5. Линейные коды с кольцевой метрикой

Расстояние между комбинациями и , их вес и величина d для кодов с кольцевой метрикой определяются в соответствии с (2.0.2)-(2.0.4) и (2.0.7)-(2.0.8). Так, если , .

(XI.5.1)

то расстояние

(XI.5.2)

Вес комбинации и соответственно равен и . Для линейных кодов с кольцевой метрикой

(XI.5.3)

(справедливость этого равенства доказана В. М. Остиану). При этом в кодах с кольцевой метрикой, как и ранее, для обнаружения всех ошибок кратности (и менее) и для коррекции всех ошибок кратности (и менее) требуется, чтобы кодовое расстояние

Понятие -кратной ошибки здесь имеет своеобразное толкование.Так , при истинное значение символа и его измененное значение удовлетворяют либо условию

(XI.5.4)

либо условию

Заметим, что для при единичной ошибке символ может быть искажен двояким образом. При могут возникнуть две равноправные ситуации: два символа комбинации искажены в соответствии с (XI.5.4) или один символ трансформирован в так, что

либо

Ошибки типа (XI.5.5) могут иметь место при . По аналогии могут быть определены ошибки и для других значений .

Коды, обнаруживающие единичные ошибки. Для синтеза кодов с в кольцевой метрике может быть использован метод, рассмотренный в предыдущем параграфе. Все сказанное там относительно целесообразности применения смешанных символов без всяких ограничений переносится на коды с кольцевой метрикой.

Коды, корректирующие единичные ошибки. Этот класс кодов также может строиться на основе идей Алрича. Однако способ коррекции ошибок здесь, в отличие от предыдущего параграфа, должен проводиться в соответствии с формулами (XI.5.4)(в первом случае к принятому символу прибавляется число , а во втором — 1, естественно, суммирование проводится по модулю .

Оценки (XI.4.7),(XI.4.8) сохраняют свою силу и для кодов с кольцевой метрикой. Оценки для более общего случая получены Остиану В.М. Ей же принадлежит оригинальный метод построения кодов с коррекцией единичных ошибок. Подробнее его описание читатель может найти в [136].

В заключение отметим, что кольцевая метрика в какой-то мере отражает статистические особенности передачи сообщения в системах, где в качестве элементарных сигналов используются фазоманипулированные сигналы. Однако при синтезе кодов с коррекцией ошибок кратности, большей, чем единица, необходимо обращать внимание на величины вероятностей, с которыми осуществляется та или иная разновидность -кратной ошибки. Так, например, если окажется, что вероятность ошибки вида (XI.5.5) больше, чем вероятность одновременного искажения двух символов на величину , то целесообразно вместо кода с (в кольцевой метрике) применять код, корректирующий только ошибки вида (XI.5.4). В частности, при это означало бы переход к коду с в метрике Хэмминга.

В настоящее время теория кодов с кольцевой метрикой весьма далека от завершения, хотя работы в этом направлении были начаты достаточно давно [103, 111, 132—138].