптимального значения порога К и статистических характеристик системы при таком способе опознания сообщений проводится методом, изложенным §3гл. VII.