8. Декодирование в системах с асимметричными каналами

Найдем условия, при которых в системах с асимметричными каналами без памяти декодирование по критерию минимума числа несовпадающих позиций оказывается близким к оптимальному» Эта задача в принципе решена в § 7. Здесь она детализируется для случая простых систем типа М. В таких системах решение должно приниматься всякий раз, когда полученный сигнал таков, что

(IV.8.1)

где, напомним, — вероятность трансформации символа, расположенного на позиции комбинации в символ комбинации , причем численно совпадает с одним из элементов матрицы трансформации символов

(IV.8.2)

Для наглядности дальнейшего изложения перепишем (IV.8.1), полагая, что отличается от в первых позициях, а от в последних позициях:

(IV.8.3)

Усилим это неравенство:

(IV.8.4)

где и — наименьший и наибольший элементы главной диагонали матрицы (IV.8.2) и — наименьший и наибольший элементы среди всех элементов, не принадлежащих главной диагонали той же матрицы.

Обозначим

(IV.8.5)

(IV.8.6)

Подставляя (IV.8.5)-(IV.8.6) в (IV.8.4), получим

(IV.8.7)

Для случая, когда и достаточно близки к единице, мы имеем

(IV.8.8)

Выполнение условий (IV.8.7) и (IV.8.8) гарантирует обоснованность включения в подмножество . Применительно к комбинациям , отличающимся от кодовых в числе позиций и менее, они приводятся к виду

(IV.8.9)

или

(IV.8.10)

где

для четных

для нечетных

причем

Пример. Пусть а ртах отличается от на порядок . Тогда при неравенство (IV.8.7) будет удовлетворяться по крайней мере для всех комбинаций , отличающихся от в пяти и менее позициях. Это означает, что для кодов с декодирование по критерию минимума числа несовпадающих позиций будет оставаться оптимальным по крайней мере с точностью до комбинаций, отличающихся от в и менее позициях, что следует из (IV.8.9) и (IV.8.10) при . Однако для кодов, у которых , неравенство (IV.8.7) будет иметь место лишь при . Следовательно, без всякого сомнения при четных d в подмножестве должны включаться все комбинации, отличающиеся от даже в позициях, а при нечетных d — в позициях.

По аналогии с предыдущим решается вопрос об инвариантности алгоритма декодирования по критерию минимума отличия по нестертым символам для систем с несимметричными стирающими каналами.

Конечный результат здесь может быть представлен неравенствами, полностью совпадающими с приведенными выше при замене в них на (предполагается, что отношение максимальной и минимальной вероятности стирания символов близко к единице). Более того, введение интервала стирания снижает при прочих равных условиях, поэтому переход от посимвольного метода приема к приему со стиранием позволяет расширить область обоснованного применения указанного выше алгоритма декодирования. Подведем итог сказанному.

Теорема IV.9. Если матрица трансформации символов (IV.8.2) такова, что выполняются условия (IV.8.7)-(IV.8.10), то в простой системе типа М при асимметричных каналах без памяти декодирование по минимуму числа несовпадающих позиций остается наивыгоднейшим по крайней мере для комбинаций, отличающихся от кодовых в позициях при четных позициях при нечетных .

Анализ неравенств (IV.8.7) и (IV.8.8) показывает, что использование в системах с асимметричными каналами процедур декодирования, описанных в предыдущих параграфах, не приводит к существенному повышению вероятности неправильного декодирования. Однако применение таких алгоритмов в ряде систем с асимметричиыми каналами лишено смысла. Это имеет место, например, когда демодуляция элементарных сигналов проводится по схеме приема с двумя градациями верности.

Отказ от поиска оптимальных алгоритмов декодирования здесь фактически означал бы отказ от поиска путей реализации преимущества таких систем перед системами с более «грубыми» методами демодуляции (посимвольные методы приема, включая прием с сигналом стирания).

Допустим, что при приеме с двумя градациями верности канал является симметрическим каналом без памяти, статистические особенности которого определяются вероятностями и (см. (II.5.5) — (II.5.8)]. Тогда в простой системе типа М декодирование по максимуму отношения правдоподобия (IV.8.1) по-прежнему будет обеспечивать минимум вероятности неправильного опознания переданного сообщения. Поэтому решение должно приниматься всякий раз, когда

(IV.8.11)

Отсюда получим

(IV.8.12)

где весовой коэффициент

Теорема IV.10. При приеме с двумя градациями верности и симметрическом канале без памяти в простых системах типа М средняя вероятность неправильного декодирования достигает минимума (при фиксированной

процедуре кодирования), если все комбинации подмножества таковы, что имеет место неравенство (IV.8.12) или аналогичное ему условие

(IV.8.14)

Вернемся к неравенству (IV.8.12). Прежде всего заметим, что весовой коэффициент L является функцией (II.5.5) — (II.5.8) и для одномодальных распределений удовлетворяет условию

(IV.8.15)

В подтверждение этого факта на рис. IV.1 представлена зависимость L от при различных значениях вероятности искажения символа .

Рис. IV.1

Графики построены в предположении, что распределения и являются нормальными с дисперсиями, равными , и средними h и —h соответственно. Вероятность определяется из (11.5.5) при .

Пусть

(IV.8.16)

тогда принятая комбинация должна отождествляться с в двух случаях. Во-первых, тогда, когда

(IV.8.17)

отличается от по надежным символам в числе позиций, меньшем, чем любой другой кодовой комбинации). Во-вторых, тогда, когда

(IV.8.18)

при условии, что

(IV.8.19)

или, что то же самое,

(IV.8.20)

(Последнее неравенство вытекает из (IV.8.19) и из очевидного соотношения ).

Таким образом, алгоритм декодирования (IV.8.12) здесь распадается на два. Первый из них (IV.8.17) оказывается таким же, как при симметричных каналах со стиранием (IV.6.4), а второй — таким же, как в системах, имеющих симметричные каналы (IV.5.9).

Заметим, что ситуации (IV.8.18),(IV.8.19) могут иметь место, когда — число ненадежных символов в комбинации — удовлетворяет условиям и соответственно. Отмеченные обстоятельства облегчают запись оценки вероятности правильного опознания переданного сообщения:

(IV.8.21)

Отсюда видно, что, во-первых, коды, оптимальные в смысле Хэмминга, максимизируют нижнюю границу . Во-вторых, (IV.8.21) является функцией , и, следовательно, может быть найдено наивыгоднейшее значение этой величины. В-третьих, можно ожидать, что описанная процедура декодирования будет достаточно близка к наивыгоднейшей и при значениях d, не удовлетворяющих условию (IV.8.16).

Если весовой коэффициент L удовлетворяет условию

— где ,то алгоритм (IV.8.12) следует применять при , а алгоритм (IV.5.9) -при . Наконец, любопытно отметить, что алгоритм (IV.8.12) является оптимальным для простых схем типа М, где для формирования сигналов используются четыре элементарных сигнала с манипуляцией фазы на . В этом случае весовой коэффициент

(IV.8.22)

где и определяются выражениями (11.4.30)(11.4.31).