5. Оптимальная ширина интервала стирания для кодов с d=2 в системах с переспросом

Для систем с переспросом и стиранием символов можно предложить несколько алгоритмов декодирования комбинаций кода с . В частности, алгоритм, по существу совпадающий с описанным в § 4 гл. XIII, а именно принятая комбинация, выдается получателю, если выполняется проверка на четность (в комбинации нет стертых символов).

Если же в принятой комбинации окажется один стертый символ, то он восстанавливается и полученная таким образом комбинация также выдается получателю. Наконец, сигнал переспроса посылается всякий раз, когда в принятой комбинации окажется два и более стертых символов или когда она не содержит стертых символов, но проверка на четность оказывается невыполненной.

Средняя вероятность ошибочного опознания переданного сообщения при этом определяется по аналогии с (XIII.2.7) выражением

(XIII.5.1)

При достаточно больших значениях ширины интервала стирания и , поэтому можно записать

(XIII.5.2)

Полагая в (XIII.5.1) , получим среднюю вероятность ошибочного опознания сообщения в ДСК:

(XIII.5.3)

Дифференцируя (XIII.5.1) по , найдем

(XIII.5.4)

Рис. XIII.14. Характер изменения вероятности неправильного опознания сообщения и скорости передачи для кодов с в системе с переспросом.

Знак последнего выражения определяется знаком числителя. Поэтому производная в точке будет отрицательна, если

(XIII.5.5)

Подставляя сюда (XIII.4.4) и (XIII.4.6),(XIII.4.19)и (XIII.4.20) найдем

(XIII.5.6)

Таким образом, если это неравенство не имеет места, то имеет максимум и существует такое значение при котором средняя вероятность ошибочного декодирования оказывается такой же, как и в ДСК, значение определяется в результате решения уравнения (рис. XIII.14) .

Кстати, ширина интервала стирания , при которой достигает максимума, в первом приближении оценивается формулой, аналогичной (XIII.5.7):

На рис. XIII.15 для двух кодов с и приведены кривые, показывающие характер изменения средней вероятности ошибочного декодирования сообщения как функции ширины интервала стирания. Кривые построены по формуле (XIII.5.1) с помощью графиков на рис. XIII.3,XIII.4. Как видно из этих кривых, функция сначала незначительно возрастает, а затем монотонно убывает.

Рис. XIII.15. Зависимость вероятности ошибочного декодирования комбинации от ширины интервала стирания в системе с переспросом для кодов с и ; 14 при различных состояниях канала.

При выбранном алгоритме декодирования скорость передачи

(XIII.5.8)

Заметим, что при скорость передачи равна

(XIII.5.9)

Согласно (XIII.4.19) значение производной в точке отрицательно. Поэтому функция имеет максимум при значении , минимизирующем вероятность посылки сигнала переспроса и определяемом из решения уравнения

(XIII.5.10)

где вычисляется из формулы (XIII.4.18).

Обычно , поэтому скорость передачи можно считать пропорциональной , и в первом приближении она, вопервых, достигает максимума при [см. (XIII.4.9) — (XIII.4.16) и, во-вторых, при (XIII.4.13). (Для уточнения последнего неравенства необходимо решить уравнение ).

Таким образом, одновременное повышение достоверности и скорости передачи будет наблюдаться только при значениях , удовлетворяющих условию

(XIII.5.11)

В противном случае улучшение одной из характеристик системы будет происходить за счет ухудшения другой ее характеристики.

Кратко остановимся на задаче максимизации скорости передачи при ограниченной сверху средней вероятности ошибочного декодирования:

(XIII.5.12)

при условии

(XIII.5.13)

где R — заданная константа.

Отыскание значения v, удовлетворяющего этим условиям, проводится по существу так же, как и в случае (XIII.4.23),(XIII.4.24). Прежде всего решается уравнение

(XIII.5.14)

Здесь могут возникнуть три ситуации (рис. XIII.14):

1. Уравнение (XIII.5.14) не имеет решения, что возможно, когда

(XIII.5.15)

2. Уравнение (XIII.5.14) имеет два корня и , что возможно, если

и

(XIII.5.16)

3. Наконец, уравнение имеет один корень , если

(XIII.5.17)

В первом случае (XIII.5.15) решением обсуждаемой задачи является значение и, максимизирующее скорость передачи [в первом приближении (XIII.4.9)].

Во второй ситуации (XIII.5.16) неравенство (XIII.5.13) выполняется при всех , не принадлежащих интервалу . Поэтому решением задачи здесь является значение , которое обеспечивает максимум скорости передачи вне указанного интервала, т. е. искомое значение равно либо либо .

В третьем случае (XIII.5.17) условие (XIII.5.13) выполняется для всех . Поэтому, если , то если же , то .

Решение других задач рассмотренного типа может быть выполнено методами, использованпыми в этом и предыдущих параграфах.

На рис.XIII.16 для кода с и 14 показаны значения максимальной скорости передачи в различных состояниях канала при условии, что . Кривые построены с помощью формулы (XIII.5.12) и графиков на рис. XIII.15, XIII.3, XIII.4.

При этом для ширина интервала стирания выбиралась равной нулю, так как даже в этом случае скорость передачи отличается от величины лишь в третьем знаке.

Рис. XIII.16. Максимальное значение скорости передачи , обеспечиваемое кодом с и в различных состояниях канала при и различных алгоритмах декодирования: 1 — с восстановлением одиночных стираний (III.5.8) и переспросом по комбинациям; 2 — без восстановления одиночных стираной (XIII.6.21) и переспросом по комбинациям; 3 - при посимвольном переспросе и последующей проверкой на четность.

Декодирование комбинаций кода с в системах с переспросом можно проводить с помощью более простого алгоритма, чем рассмотренный: принятая комбинация выдается получателю в случае, если в ней отсутствуют стертые символы и одновременно выполняется проверка на четность, а сигнал переспроса посылается во всех остальных случаях (комбинация содержит хотя бы один стертый символ или не выполняется проверка на четность).

При сделанных предположениях вероятность правильного приема комбинации равна

(XIII.5.18)

Вероятность послать сигнал переспроса

(XIII.5.19)

где .

Средняя вероятность принять неправильное решение

(XIII.5.20)

Скорость передачи здесь равна

(XIII.5.21)

Анализ соотношений (XIII.5.18)-(XIII.5.21) может быть проведен по аналогии с предыдущим.

На рис. XIII.16 показаны максимальные значения скорости передачи в различных состояниях канала для кода с и при условии .

Кривые построены по соответствующим формулам с помощью графиков на рис. XIII.3, XIII.4. Они показывают, что последний алгоритм более эффективен в относительно плохих состояниях канала, чем предыдущий. Сравнение графиков на рис. XIII.16 с соответствующими кривыми на рис. XIII.9 показывает, что переход от безызбыточного кода к коду с оправдан с точки зрения увеличения скорости передачи в относительно плохих состояниях канала.

В тех случаях, когда ширина интервала стирания фиксирована и ее изменение по ходу передачи нежелательно, представляется целесообразным в относительно «плохих» состояниях канала использовать второй алгоритм, а в «хороших» — первый, как обеспечивающий большую скорость передачи.